5. Väliestimoi tehtävän 3 tilanteessa tulppien keskimääräinen kestoa.

Transkriptio

1 MTTTP5, kevät /RL Lisätehtäviä ratkaisuiee luetomoistee lukuu 5 liittye 1. Olkoo puoluee A kaatusosuus populaatiossa 30 %. Tarkastellaa tästä populaatiosta tehtyä satuaisotosta, joka koko o. Määritellää satuaismuuttuja X= puoluee A kaattajie lukumäärä otoksessa. Määritä X: jakauma sekä jakauma odotusarvo ja variassi. Tarkastele vielä suhteellista osuutta X/. Ataako X/ keskimääri oikea arvio kaatusosuudelle? Miksi? 2. Olkoo X 1, X 2,..., X satuaisotos jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi σ 2. Estimoidaa jakauma odotusarvoa estimaattorilla X =( X X )/. Oko estimaattori harhato? Määritä lisäksi estimaattori keskivirhe. Mitä voit saoa estimaattori jakaumasta? Jos σ 2 o tutemato, ii mite voisit estimoida keskivirhettä? 3. Auto sytytystulppie valmistaja väittää, että tulpat kestävät keskimääri km keskihajoa ollessa 6000 km sekä vaihtelu luoehdittavissa ormaalijakaumalla. Haluat estimoida tulppie keskimääräistä kestoa 4 satuaisesti valitu tulpa avulla. Mitä estimaattoria käytät? Oko se harhato? Määritä estimaattorisi keskivirhe sekä jakauma olettae valmistaja väite todeksi. 4. Oletetaa, että puoluee A kaatusosuus populaatiossa o 18 %. Tehdää populaatiosta alkio satuaisotos. Määritellää kaatusosuude estimaattori p = 100X/, missä X o puoluee A kaattajie lukumäärä otoksessa. Oko p kaatusosuude harhato estimaattori? Miksi? Määritä lisäksi estimaattori keskivirhe. 5. Väliestimoi tehtävä 3 tilateessa tulppie keskimääräie kestoa. 6. Erää rikollise puolustusasiaajaja väittää, että kyseisessä tuomioistuimessa valamiehistöt eivät ole edustavia. Yhteä perustelua väittämääsä häellä o se, että valamiehistö o usei ollut keskipalkaltaa koko maa tasoa korkeampi. Tuorei tilastotieto maa keskipalkasta o $8500. Selvitettii 100 viimeisimmä valamiehistöö kuuluvie jäsete palkat. Saatii keskipalkaksi $22890 ja palka keskihajoaksi $7670. Oko perusteltua uskoa asiaajaja väite? Tutki asiaa sopiva luottamusväli avulla. 7. Tutkittii kahde lisäaiee (A ja B) vaikutusta teräkse kovuutee. Koska teräkse tuote-erie laatu vaihtelee, poimittii äytteet 10 tuote-erästä, joista kuki jaettii edellee kahtia. Toisee osaa lisättii lisäaietta A ja toisee lisäaietta B. Mitattii kovuusideksi: Tuote-erä Lisäaie A Lisäaie B

2 Oko perusteita pitää toista lisäaietta parempaa kui toista? Koska otokset ovat riippuvia, laske esi kovuusideksie erotukset tuote-erittäi ja sitte sopiva luottamusväli. 8. Letoyhtiö ogelmaa o matkustajie varaamie paikkoje käyttämättä jättämie. Tästä syystä yhtiö ottaa leoille varauksia eemmä kui koeessa o paikkoja. Halutaa arvioida sitä, kuika paljo (prosetteia) varauksia voidaa ottaa yli paikkoje. Tehdää 500 matkustaja satuaisotos, joide joukossa todetaa oleva 40 matkustajaa, jotka olivat jääeet tulematta varatulle leolle. Aa ohjeet yhtiölle varauksie ottamisesta. Käytä sopivaa luottamusväliä. 9. Erää mielipidemittaukse mukaa presidettiehdokkaa kaatus o 52%. Mielipidettä oli kysytty 1500 ääioikeutetulta site, että voidaa olettaa oleva kyse satuaisotaasta. Laske virhemargiaali. Jos otoskoko olisi ollut 300, ii ikä olisi ollut virhemargiaali? 10. Kymmee vuotta sitte eräässä yliopistossa tehdy tutkimukse mukaa 18 % yliopisto opiskelijoista ei uskout löytäväsä koulutustaa vastaavaa työtä valmistuttuaa. Haluttii tutkia, oliko tämä prosettiosuus muuttuut ja kysyttii mielipidettä 100 satuaisesti valitulta opiskelusa aloittaeelta, joista 25 % ei uskout työllistyväsä koulutustaa vastaavasti valmistumise jälkee. Oko kymmeessä vuodessa tapahtuut muutosta? 11. Ohessa aalysoitituloksia liittye Tampereella myyissä olleisii kerrostalohuoeistoihi (Aieisto Aamulehti ). Tuloksista löytyy eliöhia tuuslukuja laskettua sekä keskusta- että esikaupukialueelta. Laske sopiva luottamusväli ja tulkitse tulokset. Level Number Mea Std Dev Esikaupuki , ,78 Keskusta , ,22

3 Ratkaisuja 1. X ~Bi(, 0.3), jolloi E(X) = 0.3 ja Var(X) = E(X/) = (1/)E(X) = (1/) 0.3 = 0.3. Koska otoksessa A: kaattajie suhteellise osuude odotusarvo o 0.3, ii ataa X/ keskimääri oikea arvio kaatusosuudelle. Voidaa tietysti yhtä hyvi tarkastella prosetuaalista osuutta 100X/, joka odotusarvo o E( X ) = E((X X )/) = {E(X ) E( X )}/ = ( µ µ)/ = µ, jote 1 1 o µ: harhato estimaattori. Var( X ) = Var((X X )/) = 1 X {Var(X ) Var( X )}/ 2 = ( σ σ 2 )/ 2 = σ 2 /, jote estimaattori 1 keskivirhe o σ/, jota voi estimoida s/. Jos otos ormaalijakaumasta, ii keskiarvo jakauma o myös ormaalijakauma. Jos otos ei ole ormaalijakaumasta, ii keskeise raja-arvolausee perusteella otoskeskiarvo o likimai ormaalisti jakautuut, kuha otoskoko riittävä. 3. Otoskeskiarvo o odotusarvo harhato estimaattori. Tässä (olettae valmistaja väite oikeaksi) X ~ N(60000, /4), jote X : keskivirhe o 6000/2 = X ~Bi(, 0.18), jolloi E(X) = 0.18 ja Var(X) = E(p) = E(100X/) = (100/)E(X) = (100/) 0.18 = 18, jote p o kaastusproseti harhato estimaattori. Var(p) = Var(100X/) = (100/) 2 Var(X) = (100/) = 18 82/, joka eliöjuuri o estimaattori hajota eli keskivirhe (1-α)%: luottamusväli odotusarvolle, ku jakauma variassi tuettu, o X ± z α/2 σ/. Saadaa 60000±1, / (1-α)%: luottamusväli odotusarvolle, ku jakauma variassi o tutemato, o X ± t α/2, -1 s/. Tässä t 0.05/2, = 1.98, x = ja s = 7670, jote 95%: luottamusväli ± / 100 eli ± 1519, joka ei sisällä lukua 8500 (maa keskipalkkaa). O siis perusteltua uskoa asiaajaja väite. 7. Tuote-erä Lisäaie A Lisäaie B EROTUS

4 Käytetää, kute tehtävässä 1, luottamusväliä odotusarvolle, ku populaatio variassi o tutemato. 100(1-α)%: luottamusväli odotusarvolle, ku jakauma variassi o tutemato, o X ± t α/2, -1 s/. Erotuksista laskettu keskiarvo o -2.3 (tai 2.3, jos erotukset laskettu toisi päi) ja keskihajota (kaavasta 1.2) s = , t 0.05/2, 10-1 = 2.262, jote 95%: luottamusväli o -2.3 ± / 10 eli -2.3 ± 2.456, joka sisältää olla. Näi voidaa ajatella erotukse oleva peräisi jakaumasta, joka odotusarvo o olla. Siis lisäaieet sama vertaisia. 8. Prosettiosuude luottamusväli p ± z α/2. Muodostetaa 95%: 8(100 " 8) luottamusväli ( α = 0.05, z α/2 = 1.96), saadaa 8 ± 1.96 eli (5.6, 10.4). 500 Voidaa arvioida, että paika varaeista 5.6% % jää tulematta, jote varauksia voidaa ottaa tämä mukaisesti yli. 9. Virhemargiaali (95%) o ±1.96 (ks. tehtävä 8 luottamusväli). Nyt p = 52. Jos = 1500 virhemargiaali o ±2.5%, jos = 3000 virhemargiaali o ±1.8%. 10. Prosettiosuude luottamusväli p ± z α/2. Muodostetaa 95%: 25(100 " 25) luottamusväli ( α = 0.05, z α/2 = 1.96), saadaa 25 ± 1.96 eli (16.5, ). Koska 18 % kuuluu tälle välille voidaa tehdä päätelmä, että tilae ei ole muuttuut.

5 11. Neliöhita markkoia Level Number Mea Std Dev Esikaupuki = 26 x =7250,59 s =1691,78 x Keskusta m = 30 y =9613,15 s =1278,22 y 100(1-α)%: luottamusväli odotusarvoje erotukselle, ku jakauma variassit 1 ovat tutemattomia, mutta yhtä suuria, o X - Y ± t α/2,+m m, missä s = ( - 1)s 2 2 X + (m - 1)s Y. Tässä 95%: luottamusväli (α = 0.05, t 0.05/2, ) + m ± eli ± Koska olla ei kuulu 30 luottamusvälille, voidaa saoa, että eliöhiat eivät ole keskimääri samoja vaa keskusta-asuot ovat mk mk eliöhialtaa kalliimpia.