1.1 Luvut ja lukujoukot

Transkriptio

1 Vahimmat tuetut todisteet lukuje käytöstä ovat vähitää vuotta vahoja [Joh D Barrow: Lukuje taivas, Art House 1999]. Lukuja o tarvittu aiaki ilmaisemaa karjalauma koko. Siksi luvut ovat mahdollisesti kehittyeet tarpeesta abstrahoida eläijouko pääluku, eli jouko alkioide lukumäärä. Luoollisista luvuista Lukumäärie ilmaisemisee tarvitaa lukuja, joita me saomme luoollisiksi luvuiksi. Koska e siis ilmaisevat lukumääriä, o luotevaa määritellä luoolliste lukuje joukko kirjoittamalla luoolliste lukuje joukko = {0, 1, 2, 3, }. Tässä olevat kolme pistettä ( ) tarkoittavat, että luettelo jatkuu loputtomii. Ku luoolliste lukuje joukolle otetaa vielä käyttöö symboli Ν, ii saadaa määritelmä Ν = {0, 1, 2, 3, }. Luoolliste lukuje symboli o siis iso N. Se vase pystytolppa kirjoitetaa usei kaksikertaisea tai vahveettua. Tämä merkki ei kuitekaa kuulu miulla yt käytettävissä olevaa merkkivalikoimaa. Siä voit kyällä käyttää oikeaa symbolia! Toisiaa luoollisii lukuihi ei oteta ollaa mukaa. Silloi meidä joukkoamme {0, 1, 2, 3, } merkitää symbolilla N 0. Me käytämme kuiteki yllä olevaa määritelmää, joka mukaa ollaki o luoollie luku. Kokoaisluvuista Ajatellaa, että siä pelaat oppapeliä. Pelaat kaveriesi kassa marmorikuulista. Te olette lähteeet tilateesta, jossa teillä ei kellää ole yhtää marmorikuulaa. Juuri yt ollaa tilateessa, jossa siulla o kolme marmorikuulaa. Tappiolla oleva kaverisi yllyttää siua jatkamaa vielä yhde kierrokse. Suostut, koska haluat ataa häelle vielä tilaisuude. Tulos o, että siu pitäisi luovuttaa häelle eljä marmorikuulaa. Mikä etee, ku siulla o vai kolme? Jäät velkaa yhde marmorikuula. Aat siis esi e kolme kuulaa, jotka siulla o. Silloi vähä viisastelevakuuloisesti siulla ei ole yhtää kuulaa eli siulla o olla kuulaa. Jos aat tästä vielä yhde pois ja jäät velkaa joudutaa tilateesee, jossa siulla vähemmä kui olla kuulaa. Ja ku kuulia o yksi alle olla siis esimmäie ollaa pieempi ii merkitää, että siulla o 1 ( miius yksi ) kuulaa. Jos häviät vielä yhde, siulla o 2 kuulaa ja ii edellee. Voit ajatella myös lämpömittaria, joka laskee asteella ollasta. Tulos o aste pakkasta, eli lämpötila o 1 astetta. Jos lämpötila laskee kymmeellä asteella lämpötilasta +3 astetta, tulos o seitsemä astetta pakkasta, eli lämpötila o 7 astetta. Johdumme äi laajetamaa luoolliste lukuje joukkoa joukolla {, 3, 2, 1}. Tällä kertaa kolme pistettä o alussa tulkitaa ii, että edetää pieemmästä suurempaa kute luoolliste lukuje jouko määritelmässä, mutta alku häviää hämärää vasemmalla. 1()

2 Laajeetaa luoolliste lukuje joukkoa liittämällä mukaa joukko {, 3, 2, 1}, jolloi saadaa joukko {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }. Tätä saotaa kokoaislukuje joukoksi ja merkitää symbolilla Ζ. Kokoaislukuje jouko symboli keskellä oleva viopalkki kirjoitetaa usei kaksikertaisea tai vahveettua. Kokoaislukuje joukko o siis Ζ = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } = {, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, }. Nollaa suuremma luvu eli positiivise luvu etumerkkiä (+) ei tarvitse kirjoittaa äkyvii. Se sijaa, ku plus -merkkiä käytetää yhteelasku symbolia, se kirjoitetaa aia äkyvii. Esimerkki : 1) +1 = 1 2) 1 1 miius yksi ei ole sama kui yksi 3) +2 1 = 2 1 4) ) ) 0 = + 0 = 0 Esimerkki Määritellää positiiviste kokoaislukuje joukko ja egatiiviste kokoaislukuje joukko: = x Ζ x > 0 = {1, 2, 3, } Positiiviste kokoaislukuje joukko = Ζ + { } Negatiiviste kokoaislukuje joukko = Ζ = { Ζ x < 0} x = {, 4, 3, 2, 1} Huomaa, että äissä määritelmissä ei yhtäsuuruus ole mukaa. Täte olla ei kuulu kumpaakaa joukkoo. Ratioaaliluvuista Jos meillä o kymmee yhtä suurta purkkia jogurttia ja viisi ihmistä, joide keske jogurtti pitäisi jakaa tasa, o tehtävä helppo: 2 10 =. Jokaie saa siis kaksi purkkia. Kuika jaamme eljä yhtä suurta purkillista jogurttia tasa viide hekilö keske? No, kaadetaa kaikki yhtee astiaa ja ammeetaa siitä kaikille yhtä paljo ii, että astia tyhjeee. Mutta kuika mota purkillista kuki saa? Koska purkkeja o vähemmä kui ihmisiä, ii ilmeisesti kuki saa vähemmä kui yhde purkillise. Kukaa ei toisaalta jää ilma, jote kuki saa eemmä kui olla purkillista. Siis eemmä kui olla ja vähemmä kui yhde purkillise. Tulos o siis olemassa, mutta se ei ole kokoaisluku. No, kyllähä siä tiedät, että 0, 8 uppi. 4 4 =, jote jaamme 0,8 eli purkkia per 2()

3 Mutta äi me saamme aihee määritellä taas uusi joukko. Määritellää yt joukko, joho otetaa mukaa kaikki tuollaiset 4 : kaltaiset osamäärät. Aetaa elose paikalla olla mikä tahasa kokoaisluku ja viitose tilalla mikä tahasa kokoaisluku, joka ei ole olla: Nollalla ei voi jakaa. Lukuja, joita yt tarkastelemme, voidaa merkitä yleisesti osamäärällä m. Tässä siis m saa olla mikä tahasa kokoaisluku ja mikä tahasa kokoaisluku, joka ei ole olla. Tällaisia lukuja saotaa ratioaaliluvuiksi. Ratioaalilukuje symboli o Q. Tässä puolestaa aaltoviiva o usei kaksikertaie tai vahveettu. Määritellää siis ratioaalilukuje joukko = Q = m m ja ovat kokoaislukuja ja ei ole olla = m m, Ζ, 0. Määritelmä mukaa ratioaalilukuja ovat esimerkiksi Esimerkki , koska 1 ja 2 ovat kokoaislukuja ja 2 ei ole olla =, koska 8 ja 7 ovat kokoaislukuja ja 7 ei ole olla ,2 = =, koska esimerkiksi 2 ja 10 ovat kokoaislukuja ja 10 ei ole olla. 10 m 0, koska olla voidaa esittää muodossa : valitaa esimerkiksi m = 0 ja = =. Tällä 1 tavalla ähdää, että kaikki kokoaisluvut ovat myös ratioaalilukuja. Huomaa 3, koska myös luku kolme voidaa esittää vaaditussa muodossa: kuiteki, että esimerkiksi 2 1 ei ole kokoaisluku. Kaikki päättyvät desimaaliluvut ovat ratioaalilukuja: 0,2; 0,238494; 2,26.. Kaikki päättymättömät, jaksolliset desimaaliluvut ovat ratioaalilukuja: 0,33.. = ; 1,77.. = 1 ; 0, = Mikää päättymätö, jaksoto desimaaliluku ei ole ratioaaliluku. Esimerkkiä luku π, joka o ympyrä kehä ja halkaisija suhde. 3()

4 Saimme siis tulokset: Kaikki kokoaisluvut ovat ratioaalilukuja Kaikki ratioaaliluvut eivät ole kokoaislukuja Reaaliluvuista Voidaa osoittaa, että ei ole olemassa sellaisia kokoaislukuja m ja, että m = π. Näi olle ratioaalilukuje joukko ei ole laaji mahdollie lukujoukko. Tällaisia lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo, kute esimerkiksi π, 2 ja 10, saotaa irratioaaliluvuiksi. Ku yt sitte ratioaaliluvut ja irratioaaliluvut yhdistetää yhdeksi joukoksi, saadaa reaalilukuje joukko. Se symbolia käytetää isoa, vahvistettua (kute edellä) R kirjaita. Irratioaaliluvuille o omiaista se, että iitte desimaaliesitys o päättymätö ja jaksoto. Huomaa, että jos luvu desimaaliesitys o päättymätö, mutta jaksollie, ii luku voidaa esittää murtolukua. Tämmöie luku o siis ratioaaliluku. Reaalilukuje joukko mahdollistaa jatkuva eli aukottoma muuttuja ja jatkuva muuttumise käsittee. Reaaliluvut ovat peräkkäi : iitte välissä ei ole aukkoja. Huomaa, että mutta kaikki ratioaaliluvut ovat myös reaalilukuja, kaikki reaaliluvut eivät ole ratioaalilukuja. Reaalilukujekaa joukko ei ole laaji mahdollie lukujoukko. Yksi laajeus o vielä mahdollie. Jos tämä otetaa huomioo, edellä todettu Tällaisia lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo,, o varomattomasti saottu. Tässä vaiheessa emme kuitekaa välitä siitä. Jos tämä siis vielä mahdollie lukujouko laajeus toteutetaa, joudutaa kuiteki luopumaa lukuje yksikäsitteisestä suuruusjärjestyksestä. Emme tarkastele tätä vierasta lukujoukkoa tämä eempää. Yhteeveto lukujoukoista Tehdää lukujoukoista vielä lyhyt yhteeveto. Luoollisiksi luvuiksi saotaa sellaisia lukuja, joita käytetää kappalemäärie ilmaisemisee. Luoolliste lukuje joukkoa merkitää isolla, vahveetulla Ν - kirjaimella. 4()

5 Kokoaislukuje joukoksi saotaa sellaista lukujoukkoa, joka saadaa, ku luoolliste lukuje joukkoo lisätää (joukkoje uioi) mukaa luoolliste lukuje vastaluvut. Kokoaislukuje jouko symboli o Ζ. (Luvu x vastaluku o x.) Ku kokoaislukuje joukkoo liitetää (joukkoje uioi) murtoluvut, saadaa ratioaalilukuje joukko. Se symboli o Q. O olemassa lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo. Näitä ovat esimerkiksi 3 ja. Nämä ovat lukuja, joilla o yksikäsitteie paikka lukusuoralla, mutta iitä ei voi esittää osamäärää. Niitä saotaa irratioaaliluvuiksi. Ratioaalilukuje jouko ja irratioaalilukuje jouko uioi o reaalilukuje joukko. Se symboli o R. Reaalilukuje välissä ei ole aukkoja. Lukujoukkoje välillä o voimassa seuraava aito sisältymie: Φ Ν Ζ Q R ()