Tilastolliset menetelmät

Transkriptio

1 Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I

2 Ilkka Mellin II

3 Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden soveltamisesta. Tämä on monisteen 1. korjattu painos, jossa olen pyrkinyt poistamaan monisteen β-versiossa ja 1. painoksessa olleet paino- ym. virheet. Olen myös monin paikoin pyrkinyt parantamaan aikaisempien versioiden kieltä. Lisäksi olen tehnyt joitakin tarpeellisiksi katsomiani lisäyksiä ja täydennyksiä. Moniste perustuu Teknillisessä korkeakoulussa pitämiini sovelletun todennäköisyyslaskennan ja tilastollisen analyysin perusteiden kurssien luentoihin sekä osittain myös ennustamisen ja aikasarja-analyysin ja koesuunnittelun ja tilastollisten mallien kurssien luentoihin, mikä tietysti lyö leimansa käsiteltävään materiaalin valintaan. Moniste voinee kuitenkin toimia oheismateriaalina monenlaisilla yliopistoissa pidettäville tilastotieteen kursseilla. Moniste jakautuu viiteen osaan: Osassa 1 esitetään lyhyesti kirjoittajan näkemykset siitä, mitä tilastotiede on tieteenalana sekä käsitellään tilastollisten aineiston keräämistä, mittaamista ja kuvaamista. Osassa 2 tarkastellaan satunnaisotoksia sekä otosjakaumia ja tilastollisten mallien parametrien estimointia. Osa 3 on omistettu tilastollisille testeille. Monisteen kaksi viimeistä osaa, osat 4 ja 5, käsittelevät kaksiulotteisten tilastollisten aineistojen kuvaamista, korrelaatiota sekä regressio- ja varianssianalyysia. Se, että käsillä oleva teos on perustutkintotasolle, näkyy siinä, että teoksessa ei käytetä mittateoreettista lähestymistapaa. Lisäksi jotkut vaikeimmista tuloksista on jätetty ilman perustelua. Eräänä tavoitteenani yliopisto-opettajana on ollut tuottaa verkkoon sellaista todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen oppimateriaalia, mikä mahdollistaa itseopiskelun. Lukija saattaa ihmetellä, miksi tässä monisteessa on tavoitteeseeni nähden vähän esimerkkimateriaalia. Perustelunani tälle on se, että tätä monistetta täydentävät verkossa erikseen julkaistut esimerkki- ja harjoitustehtäväkokoelmat ratkaisuineen. Todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä opettavien kannattaa huomata se, että monisteen materiaaliin liittyvät luentokalvot ovat saatavilla verkossa. Käsillä olevaan todennäköisyyslaskennan monisteeseen liittyy kiinteästi opetusmoniste Tilastolliset menetelmät sekä kaava- ja taulukkokokoelmat Todennäköisyyslaskenta: Kaavat Tilastolliset menetelmät: Kaavat Tilastolliset taulukot Myös tämä materiaali on saatavilla verkossa. Elokuussa 2008 Ilkka Mellin Ilkka Mellin III

4 Ilkka Mellin IV

5 Tilastolliset menetelmät Tilastolliset menetelmät: Johdanto 1. Tilastotiede tieteenalana 2. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen 3. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Otokset, otosjakaumat ja estimointi 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7. Väliestimointi Tilastolliset testit 8. Tilastollinen testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 10. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille 11. Testejä laatueroasteikollisille muuttujille 12. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Lineaarinen regressioanalyysi 13. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio 14. Johdatus regressioanalyysiin 15. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli 16. Yleinen lineaarinen malli 17. Regressiomallin valinta 18. Regressiodiagnostiikka 19. Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Varianssianalyysi 20. Yksisuuntainen varianssianalyysi 21. Kaksisuuntainen varianssianalyysi 22. Kolmi- ja useampisuuntainen varianssianalyysi Ilkka Mellin V

6 Sisällys Tilastolliset menetelmät: Johdanto 1 1. TILASTOTIEDE TIETEENALANA MITÄ TILASTOTIEDE ON? 6 MITÄ TILASTOTIEDE EI OLE? 6 MITÄ TILASTOTIEDE ON? 6 SATUNNAISILMIÖT JA TODENNÄKÖISYYSLASKENTA 6 TILASTOLLISEN TUTKIMUSAINEISTON KERÄÄMINEN SATUNNAISILMIÖNÄ 7 TEOREETTINEN JA SOVELTAVA TILASTOTIEDE 8 KUVAILEVA TILASTOTIEDE JA TILASTOLLINEN PÄÄTTELY 8 TILASTOTIETEEN OSA-ALUEITA 8 TILASTOTIETEEN REUNA-ALUEITA TILASTOTIETEEN SOVELLUSKOHTEET 9 TILASTOTIETEELLÄ ON MONTA NIMEÄ 10 TILASTOTIEDE JA TILASTOT 10 TILASTOTIEDE, TILASTOT JA YHTEISKUNTA 11 ESIMERKKEJÄ TILASTOLLISISTA TUTKIMUSASETELMISTA TILASTOLLISET AINEISTOT, NIIDEN KERÄÄMINEN JA MITTAAMINEN TILASTOLLISET AINEISTOT JA NIIDEN TODENNÄKÖISYYSMALLIT 16 TILASTOLLISET AINEISTOT 16 TILASTOLLISET TUTKIMUSASETELMAT 16 TILASTOLLISET MALLIT 16 TILASTOLLISTEN AINEISTOJEN KERÄÄMINEN TILASTOLLISET KOKEET 17 KOEASETELMAT 17 KONTROLLOIDUT KOKEET 17 KONTROLLOIDUT KOKEET: KOMMENTTEJA 18 SATUNNAISTAMINEN SUORAT HAVAINNOT 19 SUORAT HAVAINNOT: KOMMENTTEJA KOKONAISTUTKIMUS OTANTATUTKIMUS 19 OTANTAMENETELMIÄ 20 YKSINKERTAINEN SATUNNAISOTANTA 20 SYSTEMAATTINEN OTANTA 20 OSITETTU OTANTA 21 RYVÄSOTANTA 21 MONIASTEINEN OTANTA SATUNNAISTAMISEN MERKITYS TILASTOLLISTEN AINEISTOJEN KERÄÄMISESSÄ MITTAAMINEN, MITTA-ASTEIKOT JA TILASTOLLISET MUUTTUJAT 22 MITTARIN VALIDITEETTI JA TARKKUUS 22 MITTA-ASTEIKOT 22 KVALITATIIVISET JA KVANTITATIIVISET MUUTTUJAT 23 DISKREETIT JA JATKUVAT MUUTTUJAT 23 TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN MITTA-ASTEIKOT JA TILASTOLLISET MENETELMÄT TILASTOLLISTEN AINEISTOJEN KUVAAMINEN TILASTOLLISET AINEISTOT 25 Ilkka Mellin VI

7 3.2. HAVAINTOARVOJEN JAKAUMA 25 FREKVENSSIT JA FREKVENSSIEN JAKAUMA 26 PYLVÄSDIAGRAMMI 26 PYLVÄSDIAGRAMMIN PIIRTÄMINEN 26 LUOKKAFREKVENSSIT JA LUOKKAFREKVENSSIEN JAKAUMA 27 HISTOGRAMMI 28 HISTOGRAMMIN PIIRTÄMINEN 28 MITTA-ASTEIKOT JA HAVAINTOARVOJEN JAKAUMAN KUVAAMINEN TUNNUSLUVUT 30 TUNNUSLUVUT JA MITTA-ASTEIKOT SUHDEASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TUNNUSLUVUT 32 ARITMEETTINEN KESKIARVO 32 LUOKITELLUN AINEISTON ARITMEETTINEN KESKIARVO 32 ARITMEETTINEN KESKIARVO HAVAINTOARVOJEN JAKAUMAN KUVAAJANA 32 VARIANSSI 33 ARITMEETTISEN KESKIARVON JA VARIANSSI LASKEMINEN 34 KESKIHAJONTA 35 VARIANSSI JA KESKIHAJONTA HAVAINTOARVOJEN JAKAUMAN KUVAAJANA 36 STANDARDOINTI 36 TILASTOLLINEN ETÄISYYS 36 ORIGOMOMENTIT 36 KESKUSMOMENTIT 37 VINOUS 37 HUIPUKKUUS 38 HARMONINEN KESKIARVO 39 GEOMETRINEN KESKIARVO 40 ARITMEETTINEN, HARMONINEN JA GEOMETRINEN KESKIARVO JÄRJESTYSASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TUNNUSLUVUT 42 JÄRJESTYSTUNNUSLUVUT 42 MINIMI, MAKSIMI, VAIHTELUVÄLI 42 PROSENTTIPISTEET 42 MEDIAANI 43 MEDIAANI HAVAINTOARVOJEN JAKAUMAN KUVAAJANA 44 MEDIAANI, ARITMEETTINEN KESKIARVO JA VINOUS 43 LUOKITELLUN AINEISTON MEDIAANI 45 KVARTIILIT 45 KVARTIILIT, KVARTIILIVÄLI, KVARTIILIPOIKKEAMA 46 BOX-WHISKER-KUVIO LAATUEROASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TUNNUSLUVUT 48 FREKVENSSI 48 MOODI 48 LUOKITELLUN AINEISTON MOODI 48 MOODI HAVAINTOARVOJEN JAKAUMAN KUVAAJANA 49 MOODI, MEDIAANI, ARITMEETTINEN KESKIARVO JA VINOUS 49 Otokset, otosjakaumat, estimointi OTOKSET JA OTOSJAKAUMAT SATUNNAISOTOS 58 TILASTOLLISET AINEISTOT 58 TILASTOLLISET MALLIT 58 SATUNNAISOTANTA 58 SATUNNAISOTOKSEN TILASTOLLINEN MALLI OTOSTUNNUSLUVUT JA OTOSJAKAUMAT 59 OTOSTUNNUSLUVUT 59 OTOSJAKAUMA 60 OTOSJAKAUMAT: ESIMERKKEJÄ 60 Ilkka Mellin VII

8 4.3. ARITMEETTISEN KESKIARVON JA OTOSVARIANSSIN OTOSJAKAUMAT 60 ARITMEETTINEN KESKIARVO JA OTOSVARIANSSI 60 ARITMEETTISEN KESKIARVON ODOTUSARVO JA VARIANSSI 61 ARITMEETTISEN KESKIARVON OTOSJAKAUMA: KÄYTTYTYMINEN OTOSKOON KASVAESSA 62 ARITMEETTISEN KESKIARVON OTOSJAKAUMA: NORMAALIJAKAUTUNUT OTOS 62 ARITMEETTISEN KESKIARVON OTOSJAKAUMA: ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 62 STANDARDOIDUN ARITMEETTISEN KESKIARVON OTOSJAKAUMA: ODOTUSARVO JA VARIANSSI 63 STANDARDOIDUN ARITMEETTISEN KESKIARVON OTOSJAKAUMA: NORMAALIJAKAUTUNUT OTOS 63 STANDARDOIDUN ARITMEETTISEN KESKIARVON OTOSJAKAUMA: ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 63 ARITMEETTISEN KESKIARVON OTOSJAKAUMA: KOMMENTTEJA 64 OTOSVARIANSSIN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 64 OTOSVARIANSSIN OTOSJAKAUMA: NORMAALIJAKAUTUNUT OTOS 64 OTOSVARIANSSIN OTOSJAKAUMA: KOMENTTEJA 67 ARITMEETTISEN KESKIARVON JA OTOSVARIANSSIN RIIIPPUMATTOMUUS JA OTOSJAKAUMAT: NORMAALIJAKAUTUNUT OTOS SUHTEELLISEN FREKVENSSIN OTOSJAKAUMA 72 FREKVENSSI JA SUHTEELLINEN FREKVENSSI 72 FREKVENSSIN ODOTUSARVO, VARIANSSI JA OTOSJAKAUMA 72 SUHTEELLISEN FREKVENSSIN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 73 SUHTEELLISEN FREKVENSSIN OTOSJAKAUMA: KÄYTTÄYTYMINEN OTOSKOON KASVAESSA 73 SUHTEELLISEN FREKVENSSIN OTOSJAKAUMA: ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA ESTIMOINTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN PARAMETRIT JA NIIDEN ESTIMOINTI 75 TILASTOLLISET AINEISTOT 75 TILASTOLLISET MALLIT 75 SATUNNAISOTANTA 76 SATUNNAISOTOS 76 ESTIMAATTORIT JA ESTIMAATIT 76 ESTIMAATTORIN OTOSJAKAUMA 77 ESTIMAATTOREIDEN JOHTAMINEN 77 PISTE-ESTIMOINTI JA VÄLIESTIMOINTI HYVÄN ESTIMAATTORIN OMININAISUUKSIA 77 TYHJENTÄVYYS 78 HARHATTOMUUS 78 ESTIMAATTORIN HARHA 78 ESTIMAATTORIN KESKINELIÖVIRHE 79 TEHOKKUUS 79 TÄYSTEHOKKUUS ELI MINIMIVARIANSSISUUS 80 TARKENTUVUUS ESTIMOINTIMENETELMÄT ESTIMOINTI 82 SATUNNAISOTOS 82 ESTIMAATTORI JA ESTIMAATTI 82 ESTIMAATTOREIDEN JOHTAMINEN SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN MENETELMÄ 82 USKOTTAVUUSFUNKTIO 82 SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMAATTORI 83 SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMAATTORIN MÄÄRÄÄMINEN 84 LOGARITMINEN USKOTTAVUUSFUNKTIO 84 Ilkka Mellin VIII

9 SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMAATTORIN ASYMPTOOTTISET OMINAISUUDET NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIEN SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMOINTI 85 SU-ESTIMAATTOREIDEN JOHTO 85 SU-ESTIMAATTOREIDEN OMINAISUUDET EKSPONENTTIJAKAUMAN PARAMETRIEN SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMOINTI 87 SU-ESTIMAATTORIN JOHTO BERNOULLI-JAKAUMAN PARAMETRIEN SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN ESTIMOINTI 89 SU-ESTIMAATTORIN JOHTO 89 SU-ESTIMAATTORIN OMINAISUUDET MOMENTTIMENETELMÄ 91 SATUNNAISOTOS 91 MOMENTIT 91 MOMENTTIESTIMAATTOREIDEN MÄÄRÄÄMINEN 92 MOMENTTIMENETELMÄ VS SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN MENETELMÄ NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIEN MOMENTTIESTIMOINTI 93 MM-ESTIMAATTOREIDEN JOHTO EKSPONENTTIJAKAUMAN PARAMETRIEN MOMENTTIESTIMOINTI 94 MM-ESTIMAATTORIN JOHTO BERNOULLI-JAKAUMAN PARAMETRIEN MOMENTTIESTIMOINTI 95 MM-ESTIMAATTORIN JOHTO VÄLIESTIMOINTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN PARAMETRIT JA NIIDEN ESTIMOINTI 98 SATUNNAISOTOS 98 ESTIMAATTORI JA ESTIMAATTI 98 ESTIMAATTOREIDEN JOHTAMINEN 98 PISTE-ESTIMOINTI JA VÄLIESTIMOINTI LUOTTAMUSVÄLIT 99 LUOTTAMUSVÄLIN MÄÄRÄÄMINEN 99 LUOTTAMUSTASON JA -VÄLIN FREKVENSSITULKINTA 100 JOHTOPÄÄTÖKSET LUOTTAMUSVÄLISTÄ 100 LUOTTAMUSVÄLIT: ESIMERKKEJÄ NORMAALIJAKAUMAN ODOTUSARVON LUOTTAMUSVÄLI, KUN JAKAUMAN VARIANSSI ON TUNNETTU 101 OTOS NORMAALIJAKAUMASTA 101 NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 101 ODOTUSARVON LUOTTAMUSVÄLIN KONSTRUOINTI 101 LUOTTAMUSVÄLIN OMINAISUUDET 104 LUOTTAMUSVÄLIN FREKVENSSITULKINTA 104 JOHTOPÄÄTÖKSET LUOTTAMUSVÄLISTÄ 104 VAATIMUKSET LUOTTAMUSVÄLILLE 105 OTOSKOON MÄÄRÄÄMINEN NORMAALIJAKAUMAN ODOTUSARVON LUOTTAMUSVÄLI, KUN JAKAUMAN VARIANSSI ON TUNTEMATON 106 OTOS NORMAALIJAKAUMASTA 106 NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 106 ODOTUSARVON LUOTTAMUSVÄLIN KONSTRUOINTI 106 LUOTTAMUSVÄLIN OMINAISUUDET 109 LUOTTAMUSVÄLIN FREKVENSSITULKINTA 110 JOHTOPÄÄTÖKSET LUOTTAMUSVÄLISTÄ 110 VAATIMUKSET LUOTTAMUSVÄLILLE 110 OTOSKOON MÄÄRÄÄMINEN 111 NORMAALIJAKAUMAN ODOTUSARVON LUOTTAMUSVÄLIN MÄÄRÄÄMINEN: ESIMERKKI 111 Ilkka Mellin IX

10 7.5. NORMAALIJAKAUMAN VARIANSSIN LUOTTAMUSVÄLI 114 OTOS NORMAALIJAKAUMASTA 114 NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 114 VARIANSSIN LUOTTAMUSVÄLIN KONSTRUOINTI 116 LUOTTAMUSVÄLIN OMINAISUUDET 116 LUOTTAMUSVÄLIN FREKVENSSITULKINTA 117 JOHTOPÄÄTÖKSET LUOTTAMUSVÄLISTÄ 117 VAATIMUKSET LUOTTAMUSVÄLILLE BERNOULLI-JAKAUMAN ODOTUSARVON LUOTTAMUSVÄLI 117 BERNOULLI-JAKAUMA 117 OTOS BERNOULLI-JAKAUMASTA 118 BERNOULLI-JAKAUMAN ODOTUSARVOPARAMETRIN ESTIMOINTI 118 BERNOULLI-JAKAUMAN ODOTUSARVOPARAMETRIN LUOTTAMUSVÄLI 118 LUOTTAMUSVÄLIN OMINAISUUDET 121 LUOTTAMUSVÄLIN FREKVENSSITULKINTA 121 JOHTOPÄÄTÖKSET LUOTTAMUSVÄLISTÄ 122 VAATIMUKSET LUOTTAMUSVÄLILLE 122 OTOSKOON MÄÄRÄÄMINEN 122 Tilastolliset testit TILASTOLLINEN TESTAUS TILASTOLLISEN TESTAUKSEN IDEA 132 TILASTOLLISEN TESTAUKSEN LÄHTÖKOHTA 132 SATUNNAISOTOS TILASTOLLISET HYPOTEESIT 133 YLEINEN HYPOTEESI 133 NOLLAHYPOTEESI 133 VAIHTOEHTOINEN HYPOTEESI TILASTOLLISET TESTIT JA TESTISUUREET 134 TESTI 134 TESTISUURE VIRHEET TESTAUKSESSA 135 HYLKÄYSVIRHE 135 HYVÄKSYMISVIRHE 135 TESTIN VOIMAKKUUS JA 2. LAJIN VIRHEET 135 TESTIN TULOS JA MAAILMAN TILAT 136 TESTIN HYLKÄYS- JA HYVÄKSYMISALUEET MERKITSEVYYSTASO JA TESTIN HYLKÄYSALUE 136 MERKITSEVYYSTASO 136 MERKITSEVYYSTASON FREKVENSSITULKINTA 137 TAVANOMAISET MERKITSEVYYSTASOT 137 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YKSIKERTAISISSA TESTAUSASETELMISSA TESTIN P-ARVO 139 P-ARVO 139 P-ARVON FREKVENSSITULKINTA 137 P-ARVO JA TESTI PÄÄTÖSSÄÄNTÖNÄ 140 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN YKSINKERTAISISSA TESTAUSASETELMISSA TESTIN SUORITTAMINEN 141 TESTIN SUORITTAMINEN MERKITSEVYYSTASON VALINTAAN PERUSTUVISSA TESTAUSASETELMISSA 141 TESTIN SUORITTAMINEN P-ARVON VALINTAAN PERUSTUVISSA TESTAUSASETELMISSA NORMAALIJAKAUMAN PARAMETREJA KOSKEVAT TESTIT: ESIMERKKI 142 TESTAUSASETELMA 142 HAVAINNOT 143 Ilkka Mellin X

11 TESTAUSASETELMAA KOSKEVAT HYPOTEESIT 144 χ 2 -TESTI VARIANSSILLE 145 t-testi ODOTUSARVOLLE TILASTOLLISET TESTIT JA HAVAINTOJEN MITTA-ASTEIKOILLISET OMINAISUUDET TESTEJÄ SUHDEASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE SUHDEASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT YHDEN OTOKSEN t-testi ODOTUSARVOLLE 156 TESTAUSASETELMA YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 156 HYPOTEESIT YHDEN OTOKSEN t-testissä 156 PARAMETRIEN ESTIMOINTI YHDEN OTOKSEN t-testissä 156 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA YHDEN OTOKSEN t-testissä 157 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN t-testissä 158 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN t-testissä 159 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS YHDEN OTOKSEN t-testissä 159 YHDEN OTOKSEN t-testin HYVÄKSYMISVIRHEEN TODENNÄKÖISYYS JA VOIMAKKUUS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testi A ODOTUSARVOILLE: YLEINEN TAPAUS 162 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä A 162 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä A 163 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä A 163 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä A 164 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä A 165 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä A 167 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä A KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testi B ODOTUSARVOILLE: YHTÄ SUURTEN VARIANSSIEN TAPAUS 167 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä B 167 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä B 168 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä B 169 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä B 169 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä B 171 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä B 171 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN t-testissä B t-testi PARIVERTAILUILLE 171 PARIVERTAILUASETELMA 171 TESTAUSASETELMA t-testissä PARIVERTAILUILLE 171 HYPOTEESIT t-testissä PARIVERTAILUILLE 172 PARAMETRIEN ESTIMOINTI t-testissä PARIVERTAILUILLE 172 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA t-testissä PARIVERTAILUILLE 172 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN t-testissä PARIVERTAILUILLE 174 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 174 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS t-testissä PARIVERTAILUILLE YHDEN OTOKSEN χ 2 -TESTI VARIANSSILLE 174 TESTAUSASETELMA YHDEN OTOKSEN TESTISSÄ VARIANSSILLE 174 HYPOTEESIT YHDEN OTOKSEN χ 2 -TESTISSÄ VARIANSSILLE 174 PARAMETRIEN ESTIMOINTI YHDEN χ 2 -TESTISSÄ VARIANSSILLE 175 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA YHDEN OTOKSEN χ 2 -TESTISSÄ VARIANSSILLE 175 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN χ 2 -TESTISSÄ VARIANSSILLE 176 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN χ 2 -TESTISSÄ VARIANSSILLE 177 Ilkka Mellin XI

12 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS YHDEN OTOKSEN χ 2 -TESTISSÄ VARIANSSILLE KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F- TESTI VARIANSSEILLE 178 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 178 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 179 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 179 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 179 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 181 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 182 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F- TESTISSÄ VARIANSSEILLE TESTEJÄ JÄRJESTYSASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE JÄRJESTYSASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT MERKKITESTI 185 TESTISUUREET S JA S+ 185 TESTISUUREIDEN S JA S+ OMINAISUUDET 186 EKSAKTI MERKKITESTI 186 STANDARDOITU MERKKITESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 186 KOMMENTTEJA 187 MERKKITESTI JA PARIVERTAILUASETELMAT WILCOXONIN RANKITESTI 187 TESTISUUREET W JA W+ 188 TESTISUUREIDEN W JA W+ OMINAISUUDET 188 EKSAKTI WILCOXONIN RANKITESTI 189 STANDARDOITU W-TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 187 KOMMENTTEJA 190 WILCOXONIN RANKITESTI JA PARVERTAILUASETELMAT MANNIN JA WHITNEYN TESTI 190 HYPOTEESIT 191 MANNIN JA WHITNEYN TESTIN IDEA 191 TESTISUURE U1 MUOTO TESTISUURE U1 MUOTO TESTISUUREEN U1 OMINAISUUDET 192 TESTISUURE U2 MUOTO TESTISUURE U2 MUOTO TESTISUUREEN U2 OMINAISUUDET 192 TESTISUUREIDEN U1 JA U2 OMINAISUUDET 193 STANDARDOITU U1-TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 193 STANDARDOITU U2-TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 193 KOMMENTTEJA WILCOXONIN RANKISUMMATESTI 194 MANNIN JA WHITNEYN TESTI JA WILCOXONIN RANKISUMMATESTI 194 TESTISUURE T1 194 TESTISUURE T2 194 TESTISUUREIDEN T1 JA T2 OMINAISUUDET 194 STANDARDOITU T1-TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 195 STANDARDOITU T2-TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA TESTEJÄ LAATUEROASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE LAATUEROASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT TESTI SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 197 Ilkka Mellin XII

13 TESTAUSASETELMA TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 197 HYPOTEESIT TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 198 PARAMETRIEN ESTIMOINTI TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 198 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 198 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 200 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTI 201 TESTAUSASETELMA SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 201 HYPOTEESIT SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 202 PARAMETRIEN ESTIMOINTI SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 202 TESTISUURE SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 203 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 205 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ YHTEENSOPIVUUDEN, HOMOGEENISUUDEN JA RIIPPUMATTOMUUDEN TESTAAMINEN JAKAUMAOLETUKSIEN TESTAUS YHTEENSOPIVUUDEN TESTAAMINEN 208 TESTAUSASETELMA χ 2 -YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 208 HYPOTEESIT χ 2 -YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 209 HAVAITUT LUOKKAFREKVENSSIT 209 ODOTETUT LUOKKAFREKVENSSIT 210 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ 2 -YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 211 χ 2 -YHTEENSOPIVUUSTESTI: SOVELLUS HOMOGEENISUUDEN TESTAAMINEN 217 TESTAUSASETELMA χ 2 -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 217 χ 2 -HOMOGEENISUUSTESTIN SUORITTAMINEN 217 HYPOTEESIT χ 2 -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 218 HAVAITUT FREKVENSSIT 218 NOLLAHYPOTEESIN TULKINTA χ 2 -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 219 ODOTETTUJEN FREKVENSSIEN MÄÄRÄÄMINEN 219 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ 2 -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ RIIPPUMATTOMUUDEN TESTAAMINEN 222 TESTAUSASETELMA χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ 222 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTIN SUORITTAMINEN 222 HYPOTEESIT χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ 223 HAVAITUT FREKVENSSIT 223 NOLLAHYPOTEESIN TULKINTA χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ 224 ODOTETTUJEN FREKVENSSIEN MÄÄRÄÄMINEN 224 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ χ 2 -HOMOGEENISUUSTESTI JA χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI NORMAALISUUDEN TESTAAMINEN 228 BOWMANIN JA SHENTONIN TESTI NORMAALISUUDELLE 228 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN VINOUS JA HUIPUKKUUS 228 HAVAINTOJEN JAKAUMAN VINOUS JA HUIPUKKUUS 229 HYPOTEESIT 230 BOWMANIN JA SHENTONIN TESTI 230 RANKIT PLOT -KUVIO SEKÄ WILKIN JA SHAPIRON TESTI NORMAALISUUDELLE 230 RANKIT PLOT -KUVIO JA WILKIN JA SHAPIRON TESTI: SOVELLUS 231 Lineaarinen regressioanalyysi TILASTOLLINEN RIIPPUVUUS JA KORRELAATIO TILASTOLLINEN RIIPPUVUUS, KORRELAATIO JA REGRESSIO 242 Ilkka Mellin XIII

14 13.2. KAHDEN MUUTTUJAN HAVAINTOAINEISTON KUVAAMINEN 243 PISTEDIAGRAMMI 243 AIKASARJADIAGRAMMI 247 ARITMEETTISET KESKIARVOT 249 OTOSVARIANSSIT JA OTOSKESKIHAJONNAT 249 OTOSKOVARIANSSI 250 OTOSKORRELAATIO 252 OTOSTUNNUSLUKUJEN LASKEMINEN PEARSONIN KORRELAATIOKERTOIMEN ESTIMOINTI JA TESTAUS 257 OTOS KAKSIULOTTEISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 257 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 258 FISHERIN Z-MUUNNOS 259 KORRELAATIOKERTOIMEN LUOTTAMUSVÄLI 259 KORRELOIMATTOMUUDEN TESTAAMINEN 261 YLEINEN TESTI KORRELAATIOKERTOIMELLE 262 KORRELAATIOKERTOIMIEN VERTAILUTESTI JÄRJESTYSKORRELAATIOKERTOIMET 265 SPEARMANIN JÄRJESTYSKORRELAATIOKERROIN 265 SPEARMANIN JÄRJESTYSKORRELAATIOKERTOIMEN OMINAISUUDET 266 KORRELOIMATTOMUUDEN TESTAAMINEN 267 KENDALLIN JÄRJESTYSKORRELAATIOKERROIN 267 KENDALLIN JÄRJESTYSKORRELAATIOKERTOIMEN OMININAISUUDET 268 KORRELOIMATTOMUUDEN TESTAAMINEN JOHDATUS REGRESSIOANALYYSIIN REGRESSIOANALYYSIN LÄHTÖKOHDAT JA TAVOITTEET 271 REGRESSIOANALYYSIN TAVOITTEET 271 REGRESSIOMALLIEN LUOKITTELU 271 REGRESSIOANALYYSIN SOVELLUKSET TILASTOTIETEESSÄ 272 REGRESSIOANALYYSIN LÄHTÖKOHDAT DETERMINISTISET MALLIT JA REGRESSIOANALYYSI 272 DETERMINISTISET MALLIT 272 DETERMINISTISET MALLIT JA REGRESSIO-ONGELMA 273 SYYT REGRESSIO-ONGELMAN SYNTYYN 274 REGRESSIOMALLI JA KIINTEÄT SELITTÄJÄT REGRESSIOFUNKTIOT JA REGRESSIOANALYYSI 276 EHDOLLISET JAKAUMAT JA EHDOLLISET ODOTUSARVOT 276 REGRESSIOFUNKTIOT 277 REGRESSIOFUNKTIOT JA ENNUSTAMINEN 277 REGRESSIOFUNKTIOT JA REGRESSIO-ONGELMA 278 REGRESSIOMALLI JA SATUNNAISET SELITTÄJÄT KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REGRESSIOFUNKTIOT 281 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 282 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIT 282 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN PARAMETRIEN TULKINTA 282 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET JAKAUMAT 283 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REGRESSIOFUNKTIOT 284 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT REGRESSIOANALYYSIN TEHTÄVÄT REGRESSIOMALLIN LINEAARISUUS YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA SITÄ KOSKEVAT OLETUKSET 290 HAVAINNOT 290 YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI 290 JÄÄNNÖSTERMIÄ KOSKEVAT STOKASTISET OLETUKSET 291 Ilkka Mellin XIV

15 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN OMINAISUUDET 291 MALLIN PARAMETRIT 292 MALLIN SYSTEMAATTINEN OSA JA SATUNNAINEN OSA 292 REGRESSIOSUORA 293 REGRESSIOSUORAN KULMAKERTOIMEN TULKINTA REGRESSIOKERTOIMIEN ESTIMOINTI 294 REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMOINTI 294 ESTIMOITU REGRESSIOSUORA 292 REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTOREIDEN OMINAINAISUUDET SOVITTEET JA RESIDUAALIT 303 SOVITTEIDEN JA RESIDUAALIEN OMINAISUUKSIA 303 SOVITTEET JA RESIDUAALIT: HAVAINNOLLISTUS JÄÄNNÖSVARIANSSIN ESTIMOINTI VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA JA SELITYSASTE 307 SELITYSASTE 310 SELITYSASTEEN OMINAISUUDET LASKUTOIMITUSTEN JÄRJESTÄMINEN 311 ESIMERKKEJÄ ESTIMOINTITULOSTEN TULKINNASTA PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA 318 REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTOREIDEN OTOSJAKAUMAT 318 JÄÄNNÖSVARIANSSIN OTOSJAKAUMA 319 REGRESSIOKERTOIMIEN LUOTTAMUSVÄLIT 320 REGRESSIOKERTOIMIA KOSKEVAT TESTIT ENNUSTAMINEN YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISELLA REGRESSIOMALLILLA 324 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON ENNUSTAMINEN 324 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON ENNUSTEEN OTOSJAKAUMA 324 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI 325 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON LUOTTAMUSVÄLIN OMINAISUUDET 326 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON ENNUSTAMINEN 326 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON ENNUSTEEN OTOSJAKAUMA 326 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI 327 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON LUOTTAMUSVÄLIN OMINAISUUDET 327 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI VS SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA SATUNNAINEN SELITTÄJÄ KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REGRESSIOFUNKTIOIDEN ESTIMOINTI 327 KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA JA SEN TIHEYSFUNKTIO 327 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET JAKAUMAT 328 OTOS KAKSIULOTTEISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 329 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REGRESSIOFUNKTIOIDEN PNS-ESTIMOINTI 329 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REGRESSIOFUNKTIOIDEN ESTIMOINTI MOMENTTIMENETELMÄLLÄ JA SUURIMMAN USKOTTAVUUDEN MENETELMÄLLÄ YLEINEN LINEAARINEN MALLI YLEINEN LINEAARINEN MALLI JA SITÄ KOSKEVAT OLETUKSET 339 HAVAINNOT 339 YLEINEN LINEAARINEN MALLI 340 MALLIA KOSKEVAT STANDARDIOLETUKSET 340 KOMMENTTEJA STANDARDIOLETUKSIIN 341 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN OMINAISUUDET 342 MALLIN PARAMETRIT 342 MALLIN SYSTEMAATTINEN OSA JA SATUNAINEN OSA 343 REGRESSIOTASO 343 Ilkka Mellin XV

16 REGRESSIOKERTOIMIEN TULKINTA YLEISEN LINEAARISEN MALLIN MATRIISIESITYS 343 ODOTUSARVOVEKTORI JA KOVARIANSSIMATRIISI 344 STANDARDIOLETUKSET MATRIISIMUODOSSA YLEISEN LINEAARISEN MALLIN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 345 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTIMENETELMÄ 345 REGRESSIOKERTOIMIEN VEKTORIN PNS-ETIMAATTORI 346 PNS-ESTIMAATTORIN ODOTUSARVOVEKTORI JA KOVARIANSSIMATRIISI 347 GAUSSIN JA MARKOVIN LAUSE 348 GAUSSIN JA MARKOVIN LAUSEEN TULKINTA 350 PNS-ESTIMAATTORIN STOKASTISET OMINAISUUDET 350 SOVITTEET JA RESIDUAALIT 351 SOVITTEIDEN JA RESIDUAALIEN MATRIISIESITYKSET 351 SOVITTEIDEN JA RESIDUAALIEN OMINAISUUDET 353 SOVITTEIDEN JA RESIDUAALIEN STOKASTISET OMINAISUUDET 354 JÄÄNNÖSVARIANSSIN ESTIMOINTI 357 ESTIMOITU REGRESSIOTASO VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA JA SELITYSASTE 358 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMAN TULKINTA 361 SELITYSASTE 362 SELITYSASTEEN OMINAISUUDET TILASTOLLINEN PÄÄTTELY YLEISESTÄ LINEAARISESTA MALLISTA 363 REGRESSIOKERTOIMIEN ESTIMAATTOREIDEN ODOTUSARVOT, VARIANSSIT JA OTOSJAKAUMAT 363 JÄÄNNÖSVARIANSSIN OTOSJAKAUMA 364 REGRESSIOKERTOIMIEN LUOTTAMUSVÄLIT 365 REGRESSIOKERTOIMIEN LUOTTAMUSVÄLIEN TULKINTAT 365 YLEISTESTI REGRESSION OLEMASSAOLOLLE 365 TESTIT YKSITTÄISILLE REGRESSIOKERTOIMILLE ENNUSTAMINEN YLEISELLÄ LINEAARISELLA MALLILLA 367 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON ENNUSTAMINEN 367 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON ENNUSTEEN OTOSJAKAUMA 367 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI 368 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON ENNUSTAMINEN 368 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON ENNUSTEEN OTOSJAKAUMA 368 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI 368 SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ODOTETTAVISSA OLEVAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI VS SELITETTÄVÄN MUUTTUJAN ARVON LUOTTAMUSVÄLI YLEINEN LINEAARINEN MALLI JA SATUNNAISET SELITTÄJÄT 369 YLEINEN LINEAARINEN MALLI JA STANDARDIOLETUKSET 369 SELITTÄJIEN SATUNNAISUUS 370 REGRESSIOKERTOIMIEN VEKTORIN PNS-ESTIMAATTORIN HARHATTOMUUS 370 YLEINEN LINEAARINEN MALLI JA MODIFIOIDUT STANDARDIOLETUKSET SATUNNAISTEN SELITTÄJIEN TAPAUKSELLE 371 KOMMENTTEJA REGRESSIOMALLIN VALINTA REGRESSIOMALLIN VALINTA: JOHDANTO YLEINEN LINEAARINEN MALLI 374 MALLIN RAKENNEOSA JA JÄÄNNÖSOSA 375 REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTORIT JA NIIDEN OMINAISUUDET 375 ESTIMOIDUN MALLIN SOVITTEET JA RESIDUAALIT SEKÄ NIIDEN OMINAISUUDET 376 JÄÄNNÖSVARIANSSIN ESTIMOINTI 377 YLEISEN LINEAARISEN MALLIN RAKENNEOSA JA SEN SPESIFIOINTI 378 MIKSI OIKEIDEN SELITTÄJIEN LÖYTÄMINEN REGRESSIOMALLIIN ON TÄRKEÄTÄ? 378 MIKSI OIKEIDEN SELITTÄJIEN LÖYTÄMINEN REGRESSIOMALLIIN ON VAIKEATA? 378 PUUTTUVIEN SELITTÄJIEN ONGELMA 378 Ilkka Mellin XVI

17 SELITTÄJIEN VALINNAN MENETELMÄT MALLINVALINTATESTIT 380 ALAPÄIN ASKELLUS 381 ASKELTAVA REGRESSIO MALLINVALINTAKRITEERIT 382 MALLIVALINTAKRITEERIEN YLEINEN MUOTO 382 MALLINVALINTAKRITEEREIDEN SOVELTAMINEN 383 MALLINVALINTAKRITEEREITÄ 383 JÄÄNNÖSVARIANSSIKRITEERI 383 KORJATTU SELITYSASTE 384 MALLOWSIN C P 384 AKAIKEN INFORNAATIOKRITEERI 385 SCHWARZIN BAYESLAINEN INFORMAATIOKRITEERI TILASTOLLISET MENETELMÄT TILASTOLLISEN MALLIN VALINNASSA: KOMMENTTEJA EPÄLINEAARISTEN RIIPPUVUUKSIEN LINEARISOINTI 386 LINEARISOINTI YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIOMALLEISSA 386 LINEARISOIVIEN MUUNNOSTEN ETSIMINEN 387 LINEARISOIVIA MUUNNOKSIA 388 VAATIMUKSET MUUNNOKSILLE REGRESSIODIAGNOSTIIKKA REGRESSIOMALLIT JA REGRESSIODIAGNOSTIIKKA 391 REGRESSIOANALYYSIN PERUSKYSYMYKSET 391 REGRESSIOANALYYSIN PERUSKYSYMYKSET JA REGRESSIODIAGNOSTIIKKA 381 REGRESSIOMALLIN SPESIFIOINTI YLEINEN LINEAARINEN MALLI 392 MALLIN RAKENNEOSA JA JÄÄNNÖSOSA 393 REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTORIT JA NIIDEN OMINAISUUDET 394 ESTIMOIDUN MALLIN SOVITTEET JA RESIDUAALIT SEKÄ NIIDEN OMINAISUUDET 394 JÄÄNNÖSVARIANSSIN ESTIMOINTI 396 YLEISEN LINEAARISEN MALLIN RAKENNEOSAN SPESIFIOINTI 396 YLEISEN LINEAARISEN MALLIN JÄÄNNÖSOSAN SPESIFIOINTI 397 SPESIFIOINTIVIRHEIDEN VAIKUTUKSET 397 DIAGNOSTISET TARKISTUKSET REGRESSIOGRAFIIKKA 398 PISTEDIAGRAMMIT 398 RESIDUAALIDIAGRAMMIT 399 AIKASARJADIAGRAMMIT POIKKEAVAT HAVAINNOT 400 RESIDUAALIT 401 STANDARDOIDUT RESIDUAALIT 402 POISTORESIDUAALIT 402 STANDARDOIDUT POISTORESIDUAALIT 403 VIPULUVUT 404 COOKIN ETÄISYYDET 404 TILASTOGRAFIIKKA JA POIKKEAVIEN HAVAINTOJEN TUNNISTAMINEN REGRESSIOKERTOIMIEN VAKIOISUUS 405 TESTI REGRESSIOKERTOIMIEN VAKIOISUUDELLE 406 TESTIN TOINEN MUOTOILU MULTIKOLLINEAARISUUS 408 MULTIKOLLINEAARISUUS 408 VARIANSSIN INFLAATIOTEKIJÄ 409 MOMENTTIMATRIISI, OTOSKOVARIANSSIMATRIISI JA OTOSKORRELAATIOMATRIISI 410 MULTIKOLLINEAARISUUDEN TUTKIMINEN HOMOSKEDASTISUUS JA HETEROSKEDASTISUUS 412 HETEROSKEDASTISUUDEN VAIKUTUKSET 412 Ilkka Mellin XVII

18 HETEROSKEDASTISUUDEN HAVAITSEMINEN 412 HETEROSKEDASTISUUDEN TESTAAMINEN 413 VARIANSSIN STABILOIVAT MUUNNOKSET AUTOKORRELAATIO 414 KORRELOITUNEISUUDEN VAIKUTUKSET 414 AIKASARJOJEN REGRESSIOMALLIT JA AUTOKORRELAATIO 414 DURBININ JA WATSONIN TESTI 1. KERTALUVUN AUTOKORRELAATIOLLE NORMAALISUUS 416 EPÄNORMAALISUUDEN VAIKUTUKSET 416 BOWMANIN JA SHENTONIN TESTI MALLIN ENNUSTUSKYKY ERITYISKYSYMYKSIÄ YLEISEN LINEAARISEN MALLIN SOVELTAMISESSA ERITYISKYSYMYKSIÄ YLEISEN LINEAARISEN MALLIN SOVELTAMISESSA: JOHDANTO 422 YLEINEN LINEAARINEN MALLI 422 REGRESSIOKERTOIMIEN PNS-ESTIMAATTORIT JA NIIDEN OMINAISUUDET 423 GAUSSIN JA MARKOVIN LAUSE 424 GAUSSIN JA MARKOVIN LAUSEEN TULKINTA 424 KUN PNS-ESTIMAATTORI EI OLE PARAS 425 KUN PNS-ESTIMAATTORIA EI SAA KÄYTTÄÄ YLEISTETTY PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN MENETELMÄ 425 YLEISTETYN PNS-ESTIMAATTORIN ODOTUSARVO JA KOVARIANSSIMATRIISI 427 MODIFIOITU GAUSSIN JA MARKOVIN LAUSE YLEISTETYLLE PNS-ESTIMAATTORILLE 428 YLEISTETYN PNS-ESTIMAATTORIN STOKASTISET OMINAISUUDET 430 LASKETTAVA YLEISTETTY PNS-ESTIMAATTORI 430 PAINOTETTU PNS-ESTIMAATTORI RAJOITETTU PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN MENETELMÄ 432 RAJOITETUN PNS-ESTIMAATTORIN ODOTUSARVO JA KOVARIANSSIMATRIISI 433 MODIFIOITU GAUSSIN JA MARKOVIN LAUSE RAJOITETULLE PNS-ESTIMAATTORILLE 434 RAJOITETUN PNS-ESTIMAATTORIN STOKASTISET OMINAISUUDET 435 RAJOITUSTEN TESTAUS 436 RAJOITUSTEN SPESIFIOINTI INSTRUMENTTIMUUTTUJAMENETELMÄ 437 REGRESSIOKERTOIMIEN VEKTORIN PNS-ESTIMAATTORIN HARHATTOMUUS 438 INSTRUMENTTIMUUTTUJAMENETELMÄ 439 INSTRUMENTTIEN SPESIFIOINTI 440 Varianssianalyysi YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 446 KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTI 446 VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 446 VARIANSSIANALYYSIN NIMI YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 446 YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA KOESUUNNITTELU YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 448 HAVAINNOT JA NIIDEN KESKIARVOT 448 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 449 TESTI ODOTUSARVOJEN SAMUUDELLE 451 KOKONAISNELIÖSUMMAN SST JAKAUMA JA VAPAUSASTEET 452 RYHMIEN VÄLISEN VAIHTELUN NELIÖSUMMAN SSG JAKAUMA JA VAPAUSASTEET 453 Ilkka Mellin XVIII

19 RYHMIEN SISÄISEN VAIHTELUN NELIÖSUMMA SSE JA VAPAUSASTEET 454 COCHRANIN LAUSE 456 YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN F-TESTISUUREEN JAKAUMA 457 YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN F-TESTISUUREEN TULKINTA 458 VARIANSSIESTIMAATTORIN MSE HARHATTOMUUS 458 VARIANSSIESTIMAATTORIN MSG HARHATTOMUUS 460 VARIANSSIANALYYSITAULUKKO YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA SEN PARAMETROINTI 464 PARAMETROINTI PARAMETROINTI PARAMETROINTIEN 1 JA 2 EKVIVALENSSI 465 YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA YLEINEN LINEAARINEN MALLI YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 467 YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI 467 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI 468 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI YHTÄ SUURTEN ODOTUSARVOJEN TAPAUKSESSA 469 TESTI ODOTUSARVOJEN SAMUUDELLE 479 SOVITTEET JA RESIDUAALIT YKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN MATRIISIESITYS 471 MATRIIISIESITYS 472 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI LASKUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN BARTLETTIN TESTI 477 TESTAUSASETELMA 477 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA ODOTUSARVOPARIEN VERTAILU 478 LUOTTAMUSVÄLIT JA ODOTUSARVOJEN PARIVERTAILU 479 TESTIT JA ODOTUSARVOJEN PARIVERTAILU 480 LUOTTAMUSVÄLIEN JA TESTIEN EKVIVALENSSI 481 SIMULTAANISET LUOTTAMUSVÄLIT JA TESTIT 481 BONFERRONIN EPÄYHTÄLÖ 481 BONFERRONIN EPÄYHTÄLÖ JA SIMULTAANISET TESTIT KONTRASTIT 483 KONTRASTI 483 KONTRASTIEN ESTIMOINTI 484 KONTRASTEJA KOSKEVAT TESTIT 484 KONTRASTIEN LUOTTAMUSVÄLIT 487 ORTOGONAALISTEN KONTRASTIEN TESTAAMINEN KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 491 KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTI 491 VARIANSSIANALYYSIN PERUSONGELMA KAKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 491 INTERAKTIO: HAVAINNOLLISTUS 493 KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA KOESUUNNITTELU KAKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 494 HAVAINTOJEN KESKIARVOT 494 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 495 KAKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN TESTIT 497 NELIÖSUMMIEN JAKAUMAT 499 VARIANSSIESTIMAATTOREIDEN HARHATTOMUUS 500 VARIANSSIANALYYSITAULUKKO KAKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA SEN PARAMETROINTI 503 PARAMETROINTI PARAMETROINTI PARAMETROINTIEN 1 JA 2 EKVIVALENSSI 504 Ilkka Mellin XIX

20 21.5. KAKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 506 KAKSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI 506 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI 507 SOVITTEET JA RESIDUAALIT LASKUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN KOLMI- JA USEAMPISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 513 KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTI 513 VARIANSSIANALYYSIN PERUSONGELMA KOLMISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA SEN MALLI 513 KOLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 513 KOLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN TILASTOLLINEN MALLI 515 KOLMISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA KOESUUNNITTELU KOLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 516 HAVAINTOJEN KESKIARVOT 516 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 517 TESTISUUREET JA NIIDEN JAKAUMAT 519 VARIANSSIANALYYSITAULUKKO LASKUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN 521 Ilkka Mellin XX