1. JOHDANTOA. Makroskooppinen aine koostuu atomeista ja molekyyleistä. Atomit koostuvat ytimestä ja elektroneista.

Transkriptio

1 1. JOHDANTOA Makroskooppinen aine koostuu atomeista ja molekyyleistä. Atomit koostuvat ytimestä ja elektroneista. 1

2 Atomifysiikka käsittelee atomin elektroniverhon fysiikka Ydinfysiikka käsittelee ytimen rakennetta ja ydinreaktioita Hiukkasfysiikka käsittelee alkeishiukkasten ominaisuuksia ja niiden välisiä vuorovaikutuksia Molekyylifysiikka käsittelee molekyylien rakenteita Kiinteän aineen fysiikka käsittelee kiinteän aineen rakenteita Kvanttikemia käsittelee kemiallisia reaktiota Kokeellisen tutkimuksen kannalta osa-alueet ovat hyvin erilaisia, koska niissä esiintyvien perusilmiöiden energiat ovat eri suuruusluokkaa: Kiinteä aine ev 1 ev Molekyylit 0.1 ev 100 ev Atomit 1 ev 100 kev Ytimet 10 kev 100 MeV Hiukkaset 100 MeV 500 GeV 1 ev = elektronivoltti = energian yksikkö atomifysiikassa = joulea. Vastaa energiaa, jonka elektroni saa kulkiessaan yhden voltin suuruisen potentiaalieron läpi

3 Atomifysiikan soveltamisalueita kemia biologia (molekyylibiologia, mikrobiologia) lääketiede (kristallografia) tekniikka (elektroniikka, puolijohdetekniikka, valaistustekniikka, nanoteknologia) Tutkimus vaatii yhteistyötä teoreettisen sekä kokeellisen tutkimuksen välillä: Parannetaan teoriaa kokeen pohjalta Teoria Luodaan teoria, testataan kokeellisesti Vertailu Koe 3

4 MUUTAMIA TULOKSIA SUHTEELLISUUSTEORIASTA Atomifysiikan kurssilla tarvitsemme mm. seuraavia suhteellisuusteorian tuloksia: E = Eo + Ekin = moc + Ekin = mc = γm 0 c γ = 1 1 v (Lorentz kerroin) c m 0 = kappaleen massa levossa Valon nopeus on vakio. Kappaleen massa (liikettä vastustava ominaisuus, hitaus) riippuu kappaleen nopeudesta kun nopeus kasvaa, kappale vastustaa liikkeen muutosta enemmän ja enemmän kappale ei voi koskaan saavuttaa valonnopeutta 4

5 ESIMERKKI 1.1 Laske nopeus, massa ja liikemäärä elektronille, jonka kineettinen energia on 100 kev. 5

6 . SÄHKÖMAGNEETTISTEN AALTOJEN HIUKKASOMINAISUUDET Jokapäiväisessä makroskooppisessa maailmassa ei ole mitään kummallista aalto- ja hiukkaskäsitteissä Klassisessa fysiikassa hiukkasten liikettä kuvataan mekaniikan ja aaltojen optiikan avulla Mikromaailmassa ei tunneta hiukkasia tai aaltoja: elektroni käyttäytyy hiukkasen tai aallon tavoin sähkömagneettinen säteily aallon tai hiukkassuihkun tavoin 6

7 .1. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT Vuonna 1864 James Clerk Maxwell: Kiihdytetyt varatut hiukkaset aiheuttavat sähkömagneettisia häiriöitä, jotka etenevät avaruudessa. Sähkö- ja magneettikentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan sekä kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan Faraday: muuttuva magneettikenttä indusoi sähkövirtaa. Maxwell: muuttuvaan sähkökenttään liittyy magneettikenttä (hankala mitata, perustui symmetriaan) 7

8 James Clerk Maxwell ( ) Syntyi Skotlannissa Opiskeli fysiikkaa ja matematiikkaa Cambridgen yliopistossa Tuli kuuluisaksi, kun osoitti, että Saturnuksen renkaat eivät voi olla kiinteitä tai nestemäisiä vaan koostuvat pienistä hiukkasista Maxwell kuoli vatsasyöpään 48-vuotiaana 1879 samana vuonna kuin Albert Einstein syntyi Maxwellin yhtälöt: Maxwellin yhtälöt kuvaavat sähkömagneettisen kentän käyttäytymistä sekä sen vuorovaikutusta aineen kanssa Maxwell osoitti, että sähkömagneettiset aallot etenevät nopeudella: 1 8 c m / s Vuonna 1865 Maxwell kirjoitti: 0 0 Tämä nopeus on niin liki valonnopeutta, että on hyvä syy ajatella, että valo itse (sisältäen lämpösäteilyn ja muut säteilyt) on sähkömagneettista häiriötä, joka etenee aaltoina läpi sähkömagneettisen kentän sähkömagneettisten lakien mukaan. 8

9 Vasta Maxwellin kuoleman jälkeen Heinrich Hertz osoitti kokeellisesti sähkömagneettisten aaltojen olemassaolon. Koejärjestely: Jännite kahden metallipallon väliin kipinä Vastaanottimena johdin silmukka, jossa pieni väli. Sähkömagneettiset aallot aiheuttavat kipinöitä vastaanottimeen 9

10 Sähkömagneettisen säteilyn spektri Näkyvä valo 4.3x x10 14 Hz Sähkömagneettisten aaltojen ja aineen vuorovaikutus riippuu aaltojen taajuudesta. 10

11 Sähkömagneettisille aalloille pätee samat säännöt kuin mekaanisille aalloille. Superpositioperiaate: Kun kaksi tai useampia aaltoja on samassa pisteessä samaan aikaan, summa-aallon amplitudi on yksittäisten aaltojen amplitudien summa Aallot kumoutuvat tai vahvistuvat osittain tai kokonaan Jos aalloilla eri taajuudet ja/tai eri vaihe, interferenssi on monimutkaisempi. 11

12 Thomas Young osoitti valoaaltojen interferenssin. Konstruktiivinen interferenssi = kirkkaat juovat aaltojen kulkema matka on sama tai eroaa kokonaisilla aallonpituuksilla λ, λ, 3 λ, Destruktiivinen interferenssi = tummat juovat aaltojen kulkemat matkat eroavat parittomien aallonpituuden puolikkaiden verran λ/, 3 λ/, 5 λ/,. Youngin koe osoitti, että valo on aaltoliikettä; Maxwellin teoria selitti, että valo on sähkömagneettisia aaltoja 1

13 .. MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY Hertzin kokeiden jälkeen vaikutti selvältä, että valo on sähkömagneettisia aaltoja, jotka noudattavat Maxwellin yhtälöitä. Teoria ei kuitenkaan selittänyt täysin kappaleiden säteilyä. Metalli hehkuu punaisesta keltaisen kautta valkoiseen kun sitä kuumennetaan (se säteilee myös muita aallonpituuksia, joita silmä ei pysty havaitsemaan) Kaikki kappaleet säteilevät, mutta huoneen lämpötilassa infrapunasäteilyn alueella, jolloin silmä ei sitä pysty havaitsemaan. Kappaleen säteily liittyy läheisesti kappaleen kykyyn absorboida energiaa. Kun kappale on termisessä tasapainossa ympäristön kanssa, se emittoi (eli lähettää) ja absorboi (eli imee itseensä) saman määrän säteilyä. Mustaksi kappaleeksi kutsutaan kappaletta, joka absorboi kaiken siihen kohdistuvan säteilyn. 13

14 Mustaa kappaletta voidaan mallintaa ontolla kappaleella, jossa on hyvin pieni reikä. Musta kappale absorboi: sisään menevä säteily heijastuu seinistä kunnes se on kokonaan absorboitunut. ja emittoi: Kun kappaletta lämmitetään, sen seinät emittoivat säteilyä, joka tulee ulos aukosta. Kun mustaa kappaletta lämmitetään, se säteilee enemmän kun se on kuuma (säteilyn intensiteetti kasvaa) säteilyspektrin maksimi siirtyy korkeammille taajuuksille lämpötilan kasvaessa Auringon lämpötilassa (5700 K) suurin osa sen säteilystä on näkyvän valon alueella - ihmisen silmä on kehittynyt herkemmäksi auringon säteilyn maksimitaajuuksille. 14

15 Sovelluksia: Valaistus kuumat filamentit säteilevät valkoista valoa Auringon lämpösäteily aurinkokennot, lämmitys Lämpökamerat (eksyneiden etsintä, lämpövuodot rakennuksista) Astrofysiikka (alkuräjähdyksestä jäljellä taustasäteily) MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILYSPEKTRI Säteilyä onton kappaleen sisällä voidaan kuvata seisovilla sähkömagneettisilla aalloilla, joiden solmupisteet ovat onkalon seinillä (riippumatta suunnasta) Seisovien aaltojen lukumäärä taajuusvälillä f - df tilavuusyksikössä (johdetaan Kappaleen leveys = L kirjan kappaleessa 9, ei käydä tässä läpi): λ = L/ λ = L/3 λ = L λ= L G( f ) df 8f c 3 Lukumäärä on riippumaton kappaleen muodosta. df Mitä suurempi taajuus, sitä lyhyempi λ ja enemmän mahdollisia seisovia aaltoja. 15

16 Määritetään jokaisen aallon keskimääräinen energia: Jokainen seisova aalto kappaleen sisällä liittyy oskilloivaan sähkövaraukseen kappaleen seinässä. Yksidimensioisella harmonisella oskillaattorilla on kaksi vapausastetta, toinen vastaa sen kineettistä energiaa ja toinen potentiaalienergiaa. Ekvipartitioteoreeman mukaan, termisessä tasapainossa, jokaisen systeemin kappaleen keskimääräinen energia jokaista vapausastetta kohti lämpötilassa T on ½ kt (k = Boltzmannin vakio = x 10-3 J/K) Jokaisella aallolla kappaleen sisällä on siis keskimääräinen energia kt ja Säteilyn kokonaisenergia= aallon keskimääräinen energia x aaltojen lukumäärä 8f u( f ) df G( f ) df 3 c kt df Rayleigh-Jeansin yhtälö = kaikki mitä klassinen fysiikka pystyy kertomaan mustan kappaleen säteilystä 16

17 8f u( f ) df G( f ) df 3 c kt df Yhtälön mukaan: Kun taajuus kasvaa, säteilyn kokonaisenergia kasvaa suhteessa taajuuden neliöön Ts. kun taajuus kasvaa äärettömän suureksi, myös energia tulisi kasvaa äärettömän suureksi. Kuitenkin säteilyn energiatiheys lähestyy nollaa, kun taajuus kasvaa: Ultraviolettikatastrofi 17

18 Vuonna 1900 Max Planck esitti hyvänä arvauksena säteilylain mustan kappaleen säteilylle: ( 8h f u f ) df 3 hf c e / 3 df 1 kt Joka saadaan kun korvataan aallon keskimääräinen energia kt energian lausekkeella hf h= Planckin vakio = 6.66x10-34 Js hf / kt e 1 Suurilla taajuuksilla hf >> kt, jolloin hf kt e / u( f ) df 0 Pienillä taajuuksilla hf << kt ja hf/kt << 1 e 1 hf / kt 1 1 hf 1 kt 1 kt hf 18 Yleisesti: e x 1 x x! 3 x 3!...

19 Eli pienillä taajuuksilla säteilylaki palautuu Rayleigh-Jeansin yhtälöksi: u( f ) df 8h 3 c f 3 kt hf df 8kT 3 c f df Yhtälö näytti selittävän kokeelliset mittaukset, mutta miksi? Mikä on fysiikka sen takana? Planck esitti hypoteesin, että kappaleen seinässä olevan värähtelijän energia ei ole jatkuva vaan kvantittunut. Ts. värähtelijä luovuttaa ja vastaanottaa energiaa kvanteissa: e n nhf, n 1,,3,... Kun oskillaattori ottaa vastaan energiaa hf:n verran, se hyppää energiatasolta toiselle. Energia määrää kutsutaan kvantiksi. Jokaiselle seisovalle aallolle saadaan siten keskimääräiseksi energiaksi: hf, hf / kt e 1 joka johtaa Planckin säteilylakiin. 19

20 Planckin ajatus oli, että vaikka energia siirtyy kvantteina oskillaattoriin ja sähkömagneettisten aaltojen välillä, sähkömagneettiset aallot käyttäytyvät klassisesti (jatkuva energia). 0

21 ESIMERKKI.1 Äänirautaa voidaan pitää harmonisena oskillaattorina. Ääniraudan värähtelytaajuus on 660 Hz ja värähtelyenergia on 0.04 J. Vertaa ääniraudan energiankvantin suuruutta oranssin valon energiakvantin suuruuteen. Oranssin valon taajuus on 5.00 x Hz. 1

22 Max Planck 1858 Planck syntyi Saksassa akateemiseen sukuun 1874 Opiskeli Münchenin ja Berliinin yliopistoissa pääosin matematiikkaa (fysiikan opettaja Philipp von Jolly: Fysiikka on käytännössä valmis ja jäljellä on vain muutamia täytettäviä aukkoja ) 1879 Väitteli tohtoriksi 1-vuotiaana termodynamiikan toisesta pääsäännöstä 1885 Professorina Kielin ja Berliinin yliopistoissa 1900 Esitteli oman mallinsa energian diskreettisyydestä (eli epäjatkuvuudesta), josta sai Nobelin fysiikan palkinnon Kutsui Albert Einsteinin Berliiniin hänelle räätälöityyn professuuriin Saksan tutkimusseuran johtaja Pyrki estämään politiikan ja tieteen sekoittumisen Saksassa. Natsit kuitenkin saneerasivat tutkimuslaitoksen Planck ei halunnut jäädä johtajaksi vaan erosi tehtävästä Toisen maailmansodan aikana Planck jäi Saksaan, koska katsoi sen olevan Saksan tieteen kannalta parempi vaihtoehto. Yritti taivutella Hitleriä säästämään juutalaisten tiedemiesten hengen ja pyrki estämään juutalaisten professoreiden ja oppineiden erottamisia tuloksetta.

23 Sodan päätyttyä 87-vuotias Planck jatkoi tiedemiehenä ja hänet valittiin kolmannen kerran Berliinin yliopiston teoreettisen fysiikan laitoksen johtoon 1947 Planck kuoli 89-vuotiaana. Max Planckin esikoispoika Erwin Planck osallistui Adolf Hitlerin salamurha-yritykseen heinäkuussa Yritys epäonnistui ja Gestapo teloitti Erwinin tammikuussa

24 .3. VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ Koejärjestely: Tyhjiöputken sisällä kaksi elektrodia, joiden välillä on muutettavissa oleva jännite. Kun elektrodia valaistaan, siitä irtoaa elektroneja. Elektronit havaitaan anodin ja katodin välisenä sähkövirtana. Irronneita elektroneja kutsutaan fotoelektroneiksi ja ilmiötä valosähköiseksi ilmiöksi. Jos elektrodien väliin kytketään kuvan suuntainen jännite, virta lakkaa tietyllä jännitteen arvolla V 0 (pysäytysjännite), joka vastaa fotoelektronien kineettisen energian maksimia. 4

25 Valosähköinen ilmiö voidaan periaatteessa ymmärtää klassisesti: Valoaaltojen kuljettama energia absorboituu metalliin, josta irtoaa elektroneja. Klassisen fysiikan aiheuttamia ongelmia: 1) Ei aikaviivettä saapuvan valon ja irtoavan elektronin välillä Klassisesti: tulisi olla aikaviive, jolloin elektroni kerää aallolta tarpeeksi energiaa irrotakseen. ) Kirkas valo tuottaa enemmän fotoelektroneja kuin himmeä (samalla valon taajuudella), mutta elektronien kineettinen energia pysyy samana Klassisesti: sähkövektorin amplitudi kasvaa kun intensiteetti kasvaa elektronien kineettisen energian tulisi kasvaa 3) Mitä suurempi valon taajuus on, sitä enemmän fotoelektroneilla on kineettistä energiaa ja on olemassa minimitaajuus, jonka alapuolella elektroneja ei irtoa. Klassisesti: ilmiö voi tapahtua millä tahansa taajuuden arvolla kunhan valo on tarpeeksi intensiivistä 5

26 Einsteinin valon kvanttiteoria selitti valosähköisen ilmiön: Sähkömagneettisen säteilyn energia on lokalisoitunut fotoneiksi, joiden energia on hf. 1) Ei aikaviivettä saapuvan valon ja irtoavan elektronin välillä -sähkömagneettisen säteilyn energia on keskittynyt paketteihin, fotoneihin ) Kirkas valo tuottaa enemmän fotoelektroneja kuin himmeä (samalla taajuudella), mutta elektronien kineettinen energia pysyy samana - jokaisella fotonilla, joilla on sama taajuus, on sama energia, valon intensiteetin kasvaessa fotoelektronien lukumäärä kasvaa (ei niiden energia) 3) Mitä suurempi valon taajuus on, sitä enemmän fotoelektroneilla on kineettistä energiaa ja on olemassa minimitaajuus, jonka alapuolella elektroneja ei irtoa. - mitä korkeampi taajuus, sitä enemmän fotonilla on energiaa luovuttaa fotoelektronille - täytyy olla minimienergia, jolla fotoelektroni irtoaa (mutta elektronille ei jää kineettistä energiaa) 6

27 hf 0, Minimienergia: jossa f 0 on säteilyn minimitaajuus Minimienergiaa kutsutaan metalleilla irrotustyöksi ja atomeilla sidosenergiaksi. Esimerkkejä metallien irrotustöistä: Metalli Cesium Kalium Natrium Litium Kalsium Kupari Hopea Platina Irrotustyö 1.9 ev. ev.3 ev.5 ev 3. ev 4.7 ev 4.7 ev 6.4 ev Vapaille atomeille ionisaatioenergiat ovat noin kaksinkertaisia verrattuna vastaavan alkuaineen kiinteän olomuodon irroitustöille. Näkyvän valon alue x Hz vastaa energioita ev, joten valosähköinen ilmiö metalleilla tapahtuu näkyvän ja ultraviolettivalon alueella. 7

28 Jos säteilyn fotonin energia on suurempi kuin irrotustyö/atomin ionisaatioenergia, loput fotonin energiasta siirtyy fotoelektronin kineettiseksi energiaksi: hf E Kin Tulevan fotonin energia Irrotustyö Fotoelektronin kineettinen energia Tästä voidaan laskea fotoelektronin kineettinen energia: E Kin hf hf hf 0 f h( f ) 0 Valosähköisen ilmiön sovelluksia: Valoilmaisimet (myös silmä) perustuvat fotonien absorboitumiseen ja elektronien emissioon Fotoelektronispektroskopia Irrotustyöt/ionisaatioenergia on aineelle ominainen suure. Aineen kemiallinen ympäristö vaikuttaa irrotustyön/ ionisaatioenergian suuruuteen kemiallinen analyysi 8

29 Valosähköisen ilmiön sovelluksia: Valoilmaisimet (myös silmä) perustuvat fotonien absorboitumiseen ja elektronien emissioon Fotoelektronispektroskopia Irrotustyöt/ionisaatioenergia on aineelle ominainen suure. Aineen kemiallinen ympäristö vaikuttaa irrotustyön/ionisaatioenergian suuruuteen -> kemiallinen analyysi 9

30 ESIMERKKI. Alumiinipintaa valaistaan valolla, jonka aallonpituus on 000 Å (1Å=1x10-10 m). Irrotustyö alumiinille on 4. ev. Mikä on a) nopeimman b) hitaimman emittoituneen fotoelektronin kineettinen energia? c) Mikä on pysäytysjännitteen suuruus? d) Jos levyyn osuvan valon intensiteetti on.0 W/m, mikä on pinnalle aikayksilössä pinta-alayksikköä kohti osuvien fotonien keskimääräinen lukumäärä? 30

31 .4. VALO? AALTOJA? Maxwell esitti, että valo on sähkömagneettisia aaltoja. Einsteinin mukaan valo koostuu kvanteista. Onko valo siis: Aaltoja vai hiukkasia? Aaltoteoria: Jatkuva energiajakauma -ei selitä valosähköistä ilmiötä Hiukkasteoria: Yksittäiset fotonit -ei selitä valon taipumista ja interferenssiä (mutta säteilyn taajuus tarvitaan energian laskemiseksi) 31

32 Ensimmäisen kerran tarvitaan kaksi teoriaa selittämään yksi ilmiö. Valo käyttäytyy aallon tavoin liikkeessä ja hiukkasen tavoin vuorovaikutuksessa aineen kanssa. Aalto- ja kvanttiteoria täydentävät toisiaan. 3

33 .5. RÖNTGENSÄTEILY 1895 Wilhelm Röntgen löysi röntgensäteet syntyvät kun elektronit törmäävät materiaaliin hyvin läpitunkevia säteitä kulkevat suoraan eivätkä ne vuorovaikuta sähkö- tai magneettikentän kanssa valottavat valokuvauslevyt Röntgensäteilyn aallonpituus noin nm Röntgensäteily on käänteinen ilmiö valosähköiselle ilmiölle: elektronit luovuttavat energiansa hidastuessaan Kuumennetulta katodilta irtoaa elektroneja. Elektronit kiihdytetään tuhansien volttien jännitteellä. Elektronit törmäävät anodiin ja syntyy säteilyä. 33

34 Tyypillinen röntgenspektri: Klassisen sähkömagnetismin teorian mukaan kiihtyvässä liikkeessä olevat varatut hiukkaset lähettävät sähkömagneettista säteilyä. Klassinen teoria ei kuitenkaan pysty selittämään kokonaan röntgenspektrin rakennetta: Spektreissä näkyy jatkuvan spektrin lisäksi teräviä intensiteettipiikkejä, joiden energia riippuu röntgenputken anodimateriaalista. Jatkuva spektri syntyy hidastuvien elektronien lähettämästä säteilystä. Terävät intensiteetti piikit syntyvät anodiatomien elektronien uudelleen järjestäytymisestä (tästä lisää myöhemmin). 34

35 Elektronien energiasta (eli kiihdytyspotentiaalista) riippuen saadaan säteilylle erilainen intensiteettijakauma aallonpituuden funktiona. Jokaista elektronin energiaa vastaa aallonpituuden minimi λ min, joka riippuu vain jännitteestä ei anodimateriaalista. Duane ja Hunt löysivät kokeellisesti min V m V kiihd. Anodiin törmätessään elektronit luovuttavat energiansa yhdessä tai useissa törmäyksissä anodin atomien kanssa. Jatkuva spektri syntyy, koska yksittäinen elektroni voi luovuttaa törmäyksessä energiaa eri määriä eli syntyy fotoneita useilla energioilla. 35

36 Lyhin aallon pituus tulee silloin, kun törmäävä elektroni luovuttaa koko kineettisen energian yhdessä törmäyksessä. E e Ve hc min min hc Ve Vkiihd. 6 Vm Anodi kuumenee: anodimateriaalilla tulee olla korkea sulamispiste anodilla yleensä jäähdytys (pyörivä anodi, vesijäähdytys) Sovelluksia: Läpivalaisu: lääketiede tekniikka valmistus ja kulumaviat, murtumat turvatarkastukset Tutkimus fotonilähde 36

37 Wilhelm Röntgen 1845 Wilhelm syntyi Lennepissä, Saksassa, räätälin pojaksi, kasvoi Alankomaissa. 186 Aloitti Utrechtin tekniseen kouluun, josta hänet erotettiin opettajasta tehdyn pilapiirroksen takia 1865 Pääsi aloittamaan opinnot Zürichin teknillisessä korkeakoulussa puuttuvasta todistuksesta huolimatta 1868 Valmistui insinööriksi ja 1869 tohtoriksi Professorina Hohenheimin maatalousakatemiassa, Strassbourgissa, Giessenissä, Würzburgissa 1895 Löysi röntgen säteet, joista 1901 fysiikan ensimmäinen Nobel palkinto 1900 Professoriksi Münchenin yliopistoon, jossa toimi eläkkeelle jäämiseen saakka 193 Kuoli suolistosyöpään, mutta ilmeisesti ei röntgensäteilyn seurauksena käytti lyijysuojia kokeissaan. Testamentissaan hän toivoi kaiken kirjeenvaihdon ja tieteellisten papereidensa tuhoamista ja näin tehtiin. 37

38 Säteilysuojausta tai sitten ei. Ensimmäinen kone rakennettiin noin 194 Käyttöä alettiin rajoittamaan 50-luvulla käytössä kuitenkin 1970 luvulle Vaikka säteilyannokset olivat suhteellisen suuria yhtään kenkäkauppiaiden asiakkaiden raportoimaa vahinkoa ei tunneta (tosin yhden kenkämallin jalka piti amputoida ja yksi kenkäkauppias sai iho-oireita) 38

39 ESIMERKKI.3 Mikä on röntgensäteilyn lyhin aallonpituus, kun elektronien kiihdytyspotentiaali on V? 39

40 .6. RÖNTGENSÄTEILYN DIFFRAKTIO - tapa määrittää röntgensäteiden aallonpituus Kun säteily kohtaa atomin, osa tulevista aalloista siroaa ts. atomi absorboi tulevat aallot ja emittoi saman taajuuden palloaaltoja. Vakiosähkökentässä atomi polarisoituu siitä syntyy sähködipoli Muuttuvassa sähkökentässä atomi alkaa värähdellä kentän taajuudella ja lähettää säteilyä samalla taajuudella Kiteessä atomit ovat järjestäytyneet säännöllisen välimatkan päähän toisistaan syntyy kidetasoja Kun säteily kohtaa kiteen, se siroaa joka suuntaan kiteen sisällä. 40

41 Kiteessä tiettyihin suuntiin sironneet aallot interferoivat konstruktiivisesti, osassa suuntaa destruktiivisesti. Säde 1 Atomi A Säde 1 siroaa atomista A ja säde atomista B. Säde Konstruktiivinen interferenssi tapahtuu kun säteet ovat samansuuntaiset ja niiden kulkema matkaero on aallonpituuden kokonainen monikerta λ, λ, 3λ, Atomi B Säteiden kulkema matkaero (kuvasta) on d sinθ, joten saadaan Braggin laki: n d sin n 1,, 3,... (konstruktiivinen = vahvistava) 41

42 Röntgenspektrometri Säteily ohjataan raon kautta kiteelle kulmassa θ, samaan kulmaan asetetaan detektori. Kun kulmaa θ muutetaan, detektorin havaitsema säteily noudattaa Braggin lakia. Kun kidetasojen välimatka d tunnetaan, voidaan säteilyn aallonpituus λ määrittää (tai päinvastoin). 4

43 ESIMERKKI.4 Monokromaattista valoa, jonka aallonpituus on 5.4Å, suunnataan kiteeseen. Ensimmäisen kertaluvun diffraktiomaksimi havaitaan 10 asteen kulmalla tulevaan säteilyyn nähden. Mikä on kidetasojen välinen etäisyys? 43

44 ESIMERKKI.5 Kalsiitti-kiteen (CaCO 3 ) atomitasojen välinen etäisyys on nm. Mikä on pienin kulma, joka toteuttaa Braggin ehdon, kun kiteeseen kohdistetaan röntgensäteilyä, jonka aallonpituus on nm? 44

45 .7. COMPTON ILMIÖ Kvanttiteorian mukaan fotonit käyttäytyvät kuten hiukkaset, paitsi niillä ei ole lepomassaa. Kun fotoni törmää levossa olevaan elektroniin, osa sen energiasta siirtyy elektronin kineettiseksi energiaksi (fotoni siroaa elektronista). Energia säilyy: hf hf ' E kin Myös liikemäärän tulee säilyä: (Kun fotonin energia muuttuu, sen taajuus muuttuu.) Alussa Massattoman hiukkasen liikemäärä (tästä enemmän kirjan kappaleessa 1) p E c hf c Elektronin liikemäärä on alussa 0. Lopussa Liikemäärä fotonin tulosuunnassa: hf ' sin psin c ja kohtisuorassa hf ' cos p cos c 45

46 Joten liikemäärän säilymislaista saadaan: hf c hf ' 0 cos c hf ' 0 sin c p cos p sin (x-akselin suunta) (y-akselin suunta) Laskuharjoitus, tehtävä 3, tuloksena saadaan: Comptonin sironta: h ' 1 cos m c 0 Comptonin sironnassa säteilyn aallonpituuden muutos riippuu vain säteilyn sirontakulmasta ei säteilyn alkuperäisestä aallonpituudesta Hiukkasille voidaan laskea ns. Comptonin aallonpituus: C h m c 0 46

47 .5 Comptonin sironta eri kulmilla: Δλ ' 1cos c Δλ vaihtelee välillä 0 - λ c Kulma (rad) Röntgensäteet menettävät energiansa pääosin Compton sironnan avulla, mutta ilmiötä ei juuri tapahdu näkyvän valon aallonpituuksilla. 47

48 Compton sironnan kokeellinen todistus: Mitataan sironneen säteilyn aallonpituuksia eri kulmilla. Havaitaan myös aallonpituudeltaan muuttumattomia fotoneja, jotka aiheutuvat törmäyksistä atomin sidottujen elektronien kanssa. Atomin massa on suuri, aallonpituuden muutos on hyvin pieni ja sitä ei havaita. 48

49 ESIMERKKI.6 Röntgensäteet, joiden aallonpituus on 0.0 pm törmäävät elektroniin. a) Mikä on 45 kulmaan sironneiden säteiden aallonpituus? b) Mikä on sironneiden säteiden maksimiaallonpituus? c) Mikä on sironneiden elektronien maksimi kineettinen energia? 49

50 .8. PARINMUODOSTUS Fotoni voi luovuttaa elektronille kaiken energiansa (valosähköinen ilmiö) tai osan siitä (Compton sironta). Fotonin energia voi myös muuttua elektroniksi ja positroniksi kun fotoni vuorovaikuttaa atomiytimen kanssa = parinmuodostus Varaus säilyy: elektroni -e ja positroni +e Energia säilyy: fotonin energia = elektronin lepomassa + positronin lepomassa (+ E kin ) Liikemäärä säilyy: atomin ydin ottaa vastaan osan liikemäärästä (ja mitättömän osuuden energiasta, koska sen massa on hyvin suuri verrattuna elektronin massaan) Parinmuodostusta ei voi tapahtua vapaassa tilassa. 50

51 ESIMERKKI.7 Osoita, että parinmuodostusta ei voi tapahtua vapaassa tilassa. 51

52 Elektronin ja positronin lepomassa m 0 c = 0.51 MeV, joten parinmuodostus vaatii energiaa vähintään 1.0 MeV Tämä vastaa fotonin aallonpituutta 1. pm, joka on gammasäteilyä. Voi esiintyä kosmisessa säteilyssä sekä radioaktiivisessa säteilyssä. Jos energiaa on enemmän, se siirtyy elektronin ja positronin kineettiseksi energiaksi. 5

53 ESIMERKKI.8 Fotoni, jonka aallonpituus on nm, aineellistuu elektronipositronipariksi. Kuinka suuri on syntyneen parin liike-energia yhteensä? 53

54 Pariannihilaatio: Pariannihilaatio on vastakkainen ilmiö parinmuodostuksen kanssa: positroni ja elektroni yhtyvät ja vapautuu kaksi gammakvanttia: e + + e - = γ + γ yhden gammakvantin energia = 0.51 MeV ja puolet kineettisestä energiasta, joka oli hiukkasten massakeskipisteellä Gammakvanttien suunnat ovat siten, että sekä energia että liikemäärä säilyvät pariannihilaatio voi siis tapahtua vapaassa tilassa. 54

55 .9. FOTONIN ABSORPTIO - KOOSTE Fotoelektroni Valosähköinen ilmiö: hf E kin Comptonin sironta: ' h m c 0 1 cos Parinmuodostus: hf 1.0 MeV hf m0c 1 Matalilla fotonienergioilla valosähköinen ilmiö on hallitseva, fotonin energian kasvaessa Comptonin sironnan osuus kasvaa. Kun Z kasvaa, valosähköinen ilmiö hallitsee pidemmälle (elektroniverho kasvaa) m M Suurilla energioilla parinmuodostus, alkaa aikaisemmin Z:n kasvaessa, koska rekyyliin liittyvä termi (m/m) pienenee. 55

56 Fotonisuihkun absorboituessa suihkun intensiteetti pienenee: di I dx μ = lineaarinen absorptiokerroin Lineaarinen absorptiokerroin riippuu säteilyn energiasta ja absorboivan materiaalin ominaisuuksista. Integroimalla saadaan säteilyn intensiteetille I x I 0 e x ln( I 0 / I) Säteilyn intensiteetti pienenee eksponentiaalisesti x = absorboivan kerroksen paksuus Esimerkki: Lyijyn absorptiokerroin eri fotonienergioilla. 56

57 Sovelluksia: Säteilysuojaus syynä säteilyn biologiset vaikutukset Röntgenlaitteiden suojaus lääketieteessä Reaktoreiden suojaus ydintekniikassa Aurinkovoiteet auringon UV-säteille Ilmakehän suojaus - otsonikerros 57

58 ESIMERKKI.9 Lineaarinen absorptiokerroin vedelle on 4.9 m -1 kun fotonien energia on.0 MeV. a) Mikä on säteilyn suhteellinen intensiteetti sen kuljettua vedessä 10 cm matkan? b) Kuinka pitkän matkan säteily kulkee vedessä ennen kuin sen intensiteetti on pienennyt prosenttiin alkuperäisestä intensiteetistä? 58

59 3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 194: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen tavoin. Fotonin liikemäärä: ja aallonpituus: h p p hf c h De Broglien hypoteesin mukaan λ=h/p pätee sekä hiukkasille että aalloille. Hiukkasten liikkeeseen liittyy siis aaltoliike, jonka aallonpituus h p h mv m0 m on hiukkasen relativistinen massa m 1 v / c 59

60 Kuten sähkömagneettisten aaltojenkin tapauksessa, hiukkasten aaltoja hiukkasominaisuuksia ei havaita yhtä aikaa vaan ne esiintyvät eri tilanteissa. Aaltoluonteen havaitseminen riippuu mittalaitteen dimensioista. De Broglie päätyi aineaaltoihin Bohrin atomimallista (käsitellään myöhemmin), jossa vain kvantittuneet energiatilat ovat mahdollisia. Aineaallot havaittiin elektronien diffraktiossa kiteestä (käsitellään myöhemmin). 60

61 ESIMERKKI 3.1 Laske de Broglie aallonpituudet a) 46 g painavalle golf pallolle, jonka nopeus on 30 m/s b) elektronille, jonka nopeus on 10 7 m/s 61

62 ESIMERKKI 3. Mikä on protonin kineettinen energia, jos de Broglie aallonpituus on 1.000x10-15 m (noin protonin halkaisija)? 6

63 3.. AALLON KUVAAMINEN Miten nopeasti hiukkaseen liittyvät aallot liikkuvat? Onko liikkuvaa hiukkasta kuvaavan de Broglie aallon nopeus sama kuin hiukkasen nopeus? De Broglie aallon nopeus voidaan määrittää. v p = fλ = mc h h mv = c v Koska ja λ = h mv = de Broglie aallonpituus E = hf = mc f = mc h Koska aina hiukkasen nopeus v < c, de Broglie aallon vaihenopeus > c de Broglie aallot kulkevat valoa nopeammin voidaanko siis havaita valoa nopeampia aaltoja? 63

64 Hieman aaltoliikeoppia tähän väliin: Tarkastellaan yksinkertaista aaltoa, jonka maksimi arvo y-akselilla on +A (= aallon amplitudi) ja se saavuttaa sen paikassa x = 0 ajanhetkellä t = 0. Ajan kuluessa seuraavat y-akselin arvot saadaan yhtälöstä: y Acos f t A t=0 t Yhtälö kertoo aallon yksittäisen pisteen paikan ajan funktiona y-akselin suunnassa. Tahdomme kuitenkin yhtälön, joka kertoo y:n arvon jokaisessa pisteessä x eri ajanhetkinä

65 Ravistetaan köyttä: Aalto lähtee etenemään köydessä +x suuntaan nopeudella v p. Nopeus riippuu köyden ominaisuuksista. Aalto liikkuu ajan t kuluessa matkan x = v p t ts. aikavälin x/v p jälkeen aalto kohdassa x y:n arvo pisteessä x ajanhetkellä t = y:n poikkeama pisteessä x=0 ajanhetkellä t = - x/v p. Sijoitetaan y:n yhtälöön t:n paikalle (t - x/v p ) y Acos f t x v p 65 65

66 66 x t f Acos y Aaltoyhtälö saadaan muotoon: joka antaa y:n arvon eri x ja t arvoilla. Määritetään: Kulmataajuus ω = πf Aaltoluku k = π λ = ω v p ja saadaan aaltoyhtälö muotoon p p p p f k f f v v v v t kx Acos y 66 x t f f f x t f f x t f x t f p p A cos A cos v A cos v A cos y Muokataan vähän yhtälöä: Sij. v p =fλ

67 3.3. TODENNÄKÖISYYSKÄSITE de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää siihen liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä hetkellä. Liikkuvaan hiukkaseen liittyy aaltofunktio ψ, jolla ei ole fysikaalista vastinetta vaan aaltofunktio on abstrakti käsite. (tätä tullaan käsittelemään paljon myöhemmin) Aaltofunktio liittyy todennäköisyyteen löytää liikkuva hiukkanen x,y,z-avaruuden tietystä pisteestä hetkellä t. Kuitenkin aaltofunktion amplitudi voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, joten sellaisenaan se ei toimi todennäköisyytenä vaan todennäköisyys löytää hiukkanen, jota kuvaa aaltofunktio ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on verrannollinen aaltofunktion neliöön ψ Jos ψ on suuri todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on suuri Jos ψ on pieni todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on pieni Jos ψ 0 on todennäköisyys hiukkasen löytymiselle Jos ψ = 0 hiukkanen ei voi olla pisteessä (x,y,z) ajanhetkellä t 67

68 Vaikka sanotaan, että aaltofunktio kuvaa hiukkasen levinneisyyttä avaruudessa, se ei tarkoita, että hiukkanen itsessään olisi hajonnut avaruuteen. Mitatessa elektroneja, saadaan aina mitattua kokonainen elektroni tietyssä paikassa tietyllä hetkellä (esim. 0% todennäköisyys havaita koko elektroni, ei havaita 0% elektronista) Jos suurella hiukkasjoukolla on sama aaltofunktio ψ, hiukkastiheys on verrannollinen aaltofunktion neliöön ψ. 68

69 3.4. AALLON VAIHE- JA RYHMÄNOPEUS de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää hiukkanen tietystä paikasta tietyllä hetkellä. Kuitenkin yleinen aaltoyhtälö y Acos t kx kuvaa päättymätöntä sarjaa aaltoja, joilla on sama amplitudi. Sillä ei voi kuvata hiukkasen de Broglie aaltoa. Sen sijaan ajatellaan, että liikkuvaa hiukkasta vastaa aaltopaketti tai aaltoryhmä: Matemaattisesti aaltoryhmä on yksittäisten interferoivien aaltojen summa. Ryhmänopeus = aaltoryhmien nopeus 69 69

70 Aallon ryhmänopeus v g voidaan johtaa tarkastelemalla kahden aallon y 1 = A cos(ωt kx) y = A cos ω + Δω t k + Δk x summa-aaltoa. Aalloilla on sama amplitudi A ja niiden kulmataajuuksien ero on Δω ja aaltolukujen ero on Δk. Summa-aalto saadaan sievennyksien jälkeen muotoon: y = A cos ωt kx cos 1 Δωt Δkx Summa-aallon ensimmäinen osa on saman muotoinen kuin alkuperäiset aallot ja jälkimmäinen osa on moduloiva osa, joka aiheuttaa ryhmät Vaihenopeus v p = ω k Ryhmänopeus v g = Δω Δk Kun ω ja k ovat jatkuvia, ryhmänopeus: g d dk Riippuen vaihenopeuden ja aaltoluvun erosta, ryhmänopeus voi olla pienempi tai suurempi kuin osa-aaltojen vaihenopeus. Jos vaihenopeus on sama kaikille aallonpituuksille (kuten valolla tyhjiössä), ryhmä- ja vaihenopeus ovat samat. v 70 70

71 ESIMERKKI 3.3 Määritä ryhmä- ja vaihenopeus de Broglie aalloille

72 Yhteenveto: Hiukkasen liikettä kuvaa aaltoryhmän liike. Ryhmä muodostuu äärettömästä määrästä yksittäisiä aaltoja. Yksittäisen aallon nopeus voi olla suurempi kuin valonnopeus. Yksittäisen aallon nopeutta ei voida havaita. Voidaan havaita paikallisen häiriön, aaltoryhmän nopeus, joka on v g < c 7

73 ESIMERKKI 3.4 Elektronin de Broglie aallonpituus on.00 pm. Mikä on sen kineettinen energia? Laske myös de Broglie aallon vaihe- ja ryhmänopeudet? 73 73

74 ESIMERKKI 3.5 Osoita, että jos liikkuvan hiukkasen kokonaisenergia on selvästi suurempi kuin sen lepoenergia, sen de Broglie aallonpituus on lähes sama kuin fotonilla, jolla on sama kokonaisenergia

75 3.5. HIUKKASTEN DIFFRAKTIO De Broglie aaltojen olemassa olo eli materialististen hiukkasten aaltoluonne todistettiin Davisson-Germerin kokeella 197. Elektronisuihku kiihdytetään ja sillä pommitetaan kidettä. Elektronit siroavat kiteestä detektorille, jolla havaitaan sironneet elektronit eri kulmilla. Klassisen fysiikan mukaan elektronit voivat sirota kaikkiin suuntiin. Davisson ja Germer havaitsivat (vahingossa) kuitenkin kuumennetulta puhtaalta nikkelipinnalta voimakkaan sironnan tiettyyn kulmaan. Kulma riippui elektronien energiasta

76 Kuumennus aiheuttaa nikkelin rakenteen muuttumisen useampiin yksittäiskiteisiin, joista elektronit siroavat (kuten rtg-säteet kiteestä). Braggin laista voidaan laskea elektronin aallonpituus, joka vastaa hyvin de Broglien aallonpituutta: Davisson-Germerin koe todistaa de Broglien hypoteesin liikkuvien hiukkasten aaltoluonteesta! 76

77 ESIMERKKI 3.6 Kidettä, jonka kidetasojen välinen etäisyys on 1.1Å, pommitetaan neutroneilla, joiden kineettinen energia on ev. Missä kertaluvuissa heijastuksia havaitaan? 77

78 Sovellus: Elektronioptiikka Mikroskoopin erotuskyky on aallonpituuden suuruusluokkaa ~1 nm Elektronimikroskoopilla päästään parempaan erotuskykyyn, koska hiukkasten aallonpituutta voidaan helposti muuttaa kiihdytysjännitettä muuttamalla erotuskyky paranee aallonpituuden pienentyessä. Elektronien varaus mahdollistaa magneettiset linssien rakentamisen. Sovellukset: solubiologia, lääketiede, metallurgia Oulun yliopistossa toimii Mikroskopian ja nanoteknologian keskus Tarjoaa puhdastila-, tutkimus- ja analyysipalveluja yliopiston laitoksille ja elinkeinoelämälle. Keskuksella on käytössään useita pyyhkäisyelektronimikroskooppeja (SEM) ja läpäisyelektronimikroskooppi 78 78

79 Elektronimikroskooppikuvia Kuvaaja: Raija Peura, alkuperäiset kuvat mustavalkoisia, väritys Raija Peura) Sääsken silmä Vaaksiaisen ihoa 79

80 3.6. HIUKKANEN LAATIKOSSA Rajoitetaan liikkuvan hiukkanen laatikkoon, jonka leveys on L. Liikkuvan hiukkasen aaltoluonne vaikuttaa hiukkasen liikkeeseen. Tarkastellaan hiukkasen liikettä: Oletetaan, että hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään seiniin. Oletetaan, että hiukkasen nopeus on niin pieni, ettei relativistisuutta tarvitse huomioida. Käsitellään tapausta tarkemmin myöhemmin, tehdään nyt vain karkea analyysi: Aaltoluonteen näkökulmasta hiukkanen on kuin seisova aalto, jonka solmukohdat ovat laatikon seinillä. Seinillä aaltofunktio ψ =0, koska aalto pysähtyy niissä. Hiukkasen mahdolliset de Broglie aallonpituudet riippuvat siis laatikon leveydestä L

81 Pisin aallonpituus λ=l, seuraavat λ=l, λ=l/3, jne. Sallitut aallonpituudet: L n n 1,, 3,... n Tässä mallissa hiukkasella ei ole potentiaalienergiaa, joten hiukkasen kokonaisenergia on: ( mv) m 1 E EKin mv h m Koska mv = h/λ Sijoitetaan tähän sallitut aallonpituudet ja saadaan hiukkasen energiaksi: n h E n n 1,, 3,... 8mL Hiukkasen energia voi siis saada vain tiettyjä arvoja eli energia on kvantittunut E n = energiataso n=kvanttiluku 81 81

82 Yhtälöstä voidaan tehdä kolme johtopäätöstä, jotka pätevät kaikille tiettyyn tilaan rajatuille hiukkasille (myös atomin elektroneille): 1) Hiukkasen energia ei voi saada mitä tahansa arvoja. Mahdolliset energiat riippuvat hiukkasen massasta ja rajatun avaruuden koosta. ) Hiukkasen energia ei voi olla nolla. 3) Energian kvantittuminen on merkittävää vain kun m ja L ovat pieniä. 8 8

83 ESIMERKKI 3.7 a) Laske sallitut energiat 10g marmorikuulalle, joka on 10 cm laatikossa. b) Laske sallitut energiat elektronille, joka on 0.10 nm laatikossa (atomin suuruusluokkaa)

84 3.7. VIELÄ TODENNÄKÖISYYSKÄSITTEESTÄ Hiukkanen (jota kuvaa aaltoryhmä), voi sijaita missä tahansa ryhmän sisällä. de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää siihen liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä hetkellä. Todennäköisyys löytää hiukkanen, jota kuvaa aaltofunktio ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on verrannollinen aaltofunktion neliöön ψ ψ on suurimmillaan keskellä ryhmää, jossa siis hiukkanen todennäköisimmin on. Se voi kuitenkin sijata missä tahansa, missä ψ 0. 84

85 ESIMERKKI 3.8 Elektroni on yksiulotteisessa potentiaalilaatikossa, joka rajoittaa sen liikkeen x-akselin välille [0,a]. Mikä on todennäköisyys sille, että alimmalla energiatilalla oleva elektroni on välillä [0, a/3]? Perustilaa kuvaava aaltofunktio on muotoa φ x = a 1/ sin πx a 85

86 3.8. HEISENBERGIN EPÄTARKKUUSPERIAATE Aaltoryhmän kuvaaman hiukkasen paikan ja liikemäärän mittaus ei ole tarkkaa. Hiukkanen (jota kuvaa aaltoryhmä), voi sijaita missä tahansa ryhmän sisällä (vain todennäköisyys voidaan määrittää, kts. esim. 3.8) Mitä kapeampi aaltoryhmä, sen tarkempi hiukkasen paikka. Silloin kuitenkin aallonpituus tulee epätarkaksi, koska ei ole tarpeeksi aaltoja tarkkaan mittaukseen. Koska aallonpituutta ei saada mitattua tarkasti, myöskään liikemäärä ei ole tarkka. Mitä laajempi aaltoryhmä, sen tarkemmin saadaan määritettyä hiukkasen aallonpituus ja liikemäärä, mutta paikan määritys epätarkka

87 Heisenbergin epätarkkuusperiaate: On mahdotonta tietää tarkasti samaan aikaan hiukkasen paikkaa ja liikemäärää. (Werner Heisenberg 197) Optimitilanteessa, jossa aaltoryhmä on Gaussin funktion muotoinen, voidaan johtaa (kts. kirjan kappale 3.7) aaltoryhmän paikan x ja aaltoluvun k epätarkkuuksille ΔxΔk 1 Koska de Broglie aallonpituus hiukkaselle on λ = h p ja aaltoluku k = π λ saadaan k = πp h p = hk π Δp = hδk π Sijoittamalla edelliseen Δk 1 Δx, saadaan ΔxΔp h 4π = ħ Määritetään ħ = h π (usein käytössä modernissa fysiikassa)

88 Epätarkkuusperiaate saadaan myös hiukkaskuvasta: Jos halutaan mitata kappaleen paikka ja liikemäärä tietyllä hetkellä, mittausmenetelmä vaikuttaa kohteeseen. Vuorovaikutuksesta aiheutuu epätarkkuutta, joka johtaa samaan epätarkkuusperiaatteeseen kuin edellä, vaikka aineen aalto-ominaisuutta ei oteta huomioon. Esim. elektronin näkemiseksi sitä täytyy valaista. Nähdään fotoni, joka siroaa elektronista. Fotoni muuttaa elektronin liikemäärää, tarkkaa muutosta vaikea määrittää, mutta liikemäärän muutos on samaa luokkaa kuin tulevan fotonin liikemäärä p h Mitä suurempi λ, sitä pienempi Δp Hiukkasen paikkaa ei pystytä mittaamaan tarkemmin kuin fotonin aallonpituus: Δx λ Joten Epätarkkuus liittyy liikkuvaan hiukkaseen, ei mittaustapaan! px h 88

89 ESIMERKKI 3.9 Protonin paikka voidaan mitata tarkkuudella ±1.00 x m. Mikä on protonin paikan epätarkkuus 1.00 s jälkeen. Oletetaan, että protonin nopeus on paljon pienempi kuin valonnopeus

90 3.9. EPÄTARKKUUSPERIAATTEEN SOVELTAMINEN Koska h on hyvin pieni, epätarkkuusperiaate koskee vain mikromaailmaa. Epätarkkuusperiaate ei ole vain negatiivista, vaan sen avulla voidaan ymmärtää monta atomitason ilmiötä. Epätarkkuusperiaate koskee myös energiaa ja aikaa. Jos atomaarisessa prosessissa vapautuu sähkömagneettista säteilyä (energiaa) ajan Δt kuluessa, taajuuden määrityksen epätarkkuus f 1 t jolloin energian epätarkkuus on E hf E h t tai Et h Tarkempi käsittely antaa epätarkkuusperiaatteeksi energialle ja ajalle: Et 90 90

91 ESIMERKKI 3.10 Tyypillinen atomin ytimen säde on n. 5x10-15 m. Käytä epätarkkuusperiaatetta määrittämään alaraja energialle, joka täytyy elektronilla olla, jos se on osa atomiydintä. 91

92 ESIMERKKI 3.11 Vetyatomin säde on 5.3x10-11 m. Käytä epätarkkuusperiaatetta ja arvioi mikä on pienin energia, jonka elektroni voi saada tässä atomissa. 9 9

93 ESIMERKKI 3.1 Viritetty atomi voi emittoida säteilyä tietyllä taajuudella (käsitellään myöhemmin). Keskimääräinen aika virityksen ja viritystilan purkautumisen välillä on 1.0x10-8 s. Mikä on emittoituvan fotonin taajuuden epätarkkuus? 93 93

94 4. ATOMI 4.1 ATOMIN RAKENNE YDIN 1800 luvun lopulla useimmat tutkijat jo uskoivat, että materiaalit koostuvat atomeista pienistä jakamattomista osista 1898 J.J. Thomson löysi elektronit ja esitti atomista ns. rusinakakkumallin, jossa elektronien ajateltiin olevan hajallaan positiivisesti varautuneessa aineessa 1911 Hans Geiger ja Ernest Marsden toteuttivat kokeen, jota Rutherford oli ehdottanut (ns. Rutherfordin koe): Radioaktiivisesta aineesta tulevilla alfahiukkasilla pommitettiin kultakalvoa. (Alfahiukkaset ovat helium-atomeita, joista puuttuu elektronit) Mitataan kalvon läpi menneet (ja sironneet) alfa-hiukkaset. 94

95 Thomsonin mallin mukaisesta atomista alfa-hiukkasten olisi tullut mennä suoraan läpi, koska niihin vaikuttaa vain heikot sähköiset voimat (varaus ajateltiin olevan tasaisesti jakautuneena koko atomiin) Havaittiin kuitenkin, että osa hiukkasista siroaa kultakalvosta hyvin suuriin kulmiin, osa jopa takaisin päin. Koska alfa-hiukkaset ovat painavia (noin 8000 x elektronin massa) ja niiden nopeus kokeessa on suuri, vaaditaan hyvin suuria voimia aiheuttamaan hiukkasten sironnan. Rutherfordin selitys kokeelle: Atomin massa on keskittynyt hyvin pieneen, positiivisesti varattuun pisteeseen atomissa = atomiydin Kokeessa siroavat alfa-hiukkaset käyvät lähellä ydintä, josta ne voivat siroata suuriinkin kulmiin Suurin osa atomista on tyhjää - elektronit ympäröivät atomia kaukana ytimestä. (Jos elektronit tiivistyisivät ytimeen, meistä tulisi juuri ja juuri mikroskoopilla havaittavia pisteitä.) 95 95

96 Rutherford johti kaavan eri kulmiin sironneiden alfa-hiukkasten lukumäärälle (atomimallinsa mukaan): 4 ( NintZ e N ) (8 ) r E sin 4 ( / ) 0 K N i = detektorille tulevien elektronien kokonaismäärä n = kalvossa olevien atomien lukumäärä tilavuusyksikössä Z = atomin järjestysluku r = näytekalvon etäisyys detektorista E K = alfa-hiukkasten kineettinen energia t = näytekalvon paksuus Koska N(θ) on kääntäen verrannollinen sin 4 (θ/), N(θ):n kulmariippuvuus on huomattavaa. Vain 0.14% hiukkasista siroaa suurempaan kuin 1 0 kulmaan

97 Rutherfordin sironnan avulla voidaan määrittää ytimen koko Lähimmäksi ydintä pääsevät ne alfa-hiukkaset, joilla on eniten kineettistä energiaa, tulevat kohti ydintä ja siroavat 180 o. Etäisyydellä, jossa alfa-hiukkasen suunta muuttuu, hiukkasen kineettinen energia on yhtä suuri kuin ytimen repulsioenergia E K E P Ze R Alfa-hiukkasen varaus e ja ytimen Ze Eli lähin etäisyys ytimestä, johon alfa-hiukkanen voi päästä on R Ze 4 0E K joka on siis arvio ytimen koolle

98 ESIMERKKI 4.1 Nopeimpien radioaktiivista lähteistä saatavien alfa-hiukkasten kineettinen energia on 7.7 MeV. Laske kullan (Z=79) ytimen koko, kun Rutherfordin kokeessa käytetään näitä alfa-hiukkasia. 98

99 4.. ELEKTRONIRADAT - PLANEETTAMALLI Atomissa on siis pieni, painava ydin, mutta miten sitten ne elektronit? Planeettamallissa positiivista ydintä kiertää negatiiviset elektronit. Elektronien liikkeestä aiheutuva keskipakoisvoima kumoaa ytimen vetovoiman, jotta elektronit pysyvät radallaan. mv r 1 e 4 r 0 Keskipakoisvoima = ytimen vetovoima v e 4 mr 0 eli elektronin nopeus riippuu sen radan säteestä: Elektronin energia on summa sen kineettisestä ja potentiaalienergiasta: E mv E Kin e 4 r 0 E P e 8 r 0 e 4 r 0 e 8 r 0 Tämä on itseasiassa koko vetyatomin kokonaisenergia (jutellaan tästä myöhemmin lisää) 99

100 ESIMERKKI 4. Kokeellisesti voidaan osoittaa, että tarvitaan 13.6 ev energiaa erottamaan vetyatomin elektroni ja protoni toisistaan. Mikä on elektronin nopeus ja radan säde vetyatomissa?

101 Klassinen fysiikka: Kiihtyvässä liikkeessä olevat varatut hiukkaset säteilevät elektronien tulisi lähettää säteilyä ja menettää energiaansa elektronien tulisi kulkea spiraalirataa kohti ydintä, jolloin säteilyn tulisi olla jatkuvaa ja elektronien tulisi törmätä ytimeen Kuitenkaan atomit eivät painu kasaan?!? Klassisen fysiikan käyttökelpoisuus murenee kun lähestytään mikromaailmaa. Rutherfordin malli on klassinen ja soveltuu melko hyvin koska alfahiukkasen ja raskaan ytimen vuorovaikutukselle pätee klassinen tarkastelu. Jos pienet partikkelit kohtaavat, Rutherfordin malli ei enää päde. Bohrin atomimalli kombinoi klassista ja modernia fysiikkaa ja pääsee yli edellä olevista ongelmista

102 4.3. BOHRIN ATOMIMALLI Tarkastellaan Bohrin atomimallia lähtien de Broglie aalloista. Kuvataan vety-ytimen ympärillä kiertävän elektronin aaltoluonnetta de Broglie aallolla mv h 4 mr m e r m h h e v e 4 mr 0 Jos lasketaan em. yhtälöstä aallonpituus vedyn (jonka säteen arvo laskettiin jo aiemmin) elektronille, saadaan λ= 33 x m, joka on sama kuin elektronin radan pituus. Eli vedyllä elektronin radan pituus vastaa yhtä täyttä de Broglie aaltoa. Kun radan pituus = aallonpituuden kokonaismonikerta, syntyy seisova värähtely 10 10

103 Jos aallonpituus on osa kehänpituudesta, eri vaiheessa olevat aallot interferoivat konstruktiivisesti ja värähtely sammuu. Sammunut aalto = ei todennäköisyyttä löytää elektronia Bohrin mallin mukaan elektroni voi olla atomissa vain radalla, jonka pituus vastaa de Broglien aallonpituuden kokonaista monikertaa. Tämä kuva atomista yhdistää elektronin nopeuden sekä aaltoluonteen, mutta ei ole viimeinen kuva atomista. Elektronien sallitut radat: n r n 1,, 3,... n n = kvanttiluku Sijoitetaan tähän aallonpituus e 4 r m h

104 Elektronien sallitut radat: nh e 4 r 0 n r n n 1, m, 3,... josta voidaan laskea elektronien sallittujen ratojen säteet r n n h 0 n 1,, 3,... me Kun n=1, saadaan ns. Bohrin säde a 0 = r 1 =5.9x10-11 m Muut mahdolliset säteet voidaan laskea Bohrin säteen avulla r n n a n 1,, 3,

105 ESIMERKKI 4.3 Laske elektronien radan säteet neljälle alimmalle vetyatomin energia tilalle. 105

106 Pala historiaa: J. J. Thomson sai Nobelin fysiikan palkinnon elektronin hiukkasluonteen löytämisestä 1906 J.J. Thomsonin poika George Paget Thomson sai Nobelin fysiikan palkinnon elektronin aaltoluonteen löytämisestä. Kaiken kaikkiaan seitsemän J.J. Thomsonin tutkimusapulaista saivat uransa aikana Nobelin palkinnon: Charles Glover Barkla 1917 röntgenspektroskopiasta Charles Thomson Rees Wilson 197 sumukammiokeksintö (jolla saadaan varattujen hiukkasten radat näkyviin Ernest Rutherford 1908 kemian nobel aineiden radioaktiivisuustutkimuksista Francis William Aston 19 kemian nobel massaspektroskopiasta Owen Willans Richardson 198 termisen emission tutkimus William Henry Bragg 1915 kidetutkimuksesta Max Born 1954 kvanttimekaniikan statistisesta käsittelystä

107 4.4. VETYATOMIN ENERGIATASOT Kappaleessa 4. määritettiin energia vedyn elektronille, joka kulkee r- säteistä rataa pitkin E e 8 r 0 Jos sijoitetaan tähän kappaleessa 4.3 saatu radan lauseke, systeemin kokonaisenergiaksi saadaan: E E n n e 8 r E n 1 0 n e 8 0 n 1,, 3,... me n h 0 4 me 8n h Energiat ovat negatiivisia kun elektroni on sidottuna atomiin. Energiat antavat atomin ns. energiatasot eri kvanttiluvuilla n. Elektroni voi olla vain jollakin näistä energiatasoista elektronilla ei voi olla mitään muita energioita silloin kun se on sidottu vetyatomiin. 0 n 1,, 3,

108 ESIMERKKI 4.4 Laske vetyatomin neljän alimman energiatason energiat. 108

109 Vapaa elektroni (ionisaatioraja) Viritystilat Perustila Kaikkien atomien energiatasot ovat kvantittuneet samaa kvantittumista on kaikkialla mikromaailmassa. Makromaailmassa energia on jatkuvaa. 109

110 4.5. FRANKIN JA HERTZIN KOE Frankin ja Hertzin koe osoittaa, että atomilla on vain tiettyjä energiatiloja Bohrin mallin mukaisesti. Näytekaasua Koejärjestely: Elektroneja irtoaa termisesti vastuslangasta. Elektronit kiihdytetään vastuslangan ja hilan välisellä jännitteellä V. Osa elektroneista läpäisee hilan ja pääsevät sen takana olevalle levylle, jos elektronien kineettinen energia riittää vastakentän V 0 voittamiseen. Kun jännite V kasvaa, useammat elektronit pääsevät levylle ja myös virta kasvaa

111 Tietyllä jännitteen arvolla, virta yhtäkkiä laskee rajusti. Tämä jännite vastaa tilannetta, että elektronin kineettinen energia riittää virittämään näyteaineen atomin. Seuraava pudotus virrassa tapahtuu, kun sama elektroni virittää jonkun toisen näyteaineen atomin. Saadaan kuvan mukainen jännite-virta-käyrä, josta voidaan määrittää atomin viritysenergia. 111

112 4.6. YTIMEN LIIKE Edellä on ajateltu, että ytimen massa on paljon suurempi kuin elektronin massa. Kuitenkin ytimellä on äärellinen massa, joka aiheuttaa korjauksen elektronin rataan. Ydin ja elektroni liikkuvat massakeskipisteen ympäri, joka sijaitsee lähellä raskaampaa ydintä. Määritetään elektronin redusoitu massa: m' mm m M Käytetään energian laskemisessa elektronin massan tilalta redusoitua massaa: E n 4 m' e 8n h 0 m' E m n

113 Vedylle m' m M M m ovat noin % vähemmän negatiivisia. mikä tarkoittaa, että vedyn energiatilat Rydbergin vakion arvo x 10 7 m -1 korjaantuu arvoksi x 10 7 m -1 Deuterium (ytimessä protoni + neutroni) löydettiin, koska sen H α viivan aallonpituus on 656.1nm, kun se vedylle on 656.3nm. 113

114 ESIMERKKI 4.5 Positronium on systeemi, joka koostuu positronista ja elektronista, jotka kiertävät toisiaan. Mitkä ovat positroniumin mahdolliset energiat? Mikä on Rydbergin vakion arvo positroniumille? Entä mikä on positroniumin ionisaatioenergia?

115 4.7. ATOMIEN SPEKTRIT Spektri: Spektri saadaan mittaamalla aineen emittoiman tai absorboiman säteilyn intensiteetti aallonpituuden (tai taajuuden tai energian) funktiona. Mustan kappaleen säteily on jatkuvaa, koska se on lähtöisin monista atomeista (kollektiivinen käyttäytyminen). Kaasussa atomin säteilemä energia on karakteristista eli ominaista atomilajille tätä klassinen fysiikka ei pystynyt selittämään. Emissiospektri: Johdetaan elektronivirta atomaarisen näytekaasun läpi. Törmäyksissä atomit virittyvät korkeampiin energiatiloihin. Palatessaan takaisin alempiin energiatiloihin, ne emittoivat sähkömagneettista säteilyä, jonka energia on näyteaineelle ominainen. 115 Prisma hajottaa valosta eri taajuudet/aallonpituudet 115

116 Kun elektroni atomissa putoaa ylemmältä viritetyltä tilalta alempaan energiatilaan, energiatasojen välinen energiaero vapautuu fotonina. E i hf E i E f E f Vetyatomille energiatasojen välinen energiaero: hf E i 1 E E 1 f 1 n f 1 E1 ni 1 n i 1 n f λ= c/f 1/ λ=f/c

117 Absorptiospektri: Valkoinen valo kulkee näytekaasun läpi. Läpi tulleesta valosta puuttuu joitain aallonpituuksia. Nämä aallonpituudet pystyvät virittämään näyteatomin ja ne absorboituvat. Aallonpituudet ovat näyteaineelle ominaisia. Spektrisarjat Viime vuosisadan lopulla löydettiin kokeellisesti ensimmäiset spektrisarjat. Kokeellisessa spektrissä huomattiin, että havaittavien viivojen väli lyhenee ja intensiteetti pienenee kun energia kasvaa (eli aallonpituus pienenee). H γ H β =486.3 nm H α =656.3nm 117 λ kasvaa 117

118 Vetyatomin spektrisarjat: Absorptio: Perustilasta n=1 viritetään n=, 3, 4, Emissio: Palataan viritetystä tilasta takaisin perustilaan tai mihin tahansa tilaan n=, 3, 4,

119 Lymanin sarja: Aallonpituudet 1 1 R 1 1 n n,3,4,... ultraviolettialueella R = Rydbergin vakio, vedylle m -1 Balmerin sarja: Aallonpituudet 1 R 1 1 n n 3,4,5,... näkyvän valon alueella n= 3 vastaa H α, n=4 vastaa H β jne. Paschenin sarja: Aallonpituudet 1 1 R 3 1 n n 4,5,6,... infrapuna-alueella Brackettin sarja: Aallonpituudet 1 R n n 5,6,7,... infrapuna-alueella Pfundin sarja: Aallonpituudet 1 1 R 5 1 n n 6,7,8,... infrapuna-alueella

120 ESIMERKKI 4.6 Mikä on vedyn Balmer-sarjan pisin aallonpituus (vastaa H α viivaa)? 10 10

121 ESIMERKKI 4.7 Vetyatomissa elektronin radan säde on mm. Mikä on tilan kvanttiluku? Mikä on silloin vetyatomin energia? 11 11

122 4.8. VASTAAVUUSPERIAATE Mitä suurempi kvanttiluku, sitä lähempänä kvanttifysiikka on klassista fysiikkaa. Tarkastellaan, miten vastaavuusperiaate toimii Bohrin atomimallin tapauksessa. Sähkömagneettisen teorian mukaan ympyrän muotoisella radalla oleva elektroni säteilee sähkömagneettista säteilyä, jonka taajuus on elektronin kiertotaajuus. Lasketaan elektronin kiertotaajuus: kiertotaajuus radan nopeus ympärysmit ta v r 1 r e 4 mr 0 4 e mr 0 3 Radan säde r on riippuvainen kvanttiluvusta n r n n h 0 n 1,, 3,... me 1 1

123 Milloin sitten Bohrin atomi käyttäytyy klassisen fysiikan mukaisesti? Bohrin mallin mukaan atomin kahden energiatason välinen ero on Joten emittoituvan fotonin taajuus on: Tarkastellaan, mitä tapahtuu kun n on hyvin suuri? f n h E h n m e m e h n e m e h mn e me h n m e n Sijoitetaan taajuuden lausekkeeseen ja sievennetään: =elektronin kiertotaajuus atomissa f n f n i h E f i f i n n E E E hf

124 14 Joka on täysin sama kuin klassinen kiertotaajuus kun p=1. Pienillä n:n arvoilla taajuudet eroavat paljon, mutta suurilla n:n arvoilla yhtälöt vastaavat toisiaan. Kun n >> p np p np ja (n-p) n 1 1 ) ( 1 ) ( 1 f p n n p np h E n p n h E Merkitään n i =n ja n f = n-p, p=1,, 3, f n p h E n n np h E

125 ESIMERKKI 4.8 a) Mikä on kiertotaajuus elektroneille Bohrin radoilla n=1 ja n=? b) Mikä on fotonin taajuus, kun se emittoituu atomista elektronin pudotessa n= radalta n=1 radalle? c) Elektroni pysyy viritetyssä tilassa noin 10-8 s ennen kuin se putoaa takaisin alemmalle tilalle. Montako kierrosta elektroni kiertää ytimen ympäri tässä ajassa? 15 15

126 4.9. ATOMIEN VIRITYKSET - ESIMERKKEJÄ Atomien energiatasojen välisiä virityksiä voi tapahtua kolmella eri tavalla: 1) Hiukkastörmäys Viritys tapahtuu kun toinen hiukkanen törmää atomiin ja törmäävän hiukkasen kineettinen energia siirtyy virittyvään atomiin. Viritystila purkautuu fotonin emissiolla. Esimerkkejä: Mainosvalot Elektronivirta johdetaan elektrodien väliin, elektronit virittävät kaasuatomit, jotka purkautuessaan vapauttavat säteilyä. Neon: punainen Elohopea: sinertävä 16 16

127 Revontulet: Auringosta tulevat hiukkaset virittävät ylempien ilmakerrosten atomeja. Hiukkaset ohjautuvat maapallon napa-alueille magneettikentän vuoksi. Viritystilojen purkautuessa syntyy revontulet. Vihreä väri: happi Punainen väri: happi ja typpi Jouni Jussila

128 ) Fotoniviritys Fotonivirityksessä atomi absorboi fotonin. Fotonin koko energian pitää kulua viritykseen: siksi atomi absorboi valkoisesta valosta (joka sisältää kaikkia aallonpituuksia) vain tietyt aallonpituudet, jotka vastaavat täsmälleen kahden energiatason erotusta Atomi emittoi absorboituneen energian fotoneina, jotka lähtevät atomista eri suuntiin. Esimerkkejä: Atomi-, molekyyli- ja materiaalitutkimus Laser (palataan tarkemmin kappaleessa 4.9) 18

129 3) Virittyminen lämpöenergian avulla Lämmitettäessä atomeja/molekyylejä, lämpöenergia voi virittää ne ylemmille energiatasoille. Esimerkki: Ilotulitteet (ja liekkikokeet) Ilotulitteissa käytetään metallisuoloja antamaan valoa ja väriä sekä luomaan kipinöintiä. Väri Yhdiste punainen litiumkarbonaatti Li CO 3 kirkkaan punainen oranssi kulta strontiumkarbonaatti SrCO 3 kalsiumkloridi ja -sulfaatti CaCl, CaSO 4 nh O, n = 0,, 3 tai 5 rauta Fe (yhdessä hiilen kanssa) keltainen natriumnitraatti NaNO 3, kryoliitti, Na 3 AlF 6 valkoinen hehku vihreä metallinen magnesium ja alumiini Mg, Al, bariumoksidi BaO bariumin suolat ja kloori, yhdessä kloorin vapauttajan kanssa siniset sävyt kupariasetoarseniitti Cu 3 As O 3 Cu(C H 3 O ) yhdessä muiden kuparisuolojen ja kloorin vapauttajan kanssa turkoosi hopeavälke Purppurasävyt kupari(i)kloridi, CuCl Al, Ti, tai Mg jauheena tai hiutaleina strontium- ja kupariyhdisteiden seos 19

130 4.10. LASER Tavallinen valo sisältää useita aallonpituuksia, jotka ovat eri vaiheissa. Monokromaattinen valo sisältää vain yhtä aallonpituutta, mutta aallot voivat olla eri vaiheessa. Monokromaattinen ja koherentti valo sisältää vain yhtä aallonpituutta ja aallot ovat samassa vaiheessa. Laser tuottaa valoa, jolla on useita merkittäviä ominaisuuksia: Valo on monokromaattista Valo on koherenttia Valo ei divergoi (eli valokimppu ei hajoa juuri ollenkaan pitkilläkään matkoilla) Valo on hyvin intensiivistä 130

131 Atomeissa on viritystiloja, joilla on hyvin erilainen elinaika. Yleensä viritystilojen elinaika on ~ 10-8 s. Metastabiileille tiloille elinaika on ~ 10-3 s. Atomeissa voi tapahtua kahden energiatason välillä kolmenlaisia siirtymiä, joissa on mukana fotoni. 1) Stimuloitu absorptio Atomi siirtyy tilasta E 0 tilaan E 1 absorboidessaan fotonin ) Spontaani emissio Atomi siirtyy spontaanisti tilasta E 1 tilaan E 0 ja emittoi fotonin 3) Stimuloitu emissio Toinen fotoni aiheuttaa atomin siirtymisen tilasta E 1 tilaan E 0 ja saadaan kaksi saman aallonpituista ja samassa vaiheessa olevaa fotonia. Jotta stimuloitu emissio on mahdollinen, täytyy ylemmällä energiatasolla olla suurempi miehitys kuin alemmalla energiatasolla = miehitysinversio 131

132 Kolmitasoinen laser Tarvitaan atomi tai molekyyli, jossa on perustilan yläpuolella metastabiili tila ja sen yläpuolella jokin toinen viritystila. 1) Pumpataan ulkoisella valolähteellä atomeja perustilasta korkeampaan viritystilaan ) Viritystila purkautuu metastabiiliin tilaan, johon saadaan miehitysinversio (eli atomeista suuriosa on tässä perustilaa korkeammassa energiatilassa) 3) Ulkoinen fotoni laukaisee stimuloidun emission Jos tasoja olisi vain kaksi, optinen pumppaus aiheuttaisi myös metastabiilin tilan purkautumista ja koskaan ei päästäisi tilanteeseen, jossa suurin osa atomeista on ylemmällä energiatilalla

133 Nelitasoinen laser Nelitasoisessa systeemissä on nimensä mukaisesti - neljä energiatilaa. Atomeja viritetään perustilalta tilalle E 3, joka purkautuu metastabiiliin tilaan E. Laser siirtymä tapahtuu metastabiilin tilan sekä välitilan E 1 välillä. Koska välitila on lyhytikäinen (eli purkautuu nopeasti takaisin perustilaan), on helppoa saada metastabiilin tilan miehitys suuremmaksi kuin välitilan, jolloin laserin toiminta on mahdollinen

134 Erilaisia lasereita Rubiini-laser Perustuu synteettisessä rubiinissa (Al O % Cr O 3 ) olevien Cr 3+ ionien energiatiloihin Optinen pumppaus tapahtuu Xe-purkauslampusta, jonka jälkeen tapahtuu säteilemätön siirtymä metastabiiliin tilaan (energia menee kidehilaan ja nostaa sen lämpötilaa) Laser siirtymän aallonpituus on punaisen valon alueella nm

135 He-Ne laser Nelitasoinen laser Perustuu helium- ja neon-kaasujen seokseen purkauslampussa, johon energia tuodaan sähköpurkauksen avulla. He-atomit virittyvät törmäyksissä elektronien kanssa - neon atomit törmäyksessään helium atomien kanssa. Laservalon aallonpituus punaisen valon alueella 63.8 nm

136 5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrin atomimallista saimme jonkinlaisen kuvan atomin rakenteesta. Kuitenkaan Bohrin atomimalli ei pysty selittämään kaikkia kokeellisia havaintoja spektreistä: Miksi osa spektrien viivoista on toisia voimakkaampia (miksi toiset siirtymät ovat todennäköisempiä kuin toiset?) Miksi monielektronisella atomilla on spektriviivoja, jotka poikkeavat energiassa vain vähän toisistaan? Miksi atomit voivat muodostaa sidoksia toisten atomien kanssa? Tarve kehittää atomimallia synnytti kokonaan uuden tavan kuvata fysiikkaa: Syntyi kvanttimekaniikka Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac, Eugene Wigner 136

137 197 Solvay Conference on Quantum Mechanics 17/9 osallistujista oli saanut tai sai myöhemmin Nobelin palkinnon (Marie Curie kertaa) E. Schrödinger W. Pauli W. Heisenberg Niels Bohr Paul Dirac L.V. de Broglie Max Planck Marie Curie A.H. Compton Albert Einstein W.L. Bragg H.A. Lorentz Max Born 137

138 5.1. KVANTTIMEKANIIKKA Klassisen fysiikan mukaan kappaleen tulevaisuus saadaan laskettua, kun tiedetään sen paikka, liikemäärä ja siihen vaikuttavat voimat, jotka kaikki voidaan määrittää. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta johtuen kvanttimekaniikassa ei ole varmuutta tulevaisuudesta, koska alkutilaakaan ei voida määrittää tarkasti. Kvanttimekaniikka ennustaakin todennäköisyyksiä: Esimerkiksi Bohrin atomimallin mukaista elektronin radan tarkkaa sädettä ei voida määrittää kvanttimekaniikan avulla. Sen sijaan saadaan määritettyä paikka, josta elektroni todennäköisimmin löytyy. Klassinen mekaniikka on kvanttimekaniikan likiarvo. Albert Einstein: "God does not play dice Niels Bohr: "Einstein, stop telling God what to do" 138

139 5.. AALTOFUNKTIO de Broglie aallon yhteydessä tutustuimme jo käsitteeseen aaltofunktio. Palataanpa siihen vielä. Kvanttimekaniikkaan liittyy aaltofunktion Ψ käsite. Aaltofunktio on abstrakti sillä ei ole fysikaalista vastinetta. Aaltofunktion neliö Ψ kertoo todennäköisyyden hiukkasen paikalle tiettynä ajanhetkenä. Aaltofunktiosta voidaan määrittää myös hiukkasen liikemäärä, kulmaliikemäärä ja energia. Ongelmana on vain ratkaista hiukkasen aaltofunktio yhtälöstä, joka sisältää tiedot hiukkaseen vaikuttavista voimista. 139

140 Aaltofunktiot ovat yleensä kompleksisia, sisältävät siis reaali- ja imaginääriosat Ψ=A + i B i 1 Hiukkasen todennäköisyystiheys on verrannollinen aaltofunktion neliöön Ψ*Ψ, jossa Ψ* on Ψ:n kompleksikonjugaatti: Ψ*=A - i B ja Ψ* Ψ =A +B Eli todennäköisyystiheys on aina reaalinen ja positiivinen. Sen lisäksi se on äärellinen (eli hiukkasen täytyy olla jossain). Jos dv 0 hiukkasta ei ole olemassa. Jos hiukkanen on olemassa, todennäköisyys sen löytymiselle jostain = 1 dv 1 140

141 Yleensä on järkevää merkitä todennäköisyystiheys P=Ψ*Ψ, josta seuraa, että funktion Ψ on oltava normittuva eli täyttää normitusehto: PdV 1 Fysikaalisesti hyvätapaisesti käyttäytyvä aaltofunktio (eli joka antaa fysikaalisesti mielekkäitä ratkaisuja) on oltava: Yksikäsitteinen Jatkuva Äärellinen Derivoituva Myös funktion derivaatan tulee olla yksikäsitteinen, jatkuva ja äärellinen Normitetun todennäköisyystiheysfunktion avulla voidaan laskea todennäköisyys hiukkasen löytymiselle väliltä [x 1,x ] : x P x dx 1 x x 1 141

142 ESIMERKKI 5.1 Mitkä seuraavista aaltofunktioista ovat fysikaalisesti järkeviä? 14

143 ESIMERKKI 5. Normita aaltofunktio : Axe 1 x 143

144 ESIMERKKI 5.3 Aaltofunktio Ψ(x) saa x-akselilla seuraavat arvot: Ψ(x)=Ae -ax x>0 Ψ(x)=Ae +ax x 0 a) Normita aaltofunktio. b) Laske todennäköisyys sille, että hiukkanen on välillä (1/a, /a) 144

145 5.3. AALTOYHTÄLÖ Schrödingerin yhtälö on aaltoyhtälö, jonka ratkaisu antaa aaltofunktion Ψ. Tarkastellaan ensin yleistä aaltoyhtälöä, joka kuvaa y:n muuttumista aallossa, joka etenee x-akselin suuntaan nopeudella v : y x 1 v y t Värähtelevässä köydessä y on poikkeama x-akselista, ääniaallossa y on paine-ero, valoaallossa y on sähkö- tai magneettikentän funktio. Aaltoyhtälöllä on erilaisia ratkaisuja, mutta kaikki ratkaisut ovat muotoa y F t x v joista y=f(t-x/v) kuvaa +x-akselin suuntaan etenevää aaltoa ja y=f(t+x/v) kuvaa x-akselin suuntaan etenevää aaltoa. 145

146 Tarkastellaan vapaata hiukkasta, joka etenee vakionopeudella x-akselin suuntaan. Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta mitään voimia. Hiukkasta voidaan kuvata aaltoyhtälön yleisellä ratkaisulla: y Ae Acos ( t ) iasin ( t i tx/ v x x v v ) e i cos isin 146

147 Osoita, että edellä oleva aaltofunktio on aaltoyhtälön ratkaisu. ) ( Asin ) ( Acos A v v v / x x x t i t i t e y v 1 t y x y 147 ESIMERKKI 5.4

148 5.4. AJASTA RIIPPUVA SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖ Kvanttimekaaninen aaltofunktio Ψ vastaa aaltoyhtälössä muuttujaa y. Aaltofunktio ei ole itsessään mitattavissa oleva suure ja voi siten olla myös kompleksinen. Vapaalla hiukkasella tarkoitetaan hiukkasta, johon ei vaikuta mitään ulkopuolisia voimia. Kun hiukkanen etenee +x-akselin suuntaan nopeudella v, sillä on liikemäärä p ja energia E. Hiukkasen aaltofunktio voidaan kirjoittaa muotoon: y Ae i tx/ v ( i / ) Et px Ae Koska f ja v f sekä E hf f ja h p p Yleensä hiukkaseen kuitenkin vaikuttaa ulkopuolisia voimia ts. sen liike on rajattu johonkin tilaan. Esimerkiksi atomin ydin sitoo elektronin atomiin. 148

149 On löydettävä differentiaaliyhtälö aaltofunktiolle Ψ, joka sisältää hiukkasen liikettä rajoittavat ehdot. Tämä yhtälö on Schrödingerin yhtälö (jonka ratkaisuna siis aaltofunktio Ψ saadaan). Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa klassisen mekaniikan tuloksista, mutta se voidaan johdatella vapaan hiukkasen aaltofunktiosta. Johdatellaan ja tarkastellaan sitten tulosta. Muodostetaan vapaan hiukkasen aaltofunktiosta osittaisderivaatat. Ensin toinen osittaisderivaatta x:n suhteen: x x p ( i / ) Et px ( i / ) Et px Ae Ae x x ip Sitten ensimmäinen derivaatta ajan suhteen: t ie Ae ( i / ) Et px E p ( i / ) Et px Ae i t 149

150 Jos hiukkasen nopeus on pieni suhteessa valon nopeuteen, sen kokonaisenergia voidaan kirjoittaa muotoon: Jossa ensimmäinen termi on hiukkasen liike-energia ja toinen termi kuvaa, millaisessa potentiaalissa hiukkanen liikkuu. Kerrotaan kokonaisenergia lauseke puolittain aaltofunktiolla Ψ ja sijoitetaan lasketut osittaisderivaatat em. Yhtälöön ja saadaan ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö: ), ( t x U m p E ), ( t x U m p E 150 ), ( t x U x m t i ),,, ( t z y x U z y x m t i (1-dim.) (3-dim)

151 Kun tunnetaan hiukkasen liikettä rajoittava ulkoinen voima U, voidaan Schrödingerin yhtälön ratkaisuna saada hiukkasta kuvaava aaltofunktio Ψ. Kun tunnetaan hiukkasen aaltofunktio Ψ, voidaan myös hiukkasen paikan todennäköisyyttä kuvaava Ψ määrittää. Edellä oleva sijoittaminen ei ole perusteltua, se on vain tehty. Schrödingerin yhtälö ei ole johdettavissa, vaan se postuloidaan. Ehtona on, että teorian ennustamat tulokset ovat yhtäpitäviä kokeellisten tulosten kanssa. On huomattu, että Schrödingerin yhtälö kuvaa hyvin tarkasti fysikaalisissa kokeissa saatuja tuloksia. Edellä oleva yhtälö on käyttökelpoinen vain kun hiukkasen nopeus on pieni ts. epärelativistiseen tilanteeseen. 151

152 Erwin Schrödinger Syntyi Itävallassa kasvitieteilijän ja kemian professorin tyttären ainoaksi lapseksi. Alkeisopetus kotona ja 1898 wieniläiseen kouluun. Kerrotaan, että Erwin pystyi omaksumaan kaiken fysiikan ja matematiikan suoraan tunneilla ilman läksyjä tai kertausta. Opiskeli fysiikkaa Wienissä, väitteli tohtoriksi 1910 sähkönjohtavuutta käsitelleellä väitöstutkimuksella. Osallistui ensimmäiseen maailmansotaan, jonka aikanakin teki tutkimusta Tutkimusaiheita ennen 190-lukua olivat mm. värinäöstä, radioaktiivisuudesta, hilarakenteen dynamiikasta ja kiinteän aineen fysiikasta. Professorina eri puolilla Saksaa, julkaisi yhtälönsä 196 Siirtyi Albert Einsteinin kollegaksi Berliinin yliopistoon 197 ja pois Saksasta Oxfordiin v kansallissosialistien noustua valtaan Ihmissuhteet sellaisia, että Kauniit ja rohkeat -kin jää varjoon Sai Nobelin fysiikan palkinnon 1933 Schrödingerin yhtälöstä Useiden Euroopan maiden jälkeen sijoittui Dubliniin 1939, jossa toimi eläkkeelle jäämiseen saakka Kuoli tuberkuloosiin vuonna

153 5.5. LINEAARISUUS JA SUPERPOSITIO Schrödingerin yhtälö on lineaarinen Ψ:n suhteen: Jos Ψ 1 ja Ψ ovat yhtälön ratkaisuja, myös niiden lineaarikombinaatio Ψ= a Ψ 1 +b Ψ on ratkaisu, kun a ja b ovat vakioita. Eli myös aaltofunktiot voivat interferoida (kuten ääniaallot, valo, sähkömagneettiset aallot). 153

154 ESIMERKKI 5.5 Osoita, että Ψ=a 1 Ψ 1 (x,t) +a Ψ (x,t) on Schrödingerin yhtälön ratkaisu, jos Ψ 1 (x,t) ja Ψ (x,t) ovat sen ratkaisuja. 154

155 5.6. ODOTUSARVOT Kun hiukkaseen liittyvä aaltofunktio tunnetaan, hiukkaseen liittyvät suureet voidaan laskea odotusarvoina. Tarkastellaan hiukkasen paikan odotusarvoa. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo hiukkasten, joilla on sama aaltofunktio, paikasta. Hiukkasista N 1 kappaletta on pisteessä x 1, N kappaletta on pisteessä x, N 3 kappaletta on pisteessä x 3, jne Hiukkasen keskimääräinen paikka on jakauman massakeskipiste N1x1 Nx N3x3... x N N N N x i N i i Yhden hiukkasen tapauksessa N i korvataan todennäköisyystiheydellä P i että hiukkanen löytyy väliltä dx. P i i dx Sijoitetaan tämä edellä olevaan yhtälöön ja muutetaan summaukset integraaliksi saadaan hiukkasen paikan odotusarvoksi 155

156 saadaan hiukkasen paikan odotusarvoksi x x dx dx x dx Yhtälö kertoo, että paikan odotusarvo <x> löytyy Ψ :n massakeskipisteestä. 156

157 ESIMERKKI 5.6 Hiukkasta kuvaa aaltofunktio Ψ=ax välillä 0 x 1. Aaltofunktio Ψ=0 alueen ulkopuolella. a) Mikä on todennäköisyys, että hiukkanen löytyy väliltä 0.45 x 0.55? b) Mikä on hiukkasen paikan odotusarvo? 157

158 Yleisesti paikasta x riippuvan funktion G(x) odotusarvo voidaan laskea yhtälöstä G( x) G( x) dx Liikemäärän p odotusarvoa ei voida laskea tällä tavalla johtuen epätarkkuusperiaatteesta. Sama ongelma on energian odotusarvon kanssa. 158

159 5.7. OPERAATTORIT JA ODOTUSARVOT Liikemäärän ja energian operaattorit Aiemmin esitettiin miten odotusarvot saadaan x:lle ja siitä riippuvalle funktiolle. x x dx Liikemäärän ja energian odotusarvoja ei voi laskea samalla tavalla, koska integroinnin suorittamiseksi p ja E pitäisi ilmoittaa x:n ja t:n funktioina. Epätarkkuusperiaatteesta johtuen px Koska liikemäärää ja energiaa ei voida määrittää tarkasti, niiden ilmoittaminen x:n ja t:n avulla ei ole mahdollista. Täytyy löytää jokin muu keino. Et G( x) G( x) dx 159

160 Kun vapaan hiukkasen aaltofunktio derivoitiin paikan ja ajan suhteen, saatiin (kts. Esimerkki 5.4) x t i p i E p i x E i. t Eli tietyllä tapaa liikemäärää p vastaa differentiaalinen operaattori pˆ i x ja energiaa Eˆ i t Operaattorit kertovat, mitä tulee tehdä funktiolle, joka seuraa operaattoria. Dynaamisia muuttujia p ja E vastaavat operaattorit pätevät yleisesti. Tarkastellaan kokonaisenergian lauseketta E=E Kin +U. Korvataan lauseke operaattoriesityksellä: Eˆ Eˆ Kin Uˆ 160

161 161 Koska Saadaan kokonaisenergian lauseke muotoon: Aiemmin tässä kappaleessa määritettiin joten yhdistämällä energiaoperaattorin lausekkeet saadaan: Kertomalla puolittain aaltofunktiolla Ψ (tai paremminkin operoimalla puolittain aaltofunktioon Ψ) saadaan Schrödingerin yhtälö: 1 ˆ ˆ x m x i m m p E Kin U x m E ˆ, ˆ t i E U x m t i t i U x m

162 Toisin sanoen postuloimalla liikemäärän ja energian operaattorit, tullaan samalla postuloineeksi Schrödingerin yhtälö. Operaattorit ja odotusarvot Koska p ja E voidaan korvata vastaavilla operaattoreilla, niiden odotusarvot voidaan laskea käyttäen operaattoriesityksiä: p E * * pˆ dx Eˆ dx * i * dx x i i dx i t * * x t dx dx Huom! Laskujärjestys tärkeä! Jokainen fysikaalisesti havaittavissa oleva suure voidaan korvata vastaavalla kvanttimekaanisella operaattorilla. Suureen odotusarvo saadaan laskemalla: G( p, x) * Gˆ dx Eli kun tunnetaan hiukkasen aaltofunktio, kaikki hiukkaseen liittyvät suureet voidaan laskea. 16

163 ESIMERKKI 5.7 Laske hiukkasen kineettisen energian odotusarvo tilassa, jota esittää aaltofunktio: x / ( x) Ce 163

164 ESIMERKKI 5.8 Osoita, että px xp i 164

165 5.8. OPERAATTORIN OMINAISFUNKTIO JA OMINAISARVO Muuttujan G kvantittuneet arvot saadaan ratkaisemalla niin sanottu ominaisarvoyhtälö Gˆ n G n n Siis jos muuttuja G korvataan sitä vastaavalla operaattorilla, niin mittausten sille antamat arvot ovat ominaisarvoyhtälön ratkaisut G n. 165

166 ESIMERKKI 5.9 Operaattorin d /dx ominaisfunktio on Mikä on vastaava ominaisarvo? ( x) e x 166

167 Mikäli potentiaalienergia ei riipu ajasta (eli se on vain paikasta riippuva), aaltofunktio voidaan kirjoittaa tulona Sijoitetaan tulofunktio ajasta riippuvaan Schrödingerin yhtälöön ja saadaan jaetaan eksponenttifunktiot pois ja saadaan ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö t ie x ip t ie px Et i e e e e ) / ( / ) / ( ) / ( A A Ajasta riippuva osa Paikasta riippuva osa 0 ) ( ) ( ) ( x U E m x x t ie t ie t ie e U x e m e E ) / ( ) / ( ) / ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x U E m z z y y x x (1-dim.) (3-dim.) SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖN AIKARIIPPUVUUDEN EROTTAMINEN

168 Hiukkasen kokonaisenergiaa vastaavaa operaattoria Hˆ m x U sanotaan Hamiltonin operaattoriksi. Hamiltonin operaattori vastaa klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiota, joka on kokonaisenergian lauseke paikkakoordinaattien ja liikemäärän avulla. Operoimalla Hamiltonin operaattorilla Ψ:hin, saadaan Schrödingerin yhtälö Hˆ n E n n Hiukkasen sallitut energia-arvot ovat Hamiltonin operaattorin ominaisyhtälön ominaisarvoja. 168

169 Eli jokaista hiukkaselle mahdollista energiaa vastaa oma aaltofunktio, joka on Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Jos hiukkasen liikettä rajoitetaan rajaamalla se tiettyyn tilaan, hiukkasen energia on kvantittunut. Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktiot ovat Hamiltonin operaattorin ominaisfunktioita ja energia-arvot ovat näiden funktioiden ominaisarvot. Hiukkaseen liittyvä muuttuja voi olla myös kvantittumaton. Mittaus antaa tällöin jakauman arvoja, joiden keskiarvo on odotusarvo: G G dx Esimerkiksi vedyllä energia sekä kokonaiskulmaliikemäärä ovat kvantittuneita suureita, mutta elektronin paikka ei. 169

170 5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista taustaa. Kuitenkin yksinkertaisiin tilanteisiin riittää vähempi matematiikka. Hiukkanen potentiaalikuopassa on yksi helpoista esimerkeistä. U K 0 L Oletuksia: Kuopassa on äärettömän vahvat seinät. Hiukkanen voi liikkua välillä 0 < x < L Hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään laatikon seiniin Hiukkasen potentiaalienergia on vakio laatikon sisällä, helppouden vuoksi voidaan valita se nollaksi. Koska hiukkasella ei voi olla ääretöntä energiaa, se ei voi olla laatikon ulkopuolella. Toisin sanoen 0 kun x 0 ja x L 170

171 Tarkoitus on nyt määrittää hiukkasen aaltofunktio kuopan sisällä eli kun 0 x L Ääretön reunaiseen potentiaalikuoppaan rajatun hiukkasen Schrödingerin yhtälö saadaan sijoittamalla Schrödingerin yhtälöön ( x) x m ( E U) ( x) 0 potentiaali U=0. Differentiaaliyhtälön ( x) x m E( x) 0 ratkaisut ovat muotoa Asin me x Bcos me x (voidaan todistaa sijoittamalla aaltofunktio Schrödingerin yhtälöön). A ja B ovat vakioita, jotka voidaan määrittää reunaehdoista. 171

172 Reunaehdoista Ψ(0)=0 seuraa, että B=0, koska cos 0=1 (eli yhtälön toinen osa ei voi kuvata hiukkasta) Reunaehdosta Ψ(L)=0 saadaan Asin me L 0 me L n, n 1,, 3,... sin n 0, n 1,, 3,... Ehto johtaa siis energian kvantittumiseen eli energia voi saada vain tiettyjä arvoja. Ratkaisemalla edellä olevasta E, saadaan E n n, n 1,,3,... ml Sijoittamalla energia sekä B=0 aaltofunktion lausekkeeseen, saadaan sallitut ratkaisut hiukkasen aaltofunktiolle: n Asin me n x Asin nx L n 1,, 3,... Funktio täyttää aaltofunktiolle asetetut ehdot eli se on jatkuva, derivoituva, äärellinen, yksikäsitteinen, samoin kuin sen derivaatat. 17

173 Aaltofunktio Ψ n on siis ominaisfunktio, jota vastaa ominaisarvo E n. Määritetään vielä funktion normitusvakio A eli haetaan A:lle sellainen arvo, että dx 1 n 173

174 ESIMERKKI 5.10 Normita äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan hiukkasen aaltofunktio. 174

175 Eli normitusehdosta saadaan normitusvakioksi A joten hiukkasen normitetut aaltofunktiot saavat muodon (sijoitetaan A aiempaan yhtälöön): n L nx sin, L n 1,, 3,... Aaltofunktio voi saada sekä negatiivisia että positiivisia arvoja. Aaltofunktion neliö kuvaa todennäköisyystiheyttä ja saa vain positiivisia arvoja. Aaltofunktiot saavat arvon 0 rajoilla x=0 ja x=l. L Todennäköisyystiheydet hyvin erilaisia aaltofunktiosta riippuen: 1 maksimi kohdassa L/ minimi kohdassa L/ Hiukkanen, jolla vähiten energiaa sijaitsee todennäköisimmin laatikon keskellä, kun taas hiukkanen, joka on toiseksi alimmassa energiatilassa ei ole koskaan siinä. 175

176 ESIMERKKI 5.11 Hiukkanen on äärettömän syvässä potentiaalikuopassa, jonka leveys on L. Mikä on todennäköisyys löytää hiukkanen väliltä 0.45L<x<0.55L hiukkasen ollessa perustilassa? Entä jos hiukkanen on ensimmäisellä viritystilalla? 176

177 ESIMERKKI 5.1 a) Osoita, että Ax B, missä A ja B ovat vakioita, on Schrödingerin yhtälön ratkaisu äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan hiukkasen energiatasolle E=0. b) Osoita, että todennäköisyys löytää hiukkanen, jolla on tämä aaltofunktio, on nolla. 177

178 ESIMERKKI 5.13 Mikä on hiukkasen paikan x odotusarvo hiukkaselle äärettömän syvässä potentiaalikuopassa? 178

179 5.11. ÄÄRELLINEN POTENTIAALIKUOPPA Todellisuudessa ei ole olemassa äärettömän kova- ja korkeareunaisia potentiaalikuoppia kuten kappaleen tarkastelussa. Energy U Sen sijaan on kyllä äärellisiä potentiaalikuoppia. I E III Hiukkasen energia E < vallin korkeus U. -x 0 L +x Klassisesti hiukkanen ei pääse alueille I ja III, koska sen energia ei riitä ylittämään potentiaalivallia. Kvanttimekaanisesti hiukkasella on todennäköisyys tunkeutua klassisesti kielletyille alueille x<0 ja x>l. Määritetään hiukkasen Schrödingerin yhtälöt alueissa I III. Alueilla I ja III: ( x) x m ( E U) ( x) 0 179

180 Merkitään a m( U E) ja saadaan Schrödingerin yhtälö muotoon: ( x) a ( x) 0, x Jonka ratkaisut ovat muotoa: ( x) Ae I III ax ( x) Ce ax Be ax De ax A, B, C ja D ovat vakioita. Määritetään vakioiden A, B, C ja D arvot reunaehdoista. Aaltofunktioiden Ψ I ja Ψ III on oltava äärellisiä, joten Ψ I :ssä B=0, koska muuten funktio ei lähesty nollaa kun x ( x) I Ae ax Be ax ax ax Vastaavasti Ψ III :ssä C=0, koska muuten funktio III ( x) Ce De ei lähesty nollaa kun x 180

181 Sallittuja ovat vain rajoilla eksponentiaalisesti vaimenevat funktiot: ( x) I III ( x) Ae ax De ax Alueella II hiukkasen Schrödingerin yhtälö on sama kuin aiemmin (hiukkanen äärettömän syvässä potentiaalikuopassa-probleema) ja sen ratkaisut ovat II me Esin x F cos me Rajapinnoissa x=0 ja x=l aaltofunktioiden tulee saada sama arvo ts. ( 0) (0) ja ( L) ( L) I II II ja sekä sini- että kosini-osat aaltofunktiosta ovat mahdollisia. x III Myös aaltofunktioiden derivaattojen tulee olla jatkuvat rajakohdissa. Näistä rajoituksista seuraa energian kvantittuminen. Emme ratkaise aaltofunktiota tässä tämän tarkemmin. Tarkastellaan kuitenkin ratkaisufunktioiden kuvaajia. 181

182 Kuvat esittävät aaltofunktiot (yläkuva) sekä todennäköisyystiheydet (alakuva). Verrattuna äärettömän syvään potentiaalikuoppaan, huomataan, että aallonpituus kasvaa eli energiatilojen väli pienenee. Ts. hiukkasen energiatasot siirtyvät alemmaksi ja tiheämmiksi. 18

183 ESIMERKKI 5.14 Hiukkanen liikkuu pitkin x-akselia potentiaalissa Määritä a ja b siten, että aaltofunktio 0, x) Nx ( x 0, x e, x 0, x 0 U( x) a bx, kun x x 0 missä N on normitustekijä, on Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Määritä myös hiukkasen energia. 183

184 184

185 ESIMERKKI 5.15 Hiukkanen, jonka energia E> 0 liikkuu x-akselilla positiiviseen suuntaan. Hiukkanen törmää kohdassa x=0 potentiaalivalliin, jonka korkeus on V 0. Määritä heijastumiskerroin (eli kuinka suuri osa aineaallon intensiteetistä heijastuu vallin reunasta takaisin päin). 185

186 5.1. TUNNELI-ILMIÖ Edellä tarkastellussa tilanteessa hiukkanen oli äärellisen syvässä kuopassa, jonka seinämät olivat äärettömän paksuja, jolloin hiukkasen aaltofunktio sammuu. Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa potentiaalivalli onkin äärellisen korkeuden lisäksi myös äärellisen leveä. Tarkastellaan hiukkassuihkua, jonka energia on E. Jos hiukkanen törmää potentiaalivalliin, sillä on tietty todennäköisyys läpäistä se tunneloitumalla, vaikka sen energia E ei riitä vallin U ylittämiseen. Mitä korkeampi ja leveämpi valli, sitä pienempi todennäköisyys luonnollisesti on. Vallin korkeus on U ja leveys L. Vallin kummallakaan puolella hiukkaseen ei vaikuta voimia ts. alueilla I ja III U=0. 186

187 0 ) ( ) ( Alue III: 0 ) ( ) ( ) ( Alue II : 0 ) ( ) ( Alue I : x E m x x x U E m x x x E m x x III III II II I I Ψ I+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin suuntaan. Ψ I- kuvaa hiukkasta, joka heijastuu potentiaalivallista. Ψ II kuvaa hiukkasta vallin sisällä. Ψ III+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin suuntaan ja on tullut vallista läpi. 187 Hiukkasen Schrödingerin yhtälöt eri alueilla ovat muotoa:

188 Kirjan kappaleen 5 liitteessä on johdettu tunneloitumisen todennäköisyys hiukkaselle (ei käydä sitä tässä läpi) ja se on noin missä kl T e k m( U E) 188

189 ESIMERKKI 5.16 Elektronit, joiden energiat ovat 1.0 ev ja.0 ev, törmäävät potentiaalivalliin, jonka korkeus on 10.0 ev ja leveys 0.50 nm. a) Mikä on elektronien todennäköisyys tunneloitua vallin läpi? b) Miten todennäköisyyden käy, jos vallin leveys on kaksinkertainen? 189

190 Luonnossa tunneli-ilmiötä havaitaan esim. alfahajoamisessa, jossa alfahiukkanen, jonka kineettinen energia on vain muutamia MeV:tä pystyy irrottautumaan ytimestä, jonka muodostama potentiaali on n. 5 MeV:n luokkaa. Tunnelointimikroskooppi (scanning tunneling microscope) Näytepinnan yli liikutetaan teräväkärkistä wolfram-neulaa. Tunneli-ilmiö aiheuttaa virran, kun neulan ja näytteen välillä on pieni jännite. Virta pienenee, jos neula etääntyy pinnasta, koska potentiaalivallin leveys kasvaa. Pitämällä tunneloitumisvirta vakiona on neulan seurattava pintaa, eli saadaan kuvattua pinnan muoto. Rauta-atomeja kupari pinnalla. 190

191 Mustan aukon purkautuminen (Stephen Hawking) Mustat aukot säteilevät hiukkasia, jotka tunneloituvat gravitaatiosta aiheutuvan potentiaalivallin läpi. Vallin leveys on verrannollinen mustan aukon kokoon tunneloitumistodennäköisyys on pieni, mutta se kasvaa kun musta aukko emittoi hiukkasia: Musta aukko emittoi itsensä olemattomaksi Auringon massaisen mustan aukon häviäminen tunneloitumalla kestää noin vuotta. 191

192 5.13. HARMONINEN OSKILLAATTORI (= Harmoninen värähtelijä) Harmoninen oskillaattori on systeemi, joka värähtelee tasapainoasemansa ympärillä. Harmonisessa oskillaattorissa hiukkaseen vaikuttaa voima, joka pyrkii palauttamaan sen tasapainoasemaan, jos se on siitä poikennut. Kun hiukkanen ylittää tasapainoaseman, voima alkaa vetää sitä toiseen suuntaan hiukkanen värähtelee tasapainoaseman yli edestakaisin (jos energiaa ei kulu). Makromaailman esimerkki: jousen päässä oleva paino Mikromaailman esimerkki: atomit molekyylissä, atomit kidehilassa Yksinkertaisessa harmonisessa värähtelijässä, hiukkaseen vaikuttava voima on lineaarinen ja sen suuruus riippuu etäisyydestä tasapainoasemaan: F = - kx k= värähtelijän jäykkyysparametri (esim. jousivakio) Voiman suunta on aina kohti tasapainoasemaa 19

193 Newtonin II laki F=ma, josta saadaan harmonisen oskillaatorin liikeyhtälö: kx d x m dt d x dt k m x 0 Edellä olevan liikeyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa x A cos(ft ), missä x=hiukkasen poikkeama tasapainoasemasta A=värähtelyn amplitudi 1 k f värähtelyn taajuus m φ= on värähtelyn vaihe, joka riippuu siitä, missä kohtaa x on ajanhetkellä t=0 Kaikkia värähdysilmiötä, joissa värähtelyn amplitudi on suhteellisen pieni, voidaan ensimmäisessä approksimaatiossa kuvata hyvin harmonisen oskillaattorin avulla. 193

194 Harmonista voimaa vastaava potentiaalienergian funktio U(x) saadaan laskemalla työ, joka tarvitaan, kun hiukkanen liikkuu x=0 pisteestä pisteeseen x=x harmonista voimaa vastaan: x x 1 U( x) F( x) dx ( kx) dx k x dx kx Harmonisen oskillaattorin potentiaalienergiakäyrä x Jos oskillaattorin energia on E, hiukkanen värähtelee -A:n ja +A:n välillä ja 1 E k A 194

195 Klassisesti kaikki oskillaattorin energiatilat ovat sallittuja. Kvanttimekaanisesti: 1) Vain tietyt energiatilat ovat mahdollisia (diskreetit energiatasot) ) Alin mahdollinen energiatila E 0 0 3) Todennäköisyys sille, että hiukkanen tunkeutuu reunojen A ja/tai +A ulkopuolelle 0 Määritetään harmonisen oskillaattorin mahdolliset energiatasot: Muodostetaan ensin Schrödingerin yhtälö: (sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön potentiaalienergia U= (1/) kx ) x 1 kx m ( E ) 0 Merkitään ja y 1 E km m k 1/ x E hf mf x 195

196 jolloin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon: y ( y ) 0 Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktioiden on täytettävä reunaehdot Ψ 0 kun y, jotta funktio olisi normittuva. Tälle yhtälölle löytyy fysikaalisesti hyväntapaisesti käyttäytyviä ratkaisuja vain, kun E n 1, n 0,1,,... f joten värähtelijän energia on kvantittunut : En n 1 hf, n 0,1,,... f 1 k m 196

197 Energiat sijaitsevat tasavälein ja matalin energia on E 1 0 hf Matalinta energiaa kutsutaan nollapiste-energiaksi Jokaista energia-arvoa vastaa eri aaltofunktio Ψ n. Jokainen aaltofunktio sisältää Hermiten polynomeja, eksponenttifunktion ja normituskertoimen: 1/ 4 mf / 1/ n! ( ) y n n Hn y e n H n (y) α n E n (1/)hf 1 y 3 (3/)hf 4y - 5 (5/)hf 3 8y 3-1y 7 (7/)hf 4 16y 4-48y +1 9 (9/)hf 5 3y 5-160y 3 +10y 11 (11/)hf 197

198 Harmonisen oskillaattorin viiden ensimmäisen aaltofunktion kuvat: Kuten äärellisen potentiaalikuopan tapauksessa, hiukkanen voi tunkeutua klassisesti ajatellen kielletylle alueelle (eli rajojen -A ja + A ulkopuolelle), jossa aaltofunktio vaimenee eksponentiaalisesti. 198

199 ESIMERKKI 5.17 Määritä odotusarvot <x> kahdelle alimmalle harmonisen oskillaattorin tilalle. 199

200 ESIMERKKI 5.18 Osoita, että harmonisen oskillaattorin alimman tilan aaltofunktio toteuttaa Schrödingerin yhtälön ja määritä sitä vastaava energia-arvo. 00

201 Verrataan vielä klassista ja kvanttimekaniikkaa: Kuvat esittävät klassista ja kvanttimekaanista todennäköisyystiheyttä harmoniselle oskillaattorille. Kun n=0, todennäköisyystiheydet ovat täysin vastakkaisia klassisesti hiukkanen on todennäköisimmin käännepisteessä, missä nopeus on pienin -kvanttimekaanisesti hiukkanen on todennäköisimmin pisteessä x=0 Kun n=10, todennäköisyystiheydet lähestyvät toisiaan (aaltofunktion rajojen A ja +A ulkopuolella oleva häntä pienenee ja reunojen todennäköisyys kasvaa) Vastaavuusperiaate! 01

202 Koottuna vielä erilaisten systeemien potentiaalienergiakäyriä ja energioita: Vetyatomi: energia on verrannollinen -1/n Hiukkanen laatikossa: energia on verrannollinen n Harmoninen oskillaattori: energia on verrannollinen n+1/ 0

203 6 YDINFYSIIKKAA 6.1 YTIMEN RAKENTEESTA Atomin elektronirakenne tunnettiin paljon ennen ytimen rakenteen tuntemista: elektronien irrottamiseen atomista tarvitaan paljon pienempiä voimia (muutamia ev) kuin ytimen hajottamiseen (MeV luokkaa) Vetyatomin ydin koostuu vain yhdestä protonista, varaus +e Kaikkien muiden alkuaineiden ytimissä sekä protoneja että neutroneja Neutroni on sähköisesti neutraali, sen massa on vähän suurempi kuin protonin massa Nukleoni = yhteisnimitys protonille ja neutronille Atomiluku = atomin järjestysluku = protonien määrä atomin ytimessä Isotooppi = saman alkuaineen atomeja, joiden ytimissä eri määrä neutroneja Nuklidi = atomiydinlaji, jossa tietty määrä protoneja ja neutroneja 03

204 A Z X X= alkuaineen kemiallinen merkki Z= protonien lukumäärä, atomiluku A= nukleonien lukumäärä = protonit + neutronit Esimerkkejä Vedyn isotoopit: vety deuterium tritium Cl Cl Kloorin kaksi isotooppia (18 tai 0 neutronia). Yleensä atomiluku jätetään merkinnästä pois, koska kemiallinen merkki kertoo alkuaineen. 35 Cl, 37 Cl 04

205 Atomimassa = koko atomin massa, ydin + elektronit Atomimassayksikkö = 1 u = 1/1 hiilen 1 C massasta = x10-7 kg (atomimassayksikköä vastaava energia MeV) Esimerkkejä atomimassoista: Protoni 1.676x10-7 kg = u Neutroni x10-7 kg = u Elektroni x10-31 kg = 5.486x10-4 u Vetyatomi x10-7 kg = u Eri isotooppeja esiintyy eri määrä luonnossa. Atomiluku Protonien määrä Neutronien määrä Massaluku Suhteellinen osuus Vety Deuterium Tritium Hyvin pieni Kloori Kloori

206 Keskimääräinen atomimassa lasketaan alkuaineen isotooppien esiintyvyyden mukaan (painotettu keskiarvo). Eri isotoopeilla lähes identtinen elektronirakenne, joten ne: reagoivat ympäristöön samalla tavalla sulamis- ja kiehumispisteet poikkeavat vain hieman toisistaan Isotooppien muut fysikaaliset ominaisuudet voivat poiketa paljonkin toisistaan (esim. radioaktiivisuus) 06

207 6.. YTIMEN OMINAISUUKSIA Ytimen säde Ytimen kokoa voidaan mitata pommittamalla atomeita hiukkasilla (ensimmäinen oli Rutherfordin koe): Elektronien avulla saadaan selville ytimen varauksen jakautumista (sähköinen vuorovaikutus ytimen kanssa) Neutronien avulla saadaan selville ytimen materiaalin jakautumista (vuorovaikutus erityisten ydinvoimien välityksellä) Molemmissa tilanteissa hiukkasen de Broglie aallon pituus tulee olla pienempi kuin ytimen säde ts. tarvitaan hyvin nopeat pommittavat hiukkaset Ytimen tilavuus on suoraan verrannollinen siinä olevien nukleonien määrään (eli massalukuun A). 07

208 Toisaalta tilavuus V riippuu ytimen säteestä R 3, joten R=R 0 A 1/3, missä R 0 1,x10-15 m V 4R 3 3 (efektiivinen ytimen säde, ytimen varauksen ja materiaalin jakautuminen poikkeavat hieman toisistaan) Ytimen tiheys Ytimen massa on noin A u ja ytimen tilavuus on noin 3 4R 4R V A Joten ytimen tiheys on suurin piirtein sama kaikille alkuaineille: m V 3Au 4R 3 0A 4 3u R

209 ESIMERKKI 6.1 Laske 1 C ytimen tiheys. 09

210 ESIMERKKI 6. Puisen pöytälevyn paino on 50 kg. Jos levyn atomit luhistuisivat kasaan, mikä olisi levyn tilavuus? Vertaa tätä tilavuutta levyn todelliseen tilavuuteen, jos puun tiheys on 0.95g/cm 3. 10

211 Ytimen magneettiset ominaisuudet Ytimen magneettinen momentti ilmaistaan ydinmagnetonin μ N avulla: N e m p J/T ev/t Ytimen, jonka magneettisen momentin z-komponentti on μ z, ollessa magneettikentässä B, ytimen magneettinen potentiaalienergia on U M = -μ z B energitasot jakautuvat magneettikentässä spin-ylös ja spin-alastiloihin 11

212 Magneettiset momentit protonille ja neutronille ovat.793 pz nz N N Ydin voi absorboida fotonin, jonka energia on energiatasojen välinen ero ja siirtyä energiatasolta toiselle (tai päinvastoin eli emittoida fotonin) Fotonin taajuus (Larmor taajuus) f L E h h pz B Jos ydin on magneettikentässä, ytimet ovat yleensä spin-ylös- tilassa, koska se on matalampi energiatila. Jos kohdistetaan näytteeseen säteilyä Larmor-taajuudella, ytimet siirtyvät spin-alas-tilaan = ydinmagneettinen resonanssi (NMR) Ytimen magneettinen momentti voidaan määrittää esim. pitämällä säteilyn taajuus vakiona ja muuttamalla magneettikenttää. Kun energiaa absorboituu eniten (resonanssi), voidaan laskea magneettisen momentin arvo. 1

213 Sovelluksia ydinmagneettisesta resonanssista: Kemiallinen analyysi Ydin haluaa palata virityksen jälkeen takaisin alempaan energiatilaan. Tämä relaksaatioaika riippuu ytimen ympärillä olevasta elektroniverhosta. Elektroniverho myös varjostaa ydintä ympärillä olevalta magneettikentältä. Resonanssitaajuudet riippuvat ytimen ympäristöstä NMR spektroskopiaa voidaan käyttää aineiden kemialliseen analyysiin. NMR-kuvaus Kuvausmenetelmä, jolla on korkeampi resoluutio kuin röntgenkuvauksella. NMR-kuvaus ei ole niin vahingollista eläville kudoksille kuin röngenkuvaus. Menetelmässä mitataan vety-ytimien magneettikentässä lähettämää radiotaajuista signaalia. Siksi se soveltuu runsaasti vetyä sisältävien kudosten (rasva- ja vesipitoiset kudokset, myös luuydin) tutkimiseen. 13

214 Kuvan muodostamiseksi tulokset yhdistetään tietokoneella ja analyysin tuloksena saadaan kaksi- tai kolmiulotteinen magneettikuva. Magneettikuvauksessa kuvattava kohde sijoitetaan voimakkaaseen magneettikenttään, jonka suuruus on hieman eri paikasta riippuen. Laitteistoon kuuluu lisäksi radiolähetin ja -vastaanotin, jonka avulla resonanssi synnytetään ja havaitaan. Resonanssisignaalin voimakkuus magneettikuvassa riippuu paitsi magneettisten ytimien määrästä myös niiden vuorovaikutuksesta ympäristönsä kanssa. 14

215 ESIMERKKI 6.3 Oulun yliopiston fysiikan ja kemian laitosten yhteisessä NMRlaboratoriossa on käytössä kolme uutta NMR-spektrometriä. Yhdessä näistä protonin resonanssitaajuus on 300 MHz. Kuinka suuri on magneettivuon tiheys B spektrometrin sisällä? 15

216 6.3. STABIILIT YTIMET Ydin ei ole stabiili kaikilla mahdollisilla neutroni-protoni-kombinaatioilla. Nykyisin tunnetuista 500 nuklidista vain alle 300 on pysyviä, loput hajoavat emittoimalla hiukkasia ja sähkömagneettista säteilyä (radioaktiivisuus). Yleisesti kevyillä alkuaineilla on yhtä monta neutronia ja protonia, raskaimmilla alkuaineilla neutronien määrä kasvaa suhteessa protonien määrään. Yksi selitys tälle on, että protonien välinen sähköinen poistovoima kasvaa, kun A kasvaa ja tarvitaan ylimääräisiä neutroneja, jotta ydin voi pysyä kasassa. Kaikki ytimet, joilla Z > 83 tai A > 09, ovat epästabiileja ja hajoavat toisiksi nuklideiksi emittoiden tavallisesti alfatai beeta-hiukkasia. 16

217 6.4. SIDOSENERGIA Stabiilin ytimen hajottaminen erillisiksi protoneiksi ja neutroneiksi vaatii energiaa. Ytimen kokonaismassa on aina pienempi kuin sen muodostamien protonien ja neutronien yhteenlaskettu massa. Energia, joka vaaditaan nukleonien erottamiseksi toisistaan, on sidosenergia: E B (ZM Sulkujen sisältämä osuus on massakato A ZM = neutraalin atomin massa (sis. elektronit) ja M H = neutraalin vetyatomin massa (sis. elektronin) Kerroin c voidaan esittää muodossa c MeV/u H Nm n A Z M)c 17

218 ESIMERKKI 6.4 Määritä deuteriumin sidosenergia. 18

219 ESIMERKKI 6.5 Sidosenergia neonin atomimassa? 0 10 Ne isotoopille on MeV. Mikä on sen 19

220 Sidososuus E B /A (sidosenergia nukleonia kohti) on mitta sille, miten tiukasti nukleonit ovat sitoutuneet toisiinsa. Deuteronin tapauksessa E B /A=1.11 MeV on pienin luonnossa havaituista sidososuuksista. Sidososuudet massaluvun funktiona: Alussa sidososuus kasvaa massaluvun funktiona. Sidososuus on maksimissaan 8.8 MeV. 56 6Fe on stabiilein ydin Raskailla (ja hyvin kevyillä) ytimillä nukleonit ovat heikommin sitoutuneita toisiinsa kuin keskiraskailla ytimillä. Tätä ominaisuutta käytetään hyväksi kun tuotetaan energiaa fissiolla ja fuusiolla. 0

221 ESIMERKKI Kuinka paljon energiaa tarvitaan poistamaan neutroni ytimestä? 0Ca Entä protonin poistamiseen? Miksi energiat eroavat toisistaan? 1

222 6.5. YDINVOIMISTA Protonien keskinäisen sähköisen poistovoiman takia nukleonit eivät voi muodostaa pysyvää rakennelmaa ilman niiden välillä vaikuttavaa vahvaa vuorovaikutusta. Vahva vuorovaikutus on vetovoima nukleonien välillä, joka vaikuttaa samalla tavalla protoneihin ja neutroneihin. Sen kantama on lyhyt voima on hyvin vahva kun nukleonien etäisyys <10-15 m, tämän etäisyyden ulkopuolella voima on käytännössä nolla. Voiman yksityiskohtaista matemaattista muotoa ei tunneta. Nukleonit ovat vuorovaikutuksessa vain muutamien lähimpien naapureidensa kanssa (osoituksena ydinten lähes vakio tiheys ja raskaampien ydinten lähes vakio sidososuus) = kyllästymisilmiö Voima suosii vastakkaissuuntaisen spinin omaavien protonien ja neutronien parien muodostumista ja myös protoni-protoni sekä neutronineutroni-parien muodostumista, siksi alfahiukkanen (kaksi protonia + kaksi neutronia) on massalukuunsa nähden poikkeuksellisen stabiili

223 ESIMERKKI 6.7 Kuinka suuri on kahden protonin välinen sähköinen poistovoima ytimessä, kun oletetaan, että varaus on pallomaisesti jakautunut? Protonien välinen etäisyys on.4 fm. 3

224 6.6. RADIOAKTIIVISUUS Vaikka ytimessä vaikuttavat suuret voimat, monet ytimet ovat epästabiileja ja hajoavat spontaanisti toisiksi ytimiksi. Lisäksi kaikki ytimet voivat hajota hiukkastörmäyksen seurauksena. Marie ja Pierre Curie, Ernest Rutherford ja useat muut tutkijat osoittivat, että radioaktiivisista aineista emittoituu positiivisesti ja negatiivisesti varattuja hiukkasia sekä neutraalia säteilyä (alfa-, beeta- ja gamma-säteily). Myöhemmin listaan on lisätty myös elektronikaappaus ja positroniemissio. Alkuaineella voi olla sekä stabiileja että radioaktiivisia isotooppeja. Esimerkiksi natriumilla on molempia, mutta uraanilla vain radioaktiivisia isotooppeja. 4

225 Radioaktiivinen hajoaminen on tilastollinen prosessi tietyn ytimen hajoamishetkeä on mahdoton ennustaa. Todennäköisyys sille, että ydin hajoaa lyhyessä ajassa dt on dp dt missä λ= ajasta riippumaton hajoamisvakio. Ts. N kappaleesta ytimiä hajoaa ajan dt kuluessa λndt kappaletta (kun N on suuri). Hajoamattomien ydinten lukumäärän muutos on siis dn N dt Hajoamisten lukumäärä aikayksikössä eli näytteen aktiivisuus on dn R N dt Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on tuttu hajoamislaki N( t) N 0 e t missä N 0 on hajoamattomien ydinten lukumäärä ajanhetkellä t=0. 5

226 Aktiivisuuden SI-yksikkö on becquerel (Bq), joka on yksi hajoaminen sekunnissa. Yleisesti käytetään myös yksikköä curie (Ci), joka vastaa suurin piirtein yhden radiumgramman aktiivisuutta: 1 Ci = Bq = hajoamista sekunnissa. Puoliintumisajan T 1/ kuluttua alkuperäisen näytteen ytimistä on jäljellä puolet: N( T 1/ ) N Ratkaistaan tästä T 1/ ja saadaan: T 1 / ln 0 N 0 Epästabiilin nuklidin keskimääräinen elinaika on hajoamisvakion käänteisarvo: N 0 e T 1/ 1 T mean T 1/ ln 6

227 ESIMERKKI 6.8 Kuinka kauan kestää, että radon näytteestä hajoaa 60%? 7

228 Radioaktiivisen näytteen aktiivisuus oli määritelty: dn R dt Derivoimalla N( t) N 0 e aktiivisuus ajan funktiona t ajan t suhteen, saadaan määritettyä R N0e t Esimerkkejä puoliintumisajoista: Ydin Radium Ra Neutroni n Hiili 14 C Puoliintumisaika 38 s min 5730 vuotta 8

229 ESIMERKKI 6.9 Mikä on 1.00 mg Rn näytteen aktiivisuus? Mikä on saman näytteen aktiivisuus viikon kuluttua? 9

230 6.7. ALFA-HAJOAMINEN Alfahiukkanen on He-ydin (kaksi protonia + kaksi neutronia) Alfa-hiukkasen emissio tapahtuu, kun ydin on liian suuri ollakseen stabiili A Z X A-4 Z- Y 4 He missä X= emoydin, Y= tytärydin Hajoaminen on mahdollinen, jos alkuperäisen neutraalin atomin X massa on suurempi kuin syntyneen neutraalin atomin Y ja neutraalin helium-atomin massojen summa. Tällaista alkuaineen muuttumista toiseksi sanotaan transmutaatioksi. Esimerkki: Radium hajoaa radoniksi 88Ra 86Rn 6 4 He Hajoaminen tapahtuu spontaanisti alfa-hiukkasen tunneloituessa ydintä ympäröivän potentiaalivallin läpi. 30

231 Alfahajoamisen yhteydessä esiintyy usein myös gammasäteilyä, koska tytärydin jää usein virittyneeseen tilaan, joka purkautuu gammakvantilla perustilaan. Esimerkki: 34 9U 90Th 38 4 He 31

232 6.8. BEETA-HAJOAMINEN Beeta-hajoamista on kolmea erilaista tyyppiä: n p p 0 p n 0 n 0 e e e Elektroniemissio Positroniemissio Elektronikaappaus β - -hiukkanen on elektroni ja β + -hiukkanen on positroni. ν e on elektronin neutriino, joka tarvitaan varmistamaan energian ja liikemäärän säilyminen. Neutriino on varaukseton ja lähes massaton hiukkanen. Ytimen ulkopuolella oleva neutroni hajoaa β - -hajoamisella noin 15 minuutissa. Ydin voi hajota elektroniemissiolla silloin, kun sen ytimessä on liikaa neutroneja suhteessa protoneihin: A Z X A Y Z 1 e Esimerkki: C 7N e 3