2 2 -faktorikokeen määritelmä
|
|
- Eeva-Kaarina Järvinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta vastemuuttujaan tilanteessa, tekijöillä on vain kaksi tasoa? Esitiedot: Yksisuuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Useampisuuntainen varianssianalyysi vainsanat F-testi Faktorikoe Interaktio Jäännösneliösumma k-suuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo Kokonaisneliösumma Kokonaisvaihtelu Kolmisuuntainen varianssianalyysi Koodaus Kontrasti Luonnollinen muuttuja Neliösumma Odotusarvo Päävaikutus Reunakeskiarvo Ryhmä Taso Testi Vapausaste Varianssi Varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysitaulukko Vastemuuttuja Vastepintamalli Yhdysvaikutus TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4 -faktorikokeen määritelmä >> Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kaksi faktoria eli tekijää, joilla molemmilla on kaksi tasoa: matala ()ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: -faktorikokeen tilastollinen malli on kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6
2 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 7 Käsittelykominaatiot -faktorikokeessa Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa = = 4 käsittelykominaatiota: Käsittelykominaatio = matala = korkea = matala = korkea = matala = matala = korkea = korkea Käytetään käsittelykominaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden ja korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a ja. (ii) Merkitään tekijöiden ja matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon molempien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (005) 8 Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Käsittelykominaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: Merkintä () a Oletetaan, että jokaista käsittelykominaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on n = n = 4n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykominaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykominaatiota: () = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () a = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () = Havaintoarvojen summa, kun = (), = () TKK (c) Ilkka Mellin (005) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 0 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa neliöllä: () a Tekijän päävaikutus Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala (): a () n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea (): () a n Tekijän päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: a () = = [ ()] n n n TKK (c) Ilkka Mellin (005) TKK (c) Ilkka Mellin (005)
3 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 Tekijän päävaikutus Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala (): () n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea (): () a a n Tekijän päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: a () = [ a ()] = n n n Tekijöiden ja interaktioeli yhdysvaikutus on puolet tekijän vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän tasolla. Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea (): ( )/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala (): (a ())/n () a TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4 Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijöiden ja päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat kontrasteja Tekijöiden ja interaktio eli yhdysvaikutus: a () = n n a () = n n () a = n n () a Tekijöiden ja päävaikutukset sekä yhdysvaikutus ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): = [ ()] n = [ a ()] n () a = [ a ()] n = [ a ()] n TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 Tekijöiden ja päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksen neliösummat Koska tekijöiden ja päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavoilla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SS = [ a ()] 4n SS = [ a ()] 4n SS = [ a ()] 4n Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon y kij = k. havainto tekijän tason i ja tekijän tason j määräämässä ryhmässä (i, j) k =,,, n, i =,, j =, Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on n n SST = ( ykij yiii) = ykij Tiii 4n i= j= k= i= j= k= n iii kij i= j= k= T = y = a () on kaikkien havaintoarvojen summa. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 8
4 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 9 Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Varianssianalyysihajotelma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: n SSE = ( y y ) i= j= k= kij iij y n = y, i=,, j =, iij kij n k = ryhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SS SS SS SSE SSE on kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 0 -faktorikokeen nollahypoteesit Varianssianalyysitaulukko -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H : Ei yhdysvaikutusta H : Ei -vaikutusta H : Ei -vaikutusta -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H, H, H perustuvat seuraavaan varianssianalyysitaulukkoon: Vaihtelun lähde Jäännös Kokonaisvaihtelu SS SS SS SS SSE SST df 4(n ) 4n MS = SS/df MS = SS/df MS = SS/df MS = SS/df MSE = SSE/df F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) TKK (c) Ilkka Mellin (005) ja regressioanalyysi /4 ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät ja ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon = Tekijän arvo, kun tekijän taso on korkea () = Tekijän arvo, kun tekijän taso on matala () = Tekijän arvo, kun tekijän taso on korkea () = Tekijän arvo, kun tekijän taso on matala () Määritellään koodatut muuttujat ( )/ x =, =, ( )/ ( )/ x =, =, ( )/ Koodattujen muuttujien x ja x arvot:, jos = x =, jos =, jos = x =, jos = TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4
5 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 ja regressioanalyysi 3/4 ja regressioanalyysi 4/4 -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli y= β0 βx βx βxx ε y = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja x = Päävaikutusta vastaava koodattu selittäjä x = Päävaikutusta vastaava koodattu selittäjä x x = Tekijöiden ja interaktiota vastaava koodattujen selittäjien x ja x tulo Mallin y= β0 βx βx βxx ε regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: 0 = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo = = Tekijän päävaikutus = = Tekijän päävaikutus = = Tekijöiden ja yhdysvaikutus Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 3 -faktorikokeen määritelmä >> Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kolme faktoria eli tekijää,, C joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 3 -faktorikokeen tilastollinen malli on kolmisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 8 Käsittelykominaatiot 3 -faktorikokeessa Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa = 3 = 8 käsittelykominaatiota: C Käsittelykominaatio = matala = matala C = matala = korkea = matala C = matala = matala = korkea C = matala = korkea = korkea C = matala = matala = matala C = korkea = korkea = matala C = korkea = matala = korkea C = korkea = korkea = korkea C = korkea TKK (c) Ilkka Mellin (005) 9 Käytetään käsittelykominaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden,, C korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a, ja c. (ii) Merkitään tekijöiden,, C matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien kolmen tekijän matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (005) 30
6 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 Käsittelykominaatioiden merkitseminen / Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Käsittelykominaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: C Merkintä () a c ac c c Oletetaan, että jokaista käsittelykominaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on n = 3 n = 8n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykominaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykominaatiota: (), a,,, c, ac, c, c TKK (c) Ilkka Mellin (005) 3 3 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus 3 -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa kuutiolla: C c c ac () a c Tekijän päävaikutus / Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala () ja tekijän C taso on matala (): (a ())/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea () ja tekijän C taso on matala (): ( )/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on matala () ja tekijän C taso on korkea (): (ac c)/n Tekijän vaikutus, kun tekijän taso on korkea () ja tekijän C taso on korkea (): (c c)/n Tekijän päävaikutus on edellisten keskiarvo: = [( a ()) ( ) ( ac c) ( c c)]/(4 n) = [ c ac c c()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 34 Tekijän päävaikutus / Tekijöiden ja C päävaikutukset Tekijän päävaikutus saadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijän vaikutusten keskiarvo, kun tekijän taso on korkea (): ( c ac a)/(4 n) (ii) Lasketaan tekijän vaikutusten keskiarvo, kun tekijän taso on matala (): ( c c ())/(4 n) (iii) Tekijän päävaikutus on edellisten erotus: = [( c ac a) ( cc())]/(4 n) = [ c ac c c()]/(4 n) Samalla tavalla kuin tekijän päävaikutus saadaan tekijöiden ja C päävaikutukset: = [( c c ) ( ac a c ())]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [( c ac c c) ( a ())]/(4 n) = [ c ac ca c()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 36
7 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 37 Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijöiden ja yhdysvaikutus / Tekijöiden ja interaktioeli yhdysvaikutus on puolet tekijän vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän tasolla. Tekijän vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän taso on korkea (): [(c c) ( )]/(n) Tekijän vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän taso on matala (): [(ac c) (a ())]/(n) Siten tekijöiden ja interaktio eli yhdysvaikutus on = [( c c) ( ) ( ac c) ( a ())]/(4 n) = [ c acca c ()]/(4 n) Tekijöiden ja interaktiosaadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijöiden ja vaikutusten keskiarvo, kun molempien tekijöiden ja taso on samanaikaisesti korkea () tai matala (): ( c c ())/(4 n) (ii) Lasketaan tekijöiden ja vaikutusten keskiarvo, kun toisen tekijän ja taso on korkea () ja toisen matala (): ( ac c a )/(4 n) (iii) Tekijöiden ja interaktio on edellisten erotus: = [( c c ()) ( ac c a )]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 38 Tekijöiden ja C ja tekijöiden ja C yhdysvaikutukset Samalla tavalla kuin tekijöiden ja yhdysvaikutus saadaan tekijöiden ja C ja tekijöiden ja C interaktioiksi eli yhdysvaikutukset: C = [( c ac ()) ( c a c)]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [( c c a ()) ( ac c)]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) Tekijöiden,, C yhdysvaikutus Tekijöiden,, C interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän interaktioiden erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän C tasolla: C = [( c c) ( ac c) ( ) ( a ())]/(4 n) = [( c a c) ( ac c ())]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 40 Tekijöiden, ja C pää- ja yhdysyhdysvaikutuksien geometrinen havainnollistaminen 3 -faktorikokeeseen liittyviä pää- ja yhdysvaikutuksia voidaan havainnollistaa seuraavilla kaavioilla: c C TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4 C C c () a C ac c Tekijöiden ja päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat kontrasteja Tekijöiden,, C päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): = [ c ac c c()]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) C = [ c ac c a c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (005) 4
8 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 43 Tekijöiden ja päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummat Koska tekijöiden,, C päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSX = nx X =,, C,, C, C, C viittaa vastaavaan kontrastiin. Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon y lijk = l. havainto tekijän tason i, tekijän tason j ja tekijän C tason k määräämässä ryhmässä (i, j, k) l =,,, n, i =,, j =,, k =, Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on n n SST = ( ylijk yiiii) = ylijk Tiiii i= j= k= l= i= j= k= l= 8n n T = y iiii lijk i= j= k= l= = c ac c a c () on kaikkien havaintoarvojen summa. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 44 Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Varianssianalyysihajotelma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: n SSE = ( y y ) i= j= k= l= lijk iijk y n = y, i=,, j =,, k =, iijk lijk n l = ryhmän (i, j, k) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SS SS SSC SS SSC SSC SSE SSE on kolmisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (005) faktorikokeen nollahypoteesit Varianssianalyysitaulukko / 3 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H C : Ei yhdysvaikutusta C H : Ei yhdysvaikutusta H C : Ei yhdysvaikutusta C H C : Ei yhdysvaikutusta C H : Ei -vaikutusta H : Ei -vaikutusta H C : Ei C-vaikutusta 3 -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H C, H, H C, H C, H, H, H C perustuvat seuraavan kalvon varianssianalyysitaulukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 48
9 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 49 Varianssianalyysitaulukko / ja regressioanalyysi /4 Vaihtelun lähde C C C C Jäännös Kokonaisvaihtelu SS SS SS SSC SS SSC SSC SSC SSE SST df 8(n ) 8n MS = SS/df MS = SS/df MS = SS/df MSC = SSC/df MS = SS/df MSC = SSC/df MSC = SSC/df MSC = SSC/df MSE = SSE/df F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F C = MSC/MSE F C = MSC/MSE Oletetaan, että tekijät,, C ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () X =,, C TKK (c) Ilkka Mellin (005) 50 ja regressioanalyysi /4 ja regressioanalyysi 3/4 Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/ x =, X = X, X ( X X)/ Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X = X x =, jos X = X 3 -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli y= β0 βx βx β3x3 βxx β3xx 3 β3xx 3 β3xxx 3 ε y = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja x i = Päävaikutuksia vastaavat koodatut selittäjät x i x j = Tekijöiden,, C pareittaisia interaktioita vastaavat koodattujen selittäjien tulot x x x 3 = Tekijöiden,, C interaktiota vastaava koodattujen selittäjien tulo TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 5 ja regressioanalyysi 4/4 Mallin y= β0 βx βx β3x3 βxx β3xx 3 β3xx 3 β3xxx 3 ε regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: 0 = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo i = Tekijöiden,, C päävaikutukset ij = Tekijöiden pareittaiset yhdysvaikutukset = Tekijöiden,, C yhdysvaikutus 3 Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. >> TKK (c) Ilkka Mellin (005) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 54
10 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 55 k -faktorikokeen määritelmä Käsittelykominaatiot k -faktorikokeessa Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten k faktoria eli tekijää,, C,, K joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: k -faktorikokeen tilastollinen malli on k-suuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa = k k kpl käsittelykominaatiota. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 56 Käsittelykominaatioiden merkitseminen Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Käytetään käsittelykominaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden,, C,, K korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a,, c,, k. (ii) Merkitään tekijöiden,, C,, K matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). k -faktorikokokeen koeasetelmaa voidaan havainnollistaa k-dimensionaalisella kuutiolla; ks. esimerkkejä kappaleissa ja. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 57 Oletetaan, että jokaista käsittelykominaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on k n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykominaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykominaatiota: () a,,, k, ac,, jk c, d,, ijk c k TKK (c) Ilkka Mellin (005) 58 Tekijöiden,, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen / Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset ja interaktiot eli yhdysvaikutukset voidaan määrätä kaavalla k X = ( a± )( ± ) ( k± )/( n ) X viittaa määrättävään päävaikutukseen tai yhdysvaikutukseen ja merkit sulkulausekkeissa määräytyvät seuraavan säännön mukaan: Merkki =, jos vastaava tekijä on mukana määrättävässä vaikutuksessa Merkki =, jos vastaava tekijä ei ole mukana määrättävässä vaikutuksessa Lisäksi on korvattava laskutoimitusten jälkeen merkinnällä (). TKK (c) Ilkka Mellin (005) 59 Tekijöiden,, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen / Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja; ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 60
11 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 Tekijöiden,, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummien määrääminen Koska tekijöiden,, C,, K päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykominaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): k SSX = n X X viittaa vastaavaan kontrastiin. Varianssianalyysitaulukko Testit k -faktorikokeen nollahypoteeseille perustuvat seuraavilla kalvoilla esitettävään varianssianalyysitaulukkoon. Täydellisestä taulukosta esitetään seuraavat neljä osaa: (i) Päävaikutukset (ii) Kahden tekijän interaktiot (iii) Kolmen tekijän interaktiot (iv) k:n tekijän interaktiot, jäännösvaihtelu, kokonaisvaihtelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) 6 Varianssianalyysitaulukko: Päävaikutukset Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset: Vaihtelun lähde C K SS SS SS SSC SSK df Päävaikutusten lukumäärä: k MS = SS/df MS MS MSC MSK F = MS/MSE F = MS/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F K = MSK/MSE Varianssianalyysitaulukko: Kahden tekijän interaktiot Tekijöiden,, C,, K kahden tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde C JK SS SS SSC SSJK MSJK Kahden tekijän interaktioiden lukumäärä: k df MS = SS/df MS MSC F = MS/MSE F = MS/MSE F C = MSC/MSE F JK = MSJK/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) 63 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 64 Varianssianalyysitaulukko: Kolmen tekijän interaktiot Tekijöiden,, C,, K kolmen tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde C D IJK SS SSC SSD SSIJK MSIJK Kolmen tekijän interaktioiden lukumäärä: k 3 df MS = SS/df MSC MSD F IJK = MSIJK/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) 65 F = MS/MSE F C = MSC/MSE F D = MSD/MSE Varianssianalyysitaulukko: k:n tekijän interaktio, jäännös- ja kokonaisvaihtelu Tekijöiden,, C,, K k:n tekijän interaktio, jäännösvaihtelu ja kokonaisvaihtelu: Vaihtelun lähde CK Kokonaisvaihtelu SST k n k k:n tekijän interaktioiden lukumäärä: = k Jäännösvaihtelu SS SSCK SSE k (n ) MSCK MSE df MS = SS/df F = MS/MSE F CK = MSCK/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (005) 66
12 TKK (c) Ilkka Mellin (005) 67 ja regressioanalyysi /4 ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät,, C,, K ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () X =,, C,, K Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/ x =, X = X, X ( X X)/ Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X = X x =, jos X = X TKK (c) Ilkka Mellin (005) 68 ja regressioanalyysi 3/4 ja regressioanalyysi 4/4 k -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli y x i 0 k y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutuksia,, C,, K vastaavat koodatut selittäjät = Kahden tekijän interaktioita vastaavat tulot x i x j x i x j x l = Kolmen tekijän interaktiota vastaavat tulot TKK (c) Ilkka Mellin (005) 69 Mallin regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: 0 = Kaikkien havaintojen aritmeettinen keskiarvo i = Tekijöiden,, C,, K päävaikutukset ij = Kahden tekijän yhdysvaikutukset = Kolmen tekijän yhdysvaikutukset ijl 0 k y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (005) 70
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
LisätiedotKoesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotToimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,
LisätiedotUseampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
(c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä
LisätiedotAltistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedot1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotTestaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.
Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit
LisätiedotOsafaktorikokeet. Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio
β versio Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
LisätiedotTilastolliset menetelmät
Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden soveltamisesta. Tämä on monisteen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotUSEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI
TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen
LisätiedotSalkin poliorokotekoe Ryhmän koko Sairastuvuus (per 100000) Hoitoryhmä 200000 28 Vertailuryhmä 200000 71 Ei saanut rokottaa 350000 46
TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 suunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä suunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 suunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä
LisätiedotARVIOINTIPERIAATTEET
PSYKOLOGIAN YHTEISVALINNAN VALINTAKOE 2012 ARVIOINTIPERIAATTEET Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos, Materiaalin luvaton kopiointi kielletty. TEHTÄVÄ 1. (max. 34.5 pistettä) 1 a.i)
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
LisätiedotLuonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta
Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotLiite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedot9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)
9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa
Lisätiedot4.2 Useampi selittävä muuttuja (kertausta)
14.2.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento 14.2.2019 4.2 Useampi selittävä muuttuja (kertausta) Selittäjien lukumäärä k (k-ra) = + + + + Malliin liittyvät oletukset i ~ N(0, 2 ) ja i:t ovat
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
Lisätiedot