Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Transkriptio

1 Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan tasaisesti rajoitetuksi joukossa, jos on olemassa sellainen C R, että f x C jokaiselle f F ja x X. Lause 2.6. Olkoon X,d täydellinen metrinen avaruus ja olkoon F C X,R pisteittäin rajoitettu joukko. Tällöin on olemassa avoin pallo B X ja vakio C, joilla on ominaisuus f x C jokaiselle x U ja f F. 1

2 3. Banachin avaruudet Määritelmä 3.1 Joukko V on kompleksinen vektoriavaruus, jos jokaiselle r C ja kaikille joukon V alkioille u ja v on määritelty seuraavat ehdot toteuttavat summa : V V V ja kertolasku :C V V 1. u v V ja ru V, 2. u v v u, (vaihdantalaki tai kommutatiivisuus) 3. u v w u v w jokaiselle w V (liitäntälaki tai assosiatiivisuus), 4. on olemassa alkio 0 V, joka toteuttaa ehdon u 0 u jokaiselle u V, 5. jokaiselle u V on olemassa alkio u, joka toteuttaa ehdon u u 0, 6. r u v ru rv, (osittelulaki tai distribuutivuus), 7. r s u ru su jokaiselle s C, 8. r su rs u jokaiselle s C, 9. 1u u. 2

3 Määritelmä 3.2. Kompleksinen vektoriavaruus on normiavaruus, jos siinä on määritelty kuvaus : V R, joka toteuttaa ehdot: 1. u 0 jokaiselle u V; 2. Jos u 0, niin u 0; 3. u u jokaiselle C ja u V; 4. u v u v jokaiselle u,v V. Määritelmä 3.3. Metriikan d x, y x y suhteen täydellisestä normiavaruutta sanotaan Banach avaruudeksi. Määritelmä 3.4. Olkoon X normiavaruus. Tällöin sarja x n suppenee absoluuttisesti (normin suhteen), jos x n suppenee. Lause 3.5. Normiavaruus X on täydellinen, jos ja vain jos jokainen absoluuttisesti suppeneva sarja suppenee. 3

4 Määritelmä 3.6. Olkoot X ja Y normiavaruuksia. Lineaarikuvausta T : X Y sanotaan lineaariseksi operaattoriksi tai lyhyesti operaattoriksi. Operaattori T : X Y on rajoitettu, jos on olemassa M 0 siten, että jokaiselle x X. Tx M x Rajoitetun operaattorin T : X Y normi on Tx T sup x X x. x 0 4

5 Lause 3.7. Olkoot X ja Y normiavaruuksia ja T : X Y lineaarinen operaattori. Tällöin suraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: 1. T on rajoitettu, 2. T on jatkuva, 3. T on tasaisesti jatkuva (eli jokaista 0 kohti on olemassa sellainen 0 että Tx Ty aina kun x, y X ja x y. Lause 3.8.(Banach-Steinhaus tai tasaisen rajoituksen lause) Olkoon X Banach avaruus, Y normiavaruus ja F joukko rajoitettuja operaatoreita. Jos jokaista x X vastaa sellainen vakio M x, että Tx M x jokaiselle T F, niin F on tasaisesti rajoitettu, ts. on olemassa M 0 siten, että T M jokaiselle T F. 5

6 Lause 3.9. Avoimen kuvauksen lause Jos X ja Y ovat Banachin avaruuksia ja T : X Y surjektiivinen rajoitettu operaattori, niin T on avoin kuvaus, ts. jokaisen avoimen joukon kuva on avoin. Seuraus Jos X ja Y ovat Banachin avaruuksia ja T : X Y bijektiivinen rajoitettu operaattori, niin T on homeomorfismi. Lemma Jos X ja Y ovat Banachin avaruuksia ja T : X Y surjektiivinen rajoitettu operaattori, niin jokaisen avaruuden X origokeskisen pallon B r 0 kuva T B r 0 sisältää jonkin avaruuden Y origokeskisen pallon. 6

7 Määritelmä Olkoot X ja Y Banachin avaruuksia ja D T avaruuden X aliavaruus. Jos T : D T Y on lineaarinen ja D T operaattorin T määrittelyjoukko, operaattorin T kuvaaja on avaruuden X Y aliavaruus Γ T, joka määritellään seuraavasti Γ T x,tx x D T. Sanomme operaattoria T : D T Y suljetuksi, josγ T on joukon X Y tulotopologian suhteen suljettu osajoukko. Lemma Olkoot X ja Y Banachin avaruuksia ja D T avaruuden X aliavaruus. Operaattori T : D T Y on suljettu, jos ja vain jos joukon Γ T suppenevan jonon x n,tx n raja-arvo x,y Γ T,ts. y Tx. Lause Olkoot X ja Y Banachin avaruuksia ja D T avaruuden X aliavaruus. Suljettu operaattori T : D T Y on jatkuva, jos ja vain jos D T on suljettu avaruudessa X. 7

8 Huom. Jos T : D T Y on jatkuva, niin on olemassa sellainen jatkuva operaattori T : X Y, että T T joukossa D T ja T T. Tämä seuraa Hahn-Banachin lauseesta, mutta emme todista sitä. 4. Positiivisista Borellin mitoista Olkoon X, topologinen avaruus. Jos f : X R on jatkuva, merkitsemme supp f x X f x 0. ja sanomme joukkoa supp f funktion f kantajaksi. Käytämme merkintöjä: C X joukossa X jatkuvien funktioiden joukko C 0 X joukossa X määriteltyjen jatkuvien kompaktikantajaisten funktioiden joukko. 8

9 Määritelmä 4.1. Olkoon X, topologinen avaruus. Funktio f : X R sanotaan alaspäin puolijatkuvaksi, jos f 1 a, jokaiselle a R. Funktioita f : X R sanotaan ylöspäin puolijatkuvaksi, jos jokaiselle a R. f 1,a Funktiota f : A R sanotaan alaspäin puolijatkuvaksi, jos f 1 a, on avoin topologian joukkoon A X indusoimassa topologiassa jokaiselle a R. Vastaavasti määritellään funktion f : A R ylöspäin puolijatkuvuus. Olkoon A X. Joukon A karakteristinen funktio A : X R määritellään seuraavasti A x 1, kun x A, 0, kun x X\A. 9

10 Lemma 4.2. Olkoon X, topologinen avaruus ja A X. 1. Funktio A on alaspäin puolijatkuva jos ja van jos A on avoin. 2. Funktio A on ylöspäin puolijatkuva jos ja van jos A on suljettu. Lemma 4.3. Olkoon X, topologinen avaruus ja A X. 1. Jos f : X R on alaspäin puolijatkuva, niin f on ylöspäin puolijatkuva. 2. Jos f i i I (I äärellinen, numeroituva tai ylinumeroituva joukko) on perhe alaspäin puolijatkuvia funktioita, niin sup i I on alaspäin puolijatkuva. 3. Jos f i i I (I äärellinen, numeroituva tai ylinumeroituva joukko) on perhe ylöspäin puolijatkuvia funktioita, niin inf i I on ylöspäin puolijatkuva. f i f i 10

11 4. Jos I äärellinen joukko ja f i : X R ovat alaspäin puolijatkuvia jokaiselle i I, niin funktiot max i I f ja min i I f i ovat alaspäin puolijatkuvia. 5. Jos I äärellinen joukko ja f i : X R ovat ylöspäin puolijatkuvia jokaiselle i I, niin funktiot max i I f ja min i I f i ovat ylöspäin puolijatkuvia.on funktioita. 6. Jos f : X R ja g : X R ovat alaspäin puolijatkuvia, niin f g on alaspäin puolijatkuva jokaiselle, Jos f : X R ja g : X R ovat alaspäin puolijatkuvia, niin f g on alaspäin puolijatkuva jokaiselle, 0. Lemma 4.4. Olkoon X,d metrinen avaruus ja K X kompakti. Jos f : K R on alaspäin puolijatkuva, niin funktio f saavuttaa pienimmän arvonsa jossain joukon K pisteessä. Vastaavasti jos f : K R on ylöspäin puolijatkuva, niin funktio f saavuttaa suurimman arvonsa joukossa K. Jatkossa käsittelemme tapausta X R n, 11

12 vaikka suurin osa tuloksista onkin voimassa niin sanotuissa lokaalikompakteissa Hausdorffin avaruuksissa eli sellaisissa avaruuksissa joissa jokaiselle pisteellä on olemassa ympäristö, jonka sulkeuma on kompakti. Lemma 4.5. (Urysohnin lemma) Olkoon V avoin joukon R n osajoukko. Jos K on kompakti joukkon V osajoukko, niin on ole massa kompaktikantajainen jatkuva funktio f, joka toteuttaa ehdon K f V. Urysohnin lemman avulla on helppo todistaa seuraava topologinen tulos. Lemma 4.6. Olkoot K 1 ja K 2 kompakteja pistevieraita jou kon R n osajoukkoja. Tällöin on olemassa avoi met pistevieraat joukot U 1 ja U 2 siten, että K 1 U 1 ja K 2 U 2. 12

13 Määritelmä 4.7. Funktioita f : X, sanotaan alaspäin puolijatkuvaksi, jos jokaiselle R joukko x X f x on avoin. Alaspäin puolijatkuvilla funktioilla on seuraa vat ominaisuudet: Lause 4.8 Olkoon X R n. (a) Jos f : X 0, on alaspäin puolijat kuva, niin f sup g C 0 X g f. (b) (Dinin lause) Olkoon f : X R jatkuva ja K X kompakti.jos f i i I on ylöspäin suunnattu (eli jokaiselle, I on olemassa I siten, että f f ja f f perhe alaspäin puolijatkuvia funk tioita ja f sup i I f i, niin jokaiselle 0 on olemassa i I, joka toteuttaa eh don joukossa K. f f i 13

14 14