( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten"

Transkriptio

1 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia, joten 4 5x 7x x 10 : ( 1) 10 5 x 1 6 b) Kulmat ovat vieruskulmia, joten x x 180 x 6x+ 8 0 ( ) ( ) 6 ± x 1 6± 4 6± x x 4 x 4

2 1 Peruskäsitteitä 4. a) Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, 47 α. Kulma β on 47 kulman vieruskulma, joten β b) Merkitään 8 kulman ristikulmaa kirjaimella α. Tällöin α 8 Kulmat α ja 10 ovat samankohtaisia kulmia. Jos suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, 10 α. Koska α 8 10, niin suorat s ja t eivät ole yhdensuuntaisia. 5. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n ovat yhdensuuntaisia, 06 x x + 15 x x ( ) 5x 191 : 5 x 8, 5

3 1 Peruskäsitteitä 6. α β a) α + β 90 β + β 90 4β 90 :4 β,5 α,5 67,5 b) α + β 180 β + β 180 4β 180 :4 β 45 α c) α + β 60 β + β 60 4β 60 :4 β 90 α Vastaus: a) α 67,5, β,5 b) α 15, β 45 c) α 70, β 90 6

4 1 Peruskäsitteitä 7. α : β :8 Merkitään α x, tällöin β 8x. Koska kulmat ovat vieruskulmia, niin α + β 180 x+ 8x x 180 : x α x 49, β 8x 8 10, Vastaus: α 49, β x + 7x 6 9x 6 :9 x 4 CQ QD x 4 8 7x Vastaus: CQ 8, QD 8 7

5 1 Peruskäsitteitä 9. a) AB AP + PB b) AB PB AP Vastaus: a) 5 b) OLETUS Suorien leikkauspisteeseen muodostuvista kulmista yksi on suora kulma. VÄITE Muutkin kulmat ovat suoria kulmia. β γ δ 90 8

6 1 Peruskäsitteitä TODISTUS α ja β ovat vieruskulmia. α + β β 180 β 90 γ α (ristikulmat) δ β (ristikulmat) Joten α β γ δ Merkitään 0 kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, β 0. α + β 88 α α 88 0 α 68 9

7 1 Peruskäsitteitä 1. Merkitään 105 kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaiset, β 105. α + β α α α a) Muutetaan 0, 4 kulmaminuuteiksi. 0, 4 0, 4 60' 4' 0,4 0 4' 0' b) 0'' 0,5' 60 15,5 1 15,5' 0, ' 0'' 8 8, 10 Vastaus: a) 0 4' b) 1 8 8, 10 10

8 1 Peruskäsitteitä 14. Merkitään toista kulmaa kirjaimella x. Toinen kulma on 8 suurempi eli 8 x +. Kulmat ovat vieruskulmia, joten niiden summa on 180. ( x ) x 180 x x 15 : x 76 Toinen kulma on Vastaus: Kulmat ovat 76 ja α + α 180 (vieruskulmat) 6α 180 :6 α 0 Kulmat α ja β ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, β α, β 0. ( ( x ) ) ( x ) ( x ) ( x) x+ 1 + x 45 + x x 60 7x x 10 :7 x 0 11

9 1 Peruskäsitteitä 17. a) AP: AB :7 AP x AB 7x x 5 : x 5 (cm) 5 AB 7 cm 11,66...cm 1 cm b) AB 7x PB 10x 7x 0 :7 0 x (cm) 7 0 PB 10 cm 8,57... cm 9 cm 7 Vastaus: a) 1 cm b) 9 cm 1

10 1 Peruskäsitteitä 18. AB : PQ 1:5 QB AP Merkitään AP x, tällöin PQ 5x ja QB x. AP + PQ + QB AB x x+ x+ x x 40 0 ± x 1 6 ± 196 x 6± 14 x x 4 x 10 ( ) Pituus on aina positiivinen, joten x 4. AP 4 PQ 54 0 QB 4 16 Vastaus: AP 4, PQ 0, QB 16 1

11 1 Peruskäsitteitä 19. Käytetään kuvion merkintöjä. α on tulevan säteen ja ensimmäisen peilin tason välinen kulma ja β säteen ja toisen peilin välinen kulma. Heijastumislaki: Peiliin tulevan ja siitä lähtevän säteen peilin kanssa muodostamat kulmat ovat yhtä suuret. Siis kulma DAB α Ristikulmana kulma CAD α Siis kulma CAB α Vastaavasti kulma ABC β Kysytty kulma γ 180 α β 180 α ( α) 180 α α 80 Vastaus: 80 14

12 0. Piirretään kulmille puolittajat. 1 Peruskäsitteitä α β δ ja γ Puolittajien välinen kulma δ + γ VÄITE δ + γ 90 TODISTUS Kulmat α ja β vieruskulmia, joten α + β 180 : α + β 90 α β + 90 δ + γ 90 15

13 1 Peruskäsitteitä 1. VÄITE α + β + γ 180 TODISTUS Kulmat α ja α ' ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. α α ' Kulmat β ja β ' ovat myös samankohtaisina kulmina yhtä suuret. β β ' Ristikulmina γ γ '. Koska kulmat α ', α ' + β ' + γ ' 180 β ' ja γ ' muodostavat oikokulman, Tällöin α + β + γ

14 1 Peruskäsitteitä. Puolisuora on kulman β puolittaja.. 1. Piirrä jana. Siirrä harpin kärki janan toiseen päätepisteeseen ja piirrä ympyrän kaari.. Pidä säde samana ja siirrä harpin kärki toiseen päätepisteeseen. Piirrä toinen ympyrän kaari. 4. Janan keskinormaali kulkee kaarien leikkauspisteiden kautta 17

15 1 Peruskäsitteitä 1. Monikulmioita 4. a) α α 50 b) Kolmio on tasakylkinen, joten kantakulmat ovat yhtä suuret. β 50 α α 80 c) Kolmio on tasasivuinen, joten kaikki kulmat ovat 60. Vastaus: a) α 50 b) α 80, β 50 c) α β γ a) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat yhtä suuret, joten α 60. Kantakulmat ovat suplementtikulmia, joten β β 10 γ β 10 b) Puolisuunnikas on tasakylkinen, joten kantakulmat yhtä suuret. γ 110 ja α β Nelikulmion kulmien summa 60 eli α + β + γ α + α α 140 : α 70 Vastaus: a) α 60, β γ 10 b) α β 70, γ

16 1 Peruskäsitteitä 6. a) γ (vieruskulmat) γ 65 Kolmio on tasakylkinen, joten β γ 65 α + β + γ 180 (kolmion kulmien summa) α α 50 b) 5-kulmion kulmien summa ( 5 ) kulmio säännöllinen, joten α Kolmio ABC tasakylkinen, joten β γ 19

17 1 Peruskäsitteitä Kolmion kulmien summa 180 α + β + γ β 180 β 7 : β 6 Vastaus: a) α 50, β 65 b) α 108, β 6 7. Kulmien suhde on 4 : 5: 6, joten kulmat ovat 4x, 5x ja 6x. 4x + 5x+ 6x x 180 :15 x 1 4x x x Vastaus: 48, 60 ja 7 0

18 1 Peruskäsitteitä 8. Kolmio ABC on tasakylkinen, joten kulma B 8 ja A Puolisuunnikkaan sivuista AD CD. Samankohtaisina kulmina γ B 8, joten puolisuunnikkaan kulma A Vieruskulmana δ Nelikulmion kulmien summa on 60, joten α + β α 4β 4β + β 180 5β 180 :5 β 6 Tällöin α Vastaus: 144, 6, 8, 98 1

19 1 Peruskäsitteitä 9. Merkitään kannan vastaisia kulmia kirjaimella α. Tällöin kantakulmat ovat 40 α +. Nelikulmion kulmien summa 60 eli α + α + α α α α 80 :4 α 70 Vastaus: Kantakulmat 110 ja kannan vastaiset kulmat a) Koska kolmio on säännöllinen, sen kaikki kulmat ovat yhtä suuria. Kolmion kulmien suuruus on 60. Kolmion kärjistä piirretyt janat puolittavat aina vastaisen sivun. Koska kolmio on säännöllinen, janat puolittavat tällöin myös kulmat eli 60 β 0

20 1 Peruskäsitteitä Koska kolmion kulmien summa on 180, saadaan yhtälö α + β + β 180 α α α 10 b) Kuusikulmion kulmien summa on ( 6 ) Säännöllisen kuusikulmion kulmat ovat kaikki yhtä suuria, joten yhden kulman suuruus on Koska säännöllisen kuusikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, kolmio BDC on tasakylkinen. Tällöin kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on 180. β β β 60 : β 0 Jana AB puolittaa kuusikulmion, joten 10 γ 60 Tällöin α γ β

21 1 Peruskäsitteitä c) Säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta samanlaisesta kolmiosta. Kolmioiden huiput ovat samassa pisteessä ja ne muodostavat yhdessä täysikulman. 6α 60 :6 α Ristikulmina β 58 Kulma δ on 40 kulman kanssa samankohtainen kulma. Koska AB CD, δ 40. Kolmio DBC on suorakulmainen. Kolmien kulmien summa on 180, joten 40 + α α 50 Kulman β vieruskulma β ' Kolmion kulmien summa 180, joten γ + β' + δ 180 γ γ 18 Vastaus: α 50, β 58, γ 18, δ 40 4

22 1 Peruskäsitteitä. 5 asteen kulma ja γ samankohtaisia kulmia. Koska l k, niin γ 5. γ + δ δ 165 δ δ 140 δ ja β samankohtaisia kulmia. Koska l k, niin β δ 140. δ ja α vieruskulmia, joten α + δ 180 α α α 40 Vastaus: α 40, β 140 5

23 1 Peruskäsitteitä. Merkitään suunnikkaan lyhintä sivua kirjaimella x. Tällöin pidempi sivu on x +, 4. ( x ) x+ +, 4 16,6 x+ x+ 4,8 16,6 4x 11,8 :4 x,95 (cm) x +, 4,95 +, 4 5,5 (cm) Vastaus:,95 cm ja 5,5 cm 4. Säännöllisen monikulmion ympäri voidaan piirtää ympyrä. Kun ympyrän keskipiste yhdistetään säännöllisen n-kulmion kärkiin, muodostuu n kappaletta tasakylkisiä kolmioita. 6

24 1 Peruskäsitteitä 60 Kolmion huippukulma α n 180 α Kantakulman suuruus β n-kulmion kulman suuruus on 60 n n β 180 α n n n Vastaus: n 180 n 5. Neljäkkään piiri 4a Kolmion piiri 0,8 4a, a a+ d,a d 1, a 6 Vastaus: 1, a a 5 7

25 1 Peruskäsitteitä 6. Suorakulmion piiri 1,a+ a 4,4a Tasasivuisen kolmion piiri b Piirit yhtä pitkät, joten 4, 4a b :4, 4 b a 4, 4 Suorakulmion kanta b 1, 1, a 1, b 4, 4 4, 4 Kannan pituus kolmion sivun pituudesta 1, b 4, 4 0, % b Vastaus: 8 % 8

26 7. a) 5-kulmio, 5 lävistäjää 1 Peruskäsitteitä b) 6-kulmio, 9 lävistäjää c) n-kulmio ( n 1) janaa muihin kärkiin pisteestä P Näistä ei ole lävistäjiä eli ( ) Tämä pätee jokaiselle kärjelle n. n n lävistäjää ( ) n janaa lävistäjää Kukin lävistäjä tuli laskettua kahdesti, joten lävistäjien lukumäärä n( n ) on. 9

27 1 Peruskäsitteitä Lävistäjiä enintään 106 n ( ) n n n n ( ) n 1 0 ( ) ( ) 4 1 ( 1) ± n 1 ± n n 16,17... tai n 1,17... Koska pienin n-kulmio on kolmio eli n, niin n Puolisuunnikkaan pidempi yhdensuuntainen sivu on x. Toinen yhdensuuntaisista sivuista on tällöin x 1. Kyljet ovat tällöin x 1 x 4. ( ) 0

28 1 Peruskäsitteitä Koska piiri on 54 cm, saadaan yhtälö x+ x 1 + ( x 4) 54 x 1 + 4x x 114 :6 x 19 (cm) x (cm) x (cm) Vastaus: yhdensuuntaiset sivut ovat 7 cm ja 19 cm, kyljet 14 cm 9. 5-kulmion kulmien summa ( 5 ) Yhden kulman suuruus Kolmio ABC on tasakylkinen. Sen huippukulma B 108, joten kantakulmat A C 6. Kolmio BCD on myös tasakylkinen. Sen kantakulmat B D 6. 1

29 Tarkastellaan kolmiota BCE. 1 Peruskäsitteitä Kolmion kantakulmat B C 6, joten kolmion huippukulma E 108. Ristikulmana β 108 Vastaus: β ( k ) ,5 k 0 k ,5 k ( k ) 180 k ,5 k,5 k 60 :,5 k 16 Vastaus: k 16

30 1 Peruskäsitteitä 41. a) 1. Piirrä ympyrä. Säilytä harpissa sama säde.. Merkitse kaarelle yksi kulman kärkipiste.. Jaa harpin avulla ympyrän kehä osiin. 4. Yhdistä kehäpisteet viivoilla. b) 1. Piirrä ympyrä.. Piirrä ympyrälle halkaisija.. Piirrä halkaisijalle keskinormaali. 4. Puolita harpin avulla syntyneet 90 kulmat. Kulman puolittajat ovat myös ympyrän halkaisijoita. 5. Yhdistä ympyrän kehäpisteet, jotka ovat halkaisijoiden päätepisteitä.

31 1 Peruskäsitteitä 4. a) Ei voi olla kolmio. b) Voi olla kolmio. 4

32 1 Peruskäsitteitä 1. Yhdenmuotoisuus 4. a) Merkitään linnun takaraivon pituutta pienennöksessä kirjaimella x. Koska kuviot ovat yhdenmuotoiset, saadaan verranto: 8,5 10,9 5,5 x 8,5x 59,95 :8,5 x 7, x 7,1 (cm) b) Merkitään kaulan leveyttä suurennoksessa kirjaimella x. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan: 8,5 x 5,5, 0 5,5x 17 :5,5 x, x,1 (cm) Merkitään linnun kaulan pituutta suurennoksessa kirjaimella y. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan: 8,5 y 5,5, 7 5,5y,95 :5,5 y 4,17... y 4, (cm) Vastaus: a) 7,1 cm b) leveys,1 cm ja pituus 4, cm 5

33 1 Peruskäsitteitä 44. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella x. Mallipiirustuksessa Luonnossa (m) Saadaan yhtälö 4x 6 7 4x 4 :4 x 10,5 (m) 4 6,0 7 x Vastaus: Pituus on 10,5 m 45. x pituus kartalla 1 x (m) x 500 :5000 x 0,0 (m) 0,0 m cm 46. a) Kolmioissa ACB ja DCE on molemmissa 90 kulma kulma C yhteinen b) Kolmioissa ABC ja CBD on molemmissa 90 kulma kulma B yhteinen 6

34 1 Peruskäsitteitä 47. Yhdenmuotoisuuden perustelut: Koska kolmioiden kannat ovat yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret (kk-lause). a) b) x 6 (m) 4 4x 18 x 4,5 (m) x 1 (m) x x 1x+ 91 5x 91 :5 x 18, (m) Vastaus: a) 4,5 m b) 18, m 48. a) Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan verranto: 1,, 0 5,5, 0 + x ( x) 1,, 0 +, 0 5, 5, 6 + 1, x 11 1,x 8, 4 :1, x 6, x 6,5 (dm) 7

35 1 Peruskäsitteitä b) Kolmiot ABE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska kulmat AEB ja CED ovat ristikulmina yhtä suuret, kulmat D ja B ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret 4,5 8, 0 x 1,0 8, 0x 58,5 :8, 0 x 7,1... x 7, (cm) Vastaus: a) 6,5 dm b) 7, cm 49. Olkoon x pienimmän kuvion jokin sivu. Tällöin vastaavan sivun pituus keskikokoisessa kuviossa on 4x. Olkoon y vastinosa suurimmassa kuviossa. Tällöin 4x 1x eli y 6x y Tällöin mittakaava on 6 x 6 eli 6 :1 x 1. 8

36 1 Peruskäsitteitä 50. Merkitään korkeusjanan päätepistettä kirjaimella D. ΔADB ΔACB molemmissa 90 kulma molemmissa kulma A Tällöin kolmion ADB kulman B pitää olla yhtä suuri kuin kolmion ACB kulma C. ΔADB ΔBDC, koska kolmioiden vastinkulmat yhtä suuret. h 5 4 h h 0 h 5 Vastaus: h 5 9

37 1 Peruskäsitteitä 51. ΔEQR ΔRGH kk-lauseen nojalla. ER a x RG b 7x 7 Vastaus: : 7 5. Merkitään joen leveyttä kirjaimella x (m). Muodostuu yhdenmuotoiset kolmiot (kk-lause). 0 + x x x 5x 10x 00 :10 x 0 (m) Vastaus: Joen leveys on 0 m. 40

38 1 Peruskäsitteitä 5. C D x E 0,5 m 50 cm A B Tikkaiden vaakatuki jakaa tikkaat osiin x (m) ja y (m). ΔABC ΔDEC (kk-lause) x 80 x x 80( x + 50) 10x 80x x 4000 : 50 x 80 Tikkaiden korkeus x + 50 cm 80 cm + 50 cm 10 cm Vastaus: Tikkaiden yläreuna on 1, m korkeudella. 41

39 1 Peruskäsitteitä 54. ΔACE ΔFDE kk-lauseen nojalla, sillä E on kolmioille yhteinen ja molemmilla on 90 kulma. 00 x x x x x 10 A ( ) x 10m 44100m 441a 4,4ha 55. Merkitään kuvioiden pituuksia kuvan mukaisesti. Pienimmän ja keskimmäisen suhde : 15 y y 15 y,5 4

40 1 Peruskäsitteitä Keskimmäisen ja suurimman suhde : y x,5 x x,5 x,75 x 4 (cm) TAI 15 x 15 4 x 9 4x 15 x,75 x 4 (cm) Vastaus: 4 cm 56. Pienimmän ja keskikokoisen mittakaava a a+ 8 Keskikokoisen ja suurimman mittakaava 100 a + 8 4

41 1 Peruskäsitteitä Mittakaavat samat a a a+ 8 ( a ) a a + a+ a a a kerrotaan ristiin ( ) ( ) 5 ± a 9 16 a 4 a 9 Kun a 4, mittakaava on ( : Kun 16 a, mittakaava on : Vastaus: 5:1 tai 15 : 57. ΔABC ΔDEC kulma C on yhteinen α β samankohtaisina kulmina 44

42 1 Peruskäsitteitä 10 6 x 6 x 6x 10( 6 x) 6x 60 10x 16x 60 :16 x 4 Vastaus: Neliön sivun pituus on , 0 y y 70 y 600 y ± 60 y > 0 y 60 y 1 70 k k 60k 70 :60 k 1 Vastaus: k 1 45

43 1 Peruskäsitteitä 59. ΔABC ΔADC ΔABD (kk-lause) Merkitään kateettien pituuksia kolmiossa ABC kirjaimilla a ja a. Korkeusjana h jakaa hypotenuusan suhteessa : x y. ΔADC ΔABD ΔABC ΔADC h y x h sij. 1 1 x xy : x xy 4 x 1 y x 4 tai 4 x y 1 h xy h x a a h h x 1 x Vastaus: Hypotenuusa jakautuu suhteessa 1: 4 tai 4 :1. 46

44 1 Peruskäsitteitä 60. Merkitään kolmion ABC kateettien pituuksia kirjaimilla a ja b. Korkeusjana h jakaa hypotenuusan suhteessa : 7, joten hypotenuusa jakautuu x ja 7x pituisiin osiin. ΔABC ΔADC ΔABD ΔADC ΔABD h 7x h x h 1x h± 1 x, h> 0, x> 0 h 1 x ΔABC ΔABD a h b x sij. h 1 x 1 x x tai b a 7 Vastaus: Kateettien pituuksien suhde on 7 tai 7. 47

45 1 Peruskäsitteitä 61. Merkitään puolitetun kulman C viereisten sivujen pituuksia kirjaimilla a ja b. ΔCBR ΔACT (kk-lause), joten 1) a c b d ΔAST ΔSBR (kk-lause), joten ) c x d y 1) & ) a x b y 48

46 1 Peruskäsitteitä 6. Väite: h h h a b c a VAKIO b VAKIO c VAKIO kääntäenverrannollisuus ΔEBC ΔABD (kk-lause) 90 ja B a c hc ha (1) ha hc (kääntäenverrannollisuus) a c ΔADC ΔFBC (kk-lause) 90 ja C a b hb ha () ha hb (kääntäenverrannollisuus) a b (1) ja () seuraa, että a c b ha hc hb 49

47 1 Peruskäsitteitä 1.4 Pinta-alojen ja tilavuuksien suhde 6. Mittakaava 5cm 1 k 75cm a) b) A A V V k mittakaava 5 A pieni 1 a) k 4% A 5 iso b) k Vpieni 1 0,8% V 15 iso 65. A ala kartalla A 1 0,55 ha A 1 0, A 0,55 :0000 A 9 1,75 10 (ha) 1,75 10 ha 1,75 mm 14 mm 9 50

48 1 Peruskäsitteitä 66. A 100 A4 k, k mittakaava A A5 50 korkeus A4 k korkeusa5 korkeus A5 1, korkeus 1, , korkeus Siis pienentyy ( 1 0, ) 100% 9,% A4 A4 67. a) A suuremman ala ( cm ) 08 A A 5 4A 5 08 :4 ( ) A 195 cm b) A suuremman tilavuus ( cm ) 7 V V 15 8V 15 7 :8 ( ) V 4 50 cm 4 50 cm 4, 5 dm 4, 5 l 4 50 ml Vastaus: a) 195 cm 1,9 dm b) 4 50 ml 51

49 1 Peruskäsitteitä 68. Pituuksien suhde V V Olkoon ilmapallon säde alussa r. 1 0,091 r 0,909r. Kutistumisen jälkeen säde oli ( ) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio, joten V 0,909 r V 1 r V 0,909 V1 0, Tilavuus siis supistui 1 0, , % 5

50 1 Peruskäsitteitä 70. Merkitään pienoismallin pituutta x (m). Malli on yhdenmuotoinen veistoksen kanssa, joten mallin leveys on x ja korkeus x. Mallin tilavuus on V x x x 6x Veistoksen tilavuus on 1,00,00,00 6 ( m ) 6 tilavuus on 0,06 ( m ) 10. Siis 6x 0,06 :6 x 0,01 x 0, 01 (m) 0, (m) 0, 15 (m), joten pienoismallin Leveys x 0, m 0, m 4,1 cm Korkeus x 0, m 0, m 64,6 cm Pituus x 0, m 1,5 cm Vastaus: Pituus 1,5 cm, leveys 4,1 cm ja korkeus 64,6 cm 5

51 1 Peruskäsitteitä 71. x 6> 0 x > 0 x > 6 A k A x x x 4x x x 6 x x 1x x x x ( ) ( ) 4 ± ± 88 x 1 ± 6 x 0 tai x,5 (ei käy,koska x> 6) Vastaus: Suuremman pussin leveys on 0 cm. 54

52 1 Peruskäsitteitä 7. k mittakaava A1 k A A 1 lpullonala A 1lpullonala k V l V 1l 1 k A ( ), ,1 1 A Muovimäärä n.,1-kertainen A, A 1 Muovimäärä litraa kohti, A 0,69... A Muovia vähemmän: A 0,69... A 0, A eli n. 1 % vähemmän 55

53 1 Peruskäsitteitä 7. Pinta-alojen suhde on mittakaava potenssiin kaksi. 1 ( x + 5) 9 ( 5x + 1) ( 5x+ 1) 9( x+ 5) ( ) :16 x 5x x x + 1 x + x+ x + x+ x + x+ x + x+ x x ( 5) ( 5) 4 1 ( 14) ± x 1 5± 81 x 5± 9 x x 7 x Kun x 7, niin kantojen pituudet ovat ja Kun x, niin kantojen pituudet ovat + 5 ja < 0 (eikäy). ( ) Vastaus: Kantojen pituudet 1 ja 6 56

54 1 Peruskäsitteitä 74. Jos väritetty osa on 84 % koko kuviosta, on kolmio ECD 100% 84% 16% koko kuviosta. Kolmiot ABD ja ECD ovat yhdenmuotoiset. molemmissa 90 kulma kulma D yhteinen Kolmioiden alojen suhde on sama kuin kolmion ECD osuus koko kuviosta eli ( % 0, Mittakaava k 5 4 k 5 k 5 4 k A eli A 1 Vastaus: 5: 57

55 1 Peruskäsitteitä 75. Alkuperäinen kuva korkeus h ala A Mittakaava Alojen suhde h h + 8 ( h + 8) A 1 1, 4 A 1, 4 h 1 h + 8 1,4 h 1 1, 4 ( h ) 1, 4h + 8 1, 4h h + 16h+ 64 Suurennettu kuva korkeus h + 8 ala 1, 4 A 0, 4h 16h 64 0 :0, 4 h 40h ( 40) ( 40) 4 1 ( 160) ± h 1 40 ± 40 h 40 ± 64 5 h 40 ± 8 5 h h 0 ± 4 5 h 4,66... h,66... < 0 (ei käy) Vastaus: 44 cm 58

56 1 Peruskäsitteitä 76. s V Virtasten vauvan matka s L Lahtisten vauvan matka A Virtastenolohuoneenala (m ) s V A sl A+ 6,6 s Nopeus v, joten V t s vt Koska Lahtisten vauvan nopeus 0 % suurempi, on sl 1, vt. vt A 1, vt A + 6, 6 1 A 1, A + 6, 6 A+ 6,6 1, 44A 0, 44A 6,6 :0, 44 A 15 Lahtisten olohuoneen ala Vastaus: 1,6m 15m + 6,6 m 1,6 m m 77. Tiheys ρ eli V V m ρ Suuremman patsaan tilavuus Pienemmän patsaan tilavuus 5, 0 kg V s 1, 8...dm 4, 0 kg dm,50 kg V p 0,595...dm 4,0kg dm Kullan määrä verrannollinen alojen suhteeseen, joten tarkastellaan alojen suhdetta (verrattuna pienen patsaan alaan). 59

57 k A ja A s p k V V s p 1 Peruskäsitteitä 1, , k k k 1,8... 0,595...,08 1, A s k A p 1, , ,9...% Vastaus: 6 % enemmän 78. Yhdenmuotoiset, kun x 10 x+ 10 x x+ ( x 10)( x+ ) ( x )( x+ 10) x x x x x x x 00 :4 x 50 Kun x 50, mittakaava on ( ja alojen suhde Vastaus: x 50, alojen suhde 5: 6 60

58 1 Peruskäsitteitä 79. Alkuperäisen suorakulmion sivujen suhde ba. Suorakulmiot yhdenmuotoiset, joten b a a b b a b± a b± a Koska pituus aina positiivinen, b a. Alkuperäisen suorakulmion sivujen suhde ( ) b a : 1: a a Vastaus: : 61

59 1 Peruskäsitteitä 80. Alkuperäisen särmiön sivujen suhde a: b: c Särmiön tilavuus V1 abc Pienemmän särmiön tilavuus V abc V1 Tilavuuksien suhde V abc abc 1 Mittakaava k eli k 1 1 b a 1 a b b c b 1 c Jos b c, niin 4 a c c a: b: c 4 c: c: c 4: :1 6

60 1 Peruskäsitteitä 81. A A 1 A 10 9 A 10 1 kolmio kolmio ΔADC ΔCDB A1 Pinta-alojen suhde A 1 1 Mittakaava k Vastinsivujen suhteet: a 1 h h 1 a h a h b b 9 1 a b : b 9 a 1 b 9 h 1 b b 1 h b Vastaus: 1: 9 6

61 1 Peruskäsitteitä 8. Jaetaan pinta-alojen lausekkeet ensin tekijöihin. A1 a + 9a + 15a 5 a 1 on nollakohta, koska , joten a 1 on tekijä. Toisen tekijän voi ratkaista jakokulmalla tai päättelemällä. a + 10a+ 5 a a + a + a ± a a ± 10a a a 5a ± 5a 5 0 ( 1)( 10 5) ( 1)( 5) A a a + a+ a a+ A a a a a ( 1) Alojen suhde ( )( ) ( 1) ( ) A a 1 a+ 5 a+ 5 1 A a a a Mittakaava k A ( a ) + 5 a A a a Vastaus: a + 5 a 64

62 Monikulmioita.1 Pythagoraan lause 8. a) b) c) x x 1, +, 11,9 x ± 11,9 x ±,45... x > 0, joten x, cm,5cm x ,5dm 55cm x 55 1 x 856 x ± 856 x ± 5, x > 0, joten x 5, cm 5cm x +, 7 x 8,1 8,1, 7 x 51,9 x ± 51,9 x ± 7, x > 0, joten x 7,05... m 7,m 65

63 Monikulmioita 84. a) x + x 8, x 64,4 : x,6 x ±,6 x ± 5, x > 0, joten x 5, cm 5,8cm b) Kuvio on tasakylkinen puolisuunnikas. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x + 6 x 40 x ± 40 x ± 410 x ± 10 x > 0, joten x a) x x,5 +,5 4,5 x ± 4,5 x ± 4, x > 0, joten x ± 4,949...cm 4,9cm 66

64 Monikulmioita b) Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 6,0 + 8,0 x 100 x ± 10 x > 0, joten x 10m 86. a) Merkitään hypotenuusan pituutta kirjaimella c. c a + a c a c± c± a a c > 0, joten c a b) Kolmio on yhdenmuotoinen a-kohdan kolmion kanssa. Se on saatu suurentamalla mittakaavassa :1. Hypotenuusan pituus nyt on siis -kertainen a-kohtaan verrattuna eli a. 67

65 Monikulmioita 87. a) Tasakylkisen kolmion korkeus x puolittaa kannan. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 x + a a 1 x + a a 4 x a 4 ± ± 4 x a a a > 0, x > 0, joten x a b) Tasakylkisen kolmion korkeus a puolittaa kannan. 5 Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x + a a 5 9 x + a a 5 16 x a x ± a ± a a > 0, x > 0, joten x a 5 68

66 88. Merkitään kateetteja a ja a. a + a 160 ( ) ( ) 4a + 9a 160 a a Monikulmioita 5600 a ± ± 44, Koska a > 0, niin a 44,76... cm. Tällöin kolmion kateettien pituudet ovat: a 44,76... cm 88,75... cm a 44,76... cm 1,18... cm Vastaus: Kateetit ovat 89 cm ja 1 cm. 89. Merkitään kolmion kateettien pituuksia a ja a. a) Hypotenuusan pituus on 4, dm. a + ( a) 4, 5a 18,49 :5 a, 698 a ±, 698 a ± 1,90... a > 0, joten a 1,90... dm 1,9dm a 1,90... dm, dm,8dm 69

67 Monikulmioita b) Hypotenuusan pituus x. Määritetään kerroin a. ( ) a + a x a x 5 :5 a 1 x 5 a ± a ± a > 0, joten 5) 1 x 5 1 x 5 a ) Tasakylkinen kolmio: korkeus h puolittaa kannan. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan a + h a+ 1 a > 0 ( ) ( 1) h a+ a h a + a+ 1 a h a+ 1 h± a+ 1 a > 0, h> 0, joten h a+ 1 70

68 Monikulmioita 91. Kolmio tasasivuinen: kantakulmat ovat 60, jolloin huippukulmakin on 60. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella h. 0,5 + h 0, 7 h 0, 7 0,5 h 0,675 h ± 0,675 h ± 0, Koska h > 0, h 0, Vastaus: 0,6 km 9. Merkitään kysyttyä korkeutta kirjaimella x. x ( x) + 9, 1,5 x + 9, 1,5 + 5x x 0 5x 67, 76 :5 x, 7904,8 (m) Vastaus:,8 m korkeudelta 71

69 Monikulmioita 9. Merkitään rampin pituutta kirjaimella x. 94. ( 650) ( 617) + x x x ± x ± 16, Koska x > 0, x 16, cm, m, m Vastaus: Rampin tulee olla, m pitkä. Merkitään kolmion kolmatta sivua kirjaimella x (km). x +, 0 x+, 0 ( ) x x x x 5 :4 5 x (km) 1, 5(km) 4 x +,0km 1,5 km +,0 km,5km Vastaus: Rajat ovat siis,0 km, 1,5 km ja,5 km 7

70 Monikulmioita 95. Tunnin kuluttua Pekka on 1,7 m m päässä. Tunnin kuluttua Jukka on 1,8m m päässä. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella x. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x x x ± x ± 8,91, x > 0, joten x 891, m 8,9 km 7

71 Monikulmioita 96. Lyhimmän reitin pitää kulkea suoraan talojen nurkkien kautta. Mahdollisia lyhimpiä reittejä ovat reitit A, B ja C ja niiden kanssa symmetriset yhtä pitkät reitit. Reittien pituudet saadaan Pythagoraan lauseen avulla. A: , 49 B: , 46 C: ,11 Lyhin reitti on reitti B ja sen kanssa symmetrinen reitti. Vastaus: Murtoviiva ( 0, 0) ( 4,1) ( 6, 4) ( 9, 6) ( 10,10) tai ( 0, 0) ( 1, 4) ( 4, 6) ( 6,9) ( 10,10). 74

72 Monikulmioita 97. ( x),75 1,07 + x +, 75 + x 1, 07 +,14x+ x,14x 6, 4176 :,14 x, x, 0 (m) Vastaus: Lampi on,0 m syvä. 75

73 Monikulmioita 98. AB 10 km CD 8km AC 60 km AD 60 km Δ ADC on tasakylkinen (säteet kylkinä), joten korkeusjana h puolittaa kannan. h h ± 9 h ± 56, Koska h > 0, h 56, (km) Olkoon x BE. Tällöin x h x + 10 eli ± 7165 ± 84, Koska x > 0, x 84, (km) BD x 19 65, (km) > 60 (km) Vastaus: Ei ole 76

74 Monikulmioita 99. (Pythagoraan lauseen algebrallinen todistus) ΔADC ~ Δ ABC A yhteinen ja90 (kk-lause) p a a a c pc ΔDBC ~ Δ ABC B yhteinen ja90 (kk-lause) q b b b c qc a + b pc qc ( ) + + a b c p q c c c 77

75 Monikulmioita 100. Merkitään peräkkäisiä lukuja n, n + 1, n + ( ) Pythagoras: a b c a n b n c n ( 1) ( ) n + n+ n+ n n n n n +, + 1, n n 0 ( ) ± ± 16 ± 4 n 1 n tai n 1, joten ei kelpaa. Kun n, niin n ja n Vastaus:, 4 ja 5. Trigonometriaa 101. a) b) x tan 9 1, 1, 1, tan 9 x x 9, (cm) 8,5 cos 75 x x x cos 75 8,5 :cos 75 8,5 x cos 75 x, (mm) Vastaus: a) 10 cm b) mm 78

76 Monikulmioita 10. a) 7, tanα,60..., 05 a 67, b) 4 sinα 0, α 9, Vastaus: a) 67 b) a) cos0 x x x cos 0 :cos 0 x taulukkokirjasta cos0 cos 0 ) 6 6 b) ( ) x tan 75 ( ) ( )( ) ( )( ) x tan 75 taulukkokirjasta tan 75 + x + a+ b a b a b 4 1 x 79

77 Monikulmioita 104. Tarkastellaan ensin suurempaa suorakulmaista kolmiota. x tan x 18 tan 55 Ratkaistaan kulma α pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta. x sinα 7 18 tan 55 sinα 7 sinα 0,95... α 7, Vastaus: a) Tasakylkisen kolmion korkeus puolittaa huippukulman ja kannan. 11,75 sinα α 6,5 x 11,75 sin 6,5 x 0 x x sin 6,5 11,75 :sin 6,5 11,75 x sin 6,5 6,77... (cm) 6,8 (cm) 80

78 Monikulmioita b) Kuvio on tasakylkinen puolisuunnikas. α Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan y sinα 15,0 15,0 y 15,0 sinα α 44 y 15,0 sin 44 10, (m) Sivun x pituudeksi saadaan x + y 9,4 x 9,4 y x 9, 4 10, , (m) 18,6 (m) Vastaus: a) 6,8 cm b) 18,6 m 106. Merkitään kysytyn kateetin pituutta y ja hypotenuusaa x. 1, 1, sin 5 tan 5 x y 1, x,89...,8 1, y,57...,6 sin 5 tan 5 Vastaus: Kateetin pituus on,6 dm, hypotenuusan pituus,8 dm 81

79 Monikulmioita 107. Merkitään kolmion kyljen pituutta kirjaimella x. Merkitään kantakulmaa kirjaimella α. Huippukulman puolikas on 17. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Kannan puolikkaan pituus on 9 mm α ( 90 17) 7 9 cos 7, josta x 9 x 0, (mm) cos 7 Kolmion kylkien pituus on siis 1 mm. Jos puun korkeus on x, niin x tan 18m x 18m tan 7, m 7,6m 8

80 Monikulmioita 109. Olkoon huipulle kuljettavan matkan pituus x. Tällöin 160m sin 6,1 x 160 m x 1505,68... sin 6,1 aika matka nopeus 1, km km h 0, h 4min 110. Kallistuskulma α Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 11m cosα 1 m α,

81 Monikulmioita 111. Kolmio on tasakylkinen. Sen suurin kulma on huippukulma β (pisimmän sivun vastainen kulma). Kantakulma α on pienin kulma. Kolmion korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan. Korkeus saadaan Pythagoraan lauseella: h sinα 6 β 5 5 cos 6 Vastaus: sini on 5, kosini on Merkitään tasakylkisen kolmion kannan pituutta kirjaimella x. Kolmion korkeus on tällöin x. Korkeus puolittaa kannan ja huippukulman. Merkitään kantakulmaa α ja huippukulman puolikasta β. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x tanα 6 1 x α 80, ,5 β 90 α 90 80, , Huippukulma on β 9, , Vastaus: Kulmat ovat 19, 80,5 ja 80,5 84

82 Monikulmioita 11. Merkitään pidempää kateettia kirjaimella x, joten hypotenuusan pituus on 1,5x. x 1 sin β β 60 1,15x 1,15 x 1 cosα α 0 1,15x 1,15 Koska kolmio on suorakulmainen, niin kolmas kulma on 90. Vastaus: 60, 0, Merkitään korkeuskateettia kirjaimella x, jolloin kantakateetin pituus on x + 16 (cm). ΔACE ΔFDE kk-lauseen nojalla, sillä F A 90 ja E on kolmioille yhteinen. x 6 6 x x + 16 x + 16x 6x 96 6x x + 4x 96 0 ( ) 4± x 1 4± 0 x x 8 tai x 1 (ei käy, koska x> 0) 85

83 Lasketaan kulmat α ja β. x 8 1 tanα x α 18, β α β , β 71, β 7 Monikulmioita Kolmas kulma on 90, koska kolmio on suorakulmainen. Vastaus: Kulmat ovat 18, 7 ja Jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat ja, niin niiden välinen kulma 90 α. Jos kateetin pituus on ja hypotenuusa on sekä välinen kulma α, niin cosα α 48, α 48, Hypotenuusan pituus ei voi olla, koska hypotenuusan pitää olla kolmion pisin sivu. Vastaus: 90 tai 48, 86

84 Monikulmioita 116. Merkitään etäisyyttä x (m) ja majakan korkeutta h (m). Lasketaan korkeus h kahdella tavalla: 117. h h tan tan x x + 50 h tan x h tan ( x+ 50) Siis ( x ) tan x tan + 50 tan x tan x+ tan 50 tan x tan x tan 50 ( tan tan ) x tan 50 tan 50 x 499, (m) tan tan h tan x 6 (m) Vastaus: Etäisyys 500 m, majakan korkeus 6 m Merkitään pisteiden A ja B etäisyyttä tornista kirjaimilla y ja x. 100 tan y 0 y y tan 100 :tan 100 y 1908,11... (m) tan 87

85 Monikulmioita 100 tan 4 x x 0 x tan :tan x 140, (m) tan 4 Jos pisteet A ja B ovat samalla puolella tornia, niin pisteiden välinen etäisyys AB y x 1908, , , (m) 478 (m) Jos pisteet A ja B ovat tornin eri puolilla, niin pisteiden välinen etäisyys AB x + y 140, , , (m) 8 (m) Vastaus: A:n ja B:n välimatka 478 m tai 8 m 118. Kuviossa on EC masto ja A ja B talossa olevat paikat, joista maston huippua C katsotaan. Käytetään kuvion merkintöjä. Kolmion ABC kulmat: A B 90 +,5 11,5 C ,5,5 88

86 Monikulmioita Sinilause: a 1 sin 65 sin,5 1 a sin 65 49,1... (m) 49, (m) sin,5 Suorakulmaisesta kolmiosta BDC saadaan: b sin,5 a b a sin,5 95, (m) 95, 4 (m) ED 1m 4 m 1 m 5m, joten maston korkeus EC b 5m 95,415...m 5m 90,414...m 90,4m Vastaus: 90,4 m 119. Merkitään majakan etäisyyttä tiestä kirjaimella h. h h tan 65 x tan 54 5 x x ja 5 x h x tan 65 h 5 x tan54 ( ) ( ) 89

87 Monikulmioita ( x) x tan 65 5 tan 54 xtan 65 5tan 54 xtan 54 xtan 65 + xtan 54 5tan 54 x ( tan 65 + tan54 ) 5tan 54 :( tan 65 + tan 54 ) 5tan54 x tan 65 + tan 54 x 1, (km) h xtan 65 1, tan 65 4, , (km) 5 x 5 1,954..., > 1, Vastaus: Majakan etäisyys tiestä 4, km. Alkupäästä,0 km päässä oleva piste on lähinnä majakkaa. 10. Kuvan korkeus h (vuoren korkeus) voidaan laskea kahdella tavalla kolmioista CAH ja CBH. h atan17,4 btan14,5 atan17,4 btan14,5 : btan17,4 0 a tan14,5 b tan17, 4 a tan14,5 Kolmiosta CAB saadaan sinα 0,85... b tan17, 4 90

88 Kolmiosta CAB saadaan a tanα tanα a Toisaalta vuoren korkeus h atan17,4 000 tanα tan17,4 000 tan 55, tan17, 4 17, (m) Monikulmioita Vuoren korkeus merenpinnasta on h + 00 m 17,754...m + 00 m 157, m 1570m 11. Δ ABC a cos 60 c c c cos 60 a :cos 60 a a c a cos 60 1 Δ ABC b tan 60 a a b atan 60 b a Δ ABD x tan 0 a x atan 0 a 91

89 Δ ABD a cos0 d d d cos 0 a :cos 0 a a a d cos0 Δ ABC piiri on ) a x d a Monikulmioita ( + ) a a Δ DBC piiri on a ) a ) d + b x+ c + a + a a+ a a+ a ( 4+ ) a Piirien suhde on ( + ) a ( + ) a + 0, ,64 4+ a 4+ a 4+ ( ) Vastaus: + 0,64 4+ ( ) a 9

90 Monikulmioita 1. Piirretään mallikuva. a b a) sin x ja cos x c c a sin x a c tan x cos x b b c b) Pythagoras: ( ) ( ) a + b c sij. a sin x c ja b cos x c c sin x + c cos x c : c sin + cos 1 x. Monikulmioiden pinta-aloja 1. a) Lasketaan ensin kolmion kannan pituus. 15 tan 6 x x x tan 6 15 :tan 6 15 x 7, tan 6 ja 15 tan 75 y 15 y 4, tan 75 Koko kanta siis on x + y 7, m + 4, m 11, m Pinta-alaksi saadaan 11, m 15m A 89, m 90 m 9

91 Monikulmioita b) Lasketaan ensin kolmion korkeus h. Kulma α Korkeus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. h sinα 16 h sin h 16 sin 70 Kolmion ala on siis: 1cm 16cm sin 70 A 97, cm 98cm Vastaus: a) 90cm b) 98cm 14. a) Lasketaan ensin suunnikkaan korkeus. h sin 4 10,5 10,5 10,5 sin 4 h Ala on A 8,0cm 10,5cm sin 4 196, 74...cm 197 cm b) Lasketaan ensin suunnikkaan korkeus. h sin 55 15,0 15,0 15,0 sin 55 h Ala on A 8,0cm 15cm sin15 98, 98...cm 98cm Vastaus: a) 197cm b) 98cm 94

92 15. a) Lasketaan ensin korkeus. h sin sin 55 h Monikulmioita Ala on 8cm sin 55 4 cm + 17 cm A 676,619...cm 680cm b) Lasketaan ensin korkeus. h tan 55 4,0 4,0 4,0 tan 55 h ( ) Ala on 4,0cm tan 55 8,0cm + 1,0cm A 4,0cm tan 55 0cm 57,159...cm 57cm Vastaus: a) 680cm b) ( ) 57 cm 95

93 Monikulmioita 16. Merkitään puuttuvan kateetin pituutta kirjaimella x. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x x 7 19 x 68 x ± 68 ± 16 ± 4 x > 0, joten x 4 Pinta-ala 1 1 A x Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan korkeusjanan h pituus. h tan 45,5 h,5 tan 45 Ala on siis: 5, 0 cm,5cm tan 45 A A 6, 5cm 6,cm Vastaus: 6,cm A 89cm 61cm sin 55,58... cm dm 96

94 Monikulmioita 19. Kolmion pinta-alan kaavalla saadaan 1 6m 1m sin α m α välinen kulma 9 m sinα m :9 m m sinα 9 m 9 α 55, Koska saadun kulman suplementtikulmalla on sama sinin arvo, voi kysytty kulma olla myös 180 α , , Vastaus: 55 tai Kolmion pinta-alan kaavalla saadaan sin α 100, α välinen kulma 15sinα 100, :15 100, sinα 15 sinα 0, α 47, Koska saadun kulman suplementtikulmalla on sama sinin arvo, voi kysytty kulma olla myös 180 α , , Vastaus: 48 tai 1 97

95 11. Tapa 1 Monikulmioita Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa ja ne puolittavat kulmat. Jaetaan neljäkäs kahteen yhtä suureen tasakylkiseen kolmioon. Muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka tunnettu kulma on 65,5. Saadaan yhtälöt x sin,5 sin,5 x h cos,5 cos,5 h Tasakylkisen kolmion korkeus h cos,5 ja kannan pituus on x sin,5 46 sin,5. Kolmion ala on siis 46 dm sin,5 dm cos,5 A 9, dm Koska neljäkäs (leija) sisältää kaksi samanlaista kolmiota, on neljäkkään ala A 9, dm 479, dm 480 dm Tapa Neljäkkään ala A a sinα sin , (dm ) Vastaus: Leijan ala on 480dm 98

96 Monikulmioita 1. Merkitään toista sivun pituutta kirjaimella x, jolloin 5 yksikköä lyhyempi sivu on 5 x. Kolmion pinta-ala on 6, joten 1 1 x ( x 5) sin 45 6 taulukkokirjasta sin ( x 5x) 6 x x 5x 4 5x 4 0 ( ) ( ) 5± x 1 5 ± 11 x 5± 11 x x tai x 8 x> 0, joten x 8 Tällöin toinen sivu on x Vastaus: Kysytyt sivut ovat 8 ja. 99

97 Monikulmioita 1. Merkitään puolisuunnikkaan sivua kirjaimella x. Toinen sivu on tällöin x + (m). Ala on ( x+ + x) 4m, joten saadaan yhtälö ( x ) 1x x 6 :1 x Sivujen pituudet ovat siis x mja x + m m+ m 5m Vastaus: Sivut ovat m ja 5 m. 14. Merkitään suorakulmion korkeutta x, joten kanta on 1,40x. Suurimman mahdollisen neliön sivun pituus on sama kuin suorakulmion korkeus. Aneliö x Asuorakulmio 1, 40x x 1, 4x Aneliö x 1 0, % A 1, 4x 1, 4 suorakulmio 100

98 Monikulmioita 15. Merkitään kysyttyä sivua kirjaimella x. Pinta-alan avulla saadaan yhtälö A 40 8 x sin taulukkokirjasta sin 45 8x x 40 :8 x Merkitään kannan pituutta a, jolloin korkeus on a. a a Akolmio a a 7 a 7 9 5, Olkoon tasakylkisen kolmion kyljen pituus x. x x x ( 6 ) x± 114 x> 0 4 x , Vastaus: kanta a 5, 0cm ja kyljet x 10,7cm 1 101

99 Monikulmioita A 5 sin 60 sin 60 (taulukkokirjasta) Merkitään kolmion lyhimpiä sivuja kirjaimilla x ja x. Näiden sivujen välinen kulma on 0. Koska kolmion ala on 11,5dm, niin saadaan 1 x x sin0 11,5 1 x 11,5 x 5 x ± 15 x > 0, joten x 15 (dm). Tällöin x 15dm 0dm Vastaus: Sivut ovat 15dm ja 0dm. 19. A puolisuunnikas 0,0cm korkeus h, 0 cm Merkitään yhdensuuntaisien sivujen pituuksia x ja x. yhdensuuntaiset sivut ( a+ b) h 0,0 ( x+ x),0 0,0 9,0x 40,0 :9,0 x 4, (cm) 4, 4(cm) Tällöin x 4, cm 8, cm 8,9cm Vastaus: Sivujen pituudet 4,4 cm ja 8,9 cm 10

100 Monikulmioita 140. Piirretään mallikuva. Δ BCD on tasakylkinen, koska kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmiosta Δ ACE saadaan Pythagoraan lauseella ( a+ h) + h ( 4a) a + h + ah+ h 16a h + ah 15a 0 ( ) ( ) a± a 4 15a a± 14a h 4 a± 1a a ( 1± 1) 4 4 Koska h > 0, niin ( ) a( ) a h. 4 ( ) ( ) ( ) a+ b h a+ a+ h h a+ h h ah + h A ( + ) a 4) ( 1 1) a ( 1 1) 1 h + ah + 8 a ( ) + 4a ( 1 1) 8 a 1 a a 4a 8a + 1 a a 1 ( 14 1) ( 4,9a ) a

101 141. Tontin ala a Talon ala a a a Pihan ala a a a a 400 : 6 6 a 480 Vastaus: 480 m Monikulmioita 14. Tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60. Merkitään tasasivuisen kolmion sivun pituutta kirjaimella x ja neliön sivun pituutta kirjaimella a. Kolmion piiri on x ja neliön piiri 4a. Piirit ovat samat, joten x 4 a : x 4 a Kolmion sivun pituus on siis 4 Kolmion ala A kolmio neliön sivun pituudesta. 1 x x sin 60 taulukkokirjasta sin 60 1 x x 4 104

102 Monikulmioita Neliön ala Alojen suhde Aneliö a neliö 4 a 16 x a A kolmio A a a a Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Merkitään lyhyemmän lävistäjän puolikasta x ja pidemmän lävistäjän puolikasta x. Lävistäjien pituuksien suhde on 4 x x 1. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pythagoraan lauseella saadaan x + x 5 ( ) 5 5 :5 x x 5 x ± 5 x > 0, joten x 5 Pidempi lävistäjä jakaa neljäkkään kahteen yhtenevään kolmioon, joten neljäkkään ala on 1 A 4x x 4x (cm ) Vastaus: 0cm 105

103 Monikulmioita 144. Merkitään neljäkkään lävistäjien pituuksia d 1 ja d. Neljäkäs on suunnikas, jonka lävistäjät puolittavat toisensa. Muodostuu neljä d 1 d samanlaista (yhtenevää) kolmiota: kanta, korkeus. Neljäkkään pinta-ala saadaan kolmion alojen summana. Kolmiot ovat suorakulmaisia, koska lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 1 d1 d 1 A 4 dd 1 Siis ala on puolet lävistäjien d 1 ja d tulosta Oletus: sin β sin ( 180 β ) Väite: 1 A acsin β Todistus: Jos β on terävä, kaavan tiedetään olevan voimassa. Oletetaan siis, että β on tylppä. Kolmion korkeus saadaan yhtälöstä h sin ( 180 β ) korkeus hkannan ajatkeelle c h csin 180 β ( ) 106

104 Monikulmioita 1 A kanta korkeus 1 a h 1 a csin sin sin 180 acsin β 146. Oletus: sinϕ sin ( 180 ϕ ) ϕ lävistäjien välinen kulma ( β ) β ( β) 1 Väite: A d1dsinϕ Todistus: Nelikulmio jakautuu neljäksi kolmioksi lävistäjien mukaan. Lävistäjien leikkauskohtaan muodostuu neljä kulmaa, joiden suuruudet ovat ϕ, ϕ, 180 ϕ ja 180 ϕ (ristikulmat ovat yhtäsuuret ja vieruskulmat suplementtikulmia). Leikkauspiste jakaa lävistäjät kahteen osaan. Merkitään osien pituuksia kuvan mukaisesti ja lasketaan muodostuneiden kolmioiden pinta-alat. 1 1 A1 ( d1 x)( d y) sin ( 180 ϕ ) ( d1 x)( d y) sinϕ 107

105 Monikulmioita 1 A x( d y) sinϕ 1 1 A x y sin ( 180 ϕ ) x y sinϕ 1 A4 y ( d1 x) sinϕ A A + A + A + A nelikulmio sin ϕ sin ϕ ( d x)( d y) x( d y) xy y( d x) ( d d d y d x xy d x xy d y xy) 1 sin ϕ dd 1.4 Sinilause 147. a) x 16, sin105 sin 47 x sin 47 16, sin105 :sin 47 16, sin105 x sin 47 x 1,5... (cm) x 1,5cm 108

106 Monikulmioita b) x, 4 sin 87 sin 5 x sin 5,4 sin87 :sin 5, 4 sin 87 x sin 5 x 4, (m) x 4, m Vastaus: a) 1,5 cm b) 4, m 148. a) Lasketaan kulma α sinα sin 6 4 sinα 96 sin 6 :4 96 sin 6 sinα 4 sinα 0, α 78, TAI α , , Kuvan mukaan α on tylppä kulma, joten α 101, Kolmion kulmille pätee α + β β α , ,

107 b) 7 19 sinα sin 0 19sinα 7sin 0 :19 7sin 0 sinα 19 sinα 0, α 76,86... Monikulmioita TAI α , ,17... Kuvan mukaan α on tylppä, joten α 10, Kolmion kulmille pätee α + β β α , , Vastaus: a) α 10, β 5 b) α 10, β Puuttuvan kulman suuruus on Nyt voidaan käyttää sinilausetta x+,11 x sin 9 sin 47 xsin 9 ( x+,11) sin 47 xsin 9 x sin 47 +,11 sin 47 x sin 9 sin 47,11 sin 47 : sin 9 sin 47,11 sin 47 x 5, (m) 5,76 (m) sin 9 sin 47 ( ) ( ) 110

108 Monikulmioita Tällöin x +,11m 5, m +,11m 7,867...m 7,87 m Merkitään kolmion puuttuvan sivun pituutta a. Sinilauseella saadaan a x sin 41 sin 47 asin 47 xsin 41 x 5, a sin 47 5, sin 41 :sin 47 5, sin 41 a 5, (m) 5,16 (m) sin 47 Vastaus: 5,76 m ; 7,87 m ja 5,16 m 150. Merkitään kantaa kirjaimella x (dm). Lävistäjä jakaa suunnikkaan kahdeksi samanlaiseksi kolmioksi. Määritetään kolmion kulmat α ja β sekä näiden avulla kanta x. 16, 18,5 sinα sin 65 18,5 sinα 16, sin 65 :18,5 16, sin 65 sinα 18,5 sinα 0,79... α 5, TAI α 180 5, ,

109 Monikulmioita Koska kulma α on kolmion kulma ja kolmion tunnettu kulma on 65, niin 17 ei käy (kulmien summa 180 ). Siis 5 α. Kun α 5,5..., niin β ,5... 6, Lasketaan kannan pituus x (dm). x 18,5 sin β sin 65 x 18,5 sin 6,47... sin 65 x sin 65 18,5 sin 6,47... :sin 65 18,5 sin 6,47... x sin 65 x 18, (dm) x 18,1 dm Vastaus: 18,1 dm 151. Kolmion alan laskemiseksi tarvitaan toisen sivun pituus. x 86 sin 47 sin 60 x sin sin 47 :sin sin 47 x sin 60 x 8,66... (m) Kolmion ala 1 86 m 7,66... m sin 7 986, m A Tontin hinta m 150 m 44797,

110 Monikulmioita 15. Lasketaan kolmion puuttuvat kulmat sinilauseella. 10, 8,70 sinα sin 46 8,70 sinα 10, sin 46 :8,70 10, sin 46 sinα 8, 70 sinα 0,84... α 57, TAI α , α 1,50... α 1 Jos α 57, niin β , ,50... Jos α 1, niin β , , Lasketaan sivun pituus x. x 8,70 sin β sin 46 x sin 46 8,70 sin β 8,70 sin β x sin 46 Kun α 57 ja β 77 8, 70 sin 76,50... x 11, ,8 (cm) sin 46 Kun α 1 ja β 11 8,70 sin11, x, , 41 (cm) sin 46 Vastaus: 57, 77 ja 11,8 cm tai 1, 11 ja,41 cm 11

111 Monikulmioita 15. Merkitään CBA β. Sinilauseella saadaan 5 sin β sin 5 sin β 5sin 5 : 5sin5 sin β 0, β 44, β 45 Myös kulman β suplementtikulmalla on sama sinin arvo, joten kulma voi olla myös 180 β , , Lasketaan puuttuvan kulman C suuruus. C β , , tai C β , , Puuttuvan sivun pituus x saadaan sinilauseella. x C 110,1... sin110,1... sin 5 xsin 5 sin110, 1... sin110,1... x sin 5 x 6, x 6,7 114

112 Monikulmioita tai x C 19, sin19, sin 5 xsin 5 sin19, sin19, x,40...,4 sin 5 Vastaus: Puuttuvat kulmat ovat 45 ja 110 tai 15 ja 0. Edellisessä tapauksessa puuttuvan sivun pituus on 6,7 ja jälkimmäisessä, Tasakylkinen puolisuunnikas: kantakulmat yhtäsuuret, joten A B ja D C sekä AD CB x. Kolmiossa DBC B Näin ollen kolmiossa ABD B Kolmiosta ABD saadaan sinilauseella 18 x sin 9 sin xsin 9 18sin :sin 9 18sin x sin 9 x 50,08... (cm) 50,1(cm) Vastaus: x 50,1cm 115

113 Monikulmioita 155. Kysytään joen leveyttä h. α , jolloin β Merkitään AC x. Kolmiosta ABC saadaan sinilauseella sivun pituus x. x 5 α 105, β 40 sinα sin β x 5 sin105 sin 40 xsin 40 5sin105 :sin 40 5sin105 x 5, (m) sin 40 Suorakulmaisesta kolmiosta ADC saadaan h sin 5 x 5, x h sin 5 5, , h 5, sin 5 0, (m) 0(m) Vastaus: Joen leveys 0 m 116

114 Monikulmioita 156. Muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka kantakulmat α ovat yhtä suuret. α α 60 : α 0 Lasketaan etäisyys x (m). x 560 sin 0 sin10 xsin10 560sin 0 :sin10 560sin 0 x sin10 x,16... (m) x (m) Vastaus: Tornien etäisyys tarkastelupisteestä on m. 117

115 Monikulmioita 157. Merkitään tornin korkeutta kirjaimella h (km). α 180,5 176,5 β 180,5 176,5 1 Lasketaan etäisyys y (km). 0,5 y sin1 sin176,5 y sin1 0,5sin176,5 :sin1 0,5sin176,5 y sin1 y 1, (km) Lasketaan tornin korkeus h (km). h sin,5 y h sin,5 y h sin,5 1, (km) h 0, (km) h 76 (m) 118

116 Monikulmioita Lasketaan katseluetäisyys x (km). h tan,5 x xtan,5 h :tan,5 h x tan,5 0, x tan,5 x 1, (km) x 1, (km) Katseluetäisyys 0,5 km kauempana on 1,47... km + 0,5 km 1, km 1,7 km Vastaus: Tornin korkeus 76 m. Katseluetäisyydet 1, km ja 1,7 km D 85 Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella x (m). C

117 Monikulmioita Kolmiosta ACD saadaan sinilauseella x 480 sin85 sin 51 xsin sin sin 85 xsin sin85 180sin 51 :sin sin85 180sin 51 x sin 51 x 45, (m) 159. x 10 sin 0 sin100 x sin sin sin 0 5 x (mm) sin100 sin100 sin100 Kolmion kulmien summa: α Kolmion ala: 1 A x 10 sin sin 50 sin100 5sin 50 19, ,4 mm sin100 Vastaus: 19, 4 mm ( ) 10

118 Monikulmioita 160. Kolmion pinta-alan laskemiseksi on selvitettävä kulma β. Annetuilla tiedoilla pystytään ensin selvittämään kulma α sinα sin 5 40sinα 50sin 5 :40 50sin 5 sinα 0, α 4, Saadun kulman suplementtikulmalla on sama sinin arvo eli kulma voi olla myös 180 4, , α. Kulma β voi siis olla β α , , tai β α , , ,9 Kolmion ala 1 1 A sin β sin 8, ,19... m 171,19... m 1, ha 1,7 ha tai sin101, ,5... m A , 5... m 10, ha 11ha Vastaus: 1,7 ha tai 11 ha ( ) ( ) 11

119 Monikulmioita 161. Tapa 1 54,9 Nelikulmion ala muodostuu kahdesta kolmiosta. A nelikulmio 1 9,0cm A + A 9, ,9 8, sinα + 8, 9,7 sinα 9,0 1 8, sin α (1,9 + 9,7) 9,0 9,79sinα 9,0 :9,79 9,0 sinα 0, ,79 α 18, Kuvan kulma on terävä, joten saadun kulman α suplementtikulma ei käy, vaikka sillä onkin sama sinin arvo. Sivu x saadaan sinilauseella x 8, sinα sin 54,9 x sin 54,9 8, sin18, : sin 54,9 8, sin18, x,16...,1 sin 54,9 Vastaus:,1 cm 1

120 Monikulmioita Tapa β 54,9 Ratkaistaan alemmasta kolmiosta kulma β sinilauseella. 9,7 8, sin β sin 54,9 8, sin β 9,7 sin 54,9 9,7 sin 54,9 sin β 8, β 7,96... :8, 0, tai β 180 7, ,0... Koska kulma β on tylppä β 107,0.... Kolmion kulmien summa on 180, joten α ,9 107, , Sivu x saadaan sinilauseella x 8, sinα sin 54,9 x sin 54,9 8, sin18, , sin18, x sin 54,9 : sin 54,9,146...,1 Vastaus:,1 cm 1

121 16. Sinilauseen perusteella saadaan Monikulmioita 5 8. sinα sin α Taulukkokirjan mukaan sin α sinαcosα. Siis 5 8 sinα sinαcosα 8sinα 10sinαcos α :10sinα cosα 10 5 α 6,9 Mallikuvan mukaan saadaan a cosα a 8cosα Pythagoraan lauseen perusteella 576 h 8 a 8 ja 5 5 b 5 h 576 b b b Kolmas sivu AB a + b Vastaus: Kolmannen sivun pituus 7, kulma α 6,9 5 14

122 Monikulmioita 16. α x 4,00 sin 65 sin 45 x sin 45 4,00 sin 65 :sin 45 4,00 sin 65 x 5,16... sin 45 h tan15 5,16... h 5,16... tan15 1,7... (km) Vastaus: 1,7 km 170m 15

123 Monikulmioita a b c 164. Väite: (sinilause) sinα sin β sinγ Todistus: Merkitään kolmion sivujen pituuksia a, b ja c sekä kulmien suuruuksia α, β ja γ kuvan mukaisesti. Muodostetaan kolmion pinta-ala kolmella eri tavalla A cbsinα casin β basinγ cbsinα casin β ba sinγ cbsinα ca sin β ba sinγ cbsinα ca sin β : c 0, c > 0 pituus bsinα asin β a b sinα sin β tai cbsinα ba sin γ : b 0, b > 0 pituus a b c csinα asinγ sinα sin β sinγ a c sinα sinγ tai casin β ba sin γ : a 0, a > 0 pituus csin β bsin γ b c sin β sinγ 16

124 Monikulmioita 165. a) Voidaan muodostaa kaksi kolmiota: Δ ABC ja Δ ABD b) Lasketaan 9,5 cm pituisen sivun vastainen kulma. 9,5 7,5 sinα sin 50 7,5sinα 9,5sin50 :7,5 9,5sin 50 sinα 0, ,5 α 76, tai α , , (myös suplementtikulmalla on sama sinin arvo) Vastaus: a) kpl b) 76,

125 Monikulmioita.5 Kosinilause 166. a) x x 1, +, 1,, cos65 4, x ± 4, ±, (m) Pituus x > 0, joten x, m,1 m b) x x cos ,80... x ± 177,80... ± 4, (cm) Pituus x > 0, joten x 4, cm 4 cm 167. a) b) 6,6 7, + 4, 4, 7, cos 4,56 70, 61,9 cosα ( ) 6, 77 61,9 cos α : 61,9 6,77 cosα 61,9 α 64, ,8 18 7,8 cos ,84 80,8cosα α ( ) 40,84 80,8cos α : 80,8 40,84 cosα 80,8 α 0, α Vastaus: a) 64 b) 1 18

126 Monikulmioita 168. a) b) cos cos x ( ) 18 0 cos x : 0 18 cos x 0 cos x 0, x 114, Koska 0 < x < 180, niin x 114, ,0, x, x cos x 1 x + x x 16 4,84 4,4 16 4,84, x x, x 11,16 0 ( ) ( ), ±, ,16 x 1, ± 49, 48 x 1, ± 7,04... x x 4, TAI x, Koska x > 0, niin x 4, m 4,6 m Vastaus: a) 115 b) 4,6 m 19

127 Monikulmioita 169. Merkitään puuttuvan sivun pituutta x. Puuttuvat kulmat olkoot α ja β x cos15 x 0695,19... x ± ± 175,00... (cm) Koska x > 0, niin x 175,00... cm 175cm Selvitetään kulma α , , cos , ,7... cosα ( ) 41975, ,7... cos α : 4449, ,19... cosα 4449,7... α 14, Kolmion kulmien summa on 180, joten α + β β α β , β 0, Vastaus: Kulmat ovat 15 ja 0 ja kolmas sivu 175 cm. α 10

128 Monikulmioita 170. Merkitään puuttuvan sivun pituutta x. a) 7,0 4, x 4, x cos x x 49 17,64 8,4 cos87 b) x 8,4 cos87 x 1,67 0 ( ) ( ) 8, 4 cos87 ± 8, 4 cos ,6 x 1 0, ± 0, ,44 0, ± 15,6... x 5, (dm) tai x 5, x > 0, joten x 5, dm 5,8 dm x 11 x cos x x cos 75 x + cos 75 x 75 0 ( ) ( ) cos 75 ± cos x 1 5, ±, , ± 18, x 11,96... (m) tai x 6, x > 0, joten x 11,96... m 1 m Vastaus: a) 5,8 dm b) 1 m 11

129 Monikulmioita 171. Lasketaan kysytty etäisyys x (m). x cos 4 x cos 4 x 8879,0... x ± 8879,0... x ± 94,8... Koska x > 0, niin x 94,8... m 94, m Vastaus: 94, m 17. 1,1 1, + 1, 1, 1, cos 1,1,1,1cosα,1 cosα 1,9 :,1 1, 9 cosα 0,615...,1 α 5,0... α 1 A 1, km 1,km sin 5,0... 0, km 0,61km 1

130 Monikulmioita 17. 5, dm 5 cm Merkitään kysyttyjä kulmia α, β ja γ cos cosα cosα 7546 : cosα 0, α 6, α cos β 5 85 cos β cos β 6904 : cos β 0, β 8, γ 180 α β 180 6, , , Vastaus: 6, 9 ja 105 1

131 Monikulmioita 174. Piirretään mallikuva. b cos 5 75, b 15, (cm) a cos , a 96, (cm) Vastaus: 15 cm ja 96 cm 175. Piirretään mallikuva. Merkitään kysyttyä etäisyyttä x (km). x 4, +,7 4,,7 cos 65 x 5,78, cos 65 x 5,78 9,81... x 15,96... x ±,99... Koska x > 0, niin x, , 0 (km) Vastaus: 4,0 km 14

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA

GEOMETRIAN PERUSTEITA GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot