VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Maarit Vesapuisto SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA. Opetusmoniste: Antennit

Transkriptio

1 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto SATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEOIA Opetusmoniste: Antennit Vaasassa

2 ALKULAUSE Tämä opetusmoniste laadittiin marras-joulukuun vaihteessa 009 selventämään opintojakson SATE.010 Dynaaminen kenttäteoria lukuvuoden viimeisellä laskuharjoitustunnilla esille tulleita antenniteorian perusteita. Tarkoituksena oli käsitellä asiaa mahdollisimman lyhyesti, mutta perusasiat kattaen. Tämä versio on raakaversio, eli tekstiin on voinut jäädä useitakin kirjoitus- ja ehkä myös asiavirheitä. Korjausehdotuksia otetaan mielellään vastaan. Tekstin perustana on käytetty teosta: Cheng K. David (199). Field and Wave Electromagnetics. Lisäksi termien selityksiä on haettu suomenkielisestä oppi- ja ammattikirjallisuudesta.

3 3 SISÄLLYSLUETTELO ALKULAUSE SYMBOLI- JA LYHENNELUETTELO 4 1. JOHDANTO 6. SÄHKÖ- JA MAGNEETTIDIPOLIEN SÄTEILYKENTÄT Sähködipoli Hertzin dipolin aikaansaama sähkömagneettinen kenttä ANTENNIEN SÄTEILYKUVIOT JA ANTENNIPAAMETIT Antennien säteilykuviot Hertzin dipolin säteilykuvio Antenniparametrit Hertzin dipoliantennin vahvistus ja suuntaavuus Hertzin dipoliantennin säteilyresistanssi OHUET LINEAAISET ANTENNIT Puolen aallon dipoli 0 LÄHDELUETTELO 1

4 4 SYMBOLI- JA LYHENNELUETTELO P Poyntingin vektori [W/m ] A Vektoripotentiaali [ B Magneettivuon tiheys [Wb] D Sähkövuon tiheys [C/m ] D E F(θ) G D H h I m suuntaavuus Sähkökentän voimakkuus [V/m] säteilykuvio antennin vahvistus Magneettikentän voimakkuus [A/m] puolen aallon dipoliantennin pituus/ [m] Maksimi virta [A] J Virtatiheys [A/m ] k l P r rad r sr t U V v aaltoluku antennin pituus [m] kokonaissäteilyteho [W] etäisyys [m] radiaani säteilyresistanssi [Ω] avaruuskulma aika [s] antennin tehotiheys avaruuskulmassa [W/sr] Skalaaripotentiaali [V] aallon etenemisnopeus [m/s]

5 5 W watti V tilavuus [m 3 ] Ω avaruuskulma [sr] β vaihekerroin [rad/m] ε permittiivisyys [] η ϕ λ aaltoimpedanssi [Ω] pallokoordinaatiston kulma x -> y [rad][º] aallonpituus [m] µ permeabiliteetti [] θ pallokoordinaatiston z-akselin ja xy-tason valinen kulma [rad][º] ρ varaustiheys [C/m 3 ] ω kulmataajuus [rad/s] e j π Neperin luku imaginaariyksikkö pii

6 6 1. JOHDANTO Antenni voidaan määritellä laitteeksi, joka säteilee ohjatussa muodossa (aaltojohtoa pitkin) tulevan sähkömagneettisen energian halutulla tavalla avaruuteen tai kääntäen ottaa tulevan sähkömagneettisen energian halutulla tavalla vastaan (Lindell ja Nikoskinen 1995, 7). Yhdistämällä Maxwellin yhtälöt voidaan johtaa aaltoyhtälöt sähkökentälle E ja magneettikentälle H. Ko. yhtälöitä käytettäessä varausten ja virtatiheyksien määrittäminen on suhteellisen vaikeaa. Yleensä on yksinkertaisempaa ratkaista ensin potentiaalifunktiot A ja V. Sijoittamalla yhtälö B = A (1) Maxwellin sähkökenttää koskevaan roottoriyhtälöön, saadaan yhtälö B E = = ( A) eli () A E + = 0. (3) Koska yhtälössä 3 suluissa olevat vektorisuureet ovat pyörteettömiä, sulkulauseke voidaan esittää skalaaripotentiaalin V avulla A E + = V. (4) Yhtälöstä 4 voidaan ratkaista sähkökentälle E yhtälö A E = V V m. (5) Yhtälössä 5 esitetyn sähkökentän voidaan katsoa koostuvan kahdesta osasta: ensimmäinen osan, V, saa aikaan varausjakauma ρ, ja toisen osan, A, saa aikaan ajan mukaan vaihteleva virtatiheys J. Staattisessa tilanteessa skalaaripotentiaali V voidaan määrittää yhtälöstä

7 7 V 1 ρ = d V ' 4πε V ja (6) ' vektoripotentiaali A yhtälöstä µ A = d V ' 4π V J. (7) ' Antenneja tutkittaessa on huomioitava, että kyseessä on dynaaminen tilanne. Tällöin sijoitettaessa yhtälöt 1 ja 5 yhtälöön D = ρ (8) ja käyttämällä hyväksi väliaineyhtälöitä H = B ja (9) µ D = ε E (10) saadaan homogeenisessa väliaineessa johdettua yhtälö µ µε = + V A A J. (11) Käyttämällä hyväksi yhtälöä A = A A, (1) ( ) voidaan yhtälö 11 kirjoittaa muotoon V A ( A) A = µ J µε µε A V A µε = µ J + + µε. A tai (13) Olkoon V A + µε = 0. (14)

8 8 Tällöin yhtälö 13 voidaan kirjoittaa muotoon A A µε = µ J. (15) Yhtälö 15 on vektoripotentiaalin A epähomogeeninen aaltoyhtälö. Sitä kutsutaan aaltoyhtälöksi, koska sen ratkaisut edustavat kulkuaaltoja, joiden nopeus on 1/ µε. Vastaavanlainen aaltoyhtälö voidaan johtaa skalaaripotentiaalille V sijoittamalla yhtälö 5 yhtälöön D = ρ. (16) Tällöin A ε V + = ρ eli ρ V + ( A) =. ε (17) Sijoittamalla yhtälöön 17 yhtälö 14 saadaan yhtälö V ρ V µε =, (18) ε joka on skalaaripotentiaalin V epähomogeeninen aaltoyhtälö. Aikaharmoninen aaltoyhtälö skalaaripotentiaalille V on V k V = ρ ε (19) ja vektoripotentiaalille A missä A + A = J, (0) k µ

9 9 ω πf π k = ω µε = = = (1) v v λ on aaltoluku. Yhtälöitä 19 ja 0 kutsutaan epähomogeenisiksi Helmholzin yhtälöiksi. Yhtälö 14voidaan nyt esittää muodossa A + jωµεv = 0 Yhtälöt 6 ja 7 voidaan nyt esittää muodoissa. () V jk 1 ρe = d V ' [ V] 4πε ja (3) V ' jk µ e Wb A = d V ' 4π J m. (4) V ' Tietyssä pisteessä oleva varaustiheyden muutos aikayksikössä voidaan esittää virtatiheyden divergenssinä aikatasossa yhtälöllä J ρ = t (5) ja taajuustasossa yhtälöllä J = jωρ. (6)

10 10. SÄHKÖ- JA MAGNEETTIDIPOLIEN SÄTEILYKENTÄT.1. Sähködipoli Kuvassa 1 on periaatekuva sähködipolista (Hertzin dipoli), joka koostuu lyhyestä johtavasta johtimesta, jonka pituus on dl, ja johtimen päissä olevista kahdesta pienestä johtavat pallosta tai levystä (kapasitiivinen kuormitus). Ko. Virran oletetaan vaihtelevan jatkuvuustilassa sinimuotoisesti jωt ( ) cosω e{ e } i t = I t = I. (7) dl z +Q 1 I O θ H E e -Q 1 Kuva 1. Hertzin dipoli. Koska virta saa arvon nolla johtimen päissä, on varaukset sijoittava johtimen päihin. Varauksen ja virran yhteys voidaan esittää aikatasossa yhtälöllä ( ) i t ( ) Taajuustasossa q ( t) e{ Qe jωt } dq t = ±. (8) dt =, joten I = ± j ωq ja I Q = ±. jω (9) Yhtälössä 9 positiivinen etumerkki kuvaa positiivista vastausta ja negatiivinen etumerkki negatiivista varausta (Kuva 1).

11 Hertzin dipolin aikaansaama sähkömagneettinen kenttä Hertzin dipolin aikaansaama vektoripotentiaali A voidaan esittää taajuustasossa yhtälöllä d e µ 0I l A = e z, (30) 4π missä β = k0 = ω / c = π / λ. Koska e = cosθe sinθe, (31) z θ vektorin A = Ae + A e + A e komponentit pallokoordinaatistossa ovat θ θ ϕ ϕ A d e µ 0I l = Az cosθ = cosθ, (3a) 4π A θ d e µ 0I l = Az sinθ = sinθ ja 4π (3b) A ϕ = 0. (3c) Sijoittamalla yhtälöön 1 edellä yhtälöissä 3 määritellyt vektoripotentiaalit saadaan magneettikentän voimakkuudelle H yhtälö 1 1 A H = A = ( Aθ ) µ µ θ e 0 0 Idl 1 1 = β sinθ + e 4π jβ ( jβ ) ϕ ( eϕ ) (33) ja sähkökentän voimakkuudelle yhtälö E = H = ( Hϕ sinθ ) ( Hϕ ) θ jωε jωε e e sinθ θ, (34) 0 0 josta voidaan ratkaista sähkökentän komponentit pallokoordinaatistossa

12 1 E Idl 1 1 = η β cosθ + 4π j j 0 3 ( β ) ( β ) e, (35a) Idl Eθ = η β sinθ + + 4π jβ jβ jβ 0 3 ( ) ( ) e ja (35b) E ϕ = 0, (35c) missä η µ ε ( ) 0 = π Ω eli tyhjön aaltoimpedanssi. Huomioitavaa edellisissä yhtälöissä on se, että niitä johdettaessa huomioitiin ainoastaan johtimessa kulkeva virta I ja sen aiheuttama vektoripotentiaali A, eli johtimen päissä olevia varauksia ei huomioitu laskennassa. Hertzin dipolin lähikentässä β = π / λ 1, joten yhtälö 33 voidaan esittää muodossa H ϕ Idl = sin θ, (36) 4π e = 1 j β β / missä on huomioitu, että kerroin ( ) Yhtälö 36 huomioiden voidaan yhtälöt 35 esittää lähikentässä E E θ Idl = cosθ ja (37a) 3 4jπωε 0 Idl = sinθ. (37b) 3 4jπωε 0 Hertzin dipolin kaukokentässä β = π / λ 1, joten yhtälöt 33 ja 35 voidaan esittää yhtälöillä Idl e A Hϕ = j β sin θ 4π m ja (38) Idl e V Eθ = j η0β sin θ 4π m. (39)

13 13 3. ANTENNIEN SÄTEILYKUVIOT JA ANTENNIPAAMETIT 3.1. Antennien säteilykuviot Antenni laskelmissa kiinnostus kohdistuu yleensä kauko- eli säteilykenttään. Kuviota, joka kuvataan suhteellista kaukoalueen kentänvoimakkuuden suhdetta tietyssä suunnassa tietyllä etäisyydellä antennista, kutsutaan antennin säteilykuvioksi. Yleisesti ottaen, antennin säteilykuvio on kolmiulotteinen (vaihtelu pallokoordinaatiston θ ja ϕ- suunnissa). Kolmiulotteisuuden kuvaamisongelma voidaan välttää esittämällä samasta antennista erikseen kahdessa eri kuviossa muutokset ϕ- suuntaan (E:n tasokuvio) ja θ suuntaan (H:n tasokuvio) Hertzin dipolin säteilykuvio Koska kaukokentässä E θ :n ja H ϕ :n suuruudet ovat verrannollisia toisiinsa, voidaan tarkastella pelkästään E θ :n normalisoitua suuruutta. Tietyllä etäisyydellä sähkökentänvoimakkuus E θ on riippumaton kulmasta ϕ ja yhtälöstä 39 voidaan ratkaista E θ :n normalisoitua suuruus Normalisoitu E θ = sinθ. (40) Yhtälön 40 avulla voidaan piirtää Hertzin dipolin säteilykuvio E-tasossa (Kuva ). z θ 90 1 Kuva. Hertzin dipolin E-tason säteilykuvio.

14 14 Tarkasteltaessa tietyllä etäisyydellä tasolla θ = π saadaan sähkökentänvoimakkuuden normalisoiduksi suuruudeksi θ ( ) E θ = sin = sin π = 1. Täten Hertzin dipolin säteilykuvio H-tasossa on ympyrä, jonka säde on yksi ja jonka keskipiste on z-akselilla (Kuva 3). y ϕ 0 1 x Kuva 3. Hertzin dipolin H-tason säteilykuvio. 3.. Antenniparametrit Säteilyominaisuudet ovat pääasiallisin antennin suunnitteluperuste. Eräissä tapauksissa halutaan antenni, joka suuntaa kaiken säteilyn mahdollisimman kapeaan keilaan, eräissä tasaisesti ympäristöön tai halutulla tavalla ympäristöön. Säteilyominaisuuksia kuvataan mm. keilanleveydellä, suuntaavuudella, polarisaatiolla sekä vastaanottokäytössä sieppauspinta-alalla ja efektiivisellä pituudella. (Lindell ja Nikoskinen 1995, 30). Pääkeilan- eli keilanleveys kuvaa säteilyn pääsuuntaan olevan keilan muotoa (terävyyttä). Se määritetään yleensä säteilykuvion 3 db:n (eli puolentehon) pisteiden välisenä etäisyytenä. Sivukeilat edustavat suuntaavan (epäisotrooppisen) antennin säteilykuviossa alueita, joille säteilyä ei haluttaisi kulkeutuvan, joten niiden tason toivotaan olevan mahdollisimman alhainen.

15 15 Säteilyteho U kuvaa antennin suuntaan e säteilemää tehotiheyttä avaruuskulmaa kohden. SI-yksiköissä säteilytehon yksiköksi tulee watti per avaruuskulmayksikkö (W/sr). Säteilytehon yhtälö on täten U [ ] = P ja (41) avg W/sr säteilyn aikakeskiarvoinen kokonaisteho [ ] P = P d d W avg S = U Ω, (4) r missä dω on differentiaalinen avaruuskulma dω = sinθdθdϕ. Antennin vahvistus G ( θ, ϕ ) määritetään (, ) θ ϕ -suuntaan olevan säteilytehon ja keskimääräisen säteilytehon suhteena G D D ( θ, ϕ ) ( θ, ϕ ) 4π U ( θ, ϕ ) U = =. (43) P / 4π U dω r Antennin maksimi vahvistusta kutsutaan antennin suuntaavuudeksi D, ja se määritetään ( θ, ϕ ) -suuntaan olevan maksimi säteilytehon ja keskimääräisen säteilytehon suhteena U 4πU = =. (44) max max D U avg P r Kun yhtälöön 45 sijoitetaan säteilytehojen paikalle sähkökentänvoimakkuus, voidaan se esittää muodossa D = π π 0 0 4π E ( ) max E θ, ϕ sinθdθdϕ. (45) Suuntaavuudella kuvataan antennin kykyä keskittää säteily haluttuun suuntaan. Suuntaavuus D on suunnan e funktio, mutta yleensä se määritellään ainoastaan pääkeilan osoittamaan suuntaan.

16 Hertzin dipoliantennin vahvistus ja suuntaavuus Hertzin dipolin aikakeskiarvoisen Poyntingin vektorin suuruus on 1 * 1 P avg = e E H = e Eθ Hϕ. (46) Joten tehotiheys 1 U = Pavg = e Eθ H 1 Idl e Idl e = e j η0β sinθ j β sinθ 4π 4π = ( Idl) 3π η β sin θ. 0 ϕ (47) Antennin vahvistus voidaan ratkaista yhtälöllä 43 G D ( θ, ϕ ) ( ) 4π U, 4π sin 4π sin = = = θ ϕ θ θ π π π π U dω 3 ( ) ( ) 3 sin. sin θ sinθdθdϕ dϕ sin θ dθ π sin θ sin θ = = π cos θ cos π cos 0 π / cosθ + cosπ + cos = θ Suuntaavuus on edellä lasketun vahvistuksen maksimiarvo π 3 π 3 D = GD ϕ = = = joka vastaa 10log10 ( 1,5 ) = 1,76 db., sin 1, 4,

17 Hertzin dipoliantennin säteilyresistanssi Tarkastellaan häviötöntä tilannetta, jossa Hertzin dipolin virta I on sinimuotoinen. Tällöin antennin säteilemä kokonaisteho pallokoordinaatistossa voidaan määrittää yhtälöllä π π 1 r = P avg d = e θ ϕ e sinθdθdϕe 0 0 P S E H π π j j 1 β β Idl e Idl e = e j η0β sinθ j β sinθ sinθdθdϕ 4π 4π 0 0 ( dl) π π π π 3 3 I η0β dϕ sin θd θ η 0β / ϕ / cosθ Idl cos θ = = + 4π 3π 3 ( l) 3 3 η0β cosπ cos 0 I d cos π cos 0 = π 3 3 ( d ) ( d ) η0β η0β I I l 4 I l 1 dl = = = 80π. 16π 3 1π λ (48) Yhtälössä 48 on käytetty vapaantilan aaltoimpedanssin arvona η 0 = 10π ja yhtälöä β = π / λ. Joulen lain 1 P = I perusteella yhtälöstä 48 saadaan Hertzin dipolin säteilyresistans- siksi r dl = 80π [ Ω]. (49) λ

18 18 4. OHUET LINEAAISET ANTENNIT Lyhyet dipoliantennit eivät ole hyviä sähkömagneettisen tehon säteilijöitä, koska niillä on pieni säteilyresistanssi ja alhainen säteilytehokkuus. Seuraavassa tarkastellaan suorien ohuiden antennien, joita syötetään antennin keskikohdasta, säteilyominaisuuksia. Lisäksi tarkasteltavien antennien pituus on verrannollinen aallonpituuteen (Kuva 4). z h dz z θ ' h I m Kuva 4. Sinimuotoisella virtajakaumalla toimiva keskipisteestä syötetty lineaarinen dipoliantenni. Koska dipolia syötetään keskipisteestä, antennin eripuolilla olevat virtajakaumat ovat symmetriset ja virtajakaumat saavat arvon nolla antennin kummassakin päässä. Täten virroille voidaan kirjoittaa yhtälö ( ) = m sin ( β ( )), m ( β ( )) = m ( β ( )) I z I h z I sin h z, z > 0, I sin h + z, z < 0.. (50) Kaukokentässä differentiaalinen virta elementti Idz voidaan yhtälöiden 38 ja 39 perusteella j β ' Idz e deθ = η0dhϕ = j η0β sinθ. (51) 4π '

19 19 Yhtälössä 51 esiintyvä etäisyys on hieman erikohdassa kuin pallokoordinaatiston origosta lähtevä etäisyys, joka kuvaa dipolin keskipistettä. Kaukokentässä >> h, joten ' = + z z cosθ z cosθ. (5) :n ja :n suuruusero on mitättömän pieni, mutta yhtälössä 5 olevaan likiarvoon jää jäljelle vaihe-eroa kuvaava termi. Sijoittamalla yhtälöt 50 ja 51 yhtälöön 5 ja integroimalla saatu yhtälö saadaan h Imη 0β sinθ j β ( ( )) j β z cos θ Eθ = η0hϕ = j e sin β h z e dz 4π. (53) Kaavassa 53 integrointi on z:n parillisen funktion sin ( h z ) h ( ) β ja funktion = β θ + β θ (54) jβ z cosθ e cos( z cos ) jsin( z cos ) tulo, missä sin( β z cos θ ) on z:n pariton funktio. Integroitaessa symmetristen rajojen välillä, voidaan havaita, että jäljelle jää vain tulo ( ) sin( β h z )cos( β z cos θ ). Tällöin yhtälö 54 supistuu muotoon h Imη 0β sinθ Eθ = η0hϕ = j e sin ( β ( h z) ) cos( β z cos θ )dz π 0 ( ( ) ) ( ) ( h ) ( )( ) ( hβ θ ) ( βh) m 0 = + ( ( ) ) ( ) Imη cos 1 cos cos 1 cos 0β sinθ h j 1 β z θ βh β z θ βh β = j e / + π 0 β 1+ cosθ β 1+ cosθ I j I ( h) ( )( ) η β sinθ cos β cosθ cos β e π β 1+ cosθ 1+ cosθ β 1+ cosθ 1+ cosθ 60sinθ cos cos + cos m = j e cos θ 1 ( hβ θ ) ( βh) I 60sinθ cos cos + cos I 60 = = sin θ missä termi ( θ ) m m j e j e, F (55)

20 0 F ( θ ) on antennin säteilykuvio. ( hβ θ ) ( β h) cos cos cos = (56) sinθ 4.1. Puolen aallon dipoli Puolen aallon dipoliantennin pituus on h = λ /. Tällöin β h = π h / λ = π /. Puolen aallon dipolille saadaan yhtälön 56 perusteella säteilykuvioksi F ( θ ) π π π cos cosθ cos cos cosθ = =. (57) sinθ sinθ Yhtälö saa maksimiarvonsa, kun θ = 90, ja on nolla, kun θ = 0 tai θ = 180. Vastaavat sähkö- ja magneettikenttien säteilykuvioyhtälöt ovat E θ π cos cos Im 60 θ = j e sinθ ja (58) H ϕ π π cos cos cos cos E Im60 θ j I θ θ β m = = j e = j e. (59) η0 η0 sinθ π sinθ

21 1 LÄHDELUETTELO Cheng K. David (199). Field and Wave Electromagnetics. New York. Addison- Wesley Publishing Company. Lindell-Ismo & Keijo Nikoskinen (1995). Antenniteoria. Otatieto 848. Helsinki. Hakapaino Oy