Toimittaja Erä

Transkriptio

1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet, Gradienttimenetelmä, Hierarkkiset koeasetelmat, Interaktio, Jäännösneliösumma, Kaarevuus, Kaksisuuntainen varianssianalyysi, Keskiarvo-diagrammi, Kokonaisvaihtelu, Kolmisuuntainen varianssianalyysi, Kvantitatiivinen muuttuja, Optimointi, Päävaikutus, Reunakeskiarvo, Ryhmien sisäinen vaihtelu, Ryhmien välinen vaihtelu, Ryhmä, Ryhmäkeskiarvo, Vapausaste, Varianssi, Varianssianalyysi, Varianssianalyysihajotelma, Vastepinta, Vastepintamenetelmät, Yhteisvaihtelu, Yleiskeskiarvo 0.. Tehdas ostaa tarvitsemaansa raaka-ainetta erinä kolmelta raaka-aineen toimittajalta. Raakaaineen puhtaus vaihtelee jonkin verran, mikä aiheuttaa tehtaan tuotantoprosessissa ongelmia. Tehdas haluaa selvittää onko eri toimittajilta ostettujen raaka-aineiden keskimääräisissä puhtauksissa systemaattista eroa. Tätä varten jokaisen raaka-aineen toimittajan toimittamista raaka-aine-eristä valittiin satunnaisesti 4 erää tutkittavaksi ja jokaisesta erästä tutkittiin kolme näytettä. Tulokset on annettu alla olevassa taulukossa (yksikkö: puhtaus % 93). Puhtaus % 93 Toimittaja 3 Erä Teoriaa: Tutki onko raaka-aineen toimittajien toimittamien erien keskimääräisessä puhtaudessa eroa. Tehtävän koeasetelmana on kaksiasteinen hierarkkinen koeasetelma. Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten käsittelyt ja A, A,, A I B (i), B (i),, B J(i), i =,,, I vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin tilanteessa, jossa käsittelyt B j(), B j(),, B j(i ) ovat samankaltaisia, mutta eivät identtisiä käsittelyille A, A,, A I, j =,,, J. Tällöin sanomme, että koeasetelma on hierarkkinen ja käsittelyt B (i), B (i),, B J(i) ovat alisteisia käsittelylle A i, i =,,, I. Ilkka Mellin (005) /84

2 Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa voidaan kuvata alla olevalla kaaviolla: A A A I B () B () B J() B () B () B J() B (I) B J(I) B (I) Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelman tilastollinen malli ja sen parametrointi Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelman tilastollinen malli on tässä seuraavaa muotoa: y kij = µ + α i + β j () i + ε( ij ) k k =,,, K, i =,,, I, j =,,, J jossa jäännöstermi ε ( ij) k N(0, σ ) k =,,, K, i =,,, I, j =,,, J Koska tehtävän tapauksessa tekijä A on kiinteä ja tekijä B on satunnainen, oletamme, että I i= β α = 0, i =,,, I ji () i N(0, σ ), i =,,, I, j =,,, J β Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelman nollahypoteesit Käsittelyiden vaikutusta koskevat nollahypoteesit ovat muotoa ja H A : Ei A-vaikutusta H B(A) : Ei B-vaikutusta tekijän A sisällä Koska tehtävän tapauksessa tekijää A voidaan pitää tässä kiinteänä ja tekijää B satunnaisena, Nollahypoteesit H A ja H B(A) voidaan ilmaista mallin parametrien avulla seuraavissa muodoissa: H A : α = α = = α I = 0 H B(A) : σ = 0 β Ilkka Mellin (005) /84

3 Keskiarvot Havaintoarvojen y kij ryhmäkeskiarvo ryhmässä j(i), jossa tekijän B taso j on alisteinen tekijän A tasolle i: K yi = y, i =,,, I, j =,,, J ij K k = kij Havaintoarvojen y kij reunakeskiarvo kaikista havainnoista, jotka ovat alisteisia tekijän A tasolle i: J K J y = y = y, i =,,, I ii i i kij ij JK j= k= J j= Jos havainnot yhdistetään yhdeksi otokseksi, yhdistetyn otoksen havaintoarvojen yleis- eli kokonaiskeskiarvo on jossa I J K I J I y = y = y = iii kij iij iii IJK i= j= k= IJ i= j= I i= IJK = N on yhdistetyn otoksen havaintojen kokonaislukumäärä. y Varianssianalyysihajotelma Testit hypoteeseille H A ja H B(A) perustuvat varianssianssianalyysihajotelmaan SST = SSA + SSB(A) + SSE Neliösumma I J K kij iii ) y i= j= k= SST = ( y y ) = ( IJK s kuvaa havaintoarvojen kokonaisvaihtelua. Neliösumma I J K I ( iii iii) ( iii iii) i= j= k= i= SSA= y y = JK y y kuvaa tekijän A osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. Neliösumma I J K I J iij iii iij iii i= j= k= i= j= SSB( A) = ( y y ) = K ( y y ) kuvaa tekijän B vaikutusta tekijän A sisällä. Ilkka Mellin (005) 3/84

4 Neliösumma (jäännösneliösumma) I J K I J ( kij i ij ) ( ) ij i= j= k= i= j= SSE = y y = K s kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua tekijän B tasojen muodostamien ryhmien sisällä. Testisuureet Määritellään -testisuure A I( J ) SSA = I SSB( A) jossa SSA on tekijän A vaikutusta kuvaava neliösumma ja SSB(A) on tekijän B vaikutusta tekijän A sisällä kuvaava neliösumma. Jos nollahypoteesi pätee, niin H A : Ei A-vaikutusta (( I ), I( J )) A Suuret testisuureen A arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. Määritellään -testisuure B( A) IJ ( K ) SSB( A) = I( J ) SSE jossa SSB(A) on tekijän B vaikutusta tekijän A sisällä kuvaava neliösumma ja SSE on jäännösneliösumma. Jos nollahypoteesi pätee, niin H B(A) : Ei B-vaikutusta tekijän A sisällä B( A) ( I( J ), IJ( K )) Suuret testisuureen B(A) arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. Huomautus: Testisuureet ja niiden jakaumat perustuvat oletukseen, että tekijä A on kiinteä, mutta tekijä B on satunnainen. Ilkka Mellin (005) 4/84

5 Hierarkkisen varianssianalyysin testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalyysitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapausasteet df A SSA I B(A) SSB(A) I(J ) Varianssiestimaattori MS -testisuure SSA MSA MSA = = I MSB ( A ) SSB( A) MSB( A) = I( J ) = MSB( A) MSE Jäännös SSE IJ(K ) MSE = SSE IJ ( K ) Kokonaisvaihtelu SST IJK Varianssianssianalyysitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianssianalyysihajotelmaan SST = SSA + SSB(A) + SSE ja neliösummiin liittyvät vapausasteet toteuttavat vastaavan yhtälön IJK = (I ) + I(J ) + IJ(K ) Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelma ja kaksisuuntainen varianssianalyysi Jos tekijöiden A ja B vaikutusta vastemuuttujaan y käsitellään (virheellisesti) samalla tavalla kuten kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa, niin saadaan varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Neliösummat SST, SSA ja SSE ovat täsmälleen samat kuin hierarkkisessa kaksiasteisessa varianssianalyysissa. Lisäksi pätee jossa SSB(A) = SSB + SSAB I J K J ( ii j iii) ( ii j iii) i= j= k= j= SSB = y y = IK y y on tekijän B (pää-) vaikutusta kuvaava neliösumma ja I J K J K ( iij iii ii j iii) ( iij iii ii j + iii) i= j= k= j= k= SSAB = y y y + y = K y y y y on tekijöiden A ja B interaktiota eli yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma. Ilkka Mellin (005) 5/84

6 Näissä kaavoissa I K I y = y = y, j =,,, J ii i j kij ij IK i= k= I i= Neliösummiin SSB(A), SSB ja SSAB liittyvät vapausasteet toteuttavat yhtälön I(J ) = (J ) + (I )(J ) Laskutoimitusten järjestely Jos varianssianalyysihajotelman neliösummat SST, SSA, SSB(A), SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa käyttää alla esitettäviä kaavoja. Määritellään seuraavat summat: T iij = K k = y kij J K J T = y = T ii i kij iij j= k= j= I J K I J I T = y = T = iii kij iij iii i= j= k= i= j= i= i =,,, I, j =,,, J Tällöin yllä määritellyt keskiarvot saadaan kaavoilla y y y iij ii i iii = Tiij K = Tii i JK = Tiii IJK i =,,, I, j =,,, J Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SST = y y = y T IJK I J K I J K ( kij iii) kij i= j= k= i= j= k= Tekijän A vaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSA = JK y y = T T I I ( iii iii) iii iii i= JK i= IJK Tekijän B vaikutusta tekijän A sisällä kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSB( A) = K ( y y ) == T T Jäännösneliösumma saadaan kaavalla T I J I J I iij iii iij iii i= j= K i= j= JK i= SSE = SST SSA SSB(A) iii Ilkka Mellin (005) 6/84

7 Käsin tai laskimella laskettaessa laskutoimitukset kannattaa järjestää seuraavan taulukon muotoon: A A $ AI B B $ B B B $ B $ B B $ B y y $ y y y $ y $ y y $ y y y $ y y y $ y $ y y $ y % % % % % % % % % yk yk $ ykj yk yk $ ykj $ yki yki $ y T T $ T T T T $ T T $ T T T $ T () () J () () () J() ( I) ( I) J( I) J J I I IJ J J I I IJ i i ij i i ij ii ii iij Summat ii ii ii i K Ti ij = y kij, i =,,, I, j =,,, J k = lasketaan taulukkoon havaintojen sarakesummina. Summat J K J T = y = T, i =,,, I ii i kij i ij j= k= j= lasketaan taulukkoon sarakesummien summina. Havaintojen kokonaissumma saadaan kaavalla Tiii = T I i= iii Lisäksi tarvitaan vain kaikkien havaintojen neliöiden summa I J K i= j= k= y kij KIJ Tehtävän 0.. ratkaisu: Tekijän A tasojen lukumäärä on I = 3 Tekijän B tasojen lukumäärä jokaista tekijän A tasoa kohden on J = 4 Havaintojen lukumäärä jokaisessa tekijän B tason määräämässä ryhmässä on K = 3 Siten havaintojen kokonaislukumäärä on N = IJK = 36 Ilkka Mellin (005) 7/84

8 Neliösummien laskeminen Havaintoarvot on annettu tehtävässä laskutoimitusten kannalta sopivassa taulukkomuodossa. Täydennetään taulukkoa laskemalla siihen sarakesummat K Ti ij = y kij, i =,,, I, j =,,, J k = ja sarakesummien summat: J K J T = y = T, i =,,, I ii i kij i ij j= k= j= y kij A i 3 B j(i) T ij T i Havaintojen kokonaissumma on I T = T = = 3 iii i= iii Havaintoarvojen neliöiden kokonaissumma on I J K i= j= k= y kij = 53 Havaintojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma on Taulukosta saadaan I J K Tiii 3 SST = ykij = 53 = N 36 I Tii i i= i= j= k= = 37 joten tekijän A vaikutusta kuvaava neliösumma on I Tiii 3 SSA = Tii i = 37 = JK N i= Ilkka Mellin (005) 8/84

9 Taulukosta saadaan I J Ti i= j= ij = 69 joten tekijän B vaikutusta tekijän A sisällä kuvaava neliösumma on SSB A y T I J I ( ) = iij iii = = K i= j= JK i= Varianssianalyysihajotelmasta saadaan jäännösneliösummaksi SSE = SST SSA SSB(A) = = testisuureiden laskeminen Testisuureen A arvoiksi saadaan: A I( J ) SSA 3 (4 ) = = = I SSB( A) Jos nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta pätee A ((I ), I(J )) = (, 9) Testisuureen B(A) arvoiksi saadaan: B( A) IJ ( K ) SSB( A) 3 4 (3 ) = = =.944 I( J ) SSE 3 (4 ) Jos nollahypoteesi H B(A) : Ei B-vaikutusta tekijän A sisällä pätee B(A) (I(J ), IJ(K )) = (9, 4) Testien tekeminen Olkoon nollahypoteesina H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin A = Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( 0.969) = 0.46 Ilkka Mellin (005) 9/84

10 Siten nollahypoteesia H A ei voida hylätä merkitsevyystasolla Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr( 4.56) = 0.05 ((I ), I(J )) = (, 9) 4.56 > = A voimme todeta (kuten edellä), että nollahypoteesia H A ei voida hylätä merkitsevyystasolla Olkoon nollahypoteesina H B(A) : Ei B-vaikutusta tekijän A sisällä Testisuureen arvoksi saatiin B( A) =.944 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr(.944) = 0.07 Siten nollahypoteesi H B(A) voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.05, mutta ei merkitsevyystasolla 0.0. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(.300) = 0.05 Pr( 3.56) = 0.0 (I(J ), IJ(K )) = (9, 4).300 < = B( A ).944 < 3.56 voimme todeta (kuten edellä), että nollahypoteesi H B(A) voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.05, mutta ei merkitsevyystasolla 0.0. Ilkka Mellin (005) 0/84

11 Testien tulokset voidaan koota seuraavaksi varianssianalyysitaulukoksi: Vaihtelun lähde SS df MS p A B(A) E T Johtopäätös Toimittajalla (tekijä A) ei ole systemaattista vaikutusta raaka-aineen puhtauteen. Sen sijaan toimittajien toimittaman raaka-aineen puhtaus vaihtelee erästä (tekijä B) toiseen. Ilkka Mellin (005) /84

12 Tehtävän 0.. ratkaiseminen tilastollisella ohjelmistolla: Tehtävän aineisto koodattuna Ncss-ohjelmaa varten: Data Report Data List Section Row Purity Supplier Batch Ilkka Mellin (005) /84

13 Ncss-ohjelma antaa seuraavan tulostuksen, kun aineistoon sovelletaan hierarkkista mallia: Analysis of Variance Report Response Purity Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term D ixed? Term Mean Square A: Supplier Yes B(A) S+sB+bsA B(A): Batch 9 No S(AB) S+sB S(AB) 4 No S Analysis of Variance Table Source Sum of Mean Prob Power Term D Squares Square -Ratio Level (Alpha=0.05) A: Supplier B(A): Batch * S Total (Adjusted) Total 36 * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error All A: Supplier Plots Section 6.00 Means of Purity 3.00 Purity Supplier Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: Purity Term A: Supplier Alpha=0.050 Error Term=B(A) D=9 MSE= Critical Value= Different Group Count Mean rom Groups Ilkka Mellin (005) 3/84

14 Tehtävän aineisto koodattuna Ncss-ohjelmaa varten, kun aineistoon sovelletaan kaksisuuntaista varianssianalyysia: Data Report Data List Section Row Purity Supplier Batch Ilkka Mellin (005) 4/84

15 Ncss-ohjelma antaa seuraavan tulostuksen, kun aineistoon sovelletaan kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallia, jossa tekijä Batch on satunnainen: Analysis of Variance Report Response Purity Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term D ixed? Term Mean Square A: Supplier Yes AB S+sAB+bsA B: Batch 3 No S(AB) S+asB AB 6 No S(AB) S+sAB S(AB) 4 No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequency case. Analysis of Variance Table Source Sum of Mean Prob Power Term D Squares Square -Ratio Level (Alpha=0.05) A: Supplier B: Batch * AB * S Total (Adjusted) Total 36 * Term significant at alpha = 0.05 Ilkka Mellin (005) 5/84

16 Plots Section Means of Purity Purity Supplier Means of Purity Purity Batch Means of Purity Batch 3 4 Purity Supplier Ilkka Mellin (005) 6/84

17 0.. Valmistettavan yhdisteen saanto riippuu eräässä kemiallisessa prosessissa lähtöaineen konsentraatiosta ja käytettävän katalysaattorin määrästä. Laboratoriossa tutkittiin saantoon vaikuttavien tekijöiden vaikutusta valitsemalla kummallekin tekijälle kaksi tasoa ja tutkimalla saaduilla tasokombinaatioilla kolme näytettä. Tulokset on annettu alla olevassa taulukossa. Saanto Näyte Lähtöaineen konsentraatio Katalysaattorin määrä 3 5 % pauna % pauna % paunaa % paunaa Teoriaa: Tutki millaisia keskimääräisiä vaikutuksia lähtöaineen konsentraatiolla ja katalysaattorin määrällä on valmistettavan yhdisteen saantoon. Tehtävän koeasetelmana on -faktorikoe. Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kaksi faktoria eli tekijää A, B vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin, kun kummallekin tekijälle valitaan kokeessa kaksi tasoa: matala ( ) ja korkea (+) -faktorikokeen tilastollinen malli -faktorikoe on kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus. Koska tekijöillä A ja B on molemmilla kaksi tasoa, havainnot tulevat luokitelluiksi = = 4 ryhmään. -faktorikokeen nollahypoteesit -faktorikokeen nollahypoteesit ovat seuraavaa muotoa: H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta H AB : Ei yhdysvaikutusta Ilkka Mellin (005) 7/84

18 -faktorikokeen havainnollistus Merkitään käsittelykombinaatioita (, ), (+, ), (,+), (+,+) seuraavalla tavalla: A B Merkintä () + a + b + + ab Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, joten havaintojen kokonaislukumäärä on n= = 4 n Merkitään havaintoarvojen summaa eri käsittelykombinaatioille samalla tavalla kuin vastaavia käsittelykombinaatioita: () = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = ( ) a = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = ( ) b = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = (+) ab = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = (+) -koeasetelmaa voidaan kuvata seuraavalla kaaviolla: + b ab B () + A a -faktorikokeen tekijöiden päävaikutukset ja interaktio eli yhdysvaikutus Yksinkertaisin tapa tekijöiden A ja B päävaikutuksien ja interaktion eli yhdysvaikutuksen laskemiseksi -faktorikokeessa on soveltaa havaintojen summiin eri käsittelykombinaatioille seuraavaa kaavaa: X = ( a± )( b± ) n Ilkka Mellin (005) 8/84

19 jossa n = toistojen lukumäärä ja merkit sulkulausekkeissa määräytyvät seuraavalla tavalla: Merkki =, jos vastaava tekijä on vaikutuksessa mukana Merkki = +, jos vastaava tekijä ei ole vaikutuksessa mukana Lisäksi tulee korvata tulon määräämisen jälkeen merkinnällä (). Tekijän A päävaikutus on X = A ( a )( b ) ( ab a b ()) n + = n + Tekijän B päävaikutus on X = B ( a )( b ) ( ab a b ()) n + = n + Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus on X = AB ( a )( b ) ( ab a b ()) n = n + Kaavoista nähdään, että tekijöiden A ja B päävaikutukset ja interaktio eli yhdysvaikutus ovat eri käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja. Keskiarvot Olkoon jossa y kij = muuttujan y k. havaintoarvo ryhmässä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j, k =,,, n, i =,, j =, A = ( ) i = A = (+) i = B = ( ) j = B = (+) j = Ryhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli ryhmäkeskiarvo on y y, i,, j, n i ij = kij = = n k = Ilkka Mellin (005) 9/84

20 Huomaa, että ryhmäkeskiarvot voidaan ilmaista summien (), a, b, ab avulla: y y y y i i i i = () n = a n = b n = ab n Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli yleis- eli kokonaiskeskiarvo on n = kij = ij = ( + + b+ ( iii 4n i= j= k= 4 i i= j= 4n )) y y y ab a Varianssianalyysihajotelma Testit nollahypoteeseille H A, H B ja H AB perustuvat varianssianssianalyysihajotelmaan Neliösumma SST = SSA + SSB + SSAB + SSE n n ( kij iii) kij 4 iii (4 ) y i= j= k= i= j= k= SST = y y = y ny = n s kuvaa havaintoarvojen kokonaisvaihtelua. Koska tekijöiden A ja B päävaikutukset ja interaktio eli yhdysvaikutus ovat eri käsittelykombinaatioita vastaavien havaintojen keskiarvojen ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavoilla SSA = nx = ( ab + a b ( )) 4n A SSB = nx = ( ab a + b ( )) 4n B SSAB = nx = ( ab a b + ( )) 4n Neliösumma (jäännösneliösumma) AB n I J ( kij i ij ) ( ) ij i= j= k= i= j= SSE = y y = n s kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua tekijän B tasojen muodostamien ryhmien sisällä. Jäännösneliösumma saadaan tietysti myös laskutoimituksella SSE = SST SSA SSB SSAB Ilkka Mellin (005) 0/84

21 Varianssianalyysihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE neliösummien vapausasteet toteuttavat vastaavan yhtälön 4n = (n ) Testisuureet Määritellään -testisuureet AB A B ( n ) SSAB SSAB = = 4( n ) ( )( ) SSE SSE ( n ) SSA SSA = = 4( n ) ( ) SSE SSE ( n ) SSB SSB = = 4( n ) ( ) SSE SSE Jos nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta pätee, niin (( )( ), ( n )) = (,4( n )) AB Suuret testisuureen AB arvot johtavat nollahypoteesin H AB hylkäämiseen. Jos nollahypoteesi pätee, niin H A : Ei A-vaikutusta (( ), ( n )) = (, 4( n )) A Suuret testisuureen A arvot johtavat nollahypoteesin H A hylkäämiseen. Jos nollahypoteesi pätee, niin H B : Ei B-vaikutusta (( ), ( n )) = (, 4( n )) B Suuret testisuureen B arvot johtavat nollahypoteesin H B hylkäämiseen. Ilkka Mellin (005) /84

22 -kokeen testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalyysitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Varianssiestimaattori MS -testisuure A SSA MSA = SSA = MSA MSE B SSB MSB = SSB = MSB MSE AB SSAB MSAB = SSAB = MSAB MSE Jäännös SSE 4(n ) SSE MSE = 4( n ) Kokonaisvaihtelu SST 4n Varianssianalyysitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalyysihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE ja neliösummiin liittyvät vapausasteet toteuttavat vastaavan yhtälön 4n = (n ). asteen vastepintamalli Siirrytään luonnollisista tekijöiden A ja B mittayksiköistä koodattuihin muuttujan arvoihin yhtälöllä X ( X+ + X )/ x =, X = X, X ( X X )/ + Koodatun muuttujan x arvot ovat +, jos X = X x =, jos X = X + + Määritellään vastemuuttujalle y. asteen vastepintamalli jossa y = β + β x + β x + β x x +ε 0 x = Tekijää A vastaava koodattu muuttuja x = Tekijää B vastaava koodattu muuttuja Ilkka Mellin (005) /84

23 Estimoidaan. asteen vastepintamallin parametrit pienimmän neliösumman menetelmällä. Olkoot parametrien PNS-estimaattorit Tällöin pätee β 0, β, β, β b 0, b, b, b b b b b 0 = y = = = iii X X A X B AB Estimoitu. asteen vastepinnan yhtälö saa siten muodon Olkoon X X X yˆ = y + x + x + x x A B AB iii SST = SSM + SSE. asteen vastepintamallin selitettävän muuttujan y arvojen vaihtelua kuvaavan kokonaisneliösumman SST varianssianalyysihajotelma, jossa Voidaan osoittaa, että SSM = Estimoidun mallin mallineliösumma SSE = Estimoidun mallin jäännösneliösumma SSM = SSA + SSB + SSAB joten estimoidun mallin jäännösneliösumma SSE yhtyy edellä esitetyn kaksisuuntaisen varianssianalyysimallin jäännösneliösummaan. Tehtävän 0.. ratkaisu: Tekijän A tasojen lukumäärä: I = Tekijän B tasojen lukumäärä: J = Havaintojen lukumäärä jokaisessa tekijöiden A ja B tasojen määräämässä ryhmässä (i, j): n = 3 Siten havaintojen kokonaislukumäärä on I J n = n = 4 3 = Ilkka Mellin (005) 3/84

24 Alla olevaan taulukkoon on laskettu havaintojen summat eri käsittelykombinaatioille: A B Summa () = = 80 + a = = 00 + b = = ab = = 90 Tekijän A päävaikutus: Tekijän B päävaikutus: X A = ( ab+ a b ()) = ( ) = n 6 XB = ( ab a+ b ()) = ( ) = 5 n 6 Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus: X AB = ( ab a b+ ()) = ( ) =.6667 n 6 Tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja yhdysvaikutusta kuvaavat neliösummat: SSA = nx A SSB = nx B SSAB = nx AB = = 75 = Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo: yiii = ( ab+ a+ b+ ()) = ( ) = 330 = 7.5 4n 4 3 Kaikkien havaintoarvojen neliöiden summa: n 3 ykij ykij i= j= k= i= j= k= = = 9398 Kaikkien havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma: n kij iii = i= j= k= SST = y 4ny = Jäännösneliösummaksi saadaan varianssianalyysihajotelman nojalla SSE = SST SSA SSB SSAB = = Ilkka Mellin (005) 4/84

25 -testisuureiden laskeminen Olkoon nollahypoteesina H AB : Ei yhdysvaikutusta Testisuureen AB arvoksi saadaan SSAB AB = 4( n ) SSE = 4(3 ) =.8 Jos nollahypoteesi H AB pätee, niin (, 4( n )) = (,8) AB Olkoon nollahypoteesina H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen A arvoksi saadaan A SSA = 4( n ) SSE = 4(3 ) = 53.9 Jos nollahypoteesi H A pätee, niin (, 4( n )) = (,8) A Olkoon nollahypoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen B arvoksi saadaan SSA B = 4( n ) SSE 75 = 4(3 ) = 9.49 Jos nollahypoteesi H B pätee, niin (, 4( n )) = (,8) B Ilkka Mellin (005) 5/84

26 Testien tekeminen Olkoon nollahypoteesina H AB : Ei yhdysvaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin AB =.8 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr(.8) = 0.83 Siten nollahypoteesia H AB ei voida hylätä merkitsevyystasolla Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr( 5.38) = 0.05 (, 4( n )) = (,8) AB =.8 < 5.38 voimme todeta (kuten edellä), että nollahypoteesia H AB ei voida hylätä merkitsevyystasolla Olkoon nollahypoteesina H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin = 53.9 A Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( 53.9) = Siten nollahypoteesi H A voidaan hylätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevyystasoilla. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(.59) = 0.0 (, 4( n )) = (,8) = 53.9 >.59 A voimme todeta, että nollahypoteesi H A voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.0. Ilkka Mellin (005) 6/84

27 Olkoon nollahypoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin = 9.49 B Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( 9.49) = Siten nollahypoteesi H B voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.0. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(.59) = 0.0 (, 4( n )) = (,8) = 9.49 B >.59 voimme todeta, että nollahypoteesi H A voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.0. Testien tulokset voidaan koota seuraavaksi varianssianalyysitaulukoksi: Vaihtelun lähde SS df MS p A B AB E T Johtopäätös Tekijöillä A ja B ei ole interaktiota, mutta molemmilla tekijöillä on päävaikutus. Ilkka Mellin (005) 7/84

28 Vastepintamallin estimointi Tekijöiden A ja B arvojen koodaus tapahtuu yhtälöillä A (5+ 5)/ A 0 x = =, A= A, A (5 5)/ 5 B ( + )/ B.5 x = =, B= B, B ( ) / 0.5 Estimoiduksi. asteen vastepintamalliksi saadaan edellä esitettyjen tulosten perustella X A XB X AB yˆ = yiii + x+ x + xx = x x + xx = x.5x x x + + Sama tulos saadaan soveltamalla PNS-menetelmää malliin y = β + β x + β x + β x x +ε 0 Estimoitu regressioyhtälö saa tekijöiden A ja B luonnollisissa mittayksiköissä muodon yˆ = x.5x x x A 0 B.5 A 0 B.5 = = A.667B AB Tehtävän 0.. ratkaiseminen tilastollisella ohjelmistolla: Tehtävän aineisto koodattuna Ncss-ohjelmaa varten: Data Report Data List Section Row Yield Concentration Catalyst TCon TCat TConTCat Ilkka Mellin (005) 8/84

29 Ncss-ohjelma antaa seuraavan tulostuksen, kun aineistoon sovelletaan kaksisuuntaista varianssianalyysia (faktoreina luonnolliset muuttujat): Analysis of Variance Report Response: Yield Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term D ixed? Term Mean Square A: Concentration Yes S(AB) S+bsA B: Catalyst Yes S(AB) S+asB AB Yes S(AB) S+sAB S(AB) 8 No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequency case. Analysis of Variance Table Source Sum of Mean Prob Power Term D Squares Square -Ratio Level (Alpha=0.05) A: Concentration * B: Catalyst * AB S Total (Adjusted) 33 Total * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error All 7.5 A: Concentration B: Catalyst AB: Concentration,Catalyst 5, , , , Ilkka Mellin (005) 9/84

30 Plots Section Means of Yield Yield Concentration Means of Yield Yield Catalyst Means of Yield Catalyst Yield Concentration Ilkka Mellin (005) 30/84

31 Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: Yield Term A: Concentration Alpha=0.050 Error Term=S(AB) D=8 MSE= Critical Value= Different Group Count Mean rom Groups Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: Yield Term B: Catalyst Alpha=0.050 Error Term=S(AB) D=8 MSE= Critical Value= Different Group Count Mean rom Groups Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: Yield Term AB: Concentration,Catalyst Alpha=0.050 Error Term=S(AB) D=8 MSE= Critical Value= Different Group Count Mean rom Groups 5, 3 0 (5,), (5,), (5,) 5, (5,), (5,) 5, 3 30 (5,) 5, (5,), (5,) Ilkka Mellin (005) 3/84

32 Ncss-ohjelma antaa seuraavan tulostuksen, kun aineistoon sovelletaan lineaarista regressioanalyysia (selittäjinä koodatut muuttujat): Multiple Regression Report Dependent Yield Descriptive Statistics Section Standard Variable Count Mean Deviation Minimum Maximum TCon E TCat E TConTCat E Yield Regression Equation Section Independent Regression Standard T-Value Prob Decision Power Variable Coefficient Error (Ho: B=0) Level (5%) (5%) Intercept Reject Ho TCon Reject Ho TCat Reject Ho TConTCat Accept Ho R-Squared Model *TCon-.5*TCat *TConTCat Regression Coefficient Section Independent Regression Standard Lower Upper Standardized Variable Coefficient Error 95% C.L. 95% C.L. Coefficient Intercept TCon TCat TConTCat T-Critical Analysis of Variance Section Sum of Mean Prob Power Source D Squares Square -Ratio Level (5%) Intercept Model Error Total(Adjusted) Root Mean Square Error R-Squared Mean of Dependent 7.5 Adj R-Squared Coefficient of Variation E-0 Press Value 70.5 Sum Press Residuals 5 Press R-Squared Ilkka Mellin (005) 3/84

33 Normality Tests Section Assumption Value Probability Decision(5%) Skewness Accepted Kurtosis Accepted Omnibus Accepted Serial-Correlation Section Durbin-Watson Value.8475 Sum of Squares and Correlation Section Independent Sequential Incremental Last Simple Partial Variable Sum Squares Sum Squares Sum Squares Correlation Correlation TCon TCat TConTCat Plots Section 3.0 Normal Probability Plot of Residuals of Yield Residuals of Yield Expected Normals Ilkka Mellin (005) 33/84

34 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla, jota kutsutaan vastepintamalliksi. Tärkeimpiä motiiveja polynomimuotoisten vastepintamallien käyttämiselle on se, että polynomimuotoisten vastepintamallien avulla on helppo etsiä vasteeseen vaikuttavien tekijöiden arvojen optimaalista kombinaatiota. Vastepintamenetelmä on vaiheittain etenevä mallinrakentamisstrategia, jonka aikana joudutaan tavallisesti keräämään myös uusia havaintoja. Rajoitumme tässä esittelemään vastepintamallin soveltamista -koeasetelmaan. -koeasetelmassa tutkitaan kahden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan, kun kummallekin tekijälle valitaan kokeessa kaksi tasoa. Tehtävät muodostavat jakokertomuksen, jossa näytetään miten erään kemiallisen prosessin saannolle löydetään optimaalinen reaktioaika-lämpötila-kombinaatio -koeasetelmaa ja vastepintamenetelmää käyttäen. () Tehtävässä 0.3. tutkitaan kemiallisen prosessin saannon riippuvuutta reaktioajasta ja lämpötilasta -koeasetelmaa käyttäen. Reaktioajan ja lämpötilan vaikutusten estimointiin riittää se, että vastemuuttujan arvo on mitattu kerran jokaisella -koeasetelman tekijöiden tasojen neljällä kombinaatiolla. Tällöin vastemuuttujaan vaikuttavien tekijöiden tilastollisen merkitsevyyden testaaminen ei ole kuitenkaan mahdollista. () Tehtävässä 0.4. tehtävän koeasetelmaan liitetään keskipiste. Keskipistehavaintojen liittäminen -koeasetelmaan tekee sekä vastemuuttujaan vaikuttavien tekijöiden tilastollisen merkitsevyyden että vastefunktion (kvadraattisen) kaarevuuden (epälineaarisuuden) testaamisen mahdolliseksi. (3) Jos vastepintaa voidaan approksimoida. asteen vastepinnalla, voidaan soveltaa gradienttimenetelmää vasteeseen vaikuttavien tekijöiden optimaalisten arvojen alueen etsimiseen. Gradienttimenetelmässä kerätään uusia havaintoja siitä suunnasta, jossa vastefunktio kasvaa nopeimmin, kunnes optimaalinen vasteeseen vaikuttavien tekijöiden arvojen alue löydetään. Kun vasteen kannalta optimaalinen tekijöiden arvojen alue on löydetty (tehtävä 0.4.), alueelta kerätään uudet havainnot sellaisen -koeasetelman mukaan, johon on liitetty keskipiste. (4) Tehtävässä 0.5. uusista havainnoista estimoidaan vasteeseen vaikuttavien tekijöiden efektit sekä testataan vastepinnan (kvadraattista) kaarevuutta. (5) Jos (kvadraattista) kaarevuutta esiintyy (tehtävä 0.5.), liitetään. asteen vastepintamalliin tekijöiden. potenssit ja estimoidaan havainnoista. asteen vastepintamalli. Tämä vaatii lisähavaintojen keräämistä sopivasti valituista suunnista.. asteen vastepintamallin avulla on helppo löytää se reaktioajan ja lämpötilan arvojen kombinaatio, joka optimoi vasteen arvon. Ilkka Mellin (005) 34/84

35 0.3. Insinööri tutkii kemiallisen prosessin saantoa. Saantoon voidaan vaikuttaa reaktioajalla ja prosessin lämpötilalla. Insinööri tutkii tilannetta aluksi valitsemalla vain kaksi reaktioaikaa ja kaksi lämpötilaa sekä mittaamalla saannot. Tulokset on annettu alla olevassa taulukossa. Reaktioaika min Lämpötila Saanto Määrää saantoon vaikuttavien tekijöiden päävaikutukset ja interaktio. Huomaa, että näiden tekijöiden tilastollista merkitystä ei voida testata. Miksi? Teoriaa: Tehtävän koeasetelmana on -faktorikoe. -faktorikokeen tulosten analysoinnissa käytettävät kaavat on esitelty tehtävässä 0.. Tehtävän 0.3. ratkaisu: Tekijän A tasojen lukumäärä: I = Tekijän B tasojen lukumäärä: J = Havaintojen lukumäärä jokaisessa tekijöiden A ja B tasojen määräämässä ryhmässä (i, j): n = Siten havaintojen kokonaislukumäärä on I J n = n = = 4 Alla olevaan taulukkoon on laskettu havaintojen summat eri käsittelykombinaatioille: A B Summa () = a = b = ab = 4.5 Ilkka Mellin (005) 35/84

36 Koeasetelman havainnollistus: + b = 40.0 ab = 4.5 B () = 39.3 a = 40.9 Tekijän A päävaikutus: Tekijän B päävaikutus: X A = ( ab+ a b ()) = ( ) =.55 n XB = ( ab a+ b ()) = ( ) = 0.65 n Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus: X AB = ( ab a b+ ()) = ( ) = 0.05 n Tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja yhdysvaikutusta kuvaavat neliösummat: SSA = nx A SSB = nx B SSAB = nx AB =.405 = 0.45 = Havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo: A yiii = ( ab+ a+ b+ ()) = ( ) = 6.7 = n 4 4 Havaintoarvojen neliöiden summa: n ykij ykij i= j= k= i= j= k= = = Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma: n kij iii i= j= k= SST = y 4ny = =.875 Varianssianalyysihajotelman nojalla jäännösneliösumma on + SSE = SST SSA SSB SSAB = = 0 Ilkka Mellin (005) 36/84

37 Tämä on sopusoinnussa sen kanssa, että jokaisesta tekijöiden A ja B tasojen määräämästä ryhmästä (i, j) on vain yksi havainto, jolloin ryhmien sisäistä vaihtelua ei ole ja sitä kuvaavan jäännösneliösumman SSE pitääkin hävitä. Koska SSE = 0 niin tekijöiden A ja B päävaikutuksien ja interaktion tilastollista merkitsevyyttä ei voida testata. Analyysin tulokset voidaan kuitenkin koota seuraavaksi varianssianalyysitaulukoksi: Vaihtelun lähde SS df MS p A B AB E 0 0 T Vastepintamallin estimointi Tekijöiden A ja B arvojen koodaus tapahtuu yhtälöillä: A ( ) / A 35 x = =, A= A, A (40 30) / 5 + B ( ) / B 55 x = =, B= B, B (60 50) / 5 + Estimoiduksi. asteen vastepintamalliksi saadaan edellä esitettyjen tulosten perustella X A XB X AB yˆ = yiii + x+ x + x x = x+ x xx = x x 0.05x x Sama tulos saadaan soveltamalla PNS-menetelmää malliin y = β + β x + β x + β x x +ε 0 Ilkka Mellin (005) 37/84

38 Estimoitu regressioyhtälö saa luonnollisissa mittayksiköissä muodon yˆ = x x 0.05x x A 35 B 55 A 35 B 55 = = A+ 0.B 0.00AB Tehtävän 0.3. ratkaiseminen tilastollisella ohjelmistolla: Tehtävän aineisto koodattuna Ncss-ohjelmaa varten: Data Report Data List Section Row Y A B Ilkka Mellin (005) 38/84

39 Ncss-ohjelma antaa seuraavan tulostuksen, kun aineistoon sovelletaan -faktorikokeen mallia: Analysis of Two-Level Designs Design Information Section Input Data Response: Y Rows: 4 Reps: Blocks: None actor actor Level Level Symbol Name One Two A() A - B() B - Design / replication of factors. Confounding / Alias Section Term Terms No. Confounded A B 3 AB Means and Effects Section for Y Term Term Estimated Standard No. Symbol Mean - Mean + Effect Error 0 Grand Mean A (A) B (B) AB Sorted Means and Effects Section for Y Term Term Estimated Standard No. Symbol Mean - Mean + Effect Error 0 Grand Mean A (A) B (B) AB Ilkka Mellin (005) 39/84

40 Analysis of Variance Section for Y Term Term Mean Prob Statistically No. Symbol D Square -Ratio Level Significant A (A) Yes B (B) Yes 3 AB Yes Error Total Means and Effects of B by A for Y A A B - Effect Overall Effect Overall Probability Plots Section.0 Normal Probability Plot of Effects.4 Effects Expected Normals Ilkka Mellin (005) 40/84

41 0.4. Jatkoa tehtävälle 0.3. Insinöörin tavoitteena on käyttää vastepintamenetelmää prosessin analysoimiseksi. Hän päättää lisätä tehtävän 0.3. asetelmaan keskipisteen, jossa suoritetaan viisi mittausta. Tulokset lisämittauksista on annettu alla olevassa taulukossa. Reaktioaika min Lämpötila Saanto Teoriaa: Liitä nämä uudet havainnot tehtävän 0.3. aineistoon, estimoi yhdistetystä aineistosta. asteen vastepinta ja testaa saantoon vaikuttavien tekijöiden päävaikutuksien ja interaktion merkitystä sekä testaa myös vastefunktion kaarevuutta. Tehtävän koeasetelmana on -faktorikoe, johon on liitetty keskipiste. Keskipistehavaintojen liittäminen kokeeseen ei vaikuta tekijöiden A ja B päävaikutuksiin ja interaktioon ja niihin liittyviin neliösummiin. Sen sijaan keskipistehavainnot mahdollistavat ns. puhtaan virheen määräämisen ja siten myös tekijöiden A ja B päävaikutuksien ja interaktion tilastollisen merkityksen testaamisen. Lisäksi keskipistehavaintojen avulla voidaan testata vastefunktion (kvadraattista) kaarevuutta. Kutsumme -faktorikokeen alkuperäisiä havaintoja kulmapistehavainnoiksi. Jos jokaista -faktorikokeen käsittelykombinaatiota on toistettu kokeessa n kertaa, kulmapistehavaintojen lukumäärä on n= 4n= n (merkintä) -faktorikokeen tulosten kulmapistehavaintoihin perustuvassa analyysissa käytettävät kaavat on esitelty tehtävässä 0.. Ilkka Mellin (005) 4/84

42 Olkoon jossa Olkoon y kij = muuttujan y k. havaintoarvo kulmapisteessä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j, k =,,, n, i =,, j =, A = ( ) i = A = (+) i = B = ( ) j = B = (+) j = T y n = kij i= j= k= havaintoarvojen summa kulmapisteissä. Huomaa, että T = a b+ a+ b+ () jossa ab = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = (+) a = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = ( ) b = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = (+) () = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = ( ) Olkoon y = T n havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo kulmapisteissä. Huomaa, että Olkoon y = ( ab+ a+ b+ ( )) 4n Q n = i= j= k= havaintoarvojen neliöiden summa kulmapisteissä. y kij Ilkka Mellin (005) 4/84

43 Keskipistehavaintojen liittäminen -koeasetelmaan Olkoon A = Tekijän A matala arvo A + = Tekijän A korkea arvo B = Tekijän B matala arvo B + = Tekijän B korkea arvo Olkoon AC = ( A + A+ ) BC = ( B + B+ ) Sanomme, että piste (A C, B C ) on -koeasetelman keskipiste. Olkoot keskipisteessä (A C, B C ) saadut havaintoarvot z, k =,,, n k Olkoon N = n + n C kaikkien havaintoarvojen lukumäärä. Olkoon T C n C = z k = k havaintoarvojen summa keskipisteessä ja olkoon T = T +T C C kaikkien havaintoarvojen summa (havaintoarvojen summa kulmapisteissä ja keskipisteessä). Havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo keskipisteessä on y C = T n C C ja kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo on y = ( T + TC) = T n + n N C Ilkka Mellin (005) 43/84

44 Olkoon Q C n C = z k = k havaintoarvojen neliöiden summa keskipisteessä ja olkoon Q= Q + Q C kaikkien havaintoarvojen neliöiden summa (havaintoarvojen neliöiden summa kulmapisteissä ja keskipisteessä). Kaikkien havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma on T SST = Q N Jäännösneliösumma Olkoon SSE = SST SSA SSB SSAB jäännösneliösumma, jossa neliösummat SSA, SSB ja SSAB lasketaan kulmapistehavainnoista; ks. tehtävä 0.. Puhdas virhe Määritellään puhdasta virhettä kuvaava neliösumma kaavalla jossa n n C ( kij iij ) ( k C ) i= j= k= k= SSPE = y y + z y = + Qiij Tiij QC TC i= j= n i= j= nc n T = y, i =,, j =, iij k = kij on havaintoarvojen summa kulmapisteessä (i, j), yiij = Ti ij, i =,, j =, n on havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo kulmapisteessä (i, j) ja n Q = y, i =,, j =, iij k = kij on havaintoarvojen neliöiden summa kulmapisteessä (i, j). Ilkka Mellin (005) 44/84

45 Havaintoarvojen tavanomainen otosvarianssi kulmapisteessä (i, j) on s = ( y y ), i =,, j =, i n ij kij ij n k = ja havaintoarvojen tavanomainen otosvarianssi keskipisteessä on s n C C = ( zi y ) n C C i= Jos jokaisessa kulmapisteessä on käytettävissä on vain yksi havainto eli n =, niin n C SSPE = ( z y ) = Q T k = k C C C nc Puhdas kvadraattinen kaarevuus (Lack of it) Vastefunktion puhdasta kvadraattista kaarevuutta kuvaa neliö jossa nn C SSPQ = ( y yc) n + n C y = havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo kulmapisteissä y C = havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo keskipisteessä n n C = havaintojen lukumäärä kulmapisteissä = havaintojen lukumäärä keskipisteessä Varianssianalyysihajotelma -faktorikokeen, johon on liitetty keskipiste, varianssianalyysihajotelma on muotoa SST = SSA + SSB + SSAB + SSPQ + SSPE Huomaa, että tekijöiden A ja B päävaikutuksiin ja interaktioon liittyvät neliösummat SSA, SSB ja SSAB voidaan määrätä käyttämällä pelkästään kulmapistehavaintoja. Varianssianalyysihajotelman neliösummien vapausasteet toteuttavat vastaavan yhtälön n + n C + = (n + n C 5) Keskipistehavaintojen liittäminen faktorikokeeseen mahdollistaa jäännösneliösumman SSE hajottamisen puhdasta kvadraattista kaarevuutta kuvaavan neliösumman SSPQ ja puhdasta virhettä kuvaavan neliösumman SSPE summaksi: SSE = SSPQ + SSPE Neliösummiin SSE, SSPQ ja SSPE liittyvät vapausasteet toteuttavat yhtälön n + n C 4 = + (n + n C 5) Ilkka Mellin (005) 45/84

46 Testit Määritellään -testisuureet ( n + nc 5) SSAB SSAB AB = = ( n + nc 5) ( )( ) SSPE SSPE ( n + nc 5) SSA SSA A = = ( n + nc 5) ( ) SSPE SSPE ( n + nc 5) SSB SSB B = = ( n + nc 5) ( ) SSPE SSPE ( n + nc 5) SSPQ SSPQ PQ = = ( n + nc 5) SSPE SSPE Jos nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta pätee, niin (( )( ),( n + n 5)) = (,( n + n 5)) AB C C Suuret testisuureen AB arvot johtavat nollahypoteesin H AB hylkäämiseen. Jos nollahypoteesi pätee, niin H A : Ei A-vaikutusta (( ),( n + n 5)) = (,( n + n 5)) A C Suuret testisuureen A arvot johtavat nollahypoteesin H A hylkäämiseen. Jos nollahypoteesi pätee, niin H B : Ei B-vaikutusta (( ),( n + n 5)) = (,( n + n 5)) B C Suuret testisuureen B arvot johtavat nollahypoteesin H B hylkäämiseen. Jos nollahypoteesi H PQ : Ei puhdasta kvadraattista kaarevuutta pätee, niin (, ( n + n )) PQ C Suuret testisuureen B arvot johtavat nollahypoteesin H B hylkäämiseen. C C Ilkka Mellin (005) 46/84

47 -kokeen, johon on liitetty keskipiste, testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalyysitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Varianssiestimaattori MS -testisuure A SSA MSA = SSA B SSB MSB = SSB AB SSAB MSAB = SSAB PQ SSPQ MSPQ = SSPQ MSA = MSPE MSB = MSPE MSAB = MSPE MSPQ = MSPE PE SSPE n n C 5 E SSE n + n C 4 SSPE MSPE = n + n 5 C SSE MSE = n + n 4 C Kokonaisvaihtelu SST n +n C Varianssianalyysitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalyysihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE jossa SSE = SSPQ + SSPE Lisäksi neliösummiin liittyvät vapausasteet toteuttavat vastaavat yhtälöt n + n C = (n + n C 4) ja n + n C 4 = + n + n C 5 Ilkka Mellin (005) 47/84

48 . asteen vastepintamalli Siirrytään luonnollisista tekijöiden A ja B mittayksiköistä koodattuihin muuttujan arvoihin yhtälöllä X ( X+ + X )/ x =, X = X, X ( X X )/ + Koodatun muuttujan x arvot ovat, jos X X x = + =, jos X = X + + Määritellään vastemuuttujalle y. asteen vastepintamalli jossa y = β + β x + β x + β x x +ε 0 x = Tekijää A vastaava koodattu muuttuja x = Tekijää B vastaava koodattu muuttuja Estimoidaan. asteen vastepintamallin parametrit pienimmän neliösumman menetelmällä käyttäen kaikkia havaintoja. Olkoot parametrien PNS-estimaattorit Tällöin pätee β 0, β, β, β b 0, b, b, b b b b b 0 = y = = = X X A X B AB Estimoitu. asteen vastepinnan yhtälö saa siten muodon X A XB X AB yˆ = y+ x+ x + x x Ilkka Mellin (005) 48/84

49 Tehtävän 0.4 ratkaisu: Yhteenveto tehtävän 0.3. ratkaisusta Tekijän A tasojen lukumäärä: I = Tekijän B tasojen lukumäärä: J = Havaintojen lukumäärä tekijöiden A ja B tasojen määräämässä ryhmässä (i, j), i =,, j =, : n = Kulmapistehavaintojen lukumäärä: n = I J n = = 4 Koeasetelman havainnollistus: + b = 40.0 ab = 4.5 B () = 39.3 A Tekijän A päävaikutus: Tekijän B päävaikutus: a = X A = ( ab+ a b ()) = ( ) =.55 n XB = ( ab a+ b ()) = ( ) = 0.65 n Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus: X AB = ( ab a b+ ()) = ( ) = 0.05 n Ilkka Mellin (005) 49/84

50 Tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja yhdysvaikutusta kuvaavat neliösummat: SSA = nx A SSB = nx B SSAB = nx AB =.405 = 0.45 = Kulmapistehavaintojen summa: T = a b+ a+ b+ () = = 6.7 Kulmapistehavaintojen aritmeettinen keskiarvo: y = T = 6.7 = n 4 Kulmapistehavaintojen neliöiden summa: n kij kij i= j= k= i= j= k= Q = y = y = Kulmapistehavaintojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma: SST = Q T = =.875 4n 4 Kulmapistehavaintoihin perustuvan varianssianalyysin tulokset voidaan koota seuraavaksi varianssianalyysitaulukoksi: Vaihtelun lähde SS df MS p A B AB E 0 0 T Keskipistehavaintojen liittäminen kokeeseen Vastemuuttujasta on kerätty 5 havaintoa keskipisteessä. Keskipisteen (A C, B C ) koordinaatit saadaan yhtälöistä AC = ( A + A+ ) = ( ) = 35 BC = ( B + B+ ) = ( ) = 55 Ilkka Mellin (005) 50/84

51 Kaikkien havaintojen lukumäärä on N = n + n C = = 9 Keskipistehavaintojen summa: n C T = z = 0.3 C k = k Keskipistehavaintojen aritmeettinen keskiarvo: y C = TC = 0.3 = n 5 Kaikkien havaintoarvojen summa: C T = T + = = 364 TC Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo: 364 y = T = = N 9 Keskipistehavaintojen neliöiden summa: Q C n C = z = k = k Kaikkien havaintoarvojen neliöiden summa: Q= Q + Q = = C Kaikkien havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma: T 364 SST = Q = = 3.00 N 9 Puhdasta virhettä kuvaava neliösumma on tässä 0.3 SSPE = z y = Q T = = n C ( k C) C C k = nc 5 Koska kulmapistehavaintojen aritmeettinen keskiarvo on y = ja keskipistehavaintojen aritmeettinen keskiarvo on y C = niin puhdasta kvadraattista kaarevuutta kuvaavaksi neliösummaksi saadaan nn 45 SSPQ = y y = = n + + C ( C) ( ) nc 4 5 Ilkka Mellin (005) 5/84

52 Testit Testi tekijöiden A ja B interaktiolle: SSAB AB = ( n + nc 5) = ( ) = SSPE 0.7 Koska testisuureen arvoa vastaava p-arvo on 0.8, nollahypoteesia H AB : Ei yhdysvaikutusta ei voida hylätä millään tavanomaisella merkitsevyystasolla. Testi tekijän A päävaikutukselle: SSA.405 A = ( n + nc 5) = ( ) = SSPE 0.7 Koska testisuureen arvoa vastaava p-arvo on 0.007, nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta voidaan hylätä esimerkiksi merkitsevyystasolla 0.0. Testi tekijän B päävaikutukselle: SSB 0.45 B = ( n + nc 5) = (4+ 5 5) SSPE 0.7 Koska testisuureen arvoa vastaava p-arvo on 0.035, nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.05, mutta ei merkitsevyystasolla 0.0. Testi puhtaalle kvadraattiselle kaarevuudelle: SSPQ PQ = ( n + nc 5) = ( ) = SSPE 0.7 Koska testisuureen arvoa vastaava p-arvo on 0.8, nollahypoteesia H PQ : Ei kaarevuutta ei voida hylätä millään tavanomaisella merkitsevyystasolla. Ilkka Mellin (005) 5/84

53 Analyysin tulokset voidaan koota seuraavaksi varianssianalyysitaulukoksi: Vaihtelun lähde SS df MS p A B AB PQ PE T Johtopäätös Tekijöillä A ja B ei ole interaktiota, mutta molemmilla tekijöillä on päävaikutus. Lisäksi vastemuuttujan riippuvuutta tekijöistä A ja B voidaan approksimoida tarkastellulla alueella. asteen vastepinnalla. Vastepintamallin estimointi Tekijöiden A ja B arvojen koodaus tapahtuu yhtälöillä: A ( ) / A 35 x = =, A= A, A (40 30) / 5 + B ( ) / B 55 x = =, B= B, B (60 50) / 5 + Estimoiduksi. asteen vastepintamalliksi saadaan edellä esitettyjen tulosten perustella X X X ˆ = = x+ x xx = x x 0.05x x A B AB y y x x xx Sama tulos saadaan soveltamalla PNS-menetelmää malliin y = β + β x + β x + β x x +ε 0 Ilkka Mellin (005) 53/84

54 Estimoitu regressioyhtälö saa luonnollisissa mittayksiköissä muodon yˆ = x x 0.05x x A 35 B 55 A 35 B 55 = = A+ 0.B 0.00AB Tehtävän 0.4. ratkaiseminen tilastollisella ohjelmistolla: Tehtävän aineisto koodattuna Ncss-ohjelmaa varten: Data Report Data List Section Row Y A B AB Ilkka Mellin (005) 54/84

55 Ncss-ohjelma antaa seuraavan tulostuksen, kun aineistoon sovitetaan. asteen vastepinta: Response-Surface Regression Report Response Y Descriptive Statistics Section Variable Count Mean Minimum Maximum A B Y Hierarchical Model Summary Section Number of Terms Removed 0 Number of Terms Remaining 3 R-Squared Cutoff Value R-Squared of inal Model Coded Hierarchical Model A B A A () B B Notes: or off-diagonal entries: =uw, =uw, 3=uw, 4=uw, 5=uw3,6=u3w, 7=uw3, 8=u3w, 9=u3w3. or diagonal entries: =u, =u, 3=u3. Where u=u, u=u^=u*u, and u3=u^3=u*u*u. Sequential ANOVA Section Sequential Mean Prob Incremental Source df Sum-Squares Square -Ratio Level R-Squared Regression Linear Lin x Lin Total Error E Lack of it.7e-03.7e Pure Error Sequential ANOVA Section Using Pure Error Sequential Mean Prob Incremental Source df Sum-Squares Square -Ratio Level R-Squared Regression Linear Lin x Lin Total Error E Lack of it.7e-03.7e Pure Error Ilkka Mellin (005) 55/84