Suurte poikkeamie teoriasta sovelluksea satuaiskulku satuaisessa ympäristössä Kirjoittaut: Juha-Atti Isojärvi Ohjaaja: Jaakko Lehtomaa 20. lokakuuta 204
Tiivistelmä Pitkissä kolikoheittosarjoissa kruuie ja klaavoje lukumäärät ovat tyypillisesti lähellä toisiaa. Joskus, tosi äärimmäise harvoi, kuiteki käy hassusti, ja ämä poikkeavat toisistaa suuresti. Suurte poikkeamie teoria avulla voidaa aalysoida tämätyyppiste harviaiste tapahtumie todeäköisyyksiä. Teorialla o laajasti sovelluksia iiki erilaisilla aloilla kui fysiikka, biologia, taloustiede, tietojekäsittelytiede, iformaatioteoria ja tilastotiede. Tässä tutkielmassa tutki suurte poikkeamie teoriaa tutustumalla se keskeisii käsitteisii ja tuloksii. Erityisesti käy läpi mitä tarkoitetaa k. suurte poikkeamie periaatteella, ja miksi se o keskeisessä asemassa teoria käsitteistössä. Käy myös läpi Craméri lausee, joka o teoria vahimpia tuloksia, ja se modereja yleistyksiä, erityisesti Gärteri-Ellisi lausee. Esitä myös äide lauseide todistukset melko yleisillä oletuksilla. Lopuksi sovella teoriaa satuaiskulkuu satuaisessa ympäristössä. Teoria ja lauseide todistukset pohjautuvat kirjaa [DZ98]. Sovellus o kirjasta [DH08]. Tutkielma alkaa teorialla. Johdaossa pyri esi heuristisesti ja mahdollisimma yksikertaisesti käymää läpi suurte poikkeamie teoria keskeisiä käsitteitä. Luvussa aa suurte poikkeamie periaattee määritelmä, ja pyri hiema selvetämää joitai tähä määritelmää liittyviä käsitteitä. Karkeasti ottae, suurte poikkeamie periaate koostuu joukosta satuaismuuttujia Z jossaki tila-avaruudessa E. Mikäli äide satuaismuuttujie jakaumat µ suppeevat kohti jotaki jakaumaa µ avaruudessa E, ja B o sellaie mitallie avaruude E osajoukko, että µ (B) 0, o tapahtuma {Z B} yhä poikkeavampi. Suurte poikkeamie kehys ataa kaikkie tällaiste tapahtumie ekspoetiaalise suppeemisopeude kohti ollaa suhteessa johoki kohti ollaa suppeevaa lukujooo (a ). Suppeemisopeus luetaa k. suppeemisopeusfuktio arvoista joukossa B. Craméri lause ataa suurte poikkeamie periaattee iid satuaismuuttujie keskiarvoille. Suppeemisopeusfuktio o kumulatit geeroiva fuktio Fechel- Legedre muuos. Tämä vuoksi kertaa luvussa 2 lyhyesti mometit geeroiva fuktio, kumulatit geeroiva fuktio ja se Fechel-Legedre muuokse määritelmät ja joitai keskeisiä omiaisuuksia. Luvussa 3 käy läpi Craméri lausee ja Gärteri-Ellisi lauseide sisällö. Craméri lause laajetaa keskeise raja-arvolausee tulokse koskemaa myös suuresti poikkeavia tapahtumia. Sitä pidetää historiallisesti esimmäiseä suurte poikkeamie tuloksista, ja se o hyvä aloituspiste teoriaa. Gärteri-Ellisi lause ataa suurte
poikkeamie periaattee tiettyje satuaismuuttujia Z koskevie heikkoje riippuvuusoletuste vallitessa. Gärteri-Ellisi laajetaa Craméri lausetta, sillä Crameri lause saadaa Gärteri-Ellisi lausee korollaaria. Luvussa 4 esitä Craméri lausee todistukse tapauksessa E = ja Gärteri-Ellisi lausee todistukse tapauksessa E = d. Todistukset o piei muuoksi poimittu päälähteestä [DZ98]. Craméri lausee todistus o tässä pikemmiki esitetty johdatoa Gärteri-Ellisi lausee todistuksee, vaikka se päteeki yhdessä ulottuvuudessa laajemmi kui useammissa ulottuvuuksissa. Gärteri-Ellisi lausee kohdalla ole eritellyt tarkemmi kui päälähteessä, mitkä lausee oletukset ovat tarpeellisia mikäki lausee osa todistamisee. Tätä tietoa tarvitaa myöhemmi sovellusosassa. Tutkielma lopussa luvussa 5 esitä Gärteri-Ellisi lausee sovellukse satuaiskulkuu satuaisessa ympäristössä. Tarkemmi johda suurte poikkeamie periaattee tällaise satuaiskulu opeudelle. Satuaiskulu tila-avaruutea o luoolliste lukuje joukko. Satuaiskulku satuaisessa ympäristössä yleistää tavallista satuaiskulkua site, että eri tiloje siirtymätodeäköisyydet etee oletetaa samoi jakautueiksi ja riippumattomiksi, se sijaa, että e olisivat tiloittai samasuuruiset. Esi osoitetaa Gärteri-Ellisi lausee avulla rajoitettua muotoa oleva suurte poikkeamie periaate satuaiskulu osumahetkille, joka avulla sitte osoitetaa suurte poikkeamie periaate satuaiskulu opeudelle. Satuaiskulu osumahetket toteuttavat vai osa Gärteri-Ellisi lausee oletuksista, jote saadaa vai heikkoa muotoa oleva suurte poikkeamie periaate. Todistus o piei muutoksi suoraa toisesta päälähteestä [DH08]. Tutkielma päättää johtopäätökset-luku. Tutkielmassa oletetaa esitietoia aiaki matemaattise aalyysi, topologia, todeäköisyysteoria ja stokastiste prosessie perusteet, liiteosassa o kuiteki pikaisesti kerrattu tarvittavia esitietoja. Lisäksi sovellusosassa tarvitaa hiuka ergoditeoriaa, jota o myös hyvi lyhyesti kerrattu liiteosassa. Tutkielmassa o pyritty miimoimaa esitietoje käyttö käyttämällä sopivia merkitöjä ja viittaamalla aioastaa liiteosassa olevii esitietoihi.
Sisältö 0. Johdato....................................... 0.2 Merkitöjä, käytätöjä ja määritelmiä..................... 5 Suurte poikkeamie teoriasta 6. Heikko suppeemie............................... 6.2 Ekspoetiaalie suppeemisopeus..................... 7.2. Suurimma termi periaate....................... 8.3 Suurte poikkeamie periaate.......................... 0 2 Kumulatit geeroiva fuktio ja se Fechel-Legedre muuokse omiaisuuksia 6 2. Mometit geeroiva fuktio............................ 6 2.2 Kumulatit geeroiva fuktio........................... 8 2.3 Fechel-Legedre muuos............................ 8 2.4 Kumulatit geeroiva fuktio ja se Fechel-Legedre muuokse omiaisuuksia.................................... 9 3 Craméri ja Gärteri-Ellisi lauseet 22 3. Craméri lause.................................... 22 3.2 Gärteri-Ellisi lause............................... 23 4 Craméri ja Gärteri-Ellisi lauseide todistukset 26 4. Craméri lausee todistus............................. 26 4.2 Gärteri-Ellisi lausee todistus........................ 35 4.2. Suurte poikkeamie yläraja todistus................ 35 4.2.2 Suurte poikkeamie alaraja todistus................ 4 5 Suurte poikkeamie periaate satuaiskulu opeudelle satuaisessa ympäristössä 45 5. Satuaiskulku satuaisessa ympäristössä.................. 45
5.2 Perusmääritelmiä.................................. 46 5.3 Satuaiskulu opeus satuaisessa ympäristössä............. 48 5.4 Suurte poikkeamie periaate satuaiskulu osumahetkille satuaisessa ympäristössä................................. 49 5.4. Kumulatit geeroivie fuktioide raja............... 49 5.4.2 Kumulatit geeroivie fuktioide raja ja se Fechel-Legedre muuokse aalyysi........................... 50 5.4.3 Gärteri-Ellisi lausee implikaatio satuaiskulu osumahetkille...................................... 54 5.4.4 Suurte poikkeamie periaate...................... 56 6 Johtopäätökset 6 A Stokastisista prosesseista ja muita esitietoja 64 A. Todeäköisyysjakaumat Euklidisissa avaruuksissa............. 64 A.2 Stokastie prosessi ja se jakauma....................... 65 A.3 Markovi ketjut................................... 67 A.4 Markovi ketju osumahetket ja muita omiaisuuksia........... 68 A.5 Ergoditeoriasta.................................... 69
0. Johdato Olkoot X, X, X 2,... iid, eli riippumattomia ja samoi jakautueita satuaismuuttujia avaruudessa, E [X ] = 0, Var [X ] =. Merkitää iide keskiarvoa Z := X j. j= Suurte lukuje lakie mukaa Z 0 melkei varmasti. Tällöi mm. tapahtumat {Z a}, a > 0, ovat ideksi kasvaessa yhä epätodeäköisempiä. Keskeie raja-arvolause ataa seuraava tutu arvio muotoa Z a olevie tapahtumie todeäköisyyksille: suurilla P Z a P{N > a}, missä N o stadardiormaalisti jakautuut satuaismuuttuja. Tätä muotoa olevia tapahtumia kutsutaa kirjallisuudessa joskus tavallisiksi poikkeamiksi tai satuaismuttujie Z tyypillisiksi arvoiksi. Jos kuiteki ollaa kiiostueita todeäköisyyksistä P {Z a}, keskeie raja-arvolause ei aa meille vastausta. Erityisesti ogelmia muodostuu, jos a o suuri verrattua ideksii. Lisäksi keskeie raja-arvolause ei tietekää aa äide todeäköisyyksie rajakäytöstä. Tätä muotoa olevia tapahtumia voidaa siis pitää tässä tapauksessa suuresti poikkeavia. Craméri lausetta pidetää historiallisesti vahimpaa suurte poikkeamie teoria tuloksea. Se mukaa tiettyje, satuaismuuttuja X jakauma hätää koskevie oletuste vallitessa keskiarvoje Z suurte poikkeamie todeäköisyydet suppeevat kohti ollaa ekspoetiaalista vauhtia. Ekspoetiaalisella suppeemisopeudella tarkoitetaa tässä tapauksessa, että lim log P{Z a} = r jollaki r (, 0).
Ekspoetiaalisesta suppeemisopeudesta lisää kappaleessa.2. Tämä suppeemisopeude ekspoetiaalisuus o keskeistä siiä mitä tässä tutkielmassa kutsutaa suurte poikkeamie teoriaksi. Suurte poikkeamie teoria kertoo ekspoetiaalise suppeemisopeude: oko suppeemisopeus ekspoetiaalista suhteessa johoki kohti ollaa suppeevaa lukujooo (a ), ja jos o, ii millä vauhdilla? Ku äihi kysymyksii o vastattu, voidaa samoi kui keskeise rajaarvolausee kohdalla arvioida, että suurilla r P{Z B} exp. Jotta saadaa kokreettie esimerkki teoriasta jatketaa kolikoheito parissa. Tämä esimerki yksityiskohdat löytyvät helposti kirjallisuudesta, eikä iitä ole yt tarkoituksemukaista käydä liia tarkasti läpi. Oletetaa, että a P{X = 0} = P{X = } = /2. Suurte lukuje lai ojalla Z /2 melkei varmasti. Määritetää muotoa {Z a}, missä /2 < a, olevie tapahtumie suppeemisopeus. Koska P{Z a} = 2, k k a pätee 2 max k a P{Z a} ( + )2 max k a. k k Maksimi saavutetaa pisteessä k = a, jote saadaa 2 P{Z a} ( + )2. a a Stirligi kaava avulla saadaa lim log = a log a ( a) log( a), a jote lim log P{Z a} = log 2 a log a ( a) log( a). 2
Määritellää fuktio I : [0, ], log 2 + x log x + ( x) log( x) ku x [, ], I(x) = muute, ja kutsutaa sitä suppeemisopeusfuktioksi. Suurte poikkeamie teoriassa suurte poikkeamie ekspoetiaaliset suppeemisopeudet karakterisoidaa suppeemisopeusfuktio avulla. Edellä osoitettii, että kaikilla väleillä B = [a, ), a > /2, pätee lim log P{Z B} = if{i(x) x B}. Symmetria ojalla äi o myös tapahtumie B = (, a] kohdalla. Suppeemisopeusfuktio ifimumi avulla saadaa ekspoetiaalie suppeemisopeus määriteltyä myös yleisille suurille poikkeamille {Z B}, missä B o joki mitallie reaalilukuje osajoukko. Tämä o jokseeki epäituitiivista, esimerkiksi tapahtumie {Z [5/8, 7/8]} ja {Z [5/8, )} todeäköisyydet suppeisivat kohti ollaa samaa ekspoetiaalista vauhtia: lim log P{Z [5/8, 7/8]} = lim log P{Z [5/8, )} = I(5/8). Tämä o keskeistä suurte poikkeamie teoriassa. Ks. esim. kappale.2. ja Lemma.8 todistus. Ei ole tarpee rajoittua Craméri lausee iid satuaismuuttujie keskiarvoihi reaalilukuvälillä. Suurte poikkeamie teoriaa o laajeettu koskemaa mitä tahasa jakaumia mielivaltaisessa topologisessa avaruudessa E, jossa o määritelty joki mitalliste joukoje kokoelma. Kauiide ja käytäölliste tuloste osoittamiseksi tehdää kuiteki yleesä hiema rajoituksia. Usei E oki topologie vektoriavaruus tai sääöllie Hausdorffi avaruus. Gärteri-Ellisi lause laajetaa Craméri lausee tulosta esiäki site, että Craméri lause voidaa todistaa Gärteri-Ellisi lausee korollaaria. Lisäksi Gärteri- Ellisi lause ei välttämättä koske eää satuaismuuttujie keskiarvoja, vaa mitä tahasa jooa satuaismuuttujia Z, jotka riippuvat heikosti toisistaa site, että iide kumulatit geeroivat fuktiot suppeevat sopivasti skaalattua kohti jotai rajafuktiota. Craméri lauseesta ja Gärteri-Ellisi lauseesta lisää kappaleessa 3. Esitä kappaleessa 4 Craméri lausee ja Gärteri-Ellisi lausee todistukset. Vaikka Craméri lause saadaaki Gärteri-Ellisi lausee korollaaria, se todistuksessa tulee hyvi ilmi keskeisiä suurte poikkeamie teoria tekiikoita. Tämä vuoksi oli Aiaki äi o, ku rajoitutaa tila-avaruutee E = d. 3
mielestäi perusteltua esittää Craméri lausee todistus tapauksessa E =. Gärteri- Ellisi lausee todista tapauksessa E = d. Sivua myös hiema sitä, mitkä todistukse eri osat saadaa todistettua samalla tavalla myös topologisissa vektoriavaruuksissa. Todistukset ja ovat tutkielma päälähteestä [DZ98]. Lappaleessa 5 esitä Gärteri-Ellisi lausee sovellukse satuaiskululle satuaisessa ympäristössä. Tämä satuaiskulku o kute tavallie satuaiskulku, mutta tiloittai kiiteide siirtymätodeäköisyyksie sijaa siirtymätodeäköisyydet eteepäi oudattavat keskeää riippumattomasti jotaki kiiteää jakaumaa α. Suuret poikkeamat saadaa tällaise satuaiskulu opeudelle. Valitsi tämä sovellukse pääasiassa siksi, että o klassise suurte poikkeamie teoria mukaie tulos. Lisäksi tulos o melko tuore, peräisi kolmaelta vuosituhaelta. Lisäksi satuaiskulu opeude suppeemisopesfuktiolla voi jakaumasta α riippue olla sellaie väli, jossa se saa arvo olla. Tälle välille rajoittuvie suurte poikkeamie todeäköisyydet suppeevat siis kohti ollaa aidosti aliekspoetiaalista vauhtia, ja iide aalysoimisee tarvitaa hieompia estimaatteja, kui mitä saadaa suoraa Gärteri-Ellisi lauseesta. Tämä havaiollistaa osaltaa myös seuraavaa vakuutusyhtiö vararikkotodeäköisyyksii liittyvää seikkaa. Harald Cramér todisti häe mukaasa imety tulokse tutkiessaa vakuutusyhtiö vararikkotodeäköisyyksiä. Tähä liittyy läheisesti ala k. klassie malli, jossa tehdää oletus satuaismuuttujie X j mometit geeroivie fuktioide äärellisyydestä jossaki origo ympäristössä. Tätä oletusta kutsutaa Craméri oletukseksi. Myöhemmi o kuiteki havaittu, etä joissai tapauksissa tämä o vakuutusyhtiö toimia kaalta epärealistie oletus. Näi o, jos satuaismuuttujie X j jakaumat ovat paksuhätäisiä. Tässä tapauksessa suurte poikkeamie todeäköisyydet eivät eää suppeekaa kohti ollaa ekspoetiaalista vauhtia suhteessa lukujooo (a ) = (/), vaa vauhti o aidosti aliekspoetiaalista. Osa ykyaikaista vakuutusmatematiika tutkimusta keskittyyki tähä tapauksee ja pyrkii selvittämää suurte poikkeamie todeäköisyyksie rajakäyttäytymise. 4
0.2 Merkitöjä, käytätöjä ja määritelmiä Tässä tutkielmassa käytä esitietoia mittateoria, todeäköisyysteoria, topologia, stokastiste prosessie ja matemaattise aalyysi perusteita. Erityisesti käsitteet todeäköisyysavaruus, satuaismuuttuja äärellisuloitteisessa avaruudessa, itegraali ja odotusarvo tulisi olla hyvi hallussa. Lisäksi tarvitaa suurte lukuje lakie ja keskeise raja-arvo lausee sisältö. Fuktioaaliaalyysia ei tarvita, sillä siihe perehtymätö lukija voi huoletta sivuuttaa ääretöulotteisii avaruuksii liittyvät tarkastelut, sillä iitä sivutaa vai lyhyesti. Sovellusosassa vaaditaa esitietoja myös ergoditeoriasta. Liiteosassa ole koout joitai esitietoja yhtee. Otetaa käyttöö seuraavat merkiät: E Tila-avaruus. Tila-avaruude E mitalliste joukkoje kokoelma. {... } Kaarisulkeilla merkitää poikkeuksetta joukkoa. {x E A} Avaruude E osajoukko, joka alkiot x ovat täsmällee e, joilla ehto A toteutuu. Esim. {x x < } = (, ). A c Osajouko A komplemetti, {x x A}. if(a) Reaalilukuje osajouko A ifimum, eli suuri alaraja. Sovitaa if() =. if{... } Reaalilukuje osajouko... ifimum, eli suuri alaraja. B(a, r) Avoi kuula. B(a, r) = {x E x a < r}. cl(b) Topologise avaruude osajouko B sulkeuma. cl(b) = {x E A x B kaikilla pistee x ympäristöillä A x }. cl{... } Topologise avaruude osajouko {... } sulkeuma. it(b) Topologise avaruude osajouko B sisäpisteide joukko. it{... } Topologise avaruude osajouko {... } sisäpisteide joukko. B Topologise avaruude osajouko B reuapisteide joukko. { f B} Osajouko B alkukuva kuvauksessa f. {X B} Osajouko B alkukuva satuaismuuttuja X suhtee. P(A) Tapahtuma A todeäköisyys. P{X B} Tapahtuma {X B} todeäköisyys. iid Riippumattomat ja samoi jakautueet satuaismuuttujat. x Kattofuktio. Piei kokoaisluku, joka o suurempi tai yhtä suuri kui x. x Lattiafuktio. Suuri kokoaisluku, joka o pieempi tai yhtä suuri kui x. supp(α) Jakauma α kataja. 5
Luku Suurte poikkeamie teoriasta Otetaa tutkielmassa käyttöö seuraavat määritelmät, oletukset ja merkiät. Olkoo E joki topologie avaruus ja olkoo joki σ-algebra avaruude E osajoukkoja. Joukkoa E kutsutaa tila-avaruudeksi, kokoelmaa tila-avaruude mitalliste joukkoje kokoelmaksi, ja kokoelma alkioita mitallisiksi joukoiksi. Jos X o satuaismuuttuja tila-avaruudessa E ja B ii joukkoja {X B} kutsutaa tapahtumiksi. Olkoo ideksijoukko, joko = [0, ) tai =. Olkoo Z ɛ, ɛ, perhe satuaismuuttujia tila-avaruudessa E. Merkitää satuaismuuttujie Z ɛ jakaumia (Z ɛ ) := µ ɛ. Ee kui meää suurte poikkeamie teoriaa, käydää esi lyhyesti läpi, mitä tarkoitetaa heikolla suppeemisella, ekspoetiaalisella suppeemisopeudella ja mikä o suurimma termi periaate ekspoetiaalisessa suppeemisopeudessa.. Heikko suppeemie Heikkoa suppeemista, eli jakaumasuppeemista, ei tarvita jatkossa laikaa. Se o kuiteki perusteltua käydä tässä lyhyesti läpi, sillä se o aalogie suurte poikkeamie periaattee kassa. Halutessaa lukija voi hypätä tämä kappalee yli. Määritelmä.. Satuaismuuttujat Z tila-avaruudessa E, jossa kaikki Borel joukot ovat mitallisia, suppeevat heikosti kohti satuaismuuttujaa Z, jos kaikilla avoimilla A lim if P{Z A} P{Z A} 6
ja kaikilla suljetuilla B lim sup P{Z B} P{Z B}. Portmateau-lausee mukaa tämä märitelmä o yhtäpitävää seuraava kassa: kaikilla B, joilla P{Z B} = 0 lim P{Z B} = P{Z B}. Joukkoja B, joilla P{Z B} = 0 kutsutaa jatkuvuusjoukoiksi..2 Ekspoetiaalie suppeemisopeus Olkoot f = (f ), g = (g ) ja (a ) kohti ollaa suppeevia, aidosti positiivisia lukujooja avaruudessa. Määritelmä.2. Merkitää f g, mikäli lim f g =. Ku f g, saotaa, että joot f ja g ovat asymptoottisesti ekvivaletit. Määritelmä.3. Lukujoo f suppeemisopeus o täsmällee ekspoetiaalista suhteessa lukujooo (a ), mikäli jollaki r < 0 r f exp. a Määritelmä.4. Lukujoo f suppeemisopeus o karkeasti ekspoetiaalista suhteessa lukujooo (a ), mikäli jollaki r < 0 lim a log f = r. O selvää, että mikäli suppeemie o täsmällee ekspoetiaalista, se o sitä myös karkeasti, ja että kääteie implikaatio ei välttämättä päde. Seuraava ilmeiset lemmat selvetävät hiema tätä suhdetta ja ekspoetiaalise suppeemisopeude merkitystä. 7
Lemma.5. Jos jollaki r < 0 lim a log f = r, ii kaikilla ɛ (0, r ) pätee jostaki ideksi arvosta lähtie r ɛ r + ɛ exp f exp. Lemma.6. Jos jollaki r < 0 a r f exp, a ii kaikilla ɛ (0, r ) pätee jostaki ideksi arvosta lähtie r r ( ɛ)exp f ( + ɛ)exp. a a Lemmoje.5 ja.6 atamie arvioide saotaa pätevä jostaki ideksi arvosta lähtie. Se, mistä ideksi arvosta lähtie arvio o voimassa, riippuu joosta (f ). Joskus arvioita sovelletaa ii, että ideksi ajatellaa oleva riittävä suuri, vaikka tästä ei mitää äyttöä olisikaa. Joskus taas ollaa kiiostueita aioastaa suppeemisopeudesta r, eikä haluta laikaa tehdä Lemma.5 arviota. Tässä tutkielmassa kutsutaa karkeaa ekspoetiaalista suppeemista pelkästää ekspoetiaaliseksi suppeemiseksi, kute päälähteessä [DZ98]. a.2. Suurimma termi periaate Suurte poikkeamie teoria lauseide todistuksissa tarkastellaa usei kahde tai useamma lukujoo summa ekspoetiaalista suppeemisopeutta. Tällaisissa tarkasteluissa hyödylliseksi osoittautuu usei k. suurimma termi periaate, joka mukaa suppeemisopeude määrittää summa suurimma termi suppeemisopeus. Seuraavaa lemmaa kutsutaa suurimma termi periaatteeksi. Lemma.7. Olkoo N ja olkoo(a ) aidosti positiivie, kohti ollaa suppeeva reaalilukujoo. Kaikille jooille (f ) = ((f j, ) j N ) N, joille f j, 0 kaikilla idekseillä j ja, pätee lim sup a log N j= f j, = max lim sup a log f j, j =, 2,..., N. 8
Todistus. Olkoo. N a log f j, a log N max f j, j N j= = a log (N) + a log max f j, j N = a log (N) + max a log f j, j N. Pätee N a log f j, max a log f j, j N, j= jote o osoitettu, että N 0 a log f j, max a log f j, j N a log (N). j= Väite seuraa tästä ottamalla yläraja-arvo. Lemma.7 o hyödyllie useimmite tilateissa, joissa ekspoetiaalista suppeemisopeutta arvioidaa ylöspäi, tai sitte tilateissa, joissa jo tiedetää, että rajaarvo o olemassa, jolloi lim if = lim sup = lim. Tässä tutkielmassa tulemme vielä tarvitsemaa seuraavaa suurimma termi periaattee muuelmaa, joka o hyödyllie arvioidessa ekspoetiaalista suppeemisopeutta alaspäi. Lemma.8. Olkoot (f ) ja (g ) kaksi aidosti positiivista reaalilukujooa, joille f g kaikilla. Olkoo (a ) aidosti positiivie reaalilukujoo, joka suppeee kohti ollaa. Oletetaa, että joillaki 0 > a > b pätee lim if a log f a ja että lim sup a log g b jollaki b < 0. Tällöi lim if a log (f g ) a. 9
Todistus. Olkoo ɛ (0, (b a)/2) mielivaltaie. Tällöi lemma oletuste ylä- ja alaraja-arvoje ojalla jostaki lähtie a ɛ f exp ja a b + ɛ g exp. Siispä jostaki lähtie a ɛ b + ɛ f g exp exp a a a ɛ b a + 2ɛ exp exp. a Siispä ottamalla puolittai logaritmit ja kertomalla termillä a saadaa b a + 2ɛ lim if a log (f g ) a ɛ + lim if a log exp = a ɛ. Väite seuraa tästä, sillä ɛ oli mielivaltaise piei. a a a.3 Suurte poikkeamie periaate Määritelmä.9. Fuktio I : E [0, ] toteuttaa suppeemisopeusfuktiolta vaaditut omiaisuudet, mikäli se o alhaalta puolijatkuva ja pätee if{i(x) x E} = 0. Tällaista fuktiota kutsutaa suppeemisopeusfuktioksi. Alhaalta puolijatkuvalla tarkoitetaa, että joukot {x E I(x) α} ovat suljettuja kaikilla α. Mikäli suppeemisopeusfuktio o sellaie, että ämäjoukot ovat lisäksi kompakteja, kyseessä o hyvä suppeemisopeusfuktio. Seuraava suurte poikkeamie periaattee määritelmä löytyy päälähteestä [DZ98] ja se o alu peri kehittäyt S.R.S Varadha vuoa 966. Siiä ideksijoukko = (0, ). Tapaus = määritellää hiema myöhemmi määritelmässä.5. 0
Määritelmä.0. Jakaumaperhe {µ ɛ } ɛ tila-avaruudessa E toteuttaa suurte poikkeamie periaattee suppeemisopeusfuktiolla I, mikäli kaikilla mitallisilla B E if{i(x) x it(b)} lim if ɛ log µ ɛ (B) ɛ 0 lim sup ɛ log µ ɛ (B) if{i(x) x cl(b)}. ɛ 0 Mikäli Z ɛ, ɛ, ovat satuaismuuttujia, joide jakaumat toteuttavat suurte poikkeamie periaattee, ii saotaa, että satuaismuuttujat Z ɛ toteuttavat suurte poikkeamie periaattee suppeemisopeusfuktiolla I. Tietyi tila-avaruude topologiaa koskevi oletuksi voidaa osoittaa, että suppeemisopeusfuktio o kuki suurte poikkeamie periaattee kohdalla yksikäsitteie, ks esim. [DZ98] Lemma 4..4, ku E o sääöllie topologie avaruus. Mikäli kaikki topologise avaruude E Borel-joukot ovat mitallisia, eli (E) ii määritelmä.0 o yhtäpitävää seuraava kassa: Määritelmä.. Jakaumaperhe {µ ɛ } ɛ tila-avaruudessa E toteuttaa suurte poikkeamie periaattee suppeemisopeusfuktiolla I, mikäli kaikilla avoimilla A E ja kaikilla suljetuilla B E if{i(x) x A} lim if ɛ log µ ɛ (A), ɛ 0 lim sup ɛ log µ ɛ (B) if{i(x) x B}. ɛ 0 Huomautus.2. Tässä tutkielmassa aia (E). Mikäli satuaismuuttujat Z toteuttavat suurte poikkeamie periaattee, ja B o sellaie, että ii saadaa tarkka raja if{i(x) x it(b)} = if{i(x) x cl(b)}, lim ɛ log µ ɛ (B) = if{i(x) x B}. (.3) ɛ 0 Tällaisia joukkoja B kutsutaa I-jatkuvuusjoukoiksi. Suurte poikkeamie periaate takaa tiuka raja-arvo (.3) vai I-jatkuvuusjoukoille. Huomaa ilmeie aalogia heiko suppeemise (määritelmä.) kassa. Suurte poikkeamie periaatetta voidaa pitää ekspoetiaalisea heikkoa suppeemisea. Jatkossa määritelmässä. esiityvää ylärajaa kutsutaa suurte poikkeamie ylärajaksi ja alarajaa suurte poikkeamie alarajaksi.
Huomautus.4. Mikäli tapahtuma B o sellaie, että if{i(x) x B} = 0, ii suurte poikkeamie yläraja pätee triviaalisti. Siispä ylärajaa todistettaessa riittää tarkastella sellaisia mitallisia joukkoja B, joille if{i(x) x B} > 0. Jatkossa o aia käytössä ideksijoukko =. Tällöi ɛ korvataa ideksillä, ja käytetää seuraavaa määritelmä.0 kassa aalogista määritelmää: Määritelmä.5. Jakaumaperhe {µ } tila-avaruudessa E toteuttaa suurte poikkeamie periaattee suppeemisopeusfuktiolla I, mikäli o olemassa sellaie positiivie, kohti ollaa suppeeva lukujoo (a ),että kaikilla avoimilla A E ja kaikilla suljetuilla B E if{i(x) x A} lim if a log µ (A), lim sup a log µ (B) if{i(x) x B}. Kaikki yllämaiittu, mikä koskee määritelmä.0 ja. mukaista suurte poikkeamie periaatetta, o totta myös määritelmälle.5. Usei ala tulokset koskevat jatkuvaa ideksijoukkoa, jote määritelmä oli perusteltua esittää täydessä yleisyydessää, jotta tutkielma ei ataisi liia rajoittuutta kuvaa suurte poikkeamie teoriasta. Lisäksi määritelmä.5 valaisee hiema määritelmää.0 site, että oikeastaa kyse o ekspoetiaalisesta suppeemisopuedesta suhteessa ideksii ɛ. Jatkossa viitataa määritelmää.5, ku puhutaa suurte poikkeamie periaatteesta, ellei toisi maiita. Suurte poikkeamie periaate kertoo jokaise mitallise jouko B E kohdalla jotaki tapahtuma {Z B} ekspoetiaalisesta suppeemisopeudesta kohti ollaa suhteessa lukujooo (a ). Jos imittäi if{i(x) x it(b)} = 0, (.6) tiedetää suurte poikkeamie periaattee ojalla, että suhteessa lukujooo (a ), P{Z B} joko suppeee kohti ollaa aidosti aliekspoetiaalista vauhtia - suppeemisopeus voi olla esimerkiksi polyomiaalista, tai ei suppee kohti ollaa ollekaa. Jos taas if{i(x) x it(b)} [, 0), (.7) suurte poikkemie periaattee ojalla P{Z B} 2
suppeee kohti ollaa vähitää ekspoetiaalista vauhtia suhteessa lukujooo (a ). Näi olle voisi luulla oleva perusteltua ottaa käyttöö määritelmä, joka mukaa suuret poikkeamat ovat täsmällee tapahtumat, jotka toteuttavat epäyhtälö (.7). Suurte poikkeamie teoria ei kuitekaa rajoitu tällaisii tapahtumii. Voidaa olla kiiostueita myöski yhtälö (.6) toteuttavie tapahtumie rajakäyttäytymisestä. Tällöi pyrkimys voi olla esimerkiksi löytää joki toie lukujoo (b ), joka suppeee kohti ollaa hitaammi, ja löytää sitä vastaava suppeemisopeusfuktio I. Näi o mm. ei-klassiste vararikkotodeäköisyysestimaattie kohdalla, joista oli jo aiemmiki puhe. Esimerkki tästä löytyy myös tämä tutkielma sovelluksessa luvussa 5. Suurte poikkeamie teoria ei myöskää rajoitu pelkästää karkeaa ekspoetiaalisee suppeemisopeutee. Joissai sovelluksissa tarvitaa täsmällie suppeemisopeus. Tämäkaltaie tulos o esim. [DZ98] Theorem 3.7.4 (Bahadur & Rao) sivulla 0. Suurte poikkeamie periaatteessa esiityy karkea ekspoetiaalie suppeemisopeus se vuoksi, että usei tämä osoittamie o huomattavasti helpompaa kui täsmällee ekspoetiaalise suppeemisopeude. Todistetaa seuraava lemma, joka koskee suurte poikkeamie periaatetta avaruudessa E =. Lemma ei siäsä ole kovi syvällie, mutta se todistuksessa tulee vastaa suurimma termi periaate ja suppeemisfuktio I koveksisuus, jotka tulevat usei vastaa suurte poikkeamie periaattee todistuksissa. Lemmaa käytetää myöhemmi lausee 5.7 todistukse jäsetämisessä. Lemma.8. Olkoo (E, ) = (, ()). Olkoo I suppeemisopeusfuktio ja oletetaa, että kaikilla x lim log P{Z x} = if{i(y) y x} ja lim log P{Z x} = if{i(y) y x}. Tällöi, jos I o koveksi, ii satuaismuuttujat Z toteuttavat suurte poikkeamie periaattee suppeemisopeusfuktiolla I. Todistus. Todistetaa esi suurte poikkeamie yläraja. Olkoo B E joki suljettu joukko. Koska I o koveksi, ii o olemassa sellaie x [, ], että I o väheevä välillä (, x] ja kasvava välillä [x, ), missä (, ] := =: [, ). Todistetaa aioastaa tapaus x, ja todetaa, että muut tapaukset todistetaa samalla tavalla. 3
Koska joukot B (, x] ja B [x, ) ovat suljettuja, ja koska fuktio I o väheevä joukossa B (, x] ja kasvava joukossa B [x, ), pätee ja if{i(y) y B (, x]} = if{i(y) y sup (B (, x])} if{i(y) y B [x, )} = if{i(y) y if (B [x, ))}. Siispä, oletukse suurte poikkeamie ylärajasta väleille ja Lemma.7 ojalla, lim sup = lim sup log P{Z B} log (P{Z B (, x]} + P{Z B [x, )}) log (P{Z sup(b (, x])} + P{Z if(b [x, ))}) lim sup = mi{if{i(y) y sup(b (, x])}, if{i(y) y if (B [x, ))}} = mi{if{i(y) y B (, x]}, if{i(y) y B [x, )}} = if{i(y) y B}. Suurte poikkeamie periaattee yläraja todistus o siis viety loppuu. Todistetaa sitte suurte poikkeamie alaraja. Olkoo tätä varte A epätyhjä avoi joukko. Tällöi kaikilla a A o olemassa sellaie b, että a < b ja [a, b) A. Lisäksi pätee P{Z [a, b)} = P{Z a} P{Z b}. Olkoo edellee x [, ] sellaie, että I o väheevä välillä (, x] ja kasvava välillä [x, ). Pistee x olemassaolo o todettu jo aiemmi. Osoitetaa väite aioastaa tapauksessa x ja [x, ) A, jolloi voidaa olettaa, että fuktio I o kasvava välillä [a, b), jolloi edellee if{i(y) y a} = I(a), ja todetaa, että muut tapaukset todistetaa samalla tavalla. Oletukse suurte poikkemie ala- ja ylärajasta väleille ja Lemma.8 ojalla, lim if log P{Z A} lim if = lim if log P{Z [a, b)} log (P{Z a} P{Z b}) if{i(y) y a} = I(a). (.9) 4
Koska arvio (.9) pätee kaikille a A, ii voidaa ottaa ifimum yli jouko A, ja saadaa lim if log P{Z A} if{i(a) a A}. 5
Luku 2 Kumulatit geeroiva fuktio ja se Fechel-Legedre muuokse omiaisuuksia Tässä luvussa määritellää mitä tarkoitetaa satuaismuuttuja mometit geeroivalla fuktiolla ja kumulatit geeroivalla fuktiolla ja kumulatit geeroiva fuktio Fechel-Legedre muuoksella. Lisäksi käydää lyhyesti läpi äide fuktioide omiaisuuksia erityisesti siltä osi, kui iitä myöhemmi tarvitaa. Tässä luvussa tilaavaruus E o topologie vektoriavaruus, mutta lukija voi aia ajatella, että se o avaruus E = d. 2. Mometit geeroiva fuktio Määritelmä 2.. Olkoo X satuaismuuttuja avaruudessa E. Se mometit geeroiva fuktio o M X : E (0, ], M X (λ) = E [exp ( λ, X )]. Yllä E merkitsee avaruude E duaalia. Tapauksessa E = d, pätee tuetusti E = d, jolloi λ, x merkitsee tavallista Euklidise avaruude pistetuloa ja tapauksessa E = tavallista kahde reaaliluvu tuloa. Tarkastellaa tässä kappaleessa aioastaa tapausta E =. Seuraavaksi tyypillisiä mometit geeroivia fuktioita. Esimerki kaavoje johtamisia ei käydä tässä läpi, koska e löytyvät ala kirjallisuudesta tai ovat hyviä harjoitustehtäviä. 6
Esimerkki 2.2.. Jos X N(0, ), ii t 2 M X (t) = exp 2 kaikilla t. 2. Jos X Gamma(r, ), ii M X (t) = ( t) ku r < r muute. 3. Jos satuaismuuttujalla X o tiheysfuktio (+x) ku x 0 f X (x) = 2 0 muute, ii exp ( t) exp (t x)/x 2 dx ku t < 0 M X (t) = ku t = 0 muute. 4. Jos X Cauchy(0, ), ii M X (t) = ku t = 0 muute. Kiiitä edellise esimerki mometit geeroivie fuktioide kohdalla huomiota erityseisti joukkoo {M X < }. Voidaa vaivattomasti osoittaa, että tämä joukko o väli tai yksittäie piste, ja että siihe kuuluu aia origo. Lisäksi fuktio M X o koveksi tässä joukossa. Fuktiota M X kutsutaa mometit geeroivaksi fuktioksi, koska kaikilla t it{m X < } fuktio M X o derivoituva pisteessä t ja d dt M X (t) = d d E [exp (tx )] = E dt dt exp (tx ) = E [X exp (tx )]. Tästä saadaa iteroimalla, kaikilla t it{m X < } fuktio M X o aalyyttie, ja d k M X (t) = E X k exp (tx ). dt 7
Erityisesti jos 0 it{m X < }, ii saadaa hyvi määritellyt mometit d k E [X k ] = M X t=0. dt Mikäli ei päde, että 0 it{m X < }, mutta jollaki pätee δ > 0, että [ δ, 0] {M X < }, kute esimerki 2.2 kohdassa 3), pätee edellee, että mometit ovat hyvi määriteltyjä, mutta e saavat arvoja positiivisessa tai egatiivisessa äärettömyydessä, ja pätee. E X k = M (k) M (k ) (t) M (k ) (0) := lim t 0 t missä tietysti M (0) (0) = M(0) =. Samalaie tulos pätee myös, ku kyseessä o väli [0, δ]., 2.2 Kumulatit geeroiva fuktio Määritelmä 2.3. Satuaismuuttuja X kumulatit geeroiva fuktio o fuktio Λ X : E (, ], Λ X (λ) = loge [exp ( λ, X )]. Se o mometit geeroiva fuktio M X logaritmi, Λ X = log M X. Selvästi {Λ X < } = {M X < }. Tarkastellaa jällee vai yksiuloitteista reaalista satuaismuuttujaa X. Olkoo it{λ X < } epätyhjä, jolloi se o joki avoi väli jota merkitää (a, b). Voi siis olla a = tai b =, mutta aia a 0 b. Jällee Λ o aalyyttie välillä (a, b). Lisäksi pätee, että se o tällä välillä aidosti koveksi. Siispä ku se o kasvava/väheevä, se o myös aidosti kasvava/väheevä. 2.3 Fechel-Legedre muuos Määritelmä 2.4. Fuktio f : E [, ] Fechel-Legedre muuos o fuktio f : E [, ], f (x) = sup{ λ, x f (λ) λ E }. Huomautus 2.5. Kumulatit geeroiva fuktio Fechel-Legedre muuos o positiivie fuktio, koska Λ(0) = 0 ja site kaikilla x E pätee Λ (x) 0, x Λ(0) = 0. Esimerkki 2.6. Olkoo X N(0, ). Tällöi Λ X (x) = x 2 /2. 8
2.4 Kumulatit geeroiva fuktio ja se Fechel-Legedre muuokse omiaisuuksia Kerätää kumulatit geeroiva fuktio ja se Fechel-Legedre muuokse omiaisuuksia seuraavaa lemmaa. Lemma kohdat a) ja b) pätevät jopa tila-avaruuksissa E, jotka ovat topologisia vektoriavaruuksia. Kohdat c) ja d) pätevät aiaki avaruuksissa E = d. Muut kohdat pätevät vai avaruudessa E = ja e esitetää tässä lähiä Crameri lausee todistusta varte. Jotkut kohdat sivuutetaa, sillä e löytyvät helposti kirjallisuudesta. Merkitää M := M X, Λ := Λ X ja Λ := Λ, ku o asiayhteydestä selvää, mikä X satuaismuuttuja o kyseessä. Lemma 2.7. Fuktioide Λ ja Λ omiaisuuksia. a) Kumulatit geeroiva fuktio Λ o aia koveksi fuktio. Kumulatit geeroiva fuktio Fechel-Legedre muuos Λ o aia koveksi suppeemisopeusfuktio. b) Jos Λ < vai pisteessä 0, ii Λ 0. c) Jos 0 it{λ < }, ii Λ o hyvä suppeemisopeusfuktio. d) Jos kaikilla λ d o olemassa satuaismuuttujie Z kumulatit geeroivie fuktioide Λ := Λ Z seuraavaa muotoa oleva raja Λ(λ) := lim Λ (λ), ii Λ o koveksi fuktio ja Λ o koveksi suppeemisopeusfuktio. Lisäksi, jos Jos 0 it{λ < }, ii Λ o hyvä suppeemisopeusfuktio. Jos Λ < vai pisteessä 0, ii Λ 0. e) Jos o olemassa λ > 0, jolla Λ <, ii E [X ] [, ) o hyvi määritelty. f) Jos E [X ] [, ) o hyvi määritelty, ii Λ (x) = sup{λx Λ(λ) λ 0} kaikilla x E [X ]. g) Λ o kasvava kaikilla x > E [X ]. h) Jos o olemassa λ < 0, jolla Λ <, ii E [X ] (, ] o hyvi määritelty. 9
i) Jos E [X ] (, ] o hyvi määritelty, ii Λ (x) = sup{λx Λ(λ) λ 0} kaikilla x E [X ]. j) Λ o väheevä kaikilla x < E [X ]. k) Jos E [X ] (, ), ii Λ (E [X ]) = 0. l) Λ o differetioituva joukossa it{λ Λ(λ) < } ja m) Jos Λ (λ) = y, ii Λ (y) = λy Λ(λ). Λ (λ) = E [X exp (λx )]. M(λ) ) Kaikilla λ ja kaikilla x 0 Λ X +x0 (λ) = Λ(λ) + λx 0 o) Kaikilla x ja kaikilla x 0 Λ X +x 0 (x) = Λ X (x x 0). Todistus. a) Olkoo X mielivaltaie satuaismuuttuja avaruudessa E = d. Se kumulatit geeroiva fuktio Λ koveksisuus seuraa Hölderi epäyhtälöstä, sillä kaikilla α [0, ] ja kaikilla λ, ν E Λ(αλ + ( α)ν) = log E exp ( λ, X ) α exp ( ν, X ) ( α) log E [exp ( λ, X )] α E [exp ( ν, X )] α = αλ(λ) + ( α)λ(ν). Fechel-Legedre muuokse Λ koveksisuus saadaa suoraa se määritelmästä. Koska Λ(0) = loge [exp (0)] = 0, pätee kaikilla x E Λ (x) Λ(0) = 0, eli Λ o ei-egatiivie. Väittee if{λ (x) x E} = 0 todistus sivuutetaa, se löytyy päälähteestä [DZ98] Lemma 2.2.5 todistus. Fuktio Λ o alhaalta puolijatkuva, sillä jos x x avaruudessa E, ii kaikilla λ E jote lim if Λ (x ) lim if ( λ, x Λ(λ)) = λ, x Λ(λ), lim if Λ (x ) sup{ λ, x Λ(λ) λ E } = Λ (x). b) Seuraa helposti Fechel-Legedre muuokse Λ omiaisuuksista. 20
c) Koska 0 it{λ < }, ii o olemassa sellaie δ > 0, että B(0, δ) it{λ < } ja c := sup Λ(λ) λ B(0, δ) <. Tällöi kaikilla x E Λ (x) sup λ, x Λ(λ) λ B(0, δ) sup λ, x λ B(0, δ) sup Λ(λ) λ B(0, δ) = δ x c. Siispä kaikilla α 0 tasojoukko {Λ α} o rajoitettu. Koska Λ o kohda a) ojalla suppeemisopeusfuktio, tämä tasojoukko o myös suljettu ja site Heye- Boreli lausee ojalla kompakti. d) Koveksie fuktioide pisteittäiset rajat ovat kovekseja. Muut omiaisuudet todistetaa samoi kui kohdat a), b) ja c). Loppuje kohtie todistukset sivuutetaa, ks. [DZ98] Lemma 2.2.5 sivut 27-30. 2
Luku 3 Craméri ja Gärteri-Ellisi lauseet Tässä luvussa käy läpi mikä o Craméri ja Gärteri-Ellisi lauseide sisältö. Lauseide todistukset esitä seuraavassa kappaleessa. 3. Craméri lause Craméri lause koskee suuria poikkeamia suurte lukuje lakie tilateessa. Satuaismuuttujia Z o siis keskiarvot Z = X j, j= missä X j, j, ovat iid satuaismuuttujia tila-avaruudessa E. Merkitää X = X 0. Suppeemisopeusfuktioksi saadaa satuaismuuttuja X kumulatit geeroiva fuktio Fechel-Legedre-muuos. Lause 3. (Craméri lause tila-avaruudessa, [DZ98] Theorem 2.2.3). Olkoo E =. Tällöi iid satuaismuuttujie X, X, X 2,... keskiarvot Z = j= X j toteuttavat suurte poikkeamie periaattee koveksilla suppeemisopeusfuktiolla Λ X. Suuret poikkeamat saadaa myös useammissa ulottuvuuksissa. 22
Lause 3.2 (Craméri lause tila-avaruudessa d, [DZ98] Theorem 2.2.30). Olkoo E = d ja Λ X <. Tällöi iid satuaismuuttujie X, X, X 2,... keskiarvot Z = j= X j toteuttavat suurte poikkeamie periaattee koveksilla ja hyvällä suppeemisopeusfuktiolla Λ X. Edellisestä voidaa todistaa myös seuraava, vahvempi muotoilu. Lause 3.3 (Craméri lause tila-avaruudessa d, vahvempi muotoilu, [DZ98] Corollary 6..6). Olkoo E = d ja 0 it{λ X < }. Tällöi iid satuaismuuttujie X, X, X 2,... keskiarvot Z = X j sopivat suurte poikkeamie kehyksee koveksilla ja hyvällä suppeemisopeusfuktiolla Λ X. Ehtoa 0 it{λ X < } kutsutaa kirjallisuudessa Craméri ehdoksi tai heikoksi Craméri ehdoksi. Ehtoa Λ X < kutsutaa vahvaksi Craméri ehdoksi. Craméri lause voidaa laajetaa jopa ääretöuloitteisii tila-avaruuksii. Ks. [DZ98] Theorem 6..3 sivulla 252. j= 3.2 Gärteri-Ellisi lause Gärteri Ellisi lause ataa suute poikkeamie periaattee huomattavasti yleisemmässä tilateessa kui Craméri lause: eää ei tarkastella pelkästää keskiarvoje suppeemista, ja riippumattomuusoletukset korvataa satuaismuuttujie Z keskiäistä heikkoa riippuvuutta koskevalla oletuksella: kaikilla λ d o olemassa satuaismuuttujie Z kumulatit geeroivie fuktioide seuraavaa muotoa oleva raja Λ := Λ Z Λ(λ) := lim Λ (λ). Lisäksi, jotta saataisi osoitettua täysi suurte poikkeamie periaate, tarvitaa koveksii aalyysii liittyviä fuktio Λ sääöllisyysoletuksia. 23
Määritelmä 3.4. Fuktio Λ o jyrkkä, mikäli lim Λ(t) =, t {Λ< }, t {Λ< } eli ku lähestytää jouko {Λ < } reuaa, kumulatit geeroiva fuktio Λ gradieti ormi räjähtää äärettömyyksii. Määritelmä 3.5. Fuktio Λ o oleaisesti sileä, mikäli it{λ < } =. Λ o derivoituva joukossa it{λ < }. Λ o jyrkkä. Seuraava määritelmä otetaa käyttöö, jotta voidaa tutkia iitä pisteitä, joissa Λ o aidosti koveksi. Määritelmä 3.6. Piste y d pilkottaa fuktiolle Λ, mikäli jollaki λ R d ja kaikilla x y λ, y λ, x > Λ (y) Λ (x). vektoria λ kutsutaa pilkottava pistee y paljastavaksi puolitasoksi. Lause 3.7 (Gärteri-Ellisi lause avaruudessa d, [DZ98] Theorem 2.3.6). Olkoo Z,, satuaismuuttujia tila-avaruudessa E = d. Oletetaa, että kaikilla λ d o olemassa satuaismuuttujie Z kumulatit geeroivie fuktioide seuraavaa muotoa oleva raja Tällöi Λ := Λ Z Λ(λ) := lim Λ (λ). a) Jos 0 it{λ < }, kaikilla suljetuilla B d lim sup log P{Z B} if{λ (x) x B}. 24
b) Kaikilla avoimilla A d lim if log P{Z A} if{λ (x) x A F}, missä F o iide fuktiolle Λ pilkottavie pisteide joukko, joide paljastava puolitaso kuuluu joukkoo it{λ < }. c) Jos Λ o oleaisesti sileä ja alhaalta puolijatkuva, satuaismuuttujat Z sopivat suurte poikkeamie kehyksee hyvällä suppeemisopeusfuktiolla Λ. Huomautus 3.8. Tarkastellaa tarkemmi lausee oletuksia. Gärteri-Ellisi lausee suurte poikkeamie yläraja a) saadaa pätemää kompakteille joukoille B ilma oletusta 0 it{λ < } ja oletusta oleaisesta sileydestä. Yläraja saadaa laajeettua pätemää myöski suljetuille joukoille siiä tapauksessa, että 0 it{λ < }. Alaraja saadaa todistettua ilma oletuksia 0 it{λ < } ja sileysoletuksia sellaisille suurille poikkeamille {Z B}, joissa fuktio Λ o aidosti koveksi joukossa B ja Λ(B) it{λ < }. Sileysoletuste avulla saadaa alaraja laajeettua pätemää kaikille avoimille joukoille. Kute Craméri lauseelle, myöski Gärteri-Ellisi lauseelle löytyy laajeoksia yleisemmissä tila-avaruuksissa E, Ks. mm. [DZ98] Sectio 4.5. 25
Luku 4 Craméri ja Gärteri-Ellisi lauseide todistukset 4. Craméri lausee todistus Todistetaa yt Craméri lause tila-avaruudessa. Se o seuraava vahvemma lausee, missä suurte poikkeamie yläraja pätee myös äärellisille idekseille, triviaali seuraus. Lause 4.. Olkoo X, X, X 2,... iid satuaismuuttujia avaruudessa. Tällöi a) kaikilla suljetuilla B P X j B 2exp if Λ X (x) x B, ja j= b) Kaikilla avoimilla A lim if log P X j A if Λ (x) X x A. j= Todistus. Kohda a) todistus. Olkoo B suljettu avaruude osajoukko, jolle if{λ (x) x B} > 0 (Ks. huomautus.4). Voidaa olettaa, että o olemassa λ 0, jolla Λ(λ) <, koska muute Lemma 2.7 kohda b) ojalla Λ 0, ja suurte poikkeamie yläraja o triviaalisti totta. Sama lemma kohtie e) ja h) ojalla E [X ] 26
[, ] o hyvi määritelty. Nyt Tŝebyŝevi epäyhtälö ojalla kaikilla x ja λ > 0 P X j x = P exp λ X j exp (λx) j= j= E exp λ X j= j exp (Λ(λ)) = exp (λx) exp (λx) = exp ( (λx Λ(λ))), josta edellee saadaa supremumi määritelmä ojalla, P X j x exp ( sup{λx Λ(λ) λ 0}). j= Tästä saadaa suurte poikkeamie yläraja ylhäältä rajoittamattomille väleille, sillä Lemma 2.7 kohda f) ojalla, jos E [X ] [, ), ii kaikilla x E [X ] P X j x exp ( Λ (x)). (4.2) j= Samalla tyylillä voidaa osoittaa, että jos E [X ] (, ], ii kaikilla x E [X ] P X j x exp ( Λ (x)). (4.3) j= Osoitetaa väite a) esi tapauksessa E [X ] (, ). Lemma 2.7 kohda k) ojalla Λ (E [X ]) = 0. Site, koska if{λ (x) x B} > 0, pätee E [X ] B c. Koska B c o avoi, o olemassa luvut ja a := if{x B c x < E [X ] ja (x, E [X ]) B c } b := sup{x B c x > E [X ] ja (E [X ], x) B c }. Selvästi a < b, ja koska B, aiaki toie luvuista a ja b o äärellie. Pätee B (, a] [b, ), jote, ku molemmat a ja b ovat äärellisiä, saadaa epäyhtälöistä (4.2) ja (4.3) P X j B P X j a + P X j b j= j= j= exp ( Λ (a)) + exp ( Λ (b)). 27
Ku a o äärellie, ii a B, jote Λ (a) if{λ (x) x B}. Samoi Λ (b) if{λ (x) x B}, ku b o äärellie. Tällöi P X j B 2exp ( if{λ (x) x B}). j= Ku jompikumpi luvuista a tai b o ääretö, saadaa päättelemällä samoi kui edellä tiukempi yläraja P X j B exp ( if{λ (x) x B}). j= Oletetaa sitte, että E [X ] =. Lemma 2.7 kohda g) ojalla Λ o kasvava ja koska Λ o kohda a) ojalla suppeemisopeusfuktio, if{λ (x) x } = 0, jote lim x Λ (x) = 0. Voidaa olettaa, että if(b) >, koska muute if{λ (x) x B} = 0 toisi kui alussa oletettii. Koska B o suljettu ja alhaalta rajoitettu, pätee if(b) B ja site Λ (if(b)) if{λ (x) x B}. Nyt, koska B [if(b), ), pätee epäyhtälö (4.2) ojalla, P X j B P X j if(b) exp ( Λ (if(b))) j= j= exp ( if{λ (x) x B}). Samalla tavalla saadaa todistettua väite a) tapauksessa E [X ] =. Kohda b) todistus. Olkoo δ > 0. Osoitetaa esi epäyhtälö Oletetaa esi, että lim if log P X j < δ Λ (0). (4.4) j= P{X > 0} > 0, ja P{X < 0} > 0 (4.5) ja P{X S} = jollaki rajoitetulla S. (4.6) 28
Tällöi selvästi Λ(λ), ku λ. Lisäksi Λ <. Lemma 2.7 kohda l) ojalla Λ o differetioituva koko avaruudessa. Fuktio Λ o siis myös jatkuva. Tällöi Λ saavuttaa pieimmä arvosa reaalilukuvälillä, eli o olemassa η, jolla Λ(η) = if{λ(λ) λ }. Tällöi tietysti Λ (η) = 0. Epäyhtälö (4.4) saadaa tekemällä mita vaihto, joka jälkee käytetää suurte lukuje lakia. Määritellää uusi mitta µ satuaismuuttuja X jakauma µ ja Rado- Nikodymi derivaata d µ (x) = exp (ηx Λ(η)) dµ avulla. Näi määriteltyä jakaumaa µ kutsutaa kirjallisuudessa joskus vioksi jakaumaksi (skew distributio). Uusi mitta o todeäköisyysmitta avaruudessa, sillä µ() = = =. µ(dx) = exp (ηx Λ(η))µ(dx) exp (ηx)µ(dx) E [exp (ηx )] = exp (Λ(η)) E [exp (ηx )] 29
Olkoot X, X, X 2,... iid satuaismuuttujia, joide jakauma o µ. Nyt kaikilla ɛ > 0 P X j < ɛ j= = E = j= X j<ɛ j= x j<ɛ = exp ( ɛ η ) exp ( ɛ η ) µ(dx ) µ(dx ) j= x j<ɛ j= x j<ɛ = exp (Λ(η) ɛ η ) exp (ɛ η )µ(dx ) µ(dx ) exp x j η µ(dx ) µ(dx ) j= x j<ɛ j= = exp (Λ(η) ɛ η )E X <ɛ j= j = exp (Λ(η) ɛ η )P Lemma 2.7 kohda l) ja luvu η valia ojalla E X = x µ(dx) = µ(dx ) µ(dx ) X j < ɛ. j= xexp (ηx Λ(η))µ(dx) xexp (ηx)µ(dx) xexp (ηx)µ(dx) = = exp (Λ(η)) M(η) = M(η) E [X exp (ηx )] = Λ (η) = 0, jote, suurte lukuje lai ojalla, lim P X j < ɛ =. (4.7) j= 30
Olkoo ɛ (0, δ). Nyt lim if lim if X j < δ j= log P X j < ɛ j= exp (Λ(η) ɛ η )P X j < ɛ j= Λ(η) ɛ η + log P X j < ɛ j= log P X j < ɛ log P lim if log = lim if = Λ(η) ɛ η + lim if = Λ(η) ɛ η. Tästä saadaa edellee ottamalla raja ɛ 0 lim if log P X j < δ Λ(η) = if{λ(λ) λ } j= j= = Λ (0), jote todistukse tämä osa o saatu vietyä loppuu. Olkoo edellee δ > 0 mielivaltaie. Oletetaa seuraavaksi, että P{X > 0} > 0, ja P{X < 0} > 0, mutta että tällä kertaa kaikilla rajoitetuilla S Tällöi jostaki ideksistä k lähtie P{X S} <. (4.8) P{X (0, k]} > 0 ja P{X [ k, 0)} > 0. Määritellää kullaki tällaisella k satuaismuuttujat ˆX, ˆX, ˆX 2,..., joilla o jakaumat P ˆX j B = P X j B X j k, B. 3
Nämä satuaismuuttujat ovat iid, ja e toteuttavat oletukset (4.5) ja (4.6), jote e toteuttavat epäyhtälö (4.4). Lisäksi kaikilla P X j ( δ, δ) X j k j = P j= Merkitää Λ k := Λ ˆX. Huomataa vielä, että kaikilla λ Λ k (λ) = log k k ˆX j ( δ, δ). exp (λx )dµ log P{X [ k, k]}. (4.9) Ehdollise todeäköisyyde tulosääö ojalla pätee, että P X j ( δ, δ) j= P X j ( δ, δ) X j k j j= = P X j ( δ, δ) X j k j P X j k j j= = P ˆX j ( δ, δ) P{X [ k, k]}. j= j= Nyt lim if log P X j ( δ, δ) j= log P{X [ k, k]} + lim if log P log P{X [ k, k]} + if{λ k (λ) λ } k = if log exp (λx )dµ λ, k ˆX j ( δ, δ) j= 32
Missä viimeie yhtälö seurasi yhtälöstä (4.9) Tästä seuraa edellee, että lim if log P X j ( δ, δ) j= k lim if if log exp (λx )dµ k λ. (4.0) Merkitää a k := if log k k k exp (λx )dµ λ. Näi määritelty joo (a k ) o kasvava, ja riittävä suurella k pätee < a k. Lisäksi, koska a k log k k exp (0X )dµ Λ(0) = 0, joo o ylhäältä rajoitettu, ja sillä o site olemassa raja Joukot λ log a = lim k a k (, 0]. k k exp (λx )dµ a k muodostavat väheevä joo epätyhjiä joukkoja. Nämä joukot ovat lisäksi kompakteja, sillä e ovat rajoitettuja jatkuva fuktio tasojoukkoja (Ks. Lemma 2.7 kohta l), jote iide leikkaus o epätyhjä. O siis olemassa λ 0, jolle pätee riittävä suurella k log k k exp (λ 0 X )dµ a. Lebesgue mootoise kovergessi lausee ojalla lim log k k k exp (λ 0 X )dµ = Λ(λ 0 ). 33
Epäyhtälöstä (4.0) saadaa yt lim if log P X j ( δ, δ) a ii jote P j= lim k log = Λ(λ 0 ) k k if{λ(λ) λ } = Λ (0). exp (λ 0 X )dµ Epäyhtälö (4.4) saadaa todistettua loppuu huomaamalla, että mikäli X j ( δ, δ) P j= P{X > 0} = 0, tai P{X < 0} = 0, if{λ(λ) λ } = log P{X = 0}, X j = 0 = P{X = 0} = exp ( if{λ(λ) λ }). j= = exp ( Λ (0)). Epäyhtälöstä (4.4) saadaa huomaamalla, että Λ ( ) = X x Λ ( + x) (Lemma 2.7, X kohta o), että kaikilla x ja δ > 0 lim if = lim if log P log P X j ( δ + x, δ + x) j= (X j x) ( δ, δ) j= Λ X x (0) = Λ (x). Tämä avulla voidaa viimeistellä lausee todistus. Olkoo imittäi A mielivaltaie avoi avaruude osajoukko. Tällöi kaikilla x A o olemassa δ > 0 s.e. (x δ, x + δ) A. Nyt ylläoleva ojalla lim if log P X j A j= lim if Λ X (x). log P X j (x δ, x + δ) j= 34
Koska tämä pätee kaikilla x A, saadaa ottamalla ifimum yli jouko A, että lim if log P X j A if Λ X (x) x A. j= 4.2 Gärteri-Ellisi lausee todistus Kute aikaisemmi ole todeut, Crameri lause ja Gärteri-Ellisi lause o laajeettu koskemaa jakaumia yleisemmissä topologisissa avaruuksia E kui euklidisessa avaruudessa. Vaikka todistaki lauseet vai tapauksessa E = d, osa todistukse kohdista meee samalla tavalla myöski yleisemmillä E, kute topologiste vektoriavaruuksie kohdalla. Tämä vuoksi jatkossa merkitää välillä E = d, missä E viittaa tietysti avaruude E duaalii. Tuetusti, ku E = d, ii E = E. Merkiällä λ, x, missä x E ja λ E, tarkoitetaa avaruude d tavallista pistetuloa. Tätä yleistystä ei tarvita tässä tutkielmassa, ja e esitetää tässä tyydyttämää kirjoittaja omaa mielekiitoa. Lisää suurista poikkeamista yleisemmissä avaruuksissa, katso [DZ98], kappaleet 4,5,6 ja 7. 4.2. Suurte poikkeamie yläraja todistus Aloitetaa Gärteri-Ellisi lausee suurte poikkeamie ylärajasta. Todistetaa tätä varte seuraava versio ekspoetiaalisesta Tŝebyŝevi epäyhtälöstä. Lemma 4.. Olkoo X satuaismuuttuja avaruudessa E = d. Nyt kaikilla λ E = d ja kaikilla mitallisilla B, joilla if{ λ, b b B}, pätee P{X B} exp ( if{ λ, b b B})E [exp ( λ, X )]. Todistus. Olkoo λ E ja B. Tällöi, ku merkitää λ, B := { λ, b b B} ja exp ( λ, B ) := {exp ( λ, b ) b B}, 35
pätee P{X B} P{ λ, X λ, B } = P{exp ( λ, X ) exp ( λ, B )} P{exp ( λ, X ) exp (if{ λ, b b B})} exp ( if{ λ, b b B})E [exp ( λ, X )]. Yllä viimeie epäyhtälö saadaa tavaomaisesta Tŝebyŝevi epäyhtälöstä. Sitä kutsutaa kirjallisuudessa usei Markovi epäyhtälöksi. Lemma 4. avulla saadaa todistettua seuraava suurte poikkeamie yläraja kompakteille tila-avaruude osajoukoille. Yläraja o varsi yleie, sillä se pätee myös topologisissa vektoriavaruuksissa. Lause 4.2. Olkoo Z,, satuaismuuttujia tila-avaruudessa E = d. Oletetaa, että kaikilla λ d o olemassa satuaismuuttujie Z kumulatit geeroivie fuktioide Λ := Λ Z seuraavaa muotoa oleva raja Tällöi kaikilla kompakteilla B E lim sup Λ(λ) := lim Λ (λ). log P{Z B} if{λ (x) x B}. Todistus. Olkoo B E kompakti. Olkoo ɛ > 0 mielivaltaie. Nyt kaikilla x B pätee mi Λ (x), ɛ Λ (x) = sup{ λ, x Λ(λ) λ E }, jote o olemassa sellaie λ x E = d, että mi Λ (x), ɛ λ x, x Λ(λ x ). (4.3) Fuktio b λ x, b o jatkuva, jote kaikilla x B o olemassa sellaie ympäristö B(x, δ x ), että kaikilla b B(x, δ x ) λ x, x b < ɛ. 36
Kaikilla x B saadaa ekspoetiaalisesta Tŝebyŝevi epäyhtälöstä (Lemma 4., sijoitus λ = λ x ), arvio P{Z B(x, δ x )} exp ( if{ λ x, b b B(x, δ x )})E [exp ( λ x, Z )] = exp ( if{ λ x, b x b B(x, δ x )})E [exp ( λ x, Z x )], josta edellee saadaa jouko B(x, δ x ) valia ojalla arvio log P{Z B(x, δ x )} loge [exp ( λ x, Z x )] if{ λ x, b x b B(x, δ x )} = Λ (λ x ) λ x, x + sup{ λ x, x b b B(x, δ x )} Λ (λ x ) λ x, x + ɛ. Joukot B(x, δ x ), x B, muodostavat jouko B avoime peittee, ja site koska B o kompakti, o olemassa jouko B äärellie avoi peite {B(x j, δ j ) j =, 2,, N}. Nyt log P{Z B} log P Z N B(x j= j, δ j ) N log P Z B(x j, δ j ) j= log N max P Z B(x j, δ j ) j =, 2,..., N = log N + log max P Z B(x j, δ j ) j =, 2,..., N Λ log N + max (λ x j ) λ x j, x j j =, 2,..., N + ɛ = log N + Λ (λ b ) λ b, b + ɛ 37
jollaki b B. Tällöi epäyhtälö (4.3) ojalla lim sup log P{Z B} lim sup log N + Λ (λ b ) λ b, b + ɛ = Λ(λ b ) λ b, b + ɛ Helposti ähdää, että mi Λ (b), ɛ + ɛ sup mi Λ (x), ɛ x B + ɛ = if mi Λ (x), ɛ x B + ɛ. if mi Λ (x), ɛ x B ɛ 0 if{λ (x) x B}, jote väitee todistus saadaa vietyä loppu, ku otetaa edellisessä epäyhtälössä raja ɛ 0. Suurte poikkeamie yläraja saadaa laajeettua kompakteilta joukoilta suljetuille joukoille siiä tapauksessa, että suuri osa satuaismuuttujie Z jakaumie massasta o keskittyyt kompakteille joukoille. Tätä varte seuraava määritelmä ja lemma. Määritelmä 4.4. Jakaumat µ avaruudessa E ovat ekspoetiaalisesti tiiviit, mikäli kaikilla α > 0 o olemassa sellaie kompakti joukko B α E, että lim sup log µ (B c α ) α. Lemma 4.5. Mikäli suurte poikkeamie yläraja pätee kompakteille joukoille B, ja satuaismuuttujie Z jakaumat ovat ekspoetiaalisesti tiiviit, yläraja pätee myöski suljetuille joukoille B. Todistus. Olkoo B E suljettu tapahtuma, jolle if{λ (x) x B} > 0 (Ks. huomautus.4). Tällöi, koska satuaismuuttujie Z jakaumat ovat ekspoetiaalisesti tiiviit, o olemassa sellaie kompakti joukko C E, että lim sup log P{Z C} if{λ (x) x C}. Nyt joukko B C o kompakti, jote Lausee 4.2 ojalla lim sup log P{Z B C} if{λ (x) x B C} if{λ (x) x B}. 38
Siispä ekspoetiaalise suppeemisopeude suurimma termi periaattee (Lemma.7) ojalla lim sup log P{Z B} lim sup log (P{Z B C} + P{Z C}) max lim sup log P{Z B C}, lim sup log P{Z C} if{λ (x) x B}. Seuraava lause saattaa Gärteri-Ellisi lausee suurte poikkeamie yläraja todistukse loppuu. Lause 4.6. Olkoo Z,, satuaismuuttujia tila-avaruudessa E = d. Oletetaa, että kaikilla λ d o olemassa satuaismuuttujie Z kumulatit geeroivie fuktioide Λ := Λ Z seuraavaa muotoa oleva raja Λ(λ) := lim Λ (λ), ja että Tällöi kaikilla suljetuilla B 0 it{λ < }. lim sup log P {Z B} if{λ (x) x B}. Todistus. Lausee 4.2 ja Lemma 4.5 ojalla riittää osoittaa, että satuaismuuttujie Z jakaumat ovat ekspoetiaalisesti tiiviit. Olkoo tätä varte α > 0 mielivaltaie. Koska 0 it{λ < }, o olemassa sellaie luku r > 0, että Λ(re ) < ja Λ( re ) <, 39
missä e o tietysti euklidise avaruude E = d luoollise kaa esimmäie koordiaattivektori. Haluttu kompakti joukko tulee olemaa riittävä suuri kuutio [ ρ, ρ] d. Mielivaltaiselle ρ > 0 Tŝebyŝevi epäyhtälö ataa arvio jolloi P Z [ ρ, ρ] d P{Z e [ ρ, ρ]} = P{ Z e > ρ} + P{Z e > ρ} E [exp ( r Z e )] exp (rρ) + E [exp (r Z e )], exp (rρ) lim sup log P Z [ ρ, ρ] d E [exp ( r lim sup log Z e )] + E [exp (r Z e )] exp (rρ) exp (rρ) = max lim sup log E [exp ( r Z e )], lim sup exp (rρ) log E [exp (r Z e )] exp (rρ) = max lim Λ ( re ), lim Λ (re ) rρ = max{λ( re ), Λ(re )} rρ. Viimeie lauseke meee kohti egatiivista ääretötä, ku ρ. Siispä o olemassa sellaie ρ α > 0, että lim sup log P Z [ ρ α, ρ α ] d α. Huomautus 4.7. Lausee 4.2 todistus o samalaie, ku E o topologie vektoriavaruus. Siiä esiityvä suurte poikkeamie yläraja saatii laajeettua koskemaa kaikkia suljettuja tila-avaruude osajoukkoja osoittamalla, että satuaismuuttujie Z jakaumat ovat ekspoetiaalisesti tiiviit. Tämä seurasi oletuksesta 0 it{λ < }. Huomaa, että ekspoetiaalie tiiviys ei välttämättä seuraa tästä oletuksesta yleisesti topologisissa vektoriavaruuksissa E. Tällöi ekspoetiaalie tiiviys joudutaa tarkistamaa tapauskohtaisesti. 40
4.2.2 Suurte poikkeamie alaraja todistus Craméri lause todistettii käyttämällä suurte lukuje lakia sopivasti keskitety vio jakauma omaavie satuaismuuttujie keskiarvoo. Gärteri-Ellisi lause ei kuitekaa puhu eää pelkästää iid satuaismuuttujie keskiarvosta, jote tämä keio soveltamie suoraa ei käy. Se sijaa käytetää jo todistettua suurte poikkeamie ylärajaa. Lause 4.8. Olkoo Z,, satuaismuuttujia tila-avaruudessa E = d. Oletetaa, että kaikilla λ d o olemassa satuaismuuttujie Z kumulatit geeroivie fuktioide Λ := Λ Z seuraavaa muotoa oleva raja Kaikilla avoimilla A d lim if Λ(λ) := lim Λ (λ). log P{Z A} if{λ (x) x A F}, missä F o iide fuktiolle Λ pilkottavie pisteide joukko, joide paljastava puolitaso kuuluu joukkoo it{λ < }. Todistus. Olkoo A d avoi joukko ja F kute yllä. Riittää osoittaa, että kaikilla x F lim lim if δ 0+ log P{Z B(x, δ)} Λ (x). Tällöi, koska kaikilla x A F o olemassa δ > 0, jolla B(x, δ) A, pätee lim if log P{Z A} lim if log P{Z B(x, δ)} Λ (x). Olkoo x F. Tällöi o olemassa sellaie λ it{λ < }, että kaikilla z x Λ (x) Λ (z) > λ, x λ, z. Koska Λ (λ) Λ(λ) ja λ it{λ < }, ii suurilla Λ (λ) <. 4
Tällöi voidaa määritellä uudet jakaumat µ avaruudessa E Rado-Nikodymi derivaata d µ dµ (z) = exp ( λ, z Λ (λ)) avulla. Olkoot Z jakaumia µ oudattavia satuaismuuttujia avaruudessa E. Kaikilla δ > 0 jote P{Z B(x, δ)} = = B(x,δ) B(x,δ) µ (dz) = exp (Λ (λ)) exp ( λ, z + Λ (λ)) µ (dz) B(x,δ) exp ( λ, z ) µ (dz) exp (Λ (λ))exp (if{ λ, z z B(x, δ)}) B(x,δ) µ (dz) = exp (Λ (λ))exp ( sup{ λ, z z B(x, δ)})p Z B(x, δ), log P{Z B(x, δ)} Λ (λ) sup{ λ, z z B(x, δ)} + log P Z B(x, δ) = Λ (λ) λ, x δ λ + log P Z B(x, δ), missä λ := sup{ λ, z z B(0, )}. O siis osoitettu, että lim lim if δ 0+ log P{Z B(x, δ)} Λ(λ) λ, x + lim lim if δ 0+ log P Z B(x, δ) sup{ λ, x Λ(λ) λ E } + lim lim if δ 0+ = Λ (x) + lim lim if δ 0+ log P Z B(x, δ), jote riittää eää osoittaa lim lim if δ 0+ log P Z B(x, δ) = 0. 42 log P Z B(x, δ)
Merkitää Λ := Λ Z. Lausee 4.6 oletukset ovat voimassa satuaismuuttujille Z, imittäi kaikilla ν E o olemassa raja lim Λ (ν) = lim log exp ( ν, z ) µ (dz) E = lim log exp ( ν, z )exp ( λ, z Λ (λ))µ(dz) E = lim log exp ( ν + λ, z )µ(dz) lim Λ (λ) = lim Λ ((ν + λ)) lim = Λ(λ + ν) Λ(λ) := Λ(ν), E Λ (λ) ja 0 it{ Λ < }, sillä λ it{λ < }, jote riittävä pieillä x Λ(x) = Λ(λ + x) Λ(λ) <. Niipä kaikilla δ > 0 Lause 4.6 ataa arvio lim sup log P Z B(x, δ) if Λ (y) y B(x, δ) c, sillä joukko B(x, δ) c o suljettu. Lisäksi Lemma 2.7 kohda c) ojalla fuktio Λ o hyvä suppeemisopeusfuktio, jote se saavuttaa miimisä suljetulla joukolla B(x, δ) c. Nyt o olemassa joki z x, jolle lim sup Koska Λ (x) λ, x Λ(λ), pätee log P Z B(x, δ) Λ (z). Λ (z) = Λ (z) λ, z + Λ(λ) Λ (z) λ, z (Λ (x) λ, x ) > 0 Missä viimeie arvio seurasi siitä, että λ o pistee x paljastava puolitaso. O siis osoitettu, että kaikilla δ > 0 lim sup log P Z B(x, δ) < 0. 43
Tämä o mahdollista vai, jos joka o mahdollista vai, mikäli log P Z B(x, δ), P Z B(x, δ) 0, eli Niipä kaikille δ > 0 pätee P Z B(x, δ). Tällöi tietysti myös lim if log P Z B(x, δ) = 0. lim lim if δ 0+ log P Z B(x, δ) = 0. Lausee todistus voidaa viedä koveksi aalyysi tuloste avulla loppuu. Todistukse tämä osa sivuutetaa. Lause 4.9. Olkoo Z,, satuaismuuttujia tila-avaruudessa E = d. Oletetaa, että kaikilla λ d o olemassa satuaismuuttujie Z kumulatit geeroivie fuktioide Λ := Λ Z seuraavaa muotoa oleva raja Λ(λ) := lim Λ (λ). Oletetaa lisäksi, että Λ o oleaisesti sileä ja alhaalta puolijatkuva. Tällöi kaikilla avoimilla A d lim if Todistus. Ks. [DZ98] Lause 2.3.6 sivulla 44. log P{Z A} if{λ (x) x A}. 44
Luku 5 Suurte poikkeamie periaate satuaiskulu opeudelle satuaisessa ympäristössä 5. Satuaiskulku satuaisessa ympäristössä Sytymä- ja kuolemaketju luoollisilla luvuilla o statioaarie Markovi ketju X = (X ), joka lähtee origosta ja joka jokaisella ajahetkellä voi siirtyä joko etee tai taaksepäi, mutta ei voi jäädä paikoillee. Kussaki tilassa x todeäköisyyksiä siirtyä etee- tai taaksepäi kutsutaa siirtymätodeäköisyyksiksi, ja e eivät siis riipu ajasta, koska kyseessä o statioaarie Markovi ketju. Se sijaa siirtymätodeäköisyydet voivat kussaki tilassa saada eri arvoja. Satuaiskulku o sytymä- ja kuolemaketju erityistapaus, jossa siirtymistodeäköisyydet etee ja taakse ovat tiloittai samasuuruisia. Tässä kappaleessa käsiteltävä satuaiskulku satuaisessa ympäristössä yleistää tätä satuaiskulu määritelmää sallimalla siirtymätodeäköisyyksie oleva satuaisia. Oletus tiloittai kiiteistä siirtymätodeäköisyyksistä korvataa tällöi sillä, että siirtymätodeäköisyydet etee ovat tiloittai samoi jakautueita ja riippumattomia. Tutkielmassa oleta, että lukija tutee satuaiskulu ja Markovi ketjuje teoriaa joki verra. Liittestä A löytyy hyvi pitapuolisesti käsiteltyä peruskäsitteistöä, kute mitä tarkoitetaa satuaiskulu palautuvuudella. Tässä kappaleessa johda suurte poikkeamie periaattee tällaise satuaiskulu opeudelle riippue siirtymätodeäköisyyksie jakaumasta. Tulos löytyy kirjasta [DH08]. 45
5.2 Perusmääritelmiä Määritellää esi formaalisti satuaiskulku satuaisessa ympäristössä. Olkoo tätä varte ympäristö Y = (Y x ) x kokoelma iid satuaismuuttujia välillä (0, ), joilla o yhteie jakauma α. Kute satuaiskulkua satuaisessa ympäristössä käsittelevässä kirjallisuudessa o tapaa, merkitää jatkossa ω := Y (ω) ja ω x := Y x (ω), ku x. Määritellää sitte kiiitetyllä ω (0, ) satuaiskulku X avaruudessa, joka lähtee pisteestä X 0 = 0, ja jolla o satuaiset siirtymätodeäköisyydet ω x jos y = x +, P ω {X + = y X = x} = ω x jos y = x, 0 muute. Kutsutaa äide siirtymätodeäköisyyksie määrittämää jakaumaa satuaiskulu X sammutetuksi jakaumaksi (queched law) ja käytetää siitä merkitää P ω. Määritelmä 5.. Olkoot X ja Y kute yllä. Tällöi X o satuaiskulku satuaisessa ympäristössä Y. Satuaiskulku X o siis mikä tahasa diskreettiaikaie stokastie prosessi luoollisilla luvuilla, jolla o ympäristö ω (0, ) atamie siirtymätodeäköisyyksie yksikäsitteisesti määrittämä jakauma P ω. Huomaa, että kullaki ω määriteltii oma satuaiskulku X, mutta tätä ei ilmaistu esimerkiksi lisäämällä satuaiskululle X alaideksi X ω. Se sijaa alaideksi ω äkyy jakaumassa P ω. Tämä o jällee kirjallisuudesta poimittu kovetio. Seuraavat merkiät tulevat käyttöö jatkossa. Merkitä 5.2. Olkoo ω (0, ), f : kuvaus ja Z satuaismuuttuja avaruudessa. Jatkossa merkitää E ω [ f (Z)] := f (z)dp ω (z). Tällä merkiällä tarkoitetaa, että odotusarvo otetaa jakauma P ω suhtee. Merkitä 5.3. Olkoo Z = (Z x ) x satuaismuuttuja avaruudessa (0, ). Jatkossa merkitää E α [Z] := Zdα 46
ja E α [Z x ] := Z x dα, x. Näillä merkiöillä tarkoitetaa, että odotusarvot otetaa jakaumie α ja α suhtee. Satuaiskulu X sammutettuje jakaumie P ω, ω (0, ), ja ympäristö Y jakauma α tulomittoje α P ω avulla voidaa määritellä satuaiskulu X sulautettu jakauma P X. Jos imittäi B ( ), ii P X (B) := P ω (B)α (dω) = E α P (B). Huomautus 5.4. Vaikka stokastie prosessi X o Markovi ketju sammutettuje jakaumie P ω suhtee, Markovi omiaisuus ei välttämättä eää päde sulautetu jakauma P X suhtee. Määritelmä 5.5. Joki omiaisuude saotaa pätevä ω-melkei varmasti, jos o olemassa sellaie A ((0, ) ), että kyseie omiaisuus pätee kaikille ω A, ja jolle α (A) =. Esimerkki 5.6. Satuaiskulku X satuaisessa ympäristössä Y o ω-melkei varmasti palautuva, jos o olemassa sellaie A ((0, ) ), että kaikilla ω A satuaiskulku (X, ω) o palautuva. Merkitää jatkossa ρ x := Y x Y x. Oletetaa jatkossa, että α o ei-degeeroituut, eli että o olemassa A ((0, )), jolle α(a) (0, ). Tämä tarkoittaa yksikertaisesti sitä, että kyseessä o satuaiskulku aidosti satuaisessa ympäristössä. Oletetaa lisäksi, että satuaiskulkija ei lepää, eikä koskaa tiedä varmasti mie o meossa, eli että Oletetaa jatkossa myös, että supp(α) (0, ). supp(α) (0, 2 ) 47
ja supp(α) (, ), 2 eli että satuaiskulkija o saamukaisesti kujalla, eikä ole koskaa täysi varma suuasta. 5.3 Satuaiskulu opeus satuaisessa ympäristössä Seuraavat tulokset karakterisoivat satuaiskulu X opeude satuaisessa ympäristössä Y. Todistukset sivuutetaa. Lause 5.7. Satuaiskulku X satuaisessa ympäristössä Y o ω-melkei varmasti palautuva, jos vasemmalle väistyvä, jos oikealle väistyvä, jos E α [log ρ 0 ] = 0. E α [log ρ 0 ] > 0. E α [log ρ 0 ] < 0. Todistus. Ks. [Sol75]. Lause 5.8 (Solomo). O olemassa ν α, jolle P ω lim X = ν α = ω-melkei varmasti. Lisäksi Todistus. Ks. [Sol75]. E α [ρ 0 ] +E α [ρ 0 ], jos E α [ρ 0 ] < E α[ρ ν α = 0 ], jos E +E α[ρ 0 ] α ρ 0 < 0, jos E α [ρ 0 ] E α ρ 0. Huomautus 5.9. Satuaiskulu opeus voi siis satuaisessa ympäristössä olla olla, vaikka kyseessä olisi väistyvä satuaiskulku. Tämä johtuu siitä, että satuaie ympäristö hidastaa kulkijaa. 48
Symmetria vuoksi voimme jatkossa olettaa, että E α [log ρ 0 ] 0, eli että satuaiskulku X satuaisessa ympäristössä Y o palautuva tai oikealle väistyvä. 5.4 Suurte poikkeamie periaate satuaiskulu osumahetkille satuaisessa ympäristössä Olkoo T x = if{ X = x} osumahetki pisteesee x. Merkitää τ x := T x T x, x. Huomautus 5.0. τ = T. Olkoo kullaki ω ja kullaki x fuktio Λ ω x Λ ω x (r) := loge ω [exp (r T x )] : (, ], osumahetke T x kumulatit geeroiva fuktio jakaumalla P ω. 5.4. Kumulatit geeroivie fuktioide raja Seuraava Lause, joka mukaa satuaiskulu osumahetket origo oikealle puolelle toteuttavat heiko versio suurte poikkeamie periaatteesta, todistetaa käyttämällä Gärteri-Ellisi lausetta. Tätä varte seuraava lemma, joka mukaa satuaismuuttujai Z x := x T x kumulatit geeroivilla fuktioilla o Gärteri-Ellisi lauseessa esiityvää muotoa oleva, jakaumista ω riipppumato, determiistie rajafuktio ω-melkei varmasti. Lemma todistuksessa käytetää ergoditeoria peruskäsitteitä ja tuloksia, joita ole lyhyesti listaut liitteessä A. Lemma 5.. Kaikilla r lim x x Λω(r) = loge x ω [exp (rτ )]α (dω) ω-melkei varmasti. Todistus. Koska kaikilla ω satuaismuuttujat τ x ovat riippumattomia, pätee kullaki 49
ω ja x x x Λ ω (r) = loge x ω [exp (r T x )] = loge ω exp r τ y = loge ω exp rτ y x = log E ω exp rτy = = y= y= y= x loge ω exp rτy y= x loge σ y ω [exp (rτ )], (5.2) y= missä σ o siirto-operaatio vasemmalle, so. (σω) y = ω y+ kaikilla y. Koska fuktiolle f : (0, ) (0, ), f (ω) = loge ω [exp (rτ )] pätee f L (α Z ) ja siirto-operaatio σ o ergodie, seuraa yt yhtälöstä (5.2) ja Birkhoffi ergodisuuslauseesta A.32, että ω-melkei varmasti lim x x Λω(r) = loge x ω [exp (rτ )]α (dω). Merkitää jatkossa tätä ω:sta riippumatota rajafuktiota seuraavasti Λ(r) := loge ω [exp (rτ )]α (dω) = E α Λ ω (r). 5.4.2 Kumulatit geeroivie fuktioide raja ja se Fechel-Legedre muuokse aalyysi Se, kuika laajasti Gärteri-Ellisi lause o voimassa riippui fuktio Λ omiaisuuksista. Siispä tässä vaiheessa täytyy aalysoida tätä fuktiota. Osoittautuu, että moet Gärteri-Ellisi lausee oletuksista eivät pidä paikkaasa. Tämä kappalee todistukset ovat suoraa lähteestä [DH08], eikä iide yksityiskohtia ole tarkoituksemukaista käydä tässä tarkasti läpi. 50
Tarkastellaa esi mometit geeroivia fuktiota M ω (r) := E ω [exp (rτ )]. Seuraava lemma mukaa se arvot ovat ω-melkei varmasti äärellisiä vai ei-positiivisilla r. Lisäksi lemma ataa tällöi iille ω-melkei varmasti suppeeva esitykse päättymättömää jakolaskua. Lemma 5.3. Pätee ω-melkei varmasti, että a) ku r 0, o olemassa raja M ω (r) = exp ( r)( + ρ 0 ) ρ 0. exp( r)(+ρ ) ρ... b) ku r > 0, M ω (r) =. Todistus. Kohda a) todistus. Olkoo r 0 tällöi, koska rτ 0, pätee kaikilla ω Tehdää seuraava hajotelma: 0 < M ω (r). τ = X = + X = ( + τ + τ ), missä τ o esimmäie osumahetki pisteesee 0 satuaiskululle, joka lähtee pisteestä ja jolla o jakauma ja τ o jakauma P ω τ = P σ ω{τ }, o esimmäie osumahetki pisteesee polulle joka lähtee pisteestä 0 ja jolla P ω τ = P ω {τ }, ja joka o riippumato satuaismuuttujasta τ ehdolla τ <. Saadaa M ω (r) = E ω [exp (rτ )] = ω 0 exp (r) + ( ω 0 )exp (r)m σ ω (r)m ω (r). josta edellee, koska ρ 0 = ( ω 0 )/ω 0, saadaa rekursiokaava M ω = exp ( r)( + ρ 0 ) ρ 0 M σ ω (r). 5
Se että tämä rekursiokaava tuottaa ω-melkei varmasti suppeeva joo, seuraa tavaomaisi argumetei. Kohda b) todistus. Olkoo r > 0 ja olkoo A = ω (0, ) M ω (r) =. Yhtälöstä (5.4.2) saadaa, että σ (A) = A, jote koska σ ergodie, pätee α (A) {0, }. Olkoo N ja B N := ω (0, ) ω x < 2, ku x 0. Tällöi koska supp(α) [ 2, ) ja supp(α) (, 2 ], pätee α (B N ) > 0. Olkoo yt ω(n) (0, ), jolle 2 ku N x 0 ω(n) x = muute. ω x Helposti seuraa, että kaikilla ω B N M ω (r) E ω(n) [exp (rτ )]. Koska tavallie, ei-satuaisessa ympäristössä kulkeva satuaiskulku o origoo palautuva, oikea puoli meee kohti ääretötä tasaisesti joukossa N, ku N. Siispä kaikilla K > 0 o olemassa N r,k, jolla Siispä myös jote yhtälöstä (5.4.2) seuraa, että M ω (r) K kaikilla ω B N r,k. M σ ω (r) K kaikilla ω B Nr,K +, M ω (r) exp (r)(ω 0 + ( ω 0 )K M ω (r)) K 2 exp (r)m ω (r) kaikilla ω B N r,k +. Nyt ku K 2exp ( r), o pakko olla M ω(r) =, jote tällaisilla K B N r,k α (A) > 0, ja siis α (A) =. A, jote Lemma 5.4 (Fuktio Λ ja se Fechel-legedre muuokse Λ omiaisuuksia). 52
a) 0 it{λ < } b) Λ o jatkuva, aidosti kasvava ja aidosti koveksi välillä (, 0] c) Λ o aalyyttie välillä (, 0). d) Λ(0) = 0 ja lim r Λ(r) = e) lim r 0 d dr Λ(r) = ν α f) Λ ei ole jyrkkä g) Λ () = E α [log( + ρ 0 )]. ja lim r d dr Λ(r) = h) F = [, ν α ), missä F o iide fuktiolle Λ pilkottavie pisteide joukko, joide paljastavat puolitasot kuuluvat joukkoo it{λ < } i) Λ (x) = 0, ku x ν α ja Λ (x) =, ku x <. Todistus. a) Seuraa suoraa Lemmasta 5.3. b) Kaikilla ω kumulatit geeroiva fuktio r Λ (r) o aidosti koveksi ja kasvava, ω ja ämä omiaisuudet säilyvät ku otetaa keskiarvo mita α suhtee. c) Kaikilla ω fuktio kumulatit geeroiva fuktio r Λ (r) o aalyyttie, ja ω koska se o lisäksi tasaisesti itegroituva joukossa r < 0, aalyyttisyys säilyy, ku otetaa keskiarvo mita α suhtee. d) Nämä omiaisuudet pätevät kaikilla ω fuktiolle r Λ (r), ja säilyvät ku otetaa ω keskiarvo. e) Pätee d dr Λ(r) = r loge ω [exp (rτ )]α (dω) ja kaikilla ω Koska τ, seuraa r loge ω [exp (rτ )] = E ω [τ exp (rτ )]. exp (rτ ) lim r d Λ(r) =, dr 53
ja Hajotelmasta seuraa kaikilla ω lim r 0 d dr Λ(r) = E ω [τ ]α (dω). τ = X = + X = ( + τ + τ ) siis josta edellee E ω [τ ] = ω 0 + ( ω 0 )( + E σ ω [τ ] + E ω [τ ]), E ω [τ ] = ( + ρ 0 ) + ρ 0 E σ ω [τ ], E ω [τ ]α (dω) = + E α [ρ 0 ] + E α [ρ 0 ] E ω [τ ]α (dω). O osoitettu E ω [τ ]α (dω) = + E α [ρ 0 ] E α [ρ 0 ] = ν α. f) Seuraa Lemmasta 5.3 ja tämä lemma kohdasta e). g) Ks. [DH08] Exercise VII.7 ratkaisu sivulla 30. h) Seuraa kohdista b) c) ja e). i) Seuraa kohdista b) c) ja e). Lemma 5.4 avulla voidaa luoostella fuktioide Λ ja Λ kuvaajat, ks. kuvat 5. ja 5.2. 5.4.3 Gärteri-Ellisi lausee implikaatio satuaiskulu osumahetkille Lause 5.5. Osumahetket T x = if{ X = x} toteuttavat seuraavat suurte poikkeamie arviot ω-melkei varmasti: 54
Kuva 5.: Fuktio Λ luoosteltua. Kuva 5.2: Fuktio Λ Fechel-Legedre muuos Λ luoosteltua. Kuvassa o käytetty merkitöjä X := E α [X ] ja ρ = ρ 0. Lähde: [DH08] Fig. 3 sivulla 77. 55
a) Kaikilla kompakteilla B () lim sup x b) Kaikilla avoimilla A lim if x x log P x T x B if{λ (y) y B}. x log P x T x A if{λ (y) y A}. Todistus. Seuraa suoraa Gärteri-Ellisi lausee todistuksesta, ja Lemmoista 5.4 ja 5.. Koska F = [, ν α ), missä F o fuktiolle Λ pilkottavie pisteide joukko, joide ja Λ (x) =, ku x <, ja koska suurte poikkeamie alaraja saadaa suoraa avoimille joukoille A (, ) [, ), ii Gärteri-Ellisi lausee suurte poikkeamie alaraja saadaa pätemää mielivaltaisille avoimille joukoille myös ilma oletusta oleaisesta sileydestä. paljastavat puolitasot kuuluvat joukkoo it{λ < }, ja Λ (x) = 0, ku x ν α Huomautus 5.6. Samalla tavalla päättelemällä saadaa myös vastaava lause satuaiskulu osumahetkille ollaa pieempii luoollisii lukuihi. Tällöi suppeemisopeusfuktioksi saadaa fuktio Λ(x) := loge ω τ < exp (rτ ) Fechel-Legedre muuos Λ. Ks. [DH08] Lemma VII.9, todistus sivulla 77. 5.4.4 Suurte poikkeamie periaate Lause 5.7. Olkoo X satuaiskulku satuaisessa ympäristössä Y. Satuaismuuttujat Z := X toteuttavat ω-melkei varmasti suurte poikkeamie periaattee determiistisellä suppeemisopeusfuktiolla I, xe α [log ρ o ] xλ ( x ) ku x [, 0), 0 ku x = 0, I(x) = xλ ( x ) ku x (0, ], muute. 56
Todistus. Osoitetaa, että kaikilla x X lim log P [x, ) = I(x) (5.8) ja X lim log P (, x] = I(x), (5.9) jolloi, koska fuktio I o koveksi, Lemma.8 ojalla saadaa suurte poikkeamie periaate. Osoitetaa esi suurte poikkeamie raja-arvot (5.8) ylhäältä rajoittamattomille väleille [x, ), x. O selvää, että ku x >, ämä raja-arvot ovat äärettömyydessä. Lausee 5.8 ojalla ω-melkei varmasti X lim log P ω [x, ) = 0, ku x < 0. Tapaus x = saadaa vahvasta suurte lukuje laista, sillä kaikilla ω X P ω = P ω {X = } = ω x, jote vahva suurte lukuje lai ojalla ω-melkei varmasti x=0 X lim log P ω = lim log x=0 x=0 ω x = lim log ω x = E α [log ω 0 ] = E α [log( + ρ 0 )] = I(), missä viimeie yhtälö seurasi Lemma 5.4 kohdasta g) ja fuktio I määritelmästä. Olkoo sitte x (0, ). Mita mootoisuude ojalla kaikilla ω pätevät arviot P ω {X x } P ω T x = P ω x T x x 57.
Lausee 5.5 suurte poikkeamie yläraja ojalla pätee ω-melkei varmasti, että lim sup x log P ω x T x if Λ (y) x y. x Suurimma termi periaattee ojalla pätee ω-melkei varmasti, että lim sup x log P ω x T x = lim sup x x log P ω x T x, x jote Lausee 5.5 suurte poikkeamie yläraja ojalla lim sup log P x ω{x x } lim sup x log P ω x T x x x lim sup x log P ω x T x x x if Λ (y) y. x Koska Λ o väheevä koko reaalilukuvälillä, pätee if Λ (y) y = Λ x x, jote if yλ y [x, ) = xλ. y x O osoitettu, että ω-melkei varmasti lim sup log P ω X x lim sup log P ω{x x } if yλ y x. y Suurte poikkeamie yläraja o äi todistettu väleille [x, ), x (0, ). Todistetaa sitte suurte poikkeamie alaraja väleille [x, ), x (0, ). Olkoo tätä varte ɛ > 0. Tällä kertaa voidaa arvioida seuraavasti: P ω {X x } P ω T x + ɛ + ɛ P ω x + ɛ < x + ɛ T x + ɛ < + ɛ x + ɛ. 58
Jällee pätee ω-melkei varmasti, että lim if x + ɛ log P ω x + ɛ < x + ɛ T x + ɛ < + ɛ x + ɛ = lim if x + ɛ log P ω x + ɛ < x + ɛ T x + ɛ < + ɛ, x + ɛ jote Lausee 5.5 suurte poikkeamie alaraja ojalla pätee lim if log P ω{x x } x + ɛ lim if x + ɛ log P ω x + ɛ < x + ɛ T x + ɛ < + ɛ x + ɛ x + ɛ = lim if x + ɛ log P ω x + ɛ < x + ɛ T x + ɛ < + ɛ x + ɛ = (x + ɛ) if Λ (y) y x + ɛ, + ɛ x + ɛ = (x + ɛ) if Λ y y + ɛ = (x + ɛ)λ. x + ɛ x + ɛ, + ɛ x + ɛ Viimeie yhtälö seurasi siitä, että fuktio Λ o väheevä koko reaalilukuvälillä. Ottamalla raja ɛ 0 saadaa ylläolevasta arvio jote, koska lim if log P ω {X x } if {yλ (/ y) y x}, P ω {X x} = P ω {X x } P ω {X = x }, saadaa suurimma termi periaattee, eli Lemma.8, ojalla myöski suurte poikkeamie alaraja väleille [x, ]). Todistetaa vielä tapaus x = 0. Koska kaikilla θ (0, ) X X lim if log P ω ja I(θ) 0 ku θ 0, ii 0 lim if log P ω X lim log P ω 0 = 0. 59 θ I(θ),
Suuret poikkeamat väleille (, x], x voidaa todistaa täysi samalla tavalla. Esi tulisi todistaa Lausee 5.5 vastie osumahetkille alaspäi (ks. huomautus 5.6). Tämä jälkee voitaisii osoittaa, että kaikilla r Tästä seuraisi, että Λ(r) = E α [log(ρ o )]Λ(r). I(x) = xe α [log ρ o ] xλ x, ku x [, 0). Todistukse tämä osa sivuutetaa, katso yksityiskohdat [DH08] Lemma VII.9, todistus sivulla 77. Ku yt o todistettu suuret poikkeamat ylhäältä rajoittamattomille ja alhaalta rajoittamattomille väleille, saadaa täysi suurte poikkeamie periaate Lemma.8 ojalla, sillä fuktio I o koveksi fuktio. 60
Luku 6 Johtopäätökset Suurte poikkeamie teoria o eemmä kui pelkkä suurte lukuje lai ja keskeise raja-arvolausee laajeus, sillä teoria keskeiste käsitteide abstrahoiilla se o saatu koskemaa paljo moimutkaisempiaki tilateita. Gärteri-Ellisi lause vastaa lähes täydellisesti kysymyksee stokastise prosessi suurte poikkeamie periaattee mukaisesta rajakäytöksestä. Parhaimmillaa teoria o hieostuut yhdistelmä todeäköisyysteoriaa ja matemaattista aalyysia. Todistuksissa joudutaa usei turvautumaa suppeemisopeusfuktio aalyyttisii omiaisuksii ja todeäköisyysteoria arvioihi. Teoriassa ja sitä sovellettaessa joudutaa todeäköisyysteoria lisäksi yhdistelemää moia matematiika osa-alueita, kute ergoditeoriaa, koveksia aalyysiä ja topologiaa, mikä tekee siitä mielekiitoise ja kauii kokoaisuude. Lisäksi teorialle löytyy sovelluksia mitä eriäisimmiltä alueilta. Tämä tekee siitä maiio sovelletu matematiika tutkimuskohtee. Kute ala kirjallisuudessa usei maiitaa, ei ole olemassa yhtä aiutta suurte poikkeamie teoriaa, joka vastaisi kaikkii kysymyksii poikkeavie todeäköisyyksie rajakäytöksestä. Tilaekohtaisesti saatetaa olla kiiostueita suurte poikkeamie periaatetta hieommista arvioista. Suurte poikkeamie periaate o kuiteki aia hyvä lähtökohta se moikäyttöisyyde ja joustavuude asiosta. Tässä tutkielmassa tehtii vai piei pitaraapaisu koko aihepiirii, mikä o tietysti täysi luoollista, jos ottaa huomioo kuika laajalle teoria ulottuu suurte poikkeamie periaattee ja Crameri ja Gärteri-Ellisi lauseide aihepiiri ulkopuolelle. Käsittelemättä jäi moi teoria keskeie tulos, kute Varadhai Lemma, Saovi lause ja teoria täysi laajetamie yleisempii topologisii avaruuksii. Tutkielma ataa kuiteki hyvät eväät syvällisempää äihi aiheisii perehtymisee. Aiheesta o kirjoitettu mota eriomaista kirjaa, maiittakoo tässä käyttämäi päälähde [DZ98], 6
jossa aihetta o käsitelty todella laajasti, mielestäi hiema luettavuude kustauksella. Kirja sopiiki mielestäi hyvi refressiteokseksi ja aiheesee syvetymiseksi se sijaa, että opiot aihee parissa aloittaisi siitä. Sitä mite teoriaa käytäössä sovelletaa käsiteltii tässä tutkielmassa vai lyhyesti. Kute saottua sovelluksia o moia, ja teoria sovellustapoja varmastiki myös useita. Tähä tutkielmaa valittu sovellus o melko klassie suurte poikkeamie teoria mukaie tulos. Tutkielmassa oli mielestäi hyvää se, että Gärteri-Ellisi lausee oletukset ja iide seuraukset eriteltii tarkasti. Näi ei suikaa ole meetelty päälähteissä [DZ98] ja [DH08]. Valitsemastai sovelluksesta käy hyvi ilmi mite Gärteri-Ellisi lausee tuloksia voidaa hyödytää myöski silloi, ku suuri osa lauseessa maiituista lisäoletuksista ei pädekää. Kuvassa 6 Lausee 5.7 Fuktio I luoosteltua. Kuva saadaa fuktio I määritelmästä ja Lemma 5.4 atamista fuktioide Λ ja Λ omiaisuuksista. Suppeemisopeusfuktiolla I o mielekiitoisia omiaisuuksia: ku väistyvä satuaiskulu opeus o aidosti positiivie, suppeemisopeusfuktio o idettisesti olla välillä [0, ν α ). Tälle välille rajoittuvie suurte poikkeamie todeäköisyydet siis suppeevat kohti ollaa aliekspoetiaalista vauhtia. Myöski tälle välille o johdettu suurte poikkeamie estimaatteja ks. esim. [GZ98] ja [PP + 99]. Satuaiskulku satuaisessa ympäristössä o edellee aktiivise tutkimukse kohteea, ja avoia o yhä siihe liittyviä stokastise aalyysi ja suurte poikkeamie teoria ogelmia. Näistä löytyy tietoa kirjasta [DH08]. 62
Kuva 6.: Lausee 5.7 Fuktio I luoosteltua. Kuvassa i) palautuva satuaiskulku, kuvassa ii) väistyvä satuaiskulku aidosti positiivisella opeudella, kuvassa kolme väistyvä satuaiskulku jolla opeus o olla. Kuvissa o käytetty merkitöjä X := E α [X ] ja ρ = ρ 0. 63