Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan araseluajanheien välisä * { } φ (, ) = E x( ) x ( + ) = φ Ergodisuus: ilasollise ominaisuude voidaan määrää ysiäisesä realisaaiosa. => Aiaesiarvo vasaa oleusarvoa. lim x( d ) = E{ x } = mx Ergodisen signaalin esimääräinen eho * lim x d E{ xx } () = = φ 5..6
Soasisen prosessin ehosperi Saionaarisen soasisen prosessin orrelaaiounion Fourier muunnos iπ e d iπ xy e d = φ = φ xy Kääneismuunnos x:n ehosperi x:n ja y:n risiehosperi φ = ( ) e φ = ( ) e xy xy iπ iπ d d x:n auoorrelaaio x:n ja y:n risiorrelaaio 5..6 3 Soasisen prosessin ehosperi Realiselle prosessille x () auoorrelaaio on symmerinen ja realinen φ = φ ehosperi on symmerinen, realinen ja einegaiivinen ( ) = + Jos asi soasisa prosessia x ja y ova orogonaaleja φxy ( ) = xy ( ) = ällöin prosessille z = x+ y päee φ = φ + φ zz yy ( ) = + zz yy 5..6 4
Esimeri Esimeri: Valoisen ohinan aiaesiarvo x () = zd () E { x } = E { z } d = + φ = E { x( x ) ( + ) } = E { z z } dd + + = ( ) dd σδ + ( ) σ σ = d = {, } { +, + } muuoin φ 5..6 5 σ - + + Esimeri Kesiarvoiseun ohinan auoorrelaaiounio σ ( ) φ = > Fourier muunnos Kolmiopulssi aiaasossa A s () = > Fourier muunnos S = Asinc = ehosperi σ ( ) = sinc Speriiheys 4 S = A sinc 5..6 6 3
Esimeri Kolmiopulssi A - A s () = > Kolmiopulssin aiaderivaaa A d + s () A A = Π Π d - -A Π () = > 5..6 7 Esimeri Fourier muunneaan aiaderivaaa d + s () A A = Π Π d F AΠ = Asinc i { } = π F s e S d F s = Asinc e Asinc e d = iasinc sin i i s():n Fourier-muunnos saadaan ny inegroimiseinon avulla n = n pl d iasinc sin S = F s = = Asinc π π i d i F... s d... d S n ( iπ ) 5..6 8 4
Soasinen raja-arvo Soasinen prosessi on jauva lähes aiilla realisaaioilla (almos all oucomes), jos lim ε x( + ε ) = x Pr{ lim ε x ( + ε ) x } = Soasinen prosessi on jauva odousarvon mielessä (mean sense, m.s.) jos lim { ε E x( + ε ) x } = ällöin myös { ε } E{ x} lim ε E x ( + ) = 5..6 9 Soasinen raja-arvo arasellaan saionaarisa soasisa prosessia jona auoorrelaaio unio on jauva lim ε φ ( + ε ) = φ Prosessi on m.s. jauva jos sen auoorrelaaiounio on jauva {( ε ) } lim ε E x( + ) x = {( ( + ε ) ) } = { ( + ε ) } { ( + ε ) } + { } = φ ( ) φ ( ε) + φ ( ) = φ ( ) φ ( ε), ε E x x E x E x x E x 5..6 5
Soasinen derivaaa Derivaaa voidaan määriellään m.s. jauvalle prosessille dx() x( + ε ) x() x' = = limε = d ε Risiorrelaaio x ( + ε ) x ( ) φ ' (, ) = E{ x' x } = E x ε x ( + ε ) x ( ) x ( ) x ( ) φ( + ε, ) φ (, ) d = E = φ(, ) ε ε d Auoorrelaaio x( + ε) x x( + ε) x' x x' φ ' '(, ) = E x' = E ε ε φ' ( + ε, ) φ' (, ) d d = φ' (, ) = φ(, ) ε d d d 5..6 Soasinen derivaaa arasellaan saionaarisa soasisa prosessia jona auoorrelaaio unio on jauva d φ φ (, ) φ ' ' = ' ' + = dd d d φ( ) φ dd d = = = 5..6 6
Inegraali s = xd () Soasinen inegraali m.s. olemassa, jos Δ E s x( ) Δ Δ, Δ = Oleusarvo {} { } E s = E x() d = η () d. Momeni { } { } x E s = E x( ) x( ) d d = φ (, ) dd 5..6 3 Soasisen prosessin ehosperi Prosessi auoorrelaaio - ehosperi x () x() φ = φ ( ) = φ φ ax() a a d d x() φ π d d n n d d x() φ n n π d d xe e n π ( ) i c i c () ± π φ ± c 5..6 4 7
Soasisen prosessin ehosperi ehosperin ulina i π * = e d = E x x ( + ) { } φ () = d = E x { } φ ehosperin pina-ala vasaa signaalin esimääräinen ehoa ( ) Signaalin :aajuisen omponenin esimääräinen eho 5..6 5 Valoinen ohina φ ( ) σ Valoisen ohinan energia on asajaauunu aiille aajuusille. φ = σ δ = σ 5..6 6 8
Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä x() h() y () = h x d = h () x () Risiorrelaaio yx * * = E{ yx () ( + )} = E{ y (' + ) x(') } φ = + * E h( λ) x( ' λ) x ( ') d * { } = h( λ) E x( ' + λ) x ( ') d h( λφ ) ( λ) d = h φ Lineaarinen syseemi onvoluuioinegraali 5..6 7 Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä Auoorrelaaio yy * * = E{ y y( + )} = E{ y ( + ) y } φ = + * * E y() h ( λ) x (' λ) d * { } = h( λ) E y x ( ' + λ) d h( λφ ) ( λ) d = h φ yx yx 5..6 8 9
Suodaimen ehosperi Konvoluuioa -asossa vasaa erolasu -asossa, joen ( ) = H yx = * yy ( ) H yx ( ) = H yy Wiener-Khinchine eoreema 5..6 9 Kohinan suodaaminen ( ) H ( ) yy ( ) ( ) = H yy 5..6
Soasise diereniaaliyhälö arasellaan diereniaaliyhälöä n n d d a y() = b x() d = d = missä x() on join soasinen prosessi, jona ehosperi on ( ) Raaisaan diereniaaliyhälön impulssivaseen Fourier muunnos x() = δ () n m a ( i π ) Y = b ( i π ) X Fourier muunneaan ise = = diereniaaliyhälö m b ( i ) Y π = H = = n X( ) = impulssin apausessa. X a ( iπ ) = ehosperi m m b iπ b iπ = = yy ( ) = H = n n a ( iπ ) a ( iπ ) 5..6 = = Esimeri. RC-suodain in () ~ i () R u C u () ou d i () = C uou () d u () = Ri() + u () in ou Impulssivase d h () = ( δ () h ()) d RC i π H = H RC H = RC iπ RC d u ou () = u in() u ou () d RC ehosperi H = = + + + + i π RC i π RC ( π RC) 5..6
Esimeri. RC-suodain Lähösignaaliin muodosuu jännieläheen muodosamasa signaalisa ja ermisesä ohinasa u in () = e() + x() ( ) = N E { x() } = U e () = Ucos( π ) ee( ) = E = ( δ ( + ) + δ ( ) ) 4 U E = ( δ ( + ) + δ ( ) ) Ulosulo muodosuu ahdesa signaalisa * * ou = ( λ) ( λ) λ+ ( λ) ( λ) λ = + u e h d x h d y z y z 5..6 3 Esimeri. RC-suodain Ulosulosignaalin auoorrelaaio * * E{ z y } E{ z } E{ y } * * E{ y z } E{ y } E{ z } φ = ( + ) = ( + ) = zy φ = ( + ) = ( + ) = yz * E z() E x( ) h d { } = { } λ λ λ = + + + = + φ φ φ φ φ φ φ uu yy zu zy zz yy zz Risiermi menevä nollaan, osa signaali y ja z orogonaalise Ulosulon ehosperi ( ) = H E + uu = H( ) ( δ ( + ) + δ ( )) + N H 4 5..6 4
RC-suodain RC-Suodaimen ehosperi Hyöysignaali - - SNR Kohina -3-4 -5-6 -7-5 -4-3 - - 5..6 5 Kohinan suodaaminen Speraaliaoroini ehosperiä yy ( ) = H vasaa asi erilaisa prosessia. oisessa suodaimena on H ja oisessa H * ( ). Molemmilla on sama ilasollise ominaisuude. Esimeri yy ( ) = ( ) π + H = h = e Sabiili IIR (Ininie Impulse Response) + iπ suodin * H = h = e Epäsabiili IIR suodin iπ 5..6 6 3
Disreeiaiaisen prosessin ehosperi arasellaan prosessia x() = Iδ = missä I on join disreeiaiainen soasinen prosessi x () = Iδ ( ) = { } δ E II l l+ = φ = E{ x() x( + ) } = muuoin φii = φ = E{ x() x( + ) } = muuoin i e π π φ d φii e = = = Disreei Fourier muunnos 5..6 7 Moduloiu biisevenssi { } I Voidaan ulia onvoluuiosi ehosperi g( ) s() = I g( ) = Disreein sevenssin moduloini x() = Iδ = s() = x g() = I δ g d = I g( ) = ( ) = G ss = 5..6 8 4
Lähein Lineaarinen ampliudi modulaaio g() I cos ( π ) c h () s() g () = muuoin Kanavoinisuodain G = sinc ss ( ) = H G( + c) + G( c ) II Jos symboli I { ± } oisisaan riippumaomia saunnaismuuujia, II ( ) = Jos anavoinisuodaina ei äyeä H( ) = 5..6 9 Kanavaoodaus Prosessoidaan läheeävää biijonoa, Y = Y + I ± ±, ulina x() = I δ ( ) = Suodain Q() Σ.5 y () Q = e iπ Viive ehosperi YY ( ) = Q II Eli äsielemällä läheeävää biijonoa (oodaamalla) voidaan vaiuaa myös ehosperiin. 5..6 3 5
-5 Moduloidun signaalin speri Koodaamalla aisa apenee, mua samalla myös siirreävän inormaaion määrä vähenee samassa suheessa. 5. asoinen AM moduloini -3 db - -5 - -5 G() G(4*) G() Q() -3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 5..6 3 Moduloidun signaalin speri Miä pehmeämmin signaali muuu ajassa, siä apeammalle aisalle signaalin energia on jaauunu. - -4-6 -8 - - -4-6 G() -8 4* G(4*) G() Q() - - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 5..6 3 6
Kaisarajoieu anava Pulssimuooisen moduloinimeneelmien ongelmana on niiden sperin leveys, eli naapuriaisalle vuoavan ehon suuri määrä. Kaisan rajoiamisesi äyeään anavoini suodaimia. Kohina z () Modulaaori s() Kanavoinisuodin h() Σ Kanava Kanavoinisuodin r () h*(-) Demodulaaori rr ( ) X S H ( ) = + X = H zz 5..6 33 Lineaarinen regulaaori Sääöeniiaa... Prosessihäiriö z () Säädin C() u () Prosessi G() Σ y () C G yy ( ) = zz ( ) + C G Neliöllinen sääövirhe Minimivarianssisääö E{ y () } = yy () min C C( G) yy() C( G) Prosessin G sabiloivien säädinen jouo C G iπ 5..6 CG = C: e d < 34 + C G 7