Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.

Transkriptio

1 Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit tutkivat tapaa, jolla vesi kuljettaa myrkyllistä ainetta, mittaamalla myrkkypitoisuuksia kolmesta eri paikasta pyydystetyistä ostereista. Saatiin seuraavanlainen aineisto: Paikka 1 Paikka Paikka Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. (Summat: i [Milton-Arnold: ] j Y ij = 10546, T 1 = 185, T = 147, T 3 = 154) RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: T = T i = = 486. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen lukumäärä: n 1 = 8, n = 9, n 3 = 7, n = n i = = 4. 1

2 Lasketaan neliösummat: SS T = n i j=1 ij T n Y = = 704.5, ja SS G = T i T n i n = = SS E = SS T SS G = = F = SS G/(k 1) SS E /(n k) = 5.65/(3 1) /(4 3) = Testisuure F noudattaa F,1 -jakaumaa nollahypoteesin H 0 : µ 1 = µ = µ 3 ollessa tosi. P-arvon laskeminen: Mellinin monisteen taulukosta 4.A saadaan ja taulukosta 4.C saadaan P-arvolle saadaan siis arvio P [F, ] = 5% = 0.05 P [F, ] = 1% = < P [F, ] < 0.05 (Jotain tilasto-ohjelmistoa käyttämällä saadaan laskettua tarkka P- arvo P [F, ] = ). Saadaan pieni ( melkein merkitsevä ) P-arvo, joten aineiston perusteella myrkkypitoisuudet näyttäisivät eroavan eri pyydystyspaikoissa.

3 . On testattu alumiinitankojen vetolujuutta. Neljäkymmentä samanlaista alumiinitankoa jaettiin satunnaisesti kolmeen yhtä suureen ryhmään. Jokaiselle ryhmälle annettiin erilaista lämpökäsittelyä ja sen jälkeen mitattiin tankojen vetolujuudet (mittayksikkö: 1000 pauna/tuuma ). Saatiin seuraavanlainen aineisto: Käsittely (a) Testaa yksisuuntaisen varianssianalyysin avulla onko eri käsittelyillä vaikutusta vetolujuuteen. (b) Testaa nollahypoteeseja H 0 : µ 1 µ + µ 3 µ 4 = 0 ja H 0 : µ 1 µ 3 = 0. (Summat: i T 4 = 173.5) j Y ij = , T 1 = 03.4, T = 183.4, T 3 = 15.7, [Milton-Arnold: 13.3.(b) and ] 3

4 RATK. (a) Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: T = T i = = 776. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen lukumäärä: n 1 = n = n 3 = n 4 = 10, n = 4 10 = 40. Lasketaan neliösummat: SS T = n i j=1 ij T n Y = = Ti SS G = T n i n = = SS E = SS T SS G = = F = SS G/(k 1) /(4 1) = SS E /(n k) /(40 4) = Testisuure F noudattaa F 3,36 -jakaumaa nollahypoteesin H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 ollessa tosi. P-arvon laskeminen: Mellinin monisteen taulukosta 4.C saadaan ja P [F 3, ] = 1% = 0.01 P [F 3, ] = 1% = Näiden kahden arvon perusteella voidaan päätellä, että P [F 3,36 4.4]

5 P-arvolle saadaan siis arvio P [F 3, ] < (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 3, ] = ). Saadaan hyvin pieni ( erittäin merkitsevä ) P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. (b) Testataan nollahypoteesia H 0 : µ 1 µ + µ 3 µ 4 = 0 Kyseessä on kontrastin L 1 = k a iµ i testaus missä k = 4, a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1, a 4 = 1. Lasketaan L 1 :n estimaatti ˆL 1 : ˆL 1 = a i Ȳ i = = Lasketaan summa Kohdan (a) perusteella: a i = 1 n i 10 + ( 1) ( 1) 10 = 4 10 = 0.4. MS E = SS E /(n k) = /(40 4) = Testisuureena on Q 1 /1 Q /(n k) = SS L 1 MS E missä ˆL 1 SS L1 = k a i n i on kontrastia L 1 vastaava neliösumma. Edellä oleva testisuure on F 1,n k -jakautunut, kun nollahypoteesi on tosi. SS L1 = 6. /0.4 =

6 Q 1 /1 Q /(n k) = = Lasketaan P-arvo: Mellinin monisteen taulukon 4.C perusteella ja P [F 1, ] = 0.01 P [F 1, ] = Näiden kahden arvon perusteella voidaan päätellä, että P-arvolle saadaan siis arvio P [F 1,36 7.4] 0.01 P [F 1, ] < (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 1, ] = ). Saadaan erittäin merkitsevä P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Siis aineiston perusteella näyttää siltä, että µ 1 µ + µ 3 µ 4 0 eli 1 (µ 1 + µ 3 ) 1 (µ + µ 4 ). Testataan seuraavaksi nollahypoteesia H 0 : µ 1 µ 3 = 0. Kyseessä on kontrastin L = k b iµ i testaus missä k = 4, b 1 = 1, b = 0, b 3 = 1, b 4 = 0. Lasketaan L :n estimaatti ˆL : ˆL = Lasketaan summa b i Ȳ i = = b i = 1 n i 10 + ( 1) 10 = 0.. SS L = ( 1.3) /0. =

7 Q 1 /1 Q /(n k) = = Lasketaan P-arvo: Mellinin monisteen taulukon 4.C perusteella (katso kontrastin L 1 testaus) P-arvolle saadaan arvio P [F 1, ] < (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 1, ] = ). Saadaan erittäin merkitsevä P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Siis aineiston perusteella näyttää siltä, että µ 1 µ 3 0 eli µ 1 µ 3. 7

8 3. Kemian insinööri tutkii vasta kehitettyä polymeeriä, jota haluttaisiin käyttää myrkkyjätteiden poistamiseen vedestä. Puhdistuskoe suoritettiin viidessä eri lämpötilassa. Vedestä mitattiin kuinka suuri osa epäpuhtauksista (prosentteina) saatiin poistettua uuden polymeerin avulla. Lämpötila I II III IV V (a) Testaa eroavatko eri ryhmät toisistaan. (b) Anna kontrasti, jota voidaan käyttää populaation 5 keskiarvon vertaamiseen neljän muun populaation yhdistettyyn keskiarvoon. Testaa onko tämän kontrastin arvo nolla. (Summat: i j Y ij = 73468, T 1 = 66, T = 3, T 3 = 308, T 4 = 300, T 5 = 360) [Milton-Arnold: , ] RATK. (a) Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: T = T i = = Lasketaan kaikkien havaintoarvojen lukumäärä: n 1 = n = n 3 = n 4 = n 5 = 6, n = 5 6 = 30. 8

9 Lasketaan neliösummat: SS T = n i j=1 ij T n Y = = Ti SS G = T n i n = SS E = SS T SS G = = = F = SS G/(k 1) /(5 1) = SS E /(n k) 94.0/(30 5) = Testisuure F noudattaa F 4,5 -jakaumaa nollahypoteesin H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 = µ 5 ollessa tosi. P-arvon laskeminen: Mellinin monisteen taulukosta 4.C saadaan joten P-arvolle saadaan arvio P [F, ] = 1% = 0.01, P [F, ] < (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F, ] = ). Saadaan hyvin pieni ( erittäin merkitsevä ) P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Aineiston perusteella ryhmien odotusarvot näyttäisivät eroavan toisistaan. (b) Testataan hypoteesia H 0 : 1 4 (µ 1 + µ + µ 3 + µ 4 ) = µ 5 eli hypoteesia H 0 : µ 1 + µ + µ 3 + µ 4 4µ 5 = 0 9

10 Kyseessä on kontrastin L 1 = k a iµ i testaus missä k = 5, a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1, a 4 = 1 ja a 5 = 4. Lasketaan L 1 :n estimaatti ˆL 1 : ˆL 1 = a i Ȳ i = = Lasketaan summa a i = 1 n i ( 4) 6 = SS L = ( ) / = Q 1 /1 Q /(n k) = SS L = = MS E Lasketaan P-arvo: Mellinin monisteen taulukon 4.C perusteella joten P-arvolle saadaan arvio P [F 1, ] = 0.01, P [F 1, ] < (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 1, ] = ). Saadaan erittäin merkitsevä P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Siis aineiston perusteella näyttää siltä, että 1 4 (µ 1 + µ + µ 3 + µ 4 ) µ 5. 10