Fysikaalinen geodesia Maa

Transkriptio

1 Fysikaalinen geodesia Maa Martin Vermeer g N N 14. toukokuuta 2015

2

3 Kurssiesite Laajuus 5 op Opetusjakso III, Luennoidaan parittomien vuosien keväinä. Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija osaa tehdä yksinkertaisten kappaleiden painovoimakentän laskentoja. Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja painovoima-anomalioiden ja maastokorjauksen kanssa. Osaa laskea geopotentiaalilukujen, ortometristen ja normaalikorkeuksien välillä. Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja liittyen isostaattiseen kompensaatioon. Osaa tilastollisesti predikoida painovoima-anomaliat kollokaatiomenetelmällä. Ymmärtää Maan painovoimakentän esittämistä pallofunktiokertoimilla, sekä painovoima-anomalioiden ja geoidikorkeuksien spektraalikäyttäytymistä. Ymmärtää gravimetrisen geoidimäärityksen perusteet. Sisältö Maan painovoimakenttä ja sen esitystavat; geopotentiaali ja pallofunktiokehitelmät; eri havaintotyypit ja niiden käsittely; painovoima-anomaliat; Maan muoto (geoidi) ja sen määritys; korkeudenmittaus ja korkeusjärjestelmät; maastomallit ja maastoefektit; painovoima ja Maan sisäinen rakenne; merenpinta, geoidi ja merenpinnan topograa; satelliittien käyttö painovoimakentän määrityksessä. Esitiedot Maa tai Maa Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa Kohderyhmä Suoritustavat Kokonaissuoritus koostuu tentistä ja laskuharjoituksista.

4 Työmäärä toteutustavoittain Luennot 6 4 t = 24 t Materiaalin itsenäinen opiskelu 31 t Laskuharjoitukset 30 2t josta 25 pakollisia (itsenäinen työskentely) Harjoitustyö 20 t Yhteensä 135 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste. Taustamateriaalina Heiskanen and Moritz (1967). Opetuskieli Suomi, englanti Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, nimi@aalto., puh Vastaanottoajat Sovitaan CEFR-taso Lisätietoja Kiitokset Monelle opiskelijalle ja kollegoille kiitoksia vuosien saatossa saaduista hyödyllisistä kommentteista ja korjausehdotuksista.

5 Sisältö iii Sisältö 1 Gravitaatioteorian perusteita Yleistä Kahden massan välinen gravitaatio Pistemäisen kappaleen potentiaali Pallon muotoisen kuoren potentiaali Vetovoiman laskeminen potentiaalista Kiinteän kappaleen potentiaali Käyttäytyminen äärettömyydellä Esimerkki: Massaviivan potentiaali Laplacen ja Poissonin yhtälöt Mittainvarianssi Yksinkertainen massatiheyskerros Kaksinkertainen massatiheyskerros Gaussin lause Esitys Intuitiivinen kuvaus Gaussin lauseen potentiaaliversio Esimerkki 1: pieni kuutio Esimerkki 2: Poissonin yhtälö pallolle Greenin lauseet Chaslesin lause Reuna-arvotehtäviä Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Yleistä Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa Esimerkki: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa Riippuvuus korkeudesta Legendren funktiot Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet Riippuvuus leveysasteesta Riippuvuus pituusasteesta

6 iv Sisältö 2.8 Legendre-polynomien ortogonaalisuus Eri suureiden spektraaliesitykset Potentiaali Gravitaatio Funktion hajoittaminen asteosuuksiin Matalan asteluvun pallofunktiot Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät Ellipsoidiset harmoniset Normaalipainovoimakenttä Normaalikentän perusajatus Keskipakoisvoima ja sen potentiaali Tasopinnat ja luotiviivat Luonnolliset koordinaatit Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea] Normaalipainovoima Numeeriset arvot ja kaavat Esimerkki Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä Häiriöpotentiaali Harjoitustehtäviä Rappin kaavan ja ellipsoidisen kaavan ekvivalenssin osoittaminen, Somigliana-Pizettin kaava Painovoimakentän anomaaliset suureet Häiriöpotentiaali, geoidikorkeus, luotiviivapoikkeamat Painovoimahäiriöt Painovoima-anomaliat Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä Telluroidikuvaus ja kvasi-geoidi Ilma-anomaliat Harjoitustehtäviä Painovoima-anomalioiden spektri Geofysikaaliset reduktiot Yleistä Bouguer-anomaliat Laskenta Ominaisuudet Maastoefektit ja maastokorjaus Esimerkki: Maastokorjauksen laskenta erikoistapauksessa Bouguer-palloanomaliat Helmert-kondensaatio Isostasia

7 Sisältö v Klassisia hypoteeseja Laskentakaavoja Isostasian nykykäsitys Isostaattiset reduktiot Isostaattinen geoidi Korkeusjärjestelmät Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi Ortometriset korkeudet Normaalikorkeudet Molodenskyn teoria Molodenskyn todistus Normaalikorkeus ja korkeusanomalia Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta Normaalikorkeuksien tarkka laskenta Korkeuksien laskentaesimerkki Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus Tulevaisuuden näkymä: suhteellisuusteoreettinen vaaitus Stokesin kaava ja muut integraalikaavat Stokesin kaava ja Stokesin integraaliydin Luotiviivapoikkeamat ja Vening Meineszin kaavat Poissonin integraalikaava Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa Painovoima-anomalian pystygradientti Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä Molodensky-menetelmä lineaarisessa approksimaatiossa Laskentapiste vertaustasoksi Remove-Restore -menetelmä Ytimen modikaatio Remove-Restore -menetelmässä Paikallisen vyöhykkeen vaikutus Spektraalimenetelmät, FFT Stokesin lause konvoluutiona Integrointi FFT:llä Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa Strang van Hees -menetelmä Spherical FFT, monivyöhykemalli Spherical FFT, Taylor-kehitelmämalli D-FFT Mutkat matkalla; bordering, tapering Geoidimallin laskenta FFT:llä

8 vi Sisältö GRAVSOFT-ohjelmisto Suomen FIN2000 geoidi FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä Satelliitti-altimetria Satelliittipainovoimamissiot; ilmagravimetria Maastokorjausten laskenta FFT:llä Tilastolliset menetelmät Epävarmuuden rooli geofysiikassa Lineaariset funktionaalit Tilastotiede Maan pinnalla Painovoimakentän kovarianssifunktio Pienimmän neliösumman kollokaatio Stokastiset prosessit yhdessä ulottuvuudessa Signaali ja kohina Estimaattori ja sen virhevarianssi Optimaalisuuden osoitus Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio PNS-kollokaatio painovoima-anomalioille Laskuesimerkki PNS-kollokaation teoria Painovoima-anomalioiden prediktio Kovarianssifunktio ja astevarianssit Häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio Astevarianssit ja pallofunktiokertoimet Kovarianssien kasautumislaki Ensimmäinen esimerkki: Potentiaalin jatkaminen ylöspäin Toinen esimerkki: painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio Globaaliset kovarianssifunktiot Kollokaatio ja spektraalinäkökohta Harjoitustehtäviä Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio Kovarianssien kasautuminen Maanalaiset massapisteet Gravimetriset mittauslaitteet Historia Relatiivinen (jousi-)gravimetri Astatisaatio Heilahtelun periodi Käytännön mittaus Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri Verkkohierarkia gravimetriassa Suprajohtava gravimetri

9 Sisältö vii 10.6 Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen Ilmagravimetria ja GNSS Painovoimagradientin mittaus Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa Peruskäsitteet Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit Geoidi ja postglasiaalinen maannousu Menetelmiä meritopograan määrittämiseksi Globaalinen meritopograa ja lämmönkuljetus Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen Merenpintayhtälö Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Satelliitti-altimetria Crossover-tasoitus Satelliittiradan valinta Esimerkki Retracking Merentutkimus altimetrian avulla Satelliittipainovoimamissiot Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet Teoreettinen vuorovesi Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio Vuoroveden pysyvä osa Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen Maan painovoimakentän tutkimus Kansainvälisesti Eurooppa Pohjoismaat Suomi Oppikirjat Kirjallisuutta 223 A Kenttäteorian ja vektorianalyysin rautaisannos 229 A.1 Vektorilaskenta A.1.1 Skalaaritulo A.1.2 Skalaaritulo, muodollisesti A.1.3 Ulkoinen tulo eli vektoritulo A.1.4 Vektoritulo, muodollisesti A.1.5 Keplerin toinen laki A.2 Skalaari- ja vektorikenttiä

10 viii Sisältö A.2.1 Määritelmät A.2.2 Avaruuden kanta A.2.3 Nabla-operaattori A.2.4 Gradientti A.2.5 Divergenssi A.2.6 Rotaatio (en. curl) A.2.7 Konservatiiviset kentät A.2.8 Laplacen operaattori A.3 Integraalit A.3.1 Käyrä-integraali A.3.2 Pinta-integraali A.3.3 Stokesin reuna-integraalilause A.3.4 Gaussin integraalilause A.4 Aineen jatkuvuus B Funktioavaruudet 243 B.1 Abstraktinen vektoriavaruus B.2 Fourier-funktioavaruus B.3 Sturm-Liouville -dierentiaaliyhtälöt B.3.1 Ominaisarvotehtävä B.3.2 Itseadjungoitu operaattori B.3.3 Itseadjungoidut dierentiaaliyhtälöt B.4 Legendre-polynomit B.5 Pallofunktiot C Miksi FFT toimii? 253 D Helmert-kondensaatio 255 D.1 Topograan sisäinen potentiaali D.2 Topograan ulkoinen potentiaali D.3 Kondensaatiokerroksen ulkoinen potentiaali D.4 Helmert-kondensaation kokonaispotentiaali D.4.1 Helmert-kondensaation painovoimavaikutus D.4.2 Helmert-kondensaation sisäinen potentiaali D.4.3 Dipolimenetelmä Hakemisto 261

11 Taulukot 2.1 Legendre-polynomeja Legendren liitännäisfunktioita EGM96-pallofunktiokehitelmän kertoimia Altimetriasatelliitteja kautta aikojen Teoreettisen vuoroveden eri periodit Kuvat 1.1 Gravitaatio on universaalinen Pallon ohut kuori koostuu renkaista Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta Kaksinkertainen massatiheyskerros Gaussin lauseen graanen selostus Pieni kuutio Greenin kaavan ulkoinen geometria Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on sisäpuolella Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle Painovoimakentän vaimennus korkeuden mukaan Pallokoordinaattien määritelmä Geodeettisten koordinaattien määritelmä Muutama Legendren polynomi Legendren liitännäisfunktioita Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla Pintapallofunktiot karttoina. Vaaka-akseli 2 [0; 360 ), pystyakseli 2 [ 90 ; 90 ]. Kuvatut funktiot ovat P 50 (sin ) P 66 (sin ) cos 6 P 11;6 (sin ) cos 6 P 40 (sin ) P 65 (sin ) cos 5 P 10;6 () cos 6 :

12 x Kuvat 2.8 Monopoli, dipoli ja kvadrupoli ja niiden vaikutukset geoidiin Luonnolliset koordinaatit Normaalikentän potentiaalikäyrä päiväntasaajan yläpuolella Geoidi-undulaatiot ja luotiviivapoikkeamat Painovoima- ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat Eri vertauspinnat Ilma-anomalioita Etelä-Suomessa Bouguer-laatan vetovoima Bouguer-laatta topograan approksimaationa Eri anomalioiden käyttäytyminen vuoristossa Maastokorjattuja Bouguer-anomalioita Etelä-Suomessa Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä Bouguer-anomalian laskennan vaiheet Helmert-kondensaatio ja sen Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi Airy-Heiskanen isostaattinen hypoteesi Isostaattisen kompensaation suureita Isostasian nykykäsitys Isostaattisia painovoima-anomalioita Etelä-Suomessa Isostaattinen reduktio kahtena pintatiheyskerroksena Vaaituksen periaate Korkeusvertauspatsas Helsingin Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut Päijänne: vesi virtaa ylöspäin Mihail Sergejevit² Molodensky, mystisestä venäläisestä asiakirjasta Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja maasto Optinen valohilakello Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate Stokes-kaavan integrointi geometrisesti Stokesin funktio S ( ). Argumentti radiaaneina [0; ). Kuva näyttää myös analyyttisen ilmaisun 7.2 kolme eri osaa eri asymptoottisine käyttäytymisineen Generoiva funktio Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille Residual terrain Model (RTM) Modioituja Stokes-ydinfunktioita Simpson-integrointi kahdessa ulottuvuudessa Karttaprojektiokoordinaatit x; y paikallisessa tangenttitasossa Tapering 25% Esimerkkikuvat FFT-muunnoksesta

13 Kuvat xi 8.4 Suomen FIN2000-geoidi Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina Sirkulaarinen geometria Jean Richer'n raportti Autograv CG5 jousigravimetri Jousigravimetrin toimintaperiaate Astatisoinnin idea Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate FG5 absoluuttinen gravimetri Atomigravimetrian toimintaperiaate Kansainvälinen absoluuttigravimetrien vertailu Suprajohtavan gravimetrin toimintaperiaate Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia Fennoskandian 63 N leveyspiirin painovoimalinja Meritopograan ja merivirtausten välinen yhteys GOCEn tuottama meritopograakartta Merenpintayhtälö Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen TOPEX/Poseidon ja Jason-satelliittien Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet Eräs crossoverien yksinkertainen geometria Aurinkosynkroonisen radan mekanismi No-shadow -radan geometria Altimetriapulssin analyysi Jäävolyymi Arktisella merellä Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti GRACE-satelliittien perusidea Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliitin Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun (tai Auringon) paikallinen zeniittikulma Teoreettisen vuoroveden pääkomponentit A.1 Ulkoinen tulo eli vektoritulo A.2 Keplerin toinen laki A.3 Gradientti A.4 Divergenssi A.5 Rotaatio A.6 Stokesin rotaatiolause

14 xii Kuvat A.7 Gaussin divergenssilause

15 Luku 1 Gravitaatioteorian perusteita 1.1 Yleistä Tässä luvussa käsitellään Newtonin gravitaatioteorian perusteita. Intuitiivisesti gravitaatioteoriaa on helpointa ymmärtää kaukovaikutuksen (En. action at a distance) ilmiönä, jossa kahden massan välinen voima on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen massojen välisen etäisyyden neliöön. Tämä on Newtonin gravitaatiolain kaikille tuttu ilmaisumuoto. On olemassa vaihtoehtoinen mutta samanarvoinen esitystapa, kenttäteoria, joka kuvaa gravitaatiota avaruuden kautta etenevänä ilmiönä, kenttänä. Etenemistä kuvaa kenttäyhtälöt. Kenttäteorian lähestymistapa ei ole yhtä intuitiivinen, mutta on tehokas teoreettinen apuväline. Tässä luvussa tutustutaan kenttäteorian keskeiseen gravitaatiopotentiaalin käsitteeseen. Tutkitaan myös yksinkertaisen ja kaksinkertaisen massatiheyskerroksen aiheuttamat, teoreettisesti mielenkiintoiset potentiaalikentät. Niiden sovelluksista teoriassa ja käytännössä mainittakoon Bouguer-kerros ja ns. Helmert-kondensaatio. Seuraavassa käsitellään seikkaperäisesti niiden ominaisuudet. Massatiheyskerroksia käytetään myös Greenin lauseiden johtamisessa. Tutustumme keskeisiin integraalilauseisiin kuten Gaussin ja Greenin lauseet, joiden avulla voidaan päätellä koko potentiaalikenttää avaruudessa vain tietyllä pinnalla annetujen kenttäarvojen perusteella. Muut vastaavat esimerkit ovat Chaslesin lause, Stokesin lause ja Dirichletin ongelman ratkaisu. Luvussa 2 nämä potentiaaliteorian perusteet sovelletaan Maan gravitaatiokentän spektraaliesityksen, ns. pallofunktiokehitelmän, johtamiseksi. Tässä alussa johdetaan suurehko määrä matemaattisia kaavoja, mm. integraalikaavoja. Tämä on valitettavasti välttämätön pohjatyö. Kuitenkaan kaavat eivät ole itsetarkoitus eikä niitä kannata oppia ulkoa. Yritä mieluummin ymmärtää niiden logiikka ja miten historiallisesti eri tuloksiin on päädytty, sekä hankkia itsellesi jonkinlaista sormituntumaa teorian luonteesta.

16 2 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Kuva 1.1 Gravitaatio on universaalinen. Hubble-teleskoopin kuvaama gravitaatiolinssi, galaksijoukko etäisyydellä 2.2 miljardia valovuotta. Lähde NASA & ESA. 1.2 Kahden massan välinen gravitaatio Maan painovoimakentän tutkimus alkaa sopivasti Isaac Newtonin 1 yleisestä gravitaation laista: F = G m 1m 2 `2 : (1.1) F on kappaleiden 1 ja 2 välinen vetovoima; m 1 ja m 2 ovat kappaleiden massat ja ` on niiden välinen etäisyys. Massat oletetaan pistemäisiksi. Vakio G on arvoltaan G = 6: m 3 kg 1 s 2 : G:n arvoa määritti ensimmäistä kertaa Henry Cavendish 2 käyttämällä herkkää torsiovaakaa. 1 Isaac Newton ( ) oli englantilainen yleisnero joka matematisoi tähtitiedettä ja suurta osaa geofysiikkaa pääteoksessaan Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Fysiikan matemaattiset perusteet). 2 Henry Cavendish ( ) oli brittiläiskemisti ja -fyysikko rikkaasta aatelissuvusta.

17 1.2. Kahden massan välinen gravitaatio 3 Olkoon m pieni kappale, koemassa, esim. satelliitti, ja M suuri massa, planeetta tai Aurinko. Silloin m 1 = M voidaan kutsua vetoavaksi massaksi ja m 2 = m vedetyksi massaksi, ja saadaan F = G mm `2 : Newtonin liikelain mukaan F = ma; missä a on kappaleen m kiihtyvyys. Tästä seuraa a = G M`2 : Tästä kaavasta suure m = m 2 on hävinnyt. Tämä on kuuluisa Galilei'n havainto, että kaikki kappaleet putoavat yhtä nopeasti 3, niiden massasta riippumatta. Tätä tunnetaan myös Einsteinin ekvivalenssiperiaatteena. Sekä voima F että kiihtyvyys a ovat samansuuntaisia kappaleiden yhdistävän viivan kanssa. Siksi kirjoitetaan yhtälö (1.1) usein vektorikaavana, jolla on suurempi ilmaisukyky: a = GM r R `3 ; missä vedetyn ja vetäävän massan kolmiulotteiset paikkavektorit määritellään seuraavasti suorakulmaisissa koordinaatteissa 4 : r = xi + yj + zk; R = Xi + Y j + Zk; missä yksikkövektorien kolmikko fi; j; kg on eukliidisen avaruuden R 3 ortonormaalinen kanta ja (1.2) ` = kr Rk =q(x X) 2 + (y X) 2 + (z Z) 2 (1.3) on massojen välinen etäisyys Pythagoraan lauseen mukaisesti laskettuna. Huomaa, että vektorikaavassa (1.2) on miinusmerkki! Tämä kertoo vain, että voiman suunta on päinvastainen kuin vektorin r R suunta. Tämä vektori on vedetyn massan m paikka vetäävän massan M paikasta laskettuna. Toisin sanoen, tämä kertoo että kyseessä on vetovoima eikä työntövoima. 3 Ainakin tyhjiössä. Apollo-astronautit esittivät vaikuttavasti, miten Kuulla höyhen ja vasara putoavat yhtä nopeasti! 4 Vektorin notaatioksi voidaan käyttää joko! v (nuoli yläpuolella) tai v (lihava). Tässä käytetään lihavointia, paitsi kreikkalaisin kirjaimin merkittyille vektoreille, joille lihavointi ei onnistu.

18 4 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita 1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali Gravitaatiokenttä on erikoinen kenttä: mikäli se on stationaarinen eikä siis ajasta riippuvainen, se on konservatiivinen. Tämä merkitsee, että kappale, joka liikkuu kentän sisällä suljettua reittiä pitkin, matkan lopussa ei ole menettänyt eikä voittanut energiaa. Tästä syystä voi kiinnittää jokaisen kentän pisteelle yksiselitteisesti tarran johon voi merkitä yksikkö- eli koemassan energiamäärä, joka se on voittanut tai menettänyt matkustaessaan sovitusta lähtöpisteestä kyseessä olevaan pisteeseen. Tarralle kirjoitettua arvoa kutsutaan potentiaaliksi. (Huomaa, että lähtöpisteen valinta on mielivaltainen! Tähän asiaan palataan vielä.) Pistemäisen kappaleen M näin määritelty potentiaalifunktio on: V = G = ; M` GM` (1.4) jossa ` on taas, kuten yllä, vektorin r R pituus ` = kr Rk. Vakiolla GM on Maapallon tapauksessa (GRS80-järjestelmän mukainen, konventionaalinen) arvo: GM = 3; m 3 =s 2 : Tämän hetken paras käytettävissä oleva fysikaalinen arvo taas on: GM = 3; m 3 =s 2 : 1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali Voimme kirjoittaa kaavan 1.4 perusteella laajan kappaleen potentiaali seuraavaan muotoon: ˆ dm V = G ` : (1.5) m Tämä on integraali massa-alkoiden dm yli, missä jokainen massa-alkio dm sijaitsee paikalla R. Potentiaali V lasketaan paikalla r, ja etäisyys ` = kr rk. Johdamme nyt ohuen pallon muotoisen kuoren potentiaalin kaavan, ks. kuva 1.2, jossa olemme laittaneet pallon keskipiste origoksi O. Koska kapean renkulan, leveys b d, ympärysmitta on 2b sin, on sen pinta-ala (2b sin ) (b d) : Olkoon kuoren paksuus p (pieni) ja sen ainetiheys. Saamme renkulan kokonaismassaksi: 2pb 2 sin d: Koska renkulan jokainen piste on samalla etäisyydellä ` pisteestä P; voimme kirjoittaa po-

19 1.4. Pallon muotoisen kuoren potentiaali 5 bd p b O r ` P b Kuva 1.2 Pallon ohut kuori koostuu renkaista. tentiaaliksi pisteessä P : V P = 2Gpb2 sin d : ` Kosinisäännön avulla: `2 = r 2 + b 2 2rb cos (1.6) saadaan kaavan 1.5 avulla koko kuoren potentiaaliksi: ˆ V P = 2Gpb 2 sin d p r2 + b 2 2rb cos : Tämän integraalin laskemiseksi muutetaan integrointimuuttuja :stä `:ksi. Dierentioimalla kaava 1.6 saadaan `d` = br sin d; ja muistamalla että ` = p r 2 + b 2 2rb cos saadaan: V P = 2Gpb 2 ˆ `2 `1 d` br : Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren ulkopuolella, ovat `:n integrointirajat `1 = r b ja `2 = r + b, ja pisteen P potentiaaliksi saadaan 2" #`=r+b ` V P = 2Gpb br `=r b = 4Gpb2 : r

20 6 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Koska koko kuoren massa on M b = 4b 2 p, seuraa, että kuoren potentiaali on sama kuin sen keskipisteessä O olevan, samansuuruisen massan potentiaali : V P = GM b r ; jossa r on nyt laskentapisteen P etäisyys pallon keskipisteestä O. Nähdään, että tämä on sama kaava kuin 1.4. Samalla tavoin pallokuoren vetovoima (kiihtyvyys) on a = rv = 4Gpb 2 r P r O r 3 = GM b r P r O r 3 ; taas identtinen samanmassaisen, pisteessä O sijaitsevan pistemassan aiheuttaman kiihtyvyyden kanssa, ks. kaava 1.2. Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren sisäpuolella, `1 = b integraali muuttu seuraavaksi: 2" #`=b+r ` V P = 2Gpb = 4Gpb: br `=b r r ja `2 = b + r ja yllä oleva Kuten nähdään, tämä on vakio eikä riipu pisteen P paikasta. Siksi rv P = 0 ja vetovoima potentiaalin gradienttina häviää. Lopputulos on, että pallon muotoisen kuoren vetovoiman suuruus on kuoren ulkopuolella a = GM r 2 ; missä M on kuoren kokonaismassa ja r havaintopisteen etäisyys kuoren keskipisteestä; ja 0 kuoren sisällä. Kuvassa 1.3 on piirretty potentiaalin ja vetovoiman (eli kiihtyvyyden, vetovoima-per-massayksikkö) käyrät. Jos kappale koostuu monesta sisäkkäisestä pallon kuoresta (kuten melko tarkasti maapallo ja useimmat taivaankappaleet) aiheuttavat kappaleen sisällä vetovoimaa vain ne massakerrokset jotka ovat havaintopisteen sisäpuolella, ja vetovoima on sama kuin mitä se olisi jos koko niiden massa olisi keskitetty kappaleen keskipisteeseen. Tätä tapausta, jossa massatiheysjakauma kappaleen sisällä riippuu ainoastaan etäisyydestä sen keskipisteestä eikä leveys- tai pituusasteesta, kutsutaan isotrooppiseksi tiheysjakaumaksi. 1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista Kuten yllä argumentoitiin on potentiaali ns. matka-integraali. Kääntäen voidaan potentiaalista laskea gravitaation kiihtyvyysvektorin komponentit dierentioimalla paikan suhteen, ts. ottamalla gradientti: a =! rv =! gradv + + : (1.7)

21 1.5. Vetovoiman laskeminen potentiaalista 7 4Gb Kiihtyvyys 4Gb b2 r 2 4Gb b r Potentiaali 0 0 b r Kuva 1.3 Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren keskipisteestä. Tässä symboli r (nabla) on usein käytetty ns. dierentiaalioperaattori r : Tässä fi; j; kg on taas eukliidisen avaruuden R 3 keskenään kohtisuorien yksikkövektorien kanta. Kokeillaan tätä dierentiaatiota pistemassan M potentiaalikentän tapauksessa. Sijoita ylläolevat V :n 1.4 ja `:n 1.3 kaavat @` = GM 1 `2 x X ` Vastaavasti lasketaan y- = GM y Y = GM z Z : `3 = GM x X `3 : Nämä ovat gravitaatiokiihtyvyyden komponentit kun kentän lähde on yksi pistemassa M. Siis tässä konkreettisessa tapauksessa yllä annettu vektoriyhtälö pitää paikkansa: a =! gradv =! rv: 5 Kaavasta ` =q(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 =h(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2i1 2 seuraa 2 X) + (y Y ) + (z Z) X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) = 1 2 h(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2i 1 2 (x = 2 (x X) = x X : `

22 8 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Huomautus: fysikaalisessa geodesiassa toisin kuin esim. fysiikassa potentiaali lasketaan aina positiiviseksi jos vetäävä massa M on positiivinen (kuten tiettävästi aina on). Kuitenkin kappaleen m potentiaalienergia massan M kentässä on negatiivinen! Tarkemmin, kappaleen m potentiaalinen energia on: E pot = V m: Käytännössä kutsutaan gravitaatiokiihtyvyysvektoria yksinkertaisemmin gravitaatiovektoriksi. 1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali Seuraavaksi tutkitaan kiinteä kappale, jonka massa on jakautunut avaruudessa eikä siis keskitetty yhteen pisteeseen. Maapallo on tästä esimerkki: sen massajakauma avaruudessa voidaan kuvata tiheysfunktiolla : (x; y; z) = dm (x; y; z) dv (x; y; z) ; jossa dm on massa-alkio ja dv on avaruuden tilavuusalkio siinä, missä massa-alkio sijaitsee. :n dimensio on tiheys, sen yksikkö SI-järjestelmässä kg =m³. Koska gravitaatiokiihtyvyys (1.7) on lineaarinen ilmaisu potentiaalissa V, ja voima- tai kiihtyvyysvektorit voidaan summata lineaarisesti, seuraa, että myös kappaleen kokonaispotentiaali saadaan summaamalla kaikki sen osien potentiaalit yhteen. Esimerkiksi n massapisteen kokoelman potentiaali on V = G nx m i i=1 `i josta saadaan gravitaatiokiihtyvyys yksinkertaisesti gradienttilauseen 1.7 kautta. Kiinteän kappaleen potentiaali saadaan vastaavasti korvaamalla summa integraalilla, seuraavalla tavalla. (Huomaa että valitettavasti sama symboli V käytetään sekä potentiaalille että tilavuudelle): V = G body dm ` = G body dv: (1.8) ` Symboli integraalin sisällä merkitsee ainetiheys massa-alkion dm paikalla; ` = kr Rk = q(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 on vetäävän massa-alkion ja mittauspisteen välinen etäisyys. Selvemmin: V (x; y; z) = G body (X; Y; Z) dxdy dz: q(x X) 2 + (y Y ) (z Z)

23 1.6. Kiinteän kappaleen potentiaali 9 Kuten yllä jo näytetty massapisteelle, myös kiinteän kappaleen geopotentiaalin V ensimmäinen derivaatta eli gradientti paikan suhteen,! gradv =! rv = a; on kappaleen vetovoiman aiheuttama kiihtyvyysvektori. Tämä pätee yleisesti. (1.9) Käyttäytyminen äärettömyydellä Mikäli kappale on äärellisen kokoinen (ts. se on kokonaan -säteisen, origoa ympäröivän pallon sisällä) ja sen tiheyskin on kaikkialla rajallinen, seuraa että krk! 1 ) V (r)! 0; koska kolmio-epäyhtälön mukaan ` = kr Rk krk krk krk ja siis 1 `! 0 kun krk! 1: Gravitaation kiihtyvyydelle pätee kaikille kolmelle komponenteille, siis myös vektorisuureen pituusarvolle, samaa: krk! 1 )! rv! 0: Tätä tulosta voidaan vielä tarkentaa: jos krk! 1, silloin taas kolmio-epäyhtälön mukaan, ja siis ` = kr Rk krk + krk krk + ; 1 krk + 1` 1 krk ) 1 krk Näemme, että (taas notaatiolla r = krk): r! 1 ) 1`! 1 r : ` 1 1 =krk krk 1 : =krk Kun sijoitetaan tätä yllä olevaan integraaliin 1.8, seuraa, että suureille etäisyyksille r! 1: V = G r dv G dv = GM r r ; kappale kappale missä M, tiheyden integraali kappaleen tilavuuden yli, on juuri sen kokonaismassa. Tästä nähdään että suurella etäisyydellä äärellisen kokoisen kappaleen kenttä on lähes identtinen

24 10 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita sen kentän kanssa, joka aiheutuu pistemassasta, jonka kokonaismassa on sama kun kappaleen kokonaismassa M. Tämä tärkeä huomautus teki jo Newton. Tämän ilmiön ansiosta voimme Aurinkokunnan taivaanmekaniikassa käsitellä Aurinko ja planeetat 6 massapisteinä, vaikka tiedetään että ne eivät sitä ole. 1.7 Esimerkki: Massaviivan potentiaali Pystyasennossa olevan (yksikkömassaisen) massaviivan potentiaali on V (x; y; z) = ˆ H 0 1 dz; (1.10) q(x x) 2 + (Y y) (Z z) jossa (X; Y ) on massaviivan paikka, (x; y; z) on potentiaalin laskentapisteen paikka, ja massaviiva ulottuu merenpinnalta Z = 0 korkeuteen Z = H. Ensin kirjoitetaan x = X x, y = Y y, z = Z z, ja potentiaalista tulee V ( x; y; z) = ˆ H z Määrämätön integraali on ln z +q x 2 + y 2 + z 2 ja integrointirajojen sijoitus antaa z 1 p x2 + y 2 + z 2 d z: V = ln H z + q x 2 + y 2 + (H z) 2 z + p x 2 + y 2 + z 2 : Nyt voimme kehittää tämä Taylor-sarjaan H:n suhteen pisteen H = 0 ympäri: yhtälön = 1 q(x x) 2 + (Y y) 2 + (H z) 2 = ` 1 jossa ` =q(x x) 2 + (Y y) 2 + (H z) 2 ; toinen derivaatta on 2 ` 1 = 1 2` 3 2 (H z) = Kolmas derivaatta, samalla 3 H z 3 (H z)2 = `3 `5 H z `3 : `2 `5 = 3 (H z)2 `2 `5 ; 6 Ainoa merkittävä poikkeama on planeettojen ja niiden kuiden väliset voimat sekä planeetan litistyneisyyden että vuoksi-ilmiön johdosta.

25 1.8. Laplacen ja Poissonin yhtälöt 11 ja niin edelleen. Taylor-kehitelmä on z } { ˆ 0 V = = ` dz + 1`0 H + 1 z H `30 6 jossa `0 =q(x x) 2 + (Y y) 2 + z 2. 3z 2 `20 `50 H 3 + : : : (1.11) Kysymys: miten voisimme käyttää tätä tulosta kokonaisen, realistisen maaston potentiaalin laskemiseen? Vastaus: tässä kehitelmässä kertoimet 1`0 ; z`0 ; : : : riippuvat vain koordinaattien erotuksista x = X x ja y = Y y, massaviivan paikan (X; Y ) ja laskentapaikan (x; y) välillä ja laskentapaikan korkeudesta z. Jos maasto on annettuna hilan muodossa, voidaan arvioida yo. kehitelmä 1.11 annetulle z-arvolle ja kaikille mahdollisille ( x; y)-arvopareille. Silloin, jos hilan koko on vaikkapa N N, tarvitaan vain N 2 laskutoimitusta jokaisen kertoimen laskemiseksi. Itse Taylor-kehitelmän evaluointi koko maastolle, eli kaikille hilapisteille, vaatii sen jälkeen N 4 laskutoimitusta, mutta ne ovat nyt yksinkertaisempia: kertoimet itse ovat jo esilaskettuja. Tämän lisäksi, jos laskentapiste on (vaihtelevan korkuisen) maaston pinnalla, kuitenkin yhtälön 1.11 jää laskennallisesti kevyeksi. Palaamme tähän aiheeseen laajemmin maastokorjauksen yhteydessä, alaluvut 5.3 ja Laplacen ja Poissonin yhtälöt Geopotentiaalin toinen derivaatta paikan suhteen, gravitaatiokiihtyvyysvektorin ensimmäinen paikan derivaatta eli sen divergenssi, on myös geofysikaalisesti mielenkiintoinen. Voidaan kirjoittaa: missä diva = D! r a E = D! r! rv E = D! r! r E V = V 2 D! r! r E 2 on tunnettu symboli nimeltä Laplacen 7 V V V; (1.12) Massapistepotentiaalin kaavasta 1.4 voidaan osoittaa suorittamalla kaikki osittaisdierentiaatiot 1.12, että V = 0; 7 Pierre Simon Marquis de Laplace ( ) oli ranskalainen matematiikan ja luonnontieteiden yleisnero.

26 12 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita tunnettu Laplacen yhtälö. Tämä yhtälö pätee pistemassan ulkopuolella, ja yleisemmin kaikkialla tyhjässä avaruudessa: kaikki massathan voidaan limiitissä katsoa koostuvan pistemäisistä massa-alkioista. Tai kaavassa 1.8 voidaan suoraan dierentioida kolminkertaisen integraalimerkin sisällä, kayttäen hyväksi se, että integraalin ja osittaisderivaatan vaihtaminen keskenään on sallittu, jos molemmat on määriteltyjä. Siinä tapauksessa, että massatiheys ei ole kaikkialla nolla, saadaan toisenlainen yhtälö: V = 4G: (1.13) Tätä yhtälöä kutsutaan Poissonin 8 yhtälöksi. Yhtälöpari! gradv = a diva = 4G tunnetaan gravitaatiokentän kenttäyhtälöiksi. Niillä on samanlainen rooli kuin sähkömagnetismissä Maxwellin 9 kenttäyhtälöt. Toisin kuin Maxwellin yhtälöissä, ylläolevissa ei ole aikakoordinaatti mukana. Tästä syystä niiden avulla ei voida johtaa kaavaa sähkömagneetisten aaltojen vastaavien gravitaatio-aaltojen kulusta avaruudessa. Nykyisin tiedetään että yo. Newtonin kenttäyhtälöt ovat vain likimääräisiä, ja että tarkka teoria on Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria. Kuitenkin fysikaalisessa geodesiassa Newtonin teoria on yleensä riittävän tarkka ja tulemme rajoittumaan siihen. 1.9 Mittainvarianssi Potentiaalin tärkeä ominaisuus on, että, jos siihen lisätään vakio C, mitään painovoimaan liittyvä, mitattavissa oleva suure ei muutu. Tätä kutsutaan mittainvarianssiksi (En. gauge invariance). Painovoima itse saadaan dierentioimalla, operaatio joka hävittää vakiotermin. Siksi potentiaalin määrittely on jonkin verran mielivaltainen: kaikki eri C:n valinnalla saadut potentiaalikentät V ovat samanarvoisia. Havainnoistakin saadaan vain potentiaalieroja, kuten vaaitsijat hyvin tietävät. Usein valittu potentiaalimääritelmä lähtee siitä, että jos krk! 1, silloin myös V! 0; mikä on fysikaalisesti järkevä. Kuitenkin maanpäällisessä työssä järkevämpi vaihtoehto voi olla V = 0 keskimerenpinnan kohdalla vaikka sekään ei ole ilman ongelmia. Esimerkiksi Maapallon massalle M fysikaalisesti järkevä potentiaaliesitys on (palloapproksimaatio) V = GM r ; 8 Siméon Denis Poisson ( ) oli ranskalainen matemaattiko, fyysikko ja geodeetti. 9 James Clerk Maxwell ( ) oli skotlantilainen fyysikko, sähkömagnetismin kenttäyhtälöiden keksijä. Hän löysi yhtälöiden aaltomaista ratkaisua, ja tunnisti valoa sellaiseksi.

27 1.10. Yksinkertainen massatiheyskerros 13 joka häviää äärettömyyteen r! 1 kun taas käytännöllisesti järkevä esitys olisi V = GM r GM R ; missä R = krk on maapallon säde. Jälkimmäinen potentiaali on nolla missä r = R, Maan GM pinnalla. Limiitissä r! 1 sen arvo on eikä nolla. R 1.10 Yksinkertainen massatiheyskerros Jos kappaleen pinnan päälle laitetaan massan pintatiheyden pinnoitus tiheydellä = dm ds ; saadaan potentiaaliksi integraalikaava, joka on samannäköinen kuin kaava 1.8, mutta pintaintegraali: dm V = G = G ds: (1.14) ` pinta ` pinta Tässä taas ` on etäisyys tarkastuspisteen eli koemassan P ja integroinnissa liikkuvan massaalkion dm (tai pinta-alkion ds) välillä. Huomaa että pintatiheyden dimensio on kg =m², eli erilainen kuin tavallisen (tilavuus-)tiheyden dimensio. Tämä tapaus on teoreettisesti mielenkiintoinen, vaikkakin fysikaalisesti epärealistinen. Funktio V on näet kaikkialla jatkuva, myös pinnan S kohdalla; kuitenkin jo sen ensimmäiset derivaatat paikan suhteen ovat epäjatkuvia. Epäjatkuvuus ilmenee pinnan suhteen kohtisuorassa olevassa suunnassa, ns. normaaliderivaatassa. Tutkitaan yksinkertainen tapaus jossa pallo, säde R, on pinnoitettu kerroksella jonka pintatiheys on vakio. Laskemalla ylläoleva integraali 1.14 voidaan todistaa (monimutkaisesti), että ulkoinen potentiaali on sama kuin jos kappaleen koko massa olisi pallon keskipisteessä. Aiemmin (alaluku 1.4) tuli todistetuksi, että pallon sisäinen potentiaali on vakio. Siten ulkoinen vetovoima (` > R) on a e (`) = G M`2 4R2 = G `2 Sisäinen vetovoima (` < R) on a i (`) = 0: = 4G R` 2 : Tämä merkitsee että pallon pinnalla vetovoima on epäjatkuva: a e (R) a i (R) = 4G:

28 14 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita P ` n Kuva 1.4 Kaksinkertainen massatiheyskerros. Tässä symmetrisessä tapauksessa nähdään, että a = (1.15) missä dierentiointimuuttuja n edustaa normaalisuuntaa, ts. pintaan S kohtisuorassa oleva suunta. Mikäli pinta S on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, kaava (1.15) pätee yleisesti; silloin vetovoimavektori tarkemmin, kiihtyvyysvektori on kohtisuorassa pintaa S kohtaan, ja sen suuruus on sama kuin normaaliderivaatta Kaksinkertainen massatiheyskerros Kaksinkertainen massatiheyskerros voidaan tulkita dipolitiheyskerrokseksi. Dipolit ovat orientoituneet pinnan normaalin suuntaan. Jos dipoli koostuu kahdesta varauksesta m ja m paikoilla r 1 ja r 2, siten että niiden välinen vektorietäisyys on r r 1 r 2, on dipolin momentti d = m r, vektorisuure. Ks. kuva 1.4. Olkoon dipolikerroksen tiheys = dm ds ; missä dm on dipolikerrosalkio; tätä kerrosta voidaan katsoa kahden yksinkertaisen kerroksen yhdistelmäksi. Jos on positiivinen kerros tiheydellä ja negatiivinen kerros tiheydellä ja niiden välinen etäisyys on, syntyy pienillä -arvoilla likimääräinen vastaavuus: : Edellisen kappaleen mukaan kahden yksinkertaisen massakerroksen yhteenlaskettu potentaali

29 1.12. Gaussin lause 15 on V = G pinta 1`1 `2 1 ds: `1:n, `2:n ja :n välillä pätee seuraava yhteys (funktion 1 =` Taylor-kehitelmä): 1 `1 = 1`2 1` + on taas suureen derivaatta pinnan Sijoittamalla yhtälöön saadaan V = G ds = G ds: Jos on riittävän pieni (ja vastaavasti suuri), tämä on eksakti. On helppo näyttää, että yo. potentiaali ei edes ole jatkuva; epäjatkuvuus sattuu pinnalla S. Tutkitaan taas yksinkertaisuuden vuoksi pallo, säde R, jossa vakiokerros tiheydellä : Ulkopuolinen V e = G 1` ds = 0; pinta koska integraali on 0. Tämän todistamiseksi voidaan käyttää Gaussin integraalilause, josta enemmän myöhemmin. Sisäpuolinen V i = G 1` ds = 4R G 2 = 4G; 1`2`=R laskemalla pintaintegraali evaluointipisteenä pallon keskipiste, ja käyttämällä aiemmin todettu seikkä, että yksinkertaisen massakerroksen peittämän pallon sisällä potentiaali on vakio. Nyt limiitissä `! R tulos on erilainen ulkopuoliselle ja sisäpuoliselle potentiaalille. Ero on V e (R) V i (R) = 4G: 1.12 Gaussin lause Esitys Fysiikan kuuluisa Gaussin 10 lause on vektorimuodossaan: diva dv = ha ni ds; (1.17) 10 Johann Carl Friedrich Gauss ( ) oli saksalainen matemaatikko ja yleisnero. Princeps mathematicorum.

30 16 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Kenttäviiva Vuo Lähteet Kappaleen pinta Kuva 1.5 Gaussin lauseen graanen selostus. missä n on pinnan S ulkoapäin suuntautunut normaali, nyt vektorina: vektorin pituus oletetaan knk = on kappaleen V pinta. Tämä lause pätee kaikille dierentioitaville vektorikentille a ja kaikille kunnollisille kappaleille V joiden pinnalla S on kaikkialla normaalisuunta n olemassa. Toisin sanoen, tämä ei ole gravitaatiokiihtyvyysvektorin erikoisominaisuus, vaikka se pätee sillekin Intuitiivinen kuvaus Huomauttakoon, että diva = V = 4G on lähdefunktio. Se kuvaa paljonko pinnan S sisäpuolella olevassa osa-avaruudessa on painovoimakentän positiivisten ja negatiivisten lähteiden tiheyksiä (En. sources and sinks). Tilanne on täysin analoginen nesteen virtauskuvion kanssa: positiiviset varaukset vastaavat pisteisiin joista lisätään nestettä virtaukseen, negatiiviset lataukset vastaavat kaivoihin joiden kautta nestettä häviää. Vektori a on tässä vertauskuvassa virtauksen nopeusvektori; lähteiden ja kaivojen puuttuessa se täyttää ehdon diva = 0; mikä kuvaa ainemäärän säilyvyyttä ja kokoonpuristumattomuutta. Toisaalta funktiota ha kutsutaan usein vuofunktioksi (En. ux); ts. paljonko kenttää vuotaa ulos aivan nestevirtauksen tavoin pinnan S sisäiseltä avaruuden osalta ulospäin S:n kautta.

31 1.12. Gaussin lause 17 Gaussin yhtälö toteaa molemmat määrät yhtä suureiksi: se on tavallaan kirjanpitolause joka vaatii, että kaikki mitä tuotetaan pinnan sisällä diva on tultava myös ulos pinnan kautta ha ni. Kuvassa 1.5 on graasesti selostettu, että lähteiden summa kautta kappaleen sisäistä avaruusosaa, elip (+ + + : : :), on oltava sama kuin vuon summa P (""" : : :) koko avaruusosaa rajoittavan reunapinnan yli Gaussin lauseen potentiaaliversio Kirjoitetaan Gaussin yhtälö hiemän eri tavalla, käyttämällä potentiaali painovoimavektorin V dv = ds; jossa on tehty yllä annetut sijoitukset. Tässä näkyy myös suosittua kappaleen pintaa tarkoittavaa notaatiota. Esitystapoja 1.18 ja 1.17 yhdistää kaavat 1.12 ja 1.9, V :n ja a:n välillä Esimerkki 1: pieni kuutio Tarkastetaan pieni kuutio, jonka sivut ovat x; y; z; niin pieni, että kenttä a (x; y; z) on sen sisällä lähes lineaarinen paikan funktio. Kirjoitetaan a potentiaalin V gradienttina: jossa a = rv + + = ia x + ja y + ka z a ; a ; a : Nyt tilavuusintegraali diva dv V kun taas pinta-integraali ha ni ds a z x y z a x y z+ + a + y a y x z+ + a + z a z x y: Tässä on a + x komponentin a x :n arvo toisessa pinnassa x-suunnassa ja a x sen arvo toisessa pinnassa, jne. Esim. a + z on a z :n arvo kuution ylä- ja a z sen alapinnassa. Kuutiolla on tiettävästi kuusi pintaa, jokaisen kolmen koordinaattisuunnan ala- ja yläsuunnassa.

32 18 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita a a + z z a + y a + x a x a y a z y x Kuva 1.6 Pieni kuutio. Silloin a + x a x; a + y a y; a + z a z; ja sijoittamalla nähdään, että ha ni x x y y x z z x y x y z; sama kaava kuin Eli tässä yksinkertaisessa tapauksessa Gaussin kaava pätee. Ilmeisimmin yhtälö pätee myös, jos näistä Lego-palikoista rakennettaisiin suurempi kappale, koska eri palikoiden toisiinsa koskevat, vastaavat pinnat ovat vastakkaisesti orientoituneet ja kumoavat toisiaan koko kappaleen pintaintegraalista. Hieman vaikeampaa on todistaa, että yhtälö pätee myös kappaleille, joilla on vinopintoja.

33 1.13. Greenin lauseet Esimerkki 2: Poissonin yhtälö pallolle Poissonin yhtälön 1.13 mukaan meillä on V = 4G: Oletetaan, että meillä on pallo, säde R, jonka sisällä massitiheys on vakio. Tilavuusintegraali pallon tilavuuden kautta antaa V dv = 4G dv = 4GV = 4GM; (1.20) V missä M = V on pallon kokonaismassa. Pallon pinnalla normaaliderivaatta GM r r=r GM R 2 ; vakio, ja sen integraali pallon pinnan ds = GM R S = GM 2 R 2 4R2 = 4GM: Tulokset 1.21 ja 1.20 ovat identtisiä, kuten Gaussin lause 1.18 edellyttää Greenin lauseet Kaytä Gaussin kaava vektorikentälle F = U! rv: Tässä U ja V ovat kaksi eri skalaarikenttää. Saadaan: divf D dv = E V!! = r U rv dv D = E V!! = U V dv + ru rv dv =! = U V @V + dv ja = V U rv n V hf ni ds = D U! rv n E ds ds:

34 20 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Lopputulos on ensimmäinen Greenin U V @V + V U ds: Tätä voidaan siivota koska vasemman puolen toinen termi on symmetrinen U:n ja V :n keskinäisen vaihdon suhteen. Vaihdetaan siis U ja V keskenään, ja vähennä saadut yhtälöt toisistaan. Tulos on toinen Greenin lause:! (U V V U) dv = @n Oletamme kaikissa operaatioissa, että funktiot U ja V ovat hyvin käyttäytäviä, ts. kaikki tarvittavat derivaatat jne. ovat kaikkialla kappaleessa V olemassa. Hyödyllinen erikoistapaus on se, missä funktioksi U on valittu: U = 1` ; jossa ` on etäisyys annetusta laskentapisteestä P. Tämä funktio U on hyväkäytöksinen kaikkialla paitsi juuri itse pisteessä P, jossa se ei ole määritelty. Siinä tapauksessa, että piste P on ulkopuolella, tulos saadaan yksinkertaisesti sijoittamalla: 1 V dv = ds: 1` Tämä tapaus on kuvattu kuvassa 1.7. Siinä tapauksessa, että piste P on sisäpuolella, laskenta mutkistuu jonkin verran. Kannattaa tutustua siihen ovelaan tekniikkaan, joka tässä tapauksessa, ja muissakin auttaa. Siksi kuvaamme sen lyhyesti. Muodostetaan pieni, -säteinen, pallero V 2 pisteen P ympäri; nyt muodollisesti voimme määrittää kappaleeksi V V 1 V 2, reikäjuusto, ja samalla sen tulee kaksiosainen 1. Nyt voidaan kirjoittaa tilavuusintegraali kahteen osaan: V dv = V dv V dv; ` V 1 ` V 2 ` V 11 George Green ( ) oli itseoppinut, Nottinghamin lähellä myllarinä leipänsä ansaitseva brittilainen matemaattinen fyysikko. Hän keksi myös sanan 'potentiaali'. ac.uk/biographies/green.html. An_Essay_on_the_Application_of_Mathematical_Analysis_to_the_Theories_of_Electricity_and_ Magnetism

35 1.13. Greenin lauseet 21 P Etäisyys ` Pinta-elementti dv Pintanormaali n Kappale V Pinta S Kuva 1.7 Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on ulkopuolella. missä toinen termi voidaan integroida pallokoordinaateissa: ˆ 1 V 2 ` V dv V P 4`2 1` d` = 2 V p 2 ; 0 mikä menee nollaan jos annetaan! 0: Pintaintegraaliksi saamme Gaussin integraalilauseen ds ds = 1 V dv 1 V 2 V P ; mikä myös menee nollaan kun! 0: Toinen pintaintegraali: V ds = 2 2 V 1 2 ds 42 2 V P : Yhdistämällä kaikki tulokset oikeilla etumerkeillään saadaan siis tapauksessa missä P on sisäpuolella : 1 ` V dv = 4V P + ` ds; (1.22) Tämän jälkeen lienee intuitiivisesti selvä, ja esitämme ilman sen kummempaa todistusta, että 1 ` V dv = 2V P + ` ds; 1` jos piste P on kappaleen V Tämä kuitenkin edellyttää normaaliderivaatan, ja erityisesti normaalisuunnan, olemassaoloa juuri pisteessä P! Geodesiassa tyypillinen on tilanne missä kappale V jonka tilavuuden läpi halutaan laskea tilavuusintegraali, on koko maapallon ulkopuolinen avaruuden osa. Tässä tapauksessa kätevästi

36 22 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Piste P osa 1 Tila V osa 2 Kuva 1.8 Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on sisäpuolella. V = 0 ja koko integraali häviää. Tulos 1.22 voidaan yleistää tähän tapaukseen, missä V on koko avaruus pinnan S ulkopuolella. Tämä yleistys tehdään valitsemalla pinnaksi S nyt kolmiosainen pinta S = S 1 + S 2 + S 3 ; missä S 3 on suurisäteinen pallo P :n ympäri. Sen säde annetaan jälkeenpäin limiitissä kasvaa äärettömyyteen, jolloin kaikki integraalit sekä pinnan S 3 yli että sen ulkopuolella olevan avaruusosan kautta häviävät. Myös pinnan S 3, kuten yllä käytetyn pikkupalleron, normaalisuunta on käänteinen eli normaali on sisäänpäin, maapalloon päin, suuntautunut. Lopputulos on: 1 ` V dv = 4V P V ds; (1.23) 1` Koska tässä tapauksessa, missä V on maapallon ulkopuolinen avaruuden osa, vasemmanpuolinen volyymi-integraali häviää, voidaan ilmaista pisteen P potentiaaliarvo kätevästi kaksi- Piste P Integrointitila V osa 2 Aine osa 3 osa 1 (Limiitti) Kuva 1.9 Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle.

37 1.14. Chaslesin lause 23 termisena pinta-integraalina yli. Ks. alla Chaslesin lause Tutkitaan yllämainittua tapausta missä kappale on ulkopuolinen avaruuden osa (siis käytännössä: maapallon ulkopuolinen avaruus). Yllä johdetusta Greenin lauseesta 1.23 voidaan johtaa harmoniselle funktiolle V (ts. V = 0) ulkoavaruudessa: 1 V P = ds + 1 V ds: Tulkinta: mielivaltaisen pinnan ulkopuolinen, harmoninen potentiaali voidaan esittää pinnassa sijaitsevien, yksinkertaisen ja kaksinkertaisen pintatiheyden summana. Selostus: Yksinkertaisen massakerroksen tiheys saadaan kaavan 1.14 avulla: = ; kaksinkertaisen massatiheyden kerroksen tiheys saadaan kaavan 1.16 avulla: = V 4G : Jos tätä sijoitetaan " kaavaan 1.24, saadaan: V P = G # ds: Siinä tapauksessa että on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta eli V = V 0, seuraa että yksinkertainen massatiheyskerros riittää, koska silloin ds = V V 1` 1` ds = koska oikeanpuolinen integraali on nolla Gaussin lauseen perusteella (funktio 1 =` on harmoninen V:n sisällä). Tämä on Chaslesin lause 12, myös kutsuttu Greenin vastaavan kerroksen lauseeksi (en. equivalent layer theorem). Lausetta käytetään hyväksi Molodenskyn teoriassa. Myös Maan painovoimakentän esittäminen maanalaisen massapistekerroksen avulla voitaisiin perustella tämän lauseen avulla. Tapaus on ekvipotentiaalipinta toteutuu jos kappale on nestemäinen ja etsii itsestään ekvipotentiaalipinnan muotoinen ulkomuotonsa. Maaplaneetamme tapauksessa tämä pätee merenpinnalle. Myös sähköstaattisessa teoriassa johtimella minkä sisällä elektronit liikkuvat 12 Michel Chasles ( ) oli ranskalainen matemaatikko ja geometrikko, yksi 72:sta joiden nimi kaiverrettiin Eieltorniin.

38 24 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita vapaasti, on fyysinen pinta yhtenä ekvipotentiaalipintanaan. Siksi sanotaankin, että johtimen sähkövaraukset ovat johtimen pinnalla. Ne eivät välttämättä ole, mutta käytännön kannalta lopputulos on sama. Kaava 1.24 yksinkertaistuu silloin seuraavasti: 1 V P = 4 ds = G ds: Kaava kertoo jo, että koko maapallon ulkopuolista potentiaalia voidaan laskea, jos vain Maan pinnalla (jonka muoto myös oletetaan annettuna, ilmaisun 1 =` laskemista varten!) on annettu potentiaalin normaaligradientti V n =@n. Tämä gradientti on juuri gravitaatiokiihtyvyys, suure jota saadaan havainnoista. Koko gravimetrinen geopotentiaalimääritys (geoidimääritys) G. G. Stokesista lähtien perustuu tähän Reuna-arvotehtäviä Reuna-arvotehtävä (En. boundary-value problem, BVP) on tehtävä laskea potentiaali V koko avaruudessa (tai koko kappaleen ulko- tai sisäpuolisessa avaruuden osassa) annetuista V :hen liittyvistä arvoista reunapinnalla, esim. Maan pinnalla. Yksinkertaisin reuna-arvotehtävä on Dirichletin 13 tehtävä: reunapinnalla annettuna on itse potentiaaliarvo V: Monimutkaisemmat reuna-arvotehtävät lähtevät potentiaalin lineaarisista funktionaaleista : reunalla on annettu joku lineaarinen ilmaisu V :ssä, esim. derivaatta tai derivaattojen lineaariyhdistelmä, yleisesti L fv g ; missä L f g on lineaarinen operaattori. Stokesin lause: Jos pinnalla S on tiedossa potentiaalifunktion V ('; ) arvo, on olemassa korkeintaan yksi harmoninen funktio V (x; y; z) koko ulkopuolisella avaruudella joka täyttää tämän reunaehdon. (Huom: lause ei lupaa harmonisen V :n olemassaoloa!). Dirichletin periaate: Yllämainittu harmoninen funktio on olemassa, eli Dirichletin reunaarvotehtävä on ratkaistavassa. Dirichletin reuna-arvotehtävä geodesiassa suositussa muodossa on: määrittää potentiaalikenttä V jos sen arvot on annettuna suljetulla pinnalla S, ja on lisäksi annettu että V on harmoninen ( V = 0) pinnan S ulkopuolella. Avaruuden tyhjiössä geopotentiaali on aina harmoninen, kuten jo aikaisemmin todettiin: pistemassan m P potentiaali Gmp =` on harmoninen kaikkialla paitsi itse pisteessä P ; ja laaja kappale koostuu (limiitissä) monesta pistemassasta tai massa-alkiosta. Yleisessä tapauksessa tämä on teoreettisesti haastava ongelma; ratkaisun olemassaolo ja yksiselitteisyys on pystytty todistamaan hyvin yleisesti, ks. Heiskanen and Moritz (1967) s Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ) oli saksalainen matematikko jota tunnetaan myös lukuteoreetikkona.

39 1.16. Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea Pinnalla S annetuista potentiaalifunktion V arvoista voidaan siis laskea funktio V (x; y; z) koko avaruudessa pinnan ulkopuolella. Reuna-arvotehtävä on tehokas, myös fysikaalisessa geodesiassa hyväksytty yleismenetelmä. On kuitenkaan myös syytä huomauttaa, ettei pinnalla annetuista potentiaaliarvoista voida yksiselitteisesti ratkeaa maapallon sisäistä massajakaumaa, joka tämän potentiaalin tuottaa. Tämä on ilmeinen jo siinä yksinkertaisessa tapauksessa että potentiaalin arvo on vakio pallon pinnalla. Jos lisäksi on annettu että massajakauma on pallosymmetrinen, on edelleenkin tiheysproili säteen mukaan kokonaan auki. Kaikki massaa voi olla pallon keskipisteessä keskittynä, tai se voi olla ohuena kuorena juuri pallon pinnan alla, tai jossain niiden äärivaihtoehtojen välillä. Ilman lisäinformaatiotia esim. seismisiltä tutkimuksilta tai geofysikaalisilta tiheysmalleilta emme voi ratkaistaa asiaa. Myös yllä mainittu Chaslesin lause, kaava 1.24, ja sen erikoistapaus, kaava 1.25, ovat esimerkkejä tästä: lause kertoo miten ulkopuolista potentiaalikenttää voidaan kuvata kappaleen pinnalla olevan massajakauman tuottamana, vaikka tiedettäisiin että kenttä on generoinut koko kappaleen lävitse ulottuva massajakauma! Tämä on perustava laatua oleva rajoitus kaikille menetelmille jotka yrittävät saada tietoa Maan sisäisestä tilanteesta ainoastaan Maan pinnalla tai sen ulkopuolella tehdyistä gravimetrisista mittauksista.

40

41 Luku 2 Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja 2.1 Yleistä Maan gravitaatiokentän tutkimuksen keskeinen kaava on Laplacen yhtälö, V = 0: Jos tutkitaan gravitaatiota kenttänä on Laplacen yhtälö luonnollisempi kuin Newtonin formalismi. Newtonin kaavat käytetään jos massajakauma on tiedossa; se antaa suoraan massojen aiheuttaman gravitaatiovoiman. Laplacen yhtälö sen sijaan on osittaisdierentiaaliyhtälö; sen ratkaiseminen antaa painovoimakentän potentiaalin koko avaruudessa tai sen osassa. Tästä potentiaalista voidaan laskea kentän vaikutus avaruudessa liikkuvaan kappaleeseen, paikalla missä kappale on. Tämä on kaksivaiheinen prosessi. Käsitteellinen ero on, että tyhjälle avaruudelle kiinnitetään tietty ominaisuus, kenttä; ei puhuta enää kaukovaikutuksesta suoraan kahden kappaleen välein. Laplacen yhtälön ratkaiseminen yleisessä tapauksessa voi olla vaikea. Lähestymistapa on yleensä se, että valitaan joku koordinaattijärjestelmä suorakulmainen järjestelmä, pallokoordinaatit, sylinterikoordinaatit, toroidaaliset koordinaatit tai mitä vain joka sopii parhaiten ongelman geometriaan; sitten muunnetaan Laplacen yhtälö näihin koordinaatteihin; etsitään tiettyä muotoa olevat erikoisratkaisut; ja lopuksi kootaan yleinen (tai ei-niin-yleinen) ratkaisu näiden erikoisratkaisujen lineaariyhdistelmänä eli sarjakehitelmänä. Onneksi lineaaristen osittaisdierentiaaliyhtälöiden teoria on hyvin kehittynyt; vastaavanlaiset teoreettiset ongelmat löytyvät sähkömagneettisen kentän teoriasta (Maxwell-teoriasta) ja kvanttimekaniikasta (Schrödingerin yhtälö), nesteen- ja lämmönkuljetuksesta puhumattakaan. Tärkeä havainto on, että Laplacen yhtälö on lineaarinen. Tämä merkitsee, että, jos on annettuna kaksi ratkaisua V 1 = 0 ja V 2 = 0; silloin myös niiden lineaariyhdistelmät V = V 1 + V 2 ; ; 2 R

42 28 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja ovat kelvollisia ratkaisuja. Tämä lineaarisuuden ominaisuus tekee mahdolliseksi ratkaisujen etsiminen perusratkaisujen lineaariyhdistelminä tai sarjakehitelminä. Erikoisuus joka erottaa Laplacen yhtälö myös Newtonin yhtälöstä, on että se on paikallinen yhtälö. Se kuvaa potentiaalikentän käyttäytyminen yhdessä pisteessä ja sen pienessä ympäristössä. Kuitenkin ratkaisua etsitään kokonaiselta alueelta. Käytetty ratkaisutekniikka on yleensä ns. reuna-arvotehtävä. Tämä merkitsee, että kentän arvot (reuna-arvot) on oltava annettuna vain tietyn avaruuden osan reunalla; esimerkiksi Maan pinnalla. Tästä lasketaan kentän arvot ulkoavaruudessa kentän käytäyttyminen Maan sisällä jää kinnostuksen ulkopuolelle. Ulkopuolisen gravitaatiokentän kannalta tarkka massajakauma Maan sisällä ei tarvita edes tietää ja sitä ei myöskään saa selväksi ainoastaan ulkoisten, ts. Maan pinnalla ja sen ulkopuolella tehtyjen, kentän mittausarvojen perusteella! 2.2 Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa On opettavaista kirjoittaa ja ratkaista Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa. Tapaus on täysin analoginen pallokoordinaattien tapauksen kanssa mutta matematiikka on paljon yksinkertaisempaa. Oletetaan että maan pinta on z-koordinaatin! tasa-arvopinta z = 0. Silloin V = (X (x) Y (y) Z (z)) ; 2 missä olemme kokeeksi kirjoittanut V (x; y; z) = X (x) Y (y) Z (z) : Toisin sanoen, kirjoitetaan kokeilumielessä V kolmen tekijäfunktion tulona, missä jokainen tekijäfunktio riippuu vain yhdestä koordinaatista muuttujien separointi. Realistinen potentiaalifunktio V ei tietenkään voi olla tätä muotoa. Saamme kuitenkin elää toivossa etta se voitaisiin esittää ylläolevan muotoisten termien summana eli lineaariyhdistelmänä, Laplacen yhtälön lineaarisuuden ansiosta. Ottamalla kaikki derivaatat saadaan @2 X + XZ Y @z Z = 0: 2 Jakamalla ilmaisulla XY 2 (y) 2 X (x) 2 Y (y) 2 Z (z) = 0: Koska tämä on oltava totta kaikille arvoille x; y; z, seuraa, että jokainen termi on oltava vakio. Jos ensimmäiseksi ja toiseksi vakioksi otetaan k 2 1 ja k 2 2; seuraa kolmanneksi vakioksi k k 2 2. Nyt kirjoittamalla tämä määritelmä ja tulos auki ja siirtämällä nimittäjä toiselle

43 2.2. Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa 29 puolelle, 2 X = k2 1X; (miksi miinusmerkki? Se nähdään kohta... ) 2 Y = k2 = 2 Z k k 2 Z: Nyt ratkaisu löytyy helposti ainakin ensimmäiselle kahdelle yhtälölle: nehän kuvaavat harmoniset värähtelijät, ja niiden perusratkaisut 1 ovat X (x) = exp ( ik 1 x) ; Y (y) = exp ( ik 2 y) : Z-yhtälön ratkaisu puolestaan 2 on eksponentiaalinen: Z (z) = exp zqk1 2 + k 2 : Oletetaan että sekä x- että y-suunnassa maailmaan koko on direction L (kenkälaatikkomaailma). Periaatteessa voidaan nyt muodostaa ratkaisu avaruudessa: 2 V k1k2 (x; y; z) = exp i (k 1 x + k 2 y) zqk1 2 + k 2 : Yleistä ratkaisua saadaan summaamalla termit V k1k 2 eri kertoimella, eri arvoilla k 1 ; k 2 : Yksinkertaistetaan hieman olettamalla, että kenkälaatikkomaailmamme reunoilla on voimassa reunaehdot V (0; y) = V (L; y) = V (x; 0) = V (x; L) = 0: Silloin seuraa, että ainoat parit (k 1 ; k 2 ) jotka antavat laatikkoon sopivan ratkaisun ovat k 1 = j L ; k 2 = k L (j; k kokonaislukuja), ja ainoat sopivat funktiot ovat sinifunktioita. Yleiseksi ratkaisuksi saadaan siis: V jk (x; y; z) = sinj x L sink y L exp q(j 2 + k 2 ) z L : 1 Vaihtoehtoiset perusratkaisut ovat: X (x) = sin k 1 x, X (x) = cos k 1 x jne. Ne ovat samanarvoisia esitettyjen kanssa koska exp (ik 1 x) = cos k 1 x + i sin k 1 x, exp ( ik 1 x) = cos k 1 x i sin k 1 x.

44 30 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja L Merenpinta sin 13x L sin 5x L Kuva 2.1 Painovoimakentän Fourier-aaltoilun eksponentiaalinen vaimennus korkeuden mukaan. Suorakulmainen geometria, yksiulotteinen. Pitkät aallot (pienet aaltoluvut, punainen) vaimentuvat hitaammin korkeuden mukaan kuin lyhyet aallot (vihreä), siis: korkeus toimii alipäästösuodattimena. Tätä yksittäisratkaisua voidaan nyt yleistää kertomalla sopivilla kertoimilla, ja summaamalla eri arvojen j = 0; 1; 2; : : : ; k = 0; 1; 2; : : : yli. Voidaan kuitenkin huomauttaa että termit, joilla j = 0 tai k = 0 aina häviävät ja että termit jotka sisältävät j = +n ja j = n, tai k = +n ja k = n, n 2 N, ovat (etumerkkiä vailla) identtisiä. Siksi käytännössä summataan arvojen j = 1; 2; : : : ; k = 1; 2; : : : yli. Erilaiset reunaehdot antavat hieman erilaiset yleisratkaisut. Kuitenkin niiden yleinen muoto on aina sama. Yleisestä ratkaisusta saatava nollatason kehitelmä on tuttu Fourier 2 -sinikehitelmä: V (x; y; 0) = 1X 1X j=1 k=1 v jk V jk (x; y; 0) = 1X 1X j=1 k=1 v jk sin " jx L #! sin " ky L (jossa v jk ovat Fourier-kertoimet), kun taas täydellinen (kolmiulotteinen) kehitelmä on V (x; y; z) = = 1X 1X j=1 k=1 1X 1X j=1 k=1 #! ; v jk V jk (x; y; z) = (2.1) v jk sin " jx L #! sin " ky L #! exp qj 2 + k 2 z L : Huomaa, että z-kaavassa voi olla sekä positiivinen että negatiivinen etumerkki! Tietysti se ratkaisu, jolla on positiivinen etumerkki menee! 1 kun z! 1, mikä ei ole ulkoavaruudessa fysikaalisesti realistista. 2 Joseph Fourier ( ), ranskalainen matemaattikko ja fyysikko joidenkin mukaan myös ilmastotutkija; yksi 72:sta tiedemiehestä joiden nimet on kaiverrettu Eieltorniin.

45 2.2. Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa Esimerkki: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa Napakoordinaatteissa (kaksiulotteisesti) Laplacen yhtälö on V V r = 0: 2 Suorita tähän samanlainen laskenta kuin kappaleessa 2.2, eli kirjoita ensin V (r; ) = R (r) A () ja jaa sitten ylläoleva kaava kahteen eri kaavaan, funktiolle R(r) ja funktiolle A(). Minkä muotoinen on yleisen ratkaisun A ()-funktio? Vastaus: Sijoitus antaa 2 + A r Kerro ilmaisulla + 2 A r = 0: 2! r 2 R (r) + + R A () = 0: Molemmat termit on oltava! vakioita: r R (r) + k 2 R (r) = 2 2 A () + k 2 A () = 2 Tässä k 2 :n etumerkki on valittu näin, että A () saa periodinen ratkaisu. Sellainen yleinen ratkaisu olisi A () = a cos (k) + b sin (k) ; jossa, koska kulman periodi on 2, k on oltava kokonaisluku: k = 0; 1; 2; 3; : : : Negatiiviset k-arvot eivät anna erilaisia ratkaisuja, koska a cos (k) = a cos (( k) ) ja b sin (k) = ( b) sin (( k) ). Toinen, funktion R (r) yhtälö, on vaikempi ratkaista; ratkaisu sisältää Bessel 3 -funktioita. 3 Friedrich Wilhelm Bessel ( ) oli saksalainen tähtitieteilijä ja matemaatikko.

46 32 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Napa Z r cos P r r sin Päiväntasaaja Y X Greenwichin meridiaani Kuva 2.2 Pallokoordinaattien määritelmä. 2.3 Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit Fysikaalisessa geodesiassa käytämme rinnakkain geometrisia ja fysikaalisia käsitteitä. Esim. paikan koordinaatit voidaan antaa (x; y; z) muodossa, jotka ovat periaatteessa geometrisia paitsi fysikaalinen olettamus, että koordinaatiston origo on Maan massakeskipiste. Koska maapallo ei ole tarkasti ottaen pallo vaan litistynyt pyörähdysellipsoidi, ei voida käyttää maantieteellisiä koordinaatteja kuten ne olisivat pallokoordinaatteja. Koska maapallo on huomattavasti litistynyt (noin 0,3%), on tämä ero huomattava. Pallokoordinaattien (r; ; ) yhteys suorakulmaisiin koordinaatteihin (X; Y; Z) on seuraava: X = r cos cos Y = r cos sin Z = r sin (2.2) Tässä ja ovat geosentrinen latitudi ja (tavallinen, geosentrinen eli geodeettinen eli maantieteellinen) longitudi. r on etäisyys Maan keskipisteestä. Yleensä x-akseli osoittaa Greenwichin meridiaanin suuntaan. Ks. kuva 2.2. Maan pinnalla nämä pallokoordinaatit eivät ole kovin käyttökelpoisia Maan litistyneisyyden vuoksi, mutta avaruudessa pallokoordinaatit käytetään paljon. Maan päällä sen sijaan käytetään useimmiten geodeettiset (eli maantieteelliset) koordinaatit '; ; h: X = (N + h) cos ' cos Y = (N + h) cos ' sin Z = N + h e 2 N sin ' (2.3)

47 2.3. Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit 33 Z P Ellipsoidinen normaali [(1 e 2 )N + h] sin ' h O (N + h) cos ' ' X; Y Vertausellipsoidi Kuva 2.3 Geodeettisten koordinaattien määritelmä. jossa N (') = a q1 e 2 sin 2 ' = a 2 qa 2 cos 2 ' + b 2 sin 2 ' (2.4) Kaavan 2.4 määrittämä suure N on vertausellipsoidin itä-länsisuunnan kaarevuussäde; kaavassa a on Maan ekvatoriaalisäde, e 2 = a2 b 2 =a 2 on ns. ensimmäisen eksentrisyyden neliö 4, ja h pisteen korkeus vertausellipsoidista, ks. kuva 2.3. Suorakulmaisten koordinaattien muuntaminen geodeettisiksi on helppointa tehdä iteratiivisesti, vaikka suljetutkin kaavat löytyvät kirjallisuudesta. Pallokoordinaatit ja geodeettiset/maantieteelliset koordinaatit eroavat huomattavasti toisistaan. Leveysasteessa ero on suurimmillaan 11 kaariminuuttia eli lähes 20 km. Maksimi saavutetaan leveysasteilla 45. Teoreettisessa työssä käytetään myös ellipsoidisia koordinaatteja u ja. Koordinaatti kutsutaan redukoiduksi latitudiksi. Yhteys suorakulmaisiin koordinaatteihin on X = p u 2 + E 2 cos cos Y = p u 2 + E 2 cos sin (2.5) Z = u sin Jos maa-ellipsoidin iso akselipuolikas on a ja sen pikku akselipuolikas b, seuraa tästä (harjoitus!), että E 2 = a 2 b 2 : 4 Parametri liittyy litistyneisyyteen f kaavan e 2 = 2f f 2 kautta.

48 34 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja 2.4 Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa Laplacen yhtälö muunnettuna pallokoordinaateihin on: V r 2 2 r + 2 V r 2 sin = 0; 2 missä on (geosentrinen) leveysaste eli latitudi, on pituusaste eli longitudi, ja r etäisyys origosta eli Maan keskipisteestä. Emme tässä johda kaavan ratkaisua, koska se on suhteellisen monimutkaista ja löytyy valmiina kirjallisuudesta. Merkittävä on, että ratkaisu on hieman saman näköinen kuin ylläoleva ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa. Laplace-yhtälön perusratkaisut ovat V n;1 (; ; r) = r n Y n (; ) ; V n;2 (; ; r) = Y n (; ) r n+1 : (2.6) joista ensimmäinen taas on epäfysikaalinen ulkoavaruudessa, koska, toisin kuin todellinen geopotentiaali, nämä termit kasvavat äärettömiksi kun r! 1. Ylläolevissä kaavoissa funktiot Y n ovat ns. pintapallofunktiot, kun taas funktiot V n ovat avaruuspallofunktiot. Viimemainitut ovat harmonisia kaikkialla avaruudessa paitsi origossa (2.6, toinen kaava) tai äärettömyydessä (ensimmäinen, fysikaalisesti epärealistinen kaava). Funktiot Y n ovat: Y n (; ) = nx m=0 P nm (sin ) (a nm cos m + b nm sin m) : (2.7) Näiden avulla saadaan, käyttämällä toista, fysikaalisesti realistista vaihtoehtoa kaavasta 2.6, seuraava ratkaisu eli sarjakehitelmä avaruuspotentiaalille: V (; ; r) = 1X n=0 1 r n+1 nx m=0 P nm (sin ) (a nm cos m + b nm sin m) : (2.8) Indeksejä n ja m kutsutaan asteluvuksi ja järjestysluvuksi (En. degree and order). Kertoimia a nm ja b nm kutsutaan pallofunktiokehitelmän kertoimiksi eli lyhyesti spektraalikertoimiksi. Yhdessä ne kuvaavat funktioita V, hieman samalla tavalla kuin Fourier-kertoimet v jk tekevat suoralkulmaisissa koordinaateissa kaavassa 2.1. Tulemme usein käyttämään hieman vapaampi notaatio funktioille Y n. Esimerkiksi jos kehitetään häiriöpotentiaali T pallofunktioihin, käytetään notaatio T n sen pintapallofunktioille; samalla tavalla g n ovat painovoima-anomalian g pintapallofunktiot asteluvulle n, ja niin edelleen. 2.5 Riippuvuus korkeudesta Ylläolevasta kaavasta 2.6 nähdään, että eri asteluvuilla n funktiolla Y on eri riippuvuus säteestä r Maan keskipisteestä, eli vastaavasti, korkeudesta H = r R; jos R on maapallon

49 2.6. Legendren funktiot 35 säde. Riippuvuus on V n (; ; r) = Y n (; ) r n+1 : Maan pinnalla meillä on V n (; ; R) = Y n (; ) R n+1 : Voimme siis kirjoittaa = = R R + H V n (; ; r) V n (; ; R) rn+1 R R =1 + H (n+1) V n (; ; R) exp (n+1) V n (; ; R) = H R (n + 1) V n (; ; R) : Näemme, että potentiaalin riippuvuus korkeudesta on taas eksponentiaalinen, ja asteluku n on eksponentissa, kuten oli myös aaltoluku suorakulmaisessa geometriassa, ks. kaava 2.1 ja kuva 2.1. Analogia toimii hyvin. 2.6 Legendren funktiot Ylläolevissä kaavoissa P -funktiot ovat ns. Legendren 5 funktioita, jotka pulpahtavat esiin aina kun Laplacen kaltainen yhtälö ratkaistaan pallokoordinaateissa. Niiden laskemiseen on käytettävissä erilaisia tehokkaita ns. rekursiivisiä algoritmeja, esimerkiksi seuraava (vain tavallisille Legendre-polynomeille P n = P n0 ): np n (t) = (n 1) P n 2 (t) + (2n 1) tp n 1 (t) : (2.9) Vastaavanlaiset kaavat löytyvät myös funktioille P nm ; m > 0; on jopa valinnan varaa, vaikka kaavat ovatkin yleensä mutkikkaita. Niiden ohjelmoinnissa on varottava, etteivät fakulteetit mene yli laidan! Jo 30! (30-fakulteetti) on suurempi luku kuin mitä useammat tietokoneet osaavat käsitellä !:stä puhumattakaan. Heiskanen and Moritz (1967), kaava 1-62, toisin kuin sanotaan, ei kelpaa tietokonekäyttöön! Ensimmäiset Legendre-polynomit luetteloidaan taulukossa 2.1. Tätä korkeampia polynomeja tarvitaan käsilaskennassa harvoin. Huomaa että parilliset polynomit ovat peilisymmetrisiä origon molemmin puolin (P n ( t) = P n (t)) ja parittomat ovat antisymmetrisiä (P n ( t) = P n (t)). Vertailun vuoksi: myös Fourier-perusfunktiot (kuten, hieman mutkikkaammalla tavalla, myös sinukset ja kosinukset!) F j (x) = exp2ij x L 5 Adrien-Marie Legendre ( ) oli ranskalainen matemaatikko, tunnettu työstään lukuteoriassa, tilastotieteessä hän keksi Gaussista riippumatta pienimmän neliösumman menetelmän ja elliptisten funktioiden sarassa. Hänen nimensä löytyy Eieltornissa, yhtenä 72:stä tiedemiehestä.

50 36 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja t:n funktiona Taulukko 2.1 Legendre-polynomeja. sin (n):n ja cos (n):n funktiona P 0 (t) = 1 P 0 (sin ) = 1 P 1 (t) = t P 1 (sin ) = sin P 2 (t) = 3 2 t P 2 (sin ) = 4 4 P 3 (t) = 5 2 t3 3 2 t P 3 (sin ) = 5 P 4 (t) = 1 8 (35t4 30t 2 + 3) P 5 (t) = 1 8 (63t5 70t t) P 6 (t) = 1 16 (231t6 315t t 2 5) 8 sin sin (jossa i 2 = 1) voidaan laskea rekursivisesti: F j+1 (x) = F j (x) F 1 (x) : Legendren liitännäisfunktioista P nm mainittakoon vain seuraavat: Eräs niitä määrittelevä kaava on: P nm (t) = 1 t 2m=2 d m P n (t) dt m : (2.10) Lähtemällä kaavalta 2.7 voidaan kirjoittaa Y n (; ) = = nx nx m=0 m= n (a nm P nm (sin ) cos m + a n; m P n;m (sin ) sin m) = a nm Y nm (; ) ; Kuva 2.4 Muutama Legendren polynomi (P 0 (t) : : : P 25 (t)) argumentin t = sin funktiona. P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 10 P 25

51 2.6. Legendren funktiot 37 Taulukko 2.2 Legendren liitännäisfunktioita. t:n funktiona P 11 (t) = p 1 t 2 P 21 (t) = 3t p 1 t 2 trigonometrisena funktiona P 11 (sin ) = cos P 21 (sin ) = 3 sin cos P 22 (t) = 3(1 t 2 ) P 22 (sin ) = 3 cos 2 P 31 (t) = 3 2 (5t2 1) p 1 t 2 P 31 (sin ) = 3 2 P 32 (t) = 15t (1 t 2 ) P 33 (t) = 15 (1 t 2 ) 3 =4 5 sin 2 1 cos P 32 (sin ) = 15 sin cos 2 P 33 (sin ) = 15 cos 3 jossa nyt m kulkee n:sta +n:ään. Tässä Y nm (; ) =8< : P nm (; ) cos m jos m 0; P nkmk (; ) sin kmk jos m < 0: Nämä ovat asteluvun n ja järjestysluvun m pintapallofunktiot. Sellaisia pintapallofunktioita löytyy kolmenlaisia: Zonaalisia eli vyöhykefunktiot: m = 0; nämä funktiot riippuvat vain leveysasteesta. Sektoriaalisia eli sektorifunktiot: m = n; näiden funktioiden etumerkki vaihtelee vain pituus- eikä leveysasteen mukaan (funktiot itse kuitenkin riippuvat sekä leveysettä pituusasteesta). Tesseraalisia eli ruutufunktiot: 0 < m < n. Nämä funktiot, joiden etumerkki vaihtelee sekä leveys- että pituusasteen mukaan, muodostavat pallon pinnalle sakkilautamaisen kuvion, jos positiiviset arvot maalataan valkoisiksi ja negatiiviset mustiksi ( Lat. tessera = tiili mosaiikin tekoon). Jokainen funktio menee välillä sin = 1::: + 1 tarkasti n m kertaa nollan läpi. Jokai P 11 P P 22 P 31 P 32 P Kuva 2.5 Legendren liitännäisfunktioita.

52 38 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja (a) Zonaalisia: P 5;0 (sin ) (b) Sektoriaalisia: P 6;6 (sin ) cos 6 (c) Tesseraalisia: P 11;6 (sin ) cos 6 Kuva 2.6 Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla. Harmaa positiivinen, valkoinen negatiivinen. Funktiot aaltoilevat sini- tai kosinifunktioiden tavoin. nen funktio on joko symmetrinen tai antisymmetrinen origon ymparillä :n tai t = sin :n funktiona. Pallofunktioit edustavat siis eräänlaista aalto-ilmiötä. Ne eivät kuitenkaan ole aaltofunktioita (sinuksia ja kosinuksia), yhteys näihin on vähintään mutkikas. Kuitenkin on mielekästä puhua niiden aallonpituudesta. Kuvassa 2.6 on kuvattu miten eri pallofunktioiden etumerkit käyttäytyvät Maan pinnalla (ja sen yläpuolella). Kun tutkitaan kaavassa 2.7 esiintyvät ilmaisut cos m ja sin m, havaitaan, että ne menevat koko ympyrällä (päivääntasaajalla) 0 < 2 tarkasti 2m kertaa nollan läpi. Puoliaallon- Kuva 2.7 Pintapallofunktiot karttoina. Vaaka-akseli 2 [0; 360 ), pystyakseli 2 [ 90 ; 90 ]. Kuvatut funktiot ovat P 50 (sin ) P 66 (sin ) cos 6 P 11;6 (sin ) cos 6 P 40 (sin ) P 65 (sin ) cos 5 P 10;6 () cos 6 :

53 2.7. Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet 39 pituus on siis 2R 2m = R m ; missä R on taas maapallon säde. Samanlainen kaava pätee myös funktioihin P nm (sin ): kun funktio menee nollan läpi n m kertaa välillä < ; seuraa, että puoliaallonpituus tässäkin on 2 2 R n m : Jos sijoitetaan tähän eri m:n ja ilmaisun n m arvot, saadaan tuloksena seuraava taulukko: m=n m Puoliaallon- Asteina pituus (km) ; ;5 = ;1 = , Tämä taulukko kuvaa samalla pallofunktiokehitelmällä saavutettava resoluutio, eli kuinka yksityiskohtaisesti kehitelmä voi kuvata Maan painovoimakenttää. Nykyisin käytettävissä olevat kehitelmät, kuten EGM2008-malli, menevat astelukuun n = 2159 asti; niiden luoman geopotentiaalikuvan terävyys on siis 9 km. Satelliittiratahäiriöistä johdetut mallit usein menevät vain astelukuun 40 saakka; silloin näkyvät vain mantereen kokoiset 500 km yksityiskohdat. Toisaalta kokeilliset topograan pallofunktiokehitelmät menevät jopa astelukuun saakka (Balmino et al., 2012). 2.7 Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet Toistetaan tässä jo luvun alussa annettu pallofunktiokehitelmäyhtälö 2.8: V (; ; r) = 1X n=0 1 r n+1 nx m= Riippuvuus leveysasteesta P nm (sin ) (a nm cos m + b nm sin m) : (2.8) Nähdään, että riippuvuus leveysasteesta toimii pelkästään Legendren liittännäisfunktion P nm (sin ) kautta. Tämä funktio voi olla joko symmetrinen argumentissa, tai antisymmetrinen argumentissa, eli (symmetrinen) P nm (sin ) = P nm (sin ( )), tai (antisymmetrinen) P nm (sin ) = P nm (sin ( )). Samalla tavalla se merkitsee, että, kun t = sin, pätee joko (symmetrinen) P nm (t) = P nm ( t), tai (antisymmetrinen) P nm (t) = P nm ( t).

54 40 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Kumpi tapaus pätee, riippuu molempien, n ja m, arvoista. Asian ratkaisemiseksi tutki vaikkapa yhtälö 2.10: P nm (t) = 1 t 2m=2 d m P n (t) dt m : Tarvitaan vastausta seuraavaan parin kysymykseen: 1. Millä n-arvoilla polynomi P n on symmetrinen, millä arvoilla antisymmetrinen argumentissa t? Tämän ratkaisemiseksi pitää tutkia polynomien rekursiivisen laskennan kaava 2.9. Tiedämme jo, että P 0 (t) = 1 on symmetrinen, ja että P 1 (t) = t on antisymmetrinen. Muiden n-arvojen sääntö saadaan rekursiivisesti (tai voi luntata taulukosta 2.1). 2. Millä tavalla dierentiaatio d vaikuttaa funktion symmetrisyyteen tai antisymmetrisyyteen? dt 3. (Kertominen ilmaisulla p 1 t 2 = cos ei muuta mitään, koska tämä kerroin on itse symmetrinen argumentissa t tai.) Siis, jos haluamme kehitelmän 2.8 olevan peilisymmetrinen pohjoisen ja eteläisen pallonpuoliskojen välillä, meidän on asetettava ne kertoimet a nm ; b nm joiden vastaava P nm on symmetrinen, nollaksi. Jäljelle jäävät kertoimet joiden vastaava P nm on antisymmetrinen Riippuvuus pituusasteesta Tämä riippuvuus toimii Fourier-funktioiden cos m ja sin m kautta. Mielenkiintoisin ominaisuus tässä on rotaatiosymmetria: muuttuuko pallofunktiokehitelmä 2.8 kun muuttuu? Näemme heti että, jos m 6= 0, on olemassa riippuvuutta pituusasteesta jos kertoimista a nm ; b nm yksikin eroaa nollasta. Siis kaikki kertoimet a nm ; b nm arvoille m > 0 pitää nollata: a 11 = b 11 = a 21 = b 21 = a 22 = b 22 = = 0. Jäljelle jäävistä kertoimista voimme sanoa, että jos m = 0, sin m = 0 identtisesti, siis kertoimet b 00 ; b 10 ; b 20 ; : : : ovat yksinkertaisesti ilman merkitystä. Niiden arvot saavat olla mitä vaan, mukaanlukien nolla. Kertoimet a 00 ; a 10 ; a 20 taas ovat merkityksellisiä, koska jos m = 0, silloin cos m = 1 identtisesti. Saamme siis V (; ; r) = V (; r) = jossa P n = P n0. 1X n=0 1 r n+1 a n0p n (sin ) ; 2.8 Legendre-polynomien ortogonaalisuus Legendren polynomit ovat ortogonaalisia: integraali ˆ +1 1 P n (t) P m (t) dt =( 2 2n+1 jos n = m 0 jos n 6= m : (2.11)

55 2.9. Eri suureiden spektraaliesitykset 41 Tämä ortogonaalisuus on vain yksi esimerkki yleisemmästä tavasta katsoa funktioita ja funktioiden integraaleja. On olemassa hyödyllinen analogia vektoriavaruuden kanssa: ks. liite B. Voimme kirjoittaa vaihtoehtoisesti, yksikköpallon pinnalla, jossa on käytetty parametrisointi ( ; ): P n (cos ) P m (cos ) d = = 2 ˆ +1 1 P n (t) P m (t) dt; ˆ 2 ˆ jossa t cos ja d = sin d d: Siis pätee P n (cos ) P m (cos ) d =( 4 2n+1 jos n = m 0 jos n 6= m : 0 0 P n (cos ) P m (cos ) sin d d = 2.9 Eri suureiden spektraaliesitykset Potentiaali Lähtemällä kaavasta 2.8 kirjoittamme seuraava geopotentiaalin spektraaliesitys avaruudessa: 1X R n+1 V (; ; r) = V n=0 n (; ) ; (2.12) r missä spektraalikomponentit V n ovat vanhat tutut Y n (kaava 2.7), hieman eri tavalla skaalattuna: V n (; ) = = nx nx P nm (sin ) a V nm cos m + b V nm sin m = m=0 m= n V nm Y nm (; ) ; jossa Y nm (; ) =( Pnm (sin ) cos m jos m 0 P nkmk (sin ) sin kmk jos m < 0 ja vastaavasti V nm =( a V nm jos m 0 b V nkmk jos m < 0 (2.13) Tämä on joskus käytetty, kompakti notaatio.

56 42 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Maan pinnalla (r = R) saadaan: V (; ; R) = 1X V n (; ) = 1X nx n=0 n=0 m= n V nm Y nm (; ) : Gravitaatio Neumannin reuna-arvotehtävässä ratkaistaan funktio V jonka =@n, on annettu kappaleen pinnalla. Dierentioimalla kaava @r = 1X n=0 n + 1 r R rn+1 V n (; ) : (2.14) Maan pinnalla! tämä 1X n + 1 R n=0 R V n (; ) : (2.15) Jos kirjoitetaan myös Maan! pinnalla 1X (gravitaatio): g (; ; g n (; ) R n=0 seuraa analogiasta että g n (; ) = ja kääntäen, että n + 1 R V n (; ) ; V n (; ) = R g n (; ) n + 1 (2.16) Tämän tuloksena saamme erään Neumannin tehtävän ratkaisun spektraaliesity s: 1X R V (; ; r) = R n=0 r Kirjoitetaan analogisesti g (; ; 1X! nx r=r n=0 m= n n+1 g n (; ) n + 1 : (2.17) = 1X n=0 g n (; ) = g nm Y nm (; ) ; jossa käytetty määritelmä on johdonmukaisesti g nm = n + 1 R V nm;

57 2.10. Funktion hajoittaminen asteosuuksiin 43 ks. kaava Tämä on mielenkiintoinen, ja miettimisen arvoinen, tulos. Jos meillä on käytettävissä, koko maapallon pinnalta, painovoiman kiihtyvyyden mittausarvoja g, voisimme niistä johtaa kertoimia g nm ja pallopintafunktioita g n (; ) aiemmin selitetyn menetelmän avulla. Niiden avulla voimme sitten saada ratkaisun kaavan 2.17 avulla koko Maapallon ulkopuoliselle geopotentiaalikentälle! Tämä on geopotentiaalimäärityksen tai geoidimäärityksen perusajatus, spektraalinäkökannalta Funktion hajoittaminen asteosuuksiin Lopuksi annamme vielä hyödyllinen laskentakaava (integraalikaava) pintapallofunktioille, jos vastaava funktio f pallon pinnalla on annettuna. Kaava on (Heiskanen and Moritz, 1967, kaava 1-71, mutta käyttämällä notaatiomme f n Y n ): f n (; ) = 2n f ( 0 ; 0 ) P n (cos ) d 0 ; (2.18) jossa on kulmaetäisyys laskentapisteen (; ) ja liikkuvan eli integrointipisteen ( 0 ; 0 ) välillä. Tässä asteosuusyhtälössä 2.18 on tietty samanlaisuus projektio- eli kerroinlaskentakaavan B.7 kanssa. Kuitenkaan tässä ei lasketa spektraalikertoimia vain spektraaliosuusfunktioita f n. Muistutamme funktioiden f n keskeistä ominaisuutta f (; ) = pallon pinnalla. 1X n=0 f n (; ) Todistusta varten valitaan koordinaattijärjestelmän pohjoisnavaksi piste (; ); silloin 0 = 90 : Kirjoittamalla (ks. kaava 2.8): f ( 0 ; 0 ) = 1X nx n=0 m=0 P nm (sin 0 ) (a nm cos m 0 + b nm sin m 0 ) ja sijoittamalla tätä asteosuusyhtälöön 2.18, saadaan käyttämällä hyväksi Legendre-polynomien ortogonaalisuutta kaavan oikealle puolelle: I R = 2n + 1 f ( 0 ; 0 ) P n (cos ) d 0 = 4 = 2n a n0 Pn(cos 2 )d 0 = = 2n a n = 2n ˆ a n P 2 n(t) " sin 2 2n + 1 = a n; ˆ 2 0 d# 1 sin dt =

58 44 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja missä käytettiin kirjoitustapa a n a n0. Kaavan vasemmalle puolelle saadaan vastaavasti, koska määritelmän 2.7 mukaan ( = 90 ja sin = 1): I L = f n (; ) Y n (90 ; ) = käyttämällä P n (1) P n0 (1) = 1 nx m=0 P nm (1) = 0 jos m 6= 0: P nm (1) (a nm cos m + b nm sin m) = = P n (1) a n = a n ; Kun tämä pätee jokaiselle pisteelle (; ) (ja huomaa että a n :n arvo riippuu sen valinnasta!) seuraa että asteosuusyhtälö 2.18 on yleisesti tosi Matalan asteluvun pallofunktiot Pistemassan potentiaalikenttä on (kaava 1.4): V = GM r : Potentiaalikehitelmän 2.8 asteluvun n = 0 vastaava termi on josta V 0 = 1 r a 00P 0 (sin ) = a 00 r ; a 00 = GM: eli a 00 kuvaa massakeskipisteen voimakenttää, pistemassan tai pallosymmetrisen massajakauman kenttää. Korkeimmat pallofunktiokertoimet ovat häiriöitä tähän. Ensimmäisen asteen kertointen kehitelmä on seuraavan näköinen: V 1 (; ; r) = 1 r 2 (a 11 cos cos + b 11 cos sin + a 10 sin ) : Kirjoita tämä vektorimuotoon käyttämällä sijaintivektorin kaava r = (r cos cos ) i + (r cos sin ) j + (r sin ) k (missä fi; j; kg on avaruuden ortonormaali kanta), tuloksena V 1 (r) = 1 r 3 h(a 11i + b 11 j + a 10 k) ri :

59 2.12. Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät 45 m d Kuva 2.8 Monopoli, dipoli ja kvadrupoli ja niiden vaikutukset geoidiin. Muista, että dipolin potentiaalikenttä on V = G hd ri ; r3 missä d on dipolimomentti. Vertailemalla saa a 11 i + b 11 j + a 10 k = Gd; eli ensimmäisen asteluvun n = 1 pallofunktiokertoimet edustavat Maan gravitaatiokentän dipolimomentti. Jokaisen mapallomme massa-alkiolla dm voidaan katsoa koostuvan monopolista koordinaattijärjestelmän origossa, suuruus dm, ja dipolista, suuruus r dm, missä r on massa-alkion paikkavektori. Silloin voimme laskea koko maapallon dipolimomentti integroimalla: rdm = rdv = M r massakeskipiste ; d = V V määritelmän mukainen maapallon massakeskipisteen paikka! Tästä seuraa että, mikäli valitsemme koordinaattijärjestelmämme niin, että origo on Maan massakeskipisteessä, pallofunktiokertoimet a 11 ; b 11 ; a 10 häviävät. Jos satelliittien liikeyhtälöt on formuloitu tietyssä koordinaattijärjestelmässä, kuten GPS-satelliittien tapauksessa WGS84-järjestelmässä, on järjestelmän origo automaattisesti Maan massakeskipisteessä, ja ensimmäisen asteluvun pallofunktiokertoimet ovat oikeasti nolla. Sama logiikka pätee korkeammalle pallofunktio-asteille. Asteluvun 2 kertoimet kuvaavat maapallon ns. kvadrupolimomentti mikä vastaa sen hitausmomenttitensoriin, jne Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät Tarjolla olevista globaalisista pallofunktiokehitelmistä mainittakoon nyt jo hieman vanha malli EGM96. Sen kehittivät Ohion valtionyliopiston tutkijat käyttämällä hyvin laajaa, Amerikkalaisen NIMAn (National Imagery and Mapping Agency, entinen Defense Mapping

60 46 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Agency, nykyinen NGA, National Geospatial-Intelligence Agency) keräämää maailmanlaajuista, pääasiallisesti gravimetrista, aineistoa. Tämä kehitelmä menee astelukuun 360 saakka; sen standardiesitystapa on 6 V = GM r 1 + X360 a n n=2 r nx m=0 P nm (sin ) h C nm cos m + S nm sin m i! : (2.19) Tällainen esitystapa etumerkki kehitelmän eteen, joka alkaa n-arvosta 2, ykkönen suluissa joka edustaa origossa olevaa, Maan kokonaismassan suuruista pistemassaa, ja kertoimet C ja S täydellisesti normalisoituina on ollut jo jonkin ajan teollisuusstandardi globaalisessa tutkimusyhteisössä joka harjoittaa Maan gravitaatiokentän pallofunktiokehitelmien laskemista. Uranuurtaja on ollut Professori Richard H. Rapp Ohion Valtionyliopistosta, siksi malleja kutsutaan usein OSU-malleiksi. Yleensä näissä malleissa alemmat termit 2 n 20 johdetaan pääasiallisesti satelliitiratojen häiriöiden analysoinnista. Tästä johtuen mallit ovat koordinaattijärjestelmässä jonka origo on Maan massakeskipisteessä. Tämä selittää ensimmäisen asteen kertointen puuttuminen, kuten jo aiemmin argumentoitiin. Korkeammat kertoimet taas 20 < n 360 olivat ennen v pääosin sekä painovoimaaineistojen (maa) että satelliitti-altimetriadatan (meri) analyysin tulosta. Painovoimasatelliittien CHAMP, GRACE ja GOCE laukaisujen jälkeen ja niiden mittausten seurauksena on nykyisin tämäkin astelukuväli avaruusgeodesian tuotos. Vain vieläkin korkeammat asteluvut uusi malli EGM2008 (Pavlis et al., 2008, 2012) menee jo astelukuun 2159 saakka tulevat vielä maanpäällisistä mittauksista. Taulukossa 2.3 annetaan ensimmäiset ja viimeiset kertoimet EGM96-mallista, viimeinen ja paras pallofunktiomalli painovoimasatelliittimissioiden edeltävästä ajasta. Taulukoidut arvot ovat n; m; C nm ; S nm ja molempien kerrointen keskivirhe niiden laskennasta. Huomaa että kaikki S n0 ovat nollia! Joskus myös ei-normalisoituja " kertoimia nx käytetään, ja kirjoitetaan 1 V = GM r n=2 1X a n r m=0 # P nm (sin ) fj nm cos m + K nm sin mg : (2.20) Silloin kirjoitetaan J n J n0 ; ja J 2 on tärkein, maapallon litistyneisyyttä kuvaava Maan painovoimakentän parametri. Yhteys parametreihin C; S on: J ( n0 = Jnm K nm p p ) 2n + vut 1 Cn0 ; K n0 = 2n + 1 Sn0 ; (n Cnm = 2 (2n + 1) (n + m)!( ) ; m 6= 0: S nm 6 Huomaa, että nyt käytetään a, Maan ekvatoriaalisäde eikä R, ja eli geosentrinen leveysaste. Koordinaatit (r; ; ) muodostuvat pallokoordinaattijärjestelmän.

61 2.13. Ellipsoidiset harmoniset 47 Taulukko 2.3 EGM96-pallofunktiokehitelmän kertoimia. n m C nm S nm C nm :n keskivirhe S nm :n keskivirhe E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Ellipsoidiset harmoniset Laplacen yhtälö 1.12 voidaan kirjoittaa, ja ratkaista, pallokoordinaattien sijasta ellipsoidisiin koordinaatteihin. Tulos tunnetaan ellipsoidisena funktiokehitelmänä (En. ellipsoidal harmonics.) Niitä käytetään vähän, koska tarvittava matematiikka on monimutkaisempi. Myös ellipsoidiset koordinaatit ovat lähinnä teoreettisesti kiinnostavia eivätkä laajassa käytössä geodesiassa.

62 48 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Esitystapa on: V (u; ; ) = 1X nx n=0 m=0 Q nm i u E Q nm i b nm (sin ) (a nm cos m + b nm sin m) ; (2.21) EP missä Q nm (z) ovat ns. toisen lajin Legendren funktiot, joista pieni näyte alla olevassa taulukossa. Vaikka yleinen argumentti z on kompleksinen, antaa kaava 2.21 reaaliarvoinen tulos reaaliarvoisille kertoimille a nm ; b nm : Q 0 (z) = 1 2 Q 1 (z) = z 2 Q 2 (z) = 3z2 1 ln z+1 4 z 1 z+1 ln z+1 ln 1 z 1 z 1 (n + 1) Q n+1 (z) (2n + 1) zq n (z) + nq n 1 (z) = 0 Q 3 (z) = 5z3 3x 4 ln z+1 z 1 5z z 2 Q mn (z) = (1 z 2 ) m =2 d m dz m Q n (z) Ylläolevan kaavan johtamisesta kiinnistaneet löytävät sen kirjasta Heiskanen and Moritz (1967) tai muista potentiaaliteorian oppikirjoista. Heiskanen and Moritz antaa kaavalle hieman erilaisen muodon, tässä käytetyn normalisaation apukaavat löytyvät sen sivuilta Ellipsoidisten harmonisten käytön etuja: 1. Normaalikentän kaava on tässä esitystavassa yksinkertainen, ks. Heiskanen and Moritz (1967) kaava Saman kentän pallofunktiokehitelmä sen sijaan vaatii teoreettisesti äärettömän monta kerrointa (käytännössä 6-8 riittää). 2. Konvergenssi on nopeampi, koska tarvitaan vähemmän termejä. Tämä siksi, että Maan litistyneisyydestä johtuen päiväntasaaja on noin 23 km kauempana Maan keskipisteestä kuin navat. Tästä syystä erityisesti korkean asteluvun pallofunktioilla on vaikeuksia konvergoida tehokkaasti yht'aikaa sekä napa- että päiväntasaaja-alueille. Tämä ongelma on pahin erittäin korkea-asteisille pallofunktiokehitelmille (esim. Wenzel, 1998). Jo asteluvun 360 pallofunktion puoliaallonpituus on vain 55 km! Ellipsoidisten harmonisten käytön haittapuoli: Ellipsoidisten harmonisten laskeminen on pallofunktioita selvästi työläämpää eli kalliimpaa tietokoneresursseissa mitattuna.

63 Luku 3 Normaalipainovoimakenttä 3.1 Normaalikentän perusajatus Samoin kuin Maan muoto on hyvässä approximaatiossa pyörahdysellipsoidi, on myös Maan painovoimakenttä yhtä hyvässä approximaatiossa kenttä, jonka eräs ekvipotentiaalipinta on juuri tämä pyörähdysellipsoidi. Tämä tuo mieleen loogisen ajatuksen: miksei määritellä keskenään yhteensopivia vertausellipsoidia, geopotentiaalikenttää eli normaalipotentiaalia jonka eräs ekvipotentiaalipinta vertausellipsoidi on ja painovoimakaavaa, joka lasketaan potentiaalista ottamalla sen gradientti? Tämän jälkeen voimme määritellä anomaalisia potentiaali- ja painovoimasuureita, jotka ovat silloin myös keskenään yhteensopivia. Olkoon normaalipotentiaali U(x; y; z) ja vertausellipsoidin normaalipotentiaalin arvo U 0. Silloin normaalipainovoima on (x; y; ; merkitsee dierentiointia ellipsoidin ulkonormaalin n suuntaan. Tämä suunta poikkeaa tasopintojen normaalin eli luotoviivan suunnasta juuri verran. Tulemme näkemään, että Maan pyörähdysliikkeen aiheuttama näennäisvoima voidaan, Maan mukana pyörivässä järjestelmässä, kuvata pyörähdyspotentiaalin avulla. Myös normaalipotentiaali U määritellään niin, että pyörahdyspotentiaali on sen osana: normaalipotentiaali on painovoimakentän eikä gravitaatiokentän vertauspotentiaali. Jos kirjoitetaan normaaligravitaatiopotentiaali (harvoin käytetty suure geodesiassa), silloin normaalipainovoimapotentiaali (normaalipotentiaali) U on U = + ; missä on keskipakoispotentiaali. Eli:, kuten V, on määritelty ei-pyörivässä (inertiaalisessa) systeemissä, kun taas U, kuten W, on määritelty maapallon mukana pyörivässä (eiinertiaalisessa) järjestelmässä. Aivan kuten myös sana painovoima viittaa maapallon mukana pyörivässä järjestelmässä toimivaan voimaan, kun inertiaalisessa järjestelmässä käytetään sana gravitaatio.

64 50 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä 3.2 Keskipakoisvoima ja sen potentiaali Maapallon pyörähdysliike on tärkeä painovoimakentän kannalta. Inertiaalijärjestelmässä puhutaan gravitaatiosta ja gravitaatiopotentiaalista V ; kuitenkin Maan pinnalla, ei-inertiaalisessa (mukana pyörivässä) järjestelmässä, puhutaan painovoimasta ja painovoimapotentiaalista W. Ne ovat eri asioita; eron aiheuttaa pyörahdysliike ja sen keskipakoisvoima. Ks. kuva. Keskipakoisvoima Gravitaatio Painovoima Keskipakoisvoiman kaava: kirjoita ensin silloin p = Xi + Y j; p = kpk =qhp pi = p X 2 + Y 2 : Nyt keskipakoisvoima (tai -kiihtyvyys) on f =! 2 p =! 2 (Xi + Y j) : Täällä Maassa, painovoimamittaukset tehdään yleensä laitteella, joka on lepotilassa Maan pintaan nähden: se seuraa maapallon pyörähdysliikettä. Jos laite liikkuu, on keskipakoisvoiman lisäksi vielä otettava huomioon toinen näennäisvoima: Coriolis 1 -voima. Myös nesteet vesi, ilma Maan pinnalla tuntevat vain keskipakoisvoiman, mikäli ne ovat lepotilassa. Virtaukset tuntevat myös Coriolis-voiman, joka kääntää virtaukset ja aiheuttaa tunnettuja pyörreilmiöitä valtamerillä ja ilmakehässä. Jos nyt Coriolis-voima jätetään sikseen, voidaan kuvata keskipakoisvoima eräänlaisen potentiaalin gradientiksi. Jos kirjoitetaan keskipakoispotentiaaliksi = 1 2!2 (X 2 + Y 2 ); 1 Gaspard-Gustave Coriolis ( ) oli ranskalainen matemaatikko, fyysikko ja koneinsinööri. Hanen nimensä on kaiverrettu Eieltorniin.

65 3.2. Keskipakoisvoima ja sen potentiaali 51 voidaan suoraan laskea, että f =! r + = 1 2 i!2 2X j!2 2Y + 0 =! 2 (ix + jy ) ; mikä vastaa yllä annettua keskipakoisvoimakaavaa. Jos lähdemme gravitaatiopotentiaalista V ja lisämme siihen keskipakoispotentiaalin, saamme tulokseksi painovoimapotentiaali W : W = V + : Voimme laskea keskipakoispotentiaalista myös seuraavan kaavan dierentioimalla sen Y + 0 = 2! 2 ; (3.1) josta seuraa W = 4G + 2! 2 ; (3.2) painovoimapotentiaalin Poisson-yhtälö. Ero gravitaation ja painovoiman välissä on olennainen. Gravitaatiovoima (eli -kiihtyvyys) a =! rv on pelkkä vetovoima; painovoima (kiihtyvyys) g =! rw on gravitaation ja keskipakoisvoiman yhteisvaikutus. Vetovoima ja keskipakoisvoima toimivat samalla tavalla: voima on verrannollinen koekappaleen massaan, ts. kiihtyvyys on aina sama koekappaleen massasta riippumatta. Tämä on kuuluisa ekvivalenssiperiaate (Galilei, Einstein), jota on todettu hyvin tarkasti paikkansa pitäväksi. Erityisesti voidaan mainita unkarilaisen kreivi Lorand Eötvösin 2 neuvokkaat kokeet. Maan päällä olevat vesimassat, samoin kuin ilmakehä (sekä suunnattomasti suuremmalla aikaviiveella kiinteä kallio, joka muodostaa vuoristoja ja valtameren syvänteitä) tottelevat painovoimaa tekemättä eroa vetovoiman ja keskipakoisvoiman välillä. Siksi merenpinta on noin metrin tarkkuudella W -funktion ekvipotentiaalipinta. Myös Maan päällä korkeudet mitataan tästä pinnasta eli geoidista (Gauss: Maan matemaattinen muoto). Painovoiman mittayksikkö on mgal = 10 5 m=s². Myös Gal eli 10 8 m=s² käytetään. Modernissa kirjoissa käytetään myös suoraan m =s² ja nm =s², jotka kuuluvat muodollisesti SIjärjestelmään. Kuitenkin milligallit ja mikrogallit ovat tutumpia ja vastaavat n. 1 ppm (miljoonasosaa) ja 1 ppb (miljardisosaa) koko painovoimasta. Painovoiman gradientin mittauksen suosittu yksikkö on Eötvös, lyhenne E. SI-yksikössä se on 10 9 s 2, mikä vastaa 10 4 mgal=m. Alla olevassa taulukossa on annettu muutama arvo ilmiöiden suuruusluokan hahmottamiseksi. Maan pinnalla painovoiman arvo on keskimäärin noin 0;3 mgal =m. 2 Loránd paroni Eötvös de Vásárosnamény ( ) oli unkarilainen fyysikko ja gravitaation tutkija.

66 52 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä Ilmiö Koko SI- mgal painovoimasta yksiköissä Koko painovoima 1 9; Paikallinen vaihtelu Ero päiväntasaajan ja napojen välillä 0;5% 0; Ero merenpinnan ja 10 km korkeuden 0;3% 0; välillä Gravimetrin mittaustarkkuus ;01 0;1 3.3 Tasopinnat ja luotiviivat Saman painovoimapotentiaalin pinnat, ekvipotentiaalipinnat eli tasopinnat ovat seuraavia pintoja: W (x; y; z) = W 0 = const: Yksikkövektorin e = e 1 i + e 2 j + e 3 k suuntaan potentiaali = ; joka on D nolla jos E ja vain jos! e rw = 0; ts. potentiaali on stationaarinen vaan suuntiin, jotka ovat kohtisuoria Maan painovoimavektoria! rw = g kohtaan. Siis: tasopinnat ja painovoimavektorit eli luotiviivat ovat aina kohtisuoria toisiinsa nähden. Tasopintojen kaarevuus: Annettuna pisteessa P suora pinta, joka on P :ssä samansuuntainen tasopinnan kanssa, eli tangenttipinta. Jos tasopinnan paikallinen kaarevuus x- suunnassa on x, ja pisteen P x-koordinaatti x 0, voidaan kehittää pintojen välinen etäisyys Taylor-sarjaksi: = 1 2 x (x x 0 ) 2 :

67 3.3. Tasopinnat ja luotiviivat 53 Tästä saa W -erotukseksi pintojen välillä (g kgk): W = g = (x x 0 ) 2 Dierentioimalla W = 2 x = g W xx : g x g 2 x : Määrittämällä kaarevuus x-suunnassa K 1 = 1 x = W xx g ; ja vastaavasti y-suunnassa (3.3) K 2 = 1 y = W yy g ; (3.4) saadaan keski- eli Germainin 3 kaarevuus (positiivinen luku): J = 1 2 (K 1 + K 2 ) = W xx + W yy ; 2g ja käyttämällä Poisson, kaava 3.2, saamme W = W xx + W yy + W zz = 4G + 2! 2 ; 2gJ + W zz = 4G + 2! 2 : Käyttämällä (H = korkeuskoordinaatti) W @H saadaan (Heiskanen and Moritz, 1967, = 2gJ + 4G 2!2 ; Ernst Heinrich Brunsin löytämä kaava. 3 Marie-Sophie Germain ( ) oli nerokas ranskalainen matemaatikko, lukuteoreetikko ja elastisuuden tutkija. Hän kävi kirjeenvaihtoa mm. Gaussin kanssa lukuteoriasta, ja teki arvokasta pohjatyötä Fermat'n suuren lauseen todistusta varten. Hänen nimensä puuttuu Eieltornista.

68 54 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä Tähtitieteelliset koordinaatit ; n Luotiviiva Greenwich n Kuva 3.1 Luonnolliset koordinaatit ;. Näiden lisäksi, luonnollinen korkeuskoordinaatti, esim. geopotentiaali W tarvitaan. 3.4 Luonnolliset koordinaatit Ennen satelliittiaikakautta oli mahdotonta suoraan mitata geosentriset X; Y ja Z. Nykyisin tämä on mahdollista, ja samalla saadaan h, puhtaasti geometrinen suure. Aiemmin voitiin mitata vain kuvassa 3.1 kuvattua luotiviivan suuntaa, sekä havaintopisteen potentiaaliero keskimerenpinnalta. Luotiviivan suunta mitattiin tähtitieteellisesti: tähtitieteellinen leveysaste (älä sekoita keskipakoisvoiman potentiaalin kanssa) ja tähtitieteellinen pituusaste. Kolmas koordinaatti, potentiaaliero W (x; y; z) W 0 meren pinnasta, määritettiin vaaitsemalla. Näitä koordinaatteja, ; ja W, kutsutaan luonnollisiksi koordinaateiksi. Usein käytetään potentiaalin sijasta ortometrista korkeutta. Sen määritelmän ymmärtää helposti @H = g ) dh = 1 g dw ) H P = ˆ WP W 0 1 g(w 0 ) dw 0 missä integraali otetaan pisteen P luotiviivaa pitkin. on paikallinen tasopintojen normaalin eli luotiviivan suuntainen derivaatta (normaalin korvaaminen vertausellipsoidin lilla aiheuttaisi vain pienen virheen). g on painovoimakiihtyvyys luotiviivalla, paikan tai geopotentiaalitason funktiona. Tämä on tässä ortometristen korkeuksien tapauksessa todellinen painovoima kallion sisällä, joka on paikan epälineaarinen funktio ja riippuu myös kallion tiheydestä. Tämä on ortometrisille korkeuksille ominainen ongelma. Tähän palataan myöhemmin (Heiskanen and Moritz, 1967 luku 4). Myös koordinaatit ; ; H muodostavat luonnollisen koordinaattijärjestelmän.

69 3.5. Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [ vaikea] Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea] Olemme jo esittäneet kaavaa 2.21 geopotentiaalin kehitelmästä ellipsoidisiin harmonisiin. Normaalikentältä U vaaditaan, että se on vakio vertausellipsoidilla u = b. Kehitetään keskipakoisvoima ellipsoidisiin harmonisiin. Meillä on!2 2 (u; ) = 1 x y = 2!2 2!2 2 u 2 + E cos 2 = 2 = 1 u 2 + E 1 sin 2 = 2!2 2 = 1 u 2 + E 2 = 2 3 P 2 (sin ) P 0 (sin ) = 1 3!2 u 2 + E 2 (P2 (sin ) P 0 (sin )) : Tämän lisäksi meillä on kaavan 2.21 perusteella pyörähdyssymmetriselle kentälle : sekä (u; ) = 1X n=0 n Q n i u E Q i b n P n (sin ) ; EA U (u; ) = (u; ) + (u; ) : Vertausellipsoidilla vaatimuksena on U (b; ) = U 0 ; mikä on mahdollista vain, jos A !2 b 2 + E 2 = U0 ; A 2 1 3!2 b 2 + E 2 = 0; ja kaikki muut A n = 0: Suure U 0 on yksiselitteisesti laskettavissa, jos maapallon massa GM ja vertausellipsoidin mitat a; b ovat tiedossa. Tulos, joka on annettu kirjassa Heiskanen and Moritz (1967) kaava 2-61, on: U 0 = GM E arctan E b + 1 3!2 a 2 : Tästä seuraa: A 0 = U 0 1 3!2 a 2 = GM E arctan E b : Oletetaan A 0 = a 0 (normaalikentän ja todellisen kentän nollannen asteen kertoimet ovat samoja, eli normaalikentän kokonaismassa on realistinen), ja a 10 = a 11 = b 11 = 0 (dipolimomentin häviäminen!). E = 0 Tämän jälkeen voidaan skaalata kaava 2.21 seuraavasti Kayttämällä kaava Q i u i arctan E (Heiskanen and Moritz, 1967, s. 66) ja siirtämällä sopivat vakiot uusin kertoimiin u

70 56 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä C e nm; S e nm: V (u; ; ) = = GM E arctane u 2 4 1X 1 nx n=2 m=0 arctan E b arctan E u Q nm i u E Q nm i b E P nm (sin ) Ce nm cos m+ +S e nm sin m!3 5 ; (3.5) mikä vastaa pallofunktiokehitelmää Tätä kaavaa ei kuitenkaan ole tiettävästi käytetty missään käytännön geopotentiaalilaskentaan. Painovoimakentän normaalipotentiaali U saadaan seuraavaksi (muista että a 2 = b 2 + E 2 ): U(u; ) = GM E 2 arctan E u + 1 3!2 a Q 2 i u 2 E Q i b E( 3 2 sin2 = C 1 (u) + C 2 (u) sin 2 + C 3 (u) cos 2 ; missä C 1 ; C 2 ; C 3 ovat sopivia u-funktioita. Vertausellipsoidin pinnalla (u = b): U(b; ) = GM E vakio, kuten sopii ollakin! arctan E b = GM E arctan E b + 1 3!2 a 2 ; 1 2 ) + 1 2!2 (u 2 + E 2 ) cos 2 = 1 6!2 a !2 a 2 sin !2 a 2 cos 2 = 3.6 Normaalipainovoima Ilman todistusta mainittakoon, että normaalipainovoimalle (suureelle pätee vertausellipsoidin pinnalla seuraava kaava: = a b sin 2 + b a cos 2 : qa 2 sin 2 + b 2 cos 2 Sijoittamalla saadaan heti selville, että a on normaalipainovoima päiväntasaajalla ( = 0) ja b normaalipainovoima navoilla ( = 90 ). Käyttämällä kaavoja 2.3 ja 2.5 saadaan ja tan = sin cos = Z=b p X 2 +Y 2 =a = a b tan tan ' = sin ' cos ' = Z =(1 e2 )N p x 2 +y 2 =N = Z 1 p X 2 + Y 2 1 e = a2 tan ; 2 b2

71 3.7. Numeeriset arvot ja kaavat 57 missä on geosentrinen leveysaste (vrt. kaava 2.2). Tästä seuraa suoraan: tan = b tan '; a missä leveyskulma ' on geodeettinen (eli maantieteellinen) leveysaste. ( on edelleen ns. redukoitu leveysaste). Nyt on helppo osoittaa (harjoitus!) että = a a cos 2 ' + b b sin 2 ' : (3.6) qa 2 cos 2 ' + b 2 sin 2 ' Tämä on kuuluisa Somigliana-Pizzetti 4 kaava. Nämä geodeetit osoittivat ensimmäisinä että ellipsoidinen normaalipainovoimakenttä, joka tuottaa vertausellipsoidin yhtenä tasapotentiaalipintanaan, on tarkasti olemassa ja että myös maantieteellisissä koordinaateissa painovoimakaava on suljettu ilmaisu leveysasteessa. 3.7 Numeeriset arvot ja kaavat Kun vertausellipsoidi on valittu, voidaan siitä laskea normaalipotentiaali ja normaalipainovoima. Perussuureet ovat a f pyörähdysellipsoidin ekvatoriaalisäde eli iso akselipuolikas; litistyneisyyssuhde, f = a b, missä b on polaarisäde eli pikku akselipuolikas; a! pyörähdysnopeus; GM kokonaismassa (sisältää ilmakehän). Vaihtoehtoisesti valitaan myös a eli ekvatoriaalipainovoima. Nykyisin käytetyin vertausjärjestelmä on GRS80 (Geodetic Reference System 1980): a = m [ 1 =f = 298; ]! = s 1 GM = m 3 s 2 (Oikeastaan f ei ole GRS80:n määrittelevä vakio, vaan käytetään J 2, joka on painovoimakenttää kuvaava suure, ks. kaava 2.20). GPS-järjestelmän käyttämä WGS84 (World Geodetic System 1984) on melkein identtinen GRS80:n kanssa. Normaalipotentiaali on (Heikkinen, 1981), yksiköt [m] ja [s]: 4 Carlo Somigliana ( ) oli italialainen matemaatikko ja fyysikko; Paolo Pizzetti ( ) oli italialainen geodeetti.

72 58 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä U = ; i 9; ; sin 2 ' 0; sin 4 ' 0; sin 6 ' h+ h + 0; ; sin 2 ' i i 0; sin 4 ' h 2 0; ; sin 2 ' h 3 ; ja normaalipainovoima (huomaa miinusmerkki; U on positiivinen ja vähenee = h = + 9; ; sin 2 ' + 0; sin 4 ' + 0; sin 6 i ' 0; ; sin 2 ' 0; sin 4 ' h h 0; ; sin 2 ' i h 2 : (3.7) Tarkemmat kaavat saa raportista Heikkinen (1981). Näissä kaavoissa kerroin 9;78032 : : : on ekvatoriaalinen painovoima ja 0;03087 : : : on painovoiman (ekvatoriaalinen) pystygradientti. Kaikki yksiköt ovat SI-systeemissä. ' on (geodeettinen) latitudi, h on korkeus vertausellipsoidista. Muut vielä käytössä olevat painovoimakaavat (ja vertausellipsoidit) ovat Helmertin kaava (Krassowsky-ellipsoidi) Itä-Euroopan maissa, Kansainvälinen eli Hayford-ellipsoidi (1924) ja sen painovoimakaava sekä Geodetic Reference System Esimerkki Yllä olevan kaavan mukaan päiväntasaajan yläpuolella on normaalipotentiaali U = ;8500 9; h + 0; h 2 + 0; h 3 : Piirrä tämä funktio h-arvoille km. Piirrä vertailun vuoksi kvadraattinen versio, josta viimeinen termi on jätetty pois. Kysymyksiä 1. Mitkä ovat näiden funktioiden minimit? 2. Kuinka fysikaalisesti realistista tämä on? Vastaukset 1. Ks. kuva 3.2. Minimit ovat korkeuksilla 3000 km ja 2000 km, suunnilleen. 2. Ei kovin fysikaalista: stationaarinen piste potentiaalille U (mukana pyörivän järjestelmän normaalipotentiaali) pitäisi sijaita n km korkeudella, geostationaarisella radalla.

73 3.8. Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä e e+08 1e potenssi 2. potenssi Lineaarinen Realistinen 8e+07 6e+07 4e+07 2e Kuva 3.2 Normaalikentän potentiaalikäyrä päiväntasaajan yläpuolella. Tämä kertoo, että polynomi-approksimaatiota ei voi ekstrapoloida kovin pitkälle. Tässä tapauksessa ekstrapolointiväli on samaa luokkaa kuin Maan säde, ja se ei enää toimi. 3.8 Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä Ellipsoidisen gravitaatiokentän pallofunktiokehitelmä sisältää toisen asteen lisäksi myös korkeamman asteen pallofunktiot. Jos kirjoitetaan, kuten on tapana, potentiaali maapallon ulkopuolella seuraavaan muotoon (Heiskanen and Moritz, 1967 alaluku 2-39, myös kaava 2.20): V = GM r ( 1 n=2 1X a n r nx m=0 ) P nm (sin ) [J nm cos m + K nm sin m] ; voidaan myös normaaligravitaatiopotentiaali (kutsutaan sitä ) kirjoittaa muotoon (käyttämällä nyt täydellisesti normalisoitua muotoa): = GM r " 1 1X n=1 2n # a J P 2n (sin ) ; r2n joka sisältää vain parillisia kertoimia J 2n kun normaalikenttä on symmetrinen ekvaattoritason nähden.

74 60 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä GRS80:n normaaligravitaatiopotentiaalin kertoimet ovat: J 2 = J 20 = 484; ; J 4 = 0; ; J 6 = +0; : Korkeampia termejä ei yleensä tarvita. Kirjallisuudessa löytyy myös ei-normalisoitu J 2 = J 2 p 5 = 1082; , yleisesti J n = J n p 2n + 1: (Huomaa että saman kentän kehistelmästä ellipsoidisiin harmonisiin vain kertoimet asteluvuille nolla ja kaksi eroavat nollasta! Tämä on pääsyy miksi näitä funktioita käytetään ylipäänsä.) Ellipsoidimallin sijasta voidaan käyttää normaalipainovoimapotentiaalikaavana myös pallofunktiokehitelmän ensimmäistä pari, kolme termiä. Silloin saadaan (keskipakoispotentiaali otetaan mukaan): U = Y 0 r + Y 2(; ) r !2 (X 2 + Y 2 ); vastaava ekvipotentiaalipinta on "Brunsin sferoidi"; tai U = Y 0 r + Y 2(; ) r 3 + Y 4(; ) r !2 (X 2 + Y 2 ); "Helmertin sferoidi". Nämä kaavat ovat helppoa laskea, mutta niiden ekvipotentiaalipinnat (tasopinnat) eivät ole aivan tarkasti pyörähdysellipsoideja. Ne ovat oikeastaan hyvinkin monimutkaisia pintoja (Heiskanen and Moritz, 1967, 2-12)! Ottamalla mukaan pari seuraavaa termiä (Y 6 ; Y 8 ) saadaan jo käytännössä hyvinkin tarkka ellipsoidisen painovoimakentän approksimaatio. Kuitenkin geometrisessa geodesiassa käytetään aina vertausellipsoidi, joten kannattaa tehdä se myös fysikaalisessa geodesiassa. 3.9 Häiriöpotentiaali Kirjoita painovoimapotentiaali W = V + ; missä on keskipakoisvoiman potentiaali (ks. yllä), ja normaalipotentiaali U = + : Niiden välinen erotus on T = W U = V ; häiriöpotentiaali.

75 3.9. Häiriöpotentiaali 61 Sekä V että voidaan kehittää pallofunktiokehitelmäksi; jos kirjoitetaan painovoimapotentiaali W = V + = = + GM r ja normaalipotentiaali U = + GM r ( 1 n=2 1X a n r 8< 1X : 1 nx m=0 n=2;parillinen a r saadaan vähentämällä häiriöpotentiaaliksi missä T = W U = = GM r (1X a n n=2 r nx m=0 ) P nm (sin ) [J nm cos m + K nm sin m] ; n J 9= ; np n (sin ) ; ) P nm (sin ) [J nm cos m + K nm sin m] ; J n0 = J n0 J n jos n parillinen, ja J nm = J nm muuten; K nm = K nm : Ylläoleva kaava häiriöpotentiaalille T lyhennetään seuraavasti (Heiskanen and Moritz, 1967, kaava 2-152): 1X a T (; ; r) = n=0 Tn (; ) ; (3.8) rn+1 jossa jokaisessa termissa T n :lla on sama dimensio kuin T. a-säteisen referenssipallon pinnalla 5 : T = 1X n=0 T n ; josta nähdään, että termit T n (; ) ovat todella tietyn asteluvun n osittaispotentiaalit vertaustasolla. 5 Aiemmin tälle vertaussäteelle on käytetty (pallo-approksimaatiossa) myös kirjoitustapa R.

76 62 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä 3.10 Harjoitustehtäviä Rappin kaavan ja ellipsoidisen kaavan ekvivalenssin osoittaminen, (2.19, 3.5), jos Maan litistyneisyys! 0 (ja siis myös a; b! R ja u! r). Voit olettaa että (Heiskanen and Moritz (1967) kaava (1-112)) Q lim nm i u E E!0 Q nm E = R n+1 : i b r Somigliana-Pizettin kaava 1. Annettuna painovoima päiväntasaajalla a ja navoilla b. Mikä on painovoima geodeettisella leveysasteella ' = 45? 2. Ja mikä on painovoima redukoidulla leveysasteella = 45? 3. Annettuna pitkä akselipuolikas a ja lyhyt akselipuolikas b, mitä on saman paikan eri leveysasteiden (geodeettinen ', geosentrinen, ja redukoitu ) erotukset maksimissään? Saat lähteä siitä, että maksimi tapahtuu latituudeilla 45 : 4. Laske yllä mainituille suureille numeeriset arvot GRS80 tapauksessa.

77 Luku 4 Painovoimakentän anomaaliset suureet 4.1 Häiriöpotentiaali, geoidikorkeus, luotiviivapoikkeamat Ensimmäinen anomaalinen suure, joka tuli jo puheeksi, on ero todellisen painovoimapotentiaalin W ja normaalipainovoimapotentiaalin U välillä: T = W U: Kaikki muut anomaaliset suureet ovat tämän häiriöpotentiaalin erilaisia funktioita, kuten geoidin korkeus N ja luotiviivan poikkeamat ;. Ne saadaan yleisesti vähentämällä toisistaan 1. luonnolliset, Maan oikeaan painovoimakenttään liittyvät suureet ja 2. vastaavat, Maan vertausellipsoidin normaalipainovoimakenttään liittyvät suureet. Esimerkiksi luotiviivapoikkeamat: = '; = ( ) cos '; jossa ( ; ) ovat tähtitieteellinen leveys- ja pituusasteet, eli paikallisen luotiviivan suunta, ja ('; ) on vastaavasti vertausellipsoidin normaalin suunta. Ks. kuva 4.1. Geoidin korkeus eli geoidi-undulaatio on: N = H h; jossa H on ortometrinen korkeus (keskimerenpinnasta) ja h on korkeus vertausellipsoidista. Luotiviivapoikkeamat ovat Suomessa luokkaa muutama kaarisekunti (), geoidi-undulaatiot ovat välillä m (globaalisti m) jos käytetään nykykäytännön mukaan GRS80- ellipsoidi vertauspintana. Merenpinnan tasolla luotiviivapoikkeamat ovat geoidin korkeuksien vaakagradientteja. Ks. kuva 4.1. Vertausellipsoidille, esim. GRS80-ellipsoidille, on olemassa oma, matemaattisesti eksakti standardi- eli normaalipainovoimakenttä, jonka eräs tasopinta kyseinen vertausellipsoidi on. Tämän kentän avulla voimme jokaiselle painovoimakentän suurille laskea vastaava normaalisuure, ja vähentämällä ne toisistaan saadaan taas vastaava anomaalinen suure. Korkeuksille vertausellipsoidista löytyy analoginen kaava kuin ortometrisille korkeuksille: h P = ˆ UP U 0 1 (U) du:

78 64 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Luotiviivapoikkeama Topograa Vertausellipsoidi Geoidi Geoidin korkeus N Kuva 4.1 Geoidi-undulaatiot ja luotiviivapoikkeamat. Alhaalla Suomen geoidimalli vuodesta 1984 luotiviivapoikkeuksineen (Vermeer, 1984). Pisteen P geoidikorkeus on nyt N P = h P H P = = = ˆ WP g W 0 g dw 0 ˆ HP 0 g dh ˆ WP 1 W 0 g dw ˆ UP du + ˆ UP 1 W P du + W P 1 ˆ UP 1 U 0 du = ˆ U0 ˆ U0 W 0 1 W 0 1 du du; (4.1) uudelleen nimittämällä integrointimuuttujat W; U! W 0 ja vaihtamalla se metriseksi: dw 0 = gdh:

79 4.1. Häiriöpotentiaali, geoidikorkeus, luotiviivapoikkeamat 65 g = gradw ~ = gradu P W P Geoidi U Q (= W P ) N Ellipsoidi Q U P Kuva 4.2 Painovoimakentän (W ) ja normaalipainovoimakentän (U) ekvipotentiaalipinnat. Kaavassa 4.1 viimeinen termi häviää jos oletetaan 1 U 0 = W 0. Nyt geoidikorkeuden määritelmässä piste P on keskimerenpinnan (korkeussysteemin nollan) tasolla. Silloin myös ensimmäinen termi haviää (se olisi kuitenkin aina pieni, paitsi vuoristossa). Siis N P = ˆ UP W P 1 du 1 P (W P U P ) = T P P eli N = T : (4.2) mihin olemme sijoittaneet T = W U, häiriöpotentiaali. Kaikki suureet on oletettu olevan merenpinnan tasolla. Tämä on kuuluisa Brunsin 2 kaava (Heiskanen and Moritz, 1967, kaava 2-144). Tilanteen vielä paremmin kuvittamiseksi ks. kuva 4.2. Tässä kuvassa gradienttivektorit g =! grad W ja! = grad! U ovat pituuksiltaan dw =dh ja du =dh, mistä seuraa, kaavan T = W U kanssa, että vastaavien pintojen W = W P ja U = U Q ; välinen etäisyys kun W P = U Q ; on N = W P U P = U Q U P = T : 1 Tämä ei ole itsestään selvä! Paikallisessa korkeusdatumissa nollapisteen potentiaali voisi hyvinkin poiketa jopa metri globaalisen vertausellipsoidin normaalipotentiaalista. 2 Ernst Heinrich Bruns ( ) oli lahjakas saksalainen matemaatikko ja matemaattinen geodeetti.

80 66 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet 4.2 Painovoimahäiriöt Todellisen painovoiman ja normaalipainovoiman kiihtyvyysarvojen erotusta kutsutaan painovoimahäiriöksi, g. Tarkka kaava olisi @U missä dierentioidaan luotiviivaa pitkin W :lle, ja ellipsoidista normaalia pitkin U:lle. Luotiviivan ja ellipsoidisen normaalin suunnat ovat itse asiassa hyvin lähellä toisiaan. @T g @r : Kehitettiin jo häiriöpotentiaali eri pallofunktioiden asteluvun osiin (kaava 3.8), ja nyt dierentioimalla r:n suhteen saadaan: @r eli Maan pinnalla (r = R): g = 1 R 1X n=0 (n + 1) T n : "1X R n=0 # n+1 T n (; ) = 1 r r 1X n=0 (n + 1) R r n+1 T n ; (4.3) Tämä on painovoimahäiriön spektraaliesitys Maan pinnalla (tarkemmin, pallon pinnalla jonka säde on R. Keskisäteen R arvoksi voi ottaa Maan ekvatoriaalisäde a). Painovoimahäiriöitä P P voidaan havaita vain, jos on keino millä mitata, pisteen P painovoimakiihtyvyyden lisäksi, myös P :n sijainti avaruudessa, suhteessa Maan keskipisteeseen, jotta voisi laskea normaalipainovoima P Nykysin tämä on jopa GPS:n avulla; perinteisesti se ei kuitenkaan ollut mahdollista. Siksi painovoimahäiriöitä käytetään vähän. Käytetään mieluummin painovoima-anomalioita, joista lisää jatkossa. 4.3 Painovoima-anomaliat Normaalipainovoima lasketaan geodeettisten koordinaattien (x; y; z), tai ('; ; h), funktiona. Kuitenkin perinteisessä gravimetria-kenttätyössä, ennen GPS-aikakautta, oli käytettävissä geodeettisista koordinaateista vain ' ja kartalta eikä korkeus h vertausellipsoidilta. Käytettävissä oli vain korkeus H merenpinnan (geoidin) yläpuolella, saatuna vaikkapa valtakunnallisen vaaitusverkon kautta tai pahimmassa tapauksessa barometrisesti. Tämä merkitsee että, vaikka todellinen painovoima g mitataan pisteessä P jonka korkeus meren pinnasta on H P, normaalipainovoima lasketaan toisessa pisteessä Q, jonka korkeus vertausellipsoidista on h Q = H P. Ks. kuva 4.3.

81 4.3. Painovoima-anomaliat 67 Keskimerenpinta (geoidi) Ellipsoidi Telluroidi Topograa P = mittauspiste Q N Kuva 4.3 Vertausellipsoidi, keskimerenpinta (geoidi) ja painovoimamittaus Toisin sanoen, pisteen P mitattu korkeus merenpinnasta sijoitetaan raa'asti vaan normaalipainovoimakaavaan, joka kuitenkin odottaa korkeutta vertausellipsoidista! Tämä erikoinen seikka painovoima-anomalioiden määritelmässä voidaan kutsua vapaan reunaan reunaarvotehtäväksi (free boundary-value problem ). Tämän mukaan lasketaan painovoima-anomaliat seuraavasti: g P = g P Q = (g P! P ) + ( P Q! (W P U P ) + (h P h @H + (h P H @H + T käyttämällä melkein kaikki ylläolevat P Viimeinen kaava on tutun näköinen: se on kolmannen reuna-arvotehtävän reuna-ehto (Heiskanen and Moritz, 1967, alaluku 1-17). Se antaa mahdollisuuden ratkaistaa T ulkoavaruudessa jos g on annettu kaikialla Maan pinnalla. Jos oletetaan, että Maan normaalipainovoimakenttä on pallosymmetrinen, voidaan approksimoida (harjoitus: näytä!): 2 r T; missä r = R + H on etäisyyys maapallon keskipisteestä. Sijoittamalla tähän g:n kaava, ja r = R, saadaan maapallon pinnalla: g = g 2 R T: (4.4) (4.5)

82 68 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Tästä saadaan suoraan yllä annettujen T :n ja g:n spektraalisesityksien avulla: 1X g = 1 ((n + 1) 2) T n = 1 R n=0 R 1X n=2 (n 1) T n : (Tässä on oletettu että T 0 ; häiriöpotentiaalin keskiarvo koko maapallon pinnan yli, on nolla. Ilmeiseimmin myös T 1 voidaan jättää huomioimatta.) Joskus valitaan seuraava esitystapa: jossa g = 1X n=2 g n ; g n = n 1 R T n: (4.6) Tästä näkyy, että painovoima-anomaliat eivät voi sisältää n = 1 komponentteja. Kannattaa aina valita koordinaatiston origo Maan massakeskipisteessä, muuta jos se ei ole, ainakaan painovoima-anomaliat eivät muutu. Kaava 4.6 pätee vain maapallon pinnalla, jonka säde on R. Maapallon ulkopuolella saadaan, käyttämällä kaavat 4.3 ja 4.4, vastaava kaava: g = 1 r 1X n=2 [(n + 1) 2] R rn+1 T n = 1 r 1X n=2 (n 1) R r 4.4 Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä = n+1 R T n g n : (4.7) rn+2 Kuten edellisessä alaluvussa selitettiin, on painovoimamittaus hieman monimutkaisempi kuin se, että mitataan vain =@r. Tämä on siksi, että vaikka mitataan potentiaalin säteisderivaatta, se tehdään paikalla jota ei tarkasti tunneta. Vaikka tiedettäisiinkin mittauspaikan korkeus merenpinnan ylläpuolella, se ei vielä anna mittauspisteen sijaintia avaruudessa, joka riippuu tämän korkeuden lisäksi mm. myös merenpinnan eli geoidin geopotentiaalikentän tasopinnan paikasta avaruudessa, nimenomaan sen korkeudesta vertausellipsoidin ylä- tai alapuolella. Näin päädytään kolmanteen reuna-arvotehtävään 3. Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä on määrittää kappaleen ulkopuolinen potentiaali V, jos on annettu lineaariyhdistelma av ; missä a; b sopivat vakiot. Muuttaja n edustaa tässä maapallon pinnan normaalin suuntaa, käytännössä sama kuin r tai h. Fysikaalisessa geodesiassa on annettu seuraava lineaariyhdistelmä (painovoima-anomalia, kaava 4.5): 3 Kolmannen eli sekäreuna-arvotehtävän yhteydessä mainitaan Victor Gustave Robinin ( ), ranskalaisen matemaatikon, nimeä. Silloin Dirichletin ongelma olisi ensimmäinen, Neumannin ongelma toinen reuna-arvotehtävä.

83 4.4. Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä R T: (4.8) Kaavaa eli reunaehtoa 4.8 kutsutaan nimellä fundamental equation of physical geodesy. Yllä saatiin jo kaavat 2.12 ja 2.14, jotka pätevät yhtä hyvin häiriöpotentiaaliin T kuin yleiseen potentiaaliin = 1X 1X n=0 R T = n=0 r n=0 n + 1 r R rn+1 T n (; ) ; n+1 T n (; ) : Näitä yhdistämällä 1X saadaan n + 1 g = r eli Maan pinnalla (R = r): g = 1X n=0 n 1 R T n (; ) R 2 R n+1 T n (; ) ; r 1X n=0 g n (; ) ; jossa suureet g n = n 1T R n (; ) on määritelty loogisella tavalla. Muista, että funktiot g n (; ) saadaan lasketuksi asteosuusyhtälön 2.18 avulla kun g (; ) on tiedossa kaikkialla maapallolla. Havaitse myös että termi n = 1 häviää: g 1 = 0. Oletamme myös g 0 = T0 =R = 0, eli todellinen ulkoinen geopotentiaali, ja näin maapallon kokonaismassa (ja sen volyymi 4 ) GM, on keskimäärin sama kuin normaalipotentiaali ja sen olettama kokonaismassa (ja ellipsoidin volyymi). Oletus on enemmän tai vähemmän oikeutettu koska GM on satelliitien avulla hyvin tarkasti määritettävissä ja määritettykin, ja modernit normaalipotentiaalimallit perustuvat näihin määrityksiin. Näin saadaan tämänkin reuna-arvotehtävän ratkaisu spektraaliesityksessä (joka siis pätee koko ulkoavaruudessa) käyttämällä asteosuusyhtälöä 2.18: 1X R T (; ; r) = R n=2 n+1 g n (; ) 1X r n 1 = R 2n + 1 R 4 n 1 rn+1 n=2 g ( 0 ; 0 ) P n (cos ) d 0 : (4.9) Tämä on juuri se reuna-arvotehtävä, joka syntyy jos kaikkialla Maan pinnalla (ja merenpinnalla) on annettu painovoima-anomalioita. 4 Itse asiassa ilmakehä mutkistaa tätä asiaa.

84 70 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Integraalikaava, joka vastaa yllä olevaa spektraalikaavaa 4.9 tunnetaan Stokesin 5 kaavana: T (; ; r) = R S ( ; r) g ( 0 ; 0 ) d 0 ; 4 missä S ( ; r) = 1X n=2 2n + 1 n 1 R rn+1 P n (cos ) : (4.10) Alaluvussa 7.1 annetaan tämän funktion suljettu kaava (tapaukselle r = R) sekä graikka. 4.5 Telluroidikuvaus ja kvasi-geoidi Kun mitataan tähtitieteellinen leveys- ja pituusaste ; ja tulkitaan ne geodeettisiksi (ellipsoidisiksi, maantieteellisiksi) koordinaateiksi ';, sekä tulkitaan myös potentiaaliero W W 0 pisteen ellipsoidikorkeuden h mittana, suoritetaan tavallaan kuvaus, joka lisää jokaiselle pisteelle P vastinpistettä Q, jonka geodeettiset koordinaatit ovat samat kuin pisteen P luonnolliset koordinaatit. Tätä menettelytapaa kutsutaan telluroidikuvaukseksi. Telluroidi on pinta joka seuraa Maan topograsen pinnan muodot, mutta on kaikkialla topograan alapuolella määrällä jos positiivinen, tai sen yläpuolella määrällä muulloin. Tätä suuretta kutsutaan korkeusanomaliaksi. Telluroidikuvaus on tärkeä apuväline Molodenskyn painovoimakenttäteoriassa. Se on kuitenkin aika abstrakti käsite. Voidaan sanoa, että telluroidi on Maan pinnan malli, joka saadaan, jos lähdetään olettamukselta että Maan todellinen potentiaalikenttä on normaalipotentiaali; ja matemaattinen keskimerenpinta eli geoidi, korkeudenmittausten lähtötaso, yhtyy vertausellipsoidiin. Toisin sanoen, telluroidi on Maan topograsen pinnan malli joka saadaan mikäli tulkitaan vaaitut korkeudet tarkemmin, vaaituksesta saadut geopotentiaaliluvut, potentiaalieroiksi vertausellipsoidista. Käytännössä kutsutaan usein -arvojen karttaa kvasi-geoidiksi. Kvasi-geoidi on yleensä lähellä geoidia, paitsi vuoristossa, missä poikkeamat voivat nousta yli metriin. On kuitenkin muistettava, että korkeusanomalia on määritelty topograan pinnalla, pinta joka voi olla hyvin rosoinen. Tämä merkitsee myös, että kaikki vaihtelut topograan korkeudessa heijastuvat myös kvasi-geoidin vaihteluiksi, sillä tavalla, että kvasi-geoidi korreloituu vahvasti topograan pienten yksityiskohtien kanssa. Ei siis voida sanoa että kvasigeoidin muoto kuvaa vain Maan potentiaalikentän muotoa. Siinä sotketaan potentiaalivaihtelut ja korkeusvaihtelut yhdeksi sopaksi. Siksi kvasi-geoidin käsite on onnettomasti valittu 5 Sir George Gabriel Stokes ( ) oli irlantilaissyntyinen, Cambridgessa toimiva, lahjakas matemaatikko ja fyysikko.

85 4.6. Ilma-anomaliat 71 kompromissi, myönnytys vertauspinta-ajattelulle, joka on oikeasti toimiva vain klassisen geoidi-käsitteen puitteissa. Paras pitäytyä Molodensk yn teorian puitteissa kasitteeseen korkeusanomalia, joka on kolmiulotteinen funktio (X; Y; Z) = ('; ; h) : 4.6 Ilma-anomaliat Jos mitataan painovoima g pisteessä P, sen korkeus merenpinnan yläpuolella on H, ja sen leveysaste, voidaan laskea painovoima-anomalia seuraavasti: g P g P (H; ) ; jossa (H; ) on normaalipainovoima, laskettuna korkeudella H ja leveysasteella. (Tarkasti ottaen pitää huomioida että myös latitudi ei ole leveysaste geosentriseen vertausellipsoidiin nähden, vain joko tähtitieteellinen leveysaste tai leveysaste jossakin kansallisessa koordinaattijärjestelmässä, kuten Suomessa KKJ. Tämän aiheuttama virhe on kuitenkin luokkaa 10 3 pienempi kuin erotuksen H h aiheuttama efekti.) Näin määritetään ilma-anomalioita (En. free-air anomalies ). Usein ilma-anomaliat lasketaan yksinkertaisemmin. Normaalikentän painovoimakaava 3.7 antaa leveysasteelle 60 : = ;516 0; H + ::: mgal: Siis lineaarisessa approximaatiossa (Maan pinnan lähellä) painovoima heikkenee n. 0;3 mgal jokaista korkeuden metriä kohti. Tätä arvoa on hyvä muistaa. Likimääräinen kaava ilma-anomalioiden laskemiseksi on g P = g P 0 (') + 0;3084 [ mgal =m] H; (4.11) jossa 0 ('), normaalipainovoima merenpinnalla, on vain leveysasteen funktio. Suomen tapaisessa maassa kaava 4.11 on usein riittävän tarkkaa, vaikka nykyisin myös alkuperäisen kaavan 3.7 laskeminen on helppoa. Ilma-anomalioita käytetään laajasti. Yleensä kun puhutaan painovoima-anomalioista, tarkoitetaan juuri ilma-anomalioita. Ne kuvaavat maapallon ulkopuolista painovoimakenttää, vuorineen laaksoineen kaikkineen. Kysymyksiä: 1. Jos painovoima Maan päällä on 9;8 m =s 2, millä korkeudella painovoima häviää yllä mainitun painovoiman pystygradientin 0;3 mgal =m mukaan? 2. Kuinka fysikaalisesti realistista tämä on? Vastaukset:

86 72 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Kuva 4.4 Ilma-anomalioita Etelä-Suomessa, laskettuina pallofunktiokehitelmästä EGM2008. Data Bureau Gravimétrique International (BGI) / International Association of Geodesy. Saantiosoite: EGM2008-anomaly-maps-visualization. 1. At 0;3 mgal =m, it takes 105 9;8 0;3 m = 3267 kmto go to zero. 2. Ei kovin realistista. Itse painovoimagradientti putoaa nopeasta alkuarvosta 0;3 mgal =m kun siirrytään ylöspain, siksi tämä lineaarinen ekstrapolaatio on yksinkertaisesti väärä. 4.7 Harjoitustehtäviä Painovoima-anomalioiden spektri Käytä kaava (4.6). Jos oletetaan että painovoima-anomalioiden spektraalikomponenttien g n keskimääräinen koko k g n k 1 g n (; ) d 4 ei riipu valitusta asteluvusta n; miten sitten kt n kriippuu n:stä? Eli: mitkä painovoimakentän asteluvut ovat suhteessa vahvimmin edustettuna häiriöpotentiaalissa, ja mitkä asteluvut painovoima-anomalioissa?

87 Luku 5 Geofysikaaliset reduktiot 5.1 Yleistä Näimme, että integraalikaavat, kuten Greenin kolmas lause 1.23, tarjoavat mahdollisuuden laskea Maan koko ulkopuolinen potentiaalikenttä (sekä kaikki potentiaalista laskettavat suureet kuten painovoimakiihtyvyys jne.) havainto-arvoista (tässä tapauksessa suureista V =@n) vain reunapinnalla. Green III on vain yksi esimerkki monesta: jokainen integraalilause on erään reuna-arvotehtävän ratkaisu. Reunapinnan valinnan suhteen on olemassa kolme vaihtoehtoa: 1. Valitaan Maan topogranen pinta. 2. Valitaan keskimerenpinta, tarkemmin, keskimerenpinnan lähellä oleva ekvipotentiaalipinta, geoidi. 3. Valitaan vertausellipsoidi. Vaihtoehto 1 on kehittänyt etenkin Molodenskyn (Molodensky et al., 1962) koulukunta Neuvostoliitossa. Menetelmän etuna on, että painovoimareduktiota ei tarvita, koska kaikki merkittävät massat ovat jo reunapinnan sisällä. Sen haittana on, että topograan usein monimutkainen muoto on otettava huomioon, kun reuna-arvotehtävä formuloidaan ja ratkaistaan. Vaihtoehto 2 on klassinen geoidi- tai geopotentiaalimääritys. Tässä tapauksessa geofysikaaliset reduktiot ovat tarpeen. Menetelmän mutkana on, että saatu potentiaali- tai geoidiratkaisu ei ole alkuperäisen massajakauman potentiaali/geoidi, vain redukoidun massajakauman. Kutsutaan tätä pintaa ko-geoidiksi. Tarvitaan palautusaskel, jossa selvitetään ja peruutetaan tämän reduktiovaiheen vaikutus geopotentiaaliin/geoidiin. Kirjallisuudessa tätä menetelmää kutsutaan myös Remove-Restore menetelmäksi. Vaihtoehto 3 on käytetty harvoin, koska painovoimamittaukset ei ole ollut perinteisesti mahdollista tehdä absoluuttisesti (geosentrisesti tai vertausellipsoidin suhteen) tunnetussa paikassa. Nykyisin se onnistuisi GNSS:n avulla; esim. Etelämantereella ja Grönlannilla menetelmä on jo käytetty.

88 74 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot z P H ` d s dm x y Kuva 5.1 Bouguer-laatan vetovoima. 5.2 Bouguer-anomaliat Ilma-anomaliat riippuvat topograasta. Tämä on selvä, koska itse painovoima sisältää topograasten massojen vetovoimavaikutuksen. Ilma-anomaliakartassa näkyy samat pienet yksityiskohdat kun topograassa. Yksi tapa poistaa topograan vaikutus on ns. Bouguer 1 - reduktio Laskenta Lasketaan homogeenisen laatan vaikutus painovoimaan. Oletetaan että laatta on äärettömän kokoinen; paksuus d, ainetiheys ja pisteen P korkeus laatan alapinnasta H. Ks. kuva 5.1. Vetovoima pisteessä P (joka symmetriasyystä osoittaa suoraan alaspäin) saadaan integroimalla 2 : cos a kak = G dv = G = 2G Tässä integraali ˆ =2 0 ˆ d ˆ =2 0 0 `2 s ddz = 2G ` sin d = [ cos ] =2 0 = 1; ˆ d ˆ 2 ˆ = ˆ d ˆ =2 0 0 cos `2 sin ddz: ` d sd dz = cos 1 Pierre Bouguer ( ) oli ranskalainen hydrograaprofessori, joka osallistui Maan muotoa koskevaan yhteiskunnalliseen keskusteluun ja johti Ranskan Tiedeakatemian Perussa Etelä-Amerikaassa astemittausta suorittavaa retkikuntaa samaan aikaan kuin De Maupertuis suoritti vastaava Tornionlaakson astemittaus Lapissa. Geodesian lisäksi hän harrasti myös tähtitiedettä. 2 Tässä on käytetty cos ds = `d ) ds = ` cos d, kuten on oikea kun muunnetaan (z; s; ) koordinaateista (z; ; ) koordinaateiksi.

89 5.2. Bouguer-anomaliat 75 Laskentapiste P II Bouguer-laatta I d = H I Topograa Kuva 5.2 Bouguer-laatta topograan approksimaationa. ja lopputulos on a = 2G d: (5.1) Tämä on Bouguer-laatan vetovoiman kaava. Sivutuloksena saadaan ympyrän muotoisen levyn vetovoima, säde r: ˆ 0 0 ja koko integraali " ˆ d 2G 1 0 sin d = [ cos ] 0 0 = 1 cos 0 ; # H z dz = 2G d + H d ` (z) ` (H d)! H ; ` (H) missä apusuure ` (z) p r 2 + z 2. Limiitissä r! 1 (ja siis `! 1) tämä on identtinen kaavan 5.1 kanssa. Bouguer-anomaliat lasketaan merenpinnan eli geoidin yläpuolella olevien maankuoren massojen vetovoiman poistamiseksi. Todellinen topograa approksimoidaan Bouguer-laatalla, ks. kuva 5.2. Meren peittämien alueiden käsittelyyn ei ole olemassa standarditapaa; joskus piirretään kartta, jossa maa-alueilla on Bouguer-anomalioita ja merialueilla ilma-anomalioita. Eroa Bouguer-laatan vetovoiman ja todellisen topograan vetovoiman välillä kutsutaan maastokorjaukseksi (alueet I ja II). Laskenta tapahtuu seuraavalla tavalla: g B = g FA 2GH = g F A 0;1119 H; (5.2) missä oletetaan Maan kuoren keskitiheydeksi = 2670 kg =m³. Sijoittamalla tähän kaava 4.11 saadaan g B = g P 0 (') + [0;3084 0;1119] H = g P 0 (') + 0;1965 H: (5.3)

90 76 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Topograa Ilma-anomalia Geoidi Bouguer-anomalia Kuva 5.3 Eri anomalioiden käyttäytyminen vuoristossa. Suureita g B kutsutaan (yksinkertaisiksi) Bouguer-anomalioiksi Ominaisuudet Bouguer-anomaliat ovat, toisin kuin ilma-anomaliat jotka liikkuvat nollan molemmin puolin, etenkin vuoristossa vahvasti negatiivisia. Esim. jos vuoriston keskikorkeus on H = 1000 m; sisältävät Bouguer-anomaliat tasta johtuen 0; mgal = 112 mgal systematiikkaa; noin 100 mgal jokaista korkeuskilometriä kohti. Bouguer-anomalioiden etuna on niiden väihäisempi vaihtelu paikan kanssa. Siksi ne soveltuvat etenkin painovoima-arvojen interpolointiin ja prediktioon, tilanteissa missä käytettävissä oleva gravimetrinen aineisto on harva. Kuitenkin topograan korkeudet on silloin oltava tiedossa. 5.3 Maastoefektit ja maastokorjaus Yksinkertaisella Bouguer-korjauksella ei painovoima-anomalioista saa poistetuksi tarkasti koko topograan vetovoimavaikutus. Jos katsotaan kuvaa 5.2, näkyy, että tapahtuu kahdenlaiset virheet: Alueiden I vetovoima lasketaan mukaan, vaikka siellä ei ole ainetta. Alueiden II vetovoima, missä on ainetta, jatetään huomioimatta. Molemmat virheet toimivat samaan suuntaan! Koska alueet I ovat laskentapisteen P alapuolella, niiden vetovoima toimii alaspäin. Ja koska alueet II ovat laskentapisteen yläpuolella, niiden vetovoima joka yksinkertaisessa Bouguer-reduktiossa ei oteta huomioon toimisi ylöspäin, ja tehty virhe on samansuuntainen kuin edellisessä tapauksessa. Maastokorjaus on aina positiivinen!

91 5.3. Maastoefektit ja maastokorjaus 77 Kuva 5.4 Maastokorjattuja Bouguer-anomalioita Etelä-Suomessa, laskettuna pallofunktiokehitelmästä EGM2008. Data Bureau Gravimétrique International (BGI) / International Association of Geodesy. Saantiosoite: Toolbox/EGM2008-anomaly-maps-visualization. Huomaa miten verrattuna kuvaan 4.4 sivulla 72, Bouguer-anomaliat ovat vahvasti systemaattisesti negatiivisiä vaikka tämä on osittain postglasiaalisen isostaattisen epätasapainon aiheuttama, ja näkyy myös ilmaanomaliakartassa. Ne ovat myös sileämpiä, vaikka se ei tässä helposti näy, kun Etelä-Suomi on jo aika tasaista. Kirjoitetaan g 0 B = g B + T C; missä T C terrain correction, on positiivinen. Suuretta g 0 B kutsutaan maastokorjatuksi Bouguer-anomaliaksi. Maastokorjaus lasketaan numeerisen integroinnin avulla. Kuva näyttää prisma-menetelmää, ja miten molemmat prismat, I ja II, johtavat positiiviseen korjaukseen, koska prisma I lisätään ja prisma II poistetaan laskennallisesti maastokorjausta soveltaessa. Tarvitaan digitaalinen maastomalli, DTM, joka on oltava erityisesti laskentapisteen ympäri erittäin tiheä: kokemuksen mukaan 500 m on suurin sallittu pisteväli Suomen kaltaisessa maastossa, vuoristoissa tarvitaan jopa 50 m. Maastokorjauksen systemaattisen luonteen seurauksena liian harvan digitaalisen maastomallin käyttö aiheuttaa vakavaakin systemaattista virhettä vajavaisesti korjatuissa painovoima-anomalioissa.

92 78 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot P Topograa II I Geoidi Kuva 5.5 Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä. Maastokorjauksen laskentaan prismamenetelmällä käytetään seuraava kaava (oletuksina maankuoren vakiotiheys, litteä Maa) suorakulmaisissa karttakoordinaateissa x; y: jossa T C (x; y) = 1 2 G ˆ +D ˆ +D D D (h (x 0 ; y 0 ) h (x; y)) 2 ` 3dx 0 dy 0 ; + 12 ` = s(x 0 x) 2 + (y 0 y) 2 (h (x0 ; y 0 ) h (x; y))2 on etäisyys laskentapisteen h x y h (x; y) it ja prisman keskipisteen, sen keskiakselin keskipisteen h x y 1 2 (h (x; y) + h (x0 ; y 0 )) it välillä. Tietenkin tämä on vain approksimaatio, mutta se toimii riittävän tarkasti maastossa, jossa kaltevuudet eivät yleensä ylity 45. Ylläolevassa integraalissa raja-arvo D on tavallisesti kymmeniä tai satoja kilometrejä. Viime tapauksessa Maan kaarevuus alkaisi jo vaikuttaa, mitä kaava ei ota huomioon. Maastokorjauksen arvot vaihtelevat milligalin murto-osasta (Etelä-Suomessa) satoihin milligalleihin (korkeassa vuoristossa). Suomen käsivarrella maastokorjaukset voivat olla kymmeniä milligalleja. Kuvassa 5.6 kuvataan Bouguer-anomalian laskennan vaiheet painovoimahavainnosta maastokorjauksen, Bouguer-laattakorjauksen ja ilmareduktion kautta. Bouguerlaattakorjaus Maastokorjaus Ilmareduktio merenpintaan Merenpinnan normaalipainovoima: 0 (') Kuva 5.6 Bouguer-anomalian laskennan vaiheet.

93 5.3. Maastoefektit ja maastokorjaus Esimerkki: Maastokorjauksen laskenta erikoistapauksessa Annettuna seuraava maastomuoto: P Q Q 0 Merenpinta Tässä korkeuserot ovat P Q 0 = 300 m ja QQ 0 = 200 m. Kallion tiheys on standarditiheys, 2670 kg =m³: Pystysuora kallioseinämä P :n ja Q:n kohdalla on myös kartalla suora ja ulottuu äärettömyyteen molempiin suuntiin. Kysymykset: 1. Laske pisteessä P maastokorjaus (vihje: käytä Bouguer-laatan vetovoimakaava). Etumerkki? 2. Laske pisteessä Q maastokorjaus. Etumerkki? 3. Jos pisteessä P on annettu, että ilma-anomalia on 50 mgal, paljonko on sitten pisteen Bouguer-anomalia? 4. Jos pisteessä Q on annettu että Bouguer-anomalia on 22 mgal, paljonko on sitten pisteen ilma-anomalia? Vastaukset: 1. Pisteen P maastokorjaus on painovoiman muutos, kun täytetään maasto pisteen vasemmalla puolella 300 metriin saakka. Tämä merkitsee puolinaisen Bouguer-laatan, paksuus 100 m, lisäämistä P :n tason alapuolelle. Vaikutus (projisoituna vertikaalisuuntaan) on T C = 1 2 2G H = 1 2 0;1119 mgal =m 100 m = 5;595 mgal: 2. Pisteen Q maastokorjaus on painovoiman muutos, jos otetaan pois pisteen oikealla puolella oleva, 100 m paksua puolinainen Bouguer-laatta. Sen pystysuuntainen painovoimavaikutus on, kuten yllä laskettu, T C = 5;595 mgal; ja, koska pisteen Q tason yläpuolella oleva puolilaata otetaan pois, on T C:n etumerkki taas positiivinen.

94 80 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot 3. g F A (P ) 50;000 mgal T C +5;595 mgal Bouguer-laatan 33;570 mgal poisto, 300 m g B (P ) 22;025 mgal g F A +T C -Laatta g B 4. g B (Q) 22;000 mgal Bouguer-laatan +23;800 mgal lisäys, 200 m T C:n poisto 5;595 mgal g F A (Q) 40;205 mgal g B +Laatta T C g F A 5.4 Bouguer-palloanomaliat Viime aikana on myös laskettu Bouguer-palloanomalioita, esim. Balmino et al. (2012), Kuhn et al. (2009), Hirt and Kuhn (2014). Tässä laskennassa koko maapallon topograa ja syvyystieto otetaan huomioon pallogeometriassa (Maan litistys aiheuttaa tässä laskennassa olemattomman pienen virheen). Tämä aiheuttaa neljä erilaisuutta kun verrataan Bouguer'n laattaanomalioiden kanssa: 1. Bouguer-pallokuoren vetovoima on 4GH, kaksi kertaa Bouguer-laatan vetovoima. 2. Valtamerten syvyydet otetaan huomioon 3 korvaamalla merivettä maankuoren standardikalliolla; tama vaikuttaa anomalioihin positiivisesti. 3. Myös maapallon kaukaisten alueiden topograa- ja syvyystiedot otetaan huomioon realistisesti. Koska valtaosa Maan pinnasta on valtamerten peitossa, aiheuttaa tämä positiivista yleissystematiikkaa, joka alavilla alueilla kuten Etelä-Suomivoi olla jopa paikallisen topograan aiheuttamaa negatiivista systematiikkaa vahvempi! 4. Koska nyt myös maastokorjaus lasketaan koko maapallon yli pallogeometriassa, se ei ole enää pieni luku, ja saatta olla vahvasti negatiivinenkin. Laatta- ja pallo-bouguer-anomalioiden välillä on olemassa suuri systemaattinen ero, joka on kuitenkin hyvin pitkäaaltoinen, ja jopa Australian kokoisella alueella lähes vakio, 18;6 mgal muutaman milligalin sisällä. Yksityiskohdat Bouguer-anomalioiden kartoissa ovat samannäköisiä (Kuhn et al., 2009). 5.5 Helmert-kondensaatio Usein käytetty, Friedrich Robert Helmertin ehdottama keino poistaa geoidin ulkopuolisten massojen vaikutus on kondensaatio. Tässä menetelmässä siirretään matemaattisesti kaikki mannermassat suoraan alaspäin keskimerenpintaan yksinkertaiseksi massatiheyskerrokseksi 3 Näin voi tehdä myös Bouguer'n laattakorjauksen yhteydessä, ja usein tehdäänkin.

95 5.6. Isostasia 81 Ekvipotentiaalipinta g 0 g Topograa Kondensaatiokerros Kuva 5.7 Helmert-kondensaatio ja sen aiheuttamat muutokset painovoimakentässä. = H tarkemmin: = H1 + H R (5.4) pallon muotoisella maapallolla, säde R missä H on topograan korkeus merenpinnasta ja sen keskimääräinen tiheys. Helmert-kondensaation etu Bouguer-reduktion verrattuna on, että massaa ei poisteta. Bouguer-reduktiohan on topograasten massojen laskennallinen poisto suurella mittakaavalla. Siksi, toisin kuin Bouguer-reduktiassa, Helmert-kondensaatiossa painovoima-anomaliat eivät muutu systemaatisesti. Liitteessä D johdetaan sarjakehitelmät pallogeometriassa, jotka kuvaavat topograan sekä ulkoista että sisäistä potentiaalia itse topograan H (; ) ja sen eri potenssien asteosuuksien funktioina. Tässä laajahkosti esitetty johtamistapa käytetään Maan painovoimakentän teoriassa paljon topograan painovoimavaikutuksen mallintamiseksi. Teoriassa suppenemiskysymykset ovat vaikeita, vaikka emme tässä kiinnitä näihin erityistä huomiota. Koska koko aihe on melko matematiikka-intensiivinen ja hieman erikoinen, olemme tehneet sitä oma liite. 5.6 Isostasia Klassisia hypoteeseja Jo ja 1800-luvun aikana, mm. Bouguer'n työn ansiosta Etelä-Ameriikassa, sekä myös brittigeodeettien ansiosta Intian Himalaijoissa, oltiin tietoisia siitä, että vuoristot eivät ilmeisesti olleet vain kivikasoja maankuoren päällä; vuorien ympäröivä painovoimakenttä, tarkemmin luotiviivapoikkeamat, voitiin selittää vain olettamalla, että jokaisen vuoriston alla olisi kevyemmästä maankuoren kiviaineesta koostuva juuri. Tämän juuren aiheuttajaksi arveltiin maan kuoren lähes hydrostaatinen käyttäytyminen geologisella aikaskaalalla. Tämän hydrostaatisen tasapainon oletus kutsuttiin isostasia-hypoteesiksi; myös isostaatiseksi

96 82 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Luotiviiva- poikkeamat Vuori Geoidi Maan kuori Juuri Maan vaippa Kuva 5.8 Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin. kompensaatioksi. Silloin, toisin kuin nykyisin, ei vielä ollut mahdollista saada fysikaalisin menetelmin (seismologia) tarkkaa tai edes oikeaa kuvaa siitä, minkä muotoiset nämä vuoristojen juuret oikein olivat. Siksi kehiteltiin yksikertäistettyjä työhypoteesejä. Vanhempia isostaatistia hypoteesejä on Pratt-Hayford hypoteesi. Sen ehdotti J.H. Pratt luvun keskivaiheilla (Pratt, 1855, 1858, 1864), ja J.F. Hayford 5 kehitti laskentaan tarvittavat matemaatiset apuvälineet. Tämän hypoteesin mukaan vuoren alla olevan juuren tiheys vaihtelisi vuoren korkeuden mukaan, niin että korkeimpien vuorten alla olisi kevyin materiaali, ja raja tämän kevyen juuriaineen ja tiheämmän Maan vaipan materiaalin välillä olisi vakiosyvyydellä. Tämä malli, jota nykyisin ei enää paljon käytetä, näkyy kuvassa 5.9. Toinen klassinen isostaatinen hypoteesi on G.B. Airyn 6 käsialaa. Koska W.A. Heiskanen 7 käytti sitä laajasti ja kehitti sen matemaattista muotoa, sitä kutsutaan Airy-Heiskanen malliksi. Tässä mallissa oletetaan että juuren ainetiheys on vakio, ja että isostaatista kompensaatiota saadaan aikaan vaihtelemalla juuren uppoamissyvyyttä Maan vaippaan. Nykytietojen mukaan tämä vastaa paremmin sitä, mitä Maan sisällä todella tapahtuu. Tämä hypoteesi näkyy kuvassa John Henry Pratt ( ) oli brittiläinen pappismies ja matemaatikko joka toimi Kolkatassa Intiassa arkkidiakonina. 5 John Fillmore Hayford ( ) oli yhdysvaltalainen geodeetti joka tutki isostasiaa ja Maan muotoa. 6 George Biddell Airy ( ) oli englantilainen matemaatikko ja tähtitieteilijä, Astronomer Royal Weikko Aleksanteri Heiskanen ( ), the great Heiskanen ( Beyond_Sleep) oli etevä suomalainen geodeetti, joka toimi myös Ohiossa Yhdysvalloissa. Hän on tunnettu isostasian ja maailman geoidin tutkimuksistaan. Ks. Kakkuri (2008).

97 5.6. Isostasia 83 Vuoristo Meri Kuori Vaippa Kompensaatiosyvyys Kompensaatiotaso Kuva 5.9 Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi Laskentakaavoja Airyn isostasia-hypoteesi olettaa, että jokaisessa paikassa aineen pystypylvään kokonaismassa on sama. Eli, olkoon maankuoren tiheys c, vaipan tiheys m, ja meriveden tiheys w ; meren syvyys d, kuoren paksuus t ja topograan korkeus H; meillä on t c + d w (t + d) m = c ) t = d ( m w ) + c m c Vuoristo Meri w Kuori t 0 c Vastajuuri Vuoriston juuri m Vaippa Kuva 5.10 Airy-Heiskanen isostaattinen hypoteesi.

98 84 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot H d t r t 0 t Vastajuuri r Juuri Kuva 5.11 Isostaattisen kompensaation suureita. merellä, ja t c (t H) m = c ) t = H m c m c mantereella; missä c on sopiva vakio 8. Tässä on jätetty huomioimatta Maan kaarevuus, eli tässä käytetään litteän Maan malli. Mantereen alla vuoriston juuren syvyys on r = t H = H m c m c Samoin meren alla: r = t + d = d ( m w ) + c m c H m h c m c = H c c m c : + d m d c m c = d ( c w ) + c m c : Huomaa, että vakio c on mielivaltainen ja ilmaistaa se tosiasia, että taso mistä lasketaan juuren syvyys eli, hieman epätarkasti, kuoren keskimääräinen paksuus voidaan valita mielivaltaisesti. Eri lähestymistapa: c:n sijasta käytetään nollatopograan kompensaatiotaso t 0, jota lasketaan yo. kaavoista asettamalla H = d = 0: t 0 ( c m ) = c: Tästä saadaan mantereen alla: r = H c t 0 ( c m ) m c = t 0 + H c m c ; 8 Dimensioltaan paine: Arkimedeen lain mukainen kuoren (plus meriveden) patsaan paine vähennettynä syrjätyn vaippa-aineen patsaan paineella.

99 5.6. Isostasia 85 Keskiatlantin selänne Meri Laattaliike Syvänne Kuori Conradin rajapinta Mohorovi i in rajapinta Konvektio Subduktio Litosfääri Astenosfääri Litosfäärin pohja Vaippa Benio-vyöhyke 660 km:n rajapinta Kuva 5.12 Isostasian nykykäsitys. ja meren alla: r = d ( c w ) + t 0 ( c m ) m c = t 0 d c w m c ; jonkin verran yksainkertaisempia kaavoja, jotka on myös intuitiivisempia: H c + ( r) ( m c ) = t 0 ; ( d) ( c w ) + ( r) ( m c ) = t 0 : Eli X rajapinnat (poikkeama tiheyskontrasti) = vakio: Kuitenkin eri isostaatisten hypoteesien vaikutus painovoimaan on aika lailla samanlaista; painovoimamittauksista ei voida erottaa hypoteesit toisistaan. Hypoteesin vaikutus geoidiin on vahvempaa Isostasian nykykäsitys Nykyisin meillä on paljon parempi käsitys Maan sisäisestä tilasta. Kuitenkin isostasian käsite on edelleenkin voimassa. Realistisemman kuvan Maan sisäisestä rakenteesta antaa kuva Nykytutkimuksen tärkeä kiinnostuksen kohde on Maan jäämassojen, kuten mannerjäätikkoiden, kasvamisen ja sulaamisen vaikutus maankuoren pystyliikkeisiin. Tähän sisältyy sekä jaamassojen vaihtelun suora vaikutus että aiheuttuneen valtameren vesimassojen vaihtelun

100 86 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot vaikutus. Ns. paleotutkimus kohdistuu jääkausisyklin vaihteluihin, kun taas myös modernit jäätikköiden vetäytymiset, esim. Alaskassa ja Huippuvuorilla, aiheuttavat omaa, havaitettavissa olevaa alueellista maankuoren nousua. Lisää luvussa Isostaattiset reduktiot Topograan sekä sen isostaattisen kompensaation laskennallista poistoa painovoimakentän mitatuista suureista kutsutaan isostaattiseksi reduktioksi. Sillä on kahdenlainen tarkoitus. 1. Poistamalla mahdollisimman paljon pinnallisia efektejä painovoimakentältä jää sellainen kenttä missä vain Maan syvien kerrosten vaikutus on jäljellä. Tämä kelpaa geofysikaaliseen tutkimukseen. 2. Nämä pinnalliset efektit ovat myös yleensä hyvin paikallisia: spektraalikielellä hyvin lyhytaaltoisia. Poistamalla niitä saadaan jäännöskenttä joka on paljon sileämpi, ja jota voidaan predikoida paremmin. Tämä on tärkeä etenkin alueilla missä oikeasta mittausaineistosta on pulaa, kuten valtameret, aavikot, napa-alueet jne. Esimerkiksi isostaattiset painovoima-anomaliat, ilma-anomaliat joihin on sovellettu isostaattinen reduktio, ovat hyvin sileitä (kuten myös Bouguer-anomaliat); niiden prediktio-ominaisuudet ovat hyviä. Kuitenkin, toisin kuin Bouguer-anomaliat ovat isostaatiset anomaliat keskimäärin nolla. Niistä puuttuu se suuri systematiikka joka tekee Bouguer-anomaliat vahvasti negatiivisiksi etenkin vuoristo-alueilla (ks. alaluku 5.2). Tämä johtuu tietysti siitä, että isostaattinen reduktio on vain massojen siirtäminen paikasta toiseen vuoristosta saman vuoriston alla oleviin juuriin, joiden massavajaus on melko tarkasti sama kuin korkeasti merenpinnan yläpuolella nousevan vuoriston oma massa eikä massojen poistaminen, kuten Bouguer-reduktion tapauksessa. Isostaattisessa reduktiolaskennassa käytetyt reduktiomenetelmät ovat samanlaisia kuin muissa reduktioissa ja niitä käsitellään myöhemmin: numeerinen integrointi avaruusdomeenissa hila-integrointi, spherical cap, pienimmän neliösumman kollokaatio, niitit elementit jne. tai spektraalidomeenissa (FFT, fast collocation, jne.). Käytetty hypoteesi on mielenkiintoisempi kysymys. Perinteisesti on käytetty Pratt tai Airy hypoteesejä, Hayfordin tai Heiskasen tai Vening Meineszin menetelmäksi kehittäminä. Uudempi kehityssuunta on käyttää oikeaa mittausdataa seismisestä tomograasta Maan sisäisen rakenteen mallintamiseksi. Oikean mittausdatan avulla, mikäli luotettava, pitäisi päästä parempiin tuloksiin. 5.8 Isostaattinen geoidi Tutkitaan miten isostaattinen geoidi, tarkemmin isostaattisen reduktion ko-geoidi, lasketaan. Isostaattinen reduktio on yksi menetelmävaihtoehto geoidin ulkopuolisten massojen laskennalliseksi poistamiseksi, reuna-arvotehtävän muodostamiseksi geoidin pinnalla.

101 5.8. Isostaattinen geoidi 87 Kuva 5.13 Isostaattisia painovoima-anomalioita Etelä-Suomessa. Airi-Heiskanen, kompensaatiosyvyys 30 km. Data Bureau Gravimétrique International (BGI) / International Association of Geodesy, World Gravity Map -hanke. Saantiosoite: fr/data-products/toolbox/wgm2012-maps-vizualisation-extraction. Huomaa, että tässä paksun ja jäykän Fennoskandian kilven päällä topograan paikalliset yksityiskohdat eivät ole isostaattisesti kompensoituja, ja kartta näyttää aika samanlaiselta kuin ilmaanomaliakartta 4.4 sivulla 72. Voidaan näyttää (Heiskanen and Moritz, 1967 s ), että isostaattinen ko-geoidi on mannerten alla jopa metrien verran geoidin alapuolella, ts. epäsuora efekti (Restore-vaihe) on tätä luokkaa. Valtamerella vastaavasti isostaatinen ko-geoidi on metrien verran geoidin yläpuolella. Kun geoidimäärityksessä menetelmän vaatimuksena on pieni epäsuora efekti, seuraa että isostaatiset menetelmät eivät ole (toisin kuin Heiskanen and Moritz huomauttavat sivulla 152) parhaita mahdollisia jos tarkoitus on laskea ulkopuolista geopotentiaalia edustava geoidi tai kvasi-geoidi. Kuitenkin isostaattiset menetelmät soveltuvat hyvin Maan sisäisen rakenteen selvittämiseksi, koska sekä topograa että sen aiheuttuma painuma Maan vaippaan, isostaattinen kompensaatio, poistetaan laskennallisesti. Tutkimuksesta selviää, että maapallon suuret topograset piirteet ovat n % isostaattisesti kompensoitu. Tämä on arvokas hypoteesi jos muu tieto ei ole saatavissa. Tämä on toinen syy miksi isostaattinen geoidi on kiinnostava: Maan painovoimakenttä mistä vuoriston vaikutus on poistettu kokonaan juurineen kaikkineen voi paljastaa syvempien kerroksien fysikaalisia epätasapainoja ja prosesseja jotka aiheuttavat tätä. Sellaiset prosessit ovat etenkin konvektioliikkeet Maan vaipassa sekä Maan sulan ytimen mahdollinen vaikutus näihin virtauksiin. On jo löytynyt mielenkiintoisia korrelaatioita vaipan konvektiokuvioiden,

102 88 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot geoidin globaalisen kuvion ja Maan magneettikenttää generoivien ytimen virtauskuvioiden välillä (Wen and Anderson, 1997; Prutkin, 2008; Kogan et al., 1985). Isostaattinen reduktio koostuu kahdesta osasta: 1. topograan laskennallinen poisto; 2. topograan kompensaation laskennallinen poisto. On mahdollista laskea nämä molemmat osat eksaktisti prisma-integrointimenetelmän avulla, ks. alaluku 5.3. Tässä kuitenkin pyritään ymmärtämään asia laadullisesti. Approksimoidaan molemmat osat yksinkertaisilla massatiheyskerroksilla, tiheys esimerkiksi = H topograan tapauksessa; ensimmäinen kerros tasolla H = 0, toinen, tiheys, kompensaatiosyvyydellä H = D. Tilanne on kuvattu kuvassa Jatkossa käytetään generoivan funktion yhtälöä 7.3, 1 ` = 1 R n=0 1X R n+1 P n (cos ) ; r yhdessä yksinkertaisen massatiheyskerroksen kaavan 1.14 kanssa: V = G ds = GR2 ` ` d: Pinta Pinta Potentiaalikentäksi saadaan 1X kun tiheyskerros on merenpinnalla (H = 0 ) r = R): T top = GR P n (cos ) d n=0 ja kun tiheyskerros on kompensaatiosyvyydellä 1X (lähteiden taso R D, evaluaatiotaso R): T comp = GR2 R D n+1 ( ) R D 1X P n (cos ) d = n=0 R R D n = GR P n (cos ) d; R n=0 josta yhteisvaikutus (n = 0 putoaa pois) T iso = (T top + T comp ) = GR Tässä massapintatiheys on =8< : ch jos H 0; ( c w ) H jos H < 0; 1X n=1 n# R D "1 P n (cos ) d: (5.5) R eli korvataan merten syvyydet vastaavilla kuivilla syvyyksillä 9. Nyt käytämme taas asteo- 9 Tämä toimii kuivalla maalla ja valtamerellä. Järvet, jäätiköt ja Kuolleenmeren tyyppiset alueet ovat mutkikkaampia.

103 5.8. Isostaattinen geoidi 89 Merenpinta Kompensaatiosyvyys Kuva 5.14 Isostaattinen reduktio kahtena pintatiheyskerroksena. suusyhtälöä Heiskanen and Moritz (1967) yhtälö 1-71, eli yhtälömme 2.18 seuraavassa muodossa: n (; ) = 2n + 1 ( 0 ; 0 ) P n (cos ) d; 4 eli 4GR 2n + 1 "1 R D R n# n (; ) = GR Summaus 1X antaa yllä olevan ilmaisun 5.5: 4GR R D "1 2n + 1 R n=1 joten T iso = 1X n=1 n# n (; ) = GR " 2 R D 2n + 1 R 1 R n# 2G n = n# R D ( 0 ; 0 ) "1 P n (cos ) d: R ( 0 ; 0 ) 1X n=1 1X n=1 n# R D "1 P n (cos ) d; R " 2 2n + 1 R R D 1 R Tässä on käytetty kirjoitustapa A B = 2G, massakerroksen Bouguer-vetovoima. Tutkitaan ensin osuutta 0 < n N = R =D. Silloin seuraava approksimaatio pätee 10 : T iso NX n=1 2nD 2n + 1 [A B] n 10 Astelukujen n > R =D osuus on T iso 1X n=n+1 2R 2n + 1 [A B] n ; NX n=1 D [A B ] n DA B ; n# [A B ] n : missä termit ovat pieniä ja putoavat nopeasti nollaan. Tällä alueella myös topograan pintakerrosapproksimaatio ei enää ole realistinen.

104 90 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot ja N iso = T iso DA B : Tämä on isostaatisen reduktion epäsuora efekti. (5.6) Sijoitetaan tähän realistiset arvot. Olkoon Mohorovi i in 11 rajapinnan syvyys keskimäärin 20 km 12. Maalla: H 0;8 km (Maan keskimääräinen topograan korkeus): ) N iso 1;8 m: Merellä: H 3;7 km keskimäärin (kerrotaan 1:67 2:67 veden vuoksi): ) N iso +5;1 m: Toisin sanoen, tämä efekti voi olla iso!! Huomaa että yhtälö 5.6 on lineaarinen korkeudessa H. Tämä merkitsee että mannerten alla isostaattinen geoidi kulkee noin pari metriä klassisen geoidin alapuolella, kun taas valtamerellä se on oltava muutama metri geoidin (keskimerenpinnan) yläpuolella. Voimme myös päätellä, että isostaattisessa vaikutuksessa geoidiin ainakin pitemmillä aallonpituuksilla 2R =n, pitempiä kuin kompensaatiosyvyys D kaikki aallonpituudet ovat edustettuina spektrissä noin samassa suhteessa kuin itse topograassa, ja efekti on itse asiassa verrannollinen itse topograaan. 11 Andrija Mohorovi i ( ) oli kroatialainen säätieteilijä ja modernin seismologian pioneereja. 12 Mantereiden alla 35 km, valtamerien alla 7 km merenpohjasta Encyclopædia Brittannican mukaan.

105 Luku 6 Korkeusjärjestelmät 6.1 Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi Korkeudet on perinteisesti määritetty vaaitsemalla. Vaaitus on menetelmä missä mitataan korkeuseroja käyttämällä vaaituskojeen ja kahden latan avulla. Vaaituskoje sisältää kiikarin ja vesivaa'an ja sen tähtäyssäde osoittaa paikallisen horisontin suuntaan. Kahdella mittauspisteella asetetaan vaaituslatta ja kaukoputken kautta luetaan niistä mittausarvot. Kahden arvon erotus antaa pisteiden välinen korkeusero metreinä. Etäisyys vaaituskojeen ja lattojen välillä on m; suuremmilla etäisyyksillä ilmakehän refraktion vaikutus aiheuttaisi liian suuria virheita. Pitemmät etäisyydet saadaan mitatuksi toistamalla mittaus useammalla koneasemalla ja välipisteellä. Näin saadut korkeuserotukset H eivät kuitenkaan ole suoraan käyttökelpoisia. Kahden pisteen P ja Q välinen, suoraan H-arvoja summaamalla laskettu, korkeusero riippuu näet valitusta matkasta. Myös suljetun silmukan korkeuserojen summa P H ei (yleisesti) häviää. Geometrinen korkeus ei ole konservatiivinen kenttä. Vaaituslatat Vaakasuora tähtäys t Vaaituskoje e t e Kuva 6.1 Vaaituksen periaate.

106 92 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Kuva 6.2 Korkeusvertauspatsas Helsingin observatorion puutarhassa Kaivopuistossa, Kääriäinen (1966). Teksti: Suomen tarkka vaakituksen pääkiintopiste 30,4652 m yli nollan Utgångspunkt för precisionsnivellementet i Finland 30,4652 m öfver noll (Main bench mark of precise levelling of Finland, m above zero). Siksi käytännön tarkkavaaituksessa konvertoidaan korkeuserot aina potentiaalieroiksi: W = H g, missä g on paikallinen painovoima, joka joko mitataan tai (esim. Suomessa) interpoloidaan olemassa olevasta painovoimakartoitusmittausten tietokannasta. Potentiaalierojen summa suljetun silmukan ympäri on aina nolla:p W = 0. Mielivaltaisen maastopisteen P potentiaaliksi saadaan: ( H g) ; W P = W 0 X jossa summaus suoritetaan merenpinnalta (potentiaali W 0 ) pisteeseen P. Suuretta C P = (W P W 0 ) = PX Merenpinta ( H g) (positiivinen merenpinnan yläpuolella) kutsutaan pisteen P geopotentiaaliluvuksi. W 0 on valtakunnallisen korkeusvertaustason geopotentiaali. Suomessa vanhan N60-järjestelmän vertaustaso on periaatteessa Helsingin sataman keskimerenpinta vuoden 1960 alussa, miksi järjestelmää kutsutaankin nimellä N60. Kuitenkin vertaustason tarkka realisaatio on erikoispatsas Helsingin observatorion puutarhassa Kaivopuistossa 1. Suomen uusi korkeusjärjestelmä on nimeltään N2000, ja sen vertaustason realisaatio on patsas Metsähovin tutkimusasemalla (käytännössä N2000-korkeudet ovat noin desimetrin tarkkuustasolla Amsterdamin NAP-datumin korkeuksia). Muilla mailla on omat, samanlaiset korkeusvertaus- eli datum-pisteet: Venäjällä Kronstadt, Länsi-Euroopalla laajasti käytetty Amsterdam NAP, Etelä-Euroopalla vanha Itävallan satamakaupunki Trieste. 1 Kuitenkin patsaan kaiverrettu korkeusarvo on vieläkin vanhemman järjestelmän NN eikä N60:n vertauskorkeus... N60:n oikea vertausarvo tähän patsaaseen, 30; m, löytyy julkaisusta Kääriäinen (1966).

107 6.2. Ortometriset korkeudet 93 g g W P P H 3 H 2 H H 0 2 H 1 W 0 Geoidi H 0 1 Kuva 6.3 Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut. Korkeus, joka saadaan summaamalla vaaitut korkeuserot,p3 i=1 H i ; ei ole oikea korkeus geoidista eli P3 i=1 H 0 i laskettuna luotiviivaa pitkin. Huomaa, miten geopotentiaalin tasopinnat eli ekvipotentiaalipinnat eivät ole samansuuntaisia: siksi matka Maan pintaa pitkin voi hyvinkin viedä ylöspäin, siis kasvaviin korkeuksiin geoidista, vaikka geopotentiaaliluku vähenee. Vesi voi siis virrata ylöspäin. Painovoimavektori g on kaikkialla kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan, ja sen pituus on kääntäen verrannollinen pintojen väliseen etäisyyteen. 6.2 Ortometriset korkeudet Kun halutaan luoda korkeusjärjestelmä, olisi kaiken yksinkertaisinta käyttää alkuperäiset geopotentiaalierot merenpinnalta eli geopotentiaaliluvut C = (W W 0 ), suoraan korkeuslukuina. Kuitenkin psykologisesti ja käytännöllisesti tämä on hankala: ihmiset haluavat korkeuksinsa metreissä. Geopotentaaliluvuilla on selvät etujensa: ne edustavat energiamäärän joka tarvitaan (yhden massayksikön koemassan) siirtämiseksi pisteestä toiseen. Neste (merivettä, mutta myös ilma tai, geologisella aikaskaalalla, jopa peruskallio!) virtaa aina alaspäin ja etsiytyy minimienergiatilaan. Suomessa, kuten monessa muussa maassa, on ollut pitkään käytössä ortometrisia korkeuksia. Ne ovat fysikaalisesti määritettyjä korkeuksina keskimerenpinnan eli geoidin yläpuolella. Ks. kuva 6.3. Klassinen geoidi on määritelmänsä mukaan Se Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, joka yhtyy keskimäärin parhaiten keskimerenpintaan. Pisteen P ortometrinen korkeus on määritetty korkeudeksi, joka saadaan mittaamalla luotiviivaa pitkin pisteen P etäisyys geoidista. Tämä on hyvin fysikaalinen määritelmä, kuitenkaan ei kovin operationaalinen, koska emme (yleensä) voi mitata luotiviivaa pitkin maankuoren sisällä, ja geoidi ei edes näy siellä. Siksi ortometrisia korkeuksia lasketaan geopotentiaaliluvuista: jos pisteen P geopotentiaaliluku on

108 94 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Pohjoinen Päijänne: W = W ;9 GPU g E Etelä g P Päijänne H E H P Geoidi: W = W 0 Kuva 6.4 Ortometrisissa korkeuksissa katsottuna vesi voi joskus virrata ylöspäin. Vaikka Päijänteen pohjois- ja eteläpäät ovat samalla geopotentiaalitasolla 76,9 geopotentiaaliyksikköä keskimerenpinnan potentiaalia korkeammin on eteläpään ortometrinen korkeus H E suurempi kuin pohjoispään H P, koska paikallinen painovoima g on pohjoisessa vahvempi kuin etelässä. Korkeusero on Päijänteen tapauksessa 8 mm (Jaakko Mäkinen, henkilökohtainen viesti). Normaalipainovoimakentän avulla laskettuna saadaan 6 mm. Loput 2 mm tulee painovoima-anomalioiden erosta järven pohjois- ja eteläpäiden välillä. C P, lasketaan ortometrinen korkeus kaavalla H = C P g ; jossa g, keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin, on g = 1 H ˆ H 0 g (z) dz; ja z on luotiviivaa pitkin mitattu etäisyys. Koska g:n kaava itse sisältää jo H:n, saadaan ratkaisu iteratiivisesti, käyttämällä ensin karkea H:n arvo; iteraatio konvergoi nopeasti. Tulemme näkemään että hyvin tarkkojen ortometristen korkeuksien määrittäminen on hankalaa, etenkin vuoristoissa. 6.3 Normaalikorkeudet Suomessa käytetään tällä hetkellä korkeusjärjestelmän N2000 mukaan normaalikorkeuksia. Ne ovat, samoin kuin ortometrisia korkeuksia, korkeudet keskimerenpinnalta. Keskimerenpinnan matemaattinen esitys tässä tapauksessa on kvasi-geoidi. Merialueilla kvasi-geoidi on identtinen geoidin kanssa; manneralueilla se eroaa hieman geoidista, ja vuoristoissa ero voi jopa olla huomattavaa.

109 6.3. Normaalikorkeudet Molodenskyn teoria M.S. Molodensky 2 kehitti teorian, jossa pisteen korkeus keskimerenpinnalta määritettäisiin seuraavan kaavan mukaan: H = C 0H ; jossa 0H on keskimääräinen normaalipainovoima laskettuna nollatason (vertausellipsoidin) ja H :n välillä ellipsoidista normaalia pitkin. Eli sama laskentatapa kuin ortometristen korkeuksien tapauksessa, mutta käyttämällä normaalipainovoimakenttä todellisen painovoimakentän sijaan. Korkeuksista merenpinnalta vaaditaan käytännön syistä, että ne voidaan antaa metreinä. Suurissa, mantereen kokoisissa kolmioverkoissa halutaan antaa korkeudet laskennallisesta vertausellipsoidista metreissä, ja näin myös korkeudet merenpinnalta on oltava metreissä. Molodensky ehdotti myös, että geoidin sijaan käytettäisiin korkeusanomalioita, joiden määritelmä on = T Hh ; jossa nyt Hh on keskimääräinen normaalipainovoima topograan korkeudella, tarkemmin: korkeuksien H (mutta laskettuna ellipsoidista) ja h välillä. Näiden oletuksien perusteella hän näytti, että H + = h; jossa h on pisteen korkeus vertausellipsoidista. Tämä kaava on hyvin samanlainen kuin ortometristen korkeuksien ja geoidin korkeuksien vastaava kaava H + N = h: Muutenkin, korkeusanomalia eli myös kvasi-geoidin korkeus, on hyvin lähellä N, ja vastaavasti H lähellä H Molodenskyn todistus Molodenskyn koulukunnan oivallus oli, että koska normaalipainovoima luotiviivaa pitkin on hyvin lähellä lineaarinen paikan funktio, voitaisiin määritellä korkeustyppi, joka olisi suoraan laskettavissa geopotentiaaliluvuista, ja joka samalla olisi yhteensopiva samalla tavalla määriteltyjen ns. korkeusanomalioiden, sekä vertausellipsoidista laskettujen geometristen korkeuksien h, kanssa. Geometrinen korkeus h vertausellipsoidista voidaan kytkeä normaalipainovoimakentän po- 2 Mihail Sergejevit² Molodensky ( ) oli maineikas neuvostoliittolainen fysikaalinen geodeetti.

110 96 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Kuva 6.5 Mihail Sergejevit² Molodensky, mystisestä venäläisestä asiakirjasta. tentiaaliin U epäsuorasti, seuraavan integraalikaavan kautta: U = U 0 ˆ h 0 (z)dz: Tässä U on normaalipotentiaali ja normaalipainovoima. U:n eräs tasopinta U = U 0 samalla vertausellipsoidi. Muuttuja z on matka ellipsoidin paikallista normaalia pitkin. Määrittelemällä on saadaan 0h 1 h h = ˆ h 0 U U 0 0h : (z)dz; Käyttämällä W = U + T ja jakamalla 0h :lla, saadaan: W W 0 0h = T 0h h olettaen että W 0 = U 0, vertausellipsoidin normaalipotentiaali. Seuraavaksi voitaisiin määritellä H + = W W 0 0h uudeksi korkeustyypiksi ja N + = h H + = T 0h

111 6.3. Normaalikorkeudet 97 vastaavaksi uudeksi geoidikorkeustyypiksi. Kuitenkin kauneusvirheenä on, että tässä jaetaan normaalipainovoiman keskiarvolla, joka on laskettu tasojen 0 ja h välillä, kun itse H + olisi (vertausellipsoidista laskettuna) tasojen N + ja h välillä, ja taas N + tasojen 0 ja N + välillä. Siksi seuraava parannus. Määritellään: 0H = 1 ˆ H+ (z) dz H + 0h 0 (R on maan säde ja d=dr 2=R), ja 1 2 N + d dr 0h 1! N + R (6.1) +! Hh = H N 0h + 1 d H+ 2 dr 0h 1 + H+ ; (6.2) R (koko aikaa käyttäen se seikka, että (z) on lähes lineaarinen funktio), josta seuraa H W W 0 = H + + N + H + 0H R ; = T N + N + H + Hh R ; ja, koska korjaustermit N + H + =R summautuvat nollaksi: H + = H + + N + = h: (6.3) Suure 0H ; ja siis myös normaalikorkeus H, voidaan, toisin kuin 0h, laskea käyttämällä ainoastaan vaaituksesta saatuja tietoja, ilman korkeuden ellipsoidista h tuntemista, joka edellyttäisi taas paikallisen geoidin tuntemista. Tämä oli Molodenskyn oivallus (Molodensky et al., 1962) jo v. 1945, kauan ennen GPS:n, tai maailmanlaajuisen geosentrisen vertausellipsoidin olemassaoloa. Silloin laskettiin mannerlaajuiset kolmioverkot omilla alueellisilla vertausellipsoideillaan. Korjaustermin N + H + =R suuruus on, jos globaaliset geoidin korkeudet ovat 110 m luokkaa, 17 mm jokaista maastokorkeuskilometriä kohti. Tämän termin jälkeen jäävät virheet ovat mikroskooppisen pieniä, koska normaalipainovoima on (todellisesta painovoimasta poiketen) erittäin lineaarista luotiviivaa pitkin kuten kaavoissa 6.1 ja 6.2 jo edellytettiin Normaalikorkeus ja korkeusanomalia Normaalikorkeus: H = C = W W 0 ; (6.4) jossa (rekursiivinen määritelmä!) = 0H = 1 ˆ H H (z) dz: 0

112 98 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Topograa Telluroidi H H h Geoidi N Kvasi-geoidi Kuva 6.6 Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja maasto. Huomaa korrelaatio kvasi-geoidin ja maaston välillä. Korkeusanomalia: jossa = W U Hh Hh = 1 ˆ h H (z) dz: Korkeusanomalia, muuten samanlainen suure kuin geoidikorkeus N, kuitenkin sijoittuu topograan eikä merenpinnan tasolle. Pintaa joka muodostuu pisteistä, jotka ovat matkan H verran vertausellipsoidin yläpuolella (ja siis matkan verran topograan alapuolella), kutsutaan telluroidiksi. Se on topograsen pinnan eräs kuvaus: pisteiden Q joukko, joiden normaalipotentiaali U Q on sama kuin oikean topograan vastaavan pisteen P oikea geopotentiaali W P. Ks. kuva 4.3. Usein, myönnytyksenä vanhoihin tapoihin, konstruoidaan pinta, joka on matkan verran vertausellipsoidin yläpuolella. Tätä pintaa kutsutaan kvasi-geoidiksi. Siltä puuttuu kokonaan fysikaalinen merkitys; se ei ole ekvipotentiaalipinta, vaikka merellä se yhtyy geoidiin. Sen lyhytaaltoiset muodot, toisin kuin geoidin, korreloivat topograan lyhytaaltoisten muotojen kanssa. Korkeus ellipsoidista (oletus U 0 = W 0 ): jossa h = U U 0 0h ; 0h = 1 h ˆ h 0 (z) dz: Yhteys kolmen suureen välillä on h = H + :

113 6.4. Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä 99 Kaikissa kolmessa tapauksessa suure määritetään jakamalla potentiaaliero jonkinlaisella keskimääräisellä normaalipainovoimalla, laskettuna sopivaa paikallisen luotiviivan segmenttiä pitkin. Korkeusanomalian tapauksessa on käytetty luotiviivan pätkä korkealla topograan pinnan lähellä, tason H (telluroidin) ja tason h (topograan) välillä. 6.4 Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä Normaalikorkeudet ovat hyvin operationaalisia. Niitä käytetään aina ns. kvasi-geoidin korkeuksien (oikeammin: korkeusanomalioiden) kanssa. Ortometriset korkeudet (tarkemmin: Helmert-korkeudet) H sen sijaan käytetään aina geoidin korkeuksien N kanssa. Molempien, H ja N, laskemiseksi tarvitaan topogranen massatiheys, joka yleensä oletetaan vakioksi (2670 kg =m³), sekä paikallinen painovoimagradientti, joksi yleensä oletetaan standardi ilmagradientti ( 0;3086 mgal =m). Ero geoidikorkeuden ja korkeusanomalian välissä lasketaan seuraavasti. 1. Ensin lasketaan ero kvasi-geoidin ja "vapaa-ilma-geoidin" välillä. Vapaa-ilma-geoidi on analyyttisesti alaspäin jatketun ulkoisen potentiaalikentän ekvipotentiaalipinta. Jos T on ulkoisen, analyyttisesti jatketun kentän häiriöpotentiaali, on sen ero topograan ja merenpinnan tasojen välillä: T H T 0 = ˆ dh g FAH; (6.5) ja käyttämällä määritelmät = T H = (korkeusanomalia eli kvasi-geoidin korkeus) ja N FA = T 0 = (vapaa-ilma geoidin korkeus, FA = Free Air) saadaan N FA = g FA H : (6.6) 2. Näin on saatu ero korkeusanomalioiden ja vapaa-ilma-geoidin korkeuksien välillä; jää määritettäväksi ero "vapaa-ilma-geoidin" ja geoidin välissä. Approksimoidaan topograa Bouguer-laatalla. Silloin vapaa-ilma-geoidin N FA tapauksessa tämän laatan paksuus on pisteen P korkeus H. Tämä siksi, että vapaa-ilma-geoidi perustuu alapäin jatkettuun ulkoiseen kenttään, mitä merkitsee, että myös Bouguer-laatan vetovoimaa pisteessä P on jatkettava alaspäin eli otettava huomioon kokonaan. Koska laatan pintamassatiheys on H, on sen oletettu vetovoima kaikkialla pisteen P :n luotiviivalla: 2GH: Taas geoidin tapauksessa meidän on oltava fysikaalisesti realistisia: mielivaltaisessa pisteen P luotiviivan pisteessä P 0 Bouguer-laatasta osa on pisteen alapuolella, ja

114 100 Luku 6. Korkeusjärjestelmät osa taas pisteen yläpuolella. Vetovoima silloin vain on 2GH 0 2G (H H 0 ) = 2G (2H 0 H) ; missä H 0 on nyt pisteen P 0 korkeus. Integroimalla erotus, kaavan 6.5 tapaan, saadaan h ˆ H T T FA = 2G [(2H 0 H) H] dh 0 = 2G (H 0 ) 2 2HH 0iH = 2GH 2 A B H; H 0 0 =0 missä A B on H:n paksuisen Bouguer-laatan vetovoima. Saadaan taas jakamalla normaalipainovoiman keskiarvolla: N N FA = A B H : Vähentämällä tämä viimeinen tulos kaavasta 6.6 saadaan: N = ( g FA + A B ) H = g B H : (6.7) Ks. myös Heiskanen and Moritz (1967, s. 8-13). Kun vuoristoissa Bouguer-anomalia on vahvasti negatiivinen, seuraa että kvasi-geoidi on siellä aina geoidin yläpuolella: likimäärin, kaavaa 5.2 käyttäen: 7h 1i N 0;1119 [mgal =m] H 2 10 m H 2 : 9;8 [ m =s²] Eli jos H on yksikössä [km] ja N yksikössä [m]: N [m] 0;1H 2 [km] : 6.5 Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä Geoidi on ortometristen korkeuksien lähtötaso. Siksi voimme kirjoittaa h = H + N; missä h on korkeus vertausellipsoidista ja H ortometrinen korkeus. Toisaalta voimme palauttaa muistiin kaava 6.3: h = H + ; missä on korkeusanomalia ja H normaalikorkeus.

115 6.6. Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta 101 Saadaan yksinkertaisesti: H H = N = käyttäen kaavaa 6.7. g B H ; (6.8) 6.6 Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta Ortometriset korkeudet muodostavat perinteisimmän tavan ilmaista korkeutta merenpinnan yläpuolella. Ortometriset korkeudet ovat korkeuksia todellisen geoidin, eli Maan sisällä olevan, keskimerenpinnan kanssa keskimäärin samalla tasolla olevan, ekvipotentiaalipinnan, yläpuolella. Voidaan kirjoittaa W = W 0 ˆ H 0 g (z) dz missä g on todellinen painovoima topograsten massojen sisällä. Tästä saadaan H = (W W 0) ; g jossa keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin on g = 1 H ˆ H 0 g (z) dz: Määritelmä on rekursiivinen: H esiintyy sekä vasemmalla että oikealla puolella. Tämä ei ole kriittinen: sekä H että g saadaan iteroimalla. Konvergenssi on nopea. Käytännössä ortometrinen korkeus lasketaan likimääräisellä kaavalla. Suomessa on pitkään käytetty Helmertin kaavaa, jossa mitattu painovoima maan pinnalla, g (H), ekstrapoloidaan alaspäin käyttämällä arvioitu kalliomassojen sisäinen painovoimagradientti. Oletetaan, että sen kallion ulkopuolinen standardiarvo, 0;3086 mgal =m (ilma-gradientti), kasvaa määrällä +0;2238 mgal =m (kaksinkertainen Bouguer-laatan efekti): lopputulos on kallion sisäinen kokonaispainovoimagradientti = 0;0848 mgal =m. Tätä kutsutaan Prey-reduktioksi. Lopputulos on seuraavat kaavat (kerroin on puolet gradientista, eli keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin on sama kuin luotiviivan keskipisteen painovoima): g = g (H) 0;0848 [ mgal =m] 1 2 H = g (H) + 0;0424 [ mgal =m] H; H = C g (H) + 0;0424 [ mgal =m] H ; (6.9)

116 102 Luku 6. Korkeusjärjestelmät jossa C on geopotentiaaliluku (potentiaali keskimerenpinnan suhteen) ja g (H) painovoima Maan pinnalla. Ks. myös Heiskanen and Moritz (1967) ss Huomaa, että termi 0;0424 mgal =m H on tavallisesti paljon pienempi kuin g (H) ; joka on noin 9;8 m =s² = mgal! Siis iterointi, missä yo. nimittäjä lasketaan ensin karkean H-arvon avulla, konvergoi varsin nopeasti. Helmert-korkeuksien käyttö ortometristen korkeuksien approksimaatioina on epätarkka seuraavista syistä: Oletus, että painovoima muuttuu lineaarisesti luotiviivaa pitkin. Tämä ei pidä paikkaansa, erityisesti maastokorjauksen johdosta. Tarkassa ortometristen korkeuksien laskennassa maastokorjaus olisi laskettava erikseen jokaisella luotiviivan pisteellä. Oletus, että ilma-gradientti on vakio, 0;3086 mgal =m. Tämä ei pidä paikkaansa, gradientti voi hyvinkin vaihdella 10%. Oletus, että kallion tiheys on = 2;67 g =cm³. Tiheyden todellinen arvo voi vaihdella hyvinkin 10% tai enemmän tämän oletusarvon ympäri. Ensimmäinen approksimaatio, maastoefektin huomiotta jättäminen, voidaan korjata käyttämällä Niethammerin menetelmä (ks. Heiskanen and Moritz (1967) s. 167). Se vaatii myös geoidilaskussa vastaavasti, että maasto otettaisiin huomioon. Kolmas approksimaatio, tiheys, voidaan ongelmana poistaa sopimalla, että myös vastaavassa geoidin laskussa käytetään vakiotiheys = 2; 67 g =cm³. Saatu pinta ei siten enää ole oikea geoidi, vaan muka-geoidi, johon on vaikea keksiä sopiva nimi. Toinen approksimaatio voitaisiin poistaa käyttämällä todellinen ilmagradientti standardiarvon sijasta. Kuitenkin se riippuu paikallisista tiheysvaihteluista. Painovoimagradientin arvo topograan pinnalla ei ole myöskään aina edustava koko luotiviivaa pitkin. Gradientin laskemiseen tarjoutuu mm. Poissonin yhtälö, josta lisää myöhemmin. Ortometristen korkeuksien eksaktin laskeminen on siis työlästä. Yhtä työlästä kuin geoidin eksaktin laskeminen, ja samoista syistä. Onneksi ei-vuoristoisissa maissa Helmert-korkeudet ovat riittävän hyviä. Suomessa niitä laskettiin jopa käyttämällä -arvoina todellisen maankuoren tiheyksiä geologisen kartan mukaan Normaalikorkeuksien tarkka laskenta Tähän käytetään kaava 6.4: H = C = W W 0 ; (6.10) jossa normaalipainovoiman keskiarvo luotiviivaa pitkin on = 0H = 1 ˆ H H (z) dz: 0

117 6.7. Normaalikorkeuksien tarkka laskenta 103 Koska normaalipainovoima on varsin tarkasti lineaarinen z:n funktio, voimme kirjoittaa = (H ) H = 0;3086 mgal =m: Saadaan = (H ) + 0;1543 [ mgal =m] H : Ratkaisu saadaan taas iteratiivisesti: H = C (H ) + 0;1543 [ mgal =m] H (6.11) jossa (H ) on laskettavissa eksaktisti kun korkeus H (ja paikallinen leveysaste) on tiedossa. H on kaavan molemmilla puolilla; se konvergoi nopeasti koska taas nimittäjän ensimmäinen termi (H ), n. 9;8 m =s² = mgal on huomattavasti toista termiä 0;1543 [ mgal =m] H suurempaa. Normaalikorkeuksien laskenta ei ole altis samoihin maankuoren tiheys- ym. hypoteeseihin kuin ortometristen korkeuksien laskenta. Se on kuitenkin riippuvainen valitusta normaalikentästä eli vertausellipsoidista Korkeuksien laskentaesimerkki Pisteellä P on potentiaaliero keskimerenpinnan kanssa C = 5000 m2 =s 2 : Paikallinen painovoima on g = 9; m =s 2 : Kysymyksiä: 1. Laske pisteen P ilma-anomalia g FA. 2. Laske pisteen ortometrinen korkeus. 3. Laske pisteen Bouguer-anomalia (ilman maastokorjausta) g B. Normaalipainovoima laskettuna pisteen P korkeudelle (ts. laskettu pisteelle Q joka on yhtä korkea ellipsoidin ylläpuolella kuin P on keskimerenpinnan yläpuolella) on = 9; m =s 2 : 4. Laske pisteen P normaalikorkeus. 5. Jos geoidikorkeus pisteen P kohdalla on N = 25;000 m, paljonko sitten on korkeusanomalia (kvasi-geoidin korkeus)? Vastaukset: 1. Ilma-anomalia on g FA = 9; :; m =s 2 = 49;2 mgal. 2. Ensimmäinen yritys: H (0) = C =g = 5000 =9;82m = 519;165 m: Toinen yritys (yhtälö 6.9): H (1) = 5000 m2 =s 2 9; m =s 2 + 0; [m 2 ] 519;165 m sen jälkeen millimetrit eivät enää muutu. = 509;154 m;

118 104 Luku 6. Korkeusjärjestelmät 3. Bouguer-anomalia on (yhtälö 5.2) g B = g FA 0;1119 [ mgal =m] H = 106;2 mgal: 4. Ensimmäinen yritys on taas H (0) = C = = 509;139 m. Toinen, yhtälö 6.11: H (1) = 5000 m2 =s 2 9:; m =s 2 + 0; [m 2 ] 509;139 m myös lopullinen millimetritasolla. 5. Erotuskaava 6.8 on N = g B H = 0:;055 m: = 509;099 m; Myös (tarkistus) H H = 0;055 m: Eli = N ( 0;055 m) = 25;055 m: 6.8 Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus Käytännön laskennassa usein lasketaan ensin vaaituksella mitatut korkeuserot (lattalukemien erot) H pisteiden A ja B välillä yhteen alustavaksi eli raa'aksi korkeuseroksi BX A H; jonka jälkeen menetelmän epä-eksaktisuus otetaan huomioon soveltamalla ortometrinen korjaus: H B = H A + BX A H + OC AB : Se tosiasia, että kahden pisteen A ja B välinen ortometristen korkeuksien ero ei ole sama kuin vaaittujen korkeuserojen summa, on seurausta siitä, että painovoima ei ole kaikkialla sama. Jos C A ; C B ; C ovat geopotentiaaliluvut pisteissä A ja B, ja geopotentiaalierot vaaituslinjaa pitkin, meillä on C B C A PB A C = 0 koska geopotentiaali on konservatiivinen kenttä. Jakaminen vakiolla 0 antaa C B 0 C A 0 Toisaalta meillä on BX A OC AB = H B H A C 0 = 0: BX A H = C B g B C A g A BX A C g ; missä g A ; g B ovat painovoiman keskiarvoja pisteiden A ja B luotiviivoja pitkin, g painovoima vaaituslinjaa pitkin. Tässä ilmaisussa PB A H, naivisti laskettu vaaittujen korkeuserojen summa, verrataan ortometristen korkeuksien erotuksen kanssa linjan päätepisteiden A ja B välillä, laskettuna määritelmän mukaan.

119 6.8. Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus 105 Vähennys antaa missä OC AB 0 = C B g B C A g A C g tuloksena OC AB = C B g B! C B CA 0 g A! BX C A 0 A!! C B = 0 g B CB = 0 g B H B ; 0 0 g B 0! C A = 0 g A 0 0! C = 0 g 0 0 BX A H A ; H;!! g 0 H + g A 0 H A 0 0 C g! C ; 0 identtinen kirjan Heiskanen and Moritz (1967) kaavan 4-33 kanssa.! g B 0 H B ; (6.12) 0 Suureen 0 valinta on mielivaltainen; on viisasta valita arvo lähellä keskimääräistä painovoimaa alueella A; B, silloin laskennassa liikkuvat numerot jäävät pieniksi. Vastaavasti voidaan laskea myös normaalikorjaus normaalikorkeuksien laskennassa. Lähdetään kaavasta NC AB = H B H A A BX A H = C B B C A A josta samalla tavalla BX kuin! yllä vähentämällä! saa g 0 NC AB = H + A 0 H A 0 0 BX A C g ;! B 0 H B: (6.13) 0 Huomaa, että identtinen ensimmäinen termi kaavoissa 6.12 ja 6.13 polveutuu termistä BX A C g = BX A H; korkeuserojen H naivi summaus sekä ortometrisen korjauksen että normaalikorjauksen tapauksessa, mihin tämä yleinen korjauskäsite perustuu. Mikä on erilaista ortometristen korjauksen ja normaalikorjauksen välillä on korkeuksien määritelmä: H H:n sijasta, eli jaetaan suureella eikä g. Tästä yhteenveto H B = H A + BX A H + NC AB : Huomaa, että sekä ortometrinen korjaus 6.12 että normaalikorjaus 6.13 voidaan laskea yksi

120 106 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Braunschweig Garching Kuva 6.7 Optinen valohilakello: tulevaisuuden ultra-tarkka atomikello toimii optisella alueella. Oikealla, Predehl et al. -kokeen reitti. vaaitusväli kerrallaan: tiedettävä on, vaaitun korkeuseron H lisäksi, paikallinen painovoima päätepisteissä g (H) or g (H ) ; myös päätepisteissä keskipainovoiman g laskemiseksi luotiviivaa pitkin. Tämä onnistuu hyvin Helmertin kaavalla. Muista, että g (H) tarvitaan joka tapauksessa kun halutaan redukoida vaaitut korkeuserot H geopotentiaalilukueroiksi C. 6.9 Tulevaisuuden näkymä: suhteellisuusteoreettinen vaaitus Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kello kulkee sitä hitaammin, miten syvemmälle se on massojen potentiaalikuopan sisällä. Tämä näkyy helpoiten tarkastamalla Schwartzschildmetriikka pallosymmetriselle kentälle 2GM c 2 dt 2 2GM c 2 d 2 =1 =1 c 2 r 2W c 2 dt 2 c W c dr 2 2 r d 2 + sin 2 2 d' = 1 dr 2 r d 2 + sin 2 d' ; c 2 r pallokoordinaateissa plus aika (r; ; '; t) : Tässä näkyy, miten ominaisajan kulku hidastuu stationaarisen koordinaattiajan t verrattuna, kun geopotentiaali W kasvaa lähempäna massaa. W c 2 : Nyt c 2 on valtavan iso luku: m 2 =s 2. Tämä merkitsee, että potentiaalieron 1 m2 =s 2 mikä vastaa korkeuseroon 10 cm mittaamiseksi tämän menetelmän avulla, mittaustarkkuus olisi oltava 1 : : Perinteisemmät, mikroaaltoalueella toimivat atomikellot pystyvät tarkkuuksiin (Vermeer, 1983). Uusille optisille kelloille tavoite pitäisi olla saavutettavissa. Kello toimii sillä tavalla, että atomien äärimmäisen kylmä ns. Bosen-Einsteinin kondensaatti

121 6.9. Tulevaisuuden näkymä: suhteellisuusteoreettinen vaaitus 107 on vangittuna kuuden lasersäteen muodostamassa kiteessä, seisovien aaltojen sähkömagneettisella kuviolla; kellovärähtelyn lukusäde käyttää toista taajuutta. Bosen-Einsteinin kondensaatille ominaista on, että kaikki atomit ovat tarkasti samassa kvanttitilassa kuten fotonit toimivassa laserissa, eli niiden aineaallot ovat koherentteja. Tavallaan kaikki atomit yhdessä toimivat yhtenä virtuaalisena atomina. Kondensaatti voi koostua miljooneista atomeista, ja on itse asiassa näkyvissä tyhjiökammion lasin läpi pienenä plasmapallerona. Valitettavasti ei riitä, että vaan yhdessä laboratoriossa osataan mitata aikaa äärimmäisen tarkasti; on osattava myös verrata eri atomikellojen tikitysnopeuksia maantieteellisten etäisyyksien ylitse. Tähänkin on löytynyt ratkaisu: olemassa olevat valukuitukaapelit joita Internet ja puhelinliikenne käyttävät jo maailmanlaajuisesti, soveltuvat tähän pienin muutoksin. Ne muutokset koskevat kaapeleissa olevat välivahvistimet noin 100 km:n välein, joita pitä korvata viritetyillä laitteilla (Predehl et al., 2012). Näin voidaan korvata sekä perinteisiä tarkkavaaitusverkkoja että GNSS-teknologiaan ja geoidimääritykseen perustuvia korkeusjärjestelmiä tällä huipputeknologian (ja huipputieteen!) ratkaisulla.

122

123 Luku 7 Stokesin kaava ja muut integraalikaavat 7.1 Stokesin kaava ja Stokesin integraaliydin Sopivasti yhdistämällä alaluvussa 4.3 olevat kaavat saadaan helposti T = R 1X n=2 g n n 1 ; (missä asteluvut n = 0; 1 oletetaan taas häviävän, koska n = 0 edustaa normaalikentän kokonaismassan erotusta Maan kokonaismassasta, ja n = 1 koordinaatiston origon poikkeamaa Maan massakeskipisteestä). Tämä on nyt Stokesin kaavan spektraalimuoto. Massa- alijäämä g N Massa-ylijäämä N Kuva 7.1 Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate.

124 110 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat Laskentapiste N S( ) Maan keskipiste gd Liikkuva integrointipiste Kuva 7.2 Stokes-kaavan integrointi geometrisesti. Asteosuusyhtälön 1X 2.18 avulla saadaan integraalikaava: T = R 2n + 1 gp n (cos ) d = R 4 n=2 n 1 4 = R S ( ) gd; 4 missä S ( ) = 1X n=2 2n + 1 n 1 P n (cos ) ; "1X n=2 # 2n + 1 n 1 P n (cos ) gd = Stokesin ydinfunktio. Kulma on laskentapisteen ja liikkuvan datapisteen välinen kulmaetäisyys. Tämän kaavan avulla voi laskea, maailmanlaajuisesta painovoima-aineistosta, jokaiselle Maan pinnan pisteelle häiriöpotentiaali T, ja siitä geoidikorkeus N Brunsin kaavan 4.2, N = T = kautta, tuloksena N (; ) = R S ( ) g ( 0 ; 0 ) d 0 ; (7.1) 4 missä (; ) ja ( 0 ; 0 ) ovat laskentapiste ja liikkuva piste (datapiste) ja niiden välinen etäisyys on. Kaava 7.1 on klassinen, gravimetrisen geoidilaskennan Stokes-kaava. Ylläoleva on esimerkki integraalikaavojen ja spektraalikaavojen vastaavuudesta. Tästä löytyy muitakin esimerkkejä. Aiemmin annettiin funktion 1 =` spektraaliesitys (Heiskanen and Moritz (1967) kaava 1-81). Tietysti 1 =` on myös ydinfunktio integraalikaavassa josta saa potentiaalin V jos annettuna on pintakerroksen massatiheys. Myös Stokesin kaavan versio ulkoavaruudelle on olemassa; se annettiin jo aikaisemmin, kaava 4.9. Sen ydinfunktion spektraalimuoto, ks. kaava 4.10, on S (r; ; R) = n=2 1X R n+1 2n + 1 r n 1 P n (cos ) :

125 7.2. Luotiviivapoikkeamat ja Vening Meineszin kaavat S ( ) 1 sin ( =2) 6 sin cos 3 cos ln sin 2 + sin S( )!! Kuva 7.3 Stokesin funktio S ( ). Argumentti radiaaneina [0; ). Kuva näyttää myös analyyttisen ilmaisun 7.2 kolme eri osaa eri asymptoottisine käyttäytymisineen. Stokesin funktio Maan pinnalla on kuvattu kuvassa 7.3, missä kulma on annettu radiaaneissa (1rad 57 ). Tämä käyrä laskettiin seuraavan suljetun ilmaisun avulla (ks. Heiskanen and Moritz, 1967, alaluku 2-16, yhtälö 2-164): S( ) = 1 sin ( =2) 6 sin cos 3 cos ln sin 2 + sin 2 2! : (7.2) Tämä suljettu ilmaisu auttaa ymmärtämään paremmin miten funktio käyttäytyy origon = 0 lähellä: ensimmäinen termi, (sin ( =2)) 1 ; menee äärettömyyteen kun! 0. Seuraavat kolmet termit, 6 sin cos, ovat kaikki rajalliset 2 koko välillä [0; ] ja limiitti kun! 0 on 4. Viimeinen, monimutkainen termi 3 cos ln sin 2 + sin 2 menee myös äärettömyyteen positiiviseen äärettömyyteen! mutta paljon hitaammin, logaritmin ansiosta. 7.2 Luotiviivapoikkeamat ja Vening Meineszin kaavat Derivoimalla Stokesin kaava paikan suhteen saadaan luotiviivapoikkeamien komponenttien integraalikaavat (Heiskanen and Moritz, 1967 Kaava 2-210'): = 1 g ds ( ) 1 cos d = g ds ( ) cos sin dd ; 4 d 4 d = 1 g ds ( ) 1 sin d = g ds ( ) sin sin dd ; 4 d 4 d

126 112 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat z P ` r Q y R x Kuva 7.4 Generoiva funktio. jossa ; ovat etelä-pohjois- ja lansi-itä-suuntaiset luotiviivapoikkeamat, ja yksikköpallon pinta-alkio d = sin dd ; missä sin on (; ) -koordinaatien jakobiaani. Nämä kaavat johti ensimmäisenä hollantilainen geofyysikko F.A. Vening Meinesz. Kulma on atsimuti eli suuntakulma laskenta- eli evaluointipisteen (; ) ja liikkuvan integrointi- eli datapisteen ( 0 ; 0 ) välillä. Kaavat on paljon vaikeampaa kirjoittaa spektraalimuotoon, koska ydinfunktiot ovat nyt myös atsimutisuunnan funktioita, eli anisotrooppisia. Häiriöpotentiaali, painovoimahäiriö ja painovoima-anomalia ovat kaikki ns. isotrooppisia suureita: ne eivät riipu suunnasta, ja siksi spektraaliesityksessä niiden väliset muunnokset ovat vain asteluvun n funktioina. 7.3 Poissonin integraalikaava Katso kuva 7.4. Kappaleen piste Q on paikassa R, ja havaintopiste P paikassa r. Kahden paikkavektorien välinen kulmaetäisyys, origosta katsottuna, on. Pisteiden P ja Q välinen etäisyys on `. Ensiksi voidaan kirjoittaa (kosinisääntö) ` =qr 2 + R 2 2rR cos : Voidaan myös kirjoittaa funktio 1 =` seuraavana kehitelmänä (todistus ks. Heiskanen and Moritz (1967) s. 33): 1 ` = 1 p r2 + R 2 2Rr cos = 1 R n=0 1X R n+1 P n (cos ) (7.3) r

127 7.3. Poissonin integraalikaava 113 missä r = krk ja R = krk ovat pisteiden P ja Q etäisyydet origosta eli maan keskipisteestä. Funktiota 1=` kutsutaan Legendre-polynomien generoivaksi funktioksi. Dierentioimalla kaava 7.3 r:n suhteen saadaan r R cos `3 = 1 R 1X n=0 Tämä kerrotaan 2r:n kanssa: 2r 2 2rR cos `3 = 1 R n + 1 r 1X R rn+1 P n (cos ): n=0(2n + 2) R r Lasketaan yhteen tämä kaava ja kaava 7.3: 2r 2 + 2rR cos + `2 `3 = 1 R 1X n=0 (2n + 1) R r n+1 P n (cos ): n+1 P n (cos ) : Vasen puoli yksinkertaistuu käyttämällä r 2 + 2rR cos + `2 = R 2 : 2r 2 + 2rR cos + `2 `3 = R2 r 2 `3 ; ja lopputulos on (kertomalla R:llä): R (r 2 R 2 ) `3 = 1X n=0 (2n + 1) R r Jos nyt lainataan asteosuusyhtälö 2.18 potentiaalifunktiolle V : V n (; ) = 2n + 1 V ( 0 ; 0 ; R) P n (cos ) d 0 ; 4 sekä yhtälö 2.12: saadaan V (; ; r) = V (; ; r) = 1 4 n=0 1X R n+1 V n (; ) ; r = 1 (2n + 1) R 4 n=0 r = R (r 2 R 2 ) V ( 0 ; 0 ; R) d 0 4 `3 suoraan yhtälöön 7.4 sijoittamalla. n+1 P n (cos ) : (7.4) n=0 1X R n+1 (2n + 1) V ( 0 ; 0 ; R) P n (cos ) d 0 = r V ( 0 ; 0 ; R)"1X # n+1 P n (cos ) d 0 =

128 114 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat Näin on saatu Poissonin yhtälö harmonisen funktion V laskemiseksi maapallon pinnalla annetuista arvoista: V P = R (r 2 R 2 ) V Q d Q ; (7.5) 4 `3 jossa ` on taas suora etäisyys evaluointipisteen P (missä V P lasketaan) ja liikkuvan integrointipisteen Q (pallon pinnalla, V Q integraalimerkin alla) välillä. Tässä kaavassa on annettu pisteille nimet: laskentapisteen P :n koordinaatit ovat (; ; r), integrointipisteen Q:n koordinaatit ( 0 ; 0 ; R). Saman kaavan vielä kolmas kirjoitusmuoto, joka soveltuu silloin kun funktio eli kenttä V ei ole varsinaisesti määritetty Maan topograan pinnan ja merenpinnan välillä, on V = R (r 2 R 2 ) V d; 4 `3 jossa V tarkoittaa harmonisesti alaspäin merenpintaan (eli palloapproksimaatiossa pallon pintaan r = R) jatkanutta funktion V arvoa, eli funktio, joka on topograan yläpuolella sama kuin V, on harmoninen, ja on myös olemassa topograan ja merenpinnan välillä. Sellaisen funktion olemassaolo on ollut klassinen teoreettinen pähkinä... Kaava 7.5 ratkaisee ns. Dirichletin reuna-arvotehtävä. 7.4 Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa Edellisessä alaluvussa 7.3 johdettu kaava 7.5 pätee mielivaltaiselle harmoniselle kentälle V, siis kentälle, jolle V = 0. Kaava voidaan kätevästi soveltaa ilmaisulle r g, siis painovoimaanomalia kerrottuna säteen kanssa, sekin harmoninen funktio. Näin voimme ilmaistaa ulkoavaruuden painovoima-anomalia g (; ; r) R-säteisen vertauspallon painovoima-anomalioiden g ( 0 ; 0 ; R) funktiona. Funktio r g on harmoninen, koska kaavan 4.7 mukaan siis 1X g = 1 (n 1) R r n=2 r r g = n+1 T n ; (7.6) n=2 1X 1X R n+1 R n+1 (n 1) T n = S r n=2 n ; r jossa S n (; ) = (n 1) T n (; ) on laillinen pintapallofunktio aivan kuten T n (; ) itse. Siis Poissonin integraalikaava 7.5 pätee funktiolle r g: [r g (; ; r)] = R 4 (r 2 R 2 ) [R g ( 0 ; 0 ; R)] `3 d 0 ;

129 7.4. Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa 115 eli g (; ; r) = R2 (r 2 R 2 ) g ( 0 ; 0 ; R) d 0 : (7.7) 4r `3 Vaihtoehtoinen kirjoitustapa: g = R2 r 2 R 2 g d; 4r `3 jossa g merkitsee painovoima-anomalia merenpinnan tasolla, taas laskettuna harmonisesti alaspäin jatkamalla ulkoista kenttää, tässä tapauksessa ilmaisua r g. Ks. myös Heiskanen and Moritz (1967) kaava Approksimoimalla r + R 2r saadaan vielä g (; ; r) R2 (r R) g ( 0 ; 0 ; R) d 0 : 2 `3 Vaihtoehtoisesti johdetaan spektraalimuoto: g = 1 r n=2 1X 1X R n+1 R n+2 (n 1) T n = g r n=2 n : r Asteosuusyhtälö 2.18 antaa funktiot g n : g n = 2n + 1 gp n (cos ) d; 4 joiden avulla g = 1 4 = 1 4 = 1 4 1X R n=2 r n+2 (2n + 1) 1X n=2 R r K gd; n+2! (2n + 1) P n (cos ) gp n (cos )d = gd = (7.8) jossa K (r; ; R) n=2 1X R n+2 (2n + 1) P n (cos ) r on (modioitu) Poissonin ydin painovoima-anomalioille. Sen suljettu muoto voidaan poimia kaavasta 7.7: K (r; ; R) = R2 r r 2 R 2 `3 : Stokesin ytimen verrattuna Poissonin ydin putoaa nopeasti nollaan kasvaville `-arvoille. Ts. integraalikaavan evaluointia voidaan rajoittaa hyvin paikalliseen alueeseen, esim. kalot-

130 116 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat tiin jonka säde on 1. Ks. kuva 7.5. Poissonin ytimen pääasiallinen käyttö on painovoimaanomalioiden harmoninen jatkaminen ylös- tai alaspäin, eli eri korkeuksilla mitattujen ja laskettujen painovoima-anomalioiden saattaminen samaan vertaustasoon. Limiitissä r! R (laskentatasoksi merenpinta) tämä ydinfunktio menee asymptootisesti Diracin -funktioon. Kaavojen 7.8 ja 7.7 välinen ero on vain numeerisisessa käyttäytymisessään. 7.5 Painovoima-anomalian pystygradientti Dierentioidaan kaavoista 4.6, 4.7 saatu kaava: g = n=2 1X 1X R n+2 g n g = 1 R n+3 (n + 2) g R n=2 n : r Tämä kaava on tarkka palloapproksimaatiossa. Sen ydinfunktio on hyvin lokalisoitu, ts. hyvin nopeasti nollaan putoava, siis pieni kalotti myös tässä riittää laskennassa. g n on, asteosuusyhtälön 2.18 mukaan laskettuna merenpinnan anomaliakentältä: g n = 2n + 1 g ( 0 ; 0 ; R) P n (cos ) d 0 ; 4 g (; ; = jossa ydinfunktio on K 0 (r; ; R) = 1 4R n=2 1X R n+3 (2n + 1)(n + 2) g ( 0 ; 0 ; R) P n (cos ) d 0 = r = 1 K 0 (r; ; R) g ( 0 ; 0 ; R) d 0 ; 4R n=2 1X R n+3 (2n + 1) (n + 2) P n (cos ) : r (7.9) Vaihtoehtoisesti johdetaan suljettu kaava. Lähdetään Poissonin kaavasta 7.7 painovoima-

131 7.5. Painovoima-anomalian pystygradientti 117 8e+06 6e+06 4e+06 2e e+06 4e+06 6e+06 8e+06 1e e+07 Grad 1 km 1.25 km 1.5 km 2 km Poisson 1 km 2 km 1.4e Kuva 7.5 Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille sekä painovoimagradientin ytimet eri korkeuksille. Vaaka-akselin yksikkö on km, pystyakselin yksikkö on m. anomalioille, ja dierentioidaan " r:n suhteen 1 g (; ; r) R 4r = R2 1 r 2 R `3 r 2 = R2 4 = R2 4 = R2 4 = R2 4 1 `3 R 2 1 r 4r 1 `3 " 2 " 2 (r 2 R 2 ) (r 2 + R 2 2rR cos ) 3=2 g (0 ; 0 ; R) d 0# = # g ( 0 ; 0 ; R) d 0 = 3 (2r 2R cos ) (r 2 R 2 ) # 2r`2 3 (`2 + r 2 R 2 ) (r 2 R 2 ) g ( 0 ; 0 ; R) d 0 2r 2`2 (r 2 R 2 ) g ( 0 ; 0 ; R) d 0 = # `3 3 3 (r 2 R 2 ) (r 2 R 2 ) g ( 0 ; 0 ; R) d 0 2r 2 2r 2`2 1 g (; " ; r) = r 1 3 (r 2 R 2 ) 2 2 " `3 1 `3 2 2r 2`2 3 (r 2 R 2 ) 2 2r 2`2 # g ( 0 ; 0 ; R) d 0 1r 2r # + 3 g (; ; r) = g ( 0 ; 0 ; R) d 0 5 g (; ; r) : (7.10) 2r Kaavassa oikeanpuoleinen termi on hyvin pieni (tyypillisesti alle tuhannesosa) verratuna vasemmanpuoliseen termiin. Molemmat hakasuluissa olevat termit ovat samaa suuruusluokkaa. Molodenskyn menetelmässä tämä tai vastaavat kaavat voidaan evaluoida nopeasti hyvin paikallisesta painovoimadatasta. Kirjassa Heiskanen and Moritz (1967) annettu suljettu kaava , on pystygradientti eva- 1 Vihje: käytä symbolisen algebran ohjelmisto. 2 Kaavan derivoinnissa on muuten oletettu, että g on harmoninen. Se ei ole: r g on harmoninen.

132 118 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat luoituna merenpinnalla (vertauspallolla). Siksi se on erilainen kuin yllä annettu kaava Myös tässä annetussa kaavassa, kuten kaavassa 7.9, tarvitaan painovoima-anomaliat merenpinnalla. Käytettävissä ovat kuitenkin anomaliat topograan pinnalla. Käytännössä voidaan menetellä iteratiivisesti, ensin olettamalla, että topograan tasolla mitatut anomalia-arvot ovatkin merenpinnan tasolla: g ( 0 ; 0 ; R) g ( 0 ; 0 ; R + h) ; jossa h = h ( 0 ; 0 ) on pisteen ( 0 ; 0 ) topograan korkeus. Kun ensimmäinen, karkea anomaliagradientti on laskettu, voidaan suorittaa oikea reduktio merenpintaan, aluksi lineaarisesti: g ( 0 ; 0 ; R) g ( 0 ; 0 ; R + h) ja niin h; 7.6 Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä Stokesin kaavan käyttö gravimetriseen geoidilaskentaan edellyttää että kaikki massat ovat geoidin sisällä (ja ulkoinen kenttä on siis harmoninen). Siksi siirretään topograset massat laskennallisesti geoidin sisään. Monesta menetelmästä tämän saavuttamiseksi tulevat oikeastaan vain neljä kysymykseen jos halutaan laskea (kvasi-)geoidi Maan pinnalla ja sen ulkopuolella. Jokaisessa menetelmässä tapahtuu massansiirtoja joita tulee spesioimaan. Helmertin (toinen) kondensaatiomenetelmä: Massat siirretään suoraan alaspäin geoidille pintatiheyskerrokseksi. Tämän jälkeen painovoiman siirtäminen alaspäin topograpinnalta meren pintaan on helppoa. Epäsuora efekti (massasiirron vaikutus geoidiin, "Restore -askel) on pieni. Bouguer-reduktio: tämän epäsuora efekti on ylen suuri ja ulottuu suurelle alueelle, ja siksi sitä käytetään harvemmin. Tässä topograset massat raa'asti poistetaan, ja geoidilaskun jälkeen, yhtä raa'asti palautetaan. Molodensky-menetelmä: topograset massat siirretään geoidin sisään tavalla joka ei muuta ulkopuolista kenttää. Toisin sanoen, tämä on efektispesikaatio eikä menetelmäspesikaatio. Ongelmana tässä on, että tälläinen massasiirto ehkä ei tarkasti ottaen ole olemassakaan. Tai että sopiva massojen siirto johtaa erittäin suuriin positiivisiin ja negatiivisiin massoihin, jotka ovat fysikaalisesti epärealistisia. Sanotaan, että ongelma on huonosti määritelty ( ill posed ). Ratkaisuna käytetään regularisointi: muutetaan hieman mahdollisimman vähän ulkopuolista kenttää, niin että se vastaa tarkasti johonkin järkevään sisäiseen kenttään. Aluksi voidaan esimerkiksi jo suodata pois Maan pinnan painovoimakentästä lyhytaaltoiset, topograan aiheuttamat osat korkean resoluution digitaalisen maastomallin avulla. RTM (Residual Terrain Modelling) -menetelmä. Tämä koostuu kahdesta vaiheesta:

133 7.6. Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä 119 Kuva 7.6 Residual terrain model (RTM). Maastosta poistetaan laskennallisesti lyhyet aallonpituudet, eli erotukset punaisesta katkoviivasta: sen yläpuolella nousevat maaston massat poistetaan, sen alapuolelle jäävät laaksot täytetään. Reduktion jälkeen punainen viiva (sileampi kuin alkuperäinen maasto) on uusi maaston pinta. 1. Ensin poistetaan topograasta laskennallisesti lyhyet aallonpituudet (alle 30 km) siirtämällä huippujen massat laaksoihin; 2. sen jälkeen sovelletaan Molodenskyn resepti, joka toimii nyt kuten pitää, koska ensimmäinen vaihe toimii suodattimena. Vain ensimmäinen vaihe muuttaa ulkopuolista kenttää. Siksi esim. tuntemattoman topograan tiheyden vaikutus jää minimaaliseksi Molodensky-menetelmä lineaarisessa approksimaatiossa Yllä kuvattu Molodensky-menetelmä " voidaan linearisoida: 0# T (; ; h) = R g ( 0 ; 0 ; h g ) 0 h S ( ) d 0 h: Siis, ensin redukoidaan maaston pinnalla mitattu ja laskettu g merenpintaan käyttämällä anomalioiden gradienttia ja mittauspisteen korkeutta h 0, tuloksena g = 0 h 0 : Sen jälkeen sovelletaan merenpinnalla Stokesin kaava, ja saadaan merenpinnan häiriöpotentiaali T. Tämän jälkeen häiriöpotentiaali antiredukoidaan takaisin maastotasoon, evaluointipisteeseen, kaavalla T = h: Näissä kaavoissa koko ajan T, sen pystyderivaatta, ja g ja sen pystyderivaatta kuuluvat ulkoiseen, harmoniseen painovoimakenttään, ja niiden välinen yhteys on fysikaalisen geodesian perusyhtälö 4.4, pallogeometriassa: 2 r T;

134 120 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat jossa r = R + h. Tässä tarvitaan ensin häiriöpotentiaalin pystygradientti. Se on helppoa: = g 2 r T; jossa ensimmäinen termi on suoraan mitattu, ja toisen termin T saadaan iteratiivisesti ratkaisuprosessin päätuotteena. Painovoima-anomalioiden gradientin laskeminen on vaikeampaa. Tähän tarjoutuu integraalikaava g (; ; = 1 4R n=2 1X R n+3 (2n + 1)(n + 2) g ( 0 ; 0 ; h 0 ) P n (cos )d 0 : r Käytännön laskennan onneksi tämä integraali on hyvin lokalisoitu eikä tarvita painovoimadataa g kovin laajalta alueelta Laskentapiste vertaustasoksi Yllä olevassa kaavassa 7.11 vertaustasona on käytetty merenpinta. Tämä on mielivaltainen: voimme käyttää mitä tahansa vertaustaso, esim. h 0, jolloin! T (; ; h) = R + h 0 g ( 0 ; 0 ; h g ) (h0 h 0 ) S ( ) d (h h 0) : Mikäli nyt valitaan h 0 = h, putoaa viimeinen termi pois ja! saadaan T (; ; h) = R + h g ( 0 ; 0 ; h g ) (h0 h) S ( ) d 0 : Tässä tapauksessa redukointi tapahtuu g-mittauspisteen korkeudesta T -laskentapisteen korkeuteen, todennäköisesti lyhyempi matka kuin merenpinnalta laskentakorkeuteen, varsinkin laskentapisteen välittömässä läheisyydessä. Tämä merkitsee, että linearisointivirhe jää pienemmäksi. Huonoa toisaalta on, että suluissa oleva ilmaisu on nyt jokaiselle evaluointipisteelle erilainen. Tämä mutkistaa FFT-pohjaisen laskentatekniikan käyttöä, ks. myöhemmin. Tässä puhuttiin koko aikaa häiriöpotentiaalin T (; ; h) määrittämisestä; tama on käytännössä sama asia kuin korkeusanomalian (; ; h) = T (; ; h) (; h) : määrittämistä. Tässä on pisteen leveysasteelle ( ') ja korkeudelle h laskettu normaalipainovoima.

135 7.7. Remove-Restore -menetelmä Remove-Restore -menetelmä Kaikki nykyisin käytössä olevat geoidimääritysmenetelmät ovat tavalla tai toisella "Remove- Restore" menetelmiä, jopa usealla eri tavalla. 1. Havaituista painovoima-arvoista poistetaan ensin globaalisen painovoimakentän vaikutus. Globaalinen malli on yleensä annettuna pallofunktiokehitelmänä. Näin saadaan residuaalinen painovoimakenttä jonka numeeriset arvot ovat pienempiä (helpompi käsitellä) ja joka on paikallisempi: pitkät aallonpituudet, suurten alueiden systemaattiset trendit, ovat residuaalikentästä poistettu, vain paikalliset yksityiskohdat ovat jäljellä. 2. Havaituista painovoimasta poistetaan kaikkien massojen vaikutukset jotka ovat geoidin ulkopuolella. Tämän tarkoitus on saada residuaalinen painovoimakenttä johon Stokesin kaava voidaan käyttää, koska reunapinnan ulkopuolella ei ole massoja jäljellä; ja josta erityisesti maaston aiheuttamat painovoimakentän hyvin lyhyet aallonpituudet (yksityiskohdat joiden suuruusluokkaa on muutama km) ovat poissa. Tämän jälkeen painovoima-arvojen prediktio harvoista mittausarvoista sujuu paremmin. Painovoimareduktiomenetelmät (jotka siis poistavat laskennallisesti ulkopuolisten massojen painovoimavaikutuksen) joilla on hyvät prediktio-ominaisuudet, ovat Bouguer-reduktio (vaikka Bouguer-anomaliat sisältävät suurta negatiivista systematiikka vuoristossa) ja isostaatinen reduktio. Voimme kuvata Remove-Restore menetelmä seuraavan kommutatiivisen diagramman avulla: Remove Restore g (Raaka voima!) N + Globaalinen pv-kentän malli! * g loc N loc + ulkopuoliset massat! * g red Stokes ) N red Tässä diagrammassa paksut nuolet osoittavat laskutoimitusta joka on suositeltava, koska se on helppoa ja tarkkaa. Suluissa oleva nuoli, suora laskenta, on hankalaa ja laskenta-intensiivistä. 7.8 Ytimen modikaatio Remove-Restore -menetelmässä Yllä kuvatussa Remove-Restore -menetelmässä redukoitujen painovoima-anomalioiden g red ja geoidikorkeuksien N red käsittely tapahtuu tyypillisesti suhteellisen pienen alueen sisällä.

136 122 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat Esim. FFT-menetelmää käyttäessä on laskenta-alue usein suorakulmainen alue karttaprojektiotasossa, piirrettynä reilusti sen maan tai alueen ympärille, jonka geoidi yritetään laskea. Myös jos lasketaan geoidi suoraan integroimalla Stokesin kaava, evaluoidaan tämä integraali, globaalisen mallin poistamisen jälkeen, vain rajatun alueen eli kalotin yli. Eli evaluoidaan kaava N red = R S ( ) g red d; (7.12) 4 0 jossa 0 on yksikköpallon kalotti, jonka säde on vaikkapa 0. Oletus tämän takana on, että g red kalotin ulkopuolella on sekä pieni että nopeasti vaihteleva, koska pidemmät aallonpituudet ovat siitä poistuneet globaalisen mallin reduktion mukaan. Tämä voi kuitenkin olla vaarallinen olettamus. Kirjoitetaan yo. kaavassa 7.12, ja S ( ) = 1X n=2 g red (; ) = 2n + 1 n 1 P n (cos ) 1X n=l+1 g n (; ) ; olettaen, että L on globaalisen pallofunktiomallin suurin mukana oleva asteluku 3. Nyt, koska g n on pintapallofunktioiden Y nm ( ; ) = P njmj (cos ) sin jmj ; m = n; : : : ; 1; Y nm ( ; ) = P nm (cos ) cos m; m = 0; : : : ; n; eräs lineaariyhdistelmä, eli, ja myös g n ( ; ) = nx m= n Y n0 ( ; ) = P n (cos ) ; g nm Y nm ( ; ) ; seuraa Y -funktioiden ortogonaalisuuden perusteella, että P n (cos ) Y n0 md = Y n0 Y n0 md = 0 jos n 6= n 0 tai m 6= 0: 3... ja että malli on tarkka

137 7.8. Ytimen modikaatio Remove-Restore -menetelmässä S( ) S 3 ( ) S 4 ( ) S 5 ( ) S 6 ( ) Kuva 7.7 Modioituja Stokes-ydinfunktioita. Huomaa, miten ytimen arvo paikallisen alueen ulkopuolella menee nollaan korkeammilla L-arvoilla. Nyt voidaan kirjoittaa huomaa, että termit n L putoavat pois: 1X S ( ) g red (; ) = S ( ) g red ( ; ) = = 2n + 1 n 1 P n ( ) n=2 = S L ( ) g red (; ) ; 1X nx n=l+1 m= n Y nm ( ; ) jossa S L ( ) = 1X n=l+1 2n + 1 n 1 P n ( ) on ns. modioitu Stokes-ydinfunktio. Astelukua L kutsutaan modiointiasteeksi. Laskentaalueen 0 koko valitaan yhteensopivaksi tämän kanssa. Tässä kuvattu modiointimenetelmä, S-funktion Legendre-polynomikehitelmän rajoittaminen korkeampiin astelukuihin, on nimeltään Wong-Gore 4 modikaatio (Wong and Gore, 1969). Uuden ydinfunktion S L toivottava ominaisuus on, että se olisi ainakin alkuperäisfunktion S verrattuna pieni kalottialueen 0 ulkopuolella. Siinä tapauksessa integraalin rajoittaminen kalottiin koko yksikköpallon sijasta (kaava 7.12) ei tee suurta vahinkoa. Selvä on, että S L on paljon kapeampaa kuin S, onhan siinä vain korkeammat asteluvut edustettuna. Tätä voidaan verioida piirtämällä molempien käyrien graikka. Se ei mene kuitenkaan täydellisesti nollaan kalotin ulkopuolella, vain aaltoilee jonkin verran. 4 L. Wong ja R.C. Gore työskentelivät Aerospace Corporationilla, Kaliforniassa sijaitsevalla avaruusteknologian tutkimuslaitoksella.

138 124 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat Kirjallisuudesta löytyy muitakin ydinfunktion modiointikeinoja. Niiden yleinen muoto on S L ( ) = 1X n=l+1 2n + 1 n 1 P n (cos ) + LX n=2 (1 s n ) 2n + 1 n 1 P n (cos ) ; jossa kertoimet s n ; n = 2; : : : ; L ovat mielivaltaisia 5. Ne valitaan optimaalisesti jonkun kriteerin mukaan (esim. pienimmän neliösumman kriteeri) S L :n arvojen minimoimiseksi kalotin ulkopuolisella alueella 0. Tällä tavoin on onnistuttu eliminoimaan kaavan 7.12 katkaisuvirhe lähes täydellisesti. Muun muassa Molodensky et al. (1962) kehitti jo sellaisen menetelmän. 7.9 Paikallisen vyöhykkeen vaikutus Gravimetrisen geoidin numeerisessa laskennassa käytetään anomalioiden keskiarvoja laskettuina standardikokoisille soluille eli blokeille, yleensä , , jne. Euroopan leveysasteilla käytetään usein kokoja , , jne., jotka ovat likimäärin neliön muotoisia. Seuraava kaava X pätee integraalin laskennassa blokkien keskiarvoja käyttäen: N = c i g i ; i missä g i on blokin i keskiarvo, ja paino c i (; ) = R S ( ) d; 4G i missä i on blokin i pinta-ala. Sellaisen integraalin arvon numeerinen laskenta, ns. kvadratuuri, tapahtuu kätevästi Simpsonin säännön avulla: c i (; ) = R 4 ˆ 2 ˆ '2 1 ' 1 S (; ; 0 ; 0 ) cos d 0 d 0 R 4 3X w j j=1 3X k=1 w k S jk (; ) ; missä ja ' ovat blokkikoko, w 1 = w 3 = 1 =6 ja w 2 = 4 =6. S 11 ; :::; S 33 ovat ilmaisun [S (; ; 0 ; 0 ) cos ] arvot laskennassa käytettyjen solmupisteiden kohdilla, 3 3 kappaletta. Ks. kuva 7.8. Myös monimutkaisempia kaavoja (toistettu Simpson tai Romberg) voi käyttää. Voidaan näyttää, että paikallisen (sisäisen) vyöhykkeen vaikutus geoidiin laskentapisteessä (; ) on verrannollinen itse pisteen painovoima-anomaliaan g. Luotiviivapoikkeamat taas ovat verrannollisia painovoima-anomalioiden vaakagradienttiin. Seuraavasti: N int g; 5 Valinta s n = 1 antaa taas yksinkertaisesti modioitu Stokesin ydin, josta matalat asteosuudet on kokonaan poistettu.

139 7.9. Paikallisen vyöhykkeen vaikutus j = j = 2 i = j = 1 Kuva 7.8 Simpson-integrointi kahdessa ulottuvuudessa. int g ; int g : Tässä x ja y ovat paikallisia suorakulmaisia koordinaatteja, ja on paikallisen blokin (kalotin) säde. Joskus nämä kaavat ovat käyttökelpoisia, esimerkiksi hilamenetelmien virhe-arvioinnissa. Olkoon hilan silmäkoko x; yo. kaavoihin voi sijoittaa x =2, ja g:n paikkaan sijoitetaan g obs g grid ; missä g grid on hilatiedostosta interpoloitu painovoima-anomalia-arvo laskentapisteen kohdalla. Tällä tavoin saadaan karkea arvio siitä, paljonko virhettä hilan silmäkoko aiheuttaa.

140

141 Luku 8 Spektraalimenetelmät, FFT 8.1 Stokesin lause konvoluutiona Lähdetään liikkeellä Stokesin kaavalta T (; ) = R S ( ) g ( 0 ; 0 ) d 0 ; 4 jossa ( 0 ; 0 ) on liikkuvan pisteen (integrointi- eli datapisteen) sijainti Maan pinnalla ja (; ) evaluointipisteen sijainti, sekin Maan pinnalla. Yleensä molempien pisteiden sijainnit ilmaistaan pallokoordinaatteina (; ) ; ja vastaavasti integrointi suoritetaan yksikköpallon pinnan yli: pintaelementti on d = cos dd, missä tekijä cos edustaa niiden pallokoordinaattien (; ) Jacobin determinantti eli jacobiaani. Kuitenkin paikallisesti, riittävän pienellä alueella, voidaan kirjoittaa pisteiden koordinaatit myös suorakulmaisesti, ja myös integraali suorakulmaisissa koordinaateissa. Sopivat suorakulmaiset koordinaatit ovat esim. karttaprojektiokoordinaatit, ks. kuva 8.1. y x R Kuva 8.1 Karttaprojektiokoordinaatit x; y paikallisessa tangenttitasossa.

142 128 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT Yksinkertainen esimerkki tangenttitason suorakulmaisista koordinaateista olisi x = R sin ; y = R cos ; (8.1) jossa on atsimuti evaluointi- ja liikkuvan pisteen välillä. Tämän projektion keskus on tangenttitason kosketuspiste. Muiden pisteiden sijainti mitataan Maan keskipisteen kulmalla, palloetäisyys, ja tangenttitason suuntakulmalla eli atsimuutilla. Realistisempi esimerkki käyttää suosittua konformista karttaprojektiota, stereograsta projektiota: x = 2 sin ( =2) R sin ; y = 2 sin ( =2) R cos : Pienten -arvojen limiitissä tämä on sama kuin kaavat 8.1. Ottamalla kaavoista 8.1 neliöt, summaamalla ne, ja jakamalla R 2 :lla saadaan 2 x2 + y 2 R 2 : Yleisemmin on kahden pisteen (x; y) (laskenta- eli evaluointipiste) ja (x 0 ; y 0 ) (integrointieli liikkuva piste) välinen kulmaetäisyys maapallon keskustasta nähtynä, likimäärin 2 x!2 x0 + y!2 y0 : R R Lisäksi on otettava huomioon projektion Jacobin determinantti: d = R 2 dxdy ja Stokesin kaavasta tulee nyt T (x; y) 1 4R 1 kaksi-ulotteinen konvoluutiointegraali. 1 S (x x 0 ; y y 0 ) g (x 0 ; y 0 ) dx 0 dy 0 ; (8.2) Konvoluutioilla on hyviä ominaisuuksia Fourier-teoriassa. Jos kutsutaan Fourier-muunnos symbolilla F, ja konvoluutio symbolilla, voidaan yo. kaava lyhentää seuraavaksi: T = 1 4R S g; ja konvoluutiolauseen mukaan (Fourier muuntaa konvoluutio kertolaskuksi): F ft g = 1 F fsg F f gg : 4R Tämän (x; y) -tasoapproksimaatio toimii vain, jos tarvittava integrointi voidaan rajoittaa paikalliseen alueeseen jossa Maan pinnan kaarevuutta voidaan jättää huomioimatta. Tämä onnistuu kiitos globaalisten pallofunktiokehitelmien käyttöä, koska ne kuvaavat Maan

143 8.2. Integrointi FFT:llä 129 painovoimakentän vaihtelun globaalista osuutta. Sen jälkeen kun havaituista painovoimaanomalioista g on poistettu globaalisen pallofunktiomallin vaikutus (Remove-vaihe), voidaan laskentapisteesta kaukana olevien alueiden vaikutus turvallisesti unohtaa: poiston jälkeen anomaliakenttä sisältää vain jäävät lyhytaaltoiset osat, joiden vaikutus kumoutuu pitemmän matkan päässä. Tietenkin kun integraali on laskettu ja paikallinen häiriöpotentiaali T loc saatu, on muistettava, että tähän olisi taas lisättävä globaalisen pallofunktiomallin erikseen laskettava T glob -vaikutus (Restore-vaihe). 8.2 Integrointi FFT:llä Konvoluutiolauseen tarvittama Fourier-muunnos lasketaan diskreettina Fourier-muunnoksena. Tähän löytyy laskennallisesti erittäin tehokas Fast Fourier Transform eli FFT (esim. Kakkuri, 1981 ss ). Kirjallisuudesta löytyy muutama hieman erilainen Fourier-muunnoksen kaava; mikä niistä valitaan on ilman merkitystä, jos vaan Fourier-muunnos F ja sen käänteismuunnos F 1 ovat yhteensopivia. Esivalmisteluna lasketaan ensin funktiosta g (x; y) diskreetti hilaesitys, suorakulmainen g-arvojen taulukko tasaisen pistevälin (x; y) -hilalla. Arvot voivat vaikkapa olla funktioarvot itse hilapisteissa 1 : g ij = g (x i ; y j ) ; jossa hilapisteiden koordinaatit ovat: x i = ix; i = y j = jy; j = n 2 ; : : : ; n 2 n 2 ; : : : ; n 2 1; 1; sopiviksi valituilla hilan väleillä (x; y) : Indeksien i ja j arvosekvenssit on valittu siten, että alueen keskipiste (x = y = 0) on myös rakennetun arvotaulukon g ij keskellä (i = j = 0). Kokonaisluku n on tassa hilan koko, oletettu samaksi x:n ja y:n suuntaan (mikä ei ole välttämätön). Seuraavaksi tehdään samoin ydinfunktiolle S ( ) = S (x x 0 ; y y 0 ) = S ( x; y) ; eli kirjoitetaan S ij = S ( x i ; y j ) ; 1 Vaihtoehtoja tähän löytyy. Esimerkiksi voidaan laskea jokaiselle hilapisteelle pistettä ympäröivän neliön keskiarvo.

144 130 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT jossa taas (n on hilan koko): x i = ix; i = y j = jy; j = n 2 ; : : : ; n 2 n 2 ; : : : ; n 2 1; 1: Myös tässä i- ja j- indeksien arvosekvenssien valinta johtuu halusta saada symmetrisen S- funktion origon huippu S ( )! 1 kun ( x; y)! (0; 0) sijoitetuksi keskellä arvomatriisin S ij hilaa 2. Seuraavaksi: 1. näin saadut funktioiden S ja g hilaesitykset g ij ja S ij muunnetaan taajuusdomeenin niistä tulee siten kahden taajuuden, x- ja y- suuntaisten aaltolukujen u ja v, funktiot S uv ja G uv. Spatiaalitaajuudet ovat! u = u =L;! v = v =L; missä L on (neliön muotoiseksi oletetun) alueen koko. 2. Ne kerrotaan keskenään taajuuspari kerrallaan, eli lasketaan T uv = XX n 1 n 1 u=0 v=0 S uv G uv ; 3. ja muunnetaan tulos, T = F ft g, takaisin avaruusdomeeniin, eli häiriöpotentiaalia T kuvaavaksi hilaksi T ij = T (x i ; y j ). Mielivaltaisen pisteen häiriöpotentiaali saadaan tästä hilasta interpoloimalla. Koordinaatit x i ; y j kulkevat indeksien i; j funktioina samalla tavalla kuin kuvattu yllä g:n tapauksessa 3. Tämä menetelmä kelpaa häiriöpotentiaalin T ja vastaavasti geoidikorkeuden N = T = laskemiseksi painovoima-anomalioista Stokesin kaavan avulla. Yhtä hyvin se kelpaa myös muiden suureiden, kuten esim. painovoiman pystygradientin, evaluoimiseen Poisson-kaavan avulla. Ainoana vaatimuksena on, että kaava olisi kirjoitettavissa konvoluutiona. Myös käänteinen lasku on helppoa: Fourier- eli spektraalidomeenissa se on vain yksinkertainen jakolasku. Diskreetin FFT-muunnoksen käyttö edellyttää, että syöttödata eli integroitavana oleva kenttä esimerkissä painovoima-anomaliat on annettuna laskenta-alueen peittävänä, säännöllisenä hilana, tai muunnettava sellaiseksi. Tulos esimerkissä häiriöpotentiaali saadaan samanmuotoisena säännöllisellä hilalla. Arvoja voi hilasta interpoloida haluttuihin pisteisiin. FFT-menetelmää voidaan taas kuvata kommutatiivisena diagrammana : 2 Ilman tätä toimenpidettä laskennan tulos olisi oikein, mutta väärässä paikassa... 3 Itse asiassa, sekä g:n että T :n tapauksessa olisi mahdollista valita yksinkertaisempi hilageometria jossa indeksien arvosekvenssit olisivat i; j = 0; ; n 1; kuitenkin S:lle on pakko valita origo keskelle hilaa.

145 8.3. Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa 131 Vapaa havainto- ) Interpolointi ) Pistepistevalinta hilapisteisiin hila # + (Suora ratkaisu) FFT # + Ratkaisupisteet ( Interpolointi ( Pisteomissa paikoissaan ratk. pisteisiin hila Liitteestä C löytyy lyhyt selostus, miksi FFT toimii ja miksi se on niin tehokas kuin se on. 8.3 Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa Ylläolevassa kaavassa 8.2 koordinaatit x ja y ovat suorakulmaisia. Käytännössä usein otetaan leveys- ja pituusaste (; ), mikä johtaa lisävirheisiin meridiaanikonvergenssin seurauksena eiväthän leveys- ja pituusaste ole suorakulmaisia. Hieman sopivampi olisi pari (; cos ) : Ongelma on ratkaistu myös käsitteellisemmällä tasolla Strang van Hees -menetelmä Stokesin ydinfunktio S ( ) riippuu vain laskentapisteen (; ) ja datapisteen ( 0 ; 0 ) välisestä kulmaetäisyydestä. Kulmaetäisyyttä voidaan kirjoittaa seuraavasti (pallo-approksimaatio): Sijoitetaan cos = sin 0 sin + cos 0 cos cos ( 0 ) : cos ( 0 ) = 1 2 sin 2 ( 0 ) 2 cos = 1 2 sin 2 2 ; cos ( 0 ) = 1 2 sin 2 0 ; 2 ja saadaan cos = cos ( 0 ) 2 cos 0 cos sin sin 2 2 = sin cos 0 cos sin 2 0 : 2 ) Tässä seuraava approksimaatio lienee sallittu: cos 0 cos cos 0 ;

146 132 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT missä 0 on vertausarvo laskenta-alueen keskellä. Nyt ylläolevasta kaavasta tulee: sin sin2 2 mikä riippuu vain eroista 0 ja 0 + cos 2 0 sin 2 0 ; (8.3) 2 ; konvoluution edellytys. Tämän jälkeen FFT-menetelmä voidaan soveltaa käyttämällä koordinaatit ; 4 ja modioitu Stokesin funktio S ( ; ) S 0 u t 2 arcsin sin cos2 0 sin 2 2 Tämä ovela tapa käyttää FFT:tä maantieteellisissä koordinaateissa keksi hollantilainen G. Strang van Hees 5 v !1 A : Spherical FFT, monivyöhykemalli Jaetaan alue useaan kapeaan vyöhykkeeseen leveysasteen mukaan. Jokaisen vyöhykkeen sisällä sovelletaan Strang van Hees -menetelmä omalla optimaalisella keskusleveyspiirillä. Kirjoitetaan Stokesin kaava seuraavasti: N (; ) = R S ( 0 ; 0 ; ) [ g ( 0 0 ) cos 0 ] d 0 d 0 ; (8.4) 4 jossa olemme ilmaisseet S( ) leveysaste-eron, pituusaste-eron ja evaluointileveyden funktiona. Nyt valitaan kaksi tukilatitudia: i ja i+1. Oletetaan lisäksi että S on niiden välillä lineaarinen :n funktio. Siinä tapauksessa voimme kirjoittaa: S ( ; ; ) = ( i) S i+1 ( ; ) + ( i+1 ) S i ( ; ) i+1 i ; jossa = 0 ; = 0 ja S i ( ; ) = S ( 0 ; 0 ; i ) ; S i+1 ( ; ) = S ( 0 ; 0 ; i+1 ) : Integraalikaavaan 8.4 sijoittamalla saadaan: N (; ) = 4(" # R " # i S i+1 ( ; ) [ g ( 0 ; 0 ) cos 0 ] d 0 d 0 + i+1 0) i i+1 + S i ( ; ) [ g ( 0 ; 0 ) cos 0 ] d 0 d : (8.5) i+1 i 4 Käytännössä käytetään geodeettinen/maantieteellinen leveysaste ' geosentrisen sijasta ilman merkittävää virhettä. 5 Govert L. Strang van Hees ( ) oli hollantilainen gravimetrisen geodesian tutkija.

147 8.3. Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa 133 Tämä kaava on kahden konvoluution summa. Molemmat evaluoidaan FFT:n avulla ja saaduista ratkaisuista muodostetaan painotettu keskiarvo kaavan 8.5 mukaisesti. Tässä menetelmässä voimme käyttää likikaavan 8.3 sijasta eksakti kaava, jossa 0 on ilmaistu :hin ja :hin: sin 2 2 = 0 sin2 2 + cos 0 cos sin = sin cos ( ) cos sin2 2 : = Tässä lasketaan taas S i ja S i+1 arvoille = i ja = i+1, evaluoidaan integraalit konvoluutiolauseen avulla, ja interpoloidaan N (; ) kaavan 8.5 mukaan kun i < i+1. Tämänkään jälkeen ratkaisu ei ole täysin eksakti, koska jokaisen vyöhykkeen sisällä käytetään edelleen lineaarista interpolaatiota. Kuitenkin kapenemalla vyöhykkeet saadaan virhe pysymään mielivaltaisen pieneksi Spherical FFT, Taylor-kehitelmämalli Tämä hieman monimutkaisempi, mutta myös monipuolisempi, lähestymistapa kehittää Stokesin ydin Taylor-sarjakehitelmäksi leveysasteen suhteen keskellä laskenta-aluetta sijaitsevan vertauslatitudin molemmin puolin 6. Kehitelmän jokainen termi riippuu vain leveysasteen erosta. Laskettava integraali hajoaa vastaavasti termeihin, joista jokainen sisältää puhdas konvoluutio. Kirjoitetaan yleinen ongelma seuraavasti: ` ('; ) = ˆ 2 0 ˆ +=2 =2 C ('; ' 0 ; ) [m (' 0 ; 0 ) cos ' 0 ] d' 0 d 0 ; jossa ` sisältää laskettavat, m sisältää annetut suureet ja C on kerroin- eli ydinfunktio. Tässä on oletettu vain geometrian rotaatiosymmetria Maan pyörähdysakselin ympäri, eli ydinfunktio riippuu vain pituusasteiden erotuksesta eikä absoluuttisista pituuksista ; 0. Konkreettisessa tapauksessa m sisältää esimerkiksi g-arvoja eri pisteissä (' 0 ; 0 ), ` sisältää geoidikorkeuksia N eri pisteissä ('; ), ja C sisältää Stokesin funktion avulla laskettuja kertoimien arvoja. Muunnetaan ensin '; ' 0 -riippuvuus '; '-riippuvuudeksi: C = C ('; ' 0 ; ) = C ( '; ; ') : Linearisoidaan: C = C 0 ( '; ) + (' ' 0 ) C ' ( '; ) + ::: 6 Kirjallisuudessa menetelmä on yleistetty kehittämällä ydin myös korkeuden suhteen.

148 134 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT jossa määritellään sopivalle vertauslatitudille ' 0 : C 0 ( '; ) C ( '; ; ' 0 ) ; C ' ( '; ) Sijoittamalla saadaan ` = = = ˆ 2 ˆ +=2 0 =2 ˆ 2 ˆ +=2 0 =2 ˆ 2 ˆ +=2 0 =2 = + (' ' C ( '; ; ') '=' 0 : Cm 0 cos ' 0 d' 0 d 0 = [C 0 + (' ' 0 ) C ' ] m 0 cos ' 0 d' 0 d 0 = C 0 m 0 cos ' 0 d' 0 d 0 + ˆ 2 0 ˆ +=2 =2 C ' m 0 cos ' 0 d' 0 d 0 : (8.6) Tärkeä tässä nyt on se, että ensimmäisen ja toisen termin integraalit, eli = = ˆ 2 ˆ +=2 ˆ 2 0 =2 ˆ 2 ˆ ˆ +=2 0 =2 ˆ +=2 0 =2 C 0 m 0 cos ' 0 d' 0 d 0 = C 0 ( '; ) [m 0 cos ' 0 ] d' 0 d 0 C 0 [m cos '] ; ˆ +=2 0 =2 C ' [m 0 cos ' 0 ] d' 0 d 0 = C ' ( '; ) [m 0 cos ' 0 ] d' 0 d 0 C ' [m cos '] ; ja ovat molemmat konvoluutioita: molemmat C-funktiot riippuvat vain ':stä ja :sta. Molemmat integraalit ovat laskettavissa jos vain vastaavat ' = ' ' 0 ja = 0, ja vastaavat kerroinhilat C 0 ; C ', ensin lasketaan. Tämän (periaatteessa kalliin, mutta FFT:n ja konvoluutiolauseen ansiosta paljon edullisemman) integroinnin jälkeen on yhdistelmän 8.6 laskeminen halpaa: yksi kertolasku ja yksi yhteenlasku jokaista evaluointipistettä ('; ) kohtaan. Esimerkki: olkoon laskenta-alue leveysasteella 60 kooltaan Jos hilan silmäkoko on , on solujen määrä : Valitaan vaikkapa hila (siis: n = 256) ja täytetään puuttuvat arvot extrapoloiduilla arvoilla. Myös ydinfunktioiden C 0 ja C ' arvot lasketaan kokoisella ( '; ) -hilalla. Niitä on siis myös Konvoluutioiden C 0 [m cos '] ja C ' [m cos '] laskeminen

149 8.3. Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa 135 FFT:n avulla siis: C 0 m 0 cos ' 0 d' 0 d 0 = C 0 [m cos '] = F 1 ff fc 0 g F fm cos 'gg C ' m 0 cos ' 0 d' 0 d 0 = C [m cos '] = F 1 ff fc ' g F fm cos 'gg ja vaatii (n 2 ) 2 log (n 2 ) = = reilu miljoonaa laskuatoimitusta, kertominen kertoimen (' ' 0 ) kanssa ja yhteenlasku taas kumpikin laskuatoimitusta. Funktioiden C 0 ja C ' vastaavat hilamatriisit saadaan seuraavasti: kolmelle vertauslatitudille ' 1; ' 0 ; ' +1 lasketaan numeerisesti hilat C 1 = C ( '; ; ' 1) ; C 0 = C ( '; ; ' 0 ) ; C +1 = C ( '; ; ' +1 ) ; jossa C 0 on suoraan tarjolla, ja C ' C +1 C 1 : ' +1 ' 1 Myös inversiolasku on näin suoraan mahdollista. Olkoon annettuna ` sopivassa pistehilassa. Lasketaan m:n ensimmäinen approksimaatio seuraavasti: 1( ) F f`g F fc 0 g F fm cos 'g = F f`g ) [m cos '] (0) = F : F fc 0 g Toinen approksimaatio saadaan ensin laskemalla `(0) = C 0 [m cos ] (0) + ( 0 ) C [m cos ] (0) ; jonka jälkeen tehdään parannus: 18< `(0)o : [m cos '] (1) = [m cos '] (0) + F Fn` ; F fc 0 g ; ja niin edelleen, iteratiivisesti. Pari, kolme askelta yleensä riittää. Tätä menetelmää on käytetty maanalaisten massapisteiden laskemiseksi painovoima-anomalioista esittämään Maan ulkopuolista painovoimakenttää. Enempää on selostettu julkaisussa Forsberg and Vermeer (1992). 9= D-FFT Tämä on edellisten rajatapaus, missä käytetään FFT vain pituusasteen suuntaan. Toisin sanoen, vyöhykemenetelmä missä vyöhykkeet ovat vain yhden pisteen kapeita. Tämä menetelmä on eksakti, mikäli otetaan kaikki pituusasteet (0 360 ) mukaan laskennassa. Se vaatii edellisten menetelmien verrattuna hieman enemmän laskenta-aikaa. Itse asiassa se on

150 136 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT 1 25% 50% 25% Data-alue 0 Kuva 8.2 Tapering 25%. identtinen Fourier-muunnoksen kanssa muuttujassa, pituusaste. Yksityiskohdat löytyvät julkaisusta Haagmans et al. (1993). 8.4 Mutkat matkalla; bordering, tapering Diskreetti Fourier-muunnos olettaa, että data on periodisesti jatkuva. Käytännössä se ei sitä ole. Siksi aina jos käytetään FFT konvoluutiolauseen 8.2 kanssa, jatketaan data lisäämällä reunus data-alueeseen, ns. bordering. Usein reunus on 25% data-alueen koosta; silloin laskenta-alueen koko on neljä kertaa itse data-alueen kokoa. Reunus täytetään usein nollilla, vaikka predikoidut arvot tai jopa mitatut arvot, jos niitä on olemassa on parempi valinta. Myös ydinfunktion laskenta-alue tehdään vastaavasti neljä kertaa suuremmaksi; tässä tapauksessa, kun funktio on symmetrinen, reunus täytetään kuitenkin oikeilla (laskettavissa olevilla) arvoilla, jolloin se automaattisesti on periodisesti jatkuva. Koska diskreetti Fourier-muunnos olettaa periodisuutta, on huolehdittava siitä, että data todella on periodinen. Jos reunojen arvot eivät ole nolla, voidaan pakottaa ne nollaan kertomalla koko data-alue ns. tapering -funktiolla, joka menee sileästi nollaan reunoihin mennessä. Sellainen funktio voidaan helposti rakentaa, esim. kolmannen asteen spline-polynomi tai kosini. Ks. kuva 8.2, jossa 25%:n tapering-funktio, sekä esimerkkikuvat 8.3, joista näkyy, miten ei-periodisuus (erotuksia vasen ja oikean, ja ala- ja yläreunojen välillä) aiheuttaa vaaka- ja pystysuuntaiset artefaktit. Näistä teknisistä yksityiskohdista on julkaistu runsaasti lehtiartikkeleita. Ryhmät jotka ovat osallistuneet FFT-geoidilaskun alkukehitykseen (1980- ja 1990-luvulla) olivat Forsbergin johtama ryhmä Kööpenhaminassa, Schwarzin ja Sideriksen ryhmä Calgaryssä Kanadassa, Delftin ryhmä (Strang van Hees, Haagmans, De Min), milanolaiset (Sansò, Barzaghi, Brovelli), Hannoverin Institut für Erdmessung, ja monet muut. 8.5 Geoidimallin laskenta FFT:llä Nykysin geoidi- tai kvasi-geoidimallin laskeminen on lisääntyneen tietokonetehon ansiosta helppoa, erityisesti FFT:n avulla. Toisaalta geodeettisen GPS:n käytön leviäminen on tehnyt tarkkojen geoidimallejen saatavuudesta tärkeää asiaa, jotta voitaisiin käyttää GPS:ää nopeaan ja edulliseen korkeudenmääritykseen.

151 8.5. Geoidimallin laskenta FFT:llä 137 Kuva 8.3 Esimerkkikuvat FFT-muunnoksesta ilman tapering (ylhäällä) ja taperingin kans- fourierimagefiltering.html. sa (alhaalla). Käytetty on-line FFT GRAVSOFT-ohjelmisto GRAVSOFT -geoidilaskentaohjelmisto on pääosin tehty Tanskassa. Tekijöitä on ollut mm. Carl Christian Tscherning ( ), René Forsberg, Per Knudsen, ja kreikkalainen Dimit- Geodetic_Gravity_Field_Modelling_Programs. ris Arabelos. Tämä paketti on laajassa käytössä ja tarjoaa FFT-geoidilaskun eri varianttien lisäksi mm. pienimmän neliösumman kollokaatio, eri maastoefektien laskentaan soveltuvat rutiinit, ynnä muuta. Sen levinneisyyttä selittää osittain, että se on ilmainen tieteelliseen käyttöön ja tulee lähdekoodin muodossa. Se on myös hyvin dokumentoitu. Siksi on löytyneet myös kaupallisia käyttäjiä mm. öljyteollisuudelta. GRAVSOFT on käytetty paljon myös opetuksessa esim. monessa IAG:n (Kansainvälisen Geodeettisen Assosiaation) järjestämässä tutkijakoulussa eri maissa. polimi.it/schools/schools.html Suomen FIN2000 geoidi Tällä hetkellä on Suomessa käytössä kaksi geoidimallia: FIN2000 (kuva 8.4) ja FIN2005N00 (Bilker-Koivula and Ollikainen, 2009). Ensimmäinen malli on vertauspinta N60-korkeusjärjestelmälle: käyttämällä tätä GNSS-paikannuksen kanssa saadaan pisteiden N60-korkeus määritetyksi. Mallin antamat geoidin korkeudet ovat GRS80-vertausellipsoidin yläpuolella. Toinen

152 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT Oct 20 13:27:28 Kuva 8.4 Suomen FIN2000-geoidi. Aineiston lähde: Geodeettinen laitos. malli on vastaavasti vertauspinta uudelle N2000-korkeusjärjestelmälle. Sekin antaa korkeuksia GRS80-ellipsoidista. FIN2000:n ja FIN2005N00:n tarkkuudet (keskivirheet) liikkuvat 2 3 cm:n tasolla. 8.6 FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä Satelliitti-altimetria Per Knudsen ja Ole Balthasar Andersen ovat laskeneet maailman valtameren altimetrinen painovoimakarttaa lähtemällä satelliittialtimetriasta saaduista geoidikorkeuksista ja invertoimalla ne painovoima-anomalioiksi (Andersen et al., 2010). Menetelmän pioneeri on ollut David Sandwell.

153 8.7. Maastokorjausten laskenta FFT:llä 139 Luotiviiva Topograa h 0 h P Geoidi Kuva 8.5 Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä Satelliittipainovoimamissiot; ilmagravimetria Myös painovoimasatelliittien (kuten CHAMP, GRACE ja GOCE) antamat aineistot voidaan alueellisesti käsitellä FFT-menetelmän avulla: GOCEn tapauksessa gradiometristen mittausten inversiolasku, siis geoidikorkeuksien laskeminen Maan pinnalla satelliittitason mittauksista. Myös ilmagravimetriamittaukset käsitellään tällä tavoin. Tätä ongelmaa kutsutaan alaspäin jatkaminen (downward continuation) ja se on periaatteessa epästabiili. Ilmagravimetria on käypä menetelmä laajojen alueiden gravimetriseksi kartoittamiseksi; pioneeriaikana mitattiin Grönlannin painovoimakenttää ja monta aluetta Arktiksen ja Antarktiksen ympärillä. Myöhemmin mitattiin Brasilian Amazonaksen, Mongolian ja Etiopian (Bedada, 2010) kaltaisia alueita, missä ei ollut olemassa kattavaa terrestristä painovoima-aineistoa. Menetelmän etuna on se, että saadaan nopeasti mitatuksi laajoja alueita homogeenisesti. Myös ilmagravimetrian laskennassa FFT-menetelmä on käyttökelpoinen. 8.7 Maastokorjausten laskenta FFT:llä Maastokorjau s on hyvin paikallinen ilmiö, jonka laskentaan tarvitaan korkean resoluution maastotietoa suhteellisen pieneltä alueelta laskentapisteen ympäri. Näin ollen maastokorjauksen laskeminen on kuin luotu FFT-menetelmän käyttöön. Näytetään, miten FFT:n avulla maastokorjaus voidaan yksinkertaisesti ja tehokkaasti laskea. Tehdään seuraavat yksinkertaistavat oletukset: 1. maaston kaltevuudet ovat suhteellisen pieniä; 2. maankuoren tiheys on vakio; 3. Maa on litteä. Nämä oletukset eivät ole välttämättömiä. Kuitenkin yleinen tapaus johtaa kaavaviidakkoon auttamatta käsitteellistä ymmärrystä. Maastokorjaus, laskentapisteen korkeustason h ylä- ja alapuolella olevien tai puuttuvien topograasten massojen yhteisvaikutus, saadaan näillä olettamuksilla lasketuksi seuraavalla

154 140 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT suorakulmaisella kaavalla, joka kuvaa kalliopatsaiden vetovoimaa pystysuuntaan projisoituina (kuva 8.5): T C (x; y) = = ˆ +1 ˆ ˆ +1 ˆ +1 1 = 1 2 G ˆ +1 G (h 0 h) `2 cos dx 0 dy 0 G (h 0 h) 1 ˆ `2 1 2 (h 0 h) 2 h 0 h dx 0 dy 0 ` `3 dx 0 dy 0 : (8.7) Tässä G (h 0 h) ` 2 on patsaan vetovoima ja 1 2 (h0 h) ` 1 on voimavektorin ja vertikaalisuunnan välisen kulman kosini. Tämä on lineaarinen approksimaatio, jossa `, vinoetäisyys laskentapisteen (x; y) ja liikkuvan datapisteen (x 0 ; y 0 ) välillä, on samalla vaakaetäisyys: `2 = (x 0 x) 2 + (y 0 y) 2 : Kaava 8.7 on helppoa tarkistaa suoraan Newtonin vetovoimalaista. Kun on oletettuna, että maasto on suhteellisen loiva, on ` suuri ilmaisun h 0 h verrattuna. Ylläolevasta kaavasta saadaan kehittämällä termeihin: T C (x; y) = 1 2 Gh2 ˆ G ˆ +1 ˆ ˆ `3 dx0 dy 0 (h 0 ) 2 Gh ˆ +1 ˆ +1 h `3 dx0 dy 0 + `3 dx 0 dy 0 ; (8.8) jossa jokainen integraali on konvoluutio ytimenä ` 3, ja integroitavina funktioina 1, h 0 ja (h 0 ) 2. Valitettavasti funktiolla ` 3 ei ole Fourier-muunnos, siksi yllä oleva määritelmä muutetaan hieman lisäämällä pieni termi: `2 = (x 0 x) 2 + (y 0 y) : (8.9) Silloin ylläolevassa summassa termit ovat suuria lukuja jotka melkein kumoutuvat, antaen lähes oikean tuloksen. Kuitenkin numeerisesti tämä tilanne ei ole mielyttävä. Jos ` määritellään kaavan 8.9 mukaisesti, ytimen ` 3 Fourier-muunnos on (Harrison and Dickinson, 1989): # Ff` 3g = 2 exp ( 2q) = 2 "1 2q + 42 q 2 2 : : : ; 1 2 missä q p u 2 + v 2, ja u; v ovat aaltolukuja (taajuuksia) x- ja y- suunnissa (x; y) -tasossa. Jos tätä sijoitetaan kaavaan 8.8, huomataan että termit joissa on 1 summautuvat nollaksi, ja tietenkin myös termit missä on :n positiiviset potenssit häviävät kun! 0. Seuraavasti

155 8.7. Maastokorjausten laskenta FFT:llä 141 (Harrison and Dickinson, 1989): F ft Cg 1 2 Gh2 F f1g 2 (1 2q) g 2 GhF fh 0 (1 2q) GFn (h 0 ) 2o 2 (1 2q) jättämällä kaikki korkeamman :n potenssin termit pois. Laita termit toiseen järjestykseen: F ft Cg = Gh h 2 F f1g 2hF fh 0 g + F n (h 0 ) 2oi q 1 2 Gh2 F f1g + GhF fh 0 g 1 2 GFn (h 0 ) 2o : Koska F f1g = 0 jos q 6= 0, toisen termin sisäinen ensimmäinen termi häviää aina. Saadaan (muista, että h on vakio, laskentapisteen korkeus): F ft Cg = Gh F n h 2 2hh 0 + (h 0 ) 2oi qghf fh 0 g ja käänteinen Fourier-muunnos antaa: T C = 2G 1 GFn 2o (h 0 ) 2 1n h2 h 0 h (h0 o ) + + GhF F fh 0 g 4 2 q Ensimmäisessä termissa 1 2 GF 1n F n (h 0 ) 2o 4 2 q o : 1 2 h2 h 0 h (h0 ) 2 = 1 2 (h0 h) 2 = 0 pisteessä (x; y) jossa h 0 = h, ja saadaan: T C P = 4 2 GF 1q hf fh 0 g josta nyt murheenkryyni 1 on hävinnyt. 1 2 Fn (h 0 ) 2o ; Tämän regularisoinnin tai renormalisoinnin edellytyksenä on, että pisteen (x; y) kohdalla h 0 = h, eli evaluointi tapahtuu Maan pinnalla. Yllä olevat konvoluutiot evaluoidaan FFTtekniikalla; seikkaperäisempi selitys löytyy esim. artikkelista Vermeer (1992). Maasto-efektin T C laskemiseksi ulkoavaruudessa lentokonegravimetria, mutta myös merenpohjan vaikutus merenpinnalla, tai vaikkapa Mohorovi i in rajapinnan vaikutus Maan pinnalla löytyy tekniikat, jotka hiemän toisella tavalla ilmaistavat T C konvoluutioiden

156 142 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT summana (Taylor-sarjakehitelmänä). Varhainen artikkeli tästä aiheesta on Parker (1972).

157 Luku 9 Tilastolliset menetelmät 9.1 Epävarmuuden rooli geofysiikassa Geofysiikassa usein toimitaan, tai lasketaan tuloksia, epävarman tai puutteellisen havaintoaineiston perusteella. Maan painovoimakentän tutkimuksessakin tämä pitää paikkansa: esimerkiksi painovoimahavaintojen tiheys Maan pinnalla vaihtelee suuresti ja suuret alueet valtamerillä ja napa-alueilla ovat vain hyvin harvaan mittausverkon peittämiä. Avaruudesta käsin toimivat mittausteknologiat toisaalta peittävät koko maapalloa valtamerineen kaikkineen. Kuitenkaan ne taas eivät mittaa kovin suurella resoluutiolla. Joko instrumentin erotuskyky on rajallinen (esim. satelliittiratahäiriöistä lasketut painovoimakenttäparametrit), tai instrumentit mittaavat vain suoraan satelliittiradan alla (esim. satelliittialtimetria). Toinen usein relevantti epävarmuustekijä on, että Maan pinnalla voidaan tehdä tarkkoja havaintoja, mutta Maan sisällä epävarmuus on paljon suurempaa ja tiedot paljon epäsuoraammin saatuja. Edellisissa luvuissa kuvailtiin tekniikat joiden avulla voitaisiin laskea Maan painovoimakentän halutut arvot tai parametrit, olettaen että esimerkiksi painovoima-anomaliat olisivat saatavissa kaikkialta Maan pinnalta ja rajattoman tarkalla resoluutiolla. Tässä luvussa katsotaan minkälaisia matemaattisia apuvälineitä voidaan käyttää reaalimaailman tilanteessa, jossa näin ei ole. 9.2 Lineaariset funktionaalit Operaattoria, joka liittää jokaiseen, tiettyyn funktioavaruuteen kuuluvaan funktioon tiettyä numeerista arvoa, kutsutaan matematiikassa funktionaaliksi. Sellainen on esimerkiksi (osittais-)derivaatta tietyssä pisteessa: f (x) x=x 0 : Toiset funktionaalit ovat esim. integraali tietyn alueen yli: ˆ f 7! f (x) dx;

158 144 Luku 9. Tilastolliset menetelmät ja niin edelleen. Voimme kirjoittaa symbolisesti: L eli L (f) 0 Funktionaali tai operaattori on lineaarinen jos L (f + g) = L (f) + L (g) : Huomaa että kaikki osittaisderivaatat kuten myös Laplacen operaattori ovat lineaarisia. Fysikaalisessa geodesiassa mielenkiintoiset funktionaalit ovat kaikki funktion T (; ; R) = T (; ; r)j r=r, siis Maan pinnan häiriöpotentiaalifunktion, funktionaaleja. Teoriassa käytetään siis pallo-approksimaatio 1, ja pallon pinta, säde R, vastaa keskimerenpintaan. Esim. pisteen P häiriöpotentiaali T P (; ; R) merenpinnan tasolla on sellainen funktionaali: T ( ; ; R) 7! T (; ; R) : Jopa jos piste P ei olisi merenpinnan tasolla: T ( ; ; R) 7! T (; ; r) : Jopa jos suure ei olisi häiriöpotentiaali vain vaikkapa painovoima-anomalia, tai luotiviivapoikkeama: T ( ; ; R) 7! g (; ; r) ; T ( ; ; R) 7! (; ; r) ; T ( ; ; R) 7! (; ; r) : Käikki nämä ovat myös lineaarisia funktionaaleja. Itse asiassa myös jopa pallofuntiokehitelmän kertoimet a nm ; b nm (yhtälö 4.3) ovat kaikki sellaisia: T ( ; ; R) 7! a nm ; T ( ; ; R) 7! b nm : Tässä T ( ; ; R) on lyhenne koko funktiolle T (; ; R) ; 2 [ =2; + =2] ; 2 [0; 2); käytämme myös notaatiota T R. 9.3 Tilastotiede Maan pinnalla Tilastotieteessä määritellään stokastinen prosessi stokastiseksi suureeksi (satunnaissuureeksi) jonka arvoavaruus eli domeeni on funktioavaruus, eli jonka realisaatioarvot ovat funktioita. Stokastinen prosessi voi olla ajassa kehittyvä suure jonka tarkka käyttäytyminen on epävarma, esim. satelliitin rata. Samalla tavalla kun (reaaliarvoiselle) stokastiselle suurelle x voidaan 1 Tämä ei ole välttämätöntä, mutta approksimaation aiheuttama virhe on pieni.

159 9.3. Tilastotiede Maan pinnalla 145 laskea odotusarvo E fxg ja varianssi C xx = V ar fxg = E n [x E fxg] 2o ; voidaan näin tehdä stokastiselle prosessillekin. Ainoana erona on, että näin saadaan funktio. Olkoon esimerkiksi stokastinen prosessi x (t) ajan funktio. Silloin voidaan laskea sen varianssifunktio seuraavasti: C xx (t) = V ar fx (t)g : Stokastiselle prosessille voi kuitenkin laskea paljon enempää: esim. saman prosessin arvojen kovarianssi eri ajanhetkien välillä, ns. autokovarianssi: A xx (t 1 ; t 2 ) = Cov f[x (t 1 ) E fx (t 1 )g] [x (t 2 ) E fx (t 2 )g]g : Samoin, jos on käytettävissä kaksi eri prosessia, voidaan näiden välille laskea ns. ristikovarianssi, jne. Stokastisen prosessin argumentti on tavallisesti aika, t. Kuitenkin geofysiikassa tutkitaan stokastiset prosessit, joiden argumentit ovat paikka maan pinnalla, eli puhutaan prosesseista muotoa x (; ) : Auto- ja ristikovarianssien määrittäminen tapahtuu muuten samalla tavalla, mutta maapallon tapauksessa meillä on erikoinen ongelma. Stokastinen suure määritetään yleisesti suureena x, josta saadaan realisaatioita x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : : joilla on tietyt tilastolliset ominaisuudet. Klassinen esimerkki on nopan heitto. Noppaa voi heittää yhä uudelleen ja uudelleen, ja heittojen tuloksilla voi harrastaa tilastotiedettä. Toinen klassinen esimerkki on mittausprosessi. Saman suureen mittaus voidaan toistaa, ja toistetaankin, tarkkuuden parantamiseksi. Maan pinnalla määritellylle stokastiselle prosessille tilanne on toinen. Meillä on vain yksi maapallo. Siksi tilastotiedettä pitää harrastaa hieman eri tavalla. Annettuna stokastinen prosessi Maan pinnalla, x (; ) ; määritellään tilastollisen odustusarvon E f g vastineeksi maantieteellinen keskiarvo M fxg = 1 x (; ) d = ˆ 2 0 ˆ +=2 =2 x (; ) cos dd: (9.1) Tässä x (; ) on prosessin x yksi ja ainoa realisaatio, joka meillä on olemassa tällä maapallolla. Ilmeisesti tämä määritelmä on järkevä vain siinä tapauksessa, että prosessin x (; ) tilastollinen käyttäytyminen on samanlainen kaikkialla Maan pinnalla, siis riippumaton (; ):n arvosta. Tätä kutsutaan homogeenisuus-olettamukseksi. Se on itse asiassa olettamus, että maapallon pallosymmetria ulottuu painovoimakenttänsä tilastotieteelliseen käyttäytymiseen. Samoin kuin odotusarvo, voimme määritellä (maantieteellinen) varianssi: C xx (; ) = V ar fx (; )g = M n [x M fxg] 2o : (9.2)

160 146 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Painovoima-anomalioiden g (; ) globaalinen keskiarvo häviää niiden määritelmänsä perusteella, eli M n g o = 0: Silloin kaava 9.2 yksinkertaistuu seuraavaksi: C g g (; ) = V ar n g (; ) o = M n g 2o = 1 4 [ g (; )] 2 d: Tässä annettu maantieteellisen keskiarvon M [ ] määritelmä perustuu systeemin mahdollisten tilojen yli integrointiin. Kuten nähtiin, määritellään tilastotieteessä keskiarvo hieman toisella tavalla, stokastisen prosessin odotusarvona. Painovoima-anomaloiden tapauksessa E n g o, missä g on anomalia stokastisena prosessina, eli se g:n arvojen sarja joka syntyy jos tarkastellaan satunnaisesti syntynyt, äärettömän pitkä maapallojen sarja. Ei kovin käytännöllistä! Siinä tapauksessa että stokastisen prosessin odotusarvo on sama kuin integrointimenetelmällä laskettu keskiarvo, puhutaan ergodisesta prosessista. Ergodisuuden todistaminen empiirisesti on geofysiikassa tavallisesti hankalaa tai mahdotonta. 9.4 Painovoimakentän kovarianssifunktio Kovarianssifunktion määrittäminen pisteiden P ja Q välillä on monimutkaisempaa. Jotain kaavojen 9.1, 9.2 tapaista ei voida suoraan käyttää, koska sekä g p että g Q voivat liikkua koko Maan pinnan yli. Meillä on siis g P = g ( P ; P ) ; g Q = g ( Q ; Q ) : Seuraavassa oletetaan, että laskettava kovarianssi riippuu vain pisteiden P ja Q relatiivisesta sijainnista. Homogeenisessa painovoimakentässä kovarianssifunktio ei riipu pisteiden absoluuttisesta sijainnista, mutta vain pisteiden P ja Q välisestä sijaintierosta. Kirjoitetaan Q = Q ( P ; P ; P Q ; P Q ) ; Q = Q ( P ; P ; P Q ; P Q ) : ( Q ; Q ) ovat laskettavissa 2, jos tunnetaan ( P ; P ) sekä kulmaetäisyys P Q ja atsimutikulma P Q. Ks. kuva Puhutaan geodeettisesta päätehtävästä pallolla.

161 9.4. Painovoimakentän kovarianssifunktio 147 P Q O Kuva 9.1 Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä. Nyt voidaan kirjoittaa g Q = g Q ( Q ( P ; P ; P Q ; P Q ) ; Q ( P ; P ; P Q ; P Q )) = = g Q ( P ; P ; P Q ; P Q ) ; ja voidaan määritellä kovarianssifunktioksi: C g g ( P Q ; P Q ) = M f g P ( P ; P ) g Q ( P ; P ; P Q ; P Q )g = = 1 g P ( P ; P ) g Q ( P ; P ; P Q ; P Q ) d P : 4 Myös tässä, M on maantieteellinen keskiarvo-operaattori. Ensin kiinnitetään piste Q suhteessa pisteeseen P : sekä atsimuti P Q että etäisyys P Q pidetään kiinni. Pistettä P ja piste Q sen mukaan liikutetaan nyt koko yksikköpallon pinnan yli. Laskemme integraali koko yksikköpallon yli ja jaetaan 4:llä: n )o 1 C g g ( P Q ; P Q ) = M g P g Q(P = g P g Q(P ) d P = 4 = 1 ˆ +=2 ˆ 2 g P g Q(P ) d P cos P d P : 4 =2 0 Homogeenisuusolettamuksen lisäksi voimme tehdä vielä isotrooppisuusolettamus: kovarianssifunktio tai yleisemmin, painovoimakentän tilastollinen käyttäytyminen ei riipu pisteparin (P; Q) relatiivisestä suunnasta P Q, vain niiden välisestä kulmaetäisyydestä P Q. (Tämäkin on, kuten homogeenisuus, maapallon pallosymmetrian eräs ilmenemismuoto.) Tässä tapauksessa voimme laskea maantieteellinen keskiarvo hieman eri tavalla, myös keskiarvostamalla kaikkien atsimutikulmien 0n )o P Q 2 [0; 2) yli: C g g ( P Q ) = M gp g Q(P dp Q = ˆ 2 ˆ ˆ +=2 =2 n ˆ )o 1 2 = M g P g Q(P 2 0 g P g Q(P ) cos P d P d P d P Q : (9.3)

162 148 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Huomautus. Maan todellinen painovoimakenttä ei ole kovin homogeeninen eikä kovin isotrooppinenkaan, mutta siitä huolimatta molemmat hypoteesit käytetään laajasti. 9.5 Pienimmän neliösumman kollokaatio Stokastiset prosessit yhdessä ulottuvuudessa Kollokaatio on tilastollinen estimaatiotekniikka, jota käytetään stokastisen prosessin arvojen estimoimiseksi ja estimaattien epävarmuuden (vaikkapa keskivirheiden) laskemiseksi. Olkoon s (t) stokastinen prosessi, jonka autokovarianssifunktio on C (t 1 ; t 2 ). Olkoon lisäksi prosessi stationaarinen, ts. C (t 1 ; t 2 ) = C (t 2 t 1 ). Argumentti t on yleensä aika, mutta se voi olla mitä tahansa parametri, esim. matkan etäisyys. Tästa prosessista on tehty havaintoja ajan hetkissä t 1 ; t 2 ; : : : ; t n ; saadut havaintoarvot ovat s (t 1 ) ; s (t 2 ) ; : : : ; s (t n ). Silloin näiden funktioarvojen, eli stokastisten suureiden, varianssikovarianssimatriisi voidaan kirjoittaa seuraavasti (signaalivarianssimatriisi ): Var fs i g = 2 64 C (t 1 ; t 1 ) C (t 2 ; t 1 ) C (t 1 ; t n ) C (t 1 ; t 2 ) C (t 2 ; t 2 ) C (t 1 ; t n ) C (t 2 ; t n ) C (t n ; t n ) Käytetään tähän symboli C ij, sekä matriisin yhdelle elementille C ij = C (t i ; t j ), että koko matriisille, C ij = [C (t i ; t j ) ; i; j = 1; : : : ; n]. Symboli s i taas merkitsee havainnoista s (t i ) ; i = 1; : : : ; n koostuva vektori tai sen yksi alkio s (t i ). Huomaa, että, jos funktio C (t 2 t 1 ) on tiedossa, koko matriisi ja kaikki sen elementit voidaan laskea kun vain kaikki parametriarvot t i ovat tiedossa. Olkoon nyt ongelman asettelu se, että pitää estimoida prosessin s arvo hetkellä T, eli s (T ), käyttäen yllä kuvatut havainnot s (t i ) ; i = 1; : : : ; n. Samalla tavalla kun yllä laskettiin s (t i ):n ja s (t j ):n väliset kovarianssit (varianssimatriisin C ij alkiot), lasketaan myös s (T ):n ja kaikkien s (t i ) ; i = 1; : : : ; n väliset kovarianssit. Saadaan Cov fs (T ) ; s (t i )g = 2 64 C (T; t 1 ) C (T; t 2 ). C (T; t n ) 3 75 : Tähän voidaan taas käyttää merkintä C T j. Tässä on oletettu, että on vain yksi aikahetki T johon estimointi kohdistuu. Yleistys tilanteeseen, jossa on useita T j ; j = 1; : : : ; m, on suoranainen. Silloin kovarianssimatriisista tulee n m -kokoinen :

163 9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio Signaali ja kohina Prosessia s (t) kutsutaan signaaliksi. Se on fysikaalinen ilmiö johon olemme kiinnostuneet. On myös olemassa fysikaalisia ilmiöitä jotka ovat muuten samanlaisia, mutta mihin me emme ole kiinnostuneita: päinvastoin haluamme poistaa niiden vaikutus. Sellaisia stokastisia prosesseja kutsumme kohinaksi. Kun suoritetaan havainto, jonka tarkoitus on saada arvo suureelle s (t i ), saamme todellisuudessa arvo, joka ei ole absoluuttisen tarkka. Todellinen havainto siis on `i = s (t i ) + n i : (9.4) Tässä n i on stokastinen suure: havaintovirhe eli kohina. Olkoon sen varianssi D ij ; aivan samanlainen matriisi kuin yllä C ij. Ainoa ero on, että D kuvaa kohinaa, ilmiötä, josta emme ole kiinnostuneita. Usein saa olettaa, että kahden eri havainnon `i; `j virheet n i ; n j eivät korreloidu, jolloin D ij on diagonaalimatriisi Estimaattori ja sen virhevarianssi Nyt konstruoidaan X estimaattori bs (T ) T j`j; j käytettävissä olevien havaintojen `i lineaariyhdistelmä. Tämän estimaattorin elämän tarkoituksena on päästä mahdollisimman lähelle j s (T ). Siis j minimoitava suure on erotus bs (T ) s (T ) = T j`j s (T ) = T s (tj ) + n s (T ) : Tässä jätettiin kirjoitusmukavuuden vuoksi summausmerkki P pois (Einsteinin summauskonventio). Tutkitaan tämän erotuksen varianssi eli T T V ar fbs (T ) s (T )g : Käytämme hyväksi varianssien kasautumislakea, yllä annettuja notaatioita sekä tietoamme, että tuskinpa havaintoprosessin n i ja signaalin s välillä ole olemassa mitään fysikaalista yhteyttä eli korrelaatiota. Näin: T T = T j (C jk + D jk ) T kt + C T T T j C T jt C T i T it : (9.5) Optimaalisuuden osoitus Tässä osoitetaan, että optimaalinen estimaattori on todella se, joka tuottaa pienimmät mahdolliset varianssit.

164 150 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Valitse T j C T i (C ij + D ij ) 1 : Silloin kaavasta 9.5: T T = C T i (C ij + D ij ) 1 C T jt + C T T C T i (C ij + D ij ) 1 C T jt C T i (C ij + D ij ) 1 C T jt = = C T T C T i (C ij + D ij ) 1 C T jt : (9.6) Tutkitaan seuraavaksi vaihtoehtoinen valinta T j = C T i (C ij + D ij ) 1 + T j : Tässä tapauksessa saadaan 0 T T = C T T C T i (C ij + D ij ) 1 C T jt + + ij C T jt + C T i T it T j C T jt C T i T it + + T j (C ij + D ij ) T jt = = C T T C T i (C ij + D ij ) 1 C T jt + T j (C ij + D ij ) T jt : Tässä viimeinen termi on positiivinen, koska matriisit C ij ja D ij ovat positiivis-deniittejä: 0 T T > T T ; paitsi jos T i = 0: Toisin sanoen, yllä annettu ratkaisu T j = C T i (C ij + D ij ) 1 ) bs (T ) = C T i (C ij + D ij ) 1 `j on optimaalinen pienimmän neliösumman (tarkemmin, virhevarianssin T T minimoimisen) merkityksessä Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio Pienimmän neliösumman kollokaatiota käytetään paljon maan pinnalla painovoima-arvojen ja painovoimakentän muiden funktionaaliarvojen optimaaliseksi estimoimiseksi. Jos pisteen P i, sijainnilla ( i ; i ), painovoima-anomalia kirjoitetaan g i ; on kahden painovoima-anomalioiden välinen kovarianssi Cov n g i ; g jo = M n gi g jo = Cij : Tavallisesti C ij oletetaan riippuvan vain pisteiden P i ; P j välisestä etäisyydestä ; silloin puhutaan isotrooppisesta prosessista g (; ). Usein käytetty kovarianssifunktio painovoima-anomalijoille on Hirvosen 3 kaava: C ( ) = C ( = 0) 2 ; (9.7) 3 Reino Antero Hirvonen ( ) oli suomalainen geodeetti ja Maan painovoimakentän tutkija.

165 9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 151 C ( ) x y Kuva 9.2 Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa. Oletettuna C 0 = d = 1. jossa C 0 = C (0) ja 0 ovat painovoimakentän käyttäytymistä kuvaavia parametreja. Suuretta C 0 kutsutaan signaalivarianssiksi, 0 korrelaatiopituudeksi. 0 kuvaa etäisyyttä, jolla eri pisteiden painovoima-anomalioiden välillä on vielä 50% korrelaatiota. Paikallisissa sovelluksissa käytetään kulmaetäisyyden sijasta metristä etäisyyttä s = R; jossa R a on maapallon keskisäde. Silloin C (s) = C ( s =d) 2 : Tämä kaava johdattiin Yhdysvaltain Ohion osavaltion painovoima-aineistosta, mutta se pätee laajemminkin. C (0) = C 0 ; signaalivarianssi, kun s = 0; myös suuretta d kutsutaan korrelaatiopituudeksi. Se on etäisyys d jolla C (d) = 1 2 C 0, kuten kaavasta näkyy. Suure C 0 vaihtelee huomattavasti alueesta toiseen, sadoista tuhansiin mgal 2 ; ja on suurimmillaan vuoristo-alueilla. Suure d on yleensä suuruusluokkaa muutama kymmenen km. Varoitus: Hirvosen kovarianssikaava on tarkoitettu (ilma-)painovoima-anomalioille, siis suureille jotka saadaan vähentämällä mitatusta painovoimasta normaalipainovoima. Nykyisin lasketaan usein anomalioita vähentämällä havainnoista korkean asteen normaalikenttä eli pallofunktiokehitelmä. Silloin käytät Hirvosen kaavaa vain omalla riskillä! Vaihtoehtoiset funktiot, joita myös usein käytetään paikallisissa sovelluksissa, ovat ensimmäisen tai toisen järjestysluvun Gauss-Markov prosessien kovarianssifunktiot: C ( ) = C 0 e = 0 tai C ( ) = C0 e ( = 0) 2 :

166 152 Luku 9. Tilastolliset menetelmät g y x Kuva 9.3 Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta. Tässä on annettuna kaksi datapistettä (tähtiä); piirretty pinta antaa estimoitua arvoa d g P alueen jokaiselle pisteelle. Tässä siis käytetään siis PNS-kollokaatio painovoimadatan inter- ja ekstrapolointiin PNS-kollokaatio painovoima-anomalioille Jos on annettuna n pistettä P i ; i = 1; : : : ; n, joissa on mitattuna painovoima-arvot (anomaliat) g i, voidaan, kuten yllä, konstruoida varianssimatriisi V ar n g io = 264 jossa kaikki alkiot C ( ij ) 9.7 avulla. C 0 C ( 21 ) C ( n1 ) C ( 12 ) C 0 C ( n2 ) C ( 1n ) C ( 2n ) C = C 0 C 21 C n1 C 12 C 0 C n C 1n C 2n C 0 Jos vielä lasketaan myös painovoimaltaan tuntemattomalle pisteelle P : Cov n g P ; g io = 264 C ( P 1 ) C ( P 2 ). C ( P n ) 3 75 C P i; 3 75 C ij; saadaan, täysin samalla tavalla kuin ennen, pienimmän neliösumman kollokaation ratkaisuksi: d g P = C P i (C ij + D ij ) 1 g j ; jossa g j on pisteissä j = 1; : : : ; n suoritetut painovoima-anomaliahavainnot. Matriisi D ij kuvaa taas näiden havaintojen tekemisen yhteydessä esiintyvä satunnainen havaintovirhe (epätarkkuus). Useimmiten D ij on diagonaalimatriisi eli havainnot eivät korreloidu keskenään. Voimme laskea myös yo. ratkaisun tarkkuusarvio eli virhevarianssi P Q = C P Q C P i (C ij + D ij ) 1 C jq :

167 9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 153 Yhden pisteen P tapauksessa Q = P ja V ar n d gpo = P P. Sen neliöjuuri gp =q P P on estimaattorin d gp keskivirhe Laskuesimerkki 30 y 1 (15 mgal) 20 2 (20 mgal) 10 P x Annettuna kaksi pistettä, joissa painovoima on mitattu: g 1 = 15 mgal; g 2 = 20 mgal: Koordinaatit x- ja y- suunnassa ovat kilometreissa. Oletetaan, että eri pisteiden painovoimaanomalioiden välillä on voimassa Hirvosen kovarianssikaava: C (s) = C s2 =d 2 ; (9.8) jossa d = 20 km ja C 0 = 1000 mgal 2 : Tämän lisäksi oletetaan, että suoritetut painovoimamittaukset (mukaanlukien painovoimapisteiden korkeuden määritys!) olivat virheettömiä. Siis D ij = 0; i; j = 1; 2. Laskutehtävä: laske pisteen P painovoima-anomalia d gp ja sen keskivirhe P P = p P P. Seuraavasti: lasketaan ensin etäisyydet s ja vastaavat kovarianssit C. s 2 12 = (30 20) 2 + (20 30) 2 km 2 = 200 km 2 C 12 = C 21 = s 2 1P = (30 10) 2 + (20 10) 2 km 2 = 500 km 2 C 1P = 2 s 2 2P = (20 10) 2 + (30 10) km 2 = 500 km 2 C 2P = # # Tästa seuraa C ij + D ij = C ij = " C11 C 12 C 21 C 22 ja sen käänteismatriisi " (C ij + D ij ) 1 0;0018 0;0012 = 0;0012 0;0018 = " ;66 666; # mgal 2 ; 1000 mgal = mgal = mgal =400 mgal 2 ; = 666;66 : : : mgal2 = 444;44 : : : mgal2 = 444;44 : : : mgal2

168 154 Luku 9. Tilastolliset menetelmät myös meillä on C P j = h C P 1 C P 2 i Kun havaintojen " vektori # " on g1 15 g k = = g 2 20 saadaan tuloksena Tarkkuus: eli = h 444;44 444;44 i mgal 2 : # mgal; d g P = h 444;44 444;44 i " 0;0018 0;0012 0;0012 0;0018 #" P P = C P P h C P j (C jk + D jk i" ) 1 C kp = 0;0018 0;0012 = C 0 444;44 444;44 0;0012 0;0018 = 762;96 mgal 2 # mgal = 9;3333 mgal: #" 444;44 444;44 # = gp = 27;622 mgal: PNS-kollokaation teoria Yllä esitettiin erästä pienimmän neliösumman kollokaation (least-squares collocation, LSC) suosittua sovellusta. Tässä tutkitaan menetelmää yleisemmältä kannalta. Peruskaava on: hb f i = [Cfg ] [C gg + D gg ] 1h g i ; (9.9) kirjoitettuna X auki indeksien ja summausten kanssa: bf i = j M n f i g jox k M n gj g k o n ko 1 + E gj g jk g k Tässä g on havaintosuureiden vektori (stokastinen suure) ja b f on predikoitavana olevien suureiden vektori. Hattu on tavallisesti käytetty estimaattorin merkki. Molemmat vektorit (g ja b f) voivat olla esimerkiksi painovoima-anomalioita, jolloin on kyseessä homogeeninen prediktio, eräänlainen interpolaatio/ekstrapolaatio. Yleisemmin b f ja g ovat erityyppisiä, esim. b f koostuu geoidikorkeuksista N, ja g painovoima-anomalioista g. Jälkimmäisessä tapauksessa Stokesin kaava on piilevänä mukana C-matriisien rakenteissa.

169 9.6. Painovoima-anomalioiden prediktio 155 Matriisit rakennetaan kovarianssifunktioista ja voidaan laskea yo. kaavojen avulla: n jo h n Covn jo [C fg ] ij = M n f i g ko = h M n f i g = f joiij Covn i ; g ko ; [C gg ] jk = M n g j g ko = h M n gj g = g koijk Covn j ; g ko ; [D gg ] jk = E g j ; g = E gj ; g = n j ; n ; koijk jossa n i edustaa havaintoyhtälössä 9.4 esiintyvää havaintoprosessin epävarmuutta: `i = g i + n i : D-matriisi on havaintovirheiden kovarianssimatriisi, joka kuvaa siis havaintoprosessin eikä painovoimakentän ominaisuus. Kun M n g i g jo :n arvot voivat olla luokkaa 1200 mgal 2 ; voivat puolestaan painovoimahavaintojen E n n i n jo :n arvot olla paljon pienempiä, mittaustekniikasta riippuen, esim. niinkin pieniä kuin 0:01 mgal 2. Ei kuitenkaan blokkikeskiarvojen tapauksessa, jotka ovat usein hyvin epätarkkoja. PNS-kollokaatiomenetelmän suuri etu on sen joustavuus. Eri havaintotyypit voidaan käsitellä yhden yhtenäisen teorian ja menetelmän avulla, havaintopisteiden (tai blokkien) paikat ovat täysin vapaita, ja tulos saadaan suoraan vapaasti valittaviksi suureiksi ja paikkoihin mihin niitä halutaan. 9.6 Painovoima-anomalioiden prediktio Jos laskettavana eli estimoitavana oleva suure b f on samantyyppinen kuin havaintoina annettu suure g, puhutaan usein prediktiosta. Esimerkiksi osassa jo esitetty painovoimaanomalioiden prediktiokaava saadaan kaavasta 9.9 sijoittamalla: d g P = C P i (C ij + D ij ) 1 g j : Tässä on useita pisteitä i joissa painovoima on annettuna: vaikkapa n havaintoa g j ; j = 1; : : : ; n. Predikoitavia pisteitä voi olla yksi, P, tai myös useita. Matriisit C ij ja D ij ovat neliön muotoisia ja niiden summan käänteismatriisi on olemassa. C P i on suorakulmainen matriisi; jos on vain yksi piste P, se on n 1 kokoinen d sarakematriisi. Prediktion virhe on nyt erotussuure gp g P ; ja sen varianssi (ennustusvarianssi) on P P V ar n d gp g Po = V ar nd gpo + V ar n gpo 2Cov n d gp ; g Po : Tässä (varianssien kasautumislaki): V ar n d gpo = CP i (C ij + D ij ) 1 C jk (C k` + D k`) 1 C`P = = C P i (C ij + D ij ) 1 C jp C P i (C ij + D ij ) 1 D jk (C k` + D k`) 1 C`P ;

170 156 Luku 9. Tilastolliset menetelmät ja Cov n d gp ; g Po = CP i (C ij + D ij ) 1 C jp : Lopputulos (muista, että V ar n g Po = CP P ): P P = C P P + C P i (C ij + D ij ) 1 h C jk (C k` + D k`) 1 2I j`i C`P : Siinä tapauksessa, että D ij C ij, saadaan yksinkertaisempi, usein käytetty tulos: 2 P P = C P P C P i C 1 ij C jp : Rajatapauksia: 1. Piste P on kaukana kaikista pisteistä i. Silloin C P i 0 ja P P C P P ; eli prediktio on käytännössä mahdotonta. Prediktion virhe on sama kuin signaalin (painovoimaanomalian) suuruus prediktiopisteessä. 2. Piste P on identtinen erään pisteen i kanssa. Silloin, jos käytetään vain tuo piste i, saadaan P P = C P P C P P C 1 P P C P P = 0; eli ei prediktiovirhettä lainkaan (prediktiopisteen arvo kun oli jo tiedossa!). (Kuitenkin jos D P P 6= 0 (mutta pieni), on tulos P P = D P P. Todista.) 9.7 Kovarianssifunktio ja astevarianssit Häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio Teoreettisessa työssä käytetään painovoima-anomalioiden sijasta mieluummin häiriöpotentiaalin T kovarianssifunktio Maan pinnalla: K (P; Q) = M n T P T Qo : Kirjoitetaan tämä seuraavaan muotoon käyttäen M 0 [ ]:n määritelmää, kaava 9.3: K ( P Q ) = M 0n T P T Qo = ˆ 2 0 ˆ +=2 =2 ˆ 2 0 T P T Q(P ) d P cos P d P d P Q : (9.10) Tässä on oletettu, että potentiaali on isotrooppinen: K ei riipu :sta vaan ainoastaan :stä. Valitaan yksikköpallon pinnalla koordinaattijärjestelmä, jossa piste P on napa. Tässä järjestelmässä parametrit P Q ja P Q ovat pisteen Q pallokoordinaatit. Kovarianssifunktio kehitetään seuraavaksi summaksi: K ( ) = 1X nx n=2 m=0 (k nm R nm (; ) + h nm S nm (; )) :

171 9.7. Kovarianssifunktio ja astevarianssit 157 Isotrooppisuuden perusteella kaikki kertoimet häviävät 4 joissa m 6= 0: K ( ) = 1X n=2 k n0 R n0 ( ) = 1X n=2 k n P n (cos ) : Kertoimia k n kutsutaan (häiriöpotentiaalin) astevariansseiksi. Isotrooppiselle kovarianssifunktiolle K ( ) astevarianssien k n ; n = 2; 3; : : : informaatiosisältö on sama kuin itse funktiossa, se on itse asiassa sen spektraaliesitys Astevarianssit ja pallofunktiokertoimet Voimme yksinkertaisella tavalla erikoistaa kaava B.7: a n = 2n + 1 f ( ) P n (cos ) d = 2n jos funktion f kehitelmä on f ( ) = 1X n=2 a n P n (cos ) : Vertaus edelliseen antaa k n = 2n ˆ 0 K ( ) P n (cos ) sin d ; ˆ eli kun K ( ) on annettuna, voimme laskea kaikki k n. Sijoittamalla K ( P Q ) kaavasta 9.10 antaa k n = 2n ˆ +=2 =2 ˆ 2 0 T P(ˆ 0 ˆ f ( ) P n (cos ) sin d T Q(P ) d P Q P n (cos P Q ) sin P Q d P Q ) d P cos P d P : Tässä olemme jo vaihtaneet integraalien järjestystä, kuten on sallittu, ja siirretty T P toiseen paikkaan. Kaarisuluissa oleva ilmaisu on yksikköpallon pinta-integraali ˆ ˆ 2 T Q(P ) P n (cos P Q ) d P Q sin P Q d P Q = T P n (cos P Q ) d n + 1 T n (P ) ; T :n osuus pallofunktioiden asteluvulle n, vert. asteosuusyhtälö Sijoittamalla saadaan k n = 1 ˆ +=2ˆ 2 ; 4 =2 0 h ni T T n cos dd = 1 T T n d = M [T T n ] = 1 T nd = M T 2 M-operaattorin määritelmän mukaan, ja ottaen huomioon funktioiden T n ortogonaalisuutta. 4 koska R nm (; ) = P nm (cos ) cos m, ilmaisu joka voi olla vain riippumaton :sta jos m = 0; ja samoin ilmaisulle S nm (; ) = P nm (cos ) sin m.

172 158 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Jos nyt kirjoitetaan saadaan T (; ) = K( ) = 1X n=2 1X n=2 T n (; ) = k n P n (cos ) = 1X n=2 1X n=2 nx m=0 anm R nm (; ) + b nm S nm (; ) ; 1 T 4 nd 2 P n (cos ) = 1X n=2 1X m=0 a 2 nm + b 2 nm Pn (cos ) : Tässä on käytetty hyväksi perusfunktioiden R; S ortonormaalisuutta. Kaavasta näkyy, että eli k n = nx m=0 a 2 nm + b 2 nm; (9.11) Potentiaalin astevarianssit k n voidaan laskea suoraan pallofunktiokehitelmän kertoimista. Kirjallisuudesta löytyy myös monet vaihtoehtoiset notaatiot astevariansseille, esim.: k n 2 n T T i : 9.8 Kovarianssien kasautumislaki Yllä johdattu häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio K voidaan käyttää myös muiden suureiden kovarianssifunktioiden johtamiseksi. Tämä toimii periaatteessa suureille, jotka ovat Maan pinnan häiriöpotentiaalin T ( ; ; R) funktionaaleja, kuten esitettiin alaluvussa Ensimmäinen esimerkki: Potentiaalin jatkaminen ylöspäin Kirjoitetaan häiriöpotentiaali avaruudessa T (; ; r) pintahäiriöpotentiaalin T (; ; R) = T ( ; ; R) = T R funktionaaliksi. Tiedämme, että T (; ; r) = n=2 1X R n+1 T n (; ) : r Tätä voimme ilmaistaa symbolisesti: T (; ; r) = L ft R g ; Tässä L on lineaarinen operaattori (funktionaali) L ffg = n=2 1X R n+1 f n ; r

173 9.8. Kovarianssien kasautumislaki 159 missä f n ovat asteosuusyhtälön 2.18 mukaisesti määritelty, niin että pallon pinnalla f = 1X n=2 f n : Symbolisesti voimme kirjoittaa jossa L ffg = 1X n=2 = R L rn+1 n L n f n ; on L-operaattorin spektraaliesitys. Voimme vielä kirjoittaa 1X tietyllä pisteellä P ( P ; P ; r P ) avaruudessa: R n+1 L P ffg = : r P n=2 L n P f n ; L n P = Nyt T :n kovarianssifunktioksi avaruudessa saadaan: K (r P ; r Q ; P Q ) = M ft ( P ; P ; r P ) T ( Q ; Q ; r Q )g = = M fl P ft R g L Q ft R gg = M(1X = 1X 1X = n=2 n=2 n 0 =2 [L n P T n ] 1X n 0 =2 h L n 0 Q T n 0i) L n P L n0 Q M ft n T n 0g : Funktioiden T n ortogonaalisuuden =( perusteella on kn P M ft n T n (cos P Q ) jos n = n 0 n 0g 0 jos n 6= n 0 ; eli pintakovarianssifunktion K ( P Q ) = 1X n=2 k n P n (cos P Q ) harmoniset komponentit. Näin saadaan 5 K (r P ; r Q ; P Q ) = 1X n=2 R 2 r P r Q =!n+1 k n P n (cos P Q ) : (9.12) Tässä olemme ilmaisseet avaruuden potentiaalin T (; ; r) kovarianssifunktio vastaavan maan- 5 Tämä toimii vain niin siististi koska tässä tapauksessa operaattori L n on luonteeltaan kerroin, ( R =r) n+1.

174 160 Luku 9. Tilastolliset menetelmät päällisen potentiaalin T (; ; R) = T R astevarianssien k n kehitelmänä. Näin olemme saaneet kolmiulotteisen kovarianssifunktion häiriöpotentiaalille, jollainen tarvitaan mm. vuoristomaissa ja ilma- ja avaruussovelluksissa Toinen esimerkki: painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio Tiedämme että painovoima-anomalioiden ja häiriöpotentiaalin välillä on olemassa seuraava yhteys: g = 1 R n=2 1X R n+1 (n 1) T n ; r symbolisesti: g = L g ft g sopivalle L g -funktionaalille: L g ffg = 1X n=2 L n g f n jossa nyt L n g = n 1 R Nyt voidaan näyttää samalla tavalla kuin yllä, että M n g P g Qo = 1X n=2 L n g;p L n g;q M ft n T n g = R rn+1 : 1X n=2 (n 1) 2 R 2!n+1 k R 2 n P n (cos P Q ) : r P r Q Usein kirjoitetaan jossa C ( P Q ) = 1X n=2 R 2 r P r Q!n+1 c n P n (cos P Q ) ; c n = n 1 2 k n : R Vastaavasti lasketaan myös sekakovarianssit häiriöpotentiaalin ja painovoima-anomalian välille: n Qo n Qo 1X! n 1 R 2!n+1 Cov T P ; g = M T P g = k n P n (cos P Q ) : r Q r P r Q n=2 Kaikki nämä ovat kovarianssin kasautumislain esimerkkejä, kun sitä sovelletaan sarjakehitelmään: n 2n Qoo X X Cov L 1 ft P g ; L T = L n 1;P L n 2;Q M ft n T n g = L n 1;P L n 2;Q k n P n (cos P Q ) ; mielivaltaisille lineaarisille funktionaaleille L 1 ft P g = 1X n=2 n L n 1;P T n ; L 2 ft Q g = 1X n=2 L n 2;QT n ; n

175 9.9. Globaaliset kovarianssifunktiot 161 missä T n = T n (; ) ovat Maan pinnan häiriöpotentiaalin asteosuuksia. 9.9 Globaaliset kovarianssifunktiot Empiirisiä kovarianssifunktioita on laskettu paljon. Koko maapalloa koskevia empiirisia kovarianssifunktioita on olemassa vain muutama. Tyypillisesti ne annetaan astevarianssikaavan muodossa.kuuluisinta on William Kaulan 6 havaitsema nyrkkisääntö: k n = n 4 : Kirjoittamalla = n 1 2 c n k n ; R missä c n ovat painovoima-anomalioiden astevarianssit, saadaan c n = R 2 (n 1) 2 n 4 R 2 n 2 : Tässä =R 2 on planeettakohtainen vakio, arvoltaan n mgal 2 maaplaneetalle. Kaulan sääntö ei pidä paikkansa kovin tarkasti hyvin korkeille asteluvuille. Se muuten pätee aika hyvin myös Marsin painovoimakentalle, tietenkin eri vakioarvolla (Yuan et al., 2001). Toinen kuuluisa sääntö on Tscherning-Rappin kaava 7 (Tscherning and Rapp, 1974): c n = A (n 1) n 1 2 (n 2) (n + B) = k n : R Vakiot ovat tekijöiden mukaan A = 425:28 mgal 2 ja B = 24 (tarkasti). Teknisena yksityiskohtana valitaan tavallisesti R = R B = 0:999R; Maan sisällä olevan Bjerhammarin 8 pallon säde (R on Maapallon keskisäde). Ylläolevan kaavan muoto on valittu siten, että erilaisten suureiden kovarianssifunktioiksi saataisiin suljettuja kaavoja Kollokaatio ja spektraalinäkökohta Myös pienimmmän neliösumman kollokaation laskennat voidaan suorittaa tehokkaasti FFT:n tavoin. Tätä varten pitää tarkastella geometriassa olevat symmetriat, lähinnä rotaatiosymmetria, joka on esim. olemassa pituusastesuunnassa koko maapallolla: mitään ei muutu kun pyöritetään koko maapalloa tietyn kulman verran rotaatioakselinsa ympäri. Kaikille pituusasteille! +. Seuraavassa käsitellään yksinkertaistettua esimerkkiä. 6 William M. Kaula ( ) oli amerikkalainen geofyysikko ja avaruusgeodeetti, joka tutki Maan painovoimakentän määritystä satelliittigeodesian keinoin. 7 Carl Christian Tscherning ( ) oli tanskalainen geodeetti ja geoidimäärityksen matematiikan asiantuntija. 8 Arne Bjerhammar ( ) oli etevä ruotsalaisgeodeetti.

176 162 Luku 9. Tilastolliset menetelmät EGM96 EGM2008 GOCE Milan 2014 Kaula Tscherning-Rapp EGM96 virhevarianssit EGM2008 virhevarianssit GOCE virhevarianssit Astevarianssi Asteluku Kuva 9.4 Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina. Kuvassa astevarianssien yksikkönä on m4 =s 4. Olkoon kentän g ( ) ; 2 [0; 2) havaintoja g i annettuna ympyrän reunalla, pisteissä i 2 i ; i = 0; b 1; 2; : : : ; N 1. Oletetaan, että myös laskentatulokset eli tulosfunktion f ( ) N estimaatit fi halutaan samoihin pisteisiin. Silloin kaava 9.9 antaa bf i = C (f ( i ) ; g ( j )) [C (g ( j ) ; g ( k )) + D (g ( j ) ; g ( k ))] 1 g k : (9.13) Mikäli koko tilanteen fysiikka on pyörähdyssymmetrinen, on oltava C (f ( i ) ; g ( j )) = C fg [( i j) mod 2] = C fg [(i j) mod N] ; ja samoin C (g ( i ) ; g ( j )) = C gg [(i j) mod N] ; ja vastaavasti D:lle. Koska yleensä havainnot eivät korreloi keskenään, on D (g ( i ) ; g ( j )) = 2 I N ;

177 9.10. Kollokaatio ja spektraalinäkökohta N 1 N 2 Kuva 9.5 Sirkulaarinen geometria. 2 (havaintojen varianssi, oletettu samana kaikille) kertaa N N yksikkömatriisi. Tämän muotoisia matriiseja kutsutaan Toeplitz-sirkulanteiksi 9. Ominaisuuden ansiosta kaava 9.13 on konvoluutio. Ilman todistusta n mainitaan, että kaavan 9.13 spektraalivastine on seuraavan näköinen: bo o F f = g : (9.14) F fc fg g F fc gg g + F fd gg g Fn g o = F fc fgg F fc gg g + 2 Fn Tämä on helppo ja nopea tapa laskea ratkaisu FFT:nb avulla. Limiitissä jossa b havainnot ovat eksakteja eli 2 = 0, seuraa kaavan 9.14 mukaan f suoraan g:stä. Jos f = L g, kaava yksinkertaistuu seuraavaksi: o g ; F n b f o = F flg F fc gg g F fc gg g + 2 Fn eli, jos 2 = 0; F n b f o = F flg F n g o, b f = L n g o : Esimerkiksi jos g ovat painovoima-anomalioita ja f häiriöpotentiaalin arvoja, on F flg = R =(n 1): Lähestymistapaa kutsutaan Fast Collocationiksi, esim. Bottoni and Barzaghi (1993). Tietenkin sitä käytetään Maan pinnan kahdessa ulottuvuudessa, vaikka esimerkkimme oli yksiulotteinen. Kuten aina, se edellyttää että havaintoaineisto on annettu hilan muodossa ja tässä tapauksessa lisäksi, että aineiston tarkkuus on homogeeninen (kaikkialla sama) alueella. Tämä vaatimus täyttyy tuskin koskaan tarkasti. 9 Otto Toeplitz ( ) oli saksanjuutalainen matemaatikko ja funktionaalianalyysin tutkija.

178 164 Luku 9. Tilastolliset menetelmät 9.11 Harjoitustehtäviä Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio Hirvosen kovarianssikaava on C (s) = C ( s =d) 2 ; ja käyttäen Ohion parametrit, C 0 = 337 mgal 2 ja d = 40 km; 1. Mikä on painovoima-anomalioiden ennustusvarianssi pisteessä Q joka on 5 km matkan päästä (tarkasti!) annetun anomalian pisteestä P? 2. Entä jos etäisyys on 25 km? Kovarianssien kasautuminen Annettuna häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio 9.12 Cov T P ; T Q = 1X n=2 R 2 r P r Q!n+1 k n P n (cos ); 1. laske painovoimahäiriön g:n (yhtälö 4.3) kovarianssifunktio. 2. Laske T=@r 2 (siis: painovoimahäiriön pystygradientti!) kovarianssifunktio Maanalaiset massapisteet 1. Jos massapiste sijoitetaan Maan sisään syvyyteen D havaintopisteen P alapuolella, mitä on sen Maan pinnalla aiheuttaman vetovoimakentän korrelaatiopituus, siis arvo s millä C (s) = 1 2 C 0? 2. Siis, jos haluamme konstruoida massapistemalli, jossa jokaisen havaintopisteen g P :n alapuolella on yksi massapiste; kuinka syväksi niiden pitäisi laittaa, jos korrelaatiopituus d on annettu?

179 Luku Gravimetriset mittauslaitteet 10.1 Historia Ensimmäinen mittauslaite jota rakennettiin heilurin perusteella oli kello. Heilurikaava, s T = 2 ` ; g kertoo että tietyn pituisen heilurin heilahdusaika desta T on vakio joka riippuu vain heilurin pituu- ` ja paikallisesta painovoimasta g, edellytettynä että heilahdukset ovat pieniä. Alan1 komaalainen Christiaan Huygens rakensi v ensimmäinen tähän perustuva, käyttökel- poinen heilurikello ( Kun nuori ranskalaistutkija Jean Richer 2 kävi Ranskan Guyanassa v heilurikello mu- kanaan, hän huomasi kellon kulkeneen tuntuvasti hitaammin. Asia saatiin korjatuksi yksinkertaisesti lyhentämällä heiluri. Ilmiön syy ei voinut olla ilmasto-olosuhteet tropiikissa eli heilurin lämpölaajeneminen; oikea selitys oli, että tropiikissa painovoima g on heikompi kuin Euroopassa. Palattuaan Ranskaan v Richer joutui taas pidentämään heilurinsa. Havainnosta on merkintä raportissaan Observations astronomiques et physiques faites en l'isle de Cayenne, Richer (1731), yhden kappaleen verran sivuilla Näin keksittiin heilurigravimetri. Myöhemmin rakennettiin varta vasten paljon tarkempia 1 Christiaan Huygens ( ) oli johtava hollantilainen tiedemies ja matemaatikko. Heilurikellon keksimisen lisäksi hän oli myös ensimmäinen, joka oivalsi, että Saturnus-planeetalla on rengas. 2 Jean Richer ( ) oli ranskalainen tähtitieteilijä. Kuva 10.1 Jean Richer'n raportti. 10

180 166 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Kuva 10.2 Autograv CG5 jousigravimetri David Monniaux, Wikimedia Commons, GNU Free Documentation License. laitteita, mm. Katerin 3 reversioheiluri ja neljän heilurin Von Sterneck 4 -laite, joka tuli käytetyksi myös Suomessa 20- ja 30-luvuilla. Mainittavia ovat myös hollantilaisen F.A. Vening Meineszin 5 sukellusvenemittauksia Javamerellä, joilla havaittiin, että merenpohjalla olevien syvänteiden yläpuolella vallitsee tuntuva painovoiman vaje ja että ne ovat näin ollen vahvasti isostaattisessa epätasapainossa. Painovoimamittauksiin tuotantomielessä heilurigravimetrit ovat kuitenkin liian hankalia ja hitaita. Sitä varten on kehitetty jousigravimetri, ks. alaluku Heilurigravimetrit ovat periaatteessa absoluuttisia mittauslaitteita, eli painovoima saadaan suoraan kiihtyvyyslukuna. On kuitenkin olemassa heilurin kiinnitykseen liittyviä systemaattisia efekteja jotka aiheuttavat sen, että mittauksen absoluutisuuteen ei sittenkään voida luottaa. Yksi kokeiltu ratkaisu on hyvin pitkä lankaheiluri, esim. Hytönen (1972). Kuitenkin nykyisin absoluuttimittaukset tehdään ballistisilla gravimetreilla, ks. alaluku On huomattu, että vanhemmat, heilurikojeella tehdyt mittaukset ns. Potsdam-järjestelmässä ovat arvoltaan systemaattisesti 14 mgal liian suuria Relatiivinen (jousi-)gravimetri Jousigravimetri on yksinkertaisimmillaan sama kuin jousivaaka. 3 Henry Kater ( ) oli englantilaisfyysikko. 4 Robert von Sterneck ( ) oli itävaltalais-unkarilainen tutkija. 5 Felix Andries Vening Meinesz ( ) oli hollantilainen geofyysikko, geodeetti ja gravimetrikko. Hän laati yhdessä W.A. Heiskasen kanssa oppikirjan The Earth and its Gravity Field (1958).

181 10.2. Relatiivinen (jousi-)gravimetri 167 Lineaarisessa jousivaa'assa koemassan liikeyhtälö on m d2`0 dt 2 g! = k (`0 `) ; jossa m on koemassa, g paikallinen (mitattavissa oleva) painovoima, k jousivakio ja suure ` on jousen lepopituus, pituus joka jousella olisi jos siihen ei kohdistuisi ulkopuolisia voimia; `0 on jousen todellinen, hetkellinen pituus. Tasapaino jousen voiman ja painovoiman välillä on d 2`0 = 0 ) mg = k (`0 dt2 `) = k ` ` ; (10.1) missä ` on jousen keskimääräinen pituus heilahtelun aikana, ja samalla tasapainopituus jos heilahtelua ei ole. Kun koemassa häiritään, se alkaa oskilloida tasapainopaikkansa ympäri. Värähtely-yhtälö on Periodi on d 2`0 dt = k `0 2 m ` : T = 2qm=k = 2q (` `) =g = 2q`=g; (10.2) missä ` = ` ` on tasapainotilan ja lepotilan jousen pituuksien välinen ero (jousen pidennys painovoiman vaikutuksesta). Laitteen herkkyyttä saadaan dierentioimalla kaava 10.1 muodossa mg = k ` ` = k` tuloksena d (`) dg = m k = T : (10.3) Sijoittamalla esim. ` = 5 cm ja g = 10 m =s 2 kaavaan 10.2 saadaan T = 0:44 s: Yhden milligalin muutos painovoimassa g tuottaa kaavan 10.3 mukaan pidennystä vain m (tarkista)! Tämän liikkeen havaitseva tai kompensoiva anturi on ilmiselvästi oltava erittäin herkkä! Astatisaatio Astatisoitu gravimetri tarjoaa eri mittausgeometriaa. Käytämme tässä esimerkkinä pitkään suosiota nautinutta LaCoste-Romberg gravimetria. Sen sisällä koemassa on vivun eli puomin päässä, ks. kuva Vipuun kohdistuvat kaksi vääntöä jotka ovat tasapainossa. Jousen

182 168 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet vääntö on s = k ` ` b sin ; jossa ` on jousen todellinen (venytetty) ja ` teoreettinen eli lepotilan pituus ilman kuormitusta. Sinisäännön mukaan ` sin = c sin (90 + ) = c cos ; josta sijoitus edelliseen: s = k ` ` bc ` cos : Massaan vetoava painovoima taas on mg, ja vastaava vääntö g = mgp cos : Niiden välillä on oltava tasapaino: eli g s = mgp cos k ` ` bc ` cos = 0; (10.4) mgp` kbc ` ` = 0: (10.5) Dierentioimalla mp` dg + mgp d` kbc d` = 0 josta saa sijoittamalla yhtälö 10.5 herkkyyskaavan: d` dg = mp` mgp kbc = mp` mgp mgp ` ` ` = ` ` g ` : ` Tästä näkyy, että herkkyyttä voidaan mielivaltaisesti kasvattaa valitsemalla ` mahdollisimman lyhyeksi, lähes nolla (ns. zero-length spring -ratkaisu, wiki/spring_%28device%29#zero-length_springs). Tietenkin laitteen tasaus on kriittinen. Esimerkiksi oletukset ` = 5 cm, ` = 0:1 cm, g = 10 m =s 2 antavat d` dg = 2: m=mgal; 50 kertaa 6 parempi tulos kuin aiemmin! Parannussuhde on juuri (` `)=`. 6 Vertailukelpoisuuden vuoksi pitää vielä kertoa p =b sin :n kanssa, jos mitataan koemassan paikka.

183 10.2. Relatiivinen (jousi-)gravimetri 169 c Jousi pituus ` k` `sin Voima Toiminta-alue Totuus Hooken laki b Koemassan vipu p mg Pituus Kuva 10.3 Jousigravimetrin toimintaperiaate. Oikealla, miten toteutetaan zero-length spring. Tämä on ns. astatisoidun gravimetrin, esimerkiksi LaCoste-Rombergin 7, toimintaperiaate Heilahtelun periodi Tätä voidaan tarkastella myös hieman toisella tavalla: jos laite ei ole tasapainotilassa, puomi heilahtelee hitaasti tasapainotilan molemmin puolin. Lähdetään yhtälöstä 10.5: mgp` kbc ` ` = 0; (10.6) mutta sovellettuna epätasapainotilaan; silloin koemassalla on kiihtyvyys a, ja meillä on m (g a) p`0 kbc (`0 `) = 0; jossa, jousen tasapainopituuden ` sijaan meillä on hetkellinen pituus `0. Vähentämällä ylläolevat kaksi yhtälöä toisistaan saadaan mgp ` `0 map`0 kbc ` `0 = 0: Käytämme yhtälöä 10.6 taas ilmaisun kbc eliminoimiseksi, tuloksena: mgp ` `0 map `0 `0 mgp ` ` = 0: ` ` 7 Lucien LaCoste ( ) oli amerikkalainen fyysikko ja metrologi, joka ylioppilaana yhdessä fysiikkaprofessorinsa Arnold Rombergin ( ) kanssa keksi astatisoidun gravimetrin ja zero-length springin periaatetta.

184 170 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Termien uudelleenjärjestys antaa eli `0 ` map `0 = mgp ` ; ` ` a = g`0 ` `0 ` ` ` : Tässä taas ilmaantuu astatisointisuhde `=(` `), joka nollapituusjouselle (` 0) on hyvin pieni. Nyt jousen pituuden epätasapaino `0 ` on yhteydessä koemassan pystysijainnin poikkeamaan z (ylöspäin kasvava) ` seuraavasti: `0 p z = b sin : Tämän avulla saadaan a = d2 dt 2 z = g`0 ` ` ` b sin z: p Tämä on taas värähtely-yhtälö muuttujassa z, jonka periodi on T = 2v u t`0 g p b sin ` ` : ` Samoille arvoille kuin yllä, ` = 0;1 cm; ` = 5 cm `0; g = 10 m =s 2 ja p =b sin = 2, löydämme T = 4;4 s: Tämä pitkä värähtelyperiodi merkitsee myös, että laite on epäherkkä korkeataajuuksisille värähtelyille, ohikulkevasta liikenteestä ja mikroseismiikasta, jne. Merkittävä operatiivinen etu Käytännön mittaus Tavallinen jousigravimetri perustuu elastisuuteen. Koska mikään aine ei ole täydellisesti elastinen, vain aina myös plastinen (viskoosi), gravimetri itse muuttuu mittausprosessin aikana. Tätä muutosta kutsutaan käynniksi. Käyntiä hoidetaan käytännön mittauksissa seuraavilla toimenpiteillä: mitataan linjoja pitkin, jotka lähtevät tunnetusta pisteestä ja päättyvät tunnettuun pisteeseen, jolloin saadaan sulkuvirhe. Linjoja kuljetaan läpi mahdollisimman nopeasti. Sulkuvirhe hävitetään tasoittamalla mittauksesta saadut arvot suhteessa niiden mittausaikoihin. Gravimetri kuljetetaan varovasti sitä kolhimatta, ja

185 10.3. Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri 171 (") F (") F (") cos( + + ") mg ". mg Kuva 10.4 Astatisoinnin idea. Tavallisen jousen elastinen voima kasvaa jyrkästi venymisen myötä (vasemmalla), kun taas koemassan paino on vakio. Puomi- ja diagonaaliasetelman ansiosta (oikea) jousen voiman osuus puomin liikkumissuunnassa (punainen) pienenee jousen venymisen mukaan, kun taas jousen voima itse kasvaa lähes samalla tavalla venymisen myötä. Tämä likimääräinen kumoaminen nostaa herkkyyttä. Käytetty jousi on zero-length spring. muistetaan aina arretoida (kiinnittää puomi) kuljetuksen aikana! Koska jousen elastiset ominaisuudet ja laitteen geometria riippuvat lämpötilasta, ovat tarkkuusgravimetrit aina termostoituja. Merigravimetri eroaa tavallisesta (maa-)gravimetrista siinä, että se on vaimennettu tehokkaasti. Sama pätee myös ilmagravimetrille. Molemmat ovat tämän lisäksi tavallisesti (ilmagravimetri aina) vielä kiinnitetty stabiloituun alustaan, jolloin mittausakseli on aina paikallisen luotiviivan suunnassa kulkuneuvon liikkeistä huolimatta Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri on paluu juurille eli painovoiman määritelmään: se mittaa suoraan vapaan putoamisen kiihtyvyyttä. Laite sisältää tyhjiöputken, jonka sisällä kappale, valoa heijastava prisma, putoaa vapaasti. Tässä kuvataan lyhyesti Boulderissa, Coloradan yliopistossa Jim Fallerin 8 rakentama JILAgravimetri, jollaisia Geodeettinen laitos on hankkinut kaksi. Kuva 10.6 näyttää uudempaa saman ryhmän rakentamaa laitetta, FG5. Suomessa tämä laite, sarjanumero 221, toimii vapaan putoamisen kiihtyvyyden kansallisena mittanormaalina. Prisman putoamisen aikana häkki, jonka pohjassa on ikkuna, likkuu sen sisällä olevan prisman mukana siihen kuitenkaan koskematta. Häkin tarkoituksena on estää jäljellä olevia ilmahiveniä vaikuttamasta prisman kulkuun. Putken pohjan lähellä häkki, joka kulkee tietokoneohjattuna raidetta pitkin, jarruttaa ja prisma laskeutuu suhteellisen pehmeästi sen pohjaan. Sen jälkeen häkki kulkee takaisin putken yläpäähän ja uusi sykli alkaa. 8 James E. Faller (1934-) on amerikkalainen fyysikko, metrologi, geodeetti ja gravitaation tutkija. Hän ehdotti laserheijastinten asettamista Kuun pinnalle Apollo-projektin puitteissa, Kuun etäisyyden mittaamiseksi LLR, Lunar Laser Ranging.

186 172 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Tyhjiöpumppujärjestelmä Suojahäkin kuljetusjärjestelmä Prisman suojahäkki Putoava prisma g Superjousi Vertausprisma Puoliläpäisevä peili Peili Laser Interferenssin havaintolaite Kuva 10.5 Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate. Kuva 10.6 FG5 absoluuttinen gravimetri. National Oceanic and Atmospheric Administration

187 10.3. Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri 173 Laserinterferometri mittaa prisman paikat matkan varrella; mittaukset toistetaan tuhansia kertoja hyvän tarkkuuden aikaansaamiseksi keskimääräistämällä. Toinen prisma, vertausprisma, on ripustettu toisessa putkessa hyvin löysästä jousesta (oikeastaan elektronisesti simuloitu superjousi) suojatakseen sitä mikroseismiikasta. Laite on suunniteltu suurimman mahdollisen tarkkuuden saavuttamiseksi; esimerkiksi pudottamisen aiheuttama tärinä on saatu hallintaan hyvin suunnitelleen jalustan avulla. Tarkkuudet ovat luokkaa muutama Gal, eli sama mihin tavalliset LaCoste-Romberg relatiivigravimetrit pystyvät. Laite on kuitenkin kookas ja, vaikka sitä voidaankin kuljettaa paikasta toiseen, sitä ei voi kutsua kenttäkoneeksi. Viime aikana kehitys on menneet pienempien laitteiden suuntaan, joiden kuljetettavuus on olennaisesti parannettu. Vapaasti putoavan massan liike kuvaa seuraava yhtälö d 2 dt 2 z = g (z) ; missä on oletettu realistisesti että painovoima g riippuu paikasta z pudotusputken sisällä. Jos kuitenkin oletetaan g vakioksi, saadaan integroimalla d dt z = v 0 + gt; z = z 0 + v 0 t gt2 ; mistä saadaan mittausprosessin havaintoyhtälöt z i = h 1 t i 1 2 t2 i i z 0 v 0 g 3 75 : (10.7) Tässä tuntemattomat 9 ovat z 0 ; v 0 ja g. Suureet z i ovat putoavan prisman interferometrisesti mitatut pystysuuntaiset paikat. Vastaavan mittaushetken eli epookin t i tarkka määritys on tietenkin olennainen. Jokaisessa pudotuksessa kerättyjen mittausarvojen määrä on suuri. Havaintoyhtälö kirjoitetaan matriisimuotoon: ` = Ax; jossa ` = 2 64 z 1 z 2. z i ; A = t 1 t t 2. t t i. t 2 i ja x = 2 64 z 0 v 0 g 3 75 : z n 1 t n t 2 n 9 Olisi helppoa (harjoitus!) lisätä tähän painovoiman pystygradienttiä edustava tuntematon.

188 174 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Tästä ratkaisu seuraa pienimmän neliösumman tasoituksen menetelmän mukaisesti, normaaliyhtälöistä A T Abx = A T ` ratkaisuna bx = h A T A i 1 AT `: Vaihtoehtoinen absoluuttigravimetrityyppi heittää prisma ylös (putken sisällä), jonka jälkeen se kulkee symmetristä parabolirataa. Sellainen rise-and-fall laite on esim. italialainen IMGC-02. Teoreettisesti saataisiin tällä menetelmällä tarkempia mittauksia; tekniset haasteet ovat kuitenkin suurempia kuin pudotusmenetelmän tapauksessa. Laitetyyppien väliset vertailut ovat auttaneet identioimaan virhelähteitä. Viime aikana on rakennettu myös ns. atomi- eli kvanttigravimetreja, joissa mitataan interferometrisesti yksittäisten atomien putoamisliikettä (de Angelis et al., 2009). Laitteen idea on, että mitataan painovoiman vaikutus putoavien atomien aine-aallon vaihekulmaan. Ensin valmistetaan äärimmäisen kylmä ns. Bosen-Einsteinin kondensaatti; ehkä miljoonan verran atomeja kaikki identtisessä kvanttitilassa, vaihekulma sama kuin yhdessä marssivat sotilaat. Kondensaatti annetaan pudota, ja ensimmäinen laserpulssi jakaa se kahteen. Puolet atomeista 10 putoaa ensin hitaasti, ja sitten nopeammin; toinen puoli putoaa ensin nopeasti ja sitten hitaammin. Tämän toteuttamiseksi ammutaan toisen laserpulssiparin, joka toimii peilin tai ehkä tennismailan tavoin. Kolmas ja viimeinen laserpulssi lukee interferometrisesti kahden yhdistyvän atomisäteen välistä vaihe-eroa. Valon ja atomien välinen vuorovaikutus perustuu Raman-ilmiöön. Kun atomit kulkevat kahta eri reittiä aika-avaruuden kautta joilla painovoimapotentiaali on erilainen 11, syntyy niiden välillä vaihe-ero jota voidaan mitata. Ilman painovoimaa (katkoviivat) tämä vaihe-ero olisi nolla. Ks. kuva 10.7, missä vaaka-akseli on aika Verkkohierarkia gravimetriassa Gravimetriassa verkkohierarkia on yhtä tärkeä kuin geodeettisissa sijainnin tai korkeuden mittauksissa. Menetelmä on yleensä ollut se, että ylin mittausluokka koostui absoluuttigravimetrilla mitatuista pisteistä; aikanaan tämä merkitsi heilurimittaukset. Tämän verkon vaiheittainen tihennys eli runkoverkon mittaus suoritettiin sen jälkeen relatiivi- eli jousigravimetreilla, kuten myös alimman luokan mittaukset eli painovoimakartoitus. Runkomittauksissa käytettiin nopeita kuljetusvälineitä kuten lentokoneita; kansalliset tai alueelliset vertauspisteet sijaitsivat usein lentokentillä. Koska heilurigravimetrit eivät olleet aidosti absoluuttisia, jäi vanhaan ns. Potsdamin järjestelmään n. 14 mgal:n virhe: kaikki arvot olivat sen verran liian suuria. Nykyisin käy- 10 Tämä on kvanttiteoreettisesti väärin sanottuna. Jokaisen atomin aineaalto jakautuu kahteen! 11 Itse asiassa atomin vaihekulman kiertoliike toimii kellon tavoin, ja ajan kulun nopeus riippuu paikallisesta geopotentiaalista (Vermeer, 1983).

189 10.5. Suprajohtava gravimetri 175 Jakosäde Lukusäde Peilaussäde g z Ilman painovoimaa Painovoimakentässä t Kuva 10.7 Atomigravimetrian toimintaperiaate. tetään sen sijaan ballistisia gravimetreja, joiden mahdollinen systematiikka on paljon pienempi vaikkei olematon, suuruusluokkaa mikrogalleja. Koska ei ole olemassa tätä parempia eli absoluuttisempia laitteita, tähän ongelmaan ei löydy varsinaista ratkaisua; kuitenkin, arvokkaita, säännöllisiä kansainvälisiä laitevertailuja järjestetään (esim. http: // ). Suomessa absoluuttigravimetrilla säännöllisesti mitatut pisteet ovat Metsähovin lisäksi Vaasa (kaksi pistettä), Joensuu (kaksi pistettä), Kuusamo, Sodankylä, Kevo ja Eurajoki Suprajohtava gravimetri Tämä gravimetrityyppi perustuu magneettikentässä leijuvaan suprajohtavaan metallikuulaan, jonka tarkka paikka mitataan elektronisesti. Koska magneettikenttä ei läpäise suprajohtavaa ainetta, kuula jää ikuisesti samaan paikkaan kentän sisälle. Tietysti kenttä itse on oltava muuttumaton; se on mu-metallista tehdyn säiliön sisällä suprajohtavien käämien generoima (Meissner-ilmiö, Suprajohtavuus näissä sovelluksissa vaatii edelleenkin työskentelyä nestemäisen heliumin (He) lämpötilalla. Siksi laite ei ole vain kallis, vain vaatii kallis laboratoriotila toimivan yhteiskunnallisen infrastruktuurin ympäristössä. Näitä laitteita maailmassa on reilu parikymmentä. Yksi GWR 20-tyyppinen laite on toiminnut vuodesta 1994 lähtien Kirkkonummella silloisen Geodeettisen laitoksen, nyt Maanmittauslaitoksen, Metsähovin tutkimusasemalla. Ks. Virtanen and Kääriäinen (1995), Virtanen (1998).

190 176 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Kuva 10.8 Kansainvälinen absoluuttigravimetrien vertailu ( 2003 EGCS, Luxembourg). Suprajohtavan gravimetrin tärkein ominaisuus sen tarkkuuden 12 lisäksi on sen stabiliuus eli pieni käynti. Siksi se soveltuu erinomaisesti pitkäperiodisten ilmiöiden seuraamiseksi, kuten maapallon vapaat värähtelyt suurten maanjäristysten jäljiltä 13. Näin se sopii mittauksiin joihin tavallinen gravimetri ei sovi sen suuremman käynnin ja heikomman herkkyyden johdosta, ja mittauksiin johon seismometri ei sovi koska taajuudet ovat liian matalia. Viime aikainen trendi on kevyitten, kannettavien, ja kauko-ohjattavien suprajohtavien gravimetrien kehitys, esimerkiksi GWR igrav, joka painaa 30 kg eikä kuluta yhtään nestemäistä heliumia. Toisaalta se vaatii reilun kilowattin verran verkkovirtaa jäähdytysjärjestelmäänsä ( item-1001?). Ehkä tämä tuo parannusta nykytilanteeseen jossa valtaosa laitteista sijaitsee Euroopassa ja Pohjois-Ameriikassa Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen Ilmakehä vaikuttaa kahdella tavalla painovoimaan: 1. Laitteeseen liittyviä vaikutuksia. Nämä johtuvat gravimetrin konstruktiosta. Sulkeamalla laite painekammioon saataisiin nämä ilmiöt häviämään. Käytännössä helpompaa on kalibroida laite (laboratoriossa) ja laskea kalibrointituloksen mukainen korjaustermi kenttämittauksiin. 12 Virtanen (2006) kertoi, miten Metsähovin laite havaitsi painovoiman muutos kun työmiehet loivat lunta laboratoriorakennuksen katolta teetauko mukaan lukien! Myös vierailijoiden punnitus heidän vetovoimansa perusteella on myös rutiinia. 13 Niiden periodit vaihtelevat vajaasta tunnista yli kahteenkymmeneen tuntiin ja ovat geofysikaalisesti hyvin mielenkiintoisia.

191 10.6. Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen 177 Ylin kondensaattorilevy Keski kondensaattorilevy Alin kondensaattorilevy Nostokäämi Palautekäämi Nostokäämi Kuva 10.9 Suprajohtavan gravimetrin toimintaperiaate. Pallon paikka luetaan kapasitiivisesti. 2. Ilmakehän vetovoima. Tämä on oikea gravitaatio. Se kuitenkin aiheuttaa epäsäännöllistä paikallista painovoiman vaihtelua, jonka ilman mielummin jäisimme. Ilmakehän vaikutus voidaan laskea Bouguer-laatta-approksimaation avulla: jos ilmanpaine on p, on ilmakehän massan pintatiheys = p g ; missä g on ilmakehälle edustava painovoima-arvo. Emme tee kovin suurta virhettä jos käytämme g 9;8 m =s²; jolloin saadaan merenpinnan tasolla kg m 2 : Bouguer-laatan vaikutus on 2G = 0;43 mgal: Ilmanpäinevaihtelut vaikuttavat suhteessa. Jos ilmanpaineen poikkeama on p = p p 0 ; missä p 0 on keskimääräinen ilmanpaine 1015 hp; on sen vaikutus painovoimamittaukseen g A = 0;43 p p 0 mgal: Myrskyn tai säärintaman ylikulun aikana tämä kaunis teoria romahtaa ja yksinkertaiset kaavat antavat harhaanjohtavia tuloksia. Silloin on parasta olla tekemättä mitään painovoimamittauksia! 3. Ilmakehän sisällyttäminen maapallon massaan. Tämä ei ole painovoimamittauksiin

192 178 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet tehtävä korjaus. Se on korjaus joka käytetään painovoima-anomalioiden laskennassa, mikäli halutaan anomalioita joista ilmakehän vaikutus on poistettu. Muista, että GRS80:n vertauspainovoimakenttä on määritelty siten, että parametri GM sisältää koko maapallon massan, ilmakehää mukaanlukien; eli maan painovoimakenttä sellaisena kun satelliitit sen havaitsevat (Heikkinen, 1981). Siksi myös painovoimaanomalioita g laskiessa, pitää redukoida painovoima siirtämällä laskennallisesti koko mittauspaikan yläpuolella oleva ilmakehä mittauspaikan alapuolelle, esimerkiksi merenpintaan. Ilmakehän kokonaismassa on M A = 4R 2 = 4 p g R2 : Newtonin mukaan sen vetovoima on GM A R 2 = 4Gp ; g kaksi kertaa yllä annettua ilmakehäreduktiota. Merenpinnalla vaikutus on 0;86 mgal: Korkeudessa vaikutus on 0;86 p p 0 mgal; missä p ja p 0 ovat ilmanpaineet korkeudella ja merenpinnalla, vastaavasti Ilmagravimetria ja GNSS 1990-luvun alussa GPS, Global Positioning System, on muuttanut ilmagravimetria hankalasti soveltavasta tekniikasta täysin operationaaliseksi. Tämän ymmärtämiseksi täytyy tuntea ilmagravimetrian toimintaperiaate. Lentokoneessa kuljetetaan ilmagravimetri, laite joka on samalla tavalla kuin merigravimetri vahvasti vaimennettu. Mittaus tapahtuu automaattisesti, yleensä sähköstaattisen kompensaation avulla. Laite on kiinnitetty stabiloituun alustaan joka seuraa paikallista luotiviivaa. Lennon aikana gravimetri mittaa kokonaispainovoimaa lentokoneessa. Tämä koostuu kahdesta osasta: 1. varsinainen painovoima siis, painovoima Maan pintaan kiinnitetyssä vertausjärjestelmässä, ja 2. Lentokoneen kiihtyvyyksien aiheuttamia näennäisvoimia. Lentokoneeseen on kiinnitetty muutama GNSS 14 -antenni; niiden, ja geodeettisen GNSSlaitteen avulla voidaan seurata senttimetritarkasti lentokoneen liikkeet. Niistä voidaan sitten laskea kohdalla 2 mainitut näennäisvoimat. 14 GNSS, Global Navigation Satellite Systems, sisältää GPS:n lisäksi myös muiden maiden paikannussatelliittijärjestelmät, kuten venäläinen GLONASS.

193 10.7. Ilmagravimetria ja GNSS 179 Jos mitataan lentokoneen (tai mittalaitteen) paikka x i hetkillä t i, t = t i+1 kiihtyvyysarvot seuraavasti: t i, saadaan a i = (x i+1 + x i 1 2x i ) ( t) 2 : (10.8) Jos mitattu kiihtyvyys on i ja paikallisen vertikaalin suunta n i, seuraa paikallinen painovoima g i seuraavasti: g i = i ha i n i i : Kriittinen asia koko menetelmässä on aikavakion t valinta. Parasta on valita se mahdollisimman pitkäksi; silloin laskettujen GNSS-kiihtyvyyksien a i tarkkuus on mahdollisimman hyvä. Myös gravimetrin vaimennus valitaan t:n mukaan, ja havainnot suodataan digitaalisesti: kaikki taajuudet rajan t 1 ylläpuolella poistetaan, koska ne ovat lähinnä lentokoneen liikkeiden aiheuttamia. Käytännössä usein signaalista poistettu korkeataajuuksinen osa on kertaa suurempi kuin etsitty painovoimasignaali! Jos yhden GNSS-paikkamittauksen tarkkuus (keskivirhe) on x (ja ne eivät korreloi!), on kaavan 10.8 mukaan a = p x 6 ( t) : 2 Aikavälin t tekeminen mahdollisimman pitkäksi ilman että resoluutio kärsii, vaatii matalaa lentonopeutta. Yleensä käytetään potkurikonetta tai jopa helikopteria. Tietysti mittauksen hinta kasvaa lennon keston mukaan (helikopterin roottoritunti on kallis!). Lentokorkeudeksi H valitaan resoluution x mukaan: H x = v t; jossa v on lentonopeus. Vierekkäisten lentoratojen välinen etäisyys valitaan vastaavalla tavalla. Ensimmäinen suuri ilmagravimetriaprojekti lienee ollut Grönlannin painovoimakentän kuvaus ilmasta (Brozena, 1992). Kunnianhimoisessa amerikkalais-tanskalaisessa hankkeessa kesinä lennettiin yli km, koko aikaa mittaamassa painovoimaa ja magneettikenttää. Jäänpinnan korkeutta mitattiin tutka-altimetrilla (Ekholm et al., 1995). Sen jälkeen muutkin suuret asumattomat alueet pohjoisella ja eteläisellä napa-alueilla on kartoitettu, ks. Brozena et al. (1996), Brozena and Peters (1994). Muista suurista mittauskampanjoista kerrottiin jo alaluvussa Toiminta jatkuu, ks. Coakley et al. (2013), Kenyon et al. (2012). Menetelmä soveltuu hyvin suureille asumattomille alueille, mutta myös esim. merialueille lähellä rannikkoa joilla laivagravimetrilla olisi vaikea navigoida pitkiä suoria linjoja. Vuonna 1999 suoritettiin ilmagravimetriakampanja Itämeren yli, mukaanlukien Suomenlahti (J. Kääriäinen, henkilökohtainen tiedotus).

194 180 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Taloudellisen näkökohdan lisäksi ilmagravimetrian tärkeä etu on, että saadaan laajalta alueelta homogeeninen painovoima-aineisto. Monien vuosikymmenien aikana kerätyn pintamittausaineiston homogeenisuus on vaikea taata samalla tavalla. Myös hyvin paikallisen maaston vaikutus, joka pintamittauksissa on etenkin vuoristoissa systemaattinen, hankalasti poistettavissa oleva häiriötekijä (ks. alaluku 5.3 sivulla 76), ei esinny ilmagravimetriassa. Satelliittigravimetrian, esim. GOCE:n (Geopotential and Ocean Circulation Explorer) toimintaperiaate on samanlainen. Olennainen ero kuitenkin on, että satelliittissä oleva laitteisto on painottomuustilassa: = 0 (korkealla radalla, tai jos käytetään ilmavastuksen kompensaatiomekanismia); tai on pieni ja mitataan herkän kiihtyvyysmittarin avulla (matalalla radalla, missä ilman vastus on merkittävä). Satelliittimission suunnittelun suurin haaste onkin lentokorkeuden valinnassa. Matalin mahdollinen korkeus on n. 150 km; sillä korkeudella tarvitaan jo polttoainetta tankillisen verran, muuten lento ei kestä kauan. Kuitenkin mittausten resoluutio Maan pinnalla on rajallinen; esim. pienimmät yksityiskohdat painovoimakentässä joka GOCE-satelliitti näkee ovat läpimitaltaan km Painovoimagradientin mittaus Painovoiman kiihtyvyys g on geopotentiaalin W gradientti. Se vaihtelee paikan mukaan, etenkin massojen lähistöllä. Puhutaan painovoimagradienttitensorista eli Marussi 15 -tensorista: M @ 2 @z W: Tiedämme, että painovoima kasvaa alaspäin mennessämme, ainakin vapaassa ilmassa. Ylöspäin painovoima vähenee, noin 0;3 mgal jokaista korkeusmetriä kohti. Toposentrisissa koordinaateissa (x; y; z), jossa z osoittaa zeniitin suuntaan, on tämä matriisi likimäärin M ; ; ;3 3 g z 0;3 mgal =m on standardiarvo painovoiman ilmagradientille: Newtonin laki antaa pallon muotoiselle maapallolle (minusmerkki tulee siitä, että g:n suunta on alaspäin kun z-koordinaatti kasvaa ylöspäin): g z = GM (R + z) 2 : 15 Antonio Marussi ( ) oli italialainen geodeetti ja matemaatikko.

195 10.8. Painovoimagradientin mittaus 181 g (R + z) z = 2 = (R + z) 2g z = (R + z) m =s = 0;3 mgal =m: 2 =m = 2 kaavat 3.3, 3.4: 2 taas kuvaavat ekvipotentiaalipintojen kaarevuudet x- ja y- 2 2 = g x 2 = g y ; jossa x ja y ovat x- ja y-suunnan kaarevuussäteet. Sijoittaminen x = y = R 6378 km ;5 10 6m 2 =s 2 =m = 0;15 mgal =m: Unkarilainen tutkija Loránd Eötvös teki useita neuvokkaita kokeita (Eötvös, 1998) painovoimagradienttitensorin komponenttien mittaamiseksi rakentamillaan torsiovaa'oilla. Menetelmä on edelleen käytössä geofysikaalisissa tutkimuksissa, kun painovoimagradientti on mittaussuureena varsin herkkä paikallisiin maankuoren ainetiheysvaihteluihin. Eötvöksen kunniaksi painovoimagradientin yksikkönä käytetään Eötvös, symboli E: 1 E = 10 9m =s 2 =m = 10 4 mgal=m: Yllä oleva tensori on nyt M 2 64 Huomaa, että ; tuttu Laplacen yhtälö. Kuitenkaan yhtälö ei ole eksakti: Maan mukana pyörivässä koordinaatistossa Laplacen yhtälöön pitää lisätä keskipakoisvoiman termi, 2! 2, yhtälö 3.1. Kuun ja Auringon painovoimagradienttikenttä tunnetaan Maan päällä vuoksivoimakenttänä, ks. alaluku 13.1.

196

197 Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa Luku Peruskäsitteet Merellä geoidi on keskimäärin samalla tasolla kuin keskimerenpinta, pinta joka saadaan jos hetkellisestä merenpinnasta poistetaan kaikki periodiset ja kvasi-periodiset vaihtelut. Näitä vaihteluja ovat esimerkiksi: Vuoksi-ilmiöt (Kuun ja Auringon aiheuttamia); 1m luokka, paikallisesti enemmänkin; Ilmanpainevaihtelujen aiheuttamia vaihteluja (ylösalainen barometri); luokka muutama desimetri; Tuulen työntövoima (wind pile-up); Reunamerillä: makean jokiveden mereen virtaavan määrän vaihteluja; Valtamerillä, esim. Golf-virran ja Agulhas-virran yhteydessä syntyviä pyörteitä (mesoscale eddies) joiden elinkaari voi olla kuukausia ja joissa merenpinta voi olla jopa paria desimetriä ympäristönsä merenpinnan ala- tai yläpuolella; Valtamerten virtauksien jatkuva siirtyminen paikasta toiseen; ENSO, El Niño Southern Oscillation, on hyvin pitkä-aikainen, kvasi-periodinen sääilmiö joka tapahtuu pääasiassa Tyynen Valtameren vesissä ja sen yläpuolella olevassa ilmassa mutta vaikuttaa koko maapallon sää-ilmiöihin. Vaihtelun aikaskaala on parista seitsemään vuoteen. Jos poistetaan kaikki nämä periodiset ja kvasi-periodiset vaihtelut, jää keskimerenpinta. Jos merten vesi olisi tasapainotilassa, olisi tämä keskimerenpinta ekvipotentiaalipinta eli geoidi. Kuitenkaan näin ei valitettavasti ole. Myös keskimerenpinta eroaa ekvipotentiaalipinnasta seuraavien ilmiöiden seurauksena: Pysyvät virtaukset valtameressä aiheuttavat Coriolis-voiman kautta pysyviä keskiveden tason eroja; Myös pysyvät lämpötila- ja suolaisuuserot aiheuttavat pysyviä keskiveden tason eroja, jälkimmäiset esim. jokien suiden edustalla. Yllämainitut fysikaaliset ilmiöt aiheuttavat ns. meritopograan, pysyvän erotuksen merenpinnan ja geoidin välillä. Geoidin klassinen määritelmä on

198 184 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa se ekvipotentiaalipinta joka yhtyy lähimmin keskimerenpintaan. Tämän määritelmän käytännön ongelma on, että geoidin määritys edellyttää keskimerenpinnan tuntemista kaikkialla valtamerella. Siksi monet geoidin mallit käytännössä eivät yhdykään globaaliseen keskimerenpintaan, vain johonkin paikalliseen (keski-)merenpintaan ja usein sekin vain likimäärin. Keskimerenpinta puolestaan on myös ongelmallinen käsite. Se on merenpinta mistä on laskennallisesti poistettu kaikki periodiset efektit mutta kuka voi tietää, onko ns. sekulaarinen efekti todellisuudessa ehkä pitkäperiodinen? Järkevä kompromissi on merenpinnan keskiarvo jaksolle 18 vuotta Kuun rataliikkeen tärkeä jaksollisuus. Meritopograa taas määritellään sen keskimerenpinnan ja geoidin välisen eron osuudeksi, joka on pysyvä. Myös tässä, pysyvyyden mitta on käytettävissä olevat mittaussarjat; mareogramittaukset ovat olleet käytettävissä jo noin vuosisadan ajan, kun taas useat satelliittiaikasarjat (TOPEX/Poseidon ja sen seuraajat) ovat vain noin parin vuosikymmenen pituisia. Ks. kuva Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit Paikallisesti määritetty geoidin malli on yleensä relatiivinen. Paikallisesti ei ole riittävällä tarkkuudella, nykytekniikalla käytettävissä globaalista keskimerenpintaa. Tulevaisuudessa tämä saattaa muuttua. Yleensä paikallinen geoidimalli on sidoksissa kansalliseen korkeusjärjestelmään, ja ero määritelmästä on siis sama kuin kansallisen korkeusjärjestelmän tasoero globaalisesta keskimerenpinnasta. Suomen tapauksessa ero on n. metri, johtuen lähinnä Pohjanmeren (n. 30 cm) ja Pohjois-Atlantin meritopograasta. Suomessa korkeudet mitattiin pitkään N60-järjestelmässä, joka on sidottu keskimerenpintaan Helsingin satamassa vuoden 1960 alussa. Järjestelmän pääkiintopiste kuitenkin sijaitsee Kaivopuistossa. Tarkkavaaituksen avulla korkeudet on viety kaikkialle Suomeen. Nykyisin Suomen korkeusjärjestelmä on N2000, joka on periaatteessa Amsterdamin merenpinnalle sidottu, mutta jonka pääkiintopiste Suomessa sijaitsee vaastaavasti Metsähovin tutkimusasemalla Kirkkonummella. Vuonna 1960 alussa Suomen korkeusjärjestelmän N60 lähtötaso oli maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta; kuitenkaan postglasiaalisen maannousun seurauksena se ei sitä enää ole: postglasiaalinen maannousu vaihtelee n. neljästä millimetristä vuodessa Helsingin seudulla n. kymmeneen millimetriin vuodessa maannousun maksimialueella Pohjanmaan tienoilla. Tämä on tärkein syy, miksi Fennoskandiassa korkeusjärjestelmillä on paras ennen -päivämäärä ja ne joudutaan uusimaan pari kertaa vuosisadalla. Yleensä käytännön geoidikartat, kuten Suomen geoidimalli FIN2000 (kuva 8.4) konstruoidaan niin, että ne muuntavat kansallisen korkeusjärjestelmän mukaiset, esim. N60-korkeudet (Helmert-korkeudet) keskimerenpinnasta korkeuksiksi GRS80-vertausellipsoidista. Koska maannousu on kuitenkin jatkuva prosessi, on se sidottava tiettyyn epookkiin, ajanhetkeen

199 11.3. Geoidi ja postglasiaalinen maannousu 185 jolloin tehtiin ne GPS-mittaukset joihin alunperin gravimetrinen geoidiratkaisu on sovittu. FIN2000:n tapauksessa tämä oli (Matti Ollikainen, eri lähteitä). Tarkasti ottaen FIN2000 ei siis olekaan geoidin malli. Parempi nimitys lienee muunnospinta. Tämä koskee oikeastaan kaikki kansalliset tai alueelliset geoidimallit jotka tehdään ensisijaisesti sitä varten, että GPS-menetelmä voitaisiin käyttää korkeudenmääritykseen (GPSvaaitus). Nämä geoidinkaltaiset pinnat konstruoidaan yleensä niin, että 1. lasketaan gravimetrinen geoidi käyttämällä Stokesin menetelmä ja Remove-Restore, esim. FFT-menetelmän avulla; 2. sovitetaan tämä geoidipintaratkaisu muutamaan vertauspisteeseen, missä sekä korkeus vaaituksesta (merenpinnasta) että GPS-menetelmästä (vertausellipsoidista) ovat tunnettua. Sovitus tapahtuu esim. kuvaamalla erotuspinta polynomifunktiolla: N = a + b ( 0 ) + c (' ' 0 ) + ::: tai monimutkaisempaa, ja ratkaisemalla kertoimet a; b; c geoidierotuksista tunnetuissa pisteissa pienimmän neliösumman menetelmän avulla Geoidi ja postglasiaalinen maannousu Globaalinen keskimerenpinnan taso ei ole vakio. Se nousee hitaasti määrällä joka on viime vuosisadan aikana hitaasti kasvanut. Koko 1900-luvun aikana keskimääräinen nousutahti on ollut parhaiden arvoiden mukaan n. 1:5 2:0 mm =a; esim. 1:6 mm =a (Wöppelmann et al., 2009). Viime parina vuosikymmenenä tahti on kiihtynyt ja on nyt n. 3 mm =a, ks. kuva Tätä arvoa kutsutaan eustaattiseksi keskimerenpinnan nousuksi. Se johtuu osin jäätiköiden ja mannerjään sulaamisesta, osin meriveden lämpölaajenemisesta. Eustaatisen nousun tarkkaa arvoa on hyvin vaikea määrittää: lähes kaikilla merenpinnan tasoa mittaavilla vuoksiasemilla on oma pystyliikkeensä ja niiden erottaminen merenpinnan noususta edellyttää mittauspaikkojen erittäin edustavaa maantieteellistä jakaumaa. Etenkin kiinteän Maan vielä käynnissä oleva isostaattinen reaktio viimeisen jääkauden loppuun, ns. GIA (Glacial Isostatic Adjustment) on maailmanlaajuinen ilmiö, jota vasta viime vuosikymmeninä on osattu havainnoida satelliittipaikannuksen avulla. Eustaattisesta merenpinnan noususta johtuen on tehtävä ero absoluuttisen ja relatiivisen maannousun välillä: Absoluuttinen maannousu on maankuoren liike maapallon massakeskipisteeseen nähden. Tämä maannousu mitataan kun käytetään satelliitteja, joiden radanmääritys tapahtuu Maan massakeskipisteeseen sidotussa vertausjärjestelmässä. Esim. satelliitti-altimetria, GPS-paikannus mareografeilla. Relatiivinen maannousu on maankuoren liike keskimerenpinnan nähden. Tämä liike mitataan mareograen avulla. Geoidin nousu: kun postglasiaalinen maannousu on Maan sisäisten ainemäärien siirtyminen paikasta toiseen, on selvä että myös geoidi täytyy muuttaa. Geoidin nousu on kuitenkin

200 186 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa pieni maannnousun verrattuna, vain muutama prosentti siitä. Kaava (piste suureen yläpuollella merkitsee aikaderivaatta d =dt): jossa _h = _H r + _H e + _H t + _N; _h on absoluuttinen maannousu, _H r on relatiivinen maannousu, _H e on eustaatinen (keskimerenpinnan) nousu, _H t on meritopograan ajallinen muutos (luultavasti pieni), _N on geoidin nousu. Geoidin muutos maannousun seurauksena voidaan yksinkertaisesti laskea Stokesin kaavan avulla:! dn dt = R d 4 dt g S ( ) d tässä d g on painovoima-anomalioiden muutos ajassa maannousun johdosta. Valitettavasti dt emme tunne tarkasti mekanismia millä massaa virtaa Maan vaipassa maannousualueen alle; voimme kirjoittaa d g = cdh dt dt ; missä vakio c voi vaihdella arvojen 0,16 ja 0,31 mgal =m välillä. Arvoa 0; 16 mgal =m kutsutaan Bouguer-hypoteesiksi: se vastaa tilannetta, missä nousevan maankuoren alle virtaa ylävaipan materiaalia täyttämään syntynyttä reikää. Arvo 0; 31 mgal =m on toinen ääripää, vapaa-ilma-hypoteesi. Tämän hypoteesin mukaan jääkauden jääkuorma on vain puristanut maan vaippa kokoon, ja nyt se on hitaasti laajenemassa entiseen tilavuuteensa (pullataikinamalli). Todennäköisin arvo oli pitkään noin 0,2 mgal =m, melkoisella epävarmuudella. Uusimmat tulokset (Mäkinen et al., 2010) antavat 0, mgal =m (yksi standardipoikkeama), mikä näyttää ratkaisevalta. Näyttää siltä, että Bouguer-malli on lähempänä fysikaalista totuutta. Massan virtaus tapahtuu todennäköisesti ns. astenosfäärin sisällä. Tämä ongelmakenttä on paljon tutkittu Pohjoismaissa. Menetelmä on ollut gravimetrinen mittaus 63 N leveyspiiriä pitkin (Blue Road Geotraverse -projekti). Mittausasemat ulottavat Norjan rannikolta Venäjän rajalle saakka, ja ne on valittu niin että painovoima niillä vaihtelee pienen välin sisällä. Näin vältetään gravimetrien mittakaavavirheen vaikutusta. Eihän absoluuttinen painovoima kiinnosta, vain ainoastaan painovoima erojen muutos ajassa asemien välillä. Mittauksia on tehty monen vuoden ajan käyttäen huipputarkkoja jousi- eli relatiivigravimetreja. Viime vuosina on siirrytty absoluuttigravimetrien käyttöön, jolloin mittaus linjoja ei enää tarvita.

201 11.4. Menetelmiä meritopograan määrittämiseksi 187 Maankuori Astenosfääri (a) Bouguer-malli... Maankuori Ylä-vaippa (b)... ja vapaa-ilma-malli. Kuva 11.1 Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia Menetelmiä meritopograan määrittämiseksi Periaatteessa on olemassa kolme geodeettista menetelmää: satelliitti-altimetria ja gravimetrinen geoidimääritys; GNSS-paikannus rannikolla (mareograt) ja gravimetrinen geoidimääritys; ja tarkkavaaitus rannikkoa pitkin. Tämän lisäksi on vielä olemassa oseanograanen menetelmä eli fysikaalinen mallinnus. Menetelmää kutsutaan steeriseksi vaaitukseksi jos käytetään lämpötila- ja suolaisuusmittauksia pystyproilia pitkin avomerellä; geostroseksi vaaitukseksi jos käytetään virtausmittauksia Coriolis-voiman vaikutuksen määrittämiseksi, yleensä rannikon lähellä. Kaikki menetelmät pitäisi antaa samat tulokset. Itämeri on esimerkkitapaus, missä kaikki kolme menetelmää on käytetty. Tulos oli, että koko Itämeren pinta on kallellaan: ekvipotentiaalipintaan nähden merenpinta nousee Tanskan raumoista Suomenlahden ja Pohjanlahden pohjukoille n cm. Oseanograset mallilaskennat antavat ymmärtää, että tämä kaltevuus on suurilta osin peräisin suolaisuusgradientista: Atlantilla suolaisuus on o =oo, kun Itämerellä se laskee 5-10 o =oo:iin johtuen jokien massiivisesta makean veden tuotannosta (Ekman, 1992). Tietysti tämän päälle asettuvat ajalliset vaihtelut, kuten myrskyjen aiheuttamat oskillaatiot heiluvan kylpyammeen tapaan, joiden amplitudi voi olla yli metriä. Julkaisussa Ekman (1992) löytyy lisää Itämeren meritopograasta ja sen määrityksestä.

202 188 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa Föllinge Meldal Kopperå Vågstranda Stugun Kramfors Vaasa Äänekoski Joensuu Kuva 11.2 Fennoskandian 63 N leveyspiirin painovoimalinja Globaalinen meritopograa ja lämmönkuljetus Yksi tärkeä syy miksi tutkijat ovat kiinnostuneita maailmanlaajuisesta meritopograasta on, että se antaa tilaisuuden tutkia tarkemmin valtamerten virtaukset ja näin ollen Auringon lämpöenergian kuljetusta päiväntasaajalta korkeampiin leveysasteisiin. On itse asiassa olemassa monta asiaa, joiden tutkimusta edesauttaa merivirtausten tarkka tunteminen: veteen liuennut hiilidioksidi, suolaisuus, ym. Maan pyörähdysliikkeen aiheuttama Coriolis-voima (kiihtyvyys) on: a = 2 D v!! E ; (11.1) missä v on liikevektori pyörivän maapallon järjestelmään kiinnitetyssä järjestelmässä ja!! on maapallon pyörähdysliikevektori. Jos neste virtaa Maan pinnalla, vaikuttaa yhtälössä 11.1 vain vektorin!! pinnan normaalisuunnassa oleva osa: sen pituus on D!! n E =! sin ', ja vektoriyhtälö 11.1 voidaan korvata yksinkertaisemmalla skalaariyhtälöllä: a = 2v! sin '; missä a ka ha nik, eli a:n projektion pituus Maan tangenttitasossa, ja v kvk ;! =!! jne. tutulla tavalla. Coriolis-kiihtyvyyden suunta on aina kohtisuora virtausnopeutta kohtaan, virtaussuunnassa katsottuna oikeaanpäin pohjoisella pallonpuoliskolla, vasempaanpäin eteläisellä pallonpuoliskolla. Coriolis-voiman seurauksena merivirtauksen alueella merenpinta tulee olemaan kallellaan, kulmalla a = 2v! sin ': Tätä tasapainoa Coriolis-voiman ja paineen vaakagradientin välillä kutsutaan geostroseksi tasapainoksi. Kuten näkyy on päiväntasaajalla kaltevuus nolla, mutta kaikkialla muualla

203 11.5. Globaalinen meritopograa ja lämmönkuljetus x + y Kuva 11.3 Meritopograan ja merivirtausten välinen yhteys. Punaiset nuolet kuvaavat merivirtauksia; käyrät meritopograaa. merivirrat ovat kallellaan. Esimerkiksi Golf-virran tapauksessa tämän efektin aiheuttama korkeusvaihtelu on muutama desimetri. Jos määritellään paikallinen (x; y) -koordinaatisto jossa x osoittaa pohjoiseen ja y itään, voimme kirjoittaa = y sin = +2v! x sin '; (11.2) Kuten tulemme näkemään seuraavassa luvussa 12, voidaan mitata merenpinnan paikka avaruudessa tällä tarkkuudella satelliitti-altimetrian avulla. Jos meillä on tämän lisäksi vielä tarkka geoidikartta, niin voimme 1h laskea meritopograa, ja yhtälöiden 11.2 avulla ratkaista virtauksen nopeusvektorikenttä vx ('; ) v y ('; ) it. Kaavojen elegantti ominaisuus on, ettei tarvitse tietää edes kentän ('; ) absoluuttista tasoa, koska se häviää dierentioimisessa. Kuvattu menetelmä edellyttää riiittävän tarkan Maan valtamerten geoidikartan olemassaoloa. Tähän tarpeeseen GOCE-satelliitti tuli kuin tilattuna, ks. alaluku Hankkeen yhtenä päämääränä oli, kuten nimestä voi päätellä, saada täydellinen kuva merivirtauksista ja erityisesti niiden lämpökuljetuskapasiteetista. Tämä tieto auttaa ymmärtämään miten maapallon ilmasto toimii ja miten se on muuttumassa, myös ihmiskunnan toiminnan seurauksena. Tämä on Euroopalle ja Suomelle keskeisen tärkeä, ovathan nämä alueet asumiskelpoisia ainoastaan Golf-virran tuoman lämpöenergian ansiosta. Jo ilman geoidimallia voidaan tutkia satelliitti-altimetrian avulla merivirtausten vaihteluja. On tiedetty jo kauan, että Pohjois-Atlantilla Golf-virran laidalla liikkuu ns. meso-scale eddies, kilometrin kokoisia pyörteitä jotka näkyvät satellitti-altimetriakuvissa. Mielenkiintoista on, että pyörteet näkyvät myös merenpinnan lämpätilakartoissa ja biologit ovat havainneet, että pyörteiden sisäinen eliöstö poikkeaa sen ulkopuolisesta (Godø et al., 2012). Pyörteiden elinkaari voi olla viikkoja, jopa kuukausia. 1 Käypä merivirtauksen yksikkö on Sverdrup ( miljoona kuutiometriä sekunnissa. Maailman kaikki joet yhdessä on n. 1 Sv, kun Golf-virta on Sv.

204 190 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa Kuva 11.4 GOCEn tuottama meritopograakartta. European Space Agency. Yksikkö cm. Päälle piirretyt meren pintavirtaukset NOAA / Rick Lumpkin (Lumpkin and Garrao, 2005). Hyvä, vaikkakin jo hieman vanha, johdanto geodeettiseen meritieteeseen ja satelliitti-altimetrian käyttöön antaa Rummel and Sansó (1992) Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen Vettä on maapallolla kolmessa eri olomuodossa: neste, jää ja höyry. Geologisen historian aikana on erityisesti nestemäisen veden ja jään suhde vaihdellut suuresti. Myös tällä hetkellä on suuri määrä jäätä sidoksessa mannerjäätikköihin, lähinnä Etelämanner ja Grönlanti. Näistä Itä-Etelämanner on ylivoimaisesti suurin. Kun mannerjäätikköihin sidotun veden määrä vaihtelee, vaihtelee merenpintakin. Viimeisen jääkauden loppuminen on nostanut merenpintaa jopa 120 m, prosessi joka tuli päätökseen n vuotta sitten 2 ( Vasta viime vuosisadan, parin aikana on merenpinta taas lähtenyt kiihtyvään nousuun lähinnä globaalin lämpenemisen seurauksena. Elämme edelleen viimeisen glasiaation jälkimainingeissa; siellä missä oli isoja mannerjäätikköitä jotka ovat sittemmin sulanneet pois, kuten Fennoskandiassa ja Kanadassa (ns. Laurentiidinen mannerjäätikkö) on maa edelleen nousemassa tasaiseen tahtiin, paikoin jopa 10 mm =vuosi. Maannousualueiden ympärillä, keski-euroopassa ja Yhdysvalloissa, tapahtuu taas maan vajoaminen, 1 1:5 mm:n vuosivauhdilla, kun välittömästi Maan kovan ulkokerroksen years before present, 6 ka BP. BP sovitusti merkitsee: ennen Nykyisin käytetään myös b2k, ennen vuotta 2000.

205 11.7. Merenpintayhtälö 191 Merenpinta laskee Merenpinta nousee Merenpinta laskee Grönlanti Etelämanner Kuva 11.5 Merenpintayhtälö. Merenpinta reagoi monimutkaisella tavalla kun mannerjäätiköt sulaavat. eli litosfäärin alla olevassa ylävaipassa eli astenosfäärissä ainetta virtaa hitaasti sisään päin nousevan Maankuoren alle. Kuvion mutkistamiseksi mannerjäätikköiden aiheuttama merenpinnan nousu painaa myös valtameren pohjaa alaspäin jopa 0:3 mm vuodessa, ns. Peltier-ilmiö (Peltier, 2009). Siksi mitattu merenpinnan nousu joko rannikolla mareografeilla, tai avaruudesta satelliittialtimetriaa käyttäen ei edusta koko valtameren vesivolyymin muutosta. Jos se on kiinnostuksen kohteena, kuten se ilmastotukimuksessa aina on, pitää lisätä havaintoarvoihin vielä tämä Peltier-korjaus. Merenpohjan vajoaminen ei ollut edes globaalisti tasaista: mantereiden reunalla tapahtuu vipuliike kun merenpohja vajoaa mutta kuiva maa ei. Ja Intian ja Tyynen Valtameren tropiikissa merenpinta saavutti n vuotta sitten maksimitasonsa, ns. mid-holocene highstand, maankuoren suhteen; sen jälkeen paikallinen merenpinta on laskenut ja sen aikaiset korallimuodostelmat ovat jääneet kuolleina n. 23 m nykymerenpinnan yläpuolelle. Näin muodostivat esim. Tuvalu ja Malediivit, joita moderni merenpinnan nousu on jälleen uhkaamassa Merenpintayhtälö Tieteellisesti merenpinnan vaihtelut tutkintaan merenpintayhtälön avulla ( mines.edu/sle/sle.pdf). Alan pioneereja on ollut Richard Peltier ( physics.utoronto.ca/~peltier/data.php), joka on rakentanut fysikaalisia malleja siitä, miten sekä kiinteä Maa että merenpinta reagoi, jos mannerjäätikköiden kokonaismassa muuttuu. h i h i S = S E + i Gs i I G s i I + o Gs o S G s o S ; (11.3) 0 0 Merenpintayhtälö on ( jossa

206 192 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa S = S (!; t) = S (; ; t) kuvaa merenpinnan vaihtelut paikan! = ('; ) ja ajan t funktiona, I = I (!; t) on vastaavasti jäätiköiden geometriaa kuvaava paikan ja ajan funktio, S E on eustaattinen termi, eli jäämassojen vaihtelu kuvattuna vastaavana globaalisen merenpinnan vaihteluna, kaavassa S E (t) = m i (t) o A o ; jossa m i (t) on jään kokonaismassan vaihtelu ajan funktiona, o meriveden tiheys ja A o valtamerten kokonaispinta-ala; on aineen tiheys: i jään ja o veden; on pallopinnan ja aika-akselin konvoluution symboli, i jäätiköiden, o valtamerten yli eli Greenin funktio kerrotaan jää- ja merifunktioiden kanssa ja integroidaan ko. domeenin yli. Nämä integraalit ovat muuten hyvin samanlaisia kuin mistä puhuttiin alaluvussa 7.1, esim.: ˆ t fg s o Sg (!; t) = G s f (!;! 0 ) ; (t t 0 )g S (! 0 ; t 0 ) d! 0 dt 0 ; 1 Meri jossa (!;! 0 ) on geosentrinen kulmaetäisyys laskentapisteen! = (; ) ja integrointipisteen! 0 = ( 0 ; 0 ) välillä. Pinta-integraali d! = R 2 cos dd. Kuten näkyy, on tässä kyse sekä Maan pallopinnalla S että aika-akselilla t suoritettu konvoluutio. Yläpalkki kuvaa keskimääräistystä koko valtameren pinnan yli, 0 on keskimääräinen painovoimakiihtyvyys, G s on ns. merenpinnan Greenin ydinfunktio: G s = G V 0 G u ; jossa geopotentiaalin Greenin funktio on G V ( ; t) = G r V ( ; t) + G e V ( ; t) + G v V ( ; t) jossa taas on laskentapisteen etäisyys integrointipisteestä, ja G r V ; G e V ja G v V ovat jäykän (rigid), elastisen ja plastisen (viscous) deformaatioiden osafunktioita. Ne siis kuvaavat maapallon reologista käyttäytymistä, ja niiden teoreettiseen laskemiseen tarvitaan Maan sisäistä viskoositeettijakauma (r), olettaen, että se on isotrooppinen, ts. riippuu vain säteestä r. G u ( ; t) = G e u ( ; t) + G v u ( ; t) taas on vastaavasti pystysiirtymän Greenin ydinfunktio, samalla tavalla jaettuna elastiseen ja plastiseen osuuksiin. Merenpinnan käyttäytyminen voidaan nyt laskea sillä tavalla, että ensin yritetään konstruoida jääkuormahistoria, siis I (!; t); sitten tästä yritetään laskea iteratiivisti merenpintayhtälön

207 11.7. Merenpintayhtälö 193 Kuva 11.6 Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen (Wikimedia Commons, Robert A. Rohde, GNU Free Documentation License) avulla S (!; t). Huomaa, että S kuvaa relatiivista merenpinnan vaihtelua, eli muutokset merenpinnan ja Maan kiinteän kappaleen eli maankuoren välisessä pystysuunnan sijainnissa. Se on paikan funktio: ei saa olettaa, että se olisi kaikkialla sama. Artikkelissa Mitrovica et al. (2001) näytetään, miten esim. Grönlannin sulamisvesi pakenee eteläiselle pallonpuoliskolle, kun taas Etelämantereen sulaamisvesi tulee vastaavasti pohjoiseen. Tämä on seuraus siitä, että Maan painovoimakenttä ja geoidi muuttuvat, kun suuret jäämassat sulaavat. Toinen tekijä on, että myös Maan muoto muuttuu, kun jään kuormitus muuttuu: ns. Glacial Isostatic Adjustment eli GIA. Tämä hankaloittaa myös globaalisen keskimerenpinnan vaihtelujen seurantaa paikallisista mittauksista: ongelma on Fennoskandiasta tuttu, kun maankuori liikkuu ylöspäin toistaiseksi nopeammin kuin globaalisen merenpinnan nousu... Merenpintayhtälön Green-funktiot ovat sekä etäisyyden että ajan t funktioita; tämä kuvaa se, että GIA on sekä paikan että ajan funktio. Pallosymmetriselle Maalle funktioita voidaan kirjoittaa kehitelmiksi, esim. G v V ( ; t) = H (t) R 0 M 1X 0 `=1 max i=1 k`i e s`it 1 A P` (cos ) ; jossa H (t) on askelfunktio (Heaviside-funktio). Indeksi i laskee ns. viskoelastiset moodit; k`i ovat viskoelastisia kuormituksen deformaatiokertoimia ja `i = 1=s`i vastaavat relaksaatioajat joissa ko. moodi vaimentuu aikaa myöten. Yleensä moodit joilla on pitkät spatiaaliset mittakaavat siis alhaiset i-luvut vaimentuvat hitaammin, kun taas paikalliset moodit korkeat i-luvut vaimentuvat nopeammin, ja viime deglasiaation paikalliset moodit ovat ny-

208 194 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa temmin jo hävinneet. Esimerkiksi Fennoskandian maannousun maantieteellinen kuvio on jo hyvin sileä, ja deglasiaation aikainen seisminen toiminta on pitkälti ohi. Silloin, heti mannerjäätikön vetäytymisen jälkeen jäätikön reunalla, tapahtui voimakkaita maanjäristyksiä joiden jälki näkyy maisemassa. Tämän hetken hallitsevat viskoelastiset moodit ovat maantieteelliseltä mittakaavaltaan tuhansia kilometreja, ja vastaavasti aikaskaalaltaan tuhansia vuosia.

209 Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Luku Satelliitti-altimetria Satelliitti-altimetria mittaa mikroaaltotutkalaitteiston avulla satelliitiltä matkaa suoraan alaspäin merenpintaan. Aikaa myöten on lentänyt useitä satelliitteja joilla oli tutka-altimetri mukanaan, ks. taulukko GEOS- ja Seasat-satelliitit olivat amerikkalaisia koesatelliitteja altimetriamenetelmän kehittämiseksi. GEOS-3:n ( A) mittaustarkkuus oli vielä aika heikko. Ennen sitä kokeiltiin altimetriaa myös Skylabilla ( A) olevalla laitteella. Seasat ( A) meni epäkuntoon vain kolme kuukautta laukaisunsa jälkeen. Kuitenkin Seasat-aineisto oli ensimmäinen laaja satelliitti-altimetria-aineisto joka käytettiin keskimerenpinnan määrittämiseksi, myös Itämerellä. Satelliite Taulukko 12.1 Altimetriasatelliitteja kautta aikojen. Lauk. Ratatason Radan Toisto- Tark- Paikanvuosi kalte- korkeus jaksot kuus nus vuus ( ) (km) (vrk) (m) GEOS ; ;20 Seasat ; (17) 0;08 Geosat ; , 17 0;04 ERS ; , 35, ;03 TOPEX-Poseidon ; ;033 GPS ERS ; ;03 PRARE Geosat follow-on ;035 Envisat ; ;045 GPS Jason ; ;9156 0;025 GPS Jason ;9156 0;025 GPS Cryosat ; , 30 DORIS HY-2A ; , 168 0;085 DORIS, GPS SARAL/AltiKa ; DORIS

210 196 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Geosat ( A) oli Yhdysvaltain laivaston laukaisema satelliitti, jonka tarkoituksena oli kartoittaa maailman valtamerten painovoimakenttä, tarkemmin luotiviivapoikkeamat, joita tarvitaan sukellusveneiltä laukaistujen ballististen ohjusten oikean lähtösuunnan aikaansaamiseksi. Geodeettisen mission 17-päiväisen toiston aineisto oli alunperin salaista; sitten julkaistiin eteläisen pallonpuoliskon aineisto tutkijoitten käyttöön, ja tällä hetkellä koko aineisto on käytettävissä. ERS-1/2 -satelliitit ( A, A) ja Envisat ( A) ovat ESAn (European Space Agency) laukaisemia. Altimetri oli vain yksi monesta laitteesta. ERSsatelliiteillä oli mukana saksalainen PRARE-paikannin, mutta vain ERS-2:n laite oli toimiva laukaisun jälkeen. TOPEX/Poseidon ( A) oli amerikkalais-ranskalainen yhteistyöprojekti jonka yhtenä tavoitteena oli meritopograan tarkka määritys. Erikoispiirteenä on mukana oleva tarkka GPS-paikannin, jonka ansiosta altimetri määrittää merenpinnan sijainnin geosentrisesti. Yhdessä sen seuraajien Jason-1 ja 2 ( A, A) kanssa tämä satelliittimissio on myös tuottanut, ja tuottaa edelleen, arvokasta tietoa globaalin keskimerenpinnan noususta viime 20 vuoden aikana, noin 3 mm vuodessa. Ks. kuva Kuuluisa merentutkija Walter Munk kuvasi v TOPEX/Poseidon sanoilla ( http: //en.wikipedia.org/wiki/topex/poseidon) kaikkien aikojen menestyksekkain merentutkimushanke. HY-2A ( A) on kiinalainen, Kiinan laukaisema satelliitti. SARAL/AltiKa ( A) on Intian laukaisema satelliitti. Altimetri ja DORIS ovat Ranskan rakentamia. Cryosat-2 ( A) on Euroopan avaruusjärjestön ESAn laukaisema satelliitti napaalueiden merijään tutkimiseksi. Kiinnostuksen kohteeksi on ns. freeboard, eli paljonko jää törröttää ympäröivän veden yläpuolille. Tästä voidaan laskea jään paksuus ja, pintaalan kanssa, sen kokonaismäärä (Cryosat-1 laukaisu epäonnistui). Paikannus tapahtuu ranskalaisen DORIS-järjestelmän avulla. Satelliittialtimetrian mittausmenetelmä on kuvattu kuvassa Tässä näkyy kaikki suureet jotka altimetriassa ovat mukana: mitattu etäisyys ` on satelliitin korkeus h vertausellipsoidista, korjattuna geoidin korkeuksella N, meritopograalla H ja merenpinnan vaihteluista, kuten vuokset, pyörteet, vuosittaiset jaksot jne. Tämän lisäksi, jos satelliitissa ei ole mukana tarkka paikannuslaite, satelliitin todellinen rata ei ole se mikä on laskettu (edes jälkeenpäin!); siksi h sat = h 0;sat + h; missä h 0;sat on laskettu rata ja h ratavirheen korjaus. Mittaukset tehdään lähettämällä 1020 pulssia sekunnissa alaspäin; takaisin heijastettujen pulssien kulkumatka mitataan, suurin ja pienin arvo heitetään pois (mahdollisina virhemittauksina) ja lopusta lasketaan lineaariregression avulla keskiarvo pulssisarjan keskiepookkiin.

211 12.1. Satelliitti-altimetria 197 Kuva 12.1 TOPEX/Poseidon ja Jason -satelliitien tuottamat tulokset. Vasemmalla, globaalisen keskimerenpinnan nousu; oikealla, yhteys globaalisen keksimerenpinnan ja ENSOn (El Niñon) välillä. Colorado University's Sea Level Research Group, Näin regressioviivasta saatu arvo on varsinainen mittaus; yksi sekunnissa, jolloin mittaustahti on 1 Hz. Yksityiskohdat vaihtelevat satelliitista toiseen. Pulssin muoto ei ole koskaan aivan terävä; heijastuksen paikka meren pinnalla eli footprint, on läpimitaltaan muutama kilometri. Etenkin jos merellä on aaltoliike (signicant wave height, SWH), on käsittelyvaiheessa tehtävä huolellisia laitekorjauksia, jottei syntyisi systematiikkaa: jos SWH on iso, on myös altimetrin footprint (merenpinnan alue mistä palaa radioenergiaa vastaanottimeen) suurempi, ja radioaaltojen kulkumatka keskimäärin pitempi. Kaikista laitteistoon, ilmakehään, mereen ja kiinteään Maahan liittyvistä korjauksista mainittakoon: Meriaaltojen korkeus (SWH); Kiinteän Maan vuorovesi; Meren vuorovedet; Troposfäärin kostea propagaatioviive, parhaiten mitattavissa satelliitilla olevan vesihöyryradiometrin avulla, muulloin ilmakehämallista; Troposfäärin kuiva propagaatioviive; Ionosfääriviive, vaan ionosfäärin osuudesta satelliitin alapuolella, riippuu lentokorkeudesta; Altimetritutkan oma kalibrointikorjaus. Nykyisin pyritään aina in-ight -kalibrointiin. Mittaukset ja niihin tehtävät kaikki korjaukset kerätään geophysical data record (GDR) - nimiseen tietueeseen, yksi per havaintoepookki; näin rakennetut tiedostot jaetaan tutkijoille. Tämä mahdollistaa kaikenlaista kokeilua, esim. korjausten korvaaminen paremmilla malleilla lasketuilla, jne.

212 198 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Todellinen rata Laskettu rata h sat ` Meritopograa H footprint Geoidi Merenpinta Vertausellipsoidi Keskimerenpinta Geoidikorkeus N Kuva 12.2 Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet Crossover-tasoitus Kun satelliitti kiertää Maata kuukausien tai jopa vuosien ajan, kertyy tuhansia pisteitä missä radat kulkevat ristin. Jos oletetaan, että merenpinta oli sama kumman satelliitin ylikulun aikana, tästä muodostuu ehto jota voidaan käyttää satelliittiratavirheiden tasoittamiseksi. Havaintoyhtälöt: h a = N + H + h + + n; missä h a on altimetrinen merenpinnan korkeuden mittaus, N on geoidikorkeus, H on meritopograa (keskimerenpinnan pysyvä poikkeama ekviipotentiaalipinnasta), h on ratakorjaus, on merenpinnan vaihtelevuus mm. vuoroveden seurauksena, ja n on tutkahavaintojen kohina. Tästä saadaan ratojen i ja j risteyskohdassa: `k h i a h j a = ( h i h j ) + ( i j ) + n i n j : Tässä näkyy hankaluutena, että risteyskohtatasoituksessa sekä merenpinnan vaihtelevuus että ratakorjaukset ovat molemmat mukana samassa yhtälössä. Jos unohdetaan toistaiseksi merenpinnan vaihtelevuutta (tai oletetaan että se käyttäytyy

213 12.2. Crossover-tasoitus 199 h 2 h 3 h 2 h 3 h 1 h 1 h 3 3 Crossover 2 Crossover Kuva 12.3 Eräs crossoverien yksinkertainen geometria. satunnaisesti, ts. on osaa kohinasta n), voimme kirjoittaa `k = h i h j + n k ; crossover-tasoituksen havaintoyhtälö. Indeksi k laskee risteyskohtia, indeksit i; j laskevat ratoja. Seuraavaksi valitaan sopiva malli satellittiratakorjauksille. Yksinkertaisin valinta, joka riittää pienellä alueella, on oletus että ratakorjaus on vakio. Ks. yksinkertainen esimerkki, kuva Kuvassa on kolme rataa ja kaksi risteyskohtaa. Havaintoyhtälöt, jotka kuvaavat tiedossa olevien risteyskohtien ristiriidat määrittettävinä olevien ratakorjausten funktioina, ovat `1 = h 2 h 3 `2 = h 1 h 3 tai matriisimuodossa " # " ` = `2 #2 6 4 h 1 h 2 h :

214 200 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Symbolisesti ` = Ax: Kun nyt yrität laskea ratkaisu tavallisen pienimmän neliösumman menetelmän avulla, bx = A T 1 A AT`; huomaat, että se ei onnistu. Matriisi A T A on singulaarinen (tarkista!). Tämä käy järkeenkin, voidaanhan siirtää koko rataverkko ylös- tai alaspäin ilman että havaintosuureet `k muuttuisivat. Sellaiseen järjestelmään ei löydy yksiselitteistä ratkaisua. Ratkaisun saaminen edellyttää, että jotain kiinnitetään. Esim. yksi rata, tai kaikki ratojen keskitaso. Tämä kiinnitys saadaan aikaan lisäämällä seuraava havaintoyhtälö: `3 0 = h i x: Vaihtoehtoinen ratakorjausten esitystapa joka kelpaa suuremmalla alueella käytettäväksi, on lineaarinen funktio: h = a + b; jossa parametri on paikka radassa laskettuna sen alkupisteesta. Paikan dimensio voi olla aika (sekunteja) tai etäisyys kulmamitalla (asteita). Nyt ylläolevan tilanteen havaintoyhtalöiden ryhmä on (huomaa notaatio: i k; k havainnon eli crossover-pisteen numero, i tuntemattoman eli radan numero): " `1 `2 # " = # 2 64 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 Tietysti tämäkin ryhmä osoittautuu singulaariseksi. Singulariteetin poistaminen onnistuu kiinnittämällä kolme b-parametria ja yksi a-parametri 1. Ilmiötä, että ratkaisua ei löydy, mikäli ei kiinnitetä jotain, kutsutaan datumi-defektiksi. Sopivan asian kiinnitys määrittää tietty datumi. Eri datumien välillä on olemassa muunnoskaava, esim. yksinkertaisimmassa tapauksessa että on vain yksi ratakorjausparametri per rata, tama muunnos on yksinkertainen, kaikkien ratojen translaatio ylös- tai alaspäin. Tilanne on hiemän sama kuin maan korkeusjärjestelmää määrittäessä: täytyy kiinnittää yksi piste, esim. Helsingin satama. Jos kiinnitetään toinen piste, esim. Turun satama, saadaan toinen datumi, jossa kaikki korkeusarvot eroavat ensimmäisestä tietyllä vakioarvolla. 1 Tämän ymmärtämiseksi rakenna vaikkapa kolmen radan rautalankamalli kolmesta jäykästä rautalankapätkästä, yhteensidottuina naruilla crossover-kohdilla. Risteyskohtaehdot eivät millään tavalla kiinnitä kaltevuuksien b arvot, ja koko häkkyrän absoluuttitaso on edelleen kiinnittämättä :

215 12.3. Satelliittiradan valinta 201 Maailmanlaajuisissa crossover-tasoituksissa käytetään usein vieläkin hienompi malli, h = a + b sin + c cos ; missä nyt on kulmamittaa, esim. paikka radassa mitattuna viimeisestä päiväntasaajan ylikulusta etelästä pohjoiseen. Ks. Schrama (1989), jossa tämä ongelma käsitellään laajemmin Satelliittiradan valinta Satelliittiradan valinnassa Keplerin rataliikelait ovat keskeisiä. Kolmas Keplerin laki sanoo: GM P 2 = 4 2 a 3 S; (12.1) jossa a S = a + h S on satelliittiradan iso akselipuolikas (eli keskimääräinen etäisyys Maan keskipisteestä), kun h S kutsutaan satelliitin keskikorkeudeksi. P on kiertoaika eli periodi. Kaavasta 12.1 voi jo päätellä, että satelliittihavaintojen avulla suure GM saadaan tarkasti määritetyksi. Periodi P on tarkasti mitattavissa pitkistä havaintosarjoista; myös radan koko a S saadaan hyvin tarkasti esim. satelliittilaserhavaintojen (SLR, Satellite Laser Ranging) avulla. Tähän on käytetty esim. tunnetut Lageos (Laser Geodynamic Satellite) -satelliitit ( A, B), jotka kiertävät maapalloa 6000 km korkeudella. Etäisyydet saadaan nykyisin alle sentimetrin tarkkuudella. Altimetriasatelliittien radat valitaan paljon matalammin, kuten luvun alussa annetusta taulukosta ilmenee. Korkeus säädetään rakettimoottoreiden avulla tarkasti niin, että satelliitti kulkee saman paikan yli esim. kerran päivässä, 14 kierroksen jälkeen. Vaihtoehtoisesti valitaan rata joka kulkee paikan yli joka kolmas päivä, tai joka seitsemästoita päivä, tai joka 168. päivä... tätä kutsutaan toistojaksoksi. Toistojakson valinta perustuu käyttötarkoitukseen: jos halutaan tutkia keskimerenpinnan tarkka muoto, valitaan pitkä toistojakso, jotta saadaan radat mahdollisimman lähelle toisilleen Maan pinnalla; jos halutaan tutkia merenpinnan vaihtelevuutta, valitaan rata joka palautuu samaan paikkaan lyhyin aikavälein. Silloin rataverkosto Maan pinnalla muotautuu harvemmaksi. Myös Maan muotoparametrit vaikuttaa satelliitin rataliikkeeseen, esimerkiksi suure J 2 ; dynaaminen litistyneisyys, jonka arvo on J 2 = 1082: : Se on vain yksi monesta ns. pallofunktiokertoimesta jotka kuvaavat maapallon muotoa ja vaikuttavat satelliittiratoihin. J 2 :n tapauksessa vaikutus on sellainen, että satelliitin ratataso kiertää tietyllä nopeudella (prekessio), joka johtaa siihen, että, jos satelliitti lentää saman paikan yli seuraavana päivänä, se tekee sen useita minuutteja aikaisemmin. Yhtälö on ympyrän muotoiselle radalle jonka säde on a: s GM d dt = 3 2 a 3 a 2 e a 2 J 2 cos i;

216 202 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Maapallon litistyneisyyden aiheuttama vetovoima Satelliitin rataliike Auringon (näennäinen) päivittäinen liike Satelliittiradan nousevan solmun päivittäinen liike Kuva 12.4 Aurinkosynkroonisen radan mekanismi. missä a e on maapallon ekvatoriaalisäde ja i ratatason kaltevuuskulma eli inklinaatio päiväntasaajan suhteen. Jos sijoitetaan tähän numeeriset arvot, saadaan d dt = 1; cos i a 3:5 [m3:5 s 1 ]: Jos tähän sijoitetaan vaikkapa satelliitin korkeudeksi saamme h = 800 km! a = m m = m; d dt = 1; cos i [rad s 1 ] = 6;589 =pv cos i: (12.2) Käytännön syistä (aurinkopaneelit!) valitaan satelliittirata usein niin, että ratataso kiertää Auringon vuosittaisen näennäisliikkeen mukana, eli 360 =365;25 pv = 0 ;9856=pv: Ks. kuva Jos inklinaatio i valitaan välissä ; radan korkeudesta riippuen, Maan dynaaminen litistyneisyys J 2 aiheuttaa juuri sopivan ratatason kiertoliikkeen (no-shadow/sun-synchronous orbit), ks. kuva Auronkosynkroonin radan haittapuolena taas on, että altimetriahavainnot tehdään aina samaan paikallisaikaan. Esimerkiksi Auringon aiheuttamat päivittäiset ja puolipäivittäiset vuokset ovat aina samassa vaiheessa ja niitä näin ollen ei voida havaita sellaisen satelliittin avulla (resonanssi). Siksi merentutkimussatelliitti TOPEX/Poseidonin, ja sen seuraajasatelliitit Jasonin, radat valittiin ei-aurinkosynkrooniksi.

217 12.3. Satelliittiradan valinta 203 Kevät Kesä Talvi Syksy Kuva 12.5 No-shadow -radan geometria Esimerkki Satelliitti liikkuu aurinkosynkroonisessa radassa, ts. se ylittää aina, päivä päivältä, jokaista leveyspiiriä samalla paikallisella (keskimääräisellä) aurinkoajalla. Kysymyksiä: 1. Mitä on satelliitin periodi jos se lentää aina 14 kierrosten jälkeen saman paikan ylitse? 2. Sama kysymys, jos se lentää aina saman paikan ylitse 43 kierrosten (3 päivän) jälkeen? 3. Entäs 502 kierrosten (35 päivän) jälkeen? 4. Mikä on satelliitin korkeus kolmen päivän radassa? Käytä Keplerin kolmas laki, kaava GM = m 3 s 2 ; ja satelliitin korkeus on h S = a S a; missä a = m: 5. Mikä on satelliitin korkeus 35 päivän radassa? Entä korkeusero edelliseen nähden? 6. Mikä on kolmen päivän radan pohjoiseen menevien ratojen keskinäinen etäisyys (eli kuinka yksityiskohtaisesti altimetri pystyisi kuvamaan merenpintaa!)? 7. Sama kysymys 35 päivän radalle. 8. Miettimiskysymyksiä: Vastaukset: a) mihin tarkoitukseen käytettäisiin 35 päivän rata, mihin kolmen päivän rata? b) Olisiko mahdollista (helppoa) lentää molemmat radat samalla satelliitilla (ks. kysymys 5)?

218 204 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot 1. Satelliitti tekee 14 kierrosta vuorokaudessa eli 1440 minuutissa: P = 1440 =14 min = 102;857 min: 2. Satelliitti tekee 43 kierrosta kolmessa vuorokaudessa eli minuutissa: P = =43 min = 100;465 min: 3. Satelliitti tekee 502 kierrosta 35:ssa vuorokaudessa eli minuutissa: P = =502 min = 100;398 min: 4. Suorita seuraava octave-koodi: format long GM= e8; ae= ; P= *60; % seconds fac=4*pi*pi; % four pi square a=(gm*p*p/fac)^ ; h = a - ae; printf('\n\norbital height: %8.3f km.\n', h/1000); Tulos on 780;604 km: 5. Sama koodi muutoksella P= *60 antaa 777;421 km. Ero edellisestä on 3;183 km: 6. Satelliitilla on 43 eri maarataa. Tämä antaa niiden väliseksi etäisyydeksi 360 =43 = 8;372 astetta, eli päiväntasaajalla, =43 = 930 km; vähemmän korkeammilla leveysasteilla =502 = 0;717 astetta eli =502 = 80 km. 8. a) 35 päivän rata olisi mainio yksityiskohtaista kartoitusta varten. Kolmen päivän rata soveltuisi, esim., vuoroveden tai säähän liittyvien ilmiöiden havainnoimiseksi, mutta resoluutio olisi heikko. b) Ratakorkeuksien ero on vain 3 km; ja periodien ero, 4 s. Tarvittava radan muutos on helposti saavutettavissa jopa pienillä rakettimoottoreilla. Siis vastaus on kyllä Retracking Satelliitti-altimetriamission tulokset julkaistaan jo lennon aikana ns. Geophysical Data Record (GDR) -tiedostoina, joissa kaikki mittaukseen liittyvat seikat mm. ilmakehän korjaustermit, vuorovesikorjaukset, meriaaltoparametrit jne. on annettuna. Nykykäytäntö on käsitellä jo saadut altimetriamittaukset uudelleen, enemmän hyödyllisten tietojen ulos saamiseksi. Tässä analysoidaan koko tutkan paluupulssi uudelleen. Menetelmää kutsutaan retracking:ksi ( retracking/welcome_en.html). Standardianalyysimenetelmä perustuu paluupulssin pisteeseen, joka on puolikorkeudella pulssin maksimiarvosta. Tämä on todistetusti hyvä menetelmä saada kulkuaikaa, joka liittyy pisteeseen keskellä footprintia, suoraan satelliitin alla. Pulssin takaosassa on heijastuksia footprintin kaukaisemmilta reuna-alueilta.

219 12.5. Merentutkimus altimetrian avulla 205 Kulkuaika Puolikorkeussääntö Lähetetty pulssi Vastaanotettu pulssi Kuva 12.6 Altimetriapulssin analysi. Klassinen paluupulssin ajanmittaus käyttää puolikorkeuspistettä. Kuitenkaan kahdessa tilanteessa tämä menetelmä ei toimi hyvin lennon aikana, ja tarkempi pulssin analyysi jälkeenpäin kannattaa: 1. Saaristoja, esim. Indonesia, Ahvenanmaa,... Tässä voi esimerkiksi käydä niin, että footprintin keskipiste on maan puolella rannikkoa. Silloin ensimmäiset vahvat heijastukset tulevat vinosti lähimmältä rannikolta. Tarkka rantaviivatiedosto on silloin käsittelyssä tarpeen. 2. Merijää-alueita pohjoisella ja eteläisellä jaamerellä. Heijastukset voivat tulla merijään pinnalta, jolloin on käsittelyssä otettava huomioon freeboard 2 eli paljonko merijään pinta on veden yläpuolella. Molemmassa tapauksessa perinteinen on-board käsittely tuottaa virheellisiä mittauksia, koska paluupulssin kulkuaika vaihtelee liian nopeasti. Retrackingilla on saatu nämä mittaukset pelastetuiksi ja altimetriamittausten kattama alue ulotetuksi jäämerten saakka. Freeboard on tärkea suure jään paksuuden määrittämisessä. Kun jään tiheys on n. 0:92 g =cm 3 ja meriveden tiheys n. 1:03 g =cm 3, on jään paksuus n. 8 freeboard. Jos tämän lisäksi on kaukokartoitustietoa jääpeitteen pinta-alasta, voidaan laskea merijään kokonaisvolyymi ja -massa. Arktinen jääpeite on viime vuosikymmenina rajusti vähentynyt. Kuitenkin kaikista rajumpaa on ollut jäävolyymin vähentyminen, ks. kuva 12.7: pinta-alan lisäksi myös paksuus vähenee, ja erityisesti monivuotisesta, paksummasta jäästä on suuri osa jo hävinnyt Merentutkimus altimetrian avulla Geodesian kiinnostus satelliitti-altimetriaa kohtaan on perinteisesti ollut sen käyttö geoidin määritykseen. Tämä onnistuu vain jos oletetaan että merenpinta 1. on vakio; ja 2. yhtyy tasapotentiaalipintaan, ts. on sama kuin geoidi. Käytännössä kuitenkin merenpinta on vaihteleva eikä tasapotentiaalipinta. Siksi viime aikoina on tullut toisetkin näkökohdat esille. 1. Merenpinnan vaihtelevuutta voidaan tutkia satelliitti-altimetrialla käyttämällä kolme menetelmää: 2 Suomeksi: kuivakylki, ainakin veneelle.

220 206 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Kuva 12.7 Jäävolyymi Arktisella merellä. PIOMAS ( research/projects/arctic-sea-ice-volume-anomaly/) a) Toistuvia ratoja samasta satelliittista. Radat voidaan laittaa päällekkäin käyttämällä yksinkertainen ratakorjausmalli, ja jäljelle jäävät ratakohtaiset residuaalit kertovat jotain (muttei kaikki!) merenpinnan vaihtelevuudesta. b) Myös crossover-tasoituksesta voidaan saada tietoa merenpinnan vaihtelevuudesta. Kun merenpinta vaihtelee, crossover-tasoituksesta saadut tulokset huononevat: keskimääräinen a posteriori (laskennan jälkeen) crossover-ero tule olemaan suurempi. Varsinainen vaihtelevuuden tutkimus tällä menetelmällä on hankalampi: se pystyy lähinnä vain toteamaan sen olemassaoloa ja arvioimaan sen suuruutta. c) Nykyisin altimetriasatelliiteissa on aina mukana GNSS-paikannuslaite. Sen ansiosta voidaan merenpinnan vaihteluita seurata suoraan mittaamalla, olettaen, että sekä ajallinen että maantieteellinen mittaustiheys on riittävä. 2. Merenpinnan poikkeamista tasapotentiaalipinnasta geoidista voidaan tutkia vain, jos on saatavissa riippumatonta tietoa todellisesta geoidipinnasta. Mikäli on käytettävissä hyvät, tiheät painovoimamittaukset koealueelle, tämä pitää paikkansa, ja voidaan estimoida meritopograa. Tarvittavan tarkan ja tiheän painovoima-aineiston saaminen onnistuu laiva- tai ilmagravimetrian avulla. Myös mittaus erikoissatelliittin avulla (painovoimagradiometra, GOCE-satelliitti) suunniteltiin pitkään ja toteutui vihdoin, ks. alaluku Satelliittipainovoimamissiot 2000-luvun alkuvuosina laukaistiin kolme satelliittia Maan painovoimakentän eli geopotentiaalin hienorakenteen selvittämiseksi, siis: globaalisen geoidikartan piirtämiseksi. CHAMP (Challenging Minisatellite Payload for Geophysical Research and Applications, A) laukaistiin rataansa Plesetskiltä v

221 12.6. Satelliittipainovoimamissiot 207 Magnetometripuomi GPS-antenni GPS-1 GPS-2 GPS-3 GPS-4 Kiihtyvyysvektori Nimellinen rata CHAMP Todellinen Aurinkokennot rata Maan sisäiset massatiheysvaihtelut (esimerkki) Kuva 12.8 Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti lentävän satelliitin GPSrataseurannan avulla. CHAMPIN radan korkeus oli alussa vain 450 km, mikä lennon aikana väheni 350 km:iin ilmakehän vastuksen seurauksena. Syyskuun 19. päivänä 2010 satelliitti palasi ilmakehään. CHAMP sisälsi GPS-vastaanottimen satelliitin tarkan radan määrittämiseksi, eli sen paikka avaruudessa x (t) ajan funktiona. Tästä voi laskea geometrista kiihtyvyyttä a (t) dierentioimalla: a (t) = d2 dt 2 x (t) : Dierentiointi tapahtuu numeerisesti, tavalla joka jo kuvattiin ilmagravimetrian osuudessa, yhtälö Satelliitti sisälsi myös kiihtyvyysmittarin, joka eliminoi ilmakehän aerodynaamisten voimien aiheuttamat satelliitin kiihtyvyydet, siis poikkeamat vapaan putoamisen liikkeestä. Jäljelle jäävät vain Maan gravitaatiokentän aiheuttamat kiihtyvyydet, joista lasketaan tarkka geopotentiaali- eli geoidimalli. Muutamia CHAMPIN dataan perustuvia globaalisia geopotentiaalimalleja on laskettu ja julkaistu. GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment Mission, grace, A ja B) mittaa Maan painovoimakentän ajalliset muutokset n. kuukauden välein erittäin tarkasti, mutta melko karkealla maantieteellisellä erotuskyvyllä. Nämä ajalliset muutokset johtuvat lähinnä Maan sinisen kalvon, eli ilmakehän ja vesivaipan, liikkeistä. Mitattavaa suuretta kutsutaan myös merenpohjan paineeksi, hieman yllättävä ilmaisu, kunnes ymmärrät, että se edustaa todella koko ilma- ja vesipatsaan sisältämän massan. GRACE on satelliittipari (Tom & Jerry): satelliittit lentävät samassa radassa toinen toista perään n. 450 km korkeudella, keskinäisella etäisyydellä 220 km. Satelliittien välisiä etäisyydenmuutoksia mittaa mikroaaltolinkki tarkkuudella 1 m s 1. Molemmissa satelliitissa on myös herkät kiihtyvyysmittarit ilmakehän vastuksen vaikutuksen mit-

222 208 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Kiihtyvyyksien ero näköviivan suunnassa Satelliitti 1 (Etäisyys 220 km) Tarkka etäisyysmittaus, aallonpituus 1.5 cm Satelliitti 2 Korkeus 500 km Maan "sinisen kalvon"(ilmakehän, vesivaipan) massasiirtymiä, eli "merenpohjan kokonaispaineen"vaihtelu Kuva 12.9 GRACE-satelliittien perusidea: Painovoimakentän pienenpienien ajallisten vaihtelujen mittaaminen SST:n (Satellite-to-Satellite Trackingin) avulla. taamiseksi ja poistamiseksi. Mittausjärjestelmä on niin herkkä, että jopa millimetrin paksuisen vesikerroksen liikkeet voidaan huomata, jos se vaan ulottuu mantereen kokoiselle alueelle (n. 500 km). Julkaistuissa tuloksissa näkyy vakuuttavasti esim. kostean ja kuivan monsuunin kausittaiset vaihtelut, vastavaiheessa pohjoisella ja eteläisellä pallonpuoliskolla, suurissa trooppisissa joki-altaissa: Amazonas, Kongo, Mekong, Intia, Indonesia... ks. jpl.nasa.gov/. Animaatio: Anomaly_Animation_over_LAND.gif#mediaviewer/File:Global_Gravity_Anomaly_Animation_ over_land.gif. GRACE:n seuraajamissio on suunnitteilla. GOCE (Geopotential and Steady State Ocean Circulation Explorer, A) oli satelliiteista kaiken kunnianhimoisin. Se laukaistiin onnistuneesti Plesetskiltä maaliskuussa Radan korkeus oli vain 250 km ja satelliitti sisälsi rakettimoottorin (jonimoottorin) ja ajoainevarannon radan ylläpitämiseksi ilmakehän jarruttavaa vaikutusta vastaan. GOCE kantoi hyvin herkän painovoimagradiometrin, laite joka mittasi tarkasti Maan vetovoiman gradientit eli sen riippuvuus eri paikkakoordinaateista. Gradiometri koostui useista kehikköön kiinnitetyistä äärimmäisen herkkeistä kiihtyvyysmittareista. Missio loppui v ja satelliitti palasi ilmakehään Falkland-saarten yläpuolella ( blogs.esa.int/rocketscience/2013/11/11/goce-burning-last-orbital-view/ ). Teoreettisista analyyseista on saatu selville, että gradiometria on paras tapa mitata painovoimakentän hyvin paikalliset piirteet, parempi kuin rataseuranta GPS:n avul-

223 12.6. Satelliittipainovoimamissiot 209 GOCE-satelliitti 1 Kiihtyvyyserojen mittaus Gradiometri Kiihtyvyysmittari (4) Tuntemattomia tiheysvaihteluita Kuva Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliittin painovoimagradiometrin avulla. la. Pienimmät geoidikartan yksityiskohdat joita GOCE näki, ovat läpimitaltaan vain 100 km, ja niiden tarkkuus niin hyvä kuin 2 cm. Niin tarkan globaalisen geoidikartan avulla voidaan laskea merenpinnan poikkeamat geoidista, siis ekvipotentiaalipinnasta, samalla tarkkuudella. Merenpinnan todellinen paikkahan avaruudessa saadaan tutka-altimetriasatelliittimittauksilta myös muutaman senttimetrin tarkkuudella. Tämä tasoero merenpinnan ja ekvipotentiaalipinnan välillä taas voidaan invertoida merivirtauksiksi, ks. alaluku Tämä on GOCE-satelliitin nimen tausta.

224

225 Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet Luku Teoreettinen vuorovesi Voimme kirjoittaa vuorovesi- eli vuoksipotentiaali W seuraavasti: W = GMR2 P d 3 2 (cos z) + : : : = GMR2 3 cos 2 z 1 + : : : ; 2d 3 missä d on etäisyys, joko Kuuhun tai Aurinkoon; R Maan säde, ja z paikallinen Kuun zeniittikulma. P 2 (cos z) on toisen asteluvun Legendre-polynomi. GM on Kuun massa kerrottuna Newtonin vakiolla. Auringon ja Kuun tapauksessa lisätermit (: : :) voidaan jättää huomioimatta, koska ne ovat niin kaukaisia kappaleita: d R. Pallotrigonometrian mukaan cos z = sin sin + cos cos cos t; Vuoksi Luode z Luode Vuoksi Kuva 13.1 Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun (tai Auringon) paikallinen zeniittikulma.

226 212 Luku 13. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet missä on leveysaste, on Kuun deklinaatio ja t on Kuun tuntikulma. Sijoittamalla saadaan josta P 2 (cos z) = 1 2 = 1 2 W = GMR2 4d 3 cos 2 z 1 = 3 sin sin cos2 cos 2 cos 2t (3 sin2 1)(3 sin 2 1) sin 2 sin 2 cos t+ : +3 cos 2 cos 2 cos 2t sin 2 sin 2 cos t; Tämä on ns. Laplacen vuorovesikaava. Siinä on kolme osaa: 1. Hitaasti vaihteleva osa, h 3 sin sin 2 1 i ; W 1 = GMR2 4d 3 joka vielä riippuu :stä ja näin ollen on periodinen 14 päivän (puolen kuukauden) periodilla. Taas käyttämällä pallotrigonometria: 2` 1 sin = sin sin ` ) sin 2 = sin 2 sin 2 ` = sin cos ; (13.1) jossa ` on Kuun pituus eli longitudi radassaan, laskettuna nousevasta solmusta (ekvaatorin ylityksestä), ja Kuun radan kaltevuus ekvaattorin nähden, keskimäärin 23 mutta aika vaihteleva, 18 ;3 ja 28 ;6 välillä. Näin saadaan 2` 1 W 1 = GMR2 1 3 sin sin 2 1 4d cos ; jossa on käytetty myös sin 2 ` = cos 2`: Hajotetaan W 1 = W 1a + W 1b ; vakio-osa 1 ja periodinen eli puolikuukausittainen osa: W 1a = GMR2 4d 3 W 1b = GMR2 4d sin sin2 ; (13.2) 2` 3 3 sin sin2 cos : 2. Tämän lisäksi meillä on pari termiä jossa tuntikulma t esiintyy (periodeja noin vuorokausi ja noin puoli vuorokautta): W 2 = GMR2 4d 3 [3 sin 2 sin 2 cos t] ; W 3 = GMR2 4d 3 h 3 cos 2 cos 2 cos 2t i : 1 Ei tarkasti, koska on (hitaasti) aikariippuvainen.

227 13.1. Teoreettinen vuorovesi 213 Taulukko 13.1 Teoreettisen vuoroveden eri periodeja. Laajasti käytössä olevat symbolit ovat George Darwinin standardisoimia. Muuttuva funktio Periodi Darwin-symboli Kuu Aur. Kuu Aur. Nimi W 1a - - M 0 S 0 Pysyvä vuoksi W 1b cos 2` 14 d 182 d Mf a Ssa b Deklinaatiovuoksi W 2 cos t 24 h 50 m 24 h K 1 ; O 1 S 1 ; P 1 Päivittäiset W 3 cos 2t 12 h 25 m 12 h M 2 S 2 Puolipäivittäiset a b Lunar fortnightly Solar semi-annual Molemmissa on t:n lisäksi vielä hitaana muuttujana. Yhtälöt voitaisiin kirjoittaa Kuun longitudin ` eri funktioiden summiksi. Käytä taas perustrigonometria, yhtälö 13.1: 1 cos 2 = 1 sin 2 = 1 sin 2 sin 2 ` = 1 sin cos 2` ; cos 2` cos 2t = 1 [cos(2` + 2t) + cos(2` 2t)] ; 2 s = 2 sin sin ` 1 sin 2 sin 2 = 2 sin cos = 2 sin p cos 2 = cos 2` ) `:n trigonometrinen sarja; ja niin edelleen. Ks. esimerkiksi Melchiorin 2 kuuluisa kirja Melchior (1978). Yllä olevista yhtälöistä erotetaan usein kerroin D 3GMR2 4d 3 ; Doodsonin 3 vakio. Kuun vakio on D = 26;25 cm g ja Auringon 12;1 cm g. Ks. kuva Periodit ovat luetteloituina taulukossa 13.1 Darwin 4 -symboleineen. Käytännössä päivittäiset ja puolipäivittäiset vuorovedet voidaan jakaa vielä moniin hyvin lähellä toisiaan oleviin spektraaliviivoihin, myös siksi että Kuun rata (kuten myös Maan rata) on elliptinen eikä ympyrän muotoinen. 2 Paul Melchior ( ) oli etevä belgialainen geofyysiko ja maavuoksen tutkija. 3 Arthur Thomas Doodson ( ) oli brittiläinen merentutkija, vuorovesiteorian pioneeri ja vuoroveden laskentaan soveltuvien koneiden suunnittelija. Hän oli täysin kuuro. 4 Sir George Howard Darwin ( ) oli englantilainen tähtitieteilijä ja matemaatikko, Charles Darwinin poika.

228 214 Luku 13. W1a, pysyvä 60 Leveysaste Akselin kaltevuus ; 0 W2, vuorokautinen, = ;1 0;05 0 0;05 0;1 0;15 0;6 0;4 0; ;2 0;4 0;6-20 = W3, puolivuorokautinen, 0;4 0;2 0 = Ekliptinen pituusaste, 80 Leveysaste W1b, kaksiviikkoinen, 0;2 0;1 0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5 0; Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet 5 Tuntikulma ;2 0;4 0;6 0;8 Tuntikulma Kuva 13.2 Teoreettisen vuoroveden pääkomponentit. Nämä arvot on vielä kerrottavana Doodsonin vakion D kanssa Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio Vuorovesivoima eli teoreettinen vuorovesi, mistä yllä puhuttiin, ei ole sama kuin sen aiheuttama deformaatio. Tämä deformaatio riippuu Maan sisäisestä elastisuusominaisuuksista. Nämä 5 elastisuusominaisuudet kuvataan usein ns. Love -lukujen avulla (Melchior, 1978). Kirjoitetaan ensin ulkoinen (vuoksi- tai yleisesti häiriö-)potentiaali seuraavalla tavalla: 1 r n W= Wn ; n=2 R missä nyt indeksi n tarkoittaa X pallofunktioiden asteluku! ja kutsutaan kiinteän Maan ainealkion siirtymää säteittäissuuntaan ur, pohjoissuuntaan u ja itäsuuntaan u. Seuraavat 5 Augustus Edward Hough Love ( ) oli brittiläinen matemaatikko ja Maan elastisuuden tutkija.