Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut

Save this PDF as:
Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut"

Transkriptio

1

2 Sisällysluettelo Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla Lausekkeiden sieventäminen 8 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö Prosenttilaskenta Tasogeometriaa Tasogeometrian perusteita Suorakulmainen kolmio 8 Kuvioita 9 KOONTITEHTÄVÄT LUVUISTA 6 Lisää yhtälöitä 60 Kahden muuttujan yhtälö 60 Potensseihin liittyvät yhtälöt 7 Matemaattisia malleja 8 Verrannollisuus ja lineaarinen malli 8 Eksponentiaalinen malli 88 6 Avaruusgeometria 96 KOONTITEHTÄVÄT LUVUISTA Todennäköisyys ja tilastot 6 Todennäköisyys ja lukumäärät 6 Tilastot ja normaalijakauma 8 Lukujonoja ja epäyhtälöitä 0 Lukujonoja ja summia 0 Epäyhtälöitä 9 9 Funktion kulun tutkiminen 9 Derivaatta ja funktion kulku 9 Ääriarvot ja haarukointi 68 KOONTITEHTÄVÄT LUVUISTA 9 8

3 Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla. a) 9 = b) ( ) = + = c) + 6 = 9 d) + ( ) = = 8 e) 7 ( 7) = = 0 f) + 0 = = 8. a) 9 ( ) = b) ( 8) = 6 c) 7 6 d) 60 e) 00 : ( ) = 0 f) : ( ) =. a) = = 8 b) ( ) = ( ) = c) = = 9 d) 6 = 6 e) 6 = = f) 0 = = 0. a) + 6 = + 8 = b) ( + 6) = = c) = 6 = d) ( 6) = ( ) = ( ) = e) ( ) 8 = ( )... ( ) = (parillinen määrä negatiivisia tulon tekijöitä) 8 kpl f) ( ) 7 = ( )... ( ) = (pariton määrä negatiivisia tulon tekijöitä) 7kpl

4 . Laskimeen syötettynä: a) 6 ( 6) : 0 b) : ( ) c) 8 8 (8 8) : ( ) 8 6. a) b) c) ( 0 6 ( 0 0 ( a) b) ( c) : ( 8. a) ) (. painoksen kirjan takana on väärä vastaus.) b) c) 6 ) ( 7 9. a) ( ) + = 8 + = 7 b) 7

5 0. a) 6 b) c) 8 8. ( 6) 8 (. Lavennetaan murtoluvut samannimisiksi. 9) ) 9 6 6, joten luku on suurempi a) + ( ) = = 7 b) 6) ) c) : 9 d) a) b) ( ) : : c) 9 9. a) 9) ) b) c) 8 : (

6 6 6. a) b) c) 6 ) ( (6 7. Lavennetaan murtoluvut samannimisiksi. ) 6 0 ) 6 0 6, joten luku on suurempi a) + = + = 9 + = 6 b) ( 6) + ( 6) = ( 6) ( 6) 6 = 6 6 = c) Muutetaan :n arvo ensi murtolukumuotoon. ) : a) itseisarvo, vastaluku ja käänteisluku b) itseisarvo, vastaluku ja käänteisluku 7 (Käänteisluvun määrittämistä varten luku kirjoitetaan ensin murtolukumuodossa: 7 )

7 7. a) 8 + ( ) = 8 = b) 6 c) : 8 d) ( ) ( ) (. a) Laskimeen syötettynä: : Jos laskimessa ei ole erillistä murtolukutoimintoa, sekaluku on muutettava ensin 9 murtolukumuotoon 9. 9 b) :

8 8 Lausekkeiden sieventäminen. a) + ( ) = = b) 8 = 0 c) ( ) = +. a) a + (a 6) = a + a 6 = 8a 6 b) (8 ) = 8 + = + c) (y 9) = y 6 6. a) ( ) + ( 7) = + 7 = 7 0 b) (s ) (s + ) = s s = s c) ( ) = 7. a) p = a + 7b = 6a + b b) A = a 7b = ab 8. a) ( 8) = b) ( + )( ) = + = c) 0a a(a + 6) = 0a 6a 8a = a 8a 9. P() = 8 + = 6 + = 9 P( ) = ( ) 8 ( ) + = = 0. a) () = = 9 b) a a = aaaa aaaaa = a 9 c) 6 6. a) 8 8 b) c) Tehtävien 0 ja lausekkeiden sieventämisessä voi myös käyttää potenssikaavoja sen sijaan, että purkaa potenssit tuloiksi.

9 9. a) + ( ) = + = 7 b) ( ) = + = + c) ( ) = 0. a) ( ) + ( ) = + 0 = + 0 b) ( )( + ) = + + = + +. a) b) a 6 a 6 a c) ) a) ( b) c) 0 a a a a : a 7 7 a 7 a 7a 7 6. a) p = ( + 9) + (7 ) = = 6 + b) A = ( + 9)(7 ) = = a) 7 ( 8) = = + 7 b) ( ) = ( )( ) = + 9 = c) 9 ( )( + ) = 9 (6 + 8 ) = 9 (6 + ) = = + 8. a) (6 + ) + ( + ) = = 6 + b) (6 + ) ( + ) = = 6 + c) (6 + )( + ) = =

10 0 Tehtävien 0 ja lausekkeiden sieventämisessä voi myös käyttää potenssikaavoja sen sijaan, että purkaa potenssit tuloiksi. 9. Q( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = 6 = Q 0. a) ( a) = a ( a) = 6a b) = = 8 c) 6 y y y y y y y y y y y y y y. a) 7 7 (7 b) ( a a a a a a a a c) 0 0. a) ) b) y y y 9 c) 9 7 ). a) 7 6 ( b) ( a a a a a a c) :

11 . a) 6 ) 6( 6 6 ( ab b a b a b a b a b) ) ( ) ( 8 ( c) ) ( (

12 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö. a) = + = + = : = b) 8 = = = 8 : ( 6) = 6. a) = 0 a =, b = 0, c = tai 9 b) + = + = 0 a =, b =, c = ( ) tai

13 7. a) 8( ) = + 8. a) 8 6 = + 8 = + 6 = 0 : = b) ( ) = 9 b) 7 6 = = + = :( ) = 9 7 = 0 = 6 :0 = 6, 6 = 6 = 78 : = 78 =,6 Verranto ratkaistaan kertomalla ristiin. 9. a) + = + = 0 a =, b =, c = ( ) ( ) ( ) 8 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 6

14 b) ( ) = 0 Tapa Yhtälö voidaan ratkaista ratkaisukaavalla: = 0 a =, b =, c = 0 ( ) ( ) 0 Tapa 0 tai 0 Yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännöllä. = 0 tai = 0 = 0. a) y = y y + y = + 7y = :7 y = 7 b) = 0 = 0 : = 6. a) 9 + = = 0 a = 9, b = 6, c = ( 6) ( 6)

15 b) ( + ) = = 0 a =, b =, c = 8 6 ( 8) tai. a) Ratkaistaan kertomalla ristiin. ( + ) = + 6 = = 6 : ( ) = b) ( ) = ( +) = 6 = 0 :6 = 0. a) ( + ) = 7 = 7 9 b) = 0 : ( ) 9 = ( ) 9 = 6 = = ( ) = : ( ) =

16 6. a) = 6 Tapa 6 = 0 a =, b = 0, c = ( 6) Tapa = tai 8 = 6 8 = 8 tai = 8 s b) Verranto ratkaistaan kertomalla ristiin. s Tapa s = 00 s 00 = 0 a =, b= 0, c= 00 s 0 0 ( 00) 00 0 s 0 0 s 0 tai s 0 Tapa s = 00 s = 00 0 s = 0 tai s = 0. Sijoitetaan =. ( ) ( ) = = = toteuttaa yhtälön. 6. Merkitään kolmion kantaa :llä. Kyljen pituus on. Piirin lauseke on + +.

17 7 + + =, 7 =, :7 =, (cm) =, = 0, (cm) Kyljet ovat 0, cm pituiset ja kanta, cm pituinen. 7. Merkitään ajettuja kilometrejä :llä. Autovuokraamo A: 0 +,0 Autovuokraamo B:,0 0 +,0 =,0,0,0 = 0 0,8 = 0 :( 0,8) = 6, (km) Kun ajokilometrejä on yli 6,, liikkeen A tarjous on edullisempi. 8. Tytöt tekevät töitä yhteensä + = 7 tuntia. Tuntipalkka on. 7 Minttu saa palkkaa = 60 ( ) ja Sahrami = 7 ( ). 9. Nopeus,,0 t s v, jossa s on kuljettu matka ja t = siihen käytetty aika. t t,0t =, :,0, t 0,6 (h),0 0,6 h = 60 0,6 min = 7, min

18 8 60. Merkitään lyhyttä sivua :llä. Pitkän sivun pituus on +. ( + ) = = 0 a =, b =, c = 60 ( 60) 8 8, , ,... 8, (m) tai 8, ,... 0, (m) negatiivinen vastaus ei käy. Pidemmän sivun pituus on 8, + = 0, (m). Kentän mitat ovat 8, m ja 0, m. 6. a) Sijoitetaan = yhtälöön + 00 = 0. ( ) + ( ) 00 = 00 0 Luku ei ole yhtälön juuri. b) Sijoitetaan = yhtälöön 9 +6 = Luku on yhtälön juuri. 6. a) + = 0 a =, b =, c = ( ) tai

19 9 b) = ( ) = 9 = :( 9) = a) t ( t + ) = 7t t + t = 7t 7t 7t = + 0 = 0 Yhtälö toteutuu kaikilla t:n arvoilla. b) ( + )( ) = 0 ( + ) = = 0 + = 0 = : = 6. a) = 0 8 = 0 : 8 = 0 8 b) (y + )(y ) = y y + y y 9 = y y y + 6 = 0 a =, b =, c = 6 y ( ) ( ) 6 8 y Yhtälöllä ei ole ratkaisua.

20 0 6. a) ( + ) = 0 ( + ) ( + ) = = = 0 a =, b = 0, c = y ( 0) ( 0) 0 y 0 0 b) + 7 = 0 a =, b = 7, c = ( ) 7 tai a) 0 = 0 a =, b = 0, c = ( 0) b) tai ( ) = 0 0 = 0 a =, b =, c = 0 ( ) ( ) ( 0) tai

21 67. Inarin ikä nyt on vuotta. Viidentoista vuoden kuluttua Inari on + vuotta. Yksitoista vuotta sitten hän oli vuotta. + = ( ) + = = = 8 : ( ) = Inarin ikä nyt on vuotta. 68. Merkitään Taiston osuutta :llä. Irmelin osuus on silloin 6. Koska lasku jaetaan kuukausipalkkojen suhteessa, osien suuruudet voidaan ratkaista verrannon avulla = 80 (6 ) = = 07 6 : 07 6,066...,07 ( ) 6,07 = 6,9 ( ) Taiston osuus laskusta on,07 ja Irmelin 6, Merkitään abien määrää :llä. Matkan kokonaishinnasta saadaan yhtälö. 0 =,0 ( 6) 0 =,0,0 = : (,0) = 6 = 8 Risteilylle lähti 8 abiturienttia.

22 70. Merkitään lukuja :llä ja + :lla. ( + ) = + = 0 a =, b =, c= ( ) , jolloin toinen luku on 9 7 tai 9, jolloin toinen luku on 8. Luvut ovat joko 8 ja 9 tai 9 ja Merkitään koko matkaan kuluvaa aikaan t:llä. Ratkaistaan aika nopeuden kaavasta t t t = : t =,0869,087 (h),087 h = 60,087 min = 6, min s v. t Loppumatkaan kuluva aika on 6, min 8 min = 7, min 7 min.

23 7. Taulun pinta-ala on 60 = 00 (cm ). Taulun ja kehyksen pinta-ala yhteensä on, 00 = (cm ). Merkitään kehyksen leveyttä :llä. Kehys on taulun kaikilla sivuilla. ( + )( + 60) = = = 0 a =, b = 90, c = ( ) , ,89...,60...,6 (cm) ,89... tai 9,0... negatiivinen ratkaisu ei käy. 8 Kehyksen leveys on,6 cm. 7. Merkitään rannan suuntaista sivua :llä. Rantaa vastaan kohtisuora sivu on 77, 0, pituinen. (77, 0,) = 00 0, + 77, 00 = 0 a = 0,, b = 77,, c = 00 77, 77, ( 0,) ( 00) ( 0,) 77, 006, 77,, ,,7..., (m), jolloin toinen sivu on 77, 0, 6 =, (m), tai 77,, , (m), jolloin toinen sivu on 77, 0, 09 = m. Alueen mitat ovat 6 m ja, m tai 0 m ja m.

24 7. = a + 0 = a a + a = 6 0 7a = : 7 a = 7 7. a) = 0 tai + = 0 tai 6 = 0 = : = 6 = : 6 = 0, = b) + 6 = 0 ( + 6) = 0 = 0 tai + 6 = 0 a =, b =, c = 6 ( 6) tai 6

25 Prosenttilaskenta 76. a),6 0, %, b) 60 % = 0,60 0,60, = 88, 88,,6 = 9,99 ( ) 77. a) = , , ,0 = 0 % b) Kuinka monta prosenttia pienempi on luku 00 kuin 600? = 00 Erotusta verrataan lukuun , , ,7 = 7 % (Jos erotus lasketaan aina niin, että lopputuloksesta vähennetään alkuperäinen arvo, etumerkki ilmoittaa muutoksen suunnan.) Kuinka monta prosenttia suurempi on luku 600 kuin 00? = 00 Erotusta verrataan lukuun , 0, = 0 % 78. a) 00 % +, % = 0, % =,0,0,0 =,00,0 ( ) b) Merkitään alkuperäistä hintaa :llä. 0, = 900 : 0, = 7 00 ( )

26 6 79. a) 0,078 0,078 7,8 % 6 b) 9 % = 0,9 0,9 6 =,6 80. a) 00 % + % = % =,,,80 = 7,696 7,70 ( ) b) 00 % % = 69 % = 0,69 0,69,80 = 0,90 0,90 ( ) 8. a) Kysytty luku on. 7 % = 0,7 0,7 = 6 : 0,7 = 8 b) Merkitään alkuperäistä hintaa h:lla. 00 % % = 8 % = 0,8 0,8h =,90 : 0,8 h = ( ) 8. a) 0 = 7 7 0, , 0, = % b) 0 = ,0... 0, 0, = % 8. a) Voitto euroina on = 0,6 60 % b) Voitto euroina on 0 = 0, 0 % 0

27 7 8. a) % 0 % = % yksikköä. b) Rasvaa ennen muutosta oli 0,, = 0,7 (dl) Rasvaa muutoksen jälkeen on 0,, = 0, (dl). 0, 0,7 = 0, 0, 0,... 0, 0,7 0, = % % +,8 % = 0,8 % =,08 00 % +,7 % =,7 % =,7 00 %, % = 96,8 % = 0, % 0,6 % = 99, % = 0,99 00 % +,8 % = 0,8 % =,08,08,7 0,968 0,99,08, =,80 (miljoonaa euroa),8,679...,7,,7 = 7 % 7 % 00 % = 7 % Tulos parani 7 % 86. Merkitään verotonta hintaa :llä.,09 =,90 :,09 = 0,097 0,09 Veron määrä euroina on,90 0,09 =,8 ( ). 87. a) 0,8 0, = 0,9 (l) b) Boolin tilavuus yhteensä on 0, + 0, +, =, (l). 0,9 0, ,079, 0,079 = 7,9 %

28 8 88. Merkitään hintaa h:lla ja myyntiä m:llä. Tuotto on hinnan ja myynnin tulo hm. 00 % +, % =, % =, 00 % 0 % = 90 % = 0,9 Uusi hinta on,h ja uusi myynti 0,9m. Uusi tuotto on,h 0,9m =,00hm.,00 = 0,0% Tuotto nousi 0,0 % 00 % =,0 %, %. 89. a) = , 0 % b) 00 % % = 9 % = 0,9 0,9 70 = 6,0 ( ) 90. a) 6 8 = 6 0, ,8 0,8 = 8 % b) 7 = , ,, = % 9. a) 0, = 68 b) Merkitään myyntihintaa :llä. 0,0 = : 0,0 = ( ) 9. Merkitään alkuperäistä hinta a:lla. 00 % % = 7 % = 0,7, 00 % 0 % = 60 % = 0,6 0,6 0,7 a = 76,0 0,a = 76,0 : 0, a= 69 ( )

29 9 9. Tilavuokrat 0, = 8 00 ( ) Tilavuokrien korotus 0, 8 00 = 760 ( ) Muutos prosentteina ,08,8 % % +, % =, % =, 00 % + 6, % = 6, % =,6 00 % +, % = 0, % =,0 Merkitään kävijämäärää alussa a:lla. Uusi kävijämäärä on,,6,0 a =,997 a,997,00 = 0,0 % Kävijämäärä kasvoi kaikkiaan 0,0 %. k k a,00a,00,7...,7, =, % Keskimääräinen vuotuinen kasvu on, %.

30 0 9. Uusi arvonlisävero on % 9 % = %. Merkitään verotonta hintaa :llä. 00 % + % = % =, Hinta, ennen veron alennusta on,. 00 % + % = % =, Hinta veron alennuksen jälkeen,. Uusi hinta on vanhasta hinnasta, 0,96..., 0,96 = 0,96 = 9,6 %. Hinnan muutos prosentteina on 00 % 9,6 % = 7, %. 96. Olkoon palkan suuruus ennen vuodenvaihdetta. Veron alennuksen jälkeen käteen jää 7,8 %. Uusi ennakonpidätysprosentti on 00 % 7,8 % = 6, % 7,8 % = 0,78 7 % = 0,7 0,78 ( + ) = 0,7 + 9,60 0,78 +, = 0,7 + 9,60 0,008 = 6,9 : 0,008 = 08,7 ( ) Uusi palkka on 08,7 + = 09,7 ( )

31 97. Merkitään alkuperäistä matkan hintaa h:lla. Laivamatkan hinta on 0,h ja hotellihuoneen 0,7h. Hinnan korotuksen jälkeen laivamatkan hinta on,8 0,h. Uusi hotellihuoneen hinta on k 0,7h. Kootaan tiedot taulukkoon laivamatka hotellihuone yhteensä ennen korotusta 0,h 0,7h h muutosten jälkeen,8 0,h k 0,7h h Taulukon alemmalta riviltä saadaan yhtälö:,8 0,h + k 0,7h = h : h 0,9 + 0,7k = 0,7k = 0,9 0,7k = 0,70 : 0,7 k = 0,9 0,9 = 9 % 00 % 9 % = 6,0 %

32 Tasogeometriaa Tasogeometrian perusteita 98. a) 000 cm = 0, km b) 0,0098 dm = 0,98 mm c) mm =, km d) 0, m = 0,0076 cm 99. a) 00 a = 0, km b) 0, ha = 70 mm 00. a) b), 7, 0,9 7, =, 0,9 7, = 6,68 :7, = 9,67 9, (cm) 0 0 = 0 = 9 :0 = 8,8 8 (mm) 0. a) mittakaava tuntosarvi (cm) kuva 0, luonto 0, 0 =, : 0 = 0,06 (cm) 0,06 cm = 0,6 mm

33 b) mittakaava silmä (mm) kuva 0 y luonto 0, 0 y 0, y = 0 0, = 8,0 (mm) 0., 7, =,7 (m ),7 m =,7 a, a 0. korkeus (m) varjo (m) keppi,,9 puu,8,,9,8,9 =,,8,9 =,76 :,9 =,0,0 (m) 0. a) mittakaava järvi (km) kartta luonto , , =, : = 0,0000 (km) 0,0000 km =, cm

34 b) mittakaava välimatka (cm) kartta luonto y y y = (cm) cm = km 0. Talon omistajan mittaustuloksilla,6,0 =,0,0 (m ),0 m = cm Rakennusmiehen mittaustuloksilla 67 = (mm ) mm = 000 cm Lasketaan erotus pyöristämättömillä arvoilla. 7,90 cm 0 0 cm = 077,9 cm 080 cm 06. a) mittakaava mittakaavan neliö pinta-ala (km) kartta luonto , 0 000, =, : 0 000, , 0, 0 0 km =, cm

35 b) mittakaava mittakaavan neliö pinta-ala (cm) kartta, luonto y 0 000, y y =, y =, 0 0 (cm ), 0 0 cm =, km, km 07. a) 0,6, = 0,7 (km ) b) 0,7 km = m 9 78 = (cm ) cm = 0, m 0, m 08. Lamppu ja Kerttu sekä lamppu ja Kertun varjo muodostavat kaksi kolmiota, jotka ovat yhdenmuotoisia. Lamppu on molempien kolmioiden kärkenä. Vastaisena kateettina on toisessa kolmiossa Kerttu ja toisessa Kertun varjo. Kerttu / varjo lampun etäisyys Kertusta / varjosta pieni kolmio (Kerttu) iso kolmio (Kertun varjo) = : = 6, (m)

36 6 09. Huoneen seinien pinta-ala ikkunoiden ja ovien kanssa neliömetreinä on,00,80 +,60,80 = 8,86. Pinta-ala ilman ovia ja ikkunoita on 0,7 8,86 = 6,6 (m ). Maalin kulutus on, 6,6 8 = 0,076 0, (litraa). 0. mittakaava matka kartta, cm luonto n km = cm n, ,n = :, n = , = Mittakaava on : mittakaava mittakaavan neliö pinta-ala (km) kartta luonto = 00 : , , 0 km = 0, cm

37 7. pituus pinta-ala lankamäärä pieni haalari iso haalari = = = = 99,7 00 (cm)

38 8 Suorakulmainen kolmio. Sivun pituus ratkaistaan Pythagoraan lauseella. a) = = Koska kyseessä on pituusmitta, negatiivinen ratkaisu ei ole järkevä. = 8,0 8 (cm) b) +, = 6, = 6,, =,76,76 Koska kyseessä on pituusmitta, negatiivinen ratkaisu ei ole järkevä. =,87,9 (cm). a) tan 0 b) cos tan 0 =,7,7 (m) 8, cos 8, = 6,880 6,9 (m). a) b) sin tan, 7, α = sin 0,666 = 7,8 8,, α = tan,0 = 7,70 7

39 9. Lasketaan ensin sen kulman α suuruus, joka on 7, cm pituista kateettia vastapäätä. sin 7, 9,8 α = sin 0,76 = 7,8 7 Kolmion kulmien summan on 80. Kolmas kulma β saadaan yhtälöstä β = 80 β = Kulmien suuruudet ovat 90, 7 ja. 6. tan, tan,, tan =,0, (cm) 7. a) Lävistäjä jakaa suorakulmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Lävistäjän pituus lasketan Pythagoraan lauseella.,7 + 7, = = 6, = 6, 6 Koska kyseessä on pituus, negatiivinen vastaus ei käy. = 7,97 8,0 (cm)

40 0 b) Piirretään mallikuva. Korkeusjana jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Suorakulmaisen kolmion kanta on cm : =, cm. h 9 cm Korkeus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla., + h = 9 h = 9, h = 0,7 h = 0,7 8, (cm) 8,9 A = 00,0 00 (cm ) cm 8. a) b) cos 60 sin 9, =, cos 60 =, (m) 7, sin 9 = 7, = 7, sin 9 =,9 (m)

41 9. Piirretään kolmio koordinaatistoon. Kolmion pinta-ala saadaan, kun kolmion ympärille piirretyn suorakulmion pinta-alasta vähennetään nurkan kolmioiden pinta-alat. 9 7 A , 0. Rinteen pituus saadaan Pythagoraan lauseen avulla. = + = , (m) Negatiivinen vastaus ei käy. Keskinopeus on 60, v,08,0 (m/s).

42 . Kulman A suuruus saadaan laskettua, kun 90 kulmasta vähennetään kulmien α ja β suuruudet. tan tan 0, α = tan 0, =,80 7, β = tan, =,6 Kulman A suuruus on 90,80,6 =,7 Sivun BC pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. = + = = Negatiivinen vastaus ei käy.,60...,6

43 . Piirretään tilanteesta mallikuva. m Lasketaan pienemmästä kolmiosta tornin korkeus h. tan h h = tan = 8, 8, (m) Suuremmasta kolmiosta saadaan Matiaksen ja tornin välinen etäisyys. tan 8, tan = 8, : tan 8, tan = 8,89 8,8 (m) 8,8 = 7,8 8 (m)

44 . a) Lasketaan sivun AB pituus apukolmion I avulla. + = = Negatiivinen vastaus ei käy. b) Lasketaan kulman B suuruus apukolmioiden I ja II avulla. tan tan = 8,9 8, tan tan = 6,8698 6,87 Kulman B suuruus on 80 8, 6,87 =,7 c) Kolmion ABC pinta-ala saadaan, kun kolmion ympärille piirretyn suorakulmion pinta-alasta vähennetään kolinoiden I, II ja III pinta-alat. 7 A 7 6 6,

45 . Korkeus seinää pitkin, etäisyys maanpintaa pitkin ja tikkaat muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusana on tikkaat ja kateetteina seinä ja maanpinta. Tehtävä ratkaistaan Pythagoraan lauseen avulla. Alkutilanne: Tikkat : c = m Etäisyys seinästä: a = 0 cm =,0 m Korkeus: b = a + b = c,0 + = =,,7, ,7697 (m) Tikkaiden pitäisi yltää,77 m + m =,77 m korkeudella. Lopputilanne: Tikkaat: c = y Etäisyys: a =,0 m Korkeus: b =,7697 m,0 +,7697 = y y =,9809 y,9809,96...,96 Tikkaita tuli pidentää 0,96 m = 96 cm.

46 6. Piirretään tilanteesta mallikuva. Kuvassa on yhden suunnan vanha ja uusi vaijeri. 0,0 m 0 60 Lasketaan kiinnityskohdan korkeus h alkuperäisen vaijerin muodostaman kolmion avulla. sin 60 h 0,0 h = sin 60 0,0 = 8,660 8,660 (m) Uuden vaijerin pituus saadaan toisesta kolmiosta. sin 0 8,660 sin 0 8,660 8,660 =,0, (m) sin 0 6. Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö: + ( ) = 7 + ( )( ) = = = 0 Ratkaistaan ratkaisukaavalla: a =, b =, c = 88 ( ) ( ) ( 88) tai 7, = Sivujen pituudet ovat 8, ja Negatiivinen vastaus ei käy.

47 7 7. Etu- ja takaseinän korkeuden ero on,6, = 0, (m) Lasketaan katon kaltevuuskulma. tan 0, α = tan - 0, =,06 Katon reunan vaakasuora leveys on 0, +,0 + 0, =,9 (m). Katon lappeen pituus on cos,0,9 cos,0 =,9,9 =,989 (m) cos,0 Lappeen leveys on 0, +,0 + 0, =,9 (m) Pinta-ala on A =,9,989 =,6 (m ) 8. Piirretään tilanteesta mallikuva. Lasketaan minuutin aikana kuljettu matka. min = h h 60 h 0 km/h km tan = = tan 0,7 km = 70 m = 0,708 0,7 (km) min 0 km/h Vesitorni

48 8 9. Kun henkilö on,0 m etäisyydellä valonheittimestä, muodostavat etäisyys valonheittimestä henkilöön ja hänen pituutensa sekä etäisyys valonheittimestä seinämään ja varjonpituus kahden yhdenmuotoisen kolmion kateetit. Tehtävä ratkaistaan verrannon avulla. henkilö varjo korkeus 7 cm =,7 m etäisyys valonheittimeen,0 m m,7,0,0 = :,0 =, Henkilö liikkuu 9 m/min = 9 : 60 m/s =,8,8 m/s. Kahdessa sekunnissa hän liikkuu,8 m =,666 m, jolloin hän on,0 m +,666 m = 7,666 m etäisyydellä valonheittimestä. henkilö varjo korkeus 7 cm = y,7 m etäisyys valonheittimeen 7,666 m m,7 7,666 7,666 = : 7,666 =,90,9 (m) Varjo lyhenee,,9 =, (m)

49 9 Kuvioita 0. A= π 6,8 = 7, 7 (cm ) p = π 6,8 =,09,0 (cm). a) 00 b,7 9, (cm) 60 b) 00 A,7 S, (cm ) 60. a) 6 6 = (cm ) b),8,,6 6,89 6, 9 (cm ). Jaetaan säännölliset monikulmiot tasakylkisiksi kolmioiksi niin, että kolmioiden kärjet ovat monikulmion keskipisteessä. a) Kuusikulmio muodostuu kuudesta tasakylkisestä kolmioista. Tasakylkisen kolmion huippukulma on Kantakulmat α ovat suuruudeltaan 60. Kuusikulmion kulman suuruus on 60 = 0. b) Viisikulmio muodostuu viidestä tasakylkisestä kolmioista. Tasakylkisen kolmion huippukulma on Kantakulmat α ovat suuruudeltaan. Viisikulmion kulman suuruus on = 08.. a) p = π =,9 0 (cm) b) π d = 6 : π 6 d = 9, (cm)

50 0. a) A,0 S,7..., (m ) 60 b) : 96π 60 = 8, a) Kulmasta piirretty korkeusjana erottaa puolisuunnikkaasta suorakulmaisen kolmion. Kolmion toisen kateetin pituus on,0,0, (cm)., cm Korkeus h voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. h +, =, h,0 cm,0 cm h,,,87...,8 (cm),0,0 Puolisuunnikkaan pinta-ala on A,86,... (cm ). b) Lävistäjät puolittavat toisensa ja leikkaavat suorassa kulmassa. Neljäkäs jakaantuu neljäksi yhteneväksi kolmioksi. Kunkin kolmion kateettien pituudet ovat,7 cm ja,0 cm. Kolmion pinta-ala on,7,0 A K 0,987 (cm ). Neljäkkään pinta-ala on A 0,987,67,7 (cm ).

51 6, cm 7. A = ah 6,h = :6, h = 0,7 0, (cm) sin 0, 0, sin,0... β = 80 = 6 cm h α β 8. a) A = ah,0 m =,h :, h = 7,80 7,9 (m) b) Lävistäjän d pituus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla., + 7,8 = d d = 7,6076 d 7,6076 8,0... 8, (m) 9. Säännöllinen 9-kulmio koostuu yhdeksästä tasakylkisestä kolmiosta, joiden huippukulma on Kolmion korkeus saadaan yhtälöstä tan 0 tan 0 6, h h 6,. 6, h tan 0 = 7,8860 7,89 (cm),0 7,89 A 9 0,7 00 (cm ) h 0 6, cm,0 cm

52 0. a) Sivun pituus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla. + = = 9 8 b) A c) Lävistäjän pituus d lasketaan Pythagoraan lauseen avulla. 8 8 d d = 6 d 6. Suunnikkaan korkeus h saadaan,9 cm suorakulmaisen kolmion, jonka toinen h kateetti on korkeusjana, avulla. 0 h 6, cm sin 0,9 h = sin 0,9 =,0687,07 (cm) Pinta-ala on A =,07 6, =,97 (cm ). Suunnikkaan vierekkäisten kulmien summa on = 0. Kulmien suuruudet ovat 0, 0, 0 ja 0.. Neljäkkään korkeus h saadaan sinin avulla sin 8 h. 98, h = sin 8 98, = 97,87 97, (m) Neljäkkään pinta-ala on 98, 97, = 98,0 980 (m ) 980 m = 0,98 ha 0000 Neliömetrihinta on,08..., 0 ( /m ) 980

53 . A r 60 S 60 π r = 60 : ( π) r r Negatiivinen vastaus ei käy. r = 6, 6 (cm). Ympyrän säde saadaan kaaren pituuden yhtälöstä r 7, π r = 7,8 60 : (9 π) 9 7,8 60 r =,, (cm) 9, cm Kaksi sädettä ja jänne muodostavat tasakylkisen kolmion, jonka huippukulma on 9. Kolmio voidaan jakaa kahdeksi yhteneväksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Suorakulmaisen kolmion kanta on puolet jänteestä ja huippukulma puolet keskuskulmasta. sin 9,, = sin 9,, =,88,9 (cm) Jänteen pituus on,9 = 7,8 (cm) 9,

54 . Ympyrän säde on 0,. Ympyrän kehän pituus on π 0, = π (,). Kahdeksankulmion halkaisija on. Kahdeksankulmio voidaan jakaa kahdeksaksi yhteneväksi tasakylkiseksi kolmioksi. Kolmion huippukulma on 60 ja kylki 0,. 8 Kannan pituus saadaan yhtälöstä sin,. 0, = sin, 0, 0, Kanta on sin, 0, = sin,. Kahdeksankulmion piirin pituus viiden desimaalin tarkkuudella on 8 sin, =,0667,067.,067 0, ,97 00 % 97, % =,6 % Maan säde on R 666, (km). Katseen suunta Maapallon pintaa pitkin kulkee ympyrän tangenttia pitkin. Tangentti ja ympyrän säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tangentin osa hypotenuusana ja säde toisena kateettina muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka toinen terävä kulma on,. Toinen kateetti muodostuu Maan säteestä R ja etäisyydestä satelliitista Maan pinnalle. sin, sin, (R+ ) = R sin, R + sin, = R R R sin, = R sin, R R sin, R = 060, 000 (km) sin,

55 7. a) b) Janan keskipisteen koordinaatit (,y) saadaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvosta y c) Pisteen D koordinaatit saadaan, kun pisteen A koordinaatteihin lisätään kaksi kertaa pisteen A ja janan BC keskipisteen koordinaattien erotus. D ( ) 696 y D 7 ( 7) 97 D = (696,97)

56 6 Koontitehtäviä luvuista 8. a) 0 = ( + 0) 0 = + 60 = 0 : = 0 b) ( ) ( ) = + = 6 c) ) 9 9. a) = 0 0 0,7... 0, % 89 ( ) (,), 7, b) ( ) (,) 6,, c) + 7 = + 7 = 0 a =, b =, c =7 ( ) ( ) 7 7 tai a) Muutetaan mittojen yksiköt vastaamaan toisiaan. 7 km = m 6,8 ha = 680 a = m = : = (m) m = 000 mm A = m m

57 7 b) Lävistäjän pituus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla. = + 8 = 60 = 60 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. = 6,87 7 (m) 8 m m. 0 + ( + 0 ) + ( + 0 ) = = = 80 = 70 : =, Kulmien suuruudet ovat 0 =, 0 = =, + 0 =,. Kolmio on tasakylkinen. 7, Kannan puolikas on, 7 (cm). Korkeus lasketaan tangentin avulla. h tan, =,7, 7 h =,7 tan, h =,88709,887 (cm) Kolmion pinta-ala on, o,7 cm h 7,,887 8,6 8 (cm ).. Merkitään opiskelijoiden määrää :llä. 6) ) 0) = 60 9 = 0 : ( 9) = 80 Lukiossa on 80 opiskelijaa.

58 8. Varjon pituus alussa: 0 tan = tan = 0 : tan 0 tan 68, ,0 (cm) 0 cm 6 cm Varjon pituus lopussa: 6 tan = y y o y tan = 6 : tan 6 y = 8, , 8 (cm) tan y o Varjon pituuden muutos: y = 8,8 68,0 = 6,80 7 (cm). Neliön sivun pituus: = 6,0 = 6, 0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. =,0 (cm) Ympyrän halkaisija on sama kuin neliön sivun pituus.,0 Ympyrän säde: r =, 0 (cm) Ympyrän pinta-ala: y y A = r =,0 =,66,6 (cm) Pienemmän neliön sivun pituus saadaan Pythagoraan lauseella. y + y =,0 y = 6 : y = 8 y = 8 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. y =,88,88 (cm) Neliön ala: A =,88 = 7,9978 8,0 (cm )

59 9. Tilanne Litrahinta ( ) Päivämyynti (l) Päivämyynnin tulot ( ) Alussa h m hm Lopussa,00h m 0,97hm Ratkaistaan yhtälön avulla kerroin.,00h m = 0,97hm : hm,00 = 0,97 :,00 = 0,97 0,97 Hinnankorotuksen jälkeinen päivämyynti 0,97m on 9,7 % aiemmasta päivämyynnistä m. Myynti pieneni 00 % 9,7 % = 7, % 7, %. 6. ( + ) = 87,6 + 87,6 = 0 a =, b =, c = 87,6 8,8 ( 87,6), 8,8 8,8 8, tai 0, (ei kelpaa) Leveys on 8, m ja korkeus 8, m + m = 0, m. A = 87,6 +

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p

2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla

Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Tasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B

Tasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B Tasokuvioita GOMTRI M3 Murtoviiva: Sanotaan, että kaksi janaa on liitetty toisiinsa, jos niiden toinen päätypiste on sama. Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi,

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm. 1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot