ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 17: Interpolointi emoneliön ja emokolmion alueessa.

Transkriptio

1 7/ EEMETTIMEETEMÄ PERUSTEET SESSIO 7: Interpolointi emoneliön ja emokolmion alueessa. ITERPOOITI EMOEIÖ AUEESSA Yksiulotteisen interpoloinnin yhteydessä tulivat esille interpolointifunktioiden perusominaisuudet solmujen kohdilla. Kaksi- ja kolmiulotteisten interpolointifunktioi- Yksiulotteinen interpolointi voidaan yleistää kaksiulotteiseksi interpoloinniksi x-emoneliöelementin alueessa. Tavoitteena on tällöin lausua kahden muuttujan ja funktio f(, ) likimääräisesti solmuarvojensa ja niitä vastaavien interpolointifunktioiden avulla. Tarkastellaan kuvan nelisolmuista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin nurkissa. Kenttäfunktion f(, ) interpolointi on nyt ~ f(, ) f (, ) = i= (, ) i f i jolloin i (, ) on kahden muuttujan interpolointifunktio ja f i kenttäfunktion solmuarvo. Määritetään solmun interpolointifunktio perusominaisuuksien pohjalta. Mahdolli- Kuva. elisolmuinen emoneliö. simman alhaista astetta oleva polynomi, jonka arvot solmuissa, ja ovat nollia, on (, ) = ( )( ). Solmussa on (, ) =, joten perusvaatimukset toteuttava funktio on (, ) = (, )/ (, ) = ( )( ) = () Saatu funktio voidaan tulkita - ja -suuntien lineaaristen interpolointifunktioiden tuloksi, mistä johtuen sitä sanotaan bilineaariseksi interpolointifunktioksi. Funktion koordinaattiakseleiden suuntaiset tasoleikkaukset ovat suoria. ei kuitenkaan esitä tasopintaa, sillä sen lausekkeessa on termi /, joten kyseessä on hyperboloidipinta. Kuvassa on funktion kuvaaja. Muutkin kuvan elementin interpolointifunktiot voidaan muodostaa samalla periaatteella. Tulos on () = ( )( )/ = (+ )( )/ = (+ )(+ )/ = ( )(+ )/ () Kuva. Interpolointifunktio.

2 7/ den on yhteensopivuuden toteutumiseksi mentävä nollaksi elementin kaikilla niillä sivuilla, jotka eivät liity funktiota vastaavaan solmuun. Bilineaariset interpolointifunktiot () toteuttavat tämän lisävaatimuksen, esimerkiksi funktion arvo on nolla sivuilla ja. Bilineaariset interpolointifunktiot voidaan muodostaa - ja -suuntien lineaaristen agrangen interpolointifunktioiden tuloina. Samaa ajatusta voidaan soveltaa myös korkeamman asteen interpolointiin. Tällöin tulon tekijän meneminen nollaksi - tai -suunnan vieraissa solmuissa takaa nollaksi menemisen koko vieraalla sivulla. Muodostetaan tällä tensoritulomenetelmällä kuvan 9-solmuisen bikvadraattisen elementin interpolointifunktiot. 7 9 Kuva. Bikvadraattinen elementti. 7 9 = ( ) ( ) / = ( + ) ( ) / = ( + ) ( + ) / = ( ) ( + ) / = ( = ( + )( = ( = ( )( = ( ) ( ) / ) ( + ) / )( ) / ) / ) () Funktiot () jakaantuvat kolmeen perustyyppiin.,, ja ovat nurkkafunktiot,,, 7 ja sivufunktiot ja 9 on sisäfunktio. Kuvassa on esitetty kunkin perustyypin kuvaaja, ja 9. Vastaavalla tavalla voidaan muodostaa esimerkiksi -solmuinen bikuutiollinen elementti, jolla on nurkkasolmua, sivusolmua ja sisäsolmua sekä korkeammankin interpolointiasteen elementtejä. Tensoritulomenetelmällä muodostettuja elementtejä sanotaan agrangen elementtiperheeksi, koske sen interpolointifunktiot perustuvat yksiulotteiseen agrangen interpolointikaavaan. Elementin tehokkuus on riippuvainen siitä, kuinka korkea-asteinen täydellinen polynomi sen interpolointifunktioilla voidaan esittää. Ensimmäisen asteen täydellinen kahden muuttujan polynomi on p (, ) = A + B + C () Bilineaarisen elementin interpolointifunktiot sisältävät termit,, ja, joten niillä pystytään esittämään p ja mukana on vielä ylimääräinen termi. Toisen asteen täydellinen kahden muuttujan polynomi on p (, ) = A + B + C + D + E + F ()

3 7/ Kuva. Bikvadraattisia interpolointifunktioita. 9 Bikvadraattisen elementin interpolointifunktiot sisältävät termit,,,,,,, ja, joten niillä pystytään esittämään p ja mukana on vielä kolme ylimääräistä termiä, ja. Täydellisten polynomien sisältämät termit voidaan esittää kuvan kaaviona, jolloin tietyn asteinen täydellinen polynomi sisältää kaavion kärjestä alkaen termit astelukuaan vastaavaan vaakariviin asti. Kaaviosta nähdään myös tietyn asteisen agrangen interpoloinnin sisältämät termit, jotka sisältyvät vastaavan kärjestä alkavan neliön alueeseen. Tietyn asteen täydellisen polynomin tarkkaan interpolointiin mukaan tulevien ylimääräisten termien suhteellinen osuus kasvaa asteluvun kasvaessa ( k = : /, k = : / 9, k = : / ). agrangen elementtiperheen haittana ovat edellä mainitut ylimääräiset termit, joiden laskentatarkkuutta lisäävä vaikutus on pieni niiden aiheuttamaan työmäärään nähden. Toinen pieni haitta on sisäsolmujen esiintyminen, sillä ne ovat laskennassa jonkin verran kärki- ja sivusolmuja tehottomampia, koska ne eivät kytke elementtejä toisiinsa.

4 7/ k= k= Kuva. Termien kaavio. Edellä esitettyjen haittojen pienentämiseksi on kehitetty Serendip-elementtiperhe, jolla ei ole joko lainkaan sisäsolmuja tai vain tietyn asteen täydellisen polynomin esittämiseen tarvittava määrä sisäsolmuja. Bilineaarinen emoneliö on myös Serendip-elementti. + = 0 + = 0 = 0 Kuva. Kvadraattinen Serendip-elementti. Tarkastellaan esimerkkinä yleisemmästä tapauksesta kuvan kvadraattista Serendipemoneliötä. Sen interpolointifunktiot voidaan johtaa perusominaisuuksien avulla. Johdetaan solmun interpolointifunktion lauseke. Sen 7 on mentävä nollaksi sivuilla ja, joten funktion tulee sisältää tekijöinä näiden sivujen yhtälöiden + = 0 ja + = 0 vasemmat puolet. isäksi funktion pitää mennä nollaksi solmuissa ja 7, mikä toteutuu, kun tekijänä on suoran 7 yhtälön = 0 vasen puoli. Funktio = (+ )(+ )( ) toteuttaa näin kaikki nollaantumisvaatimukset. Koska solmussa on (,) = ( ) =, on = (+ )(+ )( )/ solmun interpolointifunktio. Muiden kärkisolmujen interpolointifunktiot saadaan samalla tavalla. Sivusolmun interpolointifunktiossa pitää olla tekijöinä vieraiden sivujen, 7 ja yhtälöiden + = 0, = 0 ja + = 0 vasemmat puolet ja lisäksi on oltava (,0 ) =, josta seuraa solmun interpolointifunktioksi = (+ )(+ )( )/ = (+ )( )/.

5 7/ Muiden sivusolmujen interpolointifunktiot löytyvät samalla periaatteella. Kvadraattisen Serendip-elementin interpolointifunktiot ovat 7 = ( )( )(+ + )/ = (+ )( )( + )/ = (+ )(+ )( )/ = ( )(+ )(+ )/ = ( )( )/ = (+ )( )/ = ( )(+ )/ = ( )( )/ (7) Funktiot (7) jakaantuvat kahteen tyyppiin,,, ja ovat nurkkafunktiot ja,, 7 ja sivufunktiot. Kuvassa 7 on esitetty kummankin perustyypin kuvaaja. Funktiot (7) sisältävät termiä lukuun ottamatta samat termit kuin bikvadraattiset agrangen interpolointifunktiot, ylimääräisiä termejä on siis yhtä vähemmän ja laskenta jonkin verran tehokkaampaa. Kuva 7. Serendip-interpolointifunktioita. Korkeamman asteen Serendip-elementtien interpolointifunktioita voidaan myös johtaa edellä esitetyllä tekijämenetelmällä. ITERPOOITI EMOKOMIO AUEESSA Tarkastellaan kuvan lineaarista emokolmioelementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä. Tämän emokolmion lineaariset interpolointifunktiot on helppo päätellä suoraan perusominaisuuksista ja ne ovat = = = ()

6 7/ (0,) (0,0) (,0) Kuva. ineaarinen emokolmio. Perusominaisuuksien avulla on helppo muodostaa myös korkeampiasteisien kolmioelementtien interpolointifunktioita. Kuvassa 9 on kvadraattinen emokolmio, jonka sivusolmut sijaitsevat sivujen keskipisteissä. Määritetään kärkisolmun interpolointifunktio, jonka on mentävä nollaksi sivulla sekä solmuissa ja. Sivun kautta kulkevan suoran yhtälö on = 0 sekä solmujen ja kautta kulkevan suoran yhtälö on 0, = 0, joten nollaantumisvaatimukset toteuttava funktio on = ( )(0, ). Tämä funktio saa solmussa arvon /, joten solmun interpolointifunktioksi tulee = ( )( ). Määrätään vielä sivusolmun interpolointifunktio. Sivujen ja kautta kulkevien suorien yhtälöiden = 0 ja = 0 vasempien puolien tulo = ( ) menee nollaksi kaikissa vieraissa solmuissa ja saa solmussa arvon /, joten solmun interpolointifunktioksi saadaan = ( ). Vastaavalla tavalla voidaan määrittää myös muiden solmujen interpolointifunktiot ja tulokseksi saadaan = ( )( ) = ( ) = = ( ) = ( ) = ( ) (9) Kuva 9. Kvadraattinen emokolmio Kuva 0. Kuutiollinen emokolmio. Kvadraattiset interpolointifunktiot (9) jakaantuvat kahteen perustyyppiin,, ja ovat kärkifunktiot ja, ja sivufunktiot. Kun kaavan () lineaarisia interpolointifunktioita merkitään =, = ja =, voidaan kvadraattiset interpolointifunktiot (9) esittää niiden avulla = = = ( ( ) ) = = = ( ) (0) Voidaan osoittaa, että lineaaristen interpolointifunktioiden, ja avulla pystytään ilmaisemaan kaikkien emokolmion pisteiden sijainnit, mistä syystä niitä kutsutaan myös kolmiokoordinaateiksi. Osoittautuu, että myös korkeamman interpolointiasteen emokolmioelementtien interpolointifunktiot voidaan esittää kolmiokoordinaattien avulla. Kuvassa 0 on esitetty kuutiollinen 0-solmuinen emokolmio, jonka sivusolmut ovat tasajaolla ja sisäsolmu elementin pintakeskiössä. Sen interpolointifunktiot kolmiokoordinaattien avulla lausuttuna ovat

7 7/7 7 9 = = = 9 = 9 = 9 ( ( )( ( ( ( )( )/ )/ )/ )/ )/ 0 = = 9 = 9 = 9 ( = 7 ( ( ( )( )/ )/ )/ )/ () Kaavoista (), (9) ja () selviää, että kolmioelementin eriasteisiin interpolointifunktioihin sisältyvät funktiot ovat ineaarinen interpolointi:,, Kvadraattinen interpolointi:,,, Kuutiollinen interpolointi:,,,,,,,,,,, Tietyn asteiset interpolointifunktiot pystyvät esittämään astelukunsa mukaisen täydellisen muuttujien ja polynomin tarkasti ilman ylimääräisiä termejä. Tässä suhteessa kolmioelementit ovat tehokkaampia kuin nelikulmioelementit. Kuvassa () on kolmen alimman interpolointiasteen kolmioelementin interpolointifunktioihin sisältyvien termien kaavio. k= k= k= Kuva. Termien kaavio. ESIMERKKI FES7E Tarkastellaan funktion f(, ) = ( + )/( + + ) interpolointia emoneliön alueessa. Kun = / ja = /, saa f arvon f (/,/ ) = / =,. asketaan eri interpolointimenetelmien antamia likiarvoja tässä pisteessä. Bilineaarinen: f(, ) = f( +, ) = / f( +, + ) =,/ ) = 9 / f(, + ) = / (/,/ ) = / f (/,/ ) ( ) = = 0,7 (/ (/ (/,/ ),/ ) = / = /

8 7/ Bikvadraattinen: f(, ) = f( +, ) = / f( +, + ) = f(, + ) = / f(0, ) = f(,0) = (/ (/ (/,/ ) (/ (/ (/,/ ),/ ),/ ),/ ),/ ) = / = / = 9 / = / = / = / f(0,) = 7(/,/ ) = / f(,0) = (/,/ ) = / f(0,0) = 9(/,/ ) = / f (/,/ ) ( ) = =, Kvadraattinen Serendip: f(, ) = f( +, ) = / f( +, + ) = f(, + ) = / f(0, ) = (/ (/ (/ (/,/ ),/ ),/ ),/ ) (/,/ ) = / = / = 0 = / = / f(,0) = (/,/ ) = / f(0,) = 7(/,/ ) = / f(,0) = (/,/ ) = / f (/,/ ) ( ) = =, HARJOITUS FES7H Tarkastellaan funktion f(, ) = ( + + )/( + + ) interpolointia emoneliön alueessa. aske funktion tarkat arvot pisteissä ( /, / ) ja ( /, / ) sekä vastaavat bilineaarisella, bikvadraattisella ja kvadraattisella Serendip-interpoloinnilla saatavat arvot. Vast. tarkka bilin. bikv. Serendip f(/, f(/, f(/, f(/, / ) = 0,70000 / ) = 0,00000 / ) 0,900 / ) =,7000 f(/, / ) f(/, / ) f(/, / ) f(/, / ),7 0,,9,70 Vihjeet: