Säteily LÄMMÖNSIIRTO BH20A0450

Transkriptio

1 Säteily LÄMMÖNSIIRTO BH20A0450 1

2 Sisällys Johdantoa säteilylämmönsiirtoon Yhteenveto kurssista BH20A0300 Säteily Periaatteet ja määritelmät Musta kappale, Planckin spektrinen jakauma, Stefan-Boltzmannin laki Pintamateriaalin ominaisuudet Ympäristön säteily Näkyvyyskerroin Integraali, yleisimpien geometriayhdistelmien kertoimet Mustan kappaleen säteily pintojen välillä 2

3 Sovellukset/Esimerkkejä Teollisuusprosessit Lämmitys, jäähdytys ja kuivatus Maan emittoima energia Energiantuotanto: Palaminen/savukaasut Auringon säteily Ydinvoimalaitokset Aurinko Auringosta tuleva energia Auringon heijastunut energia Salamointi Tuli, leivänpaahdin Huurre tuulilasissa 3

4 Spektrinen säteilyteho, * Säteilyteho emissive power 2 Kokonaissäteilyteho E W/m vastaa emissiota kaikkien suuntien ja aallonpituuksien yli = emittoitu energia/aika/pinta-ala. dq E da 1 2 Spektrinen säteilyteho W/m m vastaa spektristä emissiota kaikkien mahdollisten suuntien yli = emittoitu energia/aika/pinta-ala/aallonpituus. E E 0 E d Mustan kappaleen säteilytehon spektrinen (Planckin) jakauma (määritelty teoreettisesti ja vahvistettu kokeellisesti) on E dq da d, b, 1 T C 5 exp C / 1 2 T 1 Spektrin näkyvä alue Auringon säteily Säteilyvakiot: C x 10 Wm / m 4 C x10 mk Wienin siirtymälaki T C max m K Aallonpituus, 4

5 * Stefan-Boltzmannin laki Mustan kappaleen kokonaissäteilyteho saadaan integroimalla Planckin jakauma kaikkien mahdollisten aallonpituuksien yli. E E d T b 0 4, b Stefan-Boltzmannin laki, jossa Stefan-Bolzmannin vakio Määrätyllä aallonpituuden välillä tai alueella 1 2 oleva mustan kappaleen kokonaisemission osuus on 2 1 0, b o, b F F F missä yleisesti E d F f T T 0, b 0 = W/m K E d E d T

6 * Radianssi/säteilyintensiteetti radiation intensity Väliaineen läpi kulkevan säteilyenergian suuntakäyttäytymistä kuvaa säteilyintensiteetti. Intensiteetti I: säteilyenergia/aika/säteitä vastaan normaali pinta-ala/avaruuskulma I W/m Spektrinen intensiteetti, joka liittyy emissioon pintaelementistä,e avaruuskulmassa d kulmien, suhteen ja aallonpituuden välillä aallonpituuden suhteen määritellään: I e,, e,, dq da cos 1 1 d 2 sr Peruste projisoidulle pinta-alalle 1 on peräisin olemassa olevista pinnoista, joille hyvällä approksimaatiolla I e on suunnasta riippumaton. Tällaisia pintoja nimitetään diffuuseiksi, ja säteilyn sanotaan olevan isotrooppista. da I 1 dq da cos d d da cos 2 W/m sr m => Projisoitu ala kertoo miltä da 1 näyttää, jos sitä tarkastellaan kulmista. e, d I I d 0, e 6

7 * Tulevan säteilyn voimakkuus, irradianssi Irradiation Eksitanssi Irradianssi kaikista suunnista tuleva säteily dqin G Ii da Irradianssi Emissio Irradianssin heijastunut osuus * Lähtevän säteilyn voimakkuus, säteilyteho, eksitanssi Radiosity Läpinäkymättömän pinnan lähtevän säteilyn voimakkuus käsittää kaiken pinnasta lähtevän säteilyn kaikissa suunnissa ja voi sisältää sekä heijastuksen että emission osuuksia. J dq out dqemission dq da da reflection 7

8 * Pinnan emissiosuhde Pinnan emittoima säteily voidaan määritellä ottamalla käyttöön uusi ominaisuus, emissiosuhde (emissiviteetti): pinnan emittoiman säteilyn suhde mustan kappaleen säteilyyn samassa lämpötilassa. Puoliavaruuden kokonaisemissiviteetti (suunta- ja spektrinen keskiarvo): Spektrinen suuntaemissiviteetti:,,,, T I, e I,,, T, b, T Puoliavaruuden spektrinen emissiviteetti (suuntakeskiarvo): T, T b E E, b, T, T, T E,, ET 0 b T d E T E T b Musta kappale,, Eri emissiviteettien tarve riippuu tarpeesta selvittää emittoidun säteilyn suunta- ja/tai spektrisiä ominaisuuksia kaikkien suuntien (puoliavaruuden) ja/tai aallonpituuksien (kokonais) yli olevien keskimääräisten arvojen sijaan. Todellinen pinta Musta kappale, T Todellinen pinta, T 8

9 * Pinnan emissiosuhde Spektrinen, normaali emissiviteetti, Normaali kokonaisemissiviteetti, Spektriset vaihtelut: Piikarbidi, Alumiinioksidi, Ruostumaton teräs, 1200 K, erittäin hapettunut Volframi 1600 K Ruostumaton teräs, 800 K kiiltävä Huomioi :n pieneminen aallonpituuden kasvaessa metallien ollessa kyseessä,n ja toisenlainen käytös epämetallien tapauksessa. Aallonpituus, Lämpötilan vaihtelut: Piikarbidi Ruostumaton teräs, erittäin hapettunut Alumiinioksidi Ruostumaton teräs, kiiltävä Volframi Lämpötila (K) 9

10 *Vaste pintaan tulevaan säteilyvoimakkuuteen Läpikuultavalla väliaineella voi olla tulevaan säteilyvoimakkuuteen kolme erilaista vastetta: Heijastuminen väliaineesta G, ref. Absorptio väliaineeseen G, abs. Siirto väliaineen läpi G, tr. Heijastussuhde Absorptiosuhde Läpäisysuhde G G G G G G, ref, abs, tr Läpikuultava väliaine Heijastus Absorptio Tuleva säteilyvoimakkuus Läpäisy Säteilytase G G G G G G G, ref, abs, tr 1 Verrattuna edellä mainittuihin tilavuusilmiöihin, läpinäkymättömän materiaalin vastetta tulevaan säteilyvoimakkuuteen hallitsevat pintailmiöt ja 0 G G G 1 Yhteensä keskimääräisille ominaisuuksille G G G G G G G ref abs tr G, ref, abs, tr. 1 10

11 Spektrinen, normaali heijastuskerroin, Spektrinen, normaali absorptiosuhde, * Heijastussuhde & absorptiosuhde Auringon vuon prosenttiosuus λ:a lyhyemmillä aallonpituuksilla Mustan kappaleen vuon (300 K) prosenttiosuus λ:a lyhyemmillä aallonpituuksilla Lumi Valkoinen maali Hyörystynyt alumiinikalvo Ruostumaton teräs, saapumistilassa, himmeä Ihmisiho, valkoinen Sulatettu kvartsi alumiinisubstraatin päällä Punatiili Musta maali Viljakasvin lehti Aallonpituus, 11

12 Spektrinen läpäisysuhde, *Läpäisysuhde Puoliavaruuden kokonaisläpäisysuhde: Sula kvartsi, 6 mm 0 0 G tr G, tr d G G d Puoliavaruuden spektrinen läpäisysuhde: Heikosti rautapitoinen lasi, paksuus 6mm Pleksilasi, paksuus 6mm Tedlar, paksuus 0,03mm (polyvinyyli -fluoridi) G G,tr Huomioi: siirtymä läpikuultavista läpinäkymättömiin olosuhteisiin suurilla ja pienillä aallonpituuksilla. Vahvasti rautapitoinen lasi, paksuus 6mm Läpikuultavalle väliaineelle, 1 1 Aallonpituus, 12

13 *Kirchhoffin laki T 1 E emit T s Isoterminen ontelo => G abs yhtä suuri kuin mustan kappaleen säteilyllä lämpötilassa T s Oletus: Lämpötasapaino => T 1 = T s = T G abs Lämpötase pienelle kappaleelle => G abs = E emit T A T A Kirchhoffin laki rinnastaa pinnan puoliavaruuden kokonaisemissiosuhteen sen puoliavaruuden kokonaisabsorptiosuhteeseen: ( T) ( T) Kuitenkin sen johtamiseen liittyvät olosuhteet ovat erittäin rajoittavat: Pintaan tuleva säteilyvoimakkuus vastaa emissiota mustasta kappaleesta samassa lämpötilassa kuin pinta on. Kirchhoffin lakia voidaan kuitenkin soveltaa spektrisiin suuntaominaisuuksiin rajoituksetta:,,, ovat luontaisia pinnan ominaisuuksia.,, 13

14 *Harmaa/diffuusi pinta, ε vs. α Kirchhoffin laki spektrisille suuntaominaisuuksille ilman rajoituksia: Kirchhoffin lakia voidaan soveltaa spektrisiin ominaisuuksiin: Rajoitukset: Tuleva säteilyn voimakkuus tai pinta on diffuusi. Milloin seuraava on voimassa?: 0 b Kirchhoffin laki rinnastaa pinnan puoliavaruuden kokonaisemissiosuhteen sen puoliavaruuden kokonaisabsorptiosuhteeseen:,,,, T d T G E E b 0 G d Lisärajoituksia: tai Pintaan tulevan säteilyn voimakkuuden spektrinen jakauma vastaa emissiota mustasta kappaleesta pinnan lämpötilassa. ε ja α ovat riippumattomia aallonpituudesta pinta on harmaa Läpikuultava väliaine Heijastus Tuleva säteilyvoimakkuus Absorptio Läpäisy 14

15 *Harmaa/diffuusi pinta 1, 0 λ E λ,b G λ 0 λ 0 b,, T d T G E E b 0 G d 15

16 Yhteenveto tärkeimmistä säteilyominaisuuksista Säteilyteho Säteilyintensiteetti säteilyenergia/aika/säteitä vastaan normaali pintaala/avaruuskulma Tulevan säteilyn voimakkuus Kaikista suunnista tuleva kokonaissäteily Lähtevän säteilyn voimakkuus Kaikki pinnasta lähtevä säteily kaikissa suunnissa (heijastus + emissio) Emissiosuhde Pinnan emittoima säteily suhteessa mustan kappaleen säteilyyn samassa lämpötilassa. E I e dq da, 1 E 1 dq da d 1 dq da cos 2 2 d E 0 E d /,,, cos sin G I dd T J E G ref b 0 0 i J 0 J d T E, E T 0, b, T d, E T E T b J Heijastus HUOMIO! Kaikille ominaisuuksille Kokonais Suunta Spektrinen Diffuusi G Emissio E, i I Tuleva säteilyvoimakkuus Absorptio Läpäisy Heijastussuhde Absorptiosuhde Läpäisysuhde G G G G, ref G, abs G, tr

17 Säteily LÄMMÖNSIIRTO BH20A

18 Ympäristön säteily (Incropera 12.8) Ulkoavaruudesta tulevan auringon säteilyn voimakkuus vaakasuoralle pinnalle SCHEMATIC: KAAVAKUVA: Aurinko GS, o SC f cos Maa S C 1353 W / m Aurinkovakio: Auringon säteiden normaalin mukaan suunnattuun pintaan lankeava auringon energian vuo Maan ilmakehän ulkoreunalla sen keskimääräisellä etäisyydellä 11 2 auringosta, r d m Aurinko emittoi mustana kappaleena lämpötilassa 5800K ja auringon vuo pienenee etäisyyden kasvaessa tekijällä 2 ( r S / rd ) Soikeuden (eccentricity) korjauskerroin 0.97 f 1.03 Zeniittikulma: Kulma yhdensuuntaisten auringon säteiden ja pinnan normaalin välillä 2 (maan rata on ellipsi) Auringon säteet Maan ilmakehä Maan pinta 18

19 Ympäristön säteily Spektrinen tulevan säteilyn voimakkuus Ulkoavaruudesta tuleva auringon säteilyvoimakkuus Spektrinen jakauma approksimoi mustan kappaleen jakaumaa 5800K lämpötilassa Säteily on keskittynyt matalammalle aallonpituuden alueelle Laaja spektrialue sulkee pois säännöllisesti harmaan pinnan oletuksen (pinnan spektriset ominaisuudet muuttuvat laajan aallonpituusalueen yli) 5800 K musta kappale Tulevan auringon säteilyn voimakkuus Ulkoavaruuden Maan ilmakehän vaikutus Muutos auringon säteilyn suuruudessa ja suunta- ja spektrijakaumassa Ilmakehän kaasut absorboivat: O3 (otsoni), O2, H2O ja CO2 Otsoni absorboi voimakkaasti UV-alueella: 0.4:n µm:n alapuolella O3 ja O2 absorboivat näkyvällä alueella H2O absorboi infrapuna-alueella Maan pinta Aallonpituus KUVA Auringon säteilyn spektrinen jakauma 19

20 Ympäristön säteily Sironta (scattering) Hyvin pienien kaasumolekyylien Rayleighin (molekyyli) sironta riippumaton suunnasta (diffuusi) Suurempien pöly- ja aerosolihiukkastern Mie-sironta keskittynyt suuntiin, jotka ovat lähellä tulevien säteiden suuntaa Rayleighin sironta Kaasumolekyylit Auringon suora Sironnut säteily Hiukkaset Mie -sironta Auringon kokonaissäteily maan pintaan Suorien ja diffuusien osuuksien summa Diffuusi säteily vaihtelee 10:stä (selkeä päivä) 100:an %:iin (pilvinen päivä) auringon kokonaissäteilystä Suora Sironnut Maan pinta Suora Sironnut (diffuussi approksimaatio) KUVA Auringon säteilyn suuntajakauma maan pinnalla. (a) Todellinen jakauma. (b) Diffuusi approksimaatio. 20

21 Spektrinen, normaali heijastuskerroin, Spektrinen, normaali absorptiosuhde, Auringon absorptiosuhde ja emissiosuhde Ympäristön säteily Auringon vuon prosenttiosuus λ:a lyhyemmillä aallonpituuksilla Mustan kappaleen vuon (300 K) prosenttiosuus λ:a lyhyemmillä aallonpituuksilla Valkoinen maali Hyörystynyt alumiinikalvo Lumi Ruostumaton teräs, saapumistilassa, himmeä Ihmisiho, valkoinen Sulatettu kvartsi alumiinisubstraatin päällä Maan pinnansäteilyteho E T 4 Punatiili Musta maali Viljakasvin lehti Lämpötilat vaihtelevat välillä K emissio aallonpituuksilla 4-40 µm Ilmakehän emissio on peräisin pääasiassa CO 2 :sta ja H 2 O:sta Suunnitteluvihje Suhteen α S /ε pieni arvo on toivottava, jos pinnan tarkoitus on hylkiä lämpöä. Maahan tuleva säteilyvoimakkuus ilmakehän emission seurauksena G 4 atm T sky Aallonpituus, peräisin yhdisteistä CO 2, H 2 0: λ > 4 µm Taivaan efektiivinen lämpötila T sky 230 K kylmän, selkeän taivaan olosuhteissa 285 K lämpimissä, pilvisissä olosuhteissa Ympäristöhuomio Kun T sky on pieni (viileä, selkeä yö), vesiallas saattaa jäätyä, vaikka ilman lämpötila olisi yli 273K. 21

22 Esimerkki: Aurinkokeräin TUNNETAAN: Levymäisen aurinkokeräimen toimintaolosuhteet. Oletetaan, että lämmönsiirron konvektiokerroin tyynen päivän olosuhteille voidaan arvioida yhtälöstä h 1/3 2 T T W / m K 0,22 s SELVITETTÄVÄ: 1. Hyödyllinen lämmöntuottonopeus yksikköpinta-alaa kohti 2. Keräimen hyötysuhde OLETUKSET: 1. Stationääritila 2. Keräimen pohja hyvin eristetty 3. Absorboiva pinta on diffuusi Ilma hyödyllinen lämmöntuotto 22

23 Esimerkki: Aurinkokeräin TARKASTELU: Energiatase Yksikköpinta-alaa kohti Yhtälöstä Voidaan olettaa, että taivaan lämpötila on lähellä maan pinnan lämpötilaa seuraa, että 23

24 Esimerkki: Aurinkokeräin 2. Keräimen hyötysuhde Ilma hyödyllinen lämmöntuotto 24

25 Näkyvyyskerroin (Incropera 13.1) The View Factor Kuinka lasketaan säteily pinnasta toiseen? F ij, Näkyvyyskerroin, on geometrinen suure, joka vastaa pinnasta i lähtevän säteilyn pintaan j osuvaa osuutta. F ij q i j AJ i i Fij pinnasta A i lähtevä ja pinnan A j kohtaava säteily pinnasta A i lähtevä kokonaisenergia Esimerkiksi, emissio pinnasta i pintaan j voidaan laskea kaavalla q F A E F AT 4 i j ij i i ij i i 25

26 Näkyvyyskerroin Näkyvyyskertoimen integraalista saadaan yleinen lauseke näkyvyyskertoimelle F ij. Huomioi siirto differentiaalien diffuusien alueiden välillä F ij q i j AJ i i da ja cos cos dq I da d J da da R i j ij i cosi i j i i 2 i j i da j J dq da out I e r d j i cos da R j 2 j F 1 cos cos i j ij dada A 2 i j A i Aj i R Samoin voidaan kehittää lauseke d i j da j cos R 2 j F 1 cos cos i j ji dada A 2 i j A i Aj j R 26

27 Näkyvyyskertoimen lait Käänteisyyslaki reciprocity relation F A F 1 cos cos i j ij dada A 2 i j A i Aj i R A F i ij j ji F 1 cos cos i j ji dada A j 2 i j i A Aj R Summalaki onteloille N j1 F ij 1 Superpositiolaki pinnoille n F i F ( j) k 1 ik 27

28 Esimerkki: Näkyvyyskertoimen integraali Tarkastellaan diffuusia pyöreää levyä, joka halkaisija on D ja pinta-ala Aj ja tasaista diffuusia pintaa, jonka ala Ai << Aj. Pinnat ovat yhdensuuntaisia, ja Ai sijaitsee etäisyydellä L Aj:n keskustasta. Etsitään lauseke näkyvyyskertoimelle Fij. TUNNETAAN: Pienen pinnan suuntautuminen suhteessa suureen pyöreään levyyn. SELVITETTÄVÄ: Pienen pinnan näkyvyyskerroin F ij suhteessa levyyn. OLETUKSET: 1. Diffuusit pinnat 2. Ai << Aj 28

29 Esimerkki: Näkyvyyskertoimen integraali TARKASTELU: Näkyvyyskerroin voidaan saada yhtälöstä 13.1 Kun tiedostetaan, että θi, θj ja R ovat suunnilleen riippumattomia sijainnista pinnalla A i, lauseke supistuu muotoon Ja kun θi = θj = θ, Kun ja 29

30 Ristikkäisten lävistäjien menetelmä Crossed-Strings Method Näkyvyyskertoimet pitkille onteloille, joilla on vakio poikkileikkaus Käytännöllinen epäsäännöllisille muodoille: osittain kupera, kovera & tukkeutunut; mikä johtaisi erittäin monimutkaiseen integraaliratkaisuun Näkyvyyskerroin pinnasta A 1 pintaan A 2 Muistituki lävistäjät sivut säteilyn lähtöpinnan ala 30

31 Esimerkki Ristikkäisten lävistäjien menetelmä Kaksi äärettömän pitkää, suoraan toisiaan vastaan olevaa yhdensuuntaista levyä, joilla on sama äärellinen leveys: Muistituki lävistäjät sivut alkuperäinen ala Molempien lävistäjien pituus: Sivut: h 31

32 Näkyvyyskertoimia Kaksiulotteiset geometriat (Taulukko 13.1) Esimerkki: Ääretön levy ja rivi sylintereitä F ij 2 12 / / 1 tan D D s D s s D Kolmiulotteiset geometriat (Taulukko 13.1) Esimerkki: Samankeskiset samansuuntaiset levyt 1 F S S 4r / r 2 2 ij j i 2 1/ 2 S 1 R 1 R 2 j 2 i R r / L R r / L i i j j 32

33 Näkyvyyskerroin: 2-ulotteiset geometriat 33

34 Näkyvyyskerroin: 3-ulotteiset geometriat KUVIO 13.4 Näkyvyyskerroin suunnatuille yhdensuuntaisille suorakulmioille. KUVIO 13.5 Näkyvyyskerroin koaksiaalisille yhdensuuntaisille levyille. KUVIO 13.5 Näkyvyyskerroin kohtisuorille suorakulmioille,joilla on yhteinen särmä. 34

35 Esimerkki: Näkyvyyskertoimet Määritetään näkyvyyskertoimet F 12 ja F 21 seuraaville geometrioille: 1. Pallo, jonka halkaisija on D, sisällä kuutiomaisessa laatikossa, jonka sivut L = D 2. Yksi puoli vinottaisella väliseinällä jaetusta pitkästä nelikulmaisesta kanavasta 3. sisäpuolella Pääty ja sivu pyöreästä putkesta, jonka pituus ja halkaisija ovat yhtä suuret Oletukset: Diffuusit pinnat, joilla vakiot lähtevän säteilyn voimakkuudet. Tarkastelu: Halutut näkyvyyskertoimet voidaan saada geometrioita tarkastelemalla, käänteisyyslaista, summalaista ja/tai kaavioita käyttämällä. 1. Pallo kuution sisällä: Päättelyllä F 12 1 Käänteisyydellä A F i ij A j F ji F 21 A A 1 2 F 12 D 2 6L

36 Esimerkki: Näkyvyyskertoimet 2. Väliseinä nelikulmaisen kanavan sisällä Summalaista, missä Symmetrian mukaan Näin ollen Käänteisyyden mukaan A F i ij A j F ji 3. Pyöreä putki Taulukosta 13.2 tai kuvasta 13.5, kun (r 3 /L)=0,5 ja (L/r 1 )=2, F 13 =0,172 Summalaista, ja kun F 11 F12 F13 F11 0, F12 1 F Käänteisyydestä A F i ij A j F ji 2 D A1 F 4 21 F A DL 2 36

37 Mustien kappaleiden välinen säteily Mustalle kappaleelle Ji E bi Säteilyteho = E bi Lähtevän säteilyn voimakkuus J i Nettosäteilynsiirto kahden pinnan välillä jotka voidaan olettaa mustiksi kappaleiksi Nettoteho, jolla säteily lähtee pinnasta i, kun se on vuorovaikutuksessa j:n kanssa tai nettoteho, jolla pinta j saa säteilyä, kun se on vuorovaikutuksessa i:n kanssa q q q ij ij ji q A F E A F E ij i ij bi j ji bj q A F T T 4 4 ij i ij i j A F A F i ij j ji Pintaa, joka on suuri suhteessa kaikkiin muihin tarkasteltaviin pintoihin, voidaan käsitellä mustan kappaleen tavoin Nettosäteilynsiirto pinnasta i, kun tapahtuu vaihtoa kaikkien (N) ontelon mustien pintojen N 4 4 kanssa: qi Ai Fij Ti Tj j1 37

38 Esimerkki: Mustan kappaleen säteily N 4 4 i i ij i j j1 q A F T T TUNNETAAN: Sylinterimäisen tulipesän ja ympäristön pintalämpötilat SELVITETTÄVÄ: Lämpöhäviö tulipesästä ympäristöön OLETUKSET: 1. Sisäpinnat käyttäytyvät mustien kappaleiden tavoin. 2. Lämmönsiirto konvektiolla on merkityksetöntä. 3. Tulipesän ulkopinta on adiabaattinen 4. Aukkoa käsitellään lämpötilassa Tsur olevana mustana pinta 38

39 Esimerkki: Mustan kappaleen säteily TARKASTELU: Lämpöhäviö voidaan ilmaista yhtälöllä Tai yhtälöstä N qi Ai Fij Ti Tj q A F T T A F T T Ainoat tuntemattomat ovat näkyvyyskertoimet => Taulukosta 13.2 (tai kuvasta 13,5), kun j1 Summalaista Ja käänteisyydestä Symmetriasta 39

40 Esimerkki: Mustan kappaleen säteily Kaikki lämpöhäviöyhtälön muuttujat tunnetaan nyt. Sijoittamalla saadaan q A F T T A F T T

41 Säteilylämmönsiirron johdantoa Yhteenveto kurssista BH20A0300 Ympäristön säteily Näkyvyyskerroin Sisällys/yhteenveto Integraali, yleisimpien geometriayhdistelmien kertoimet Säteily mustan kappaleen pintojen välillä Läpikuultava väliaine Heijastus J Emissio Absorptio Läpäisy Tuleva säteilyvoimakkuus Auringon säteet Maan ilmakehä Maan pinta A F N j1 A F i ij j ji F ij 1 n F i F ( j) k 1 ik q A F T T 4 4 ij i ij i j N 4 4 i i ij i j j1 q A F T T 41