1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA

Transkriptio

1 Mat Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo, Kokonaisneliösumma, Kokonaisvaihtelu, Luottamusväli, Neliösumma, Odotusarvo, Odotusarvojen vertailu, Päävaikutus, Reunahajonta, Reunakeskiarvo, Ryhmien sisäinen vaihtelu, Ryhmien välinen vaihtelu, Ryhmä, Ryhmäkeskiarvo, Ryhmäneliösumma, Taso, Testi, Vapauaste, Varianssi, Varianssianalyysihajotelma, Yhdysvaikutus, Yksisuuntainen varianssianalyysi, Yleiskeskiarvo 1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA STATISTIX-tiedostossa SATO on esitetty tulokset maissinviljelykokeesta, jossa on tutkittu viiden eri lannoiteseoksen (tekijä A) vaikutusta viiden eri maissilajikkeen (tekijä B) satoon. Jokaista lannoiteaineseos-maissilajikeyhdistelmää kokeiltiin kuudella eri koealalla. Sadot eri koealoilta on annettu muuttujana SATO. Indikaattorimuuttuja LANNOITE ilmaisee käytetyn lannoiteaineseoksen ja indikaattorimuuttuja MAISSI ilmaisee maissilajikkeen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Tutustu tiedoston SATO rakenteeseen ja indikaattorimuuttujien logiikkaan. Mikä on selitettävänä muuttujana? Tee aineistolle kaksisuuntainen varianssianalyysi. Mitkä ovat yhdysvaikutuksen neliösumma, päävaikutusten neliösummat, jäännösneliösumma eli ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma ja kokonaisneliösumma sekä vastaavat vapausasteet? Esitä myös miten vapausasteet saadaan. Testaa nollahypoteeseja H AB : H A : H B : Ei yhdysvaikutusta Ei A-vaikutusta Ei B-vaikutusta Mitkä ovat näitä hypoteeseja testaavien testisuureiden arvot ja vastaavat p-arvot? Ovatko hypoteesit perusteltuja? Laske kaksisuuntaisen varianssianalyysin testisuureiden arvot varianssianalyysihajotelman neliösummista ja tarkista, että tulos on sama kuin (d)-kohdassa. Laske ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat, reunakeskiarvot ja -hajonnat sekä yleiskeskiarvo. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 1/36

2 (g) Esitä ryhmäkeskiarvot graafisesti: STATISTIX: Statistics > Summary Statistics > Error Bar Chart Model Specification = Categorical Dependent Variable = SATO Categorical Variables = LANNOITE, MAISSI / MAISSI, LANNOITE Chart Type = Line Error Bar Type = Std Deviation (h) (i) RATKAISU: Esitä tulkinnat kuvioille. Vertaile sekä eri lannoiteseosten että eri maissilajikkeiden odotusarvoja käyttämällä Bonferronin menetelmää. Millaisia ryhmityksiä aineistosta löytyy? Esitä tulkinnat testituloksille. Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko jaetaan ryhmiin kahden tekijän suhteen ja päämääränä on testata selitettävän muuttujan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta. (a) AINEISTON ESITYSMUOTO STATISTIX-tiedostossa SATO on seuraavat muuttujat: SATO = Maissin sato; LANNOITE = Selitettävä muuttuja Lannoiteseos; MAISSI = Maissilajike; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3, 4, 5; tekijä A Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3, 4, 5; tekijä B Tutkimuksen päämääränä oli selvittää millä tavalla maissin sato (muuttuja SATO) riippuu erilaisista lannoiteaineseos-maissilajikeyhdistelmistä. Lannoiteaineseoksia (tekijä A) oli 5 erilaista ja maissilajikkeita (tekijä B) oli 5 erilaista, joten erilaisten yhdistelmien (ryhmien) lukumäärä on 5 5 = 25. Jokaista lannoiteaineseos-maissilajike-yhdistelmää kokeiltiin 6:lla koealalla, joten havaintojen kokonaislukumäärä oli 25 6 = 150. Siis Tekijän A tasojen lukumäärä: I = 5 Tekijän B tasojen lukumäärä: J = 5 Ryhmien lukumäärä: IJ = 25 Havaintojen lukumäärä ryhmässä: K = 6 Havaintojen kokonaislukumäärä: N = KIJ = 150 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 2/36

3 (b) KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI Tehdään kaksisuuntainen varianssianalyysi tiedoston SATO aineistolle. STATISTIX: Statistics > Linear Models > General AOV/AOCV Dependent Variable = SATO AOV Model Statement LANNOITE MAISSI LANNOITE*MAISSI Varianssianalyysimalli kirjoitetaan ikkunaan AOV Model Statement antamalla päävaikutukset ja yhdysvaikutukset. Koska muuttujan SATO mallina on kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja jokaisesta ryhmästä on useampia havaintoja, päävaikutuksia on kaksi: LANNOITE MAISSI ja yhdysvaikutuksia on yksi: LANNOITE*MAISSI STATISTIX FOR WINDOWS SATO ANALYSIS OF VARIANCE TABLE FOR SATO SOURCE DF SS MS F P LANNOITE (A) MAISSI (B) A*B RESIDUAL TOTAL (c) VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA JA VAPAUSASTEET KAKSISUUNTAISESSA VARIANSSIANALYYSISSA Neliösummat Varianssianalyysihajotelman neliösummat annetaan sarakkeessa SS. Päävaikutuksen A (LANNOITE) neliösumma SSA: Päävaikutuksen B (MAISSI) neliösumma SSB: Yhdysvaikutuksen A*B neliösumma SSAB: Jäännösneliösumma SSE: Kokonaisneliösumma SST: TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 3/36

4 Varianssianalyysihajotelma: SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Vapausasteet Varianssianalyysihajotelman neliösummien vapausasteet annetaan sarakkeessa DF. Päävaikutuksen A neliösumman vapausasteet I 1: 5 1 = 4 Päävaikutuksen B neliösumman vapausasteet J 1: 5 1 = 4 Yhdysvaikutuksen A*B neliösumman vapausasteet (I 1)(J 1): (5 1) (5 1) = 16 Jäännösneliösumman vapausasteet N IJ: = 125 Kokonaisneliösumman vapausasteet N 1: = 149 (d) TESTIT KAKSISUUNTAISESSA VARIANSSIANALYYSISSA Testisuureet kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteeseille annetaan sarakkeessa F ja vastaavat p-arvot annetaan sarakkeessa P. Nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta Testisuureen arvo: F AB = 0.97 Vastaava p-arvo: p = Johtopäätös: Nollahypoteesi H AB voidaan jättää voimaan. Nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen arvo: F A = Vastaava p-arvo (neljällä desimaalilla): p = Johtopäätös: Nollahypoteesi H A voidaan hylätä. Nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen arvo: F B = Vastaava p-arvo (neljällä desimaalilla): p = TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 4/36

5 Johtopäätös: Nollahypoteesi H B voidaan hylätä. (e) KAKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN TESTISUUREIDEN LASKEMINEN NELIÖSUMMISTA Nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta Testisuureen arvo on F AB N IJ SSAB MSAB = = = = 0.87 ( I 1)( J 1) SSE MSE jossa SSAB MSAB = = ( I 1)( J 1) SSE MSE = = N IJ Nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen arvo on F A N IJ SSA MSA = = = = I 1 SSE MSE jossa SSA MSA = = I 1 SSE MSE = = N IJ Nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen arvo on F B N IJ SSB MSB = = = = J 1 SSE MSE jossa SSB MSB = = J 1 SSE MSE = = N IJ TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 5/36

6 (f) RYHMÄKESKIARVOT JA -HAJONNAT, REUNAKESKIARVOT JA -HAJONNAT SEKÄ YLEISKESKIARVO Lasketaan ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat, reunakeskiarvot ja -hajonnat sekä yleiskeskiarvo. STATISTIX: General AOV/AOCV AOV Table > Results Means and Standard Errors Main Effects and Interactions LANNOITE MAISSI LANNOITE*MAISSI Niiden ryhmitysten, joiden suhteen keskiarvot halutaan, kirjoitetaan ikkunaan Main Effects and Interactions Jos ikkunaan, kirjoitetaan vain päävaikutukset, saadaan reunakeskiarvot. Jos ikkunaan kirjoitetaan yhdysvaikutukset, saadaan myös ryhmäkeskiarvot. Koska muuttujan SATO mallina on kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja jokaisesta ryhmästä on useampia havaintoja, päävaikutuksia on kaksi: LANNOITE MAISSI ja yhdysvaikutuksia on yksi LANNOITE*MAISSI TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 6/36

7 Yleiskeskiarvo sekä ja reunakeskiarvot ja -hajonnat STATISTIX FOR WINDOWS SATO GRAND MEAN SE MEANS OF SATO FOR LANNOITE LANNOITE MEAN SS (MEAN) OBSERVATIONS PER CELL 30 STD ERROR OF AN AVERAGE STD ERROR (DIFF OF 2 AVE'S) ERROR TERM USED: RESIDUAL, 125 DF MEANS OF SATO FOR MAISSI MAISSI MEAN SS (MEAN) OBSERVATIONS PER CELL 30 STD ERROR OF AN AVERAGE STD ERROR (DIFF OF 2 AVE'S) ERROR TERM USED: RESIDUAL, 125 DF Yleiskeskiarvo: Reunakeskiarvot tekijän A suhteen: Reunakeskiarvot tekijän B suhteen: GRAND MEAN MEANS OF SATO FOR LANNOITE MEANS OF SATO FOR MAISSI Vastaavat neliösummat on annettu sarakkeessa SS (MEAN). Ryhmäkohtaiset varianssit voidaan laskea näistä neliösummista tavanomaisilla varianssin kaavoilla: s s 1 K J 2 2 ii = ( yki j yiii) KJ 1 k= 1 j= 1 1 K I 2 2 i j = ( ykij yi i j) KI 1 k= 1 i= 1 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 7/36

8 Keskiarvojen keskivirheet STD ERROR OF AN AVERAGE on määrätty varianssianalyysin päätulostuksen jäännösvarianssin estimaattoreista: 2 SSE MSE s ( xii i ) = = KJ ( N IJ ) KJ 2 SSE MSE s ( xii j ) = = KI( N IJ ) KI Ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat MEANS OF SATO FOR LANNOITE*MAISSI LANNOITE MAISSI MEAN SS (MEAN) OBSERVATIONS PER CELL 6 STD ERROR OF AN AVERAGE STD ERROR (DIFF OF 2 AVE'S) ERROR TERM USED: RESIDUAL, 125 DF Ryhmäkeskiarvot: MEANS OF SATO FOR LANNOITE*MAISSI Vastaavat neliösummat on annettu sarakkeessa SS (MEAN). Ryhmäkohtaiset varianssit voidaan laskea näistä neliösummista tavanomaisella varianssin kaavalla: s 1 K 2 2 ij = ( ykij y ij ) K 1 i k = 1 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 8/36

9 Keskiarvojen keskivirheet STD ERROR OF AN AVERAGE on määrätty varianssianalyysin päätulostuksen jäännösvarianssin estimaattorista: SSE MSE s 2 ( xi ij ) = = K( N IJ) K (g) RYHMÄKESKIARVOJEN GRAAFINEN ESITYS Esitetään ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat graafisesti. STATISTIX: Statistics > Summary Statistics > Error Bar Chart Model Specification = Categorical Dependent Variable = SATO Categorical Variables = LANNOITE, MAISSI / MAISSI, LANNOITE Chart Type = Line Error Bar Type = Std Deviation Kummankin kuvion murtoviivojen yhdensuuntaisuus kuvastaa sitä, että tekijöiden A (LANNOITE) ja B (MAISSI) välillä ei todettu yhdysvaikusta. Sen sijaan murtoviivojen eritasoisuus saattaa merkitä sitä, että sato riippuu toisistaan riippumatta tekijöistä A ja B; ks. (f)-kohta. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 9/36

10 Alla olevassa kuviossa murtoviivat kuvaavat sadon vaihtelua eri lannoiteseoksilla. 93 Error Bar Chart with SD SATO MAISSI LANNOITE 150 cases Alla olevassa kuviossa murtoviivat kuvaavat sadon vaihtelua eri maissilajikkeilla. 93 Error Bar Chart with SD SATO LANNOITE MAISSI 150 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 10/36

11 (h) ODOTUSARVOJEN VERTAILU Koska nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta jäi voimaan, voidaan tekijöitä A (LANNOITE) ja B (MAISSI) tarkastella erillisinä. Tekijä A (LANNOITE) STATISTIX: General AOV/AOCV AOV Table > Results Comparison of Means Main Effects or Interactions LANNOITE Comparison Method = Bonferroni Alpha = 0.05 STATISTIX FOR WINDOWS SATO BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF SATO BY LANNOITE HOMOGENEOUS LANNOITE MEAN GROUPS I I I I I I THERE ARE 4 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 125 DF Vertailutulosten mukaan aineisto koostuu viiden sijasta neljästä ryhmästä: Ryhmä 1: Lannoiteseos 3 Ryhmä 2: Lannoiteseokset 4 ja 5 Ryhmä 3: Lannoiteseokset 5 ja 1 Ryhmä 4: Lannoiteseos 2 Parhaan sadon tuottaa lannoiteseos 3. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 11/36

12 Tekijä B (MAISSI) STATISTIX: General AOV/AOCV AOV Table > Results Comparison of Means Main Effects or Interactions MAISSI Comparison Method = Bonferroni Alpha = 0.05 STATISTIX FOR WINDOWS SATO BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF SATO BY MAISSI HOMOGENEOUS MAISSI MEAN GROUPS I I I I I THERE ARE 2 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 125 DF Vertailutulosten aineisto koostuu viiden sijasta kahdesta ryhmästä: Ryhmä 1: Lajikkeet 3, 5, 4, 1 Ryhmä 2: Lajike 2 Lajikkeet 3, 5, 4 ja 1 tuottavat parhaan sadon. (i) JOHTOPÄÄTÖKSET (1) Tekijöiden MAISSI ja LANNOITE välillä ei ole yhdysvaikutusta, joten maissin lajike ja lannoiteseos valita toisistaan riippumatta. (2) Maissin lajikkeista 3, 5, 4 ja 1 tuottavat parhaan sadon ja ovat yhtä hyviä. (3) Lannoiteseoksista 3 tuottaa parhaan sadon. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 12/36

13 2. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI, KUN JOKAISESSA SOLUSSA ON VAIN YKSI HAVAINTO Sementtitehtaan tuote täytetään 50 kg säkkeihin. Säkkejä on täyttämässä kuusi konetta. Tietyin väliajoin jokaiselta koneelta poimitaan yksi säkki tarkistuspunnitukseen. STATISTIX-tiedostossa PAKPAINOT on esitetty punnitustulokset 16 otoksesta. Punnituksien tulokset on annettu poikkeamina tavoitearvosta 50 kg muuttujana PAINO. Indikaattorimuuttuja KONE (tekijä A) ilmaisee säkin täyttäneen koneen ja indikaattorimuuttuja OTOS (tekijä B) ajanhetken, jona säkit on otettu tarkistukseen. Huomaa, että jokaisessa solussa on vain yksi havainto. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) RATKAISU: Esitä tulkinnat tekijöille A ja B sekä formuloi testattavat hypoteesit. Mikä on selitettävänä muuttujana? Tee aineistolle kaksisuuntainen varianssianalyysi. Mitkä ovat yhdysvaikutuksen neliösumma, päävaikutusten neliösummat ja kokonaisneliösumma sekä vastaavat vapausasteet? Et voi nyt muodostaa ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaavaa neliösummaa. Miksi? Testaa nollahypoteeseja H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta Et voi nyt testata yhdysvaikutuksen olemassaoloa. Miksi? Mitkä ovat hypoteeseja testaavien testisuureiden arvot ja vastaavat p-arvot? Ovatko hypoteesit perusteltuja? Laske ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat, reunakeskiarvot ja -hajonnat sekä yleiskeskiarvot. Esitä ryhmäkeskiarvot graafisesti. Vertaile sekä eri lannoiteseosten että eri maissilajikkeiden odotusarvoja käyttämällä Bonferronin menetelmää. Millaisia ryhmityksiä aineistosta löytyy? Esitä tulkinnat testituloksille. Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko jaetaan ryhmiin kahden tekijän suhteen ja päämääränä on testata selitettävän muuttujan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta. STATISTIX-tiedostossa PAKPAINOT on seuraavat muuttujat: PAINO = Poikkeama sementtisäkin painon tavoitearvosta 50 kg; Selitettävä muuttuja KONE = Säkkejä täyttänyt kone; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3, 4, 5, 6; tekijä A OTOS = Näytteen numero; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2,, 16; tekijä B TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 13/36

14 Tutkimuksen päämääränä oli selvittää millä tavalla säkin paino (muuttuja PAINO) riippuu säkkejä täyttäneestä koneesta ja näytteen numerosta. Kiinnostus kohdistuu varsinaisesti konekohtaisiin eroihin. Näytteen numero on mukana selittävänä tekijänä, koska saattaa olla mahdollista, että koneiden toiminnassa esiintyy ryömimisefektejä eli poikkeamat säkkien painon tavoitearvosta kasvavat tai vähenevät systemaattisesti. Koneita (tekijä A) oli 6 ja ajankohtia (tekijä B), jolloin näytteitä poimittiin oli 16, joten erilaisten yhdistelmien (ryhmien) lukumäärä on 6 16 = 96. Kultakin koneelta otettiin kunakin ajanhetkenä vain 1 näyte, joten havaintojen kokonaislukumäärä oli myös 96. Siis Tekijän A tasojen lukumäärä: I = 6 Tekijän B tasojen lukumäärä: J = 16 Ryhmien lukumäärä: IJ = 96 Havaintojen lukumäärä ryhmässä: K = 1 Havaintojen kokonaislukumäärä: N = KIJ = 96 Testattavat nollahypoteesit: H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta Koska jokaisesta ryhmästä on vain yksi havainto, tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta ei voida testata. (b) KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI Tehdään kaksisuuntainen varianssianalyysi tiedoston PAKPAINOT aineistolle. STATISTIX: Statistics > Linear Models > General AOV/AOCV Dependent Variable = PAINO AOV Model Statement KONE OTOS Varianssianalyysimalli kirjoitetaan ikkunaan AOV Model Statement antamalla päävaikutukset ja yhdysvaikutukset. Koska muuttujan PAINO mallina on kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja jokaisesta ryhmästä on vain yksi havainto, päävaikutuksia on kaksi (KONE ja OTOS) ja yhdysvaikutuksia ei ole. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 14/36

15 STATISTIX FOR WINDOWS PAKPAINOT ANALYSIS OF VARIANCE TABLE FOR PAINO SOURCE DF SS MS F P KONE (A) OTOS (B) A*B TOTAL (c) VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA JA VAPAUSASTEET KAKSISUUNTAISESSA VARIANSSIANALYYSISSA Neliösummat Varianssianalyysihajotelman neliösummat annetaan sarakkeessa SS. Päävaikutuksen A (KONE) neliösumma SSA: Päävaikutuksen B (OTOS) neliösumma SSB: Yhdysvaikutuksen A*B neliösumma SSAB: Kokonaisneliösumma SST: Varianssianalyysihajotelma: SST = SSA + SSB + SSAB Vapausasteet Varianssianalyysihajotelman neliösummien vapausasteet annetaan sarakkeessa DF. Päävaikutuksen A neliösumman vapausasteet I 1: 6 1 = 5 Päävaikutuksen B neliösumman vapausasteet J 1: 16 1 = 15 Yhdysvaikutuksen A*B neliösumman vapausasteet (I 1)(J 1): (6 1) (16 1) = 75 Kokonaisneliösumman vapausasteet N 1: 96 1 = 95 Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaavaa jäännösneliösummaa SSE ei voida muodostaa, koska ryhmien sisäistä vaihtelua ei ole (1 havainto per ryhmä). (d) TESTIT KAKSISUUNTAISESSA VARIANSSIANALYYSISSA Testisuureet kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteeseille annetaan sarakkeessa F ja vastaavat p-arvot annetaan sarakkeessa P. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 15/36

16 Nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen arvo: F A = Vastaava p-arvo (neljällä desimaalilla): p = Johtopäätös: Nollahypoteesi H A voidaan hylätä. Nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen arvo: F B = Vastaava p-arvo (neljällä desimaalilla): p = Johtopäätös: Nollahypoteesi H B voidaan hylätä. (e) RYHMÄKESKIARVOT JA -HAJONNAT, REUNAKESKIARVOT JA -HAJONNAT SEKÄ YLEISKESKIARVO Lasketaan reunakeskiarvot ja -hajonnat sekä yleiskeskiarvo. STATISTIX: General AOV/AOCV AOV Table > Results Means and Standard Errors Main Effects and Interactions KONE OTOS Niiden ryhmitysten, joiden suhteen keskiarvot halutaan, kirjoitetaan ikkunaan Main Effects and Interactions Jos ikkunaan, kirjoitetaan vain päävaikutukset, saadaan reunakeskiarvot. Jos ikkunaan kirjoitetaan yhdysvaikutukset, saadaan myös ryhmäkeskiarvot. Koska muuttujan PAINO mallina on kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja jokaisesta ryhmästä on vain yksi havainto, päävaikutuksia on kaksi (LANNOITE ja MAISSI) ja yhdysvaikutuksia ei ole. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 16/36

17 STATISTIX FOR WINDOWS PAKPAINOT GRAND MEAN SE MEANS OF PAINO FOR KONE KONE MEAN SS (MEAN) E OBSERVATIONS PER CELL 16 STD ERROR OF AN AVERAGE STD ERROR (DIFF OF 2 AVE'S) ERROR TERM USED: KONE*OTOS, 75 DF MEANS OF PAINO FOR OTOS OTOS MEAN SS (MEAN) OBSERVATIONS PER CELL 6 STD ERROR OF AN AVERAGE STD ERROR (DIFF OF 2 AVE'S) ERROR TERM USED: KONE*OTOS, 75 DF TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 17/36

18 (f) REUNAKESKIARVOJEN GRAAFINEN ESITYS Esitetään reunakeskiarvot ja -hajonnat graafisesti. STATISTIX: Statistics > Summary Statistics > Error Bar Chart Model Specification = Categorical Dependent Variable = SATO Categorical Variables = KONE / OTOS / OTOS, KONE Chart Type = Line Error Bar Type = Std Deviation 10 Error Bar Chart with SD 5 PAINO KONE 96 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 18/36

19 Error Bar Chart with SD 10 5 PAINO OTOS 96 cases Error Bar Chart with SD 10 5 KONE 1 PAINO OTOS 96 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 19/36

20 (g) ODOTUSARVOJEN VERTAILU Tekijä A (KONE) STATISTIX: General AOV/AOCV AOV Table > Results Comparison of Means Main Effects or Interactions KONE Comparison Method = Bonferroni Alpha = 0.05 STATISTIX FOR WINDOWS PAKPAINOT BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF PAINO BY KONE HOMOGENEOUS KONE MEAN GROUPS I I I I I I I I I THERE ARE 3 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: KONE*OTOS, 75 DF Vertailutulosten mukaan aineisto koostuu kuuden sijasta kahdesta ryhmästä: Ryhmä 1: Koneet 3 ja 2 Ryhmä 2: Koneet 6, 4, 1, 5 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 20/36

21 Tekijä B (OTOS) STATISTIX: General AOV/AOCV AOV Table > Results Comparison of Means Main Effects or Interactions OTOS Comparison Method = Bonferroni Alpha = 0.05 STATISTIX FOR WINDOWS PAKPAINOT BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF PAINO BY OTOS HOMOGENEOUS OTOS MEAN GROUPS I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I THERE ARE 6 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: KONE*OTOS, 75 DF Vertailutulosten mukaan aineisto koostuu kuudentoista sijasta kolmesta ryhmästä: Ryhmä 1: Otokset 3, 1, 4, 7, 6, 9, 8, 5, 2, 15 Ryhmä 2: Otokset 15, 11, 14, 13, 12, 10 Ryhmä 3: Otos 16 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 21/36

22 (h) JOHTOPÄÄTÖKSET (1) Koneet 3 ja 2 ovat tuottaneet selvästi liian painavia säkkejä. (2) Näytteissä 1-9 säkkien painot ovat olleet järjestelmällisesti liian suuria. Sen sijaan näytteissä painot ovat olleet lähellä tavoitearvoa, kun taas näytteessä 16 säkkien painot ovat olleet liian pieniä. (3) Kone 3 on tuottanut näytteissä 1-8 muita painavampia säkkejä. (4) Koneissa 4 ja 5 on saattanut ollut häiriö näytteen 10 aikana. (5) Kaikki koneet ovat tuottaneet näytteen 16 aikana liian kevyitä säkkejä. Yhteenveto (6) Koneiden toiminnassa on eroja. (7) Koneiden toiminnassa on tapahtunut ryömimisefektejä. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 22/36

23 3. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: SOVELLUS 1 STATISTIX-tiedostossa SATO2 on esitetty tulokset kahdesta vehnänviljelykokeiden sarjasta, joissa on tutkittu kolmen eri lannoiteseoksen (tekijä A) vaikutusta kolmen eri vehnälajikkeen (tekijä B) satoon. Sadot eri koealoilta on annettu muuttujana YIELD. Indikaattorimuuttuja FERTIL ilmaisee käytetyn lannoiteaineseoksen, indikaattori-muuttuja VARIETY ilmaisee vehnälajikkeen ja indikaattorimuuttuja OBS ilmaisee kokeen. RATKAISU: Tee aineistolle kaksisuuntainen varianssianalyysi ja tulkitse tulokset. Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko jaetaan ryhmiin kahden tekijän suhteen ja päämääränä on testata selitettävän muuttujan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta. (a) AINEISTON ESITYSMUOTO STATISTIX-tiedostossa SATO2 on seuraavat muuttujat: YIELD FERTIL = Vehnän sato; Selitettävä muuttuja = Lannoiteseos; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3; tekijä A VARIETY = Vehnälajike; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3, 4; tekijä B Tutkimuksen päämääränä oli selvittää millä tavalla vehnän sato (muuttuja YIELD) riippuu erilaisista lannoiteaineseos-maissilajikeyhdistelmistä. Lannoiteaineseoksia (tekijä A) oli 3 erilaista ja vehnälajikkeita (tekijä B) oli 4 erilaista, joten erilaisten yhdistelmien (ryhmien) lukumäärä on 3 4 = 12. Jokaista lannoiteaineseos-vehnälajike-yhdistelmää kokeiltiin 2:lla koealalla, joten havaintojen kokonaislukumäärä oli 12 2 = 24. Siis Tekijän A tasojen lukumäärä: I = 3 Tekijän B tasojen lukumäärä: J = 4 Ryhmien lukumäärä: IJ = 12 Havaintojen lukumäärä ryhmässä: K = 2 Havaintojen kokonaislukumäärä: N = KIJ = 24 Testattavat nollahypoteesit: H AB : H A : H B : Ei yhdysvaikutusta Ei A-vaikutusta Ei B-vaikutusta TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 23/36

24 (b) KESKIARVOJEN GRAAFINEN ESITYS Esitetään ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat graafisesti. Murtoviivojen erisuuntaisuus ja mutkittelu alla olevissa kuviossa viittaavat sekä yhdysvaikutuksen että päävaikutusten olemassaoloon. Error Bar Chart with SD FERTIL YIELD VARIETY 24 cases Error Bar Chart with SD 95 YIELD VARIETY FERTIL 24 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 24/36

25 (c) KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI Tehdään kaksisuuntainen varianssianalyysi tiedoston SATO2 aineistolle. STATISTIX FOR WINDOWS SATO2 ANALYSIS OF VARIANCE TABLE FOR YIELD SOURCE DF SS MS F P FERTIL (A) VARIETY (B) A*B RESIDUAL TOTAL Kaikki kolme kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesia voidaan hylätä. (d) ODOTUSARVOJEN VERTAILU Tekijä A (FERTIL) STATISTIX FOR WINDOWS SATO2 BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF YIELD BY FERTIL HOMOGENEOUS FERTIL MEAN GROUPS I I I THERE ARE 2 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 12 DF Parhaan sadon antaa lannoiteseos 2. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 25/36

26 Tekijä B (VARIETY) STATISTIX FOR WINDOWS SATO2 BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF YIELD BY VARIETY HOMOGENEOUS VARIETY MEAN GROUPS I I I I THERE ARE 2 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 12 DF Parhaan sadon antavat lajikkeet 4, 2, 1. Tekijä A*B (FERTIL*VARIETY) STATISTIX FOR WINDOWS SATO2 BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF YIELD BY FERTIL*VARIETY HOMOGENEOUS FERTIL VARIETY MEAN GROUPS I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I THERE ARE 4 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 12 DF TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 26/36

27 Parhaan sadon antavat seuraavat lannoiteseos-vehnälajikeyhdistelmät: (2, 1); (2, 4); (2, 2); (1, 2); (1, 4); (1, 1); (3, 3) 4. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: SOVELLUS 2 Tehtaalla valmistetaan rakennuslevyjä kolmella koneella. Valmistettujen levyjen permeabiliteettia (läpäisyä sekunteina) tutkittiin yhdeksänä peräkkäisenä päivänä poimimalla jokaisena päivänä jokaiselta kolmelta koneelta kolme levyä mitattaviksi. STATISTIX-tiedostossa SHEETS on esitetty tulokset mittauksista. Mittaustulokset on annettu (permeabiliteetin logaritmeina) muuttujana LOGPERM. Indikaattorimuuttuja MACHINE ilmaisee käytetyn koneen, indikaattorimuuttuja DAY ilmaisee mittauspäivän. RATKAISU: Tee aineistolle kaksisuuntainen varianssianalyysi ja tulkitse tulokset. Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko jaetaan ryhmiin kahden tekijän suhteen ja päämääränä on testata selitettävän muuttujan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta. (a) AINEISTON ESITYSMUOTO STATISTIX-tiedostossa SHEETS on seuraavat muuttujat: LOGPERM = Rakennuslevyn permeabiliteetin logaritmi; MACHINE = Kone; DAY Selitettävä muuttuja Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3; tekijä A = Näytteenottopäivä; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2,, 9; tekijä B Tutkimuksen päämääränä oli selvittää millä tavalla rakennuslevyn permeabiliteetin logaritmi (muuttuja LOGPERM) riippuu levyn valmistaneesta koneesta ja näytteenotto-päivästä. Koneita (tekijä A) oli 3 ja näytteenottopäiviä (tekijä B) oli 9, joten erilaisten yhdistelmien (ryhmien) lukumäärä on 3 9 = 27. Jokaisena päivänä jokaiselta koneelta poimittiin 3 levyä mittauksiin, joten havaintojen kokonaislukumäärä oli 27 3 = 81. Siis Tekijän A tasojen lukumäärä: I = 3 Tekijän B tasojen lukumäärä: J = 9 Ryhmien lukumäärä: IJ = 27 Havaintojen lukumäärä ryhmässä: K = 3 Havaintojen kokonaislukumäärä: N = KIJ = 81 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 27/36

28 Testattavat nollahypoteesit: H AB : Ei yhdysvaikutusta H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta (b) KESKIARVOJEN GRAAFINEN ESITYS Esitetään ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat graafisesti. Kuvioiden perusteella koneella saattaa olla vaikutusta levyjen permeabiliteettiin. Sen sijaan näytteenottopäivän vaikutus ei ole kovin ilmeinen. Error Bar Chart with SD LOGPERM MACHINE 81 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 28/36

29 Error Bar Chart with SD LOGPERM DAY 81 cases Error Bar Chart with SD LOGPERM MACHINE DAY 81 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 29/36

30 (c) KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI Tehdään kaksisuuntainen varianssianalyysi tiedoston SHEETS aineistolle. STATISTIX FOR WINDOWS SHEETS ANALYSIS OF VARIANCE TABLE FOR LOGPERM SOURCE DF SS MS F P MACHINE (A) DAY (B) A*B RESIDUAL TOTAL Nollahypoteesit H AB : Ei yhdysvaikutusta H B : Ei B-vaikutusta voidaan jättää voimaan, sen sijaan nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta voidaan hylätä. (d) ODOTUSARVOJEN VERTAILU Tekijä A (KONE) STATISTIX FOR WINDOWS SHEETS BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF LOGPERM BY MACHINE HOMOGENEOUS MACHINE MEAN GROUPS I I I THERE ARE 2 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 54 DF TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 30/36

31 Suurin permeabiliteetti on koneiden 1 ja 3 valmistamilla levyillä, pienin koneen 2 valmistamilla levyillä. 5. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: SOVELLUS 3 Eräässä tutkimuksessa vertailtiin kolmen automerkin polttoainetaloudellisuutta. Vertailu tehtiin niin, että viisi autoilijaa ajoi jokaista autoa kolme eri kertaa samalla radalla. Koska ajotavat saattavat vaikuttaa polttoaineen kulutukseen, ajajat valittiin eri ikäluokista. Ajajien ikäluokat olivat 1: 25 ja alle; 2: 26-35; 3: 36-45; 4: 46-55; 5: STATISTIX-tiedostossa CARS on esitetty tulokset eri ajokerroista. Tulokset on annettu muuttujana FUELCONS (mailia/gallona). Indikaattorimuuttuja CAR ilmaisee auton ja indikaattorimuuttuja DRIVER ilmaisee ajajan. RATKAISU: Tee aineistolle kaksisuuntainen varianssianalyysi ja tulkitse tulokset. Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko jaetaan ryhmiin kahden tekijän suhteen ja päämääränä on testata selitettävän muuttujan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta. (a) AINEISTON ESITYSMUOTO STATISTIX-tiedostossa CARS on seuraavat muuttujat: FUELCONS = Polttoainetaloudellisuus (mailia/gallona); CAR DRIVER Selitettävä muuttuja = Automerkki; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3; tekijä A = Ajaja; Indikaattorimuuttuja; arvot = 1, 2, 3, 4, 5; tekijä B Tutkimuksen päämääränä oli selvittää millä tavalla polttoainetaloudellisuus (muuttuja FUELCONS) riippuu automerkistä ja ajajasta. Autoja (tekijä A) oli 3 ja ajajia (tekijä B) oli 5, joten erilaisten yhdistelmien (ryhmien) lukumäärä on 3 5 = 15. Jokainen ajaja ajoi jokaisella autolla kolme eri kertaa, joten havaintojen kokonaislukumäärä oli 15 3 = 45. Siis Tekijän A tasojen lukumäärä: I = 3 Tekijän B tasojen lukumäärä: J = 5 Ryhmien lukumäärä: IJ = 15 Havaintojen lukumäärä ryhmässä: K = 3 Havaintojen kokonaislukumäärä: N = KIJ = 45 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 31/36

32 Testattavat nollahypoteesit: H AB : H A : H B : Ei yhdysvaikutusta Ei A-vaikutusta Ei B-vaikutusta (b) KESKIARVOJEN GRAAFINEN ESITYS Esitetään ryhmäkeskiarvot ja -hajonnat graafisesti. Murtoviivojen erisuuntaisuus ja mutkittelu alla olevissa kuviossa viittaavat sekä yhdysvaikutuksen että päävaikutusten olemassaoloon. Error Bar Chart with SD FUELCONS CAR 45 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 32/36

33 Error Bar Chart with SD FUELCONS DRIVER 45 cases Error Bar Chart with SD 26.4 FUELCONS DRIVER CAR 45 cases TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 33/36

34 Error Bar Chart with SD FUELCONS CAR DRIVER 45 cases (c) KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI Tehdään kaksisuuntainen varianssianalyysi tiedoston CARS aineistolle. STATISTIX FOR WINDOWS DRIVERS ANALYSIS OF VARIANCE TABLE FOR FUELCONS SOURCE DF SS MS F P CAR (A) DRIVER (B) A*B RESIDUAL TOTAL Kaikki kolme kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesia voidaan hylätä. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 34/36

35 (d) ODOTUSARVOJEN VERTAILU Tekijä A (CAR) STATISTIX FOR WINDOWS DRIVERS BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF FUELCONS BY CAR HOMOGENEOUS CAR MEAN GROUPS I I I ALL 3 MEANS ARE SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 30 DF Taloudellisin on auto 3, sitten auto 1 ja epätaloudellisen on auto 2. Tekijä B (DRIVER) STATISTIX FOR WINDOWS DRIVERS BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF FUELCONS BY DRIVER HOMOGENEOUS DRIVER MEAN GROUPS I I I I I THERE ARE 4 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 30 DF Taloudellisimmin on ajanut ajaja 3, sitten ajaja 1, ajajat 2 ja 5 ja epätaloudellisimmin on ajanut ajaja 4. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 35/36

36 Tekijä A*B (CAR*DRIVER) STATISTIX FOR WINDOWS DRIVERS BONFERRONI COMPARISON OF MEANS OF FUELCONS BY CAR*DRIVER HOMOGENEOUS CAR DRIVER MEAN GROUPS I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I THERE ARE 6 GROUPS IN WHICH THE MEANS ARE NOT SIGNIFICANTLY DIFFERENT FROM ONE ANOTHER. CRITICAL T VALUE REJECTION LEVEL CRITICAL VALUE FOR COMPARISON STANDARD ERROR FOR COMPARISON ERROR TERM USED: RESIDUAL, 30 DF Ajaja 3 on ajanut autolla 1 kaikkein taloudellisimmin. Tilastollisesti yhtä hyvään tulokseen ovat päässeet ajajat 1 ja 3 autolla 3. Seuraavan ryhmän muodostavat ajaja 2 autoilla 3 ja 1, ajaja 1 autolla 1, ajaja 5 autolla 3 ja ajaja 3 autolla 2. Huonoimman ryhmän muodostavat ajaja 5 autoilla 2 ja 1, ajaja 4 autoilla 1, 2 ja 3, ajaja 1 autolla 2 ja ajaja 2 autolla 2. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 36/36