Karttojen värittäminen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Karttojen värittäminen"

Transkriptio

1 Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

2 Tiivistelmä Tutkimuksessa selvitimme kartan ominaisuuksien vaikutuksia kartan alueiden väritysten määrään, kun käytössä on neljä väriä ja vierekkäiset alueet väritetään eri väreillä. Valitsimme värien lukumääräksi neljän, koska neliväriongelman mukaan jokainen tasokartta on väritettävissä neljällä värillä. Tavoitteenamme oli määrittää laskukaava väritysten määrän ja kartan ominaisuuksien välille. Laskukaava on hyödyllinen esimerkiksi laskennan vaativuutta analysoidessa: kaava antaa arvion tietyllä värimäärällä väritettävissä olevien erilaisten väritysten eli kombinaatioiden lukumäärästä, jolloin saadaan selville suotuisten tapausten osuus kaikista kombinaatioista. Arvion avulla algoritmeja voitaisiin optimoida juuri kyseiseen tilanteeseen. Käsittelimme ongelmaa muuttamalla kartat tasograafeiksi. Valitsimme tutkittaviksi ominaisuuksiksi karttaa kuvaavasta graafista solmujen eli alueiden määrän, kaarien eli naapuruussuhteiden määrän, klikkiluvun ja klikkiluvun kokoisten klikkien lukumäärän. Klikillä tarkoitetaan sellaista alueiden joukkoa, jossa kaikki alueet ovat toistensa naapureita ja klikkiluvulla tarkoitetaan suurinta alueiden joukkoa, jossa kaikki ovat toisensa naapureita. Valitsimme solmujen ja kaarten määrän, sillä ne ovat graafin ominaisuuksista tärkeimmät. Klikkiluku on alaraja tarvittavien värien määrälle. Valitsimme klikkiluvun kokoisten klikkien määrän, koska kyseisillä klikeillä värityskombinaatioita on erittäin vähän, ja ne rajoittavat kaikkien kombinaatioiden määrää. Loimme graafeille kaikki mahdolliset värityskombinaatiot etsivän algoritmin, kun yhden solmun väri on etukäteen määritelty. Testiaineistona käytimme neliväriongelman todistamiseen käytettyjä graafeja [1], joita oli yhteensä 633. Klikkiluvun vaikutusta tutkittaessa generoimme omia karttoja. Tutkimustulokseksi saimme riippuvuudet kaikkien ominaisuuksien ja värityskombinaatioiden määrän välille: y = , 0 1, x z 17,705562, jossa y on värityskombinaatioiden määrä, x on solmujen määrä ja z on kaarten ja solmujen määrän suhde. Tämän mallin selitysasteeksi saatiin 99,98%, mikä on tarpeeksi suuri laskennan vaativuuden analysoimista varten. Mallin mukaan värityskombinaatioiden määrä kasvaa eksponentiaalisesti solmujen määrän kasvaessa ja se on kääntäen verrannollinen kaarten ja solmujen osamäärän 17,7 potenssin kanssa. Klikkiluvun kasvaessa kombinaatioiden määrä väheni, ja klikkiluvun suuruisten klikkien määrän kasvaessa kombinaatioiden määrä väheni eksponentiaalisesti.

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Johdatus graafiteoriaan Kartan värittämiseen tarvittavien värien määrä Kaksiväriongelma Viisiväriongelman todistus Kolmiulotteisten kappaleiden värittäminen Karttojen värittäminen Väritysten määrä Värityksiä etsivä ohjelma Ohjelman toteutus Ajaminen Tulokset Todistuskartat Analysointi Mallin laadinta tuloksista Solmujen määrän vaikutus Kaarten vaikutuksen huomioiminen Klikkiluvun vaikutus Johtopäätökset 15 7 Kirjallisuutta 15 8 Liitteet Liite 1: Kaarten vaikutuksen huomioiminen mallissa

4 1. Johdanto Neliväriongelma on yksi matematiikan erikoisimmista ongelmista siksi, että se on todistettu tarkistetusti vain käymällä erikoistapauksia läpi tietokoneella. Neliväriongelma esitettiin ensimmäisen kerran 1800-luvun puolivälissä, kun englantilainen opiskelija Francis Guthrie havaitsi, että Englannin kreivikuntien kartta oli väritettävissä neljällä värillä siten, että vierekkäiset maakunnat oli väritetty eri väreillä. Francisin veli Frederick kysyi perusteluja tälle karttojen väritysominaisuudelle opettajaltaan Augustus De Morganilta, joka ei pystynyt antamaan perusteluja. Tämän johdosta ongelma julkaistiin vuonna 1854 The Atheaneum-lehdessä [2]. Neliväriongelma osoittautui kuitenkin haastavaksi: se pysyi ratkaisemattomana ongelmana yli sata vuotta. Sen sijaan karttojen värittäminen enintään viidellä värillä onnistuttiin todistamaan jo vuonna Heawoodin lauseena tunnettu viiden värin ongelma on kuitenkin huomattavasti helpommin todistettavissa kuin neliväriongelma [3]. Neliväriongelman onnistuivat lopulta todistamaan Kenneth Appel ja Wolfgang Haken vuonna Todistus poikkesi normaaleista matemaattisista todistuksista, sillä se perustui yksittäistapausten läpikäymiseen tietokoneella. Todistus herätti matemaatikkojen keskuudessa epäilyä, eivätkä monet matemaatikot hyväksyneet todistusta, sillä se käytti liikaa apuvälineitä. Neliväriongelma oli merkittävä käännekohta matematiikan historiassa, sillä neliväriongelman todistaminen osoitti, että tietokoneet voivat auttaa matematiikassa, esimerkiksi numeeristen perusteiden luomisessa [4]. Neliväriongelmalle esitettiin 1990-luvulla uusia todistuksia, mutta ainoastaan Ibrahim Cahit on onnistunut esittämään todistuksen, jossa ei käytetä tietokonetta apuna. Tätä todistusta ei ole kuitenkaan tarkistettu [5]. Karttojen väritykseen liittyy vahvasti myös graafin värittäminen, sillä kartat voidaan aina esittää graafien avulla: kartan valtiot voidaan asettaa solmuiksi ja kaaret solmujen välille kuvaamaan naapuruussuhteita. Siksi neliväriongelmaan liittyy myös vahvasti NP-täydellinen ongelma graafien väritysten mahdollisuudesta polynomiaalisessa ajassa k:lla värillä, eli ongelman ratkaiseminen polynomiaalisessa ajassa ratkaisisi koko P = N P -ongelman [6]. P = N P -ongelma toteaa, että jos jokin on tarkistettavissa polynomiaalisessa ajassa, niin se on myös mahdollista ratkaista polynomiaalisessa ajassa. Karttojen värityksessä tämä tarkoittaisi, että jonkin värityksen oikeellisuuden tarkistaminen olisi yhtä vaativaa kuin yhden värityksen löytäminen. Tutkimuksen päätarkoituksena on kartan värityskombinaatioiden lukumäärän selvittäminen, eli kuinka monella tavalla kartta voidaan värittää, kun käytössä olevien värien määrä on annettu ja kartasta tiedetään tiettyjä ominaisuuksia, kuten alueiden määrä ja naapuruussuhteiden määrä. Värityskombinaatioiden määriä tutkimme kehittämällä karttaa kuvaaville graafeille väritysalgoritmin. Tutkimuksemme tavoitteena on saada relaatio värityskombinaatioiden sekä kartan ominaisuuksia kuvaavien parametrien välille. Relaation avulla voisi arvioida värityskombinaatioiden lukumäärää, mitä voisi soveltaa esimerkiksi kombinaatioihin perustuvien algoritmien laskennan vaativuutta analysoitaessa. Värityskombinaatioiden määrän lisäksi sivuamme myös kartan värittämiseen tarvittavien värien määrää koskevia lauseita. 1

5 2. Johdatus graafiteoriaan Määritelmä 1. Suuntaamaton graafi on graafi G = (V,E), missä V on epätyhjä solmujen joukko ja E on kaarirelaatio, joka on symmetrinen ja irrefleksiivinen. Graafi koostuu siis solmuista ja niitä yhdistävistä kaarista. Kaaret ovat kaksisuuntaisia, eli ne yhdistävät kummatkin solmut toisiinsa. Mikään solmu ei ole yhdistetty itseensä kaarella (Kuva 2.1a). Määritelmä 2. Tasograafi on graafi, joka voidaan piirtää tasoon siten, että yhdetkään kaaret eivät leikkaa toisiaan. Määritelmä 3. Graafin G = (V, E) joukkoa K V kutsutaan klikiksi, jos kaikilla toisistaan eroavilla x, y K pätee (x, y) E. Klikki on siis solmujen joukko, jossa kaikkien joukon solmujen välillä on kaari (Kuva 2.1d). Määritelmä 4. Graafin G = (V, E) väritys x väreillä C on kuvaus x : G C siten, että jos (a, b) E, niin x(a) x(b), missä x(a) tarkoittaa solmun a väriä. Tämä tarkoittaa sitä, että jos kahden solmun välillä on kaari, on nämä solmut väritetty eri väreillä (Kuvat 2.1b ja 2.1c). Määritelmä 5. Graafin G = (V, E) klikkiluvulla tarkoitetaan suurimassa klikissä olevien solmujen lukumäärää. Klikkilukua merkitään w(g). Määritelmä 6. Kromaattinen luku. Olkoon G = (V, E) graafi. Olkoon G väritettävissä k värillä, mutta ei k 1 värillä. Tällöin k on graafin G kromaattinen luku, eli graafi G on k-kromaattinen. Tällöin merkitään c(g) = k [7]. Määritelmä 7. Solmun asteluku. Solmun v asteluvulla tarkoitetaan niiden solmujen määrää, jotka ovat yhdistetty kaarella solmuun v. Solmun astelukua merkitään deg(v) (Kuva 2.1e). (a) Esimerkki graafista. (b) Esimerkki värityksestä. (c) Esimerkki solmujen värittämisestä, joka ei ole määritelmän mukainen väritys. (d) Kuvan graafissa punaisella merkatut solmut muodostavat klikin. (e) Tässä deg(v) = 5. Kuva 2.1: Graafeihin liittyviä määritelmiä. 2

6 2.1 Kartan värittämiseen tarvittavien värien määrä Neliväriongelman mukaan kaikki tasokartat ovat väritettävissä enintään neljällä eri välillä siten, että vierekkäiset alueet on väritetty eri väreillä. Neliväriongelman todistus on haastava ja pitkä. Se löytyy esimerkiksi Appelin, Hakenin ja Kochin teoksesta Every planar map is four colorable [8] Kaksiväriongelma Yksinkertaisin tasokarttojen väritysongelmista on kaksiväriongelma, eli kartan värittäminen kahdella eri värillä. Luonnollisesti tämä ei ole voimassa kaikilla tasokartoilla, mutta on helposti määritettävissä, mitkä kartat ovat kaksiväritettävissä. Lause 1. Kartta voidaan värittää kahdella värillä, mikäli jokaisessa tasossa olevien käyrien leikkauspisteestä lähtee parillinen määrä käyriä eli käyrät voidaan valita siten, että niiden päätepisteet ovat tasoalueen reunoilla. Todistus. Todistetaan väite induktiolla tasoa jakavien käyrien määrän n suhteen. Kun n = 1, väite pätee selvästi, sillä käyrä jakaa tasoalueen kahteen osaan, jotka voidaan värittää eri väreillä (Kuva 2.2a). Tehdään induktio-oletus: väite pätee, kun n = k (Kuva 2.2b). (a) Tapaus n = 1. (b) Induktio-oletuksen mukainen kartta. (c) Mielivaltaisen käyrän lisääminen. (d) Mielivaltaisen käyrän yläpuolen värittäminen. (e) Mielivaltaisen käyrän alapuolen värittäminen. (f) Tasokartta, jota rajaa k + 1 käyrää. Kuva 2.2: Kaksiväriongelman todistus visuaalisesti. Lisätään kuvioon mielivaltainen käyrä, jonka lähtöpiste ja päätepiste ovat kumpikin tasoalueen reunoilla. Väritetään käyrän yläpuolella oleva osa samalla tavalla kuin induktio-oletuksen tapauksessa. Tämän jälkeen väritetään kaikki lisättyä käyrää koskettavat alapuolelle jääneet osat vastakkaisilla väreillä kuin aikaisemmin, jolloin käyrän erottamilla alueilla on eri värit (Kuva 2.2e). Koska alueet väritettiin päinvastaisilla väreillä induktio-oletukseen nähden, voidaan nyt loput värittää vaihtamalla alueiden värit keskenään. Induktio-oletuksen nojalla tällöin syntyy kahdella värillä väritetty kartta, sillä kartan loppuosa voidaan värittää kahdella värillä, ja tämän värityksen myötä vierekkäiset alueet tulevat erivärisiksi. Väite pätee induktioperiaatteen nojalla. Jos käyrille asetettu ehto ei päde, voidaan helposti konstruoida vastaesimerkki, joka on väritettävissä kolmella värillä (Kuva 2.3). 3

7 Kuva 2.3: Kaksiväriongelman vastaesimerkki: kartta, johon tarvitaan kolme väriä Viisiväriongelman todistus Viisiväriongelman todistuksen kannalta tärkeitä ovat muutamat aputulokset. Lause 2. Kaikille tasokartoille pätee w(g) 4. Todistus. Tutkitaan karttaa, jolle w(g) = 3 ja G = 3. Todistetaan, että tähän ei voida lisätä kahta aluetta siten, että w(g) = 5 ja G = 5. Tämä todistaa myös sen, ettei se ole mahdollista kun G > 5. Otetaan kaksi aluetta, jotka ovat yhteydessä toisiinsa, ja liitetään kolmas alue siten, että se on yhteydessä kahteen alkuperäiseen. Liittämiseen on kaksi mahdollisuutta, jotka eivät eroa merkittävästi toisistaan (Tapaukset 1 ja 2). Tapaus 1 Alueiden keskelle jää alue. Piirretään kolme janaa, jotka yhdistävät alueiden 1, 2 ja 3 leikkauspisteet sekä mielivaltaisen pisteen, joka on keskelle jäävällä alueella (Kuva 2.4). Jos alueelle sijoitetaan nyt neljäs alue, jolla on yhteistä rajaa kaikkien kolmen muun alueen kanssa, on sen leikattava vähintään kaksi kolmesta janasta (Kuva 2.5). Koska neljännen alueen sivut sivuavat myös kaikkien muiden alueiden sivuja, ja se leikkaa kaksi janaa, jakaa neljäs alue keskelle jäävän alueen kolmeen osaan, joista jokaiselle löytyy joukon 1, 2, 3 alkio, jonka indeksiseen alueeseen kyseisellä alueella ei ole yhteyttä. Tämä tarkoittaa sitä, että nyt jokaisella alueella on enää 3 rajaavaa aluetta, mistä seuraa se, että ei voida sijoittaa viidettä aluetta, joka sivuaa kaikkia neljää aikaisempaa aluetta. Sisälle ei voida asettaa kahta aluetta siten, että w(g) = 5, joten tapaus 1 on käsitelty. Kuva 2.4: Tapauksen 1 mukainen tilanne. Kuva 2.5: Neljännen alueen lisäys. Tapaus 2 Neljäs ja viides alue sijoitetaan kolmen alkuperäisen alueen ulkopuolelle. Piirretään kolme puolisuoraa, joiden päätepisteet ovat alueiden 1, 2 ja 3 leikkauspisteet, ja ne kulkevat poispäin alueen keskipisteestä eivätkä leikkaa alueita (Kuva 2.6). Nyt jos sijoitetaan neljäs alue, joka sivuaa kaikkia muita kolmea aluetta, täytyy sen leikata vähintään kahta suoraa. Mutta jälleen suorat ja neljännen alueen leikkauspisteet jakavat alueen kolmeen osaan, joita kaikkia reunustaa vain 3 kolme aluetta. Siis viidennen alueen sijoittaminen siten että w(g) = 5 on jälleen mahdotonta. 4

8 Kuva 2.6: Tapauksen 2 mukainen tilanne. Lause 3. Eulerin kaava karttoja kuvaaville graafeille eli tasograafeille: n m + r = 2, missä m on kaarten määrä, n solmujen määrä ja r kaarten tasosta rajaamien alueiden määrä (mukaan lukien ulkopuolisen äärettömän alueen) [9, sivu 18]. Todistus voidaan tehdä induktiolla. Todistus löytyy esimerkiksi Saatyn ja Kainenin teoksesta The Four-Color Problem: Assaults and Conquest [9]. Lause 4. Tasograafille G pätee m 3n 6, missä m on kaarten määrä ja n on solmujen määrä. Todistus. Koska G on tasograafi, ja graafin kaaret eivät leikkaa toisiaan, rajaa jokaista graafin aluetta vähintään 3 kaarta (myös ulkopuolelle jäävää ääretöntä tasoaluetta, kun m on vähintään 3). Lisäksi jokainen kaari voi rajata enintään kahta eri aluetta, sillä kaaret eivät leikkaa toisiaan. Tästä saadaan 3r 2m. Soveltamalla tätä Eulerin kaavaan saadaan n m + r n m + 2m 3 n m + r n m 3 (2.1) 2 n m 3 m 3n 6 Lause 5. Jokaisesta tasograafista G löytyy sellainen solmu, jonka asteluku on 5. Todistus. Olkoon A solmujen astelukujen aritmeettinen keskiarvo eli A = 1 n deg(v). Tästä saadaan, että An = m, sillä kun lasketaan kaikkien astelukujen summa saadaan kaksi kertaa kaarten määrä, sillä 2 jokainen kaari lasketaan tällöin kahdesti (kummastakin solmusta, johon se on kiinnittynyt). Lauseen 4 nojalla An 12 3n 6 A 6 A < 6, (2.2) 2 n sillä n on positiivinen. Koska solmujen astelukujen keskiarvo on pienempää kuin 6, ja jokainen asteluku on kokonaisluku, täytyy olla jokin solmu, jonka asteluku on enintään 5. Todistetaan viisiväriongelma induktiolla solmujen määrän suhteen. Viidellä värillä värittäminen on selvästi mahdollista solmujen määrän pienillä arvoilla, joten perusaskel on todistettu. Tehdään induktio-oletus: tasograafi, jossa on n solmua on väritettävissä viidellä värillä. Valitaan nyt mielivaltainen tasograafi G, jossa on n + 1 solmua, ja todistetaan sen olevan väritettävissä viidellä värillä. Lauseen 5 nojalla graafista löytyy sellainen solmu v, jonka asteluku on 5. Tutkitaan graafia, josta on 5

9 poistettu tämä solmu v. Tämä sisältää n solmua, joten induktio-oletuksen nojalla se on väritettävissä viidellä värillä. Jos deg(v) < 5, on G väritettävissä viidellä värillä, sillä v:n väriksi voidaan valita sellainen väri, jolla yksikään sen naapuri ei ole väritetty. Oletetaan siis, että deg(v) = 5 ja kaikki solmut, jotka on yhdistetty kaarella solmuun v ovat väritetty eri väreillä. Jos kaikki solmuun v kaarella yhdistetyt solmut olisi yhdistetty toisiinsa kaarella, syntyisi kuuden kokoinen klikki, joka johtaa ristiriitaan lauseen 2 kanssa. Merkitään solmuun v kaarella yhdistettyjä solmuja v 1, v 2, v 3, v 4 ja v 5. Oletetaan nyt, että solmujen v 1 ja v 2 välillä ei ole kaarta. Todistuksen loppuosa perustuu siihen, että solmut v 1 ja v 2 voidaan värittää samalla värillä ja tämän vuoksi v voidaan värittää viidennellä värillä, jota ei käytetä minkään solmuista v 1, v 2, v 3, v 4 tai v 5 värittämiseen, mikä todistaa väitteen. Tarkemmat yksityiskohdat löytyvät muun muassa teoksesta The Four-Color Problem: Assaults and Conquest [9, sivu 32] Kolmiulotteisten kappaleiden värittäminen Määritelmä 8. Graafin G laji eli genus ( engl. genus) on pienin sellainen kokonaisluku n, että graafilla G on S n -upotus eli pinta, jossa on n reikää [10]. Vuonna 1890 Percy Heawood osoitti, että jokainen g (g > 0) reikää sisältävä pinta (pinnalla olevaa karttaa kuvaavan graafin genus on g) voidaan värittää siten, että värejä tarvitaan enintään g h =, (2.3) 2 missä x tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka on pienempää tai yhtä suurta kuin x [3]. Tapauksessa g = 0 väite on neliväriongelma, ja lause pätee silloinkin. Tätä Heawood ei kuitenkaan onnistunut vielä todistamaan. Vuonna 1968 Ringels ja Young osoittivat, että voidaan konstruoida kartta, jonka värittämiseksi tarvitaan täsmälleen h väriä. Tästä on esimerkkinä torus, jonka genus on 1. Toruksen värittämiseen tarvittavien värien määrä on = = = = 7. (2.4) 2 Torus, jonka värittämiseksi tarvitaan 7 väriä on myös helppo konstruoida (Kuvat 2.7 ja 2.8). Kuva 2.7: Kun tämä taso taitetaan torukseksi, saadaan torus, jonka värittämiseksi tarvitaan 7 väriä, sillä jokaisen värinen alue koskettaa kaikilla muilla väreillä väritettyjä alueita. Kuva 2.8: Torus [11]. 6

10 3. Karttojen värittäminen 3.1 Väritysten määrä Tarvittavien värien määrän lisäksi on mielekästä tutkia myös erilaisten väritysten määrää. Erilaisten väritysten määrän saamiseksi tarvitaan luonnollisesti tieto käytettävien värien määrästä. Tutkimuksessamme tutkimme tasokarttojen värittämistä, kun käytössä oli neljä väriä. Neljä oli mielekkäin valinta, sillä jokainen tasokartta on väritettävissä neljällä värillä, joten aina syntyy vähintään yksi kombinaatio. Kuva 3.1: Esimerkki värien kierrosta. Kiertoa käyttämällä on usein mahdollista saada 24-kertainen määrä kombinaatioita. Väritysten tulkitsemiseksi erilaisiksi on erilaisia lähestymistapoja. Yksinkertaisin tapa on tulkita kaksi kombinaatiota erilaisiksi, mikäli jokin alueista on väritetty eri värillä kummassakin kombinaatiossa. Tämän lisäksi myös väritysten kierrot voidaan jättää huomioimatta. Värityksen kierrolla tarkoitetaan sitä, että kahdessa kartassa kahdella värillä väritettyjen alueiden värit on vaihdettu keskenään (Kuva 3.1). Kiertojen synty voidaan estää ottamalla suurin klikki ja kiinnittämällä sieltä solmujen värit valmiiksi, mikä eliminoi osan kiertämällä syntyneistä kombinaatioista. Tämä toimii, mikäli graafin klikkiluku on 3 tai 4. Tällöin värien kierrättäminen on mahdotonta, sillä olisi ainoastaan yksi tai nolla väriä, jota pitäisi kierrättää. Jälkimmäinen lähestymistapa vähentää laskennan määrää, sillä jälkimmäistä käytettäessä saadaan useimmiten 1 ensimmäisellä lähestymistavalla saaduista määristä. Tämä luku seuraa siitä, että 4 4! väriä on kierrätettävissä jokaisessa kiertoa huomiomattomassa kombinaatiossa 4! eri tavalla. Jos graafin kromaattinen luku tai klikkiluku on 2, voi määrä jäädä pienemmäksi, sillä kiinnityksen takia kaikkia värejä ei välttämättä esiinny graafissa. Lähestymistapojen välinen ero ei kuitenkaan ollut merkittävä, joten algoritmissa tyydyimme vain kiinnittämään yhden solmun värin, jolloin saadaan 1 4 tapauksista eliminoitua. 3.2 Värityksiä etsivä ohjelma Selvittääksemme karttojen ominaisuuksia kirjoitimme ohjelman, joka selvittää näitä ominaisuuksia. Ohjelman toteutuskielenä oli Haskell. Käyttämämme kääntäjä oli Glasgow Haskell Compiler (GHC), versio Asetimme ohjelmalle seuraavat tavoitteet: Karttojen ja niiden alueiden esittäminen graafeina. Haluttuja ominaisuuksia sisältävien karttojen graafien generointi. Graafien ominaisuuksien määritys, väritys ja värityskombinaatioiden määrittäminen. Ohjelman lähdekoodi on saatavilla verkosta [12]. 7

11 3.2.1 Ohjelman toteutus Kartan esittäminen graafina Kartan alueita esitetään suuntaamattoman graafin solmuina (engl. vertex), ja alueiden naapuruussuhteita kuvataan graafin kaarina (engl. edges). Solmu koostuu sen indeksistä, väristä ja listasta sen naapurisolmuista, joihin solmusta lähtee kaari. Naapurisolmut on esitetty solmussa graafin indekseinä. Graafi on joukko solmuja, jotka on indeksoitu 0...n. Graafin tietorakenteena on nopeasti indeksoitava IntMap [Tiedosto Graphs.hs]. Satunnaisten karttojen luominen Halusimme käyttää väritysominaisuuksien tutkimiseen myös satunnaisia karttoja, joilla on haluttuja ominaisuuksia kuten solmujen lukumäärä, kaarien lukumäärä, korkeimman klikin klikkiluku ja korkeimman klikkiluvun mukaisten klikkien lukumäärä. Ohjelma generoi satunnaisgraafeja kahden parametrin perusteella: graafin solmuluku ja kaariluku. Ohjelman käyttämä algoritmi luo ensin vs solmua. Seuraavaksi se valitsee kaikista mahdollisista kaarista luotujen solmujen välillä satunnaisessa järjestyksessä es kaarta kuitenkin niin, että lopullisessa graafissa jokainen solmu liittyy kaarella vähintään yhteen solmuun. Satunnainen graafi on generoitu, kun satunnaisesti valitut kaaret on lisätty siihen. Tässä lähestymistavassa oli kuitenkin se ongelma, että luodut graafit eivät välttämättä olleet tasograafeja. Jos graafin generointi aloitettaisiin yhdellä solmulla, johon iteroiden lisättäisiin solmuja ja kaaria, olisi helpompi taata, että lopputulos on tasograafi. Päätimme kuitenkin, että tällainen iteroiva algoritmi ei ole meille toteuttamisen arvoinen, koska generoimamme graafit olivat ominaisuuksiltaan riittävän lähellä tasograafeja. Väritysalgoritmi Jotta graafin kaikkien värityskombinaatioiden määrä voitiin määrittää, päätimme simuloida väritystä sen sijaan, että olisimme yrittäneet etsiä matemaattista tapaa kombinaatioiden selvittämiseen. Olimme kiinnostuneita vain neljän värin kombinaatioista, koska neliväriongelman nojalla useamman värin kombinaatiot eivät ole mielenkiintoisia tasograafeille. Ensimmäisenä valitaan yksi solmu, joka väritetään ensimmäisellä värillä. Seuraavaksi väritetään jokin väritetyn solmun naapurisolmuista mahdollisimman monella eri värillä. Jokaisesta mahdollisesta naapurisolmun värityksestä lähtee uusi haara, jossa väritetään lisää naapurisolmuja. Haara päättyy, kun kaikki solmut on väritetty tai löydetään solmu, jota ei voida enää värittää millään värillä. Lopuksi jokaisesta haarasta löydetyt kombinaatioiden määrät summataan yhteen. Algoritmin toimintaa on havainnollistettu vuokaaviolla Kuvassa

12 Kuva 3.2: Vuokaavio käyttämästämme algoritmista graafin värityskombinaatioiden löytämiseen. Väritysalgoritmia olisi voitu optimoida värittämällä solmuja niihin liittyvien klikkien klikkilukujen mukaan laskevassa järjestyksessä. Emme kuitenkaan nähneet tarvetta tälle optimoinnille, koska toteuttamamme algoritmi osoittautui riittävän tehokkaaksi tarkoituksiimme, eli etsimään yli 600 graafin nelivärikombinaatiot riittävän lyhyessä ajassa normaalin PC-koneen laskentateholla. Graafin muiden ominaisuuksien määrittäminen Klikkien määrittäminen tapahtuu tarkastelemalla jokaista solmua erikseen: Klikin muodostavat ne solmut, jotka ovat tarkasteltavan solmun naapureita ja naapureita keskenään, joten yksinkertaisesti vertailemme kaikkia mahdollisia solmun naapurijoukkoja keskenään. Tämä on erittäin tehoton toteutus, mutta käyttötarkoituksiimme riittävä. Suurin klikkiluku on kaikkien klikkien klikkilukujen maksimiarvo. Klikkiluvun kokoisten klikkien lukumäärä saadaan laskemalla suurimman klikkiluvun esiintymiset kaikkien klikkien joukossa. Syötteet ja tulosteet Ohjelma ottaa kaiken syötteensä argumentteina, jotka on listattu ohjelman ohjetekstissä. Ohjeteksti generoidaan kääntöprosessissa. Ohjelman tulosteen rivit ovat pilkuin eroteltuja arvoja. Ensimmäinen rivi kertoo, mitä ominaisuuksia on laskettu ja missä järjestyksessä ne on esitetty seuraavilla riveillä. Seuraavilla riveillä on esitetty yhden graafin ominaisuudet. Kaikki ominaisuudet ovat kokonaislukuja. Ominaisuuksien selitykset: index Ilmaisee, monesko graafi oli ohjelmalle. vertices Solmujen määrä graafissa. edges Kaarien määrä graafissa. 4cc Mahdollisten nelivärikombinaatioiden määrä. LargestCD Suurimman klikin klikkiluku. LargestCC Suurimman klikin klikkilukua vastaavien klikkien määrä Ajaminen Käänsimme ja asensimme kirjoittamamme ohjelman: ghc -o viksu4c Main.hs. Tämän jälkeen ajoimme ohjelman:./viksu4c from unavoidable.conf +RTS -N4 > viksu4c.output. 9

13 Käytimme tutkittavina graafeina valmiita neliväriongelman todistamiseen käytetyn graafikonfiguraation graafeja. Robin Thomaksen graafikonfiguraatiossa [1] on 633 aligraafia. Konfiguraatio on saatavilla yhtenä tiedostona verkossa [13]. Piirsimme tuloksista kuvaajia gnuplot- ja MS Excel-ohjelmilla. 4. Tulokset 4.1 Todistuskartat Analysoimme Thomaksen kartat ohjelmamme avulla. Kombinaatioiden määrä kasvaa solmujen ja siis myös klikkien määrän kasvaessa (Kuva 4.1). Samoin käy myös solmujen ja kaarien määrien kasvaessa (Kuva 4.2). Thomaksen konfiguraation graafit ovat varsin samanlaisia ominaisuuksiltaan: Tiettyä solmujen määrää vastaavat kaarien määrät graafissa vaihtelevat vain hieman (Taulukko 4.1). Klikkiluvun vaikutuksen analysointia varten generoimme omia karttoja, joissa solmujen ja kaarien määrät pysyivät vakioina Kombinaatiot Kombinaatiot Klikit, joiden klikkiluku on 3 Kuva 4.1: Korkeinta klikkilukua (3) vastaavien klikkien lukumäärän korrelaatio värityskombinaatioiden määrään. Huomautus: solmujen määrä kasvaa klikkiluvun mukana. Solmuja Määrä % Kaaria % % % % Kaaria Määrä % % % % % Taulukko 4.1: Kaarien ja solmujen lukumäärien jakaumia ja tiheyksiä todistuskarttojen graafeissa. 10

14 Kombinaatiot Kaaret Solmut Kuva 4.2: Kombinaatioiden määrän riippuvuus solmujen ja kaarien lukumääristä. 5. Analysointi 5.1 Mallin laadinta tuloksista Tutkimuksessa halusimme selvittää graafin eri ominaisuuksien vaikutuksia värityskombinaatioiden määrään. Tarkasteltaviksi ominaisuuksiksi valitsimme kaarten määrän, solmujen määrän, klikkiluvun sekä klikkiluvun kokoisten klikkien määrän. Solmujen määrän ja kaarten määrän valitsimme sen takia, että ne määräävät graafin koon, jolla uskoimme olevan vaikutusta kombinaatioiden määrään. Valitsimme klikkiluvun myös tarkasteltavaksi parametriksi, sillä klikkiluku antaa kromaattiselle luvulle alarajan, joten klikkiluku liittyy myös värityskombinaatioiden määrään. Kromaattisen luvun alaraja on perusteltavissa sillä, että jokainen klikin solmu on yhdistetty toisiinsa kaarella, joten jokainen täytyy värittää eri väreillä. Klikkilukua vastaavien klikkien määrä kiinnosti myös, sillä klikeissä värityskombinaatioiden määrät ovat rajallisia. 5.2 Solmujen määrän vaikutus Sijoitimme testikartoista saadut mittaustulokset solmujen määrä lg(kombinaatioiden määrä) koordinaatistoon (Kuva 5.1). Pisteet sijoittuivat likimain suoralle. Sovitimme kuvaajaan suoran automaattisella suoransovitusohjelmalla (MS Excel). 11

15 lg(kombinaatioiden määrä) y = 0,2173x + 0, Solmujen määrä Kuva 5.1: Solmujen määrän vaikutus kombinaatioiden määrään. Huomaa logaritminen asteikko. Suoransovituksen parametreista saadaan lg(y) = 0, 2173x + 0, lg(y) = 10 0,2173x+0,0609 y = 10 0,2173x 10 0,0609 y = 1, , 6493 x, (5.1) missä y on kombinaatioiden määrä ja x on solmujen määrä. Arvioidaan mallin hyvyyttä selitysasteen avulla: σ 2 = SoS n = R 2 = ( y mitattu ymitattu n n (ymitattu y laskettu ) 2 1 n SoS ) , 9 n σ 2 0, 8958 = 89, 58%, missä σ on varianssi, y mitattu on mitattujen kombinaatioiden määrät, y laskettu on mallin avulla laskettujen kombinaatioiden määrät, n on mittausten määrä, SoS on neliösumma (engl. Sum of squares) ja R 2 on selitysaste. Virhettä tuloksiin tuo se, että solmujen määrän ja kaarien määrän suhde graafissa ei ollut aivan vakio. Lisäksi epätarkkuutta lisää se, ettei solmujen ja kaarien määrä määritä yksikäsitteistä graafia, vaan samojen parametrien avulla voidaan konstruoida useampi graafi. Tämän takia samaa solmujen määrää vastaa useampi kombinaatioiden määrä, eli kuvaus onkin vain suuntaa antava. (5.2) 12

16 5.3 Kaarten vaikutuksen huomioiminen Tutkittaessa solmujen vaikutusta saatiin mallin selitysasteeksi likimain 90%. Lähdimme parantamaan mallia ottamalla huomioon myös kaarten määrän vaikutuksen. Koska testidatassamme solmujen sekä kaarten määrät vaihtelivat, otimme uudeksi muuttujaksi kaarten ja solmujen määrän suhteen, sillä siinä solmujen lukumäärän vaikutus eliminoituu. Lähdimme tutkimaan neljää eri mallia ja etsimään niistä parasta. Mallit olivat y = a b x c z y = a x b c z y = a b x z c y = a x b z c, (5.3a) (5.3b) (5.3c) (5.3d) missä y on kombinaatioiden määrä, x on solmujen määrä, z on kaarien määrän ja solmujen määrän suhde ja a, b sekä c ovat vakioita. Optimaalisimpien vakioiden määrittäminen löytyy liitteestä [Liite 1]. Malleista parhaaksi osoittautui malli 5.3c, eli y = a b x z c. Optimaalisimmilla a, b ja c kaava muuttuu muotoon: y = , 0 1, x z 17, (5.4) Tämän mallin selitysaste oli 99,98%, eli malli selittää tulokset erittäin hyvin. Selitysaste mitattiin mallille y = a b x z c. Vakiot a, b ja c määrättiin mallista lg(y) = lg(a) + x lg(b) + c lg(z), joten tarkkaan ottaen vakioita ei ole optimoitu kaavalle y = a b x z c. 5.4 Klikkiluvun vaikutus Klikki ilmaisee sellaisten alueiden joukon, jossa kaikki alueet ovat toistensa naapureita. Klikkiluku ilmaisee suurimman tällaisen aluejoukon koon. Klikkiluvun vaikutus väritysten määrään olisi hyödyllinen ja sovellettava tieto. Yksi sovellusalue on ongelmat, joissa täytyy käydä läpi useita tapauksia. Näissä odotettavissa olevien tapausten määrä olisi erittäin mielekäs tieto algoritmien laskennallisen vaativuuden arvioimiseksi. Klikkiluvun vaikutuksen analysointi ei ollut kovinkaan mielekästä, sillä klikkiluku voi olla 2, 3 tai 4, joten tarpeeksi suurta määrää analysoitavaa dataa ei voi saada. Yleisimmin klikkiluku on 3 tai 4. Tutkimme 292 karttaa, joissa oli kaikissa 20 solmua ja 30 kaarta. Näistä kartoista saatujen tietojen perusteella laskimme kummallekin klikkiluvulle värityskombinaatioiden keskiarvon, varianssin, sekä suurimman ja pienimmän arvon. Tuloksista havaitaan (Taulukko 5.1), että niillä kartoilla, joiden klikkiluku on 3, on enemmän värityskombinaatioita. Tämä on perusteltavissa sillä, että neljän klikki on väritettävissä yksikäsitteisesti jos kiertoja ei lasketa, ja tämä laskee kartan väritysten määrää. Klikkiluvun vaikutuksen tutkiminen on myös mielekästä tarvittavien värien määrän kannalta: värejä tarvitaan vähintään klikkiluvun verran. Tutkimme suurimman klikkiluvun kokoisten Klikkiluku 3 4 Karttojen lukumäärä Keskiarvo Varianssi 1, , Suurin arvo Pienin arvo Taulukko 5.1: Klikkiluvun vaikutus. klikkien määrän vaikutusta väritysten määrään, kun solmujen määrä ja kaarien määrä on vakio. Valitsimme solmujen määräksi 15, kaarten määräksi 30 ja klikkiluvuksi 3. Loimme 1800 testikarttaa, joissa 13

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko

DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko Alkuviikon tuntitehtävä 1: Montako kahdeksaan yhtäsuureen sektoriin leikattua pitsaa voidaan tehdä kolmesta täytteestä siten, että kukin sektori

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Tasograafit ja väritykset

Tasograafit ja väritykset Solmu /06 Tasograafit ja väritykset Esa V. Vesalainen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopisto Graafi on matemaattinen olio, joka koostuu kahdesta eri asiasta: ) äärellisestä joukosta

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Tasograafit ja väritykset

Tasograafit ja väritykset Tasograafit ja väritykset Esa V. Vesalainen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-Yliopisto Graafi on matemaattinen olio, joka koostuu kahdesta eri asiasta: ) äärellisestä joukosta kärkiä; sekä

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Verkkojen värittäminen

Verkkojen värittäminen Verkkojen värittäminen Pro gradu -tutkielma Tiina Aaltonen 165231 Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 10. tammikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Verkkojen peruskäsitteitä 4 2.1 Solmu,

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks may

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen

Lisätiedot

Luento 9: Permutaatiot ja symmetriat 1 MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet, syksy 2014 Harri Varpanen Aalto-yliopisto Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Keskiviikko 8.10.2014 Ryhmän toiminta

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot