Karttojen värittäminen
|
|
- Mari Uotila
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka
2 Tiivistelmä Tutkimuksessa selvitimme kartan ominaisuuksien vaikutuksia kartan alueiden väritysten määrään, kun käytössä on neljä väriä ja vierekkäiset alueet väritetään eri väreillä. Valitsimme värien lukumääräksi neljän, koska neliväriongelman mukaan jokainen tasokartta on väritettävissä neljällä värillä. Tavoitteenamme oli määrittää laskukaava väritysten määrän ja kartan ominaisuuksien välille. Laskukaava on hyödyllinen esimerkiksi laskennan vaativuutta analysoidessa: kaava antaa arvion tietyllä värimäärällä väritettävissä olevien erilaisten väritysten eli kombinaatioiden lukumäärästä, jolloin saadaan selville suotuisten tapausten osuus kaikista kombinaatioista. Arvion avulla algoritmeja voitaisiin optimoida juuri kyseiseen tilanteeseen. Käsittelimme ongelmaa muuttamalla kartat tasograafeiksi. Valitsimme tutkittaviksi ominaisuuksiksi karttaa kuvaavasta graafista solmujen eli alueiden määrän, kaarien eli naapuruussuhteiden määrän, klikkiluvun ja klikkiluvun kokoisten klikkien lukumäärän. Klikillä tarkoitetaan sellaista alueiden joukkoa, jossa kaikki alueet ovat toistensa naapureita ja klikkiluvulla tarkoitetaan suurinta alueiden joukkoa, jossa kaikki ovat toisensa naapureita. Valitsimme solmujen ja kaarten määrän, sillä ne ovat graafin ominaisuuksista tärkeimmät. Klikkiluku on alaraja tarvittavien värien määrälle. Valitsimme klikkiluvun kokoisten klikkien määrän, koska kyseisillä klikeillä värityskombinaatioita on erittäin vähän, ja ne rajoittavat kaikkien kombinaatioiden määrää. Loimme graafeille kaikki mahdolliset värityskombinaatiot etsivän algoritmin, kun yhden solmun väri on etukäteen määritelty. Testiaineistona käytimme neliväriongelman todistamiseen käytettyjä graafeja [1], joita oli yhteensä 633. Klikkiluvun vaikutusta tutkittaessa generoimme omia karttoja. Tutkimustulokseksi saimme riippuvuudet kaikkien ominaisuuksien ja värityskombinaatioiden määrän välille: y = , 0 1, x z 17,705562, jossa y on värityskombinaatioiden määrä, x on solmujen määrä ja z on kaarten ja solmujen määrän suhde. Tämän mallin selitysasteeksi saatiin 99,98%, mikä on tarpeeksi suuri laskennan vaativuuden analysoimista varten. Mallin mukaan värityskombinaatioiden määrä kasvaa eksponentiaalisesti solmujen määrän kasvaessa ja se on kääntäen verrannollinen kaarten ja solmujen osamäärän 17,7 potenssin kanssa. Klikkiluvun kasvaessa kombinaatioiden määrä väheni, ja klikkiluvun suuruisten klikkien määrän kasvaessa kombinaatioiden määrä väheni eksponentiaalisesti.
3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Johdatus graafiteoriaan Kartan värittämiseen tarvittavien värien määrä Kaksiväriongelma Viisiväriongelman todistus Kolmiulotteisten kappaleiden värittäminen Karttojen värittäminen Väritysten määrä Värityksiä etsivä ohjelma Ohjelman toteutus Ajaminen Tulokset Todistuskartat Analysointi Mallin laadinta tuloksista Solmujen määrän vaikutus Kaarten vaikutuksen huomioiminen Klikkiluvun vaikutus Johtopäätökset 15 7 Kirjallisuutta 15 8 Liitteet Liite 1: Kaarten vaikutuksen huomioiminen mallissa
4 1. Johdanto Neliväriongelma on yksi matematiikan erikoisimmista ongelmista siksi, että se on todistettu tarkistetusti vain käymällä erikoistapauksia läpi tietokoneella. Neliväriongelma esitettiin ensimmäisen kerran 1800-luvun puolivälissä, kun englantilainen opiskelija Francis Guthrie havaitsi, että Englannin kreivikuntien kartta oli väritettävissä neljällä värillä siten, että vierekkäiset maakunnat oli väritetty eri väreillä. Francisin veli Frederick kysyi perusteluja tälle karttojen väritysominaisuudelle opettajaltaan Augustus De Morganilta, joka ei pystynyt antamaan perusteluja. Tämän johdosta ongelma julkaistiin vuonna 1854 The Atheaneum-lehdessä [2]. Neliväriongelma osoittautui kuitenkin haastavaksi: se pysyi ratkaisemattomana ongelmana yli sata vuotta. Sen sijaan karttojen värittäminen enintään viidellä värillä onnistuttiin todistamaan jo vuonna Heawoodin lauseena tunnettu viiden värin ongelma on kuitenkin huomattavasti helpommin todistettavissa kuin neliväriongelma [3]. Neliväriongelman onnistuivat lopulta todistamaan Kenneth Appel ja Wolfgang Haken vuonna Todistus poikkesi normaaleista matemaattisista todistuksista, sillä se perustui yksittäistapausten läpikäymiseen tietokoneella. Todistus herätti matemaatikkojen keskuudessa epäilyä, eivätkä monet matemaatikot hyväksyneet todistusta, sillä se käytti liikaa apuvälineitä. Neliväriongelma oli merkittävä käännekohta matematiikan historiassa, sillä neliväriongelman todistaminen osoitti, että tietokoneet voivat auttaa matematiikassa, esimerkiksi numeeristen perusteiden luomisessa [4]. Neliväriongelmalle esitettiin 1990-luvulla uusia todistuksia, mutta ainoastaan Ibrahim Cahit on onnistunut esittämään todistuksen, jossa ei käytetä tietokonetta apuna. Tätä todistusta ei ole kuitenkaan tarkistettu [5]. Karttojen väritykseen liittyy vahvasti myös graafin värittäminen, sillä kartat voidaan aina esittää graafien avulla: kartan valtiot voidaan asettaa solmuiksi ja kaaret solmujen välille kuvaamaan naapuruussuhteita. Siksi neliväriongelmaan liittyy myös vahvasti NP-täydellinen ongelma graafien väritysten mahdollisuudesta polynomiaalisessa ajassa k:lla värillä, eli ongelman ratkaiseminen polynomiaalisessa ajassa ratkaisisi koko P = N P -ongelman [6]. P = N P -ongelma toteaa, että jos jokin on tarkistettavissa polynomiaalisessa ajassa, niin se on myös mahdollista ratkaista polynomiaalisessa ajassa. Karttojen värityksessä tämä tarkoittaisi, että jonkin värityksen oikeellisuuden tarkistaminen olisi yhtä vaativaa kuin yhden värityksen löytäminen. Tutkimuksen päätarkoituksena on kartan värityskombinaatioiden lukumäärän selvittäminen, eli kuinka monella tavalla kartta voidaan värittää, kun käytössä olevien värien määrä on annettu ja kartasta tiedetään tiettyjä ominaisuuksia, kuten alueiden määrä ja naapuruussuhteiden määrä. Värityskombinaatioiden määriä tutkimme kehittämällä karttaa kuvaaville graafeille väritysalgoritmin. Tutkimuksemme tavoitteena on saada relaatio värityskombinaatioiden sekä kartan ominaisuuksia kuvaavien parametrien välille. Relaation avulla voisi arvioida värityskombinaatioiden lukumäärää, mitä voisi soveltaa esimerkiksi kombinaatioihin perustuvien algoritmien laskennan vaativuutta analysoitaessa. Värityskombinaatioiden määrän lisäksi sivuamme myös kartan värittämiseen tarvittavien värien määrää koskevia lauseita. 1
5 2. Johdatus graafiteoriaan Määritelmä 1. Suuntaamaton graafi on graafi G = (V,E), missä V on epätyhjä solmujen joukko ja E on kaarirelaatio, joka on symmetrinen ja irrefleksiivinen. Graafi koostuu siis solmuista ja niitä yhdistävistä kaarista. Kaaret ovat kaksisuuntaisia, eli ne yhdistävät kummatkin solmut toisiinsa. Mikään solmu ei ole yhdistetty itseensä kaarella (Kuva 2.1a). Määritelmä 2. Tasograafi on graafi, joka voidaan piirtää tasoon siten, että yhdetkään kaaret eivät leikkaa toisiaan. Määritelmä 3. Graafin G = (V, E) joukkoa K V kutsutaan klikiksi, jos kaikilla toisistaan eroavilla x, y K pätee (x, y) E. Klikki on siis solmujen joukko, jossa kaikkien joukon solmujen välillä on kaari (Kuva 2.1d). Määritelmä 4. Graafin G = (V, E) väritys x väreillä C on kuvaus x : G C siten, että jos (a, b) E, niin x(a) x(b), missä x(a) tarkoittaa solmun a väriä. Tämä tarkoittaa sitä, että jos kahden solmun välillä on kaari, on nämä solmut väritetty eri väreillä (Kuvat 2.1b ja 2.1c). Määritelmä 5. Graafin G = (V, E) klikkiluvulla tarkoitetaan suurimassa klikissä olevien solmujen lukumäärää. Klikkilukua merkitään w(g). Määritelmä 6. Kromaattinen luku. Olkoon G = (V, E) graafi. Olkoon G väritettävissä k värillä, mutta ei k 1 värillä. Tällöin k on graafin G kromaattinen luku, eli graafi G on k-kromaattinen. Tällöin merkitään c(g) = k [7]. Määritelmä 7. Solmun asteluku. Solmun v asteluvulla tarkoitetaan niiden solmujen määrää, jotka ovat yhdistetty kaarella solmuun v. Solmun astelukua merkitään deg(v) (Kuva 2.1e). (a) Esimerkki graafista. (b) Esimerkki värityksestä. (c) Esimerkki solmujen värittämisestä, joka ei ole määritelmän mukainen väritys. (d) Kuvan graafissa punaisella merkatut solmut muodostavat klikin. (e) Tässä deg(v) = 5. Kuva 2.1: Graafeihin liittyviä määritelmiä. 2
6 2.1 Kartan värittämiseen tarvittavien värien määrä Neliväriongelman mukaan kaikki tasokartat ovat väritettävissä enintään neljällä eri välillä siten, että vierekkäiset alueet on väritetty eri väreillä. Neliväriongelman todistus on haastava ja pitkä. Se löytyy esimerkiksi Appelin, Hakenin ja Kochin teoksesta Every planar map is four colorable [8] Kaksiväriongelma Yksinkertaisin tasokarttojen väritysongelmista on kaksiväriongelma, eli kartan värittäminen kahdella eri värillä. Luonnollisesti tämä ei ole voimassa kaikilla tasokartoilla, mutta on helposti määritettävissä, mitkä kartat ovat kaksiväritettävissä. Lause 1. Kartta voidaan värittää kahdella värillä, mikäli jokaisessa tasossa olevien käyrien leikkauspisteestä lähtee parillinen määrä käyriä eli käyrät voidaan valita siten, että niiden päätepisteet ovat tasoalueen reunoilla. Todistus. Todistetaan väite induktiolla tasoa jakavien käyrien määrän n suhteen. Kun n = 1, väite pätee selvästi, sillä käyrä jakaa tasoalueen kahteen osaan, jotka voidaan värittää eri väreillä (Kuva 2.2a). Tehdään induktio-oletus: väite pätee, kun n = k (Kuva 2.2b). (a) Tapaus n = 1. (b) Induktio-oletuksen mukainen kartta. (c) Mielivaltaisen käyrän lisääminen. (d) Mielivaltaisen käyrän yläpuolen värittäminen. (e) Mielivaltaisen käyrän alapuolen värittäminen. (f) Tasokartta, jota rajaa k + 1 käyrää. Kuva 2.2: Kaksiväriongelman todistus visuaalisesti. Lisätään kuvioon mielivaltainen käyrä, jonka lähtöpiste ja päätepiste ovat kumpikin tasoalueen reunoilla. Väritetään käyrän yläpuolella oleva osa samalla tavalla kuin induktio-oletuksen tapauksessa. Tämän jälkeen väritetään kaikki lisättyä käyrää koskettavat alapuolelle jääneet osat vastakkaisilla väreillä kuin aikaisemmin, jolloin käyrän erottamilla alueilla on eri värit (Kuva 2.2e). Koska alueet väritettiin päinvastaisilla väreillä induktio-oletukseen nähden, voidaan nyt loput värittää vaihtamalla alueiden värit keskenään. Induktio-oletuksen nojalla tällöin syntyy kahdella värillä väritetty kartta, sillä kartan loppuosa voidaan värittää kahdella värillä, ja tämän värityksen myötä vierekkäiset alueet tulevat erivärisiksi. Väite pätee induktioperiaatteen nojalla. Jos käyrille asetettu ehto ei päde, voidaan helposti konstruoida vastaesimerkki, joka on väritettävissä kolmella värillä (Kuva 2.3). 3
7 Kuva 2.3: Kaksiväriongelman vastaesimerkki: kartta, johon tarvitaan kolme väriä Viisiväriongelman todistus Viisiväriongelman todistuksen kannalta tärkeitä ovat muutamat aputulokset. Lause 2. Kaikille tasokartoille pätee w(g) 4. Todistus. Tutkitaan karttaa, jolle w(g) = 3 ja G = 3. Todistetaan, että tähän ei voida lisätä kahta aluetta siten, että w(g) = 5 ja G = 5. Tämä todistaa myös sen, ettei se ole mahdollista kun G > 5. Otetaan kaksi aluetta, jotka ovat yhteydessä toisiinsa, ja liitetään kolmas alue siten, että se on yhteydessä kahteen alkuperäiseen. Liittämiseen on kaksi mahdollisuutta, jotka eivät eroa merkittävästi toisistaan (Tapaukset 1 ja 2). Tapaus 1 Alueiden keskelle jää alue. Piirretään kolme janaa, jotka yhdistävät alueiden 1, 2 ja 3 leikkauspisteet sekä mielivaltaisen pisteen, joka on keskelle jäävällä alueella (Kuva 2.4). Jos alueelle sijoitetaan nyt neljäs alue, jolla on yhteistä rajaa kaikkien kolmen muun alueen kanssa, on sen leikattava vähintään kaksi kolmesta janasta (Kuva 2.5). Koska neljännen alueen sivut sivuavat myös kaikkien muiden alueiden sivuja, ja se leikkaa kaksi janaa, jakaa neljäs alue keskelle jäävän alueen kolmeen osaan, joista jokaiselle löytyy joukon 1, 2, 3 alkio, jonka indeksiseen alueeseen kyseisellä alueella ei ole yhteyttä. Tämä tarkoittaa sitä, että nyt jokaisella alueella on enää 3 rajaavaa aluetta, mistä seuraa se, että ei voida sijoittaa viidettä aluetta, joka sivuaa kaikkia neljää aikaisempaa aluetta. Sisälle ei voida asettaa kahta aluetta siten, että w(g) = 5, joten tapaus 1 on käsitelty. Kuva 2.4: Tapauksen 1 mukainen tilanne. Kuva 2.5: Neljännen alueen lisäys. Tapaus 2 Neljäs ja viides alue sijoitetaan kolmen alkuperäisen alueen ulkopuolelle. Piirretään kolme puolisuoraa, joiden päätepisteet ovat alueiden 1, 2 ja 3 leikkauspisteet, ja ne kulkevat poispäin alueen keskipisteestä eivätkä leikkaa alueita (Kuva 2.6). Nyt jos sijoitetaan neljäs alue, joka sivuaa kaikkia muita kolmea aluetta, täytyy sen leikata vähintään kahta suoraa. Mutta jälleen suorat ja neljännen alueen leikkauspisteet jakavat alueen kolmeen osaan, joita kaikkia reunustaa vain 3 kolme aluetta. Siis viidennen alueen sijoittaminen siten että w(g) = 5 on jälleen mahdotonta. 4
8 Kuva 2.6: Tapauksen 2 mukainen tilanne. Lause 3. Eulerin kaava karttoja kuvaaville graafeille eli tasograafeille: n m + r = 2, missä m on kaarten määrä, n solmujen määrä ja r kaarten tasosta rajaamien alueiden määrä (mukaan lukien ulkopuolisen äärettömän alueen) [9, sivu 18]. Todistus voidaan tehdä induktiolla. Todistus löytyy esimerkiksi Saatyn ja Kainenin teoksesta The Four-Color Problem: Assaults and Conquest [9]. Lause 4. Tasograafille G pätee m 3n 6, missä m on kaarten määrä ja n on solmujen määrä. Todistus. Koska G on tasograafi, ja graafin kaaret eivät leikkaa toisiaan, rajaa jokaista graafin aluetta vähintään 3 kaarta (myös ulkopuolelle jäävää ääretöntä tasoaluetta, kun m on vähintään 3). Lisäksi jokainen kaari voi rajata enintään kahta eri aluetta, sillä kaaret eivät leikkaa toisiaan. Tästä saadaan 3r 2m. Soveltamalla tätä Eulerin kaavaan saadaan n m + r n m + 2m 3 n m + r n m 3 (2.1) 2 n m 3 m 3n 6 Lause 5. Jokaisesta tasograafista G löytyy sellainen solmu, jonka asteluku on 5. Todistus. Olkoon A solmujen astelukujen aritmeettinen keskiarvo eli A = 1 n deg(v). Tästä saadaan, että An = m, sillä kun lasketaan kaikkien astelukujen summa saadaan kaksi kertaa kaarten määrä, sillä 2 jokainen kaari lasketaan tällöin kahdesti (kummastakin solmusta, johon se on kiinnittynyt). Lauseen 4 nojalla An 12 3n 6 A 6 A < 6, (2.2) 2 n sillä n on positiivinen. Koska solmujen astelukujen keskiarvo on pienempää kuin 6, ja jokainen asteluku on kokonaisluku, täytyy olla jokin solmu, jonka asteluku on enintään 5. Todistetaan viisiväriongelma induktiolla solmujen määrän suhteen. Viidellä värillä värittäminen on selvästi mahdollista solmujen määrän pienillä arvoilla, joten perusaskel on todistettu. Tehdään induktio-oletus: tasograafi, jossa on n solmua on väritettävissä viidellä värillä. Valitaan nyt mielivaltainen tasograafi G, jossa on n + 1 solmua, ja todistetaan sen olevan väritettävissä viidellä värillä. Lauseen 5 nojalla graafista löytyy sellainen solmu v, jonka asteluku on 5. Tutkitaan graafia, josta on 5
9 poistettu tämä solmu v. Tämä sisältää n solmua, joten induktio-oletuksen nojalla se on väritettävissä viidellä värillä. Jos deg(v) < 5, on G väritettävissä viidellä värillä, sillä v:n väriksi voidaan valita sellainen väri, jolla yksikään sen naapuri ei ole väritetty. Oletetaan siis, että deg(v) = 5 ja kaikki solmut, jotka on yhdistetty kaarella solmuun v ovat väritetty eri väreillä. Jos kaikki solmuun v kaarella yhdistetyt solmut olisi yhdistetty toisiinsa kaarella, syntyisi kuuden kokoinen klikki, joka johtaa ristiriitaan lauseen 2 kanssa. Merkitään solmuun v kaarella yhdistettyjä solmuja v 1, v 2, v 3, v 4 ja v 5. Oletetaan nyt, että solmujen v 1 ja v 2 välillä ei ole kaarta. Todistuksen loppuosa perustuu siihen, että solmut v 1 ja v 2 voidaan värittää samalla värillä ja tämän vuoksi v voidaan värittää viidennellä värillä, jota ei käytetä minkään solmuista v 1, v 2, v 3, v 4 tai v 5 värittämiseen, mikä todistaa väitteen. Tarkemmat yksityiskohdat löytyvät muun muassa teoksesta The Four-Color Problem: Assaults and Conquest [9, sivu 32] Kolmiulotteisten kappaleiden värittäminen Määritelmä 8. Graafin G laji eli genus ( engl. genus) on pienin sellainen kokonaisluku n, että graafilla G on S n -upotus eli pinta, jossa on n reikää [10]. Vuonna 1890 Percy Heawood osoitti, että jokainen g (g > 0) reikää sisältävä pinta (pinnalla olevaa karttaa kuvaavan graafin genus on g) voidaan värittää siten, että värejä tarvitaan enintään g h =, (2.3) 2 missä x tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka on pienempää tai yhtä suurta kuin x [3]. Tapauksessa g = 0 väite on neliväriongelma, ja lause pätee silloinkin. Tätä Heawood ei kuitenkaan onnistunut vielä todistamaan. Vuonna 1968 Ringels ja Young osoittivat, että voidaan konstruoida kartta, jonka värittämiseksi tarvitaan täsmälleen h väriä. Tästä on esimerkkinä torus, jonka genus on 1. Toruksen värittämiseen tarvittavien värien määrä on = = = = 7. (2.4) 2 Torus, jonka värittämiseksi tarvitaan 7 väriä on myös helppo konstruoida (Kuvat 2.7 ja 2.8). Kuva 2.7: Kun tämä taso taitetaan torukseksi, saadaan torus, jonka värittämiseksi tarvitaan 7 väriä, sillä jokaisen värinen alue koskettaa kaikilla muilla väreillä väritettyjä alueita. Kuva 2.8: Torus [11]. 6
10 3. Karttojen värittäminen 3.1 Väritysten määrä Tarvittavien värien määrän lisäksi on mielekästä tutkia myös erilaisten väritysten määrää. Erilaisten väritysten määrän saamiseksi tarvitaan luonnollisesti tieto käytettävien värien määrästä. Tutkimuksessamme tutkimme tasokarttojen värittämistä, kun käytössä oli neljä väriä. Neljä oli mielekkäin valinta, sillä jokainen tasokartta on väritettävissä neljällä värillä, joten aina syntyy vähintään yksi kombinaatio. Kuva 3.1: Esimerkki värien kierrosta. Kiertoa käyttämällä on usein mahdollista saada 24-kertainen määrä kombinaatioita. Väritysten tulkitsemiseksi erilaisiksi on erilaisia lähestymistapoja. Yksinkertaisin tapa on tulkita kaksi kombinaatiota erilaisiksi, mikäli jokin alueista on väritetty eri värillä kummassakin kombinaatiossa. Tämän lisäksi myös väritysten kierrot voidaan jättää huomioimatta. Värityksen kierrolla tarkoitetaan sitä, että kahdessa kartassa kahdella värillä väritettyjen alueiden värit on vaihdettu keskenään (Kuva 3.1). Kiertojen synty voidaan estää ottamalla suurin klikki ja kiinnittämällä sieltä solmujen värit valmiiksi, mikä eliminoi osan kiertämällä syntyneistä kombinaatioista. Tämä toimii, mikäli graafin klikkiluku on 3 tai 4. Tällöin värien kierrättäminen on mahdotonta, sillä olisi ainoastaan yksi tai nolla väriä, jota pitäisi kierrättää. Jälkimmäinen lähestymistapa vähentää laskennan määrää, sillä jälkimmäistä käytettäessä saadaan useimmiten 1 ensimmäisellä lähestymistavalla saaduista määristä. Tämä luku seuraa siitä, että 4 4! väriä on kierrätettävissä jokaisessa kiertoa huomiomattomassa kombinaatiossa 4! eri tavalla. Jos graafin kromaattinen luku tai klikkiluku on 2, voi määrä jäädä pienemmäksi, sillä kiinnityksen takia kaikkia värejä ei välttämättä esiinny graafissa. Lähestymistapojen välinen ero ei kuitenkaan ollut merkittävä, joten algoritmissa tyydyimme vain kiinnittämään yhden solmun värin, jolloin saadaan 1 4 tapauksista eliminoitua. 3.2 Värityksiä etsivä ohjelma Selvittääksemme karttojen ominaisuuksia kirjoitimme ohjelman, joka selvittää näitä ominaisuuksia. Ohjelman toteutuskielenä oli Haskell. Käyttämämme kääntäjä oli Glasgow Haskell Compiler (GHC), versio Asetimme ohjelmalle seuraavat tavoitteet: Karttojen ja niiden alueiden esittäminen graafeina. Haluttuja ominaisuuksia sisältävien karttojen graafien generointi. Graafien ominaisuuksien määritys, väritys ja värityskombinaatioiden määrittäminen. Ohjelman lähdekoodi on saatavilla verkosta [12]. 7
11 3.2.1 Ohjelman toteutus Kartan esittäminen graafina Kartan alueita esitetään suuntaamattoman graafin solmuina (engl. vertex), ja alueiden naapuruussuhteita kuvataan graafin kaarina (engl. edges). Solmu koostuu sen indeksistä, väristä ja listasta sen naapurisolmuista, joihin solmusta lähtee kaari. Naapurisolmut on esitetty solmussa graafin indekseinä. Graafi on joukko solmuja, jotka on indeksoitu 0...n. Graafin tietorakenteena on nopeasti indeksoitava IntMap [Tiedosto Graphs.hs]. Satunnaisten karttojen luominen Halusimme käyttää väritysominaisuuksien tutkimiseen myös satunnaisia karttoja, joilla on haluttuja ominaisuuksia kuten solmujen lukumäärä, kaarien lukumäärä, korkeimman klikin klikkiluku ja korkeimman klikkiluvun mukaisten klikkien lukumäärä. Ohjelma generoi satunnaisgraafeja kahden parametrin perusteella: graafin solmuluku ja kaariluku. Ohjelman käyttämä algoritmi luo ensin vs solmua. Seuraavaksi se valitsee kaikista mahdollisista kaarista luotujen solmujen välillä satunnaisessa järjestyksessä es kaarta kuitenkin niin, että lopullisessa graafissa jokainen solmu liittyy kaarella vähintään yhteen solmuun. Satunnainen graafi on generoitu, kun satunnaisesti valitut kaaret on lisätty siihen. Tässä lähestymistavassa oli kuitenkin se ongelma, että luodut graafit eivät välttämättä olleet tasograafeja. Jos graafin generointi aloitettaisiin yhdellä solmulla, johon iteroiden lisättäisiin solmuja ja kaaria, olisi helpompi taata, että lopputulos on tasograafi. Päätimme kuitenkin, että tällainen iteroiva algoritmi ei ole meille toteuttamisen arvoinen, koska generoimamme graafit olivat ominaisuuksiltaan riittävän lähellä tasograafeja. Väritysalgoritmi Jotta graafin kaikkien värityskombinaatioiden määrä voitiin määrittää, päätimme simuloida väritystä sen sijaan, että olisimme yrittäneet etsiä matemaattista tapaa kombinaatioiden selvittämiseen. Olimme kiinnostuneita vain neljän värin kombinaatioista, koska neliväriongelman nojalla useamman värin kombinaatiot eivät ole mielenkiintoisia tasograafeille. Ensimmäisenä valitaan yksi solmu, joka väritetään ensimmäisellä värillä. Seuraavaksi väritetään jokin väritetyn solmun naapurisolmuista mahdollisimman monella eri värillä. Jokaisesta mahdollisesta naapurisolmun värityksestä lähtee uusi haara, jossa väritetään lisää naapurisolmuja. Haara päättyy, kun kaikki solmut on väritetty tai löydetään solmu, jota ei voida enää värittää millään värillä. Lopuksi jokaisesta haarasta löydetyt kombinaatioiden määrät summataan yhteen. Algoritmin toimintaa on havainnollistettu vuokaaviolla Kuvassa
12 Kuva 3.2: Vuokaavio käyttämästämme algoritmista graafin värityskombinaatioiden löytämiseen. Väritysalgoritmia olisi voitu optimoida värittämällä solmuja niihin liittyvien klikkien klikkilukujen mukaan laskevassa järjestyksessä. Emme kuitenkaan nähneet tarvetta tälle optimoinnille, koska toteuttamamme algoritmi osoittautui riittävän tehokkaaksi tarkoituksiimme, eli etsimään yli 600 graafin nelivärikombinaatiot riittävän lyhyessä ajassa normaalin PC-koneen laskentateholla. Graafin muiden ominaisuuksien määrittäminen Klikkien määrittäminen tapahtuu tarkastelemalla jokaista solmua erikseen: Klikin muodostavat ne solmut, jotka ovat tarkasteltavan solmun naapureita ja naapureita keskenään, joten yksinkertaisesti vertailemme kaikkia mahdollisia solmun naapurijoukkoja keskenään. Tämä on erittäin tehoton toteutus, mutta käyttötarkoituksiimme riittävä. Suurin klikkiluku on kaikkien klikkien klikkilukujen maksimiarvo. Klikkiluvun kokoisten klikkien lukumäärä saadaan laskemalla suurimman klikkiluvun esiintymiset kaikkien klikkien joukossa. Syötteet ja tulosteet Ohjelma ottaa kaiken syötteensä argumentteina, jotka on listattu ohjelman ohjetekstissä. Ohjeteksti generoidaan kääntöprosessissa. Ohjelman tulosteen rivit ovat pilkuin eroteltuja arvoja. Ensimmäinen rivi kertoo, mitä ominaisuuksia on laskettu ja missä järjestyksessä ne on esitetty seuraavilla riveillä. Seuraavilla riveillä on esitetty yhden graafin ominaisuudet. Kaikki ominaisuudet ovat kokonaislukuja. Ominaisuuksien selitykset: index Ilmaisee, monesko graafi oli ohjelmalle. vertices Solmujen määrä graafissa. edges Kaarien määrä graafissa. 4cc Mahdollisten nelivärikombinaatioiden määrä. LargestCD Suurimman klikin klikkiluku. LargestCC Suurimman klikin klikkilukua vastaavien klikkien määrä Ajaminen Käänsimme ja asensimme kirjoittamamme ohjelman: ghc -o viksu4c Main.hs. Tämän jälkeen ajoimme ohjelman:./viksu4c from unavoidable.conf +RTS -N4 > viksu4c.output. 9
13 Käytimme tutkittavina graafeina valmiita neliväriongelman todistamiseen käytetyn graafikonfiguraation graafeja. Robin Thomaksen graafikonfiguraatiossa [1] on 633 aligraafia. Konfiguraatio on saatavilla yhtenä tiedostona verkossa [13]. Piirsimme tuloksista kuvaajia gnuplot- ja MS Excel-ohjelmilla. 4. Tulokset 4.1 Todistuskartat Analysoimme Thomaksen kartat ohjelmamme avulla. Kombinaatioiden määrä kasvaa solmujen ja siis myös klikkien määrän kasvaessa (Kuva 4.1). Samoin käy myös solmujen ja kaarien määrien kasvaessa (Kuva 4.2). Thomaksen konfiguraation graafit ovat varsin samanlaisia ominaisuuksiltaan: Tiettyä solmujen määrää vastaavat kaarien määrät graafissa vaihtelevat vain hieman (Taulukko 4.1). Klikkiluvun vaikutuksen analysointia varten generoimme omia karttoja, joissa solmujen ja kaarien määrät pysyivät vakioina Kombinaatiot Kombinaatiot Klikit, joiden klikkiluku on 3 Kuva 4.1: Korkeinta klikkilukua (3) vastaavien klikkien lukumäärän korrelaatio värityskombinaatioiden määrään. Huomautus: solmujen määrä kasvaa klikkiluvun mukana. Solmuja Määrä % Kaaria % % % % Kaaria Määrä % % % % % Taulukko 4.1: Kaarien ja solmujen lukumäärien jakaumia ja tiheyksiä todistuskarttojen graafeissa. 10
14 Kombinaatiot Kaaret Solmut Kuva 4.2: Kombinaatioiden määrän riippuvuus solmujen ja kaarien lukumääristä. 5. Analysointi 5.1 Mallin laadinta tuloksista Tutkimuksessa halusimme selvittää graafin eri ominaisuuksien vaikutuksia värityskombinaatioiden määrään. Tarkasteltaviksi ominaisuuksiksi valitsimme kaarten määrän, solmujen määrän, klikkiluvun sekä klikkiluvun kokoisten klikkien määrän. Solmujen määrän ja kaarten määrän valitsimme sen takia, että ne määräävät graafin koon, jolla uskoimme olevan vaikutusta kombinaatioiden määrään. Valitsimme klikkiluvun myös tarkasteltavaksi parametriksi, sillä klikkiluku antaa kromaattiselle luvulle alarajan, joten klikkiluku liittyy myös värityskombinaatioiden määrään. Kromaattisen luvun alaraja on perusteltavissa sillä, että jokainen klikin solmu on yhdistetty toisiinsa kaarella, joten jokainen täytyy värittää eri väreillä. Klikkilukua vastaavien klikkien määrä kiinnosti myös, sillä klikeissä värityskombinaatioiden määrät ovat rajallisia. 5.2 Solmujen määrän vaikutus Sijoitimme testikartoista saadut mittaustulokset solmujen määrä lg(kombinaatioiden määrä) koordinaatistoon (Kuva 5.1). Pisteet sijoittuivat likimain suoralle. Sovitimme kuvaajaan suoran automaattisella suoransovitusohjelmalla (MS Excel). 11
15 lg(kombinaatioiden määrä) y = 0,2173x + 0, Solmujen määrä Kuva 5.1: Solmujen määrän vaikutus kombinaatioiden määrään. Huomaa logaritminen asteikko. Suoransovituksen parametreista saadaan lg(y) = 0, 2173x + 0, lg(y) = 10 0,2173x+0,0609 y = 10 0,2173x 10 0,0609 y = 1, , 6493 x, (5.1) missä y on kombinaatioiden määrä ja x on solmujen määrä. Arvioidaan mallin hyvyyttä selitysasteen avulla: σ 2 = SoS n = R 2 = ( y mitattu ymitattu n n (ymitattu y laskettu ) 2 1 n SoS ) , 9 n σ 2 0, 8958 = 89, 58%, missä σ on varianssi, y mitattu on mitattujen kombinaatioiden määrät, y laskettu on mallin avulla laskettujen kombinaatioiden määrät, n on mittausten määrä, SoS on neliösumma (engl. Sum of squares) ja R 2 on selitysaste. Virhettä tuloksiin tuo se, että solmujen määrän ja kaarien määrän suhde graafissa ei ollut aivan vakio. Lisäksi epätarkkuutta lisää se, ettei solmujen ja kaarien määrä määritä yksikäsitteistä graafia, vaan samojen parametrien avulla voidaan konstruoida useampi graafi. Tämän takia samaa solmujen määrää vastaa useampi kombinaatioiden määrä, eli kuvaus onkin vain suuntaa antava. (5.2) 12
16 5.3 Kaarten vaikutuksen huomioiminen Tutkittaessa solmujen vaikutusta saatiin mallin selitysasteeksi likimain 90%. Lähdimme parantamaan mallia ottamalla huomioon myös kaarten määrän vaikutuksen. Koska testidatassamme solmujen sekä kaarten määrät vaihtelivat, otimme uudeksi muuttujaksi kaarten ja solmujen määrän suhteen, sillä siinä solmujen lukumäärän vaikutus eliminoituu. Lähdimme tutkimaan neljää eri mallia ja etsimään niistä parasta. Mallit olivat y = a b x c z y = a x b c z y = a b x z c y = a x b z c, (5.3a) (5.3b) (5.3c) (5.3d) missä y on kombinaatioiden määrä, x on solmujen määrä, z on kaarien määrän ja solmujen määrän suhde ja a, b sekä c ovat vakioita. Optimaalisimpien vakioiden määrittäminen löytyy liitteestä [Liite 1]. Malleista parhaaksi osoittautui malli 5.3c, eli y = a b x z c. Optimaalisimmilla a, b ja c kaava muuttuu muotoon: y = , 0 1, x z 17, (5.4) Tämän mallin selitysaste oli 99,98%, eli malli selittää tulokset erittäin hyvin. Selitysaste mitattiin mallille y = a b x z c. Vakiot a, b ja c määrättiin mallista lg(y) = lg(a) + x lg(b) + c lg(z), joten tarkkaan ottaen vakioita ei ole optimoitu kaavalle y = a b x z c. 5.4 Klikkiluvun vaikutus Klikki ilmaisee sellaisten alueiden joukon, jossa kaikki alueet ovat toistensa naapureita. Klikkiluku ilmaisee suurimman tällaisen aluejoukon koon. Klikkiluvun vaikutus väritysten määrään olisi hyödyllinen ja sovellettava tieto. Yksi sovellusalue on ongelmat, joissa täytyy käydä läpi useita tapauksia. Näissä odotettavissa olevien tapausten määrä olisi erittäin mielekäs tieto algoritmien laskennallisen vaativuuden arvioimiseksi. Klikkiluvun vaikutuksen analysointi ei ollut kovinkaan mielekästä, sillä klikkiluku voi olla 2, 3 tai 4, joten tarpeeksi suurta määrää analysoitavaa dataa ei voi saada. Yleisimmin klikkiluku on 3 tai 4. Tutkimme 292 karttaa, joissa oli kaikissa 20 solmua ja 30 kaarta. Näistä kartoista saatujen tietojen perusteella laskimme kummallekin klikkiluvulle värityskombinaatioiden keskiarvon, varianssin, sekä suurimman ja pienimmän arvon. Tuloksista havaitaan (Taulukko 5.1), että niillä kartoilla, joiden klikkiluku on 3, on enemmän värityskombinaatioita. Tämä on perusteltavissa sillä, että neljän klikki on väritettävissä yksikäsitteisesti jos kiertoja ei lasketa, ja tämä laskee kartan väritysten määrää. Klikkiluvun vaikutuksen tutkiminen on myös mielekästä tarvittavien värien määrän kannalta: värejä tarvitaan vähintään klikkiluvun verran. Tutkimme suurimman klikkiluvun kokoisten Klikkiluku 3 4 Karttojen lukumäärä Keskiarvo Varianssi 1, , Suurin arvo Pienin arvo Taulukko 5.1: Klikkiluvun vaikutus. klikkien määrän vaikutusta väritysten määrään, kun solmujen määrä ja kaarien määrä on vakio. Valitsimme solmujen määräksi 15, kaarten määräksi 30 ja klikkiluvuksi 3. Loimme 1800 testikarttaa, joissa 13
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotGraafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotVerkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotDMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko
DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko Alkuviikon tuntitehtävä 1: Montako kahdeksaan yhtäsuureen sektoriin leikattua pitsaa voidaan tehdä kolmesta täytteestä siten, että kukin sektori
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotTasograafit ja väritykset
Solmu /06 Tasograafit ja väritykset Esa V. Vesalainen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopisto Graafi on matemaattinen olio, joka koostuu kahdesta eri asiasta: ) äärellisestä joukosta
LisätiedotGraafiteoria matematiikkaako?
Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedot1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotTasograafit ja väritykset
Tasograafit ja väritykset Esa V. Vesalainen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-Yliopisto Graafi on matemaattinen olio, joka koostuu kahdesta eri asiasta: ) äärellisestä joukosta kärkiä; sekä
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotVerkkojen värittäminen
Verkkojen värittäminen Pro gradu -tutkielma Tiina Aaltonen 165231 Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 10. tammikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Verkkojen peruskäsitteitä 4 2.1 Solmu,
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Lisätiedot10 Matriisit ja yhtälöryhmät
10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotKenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedot