Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio)

Transkriptio

1 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0, ]}} (c) 2 {A : A (0, ]}. 2. Oko edellise tehtävä joukoilla muita sigma-algebroja kui 2?Jos ei, ii perustele, jos o, ii aa esimerkki. Ratkaisu: (a) Kyllä o: F {;, {0, }} (b) Ei ole. Olkoo F joki sigma-algebra joukolla. KoskaF o sigma-algebra, ii o oltava ;2F ja 2F,siis2 {;, } F.KoskajoukoF alkiot ovat jouko osajoukkoja, ja 2 sisältää kaikki jouko osajoukot, ii F 2.SiisF 2. (c) Kyllä o, esimerkiksi ja F {;, (0, /2], (/2, ], (0, ]} G {;, {/3}, (0, ] \{/3}, (0, ]} ovat sigma-algebroja, koska e ovat muotoa {;, A, A c, }, missä A ja tällaiset joukot todettii sigma-algebraksi lueolla. 3. Olkoo umeroituva joukko ja! 2 joki jouko alkio. Määritellää kuvaus :2!, (,! 2 A (A) 0,! 62 A. Osoita, että Ratkaisu: o todeäköisyysmitta.

2 (a) (A) 0tai (A),jote (A) 0 (b)! 2, jote ( ) (c) Olkoot joukot A i, i 2 I, erillisiä. Jos! 2 S i2i A i,iioolemassaj 2 I, jolle! 2 A j.silloi! [ A i (A j ). i2i Koska joukot A i ovat erillisiä, ii! 62 A i jos i 6 j eli (A i )0 ku i 6 j. Silloi (A i )! [ (A i )+ (A j )0+ A i. i2i i6j i2i Jos! 62 S i2i A i,ii! 62 A i millää i 2 I. Silloi (A i )0 kaikilla i 2 I ja! [ A i 0 (A i ). i2i i2i 4. Olkoo umeroituva ja :2! todeäköisyysmitta. Olkoo A 2 2.Todista,että (a) (;) 0 (b) (A c ) (A) ja (c) 0 apple (A) apple. Ratkaisu: (a) Joukot ; ja ovat erillisiä, jote todeäköisyysmita omiaisuude c ojalla Siispä (;) 0. ( ) ( [;) ( ) + (;). (b) Joukot A ja A c ovat erillisiä ja A [ A c,jotetodeäköisyysmita omiaisuuksie b ja c ojalla ( ) (A [ A c ) (A)+ (A c ), mistä saadaa (A c ) (A). 2

3 (c) Määritelmä ojalla (A) 0 kaikilla A, siismyös (A c ) 0. Edellise (b)-kohda ja tiedo (A c ) 0 ojalla (A) (A c ) apple. Siis0 apple (A) apple. 5. Olkoo umeroituva ja :2! todeäköisyysmitta. Olkoot A, B 2 2.Todista,että (a) (A [ B) (A)+ (B) (A \ B) (b) jos A B, ii (A) apple (B) ja (c) (B \ A) (B) (A \ B). Ratkaisu: (a) B (B \ A) [ (A \ B) ja joukot B \ A ja A \ B ovat erillisiä, jote (B) (B \ A)+ (A \ B). Tätä käyttäe saadaa (A)+ (B) (A \ B) (A)+ (B \ A) (A [ (B \ A)) (koska A ja B \ A erillisiä ) (A [ B) (b) B A [ (B \ A) ja joukot A ja B \ A ovat erillisiä, jote (B) (A)+ (B \ A). Koska (B \ A) 0, saadaa (A) (B) (B \ A) apple (B) (c) B (B \ A) [ (A \ B), jote (B) (B \ A)+ (A \ B), mistä saadaa (B \ A) (B) (A \ B). 6. Osoita, että P o todeäköisyysfuktio, ku (a) {0, }, p 2 (0, ) ja P :!, P (!) p! ( p)!,! 2 (Beroulli jakauma) (b) {0,,...,}, p 2 (0, ) ja P :!, P (!) p! ( p)!,! 2! (biomijakauma) Ratkaisu: 3

4 (a) Osoitetaa, että P toteuttaa ehdot (.) ja (.2). (.): ( P (!) p! ( p)! p,! 0 p,! P (!) 0, koskap>0 ja p>0 (.2): P (!) P (0) + P () p + p (b) (.): (.2):!2 P (!)!2 P (!)! {z }!0 p! {z} >0 ( p)! {z } >0 p! ( p)! (p +( p)),! missä summa laskemisessa käytettii biomikaavaa. 7. Olkoo äärellie ja f :! joki kuvaus. Merkitää Z P!2 ef(!).osoita,ettäp :! o todeäköisyysfuktio, ku P (!) Z e f(!),! 2. Todista, että P o todeäköisyysfuktio. Voiko vastaava todeäköisyysfuktio määritellä, ku o umeroituvasti ääretö? Ratkaisu: Osoitetaa, että P toteuttaa ehdot (.) ja (.2). (.) Koska e x > 0 kaikilla x 2, ii myös e f(!) > 0 ja Z P!2 ef(!) > 0. Silloi (.2) P (!) Z {z} e {z} f(!) >0 >0!2 P (!)!2 Z e f(!) Z! e f(!) Z Z Tarkastellaa sitte tilaetta, missä o umeroituvasti ääretö eli {!,! 2,...}. Josesim.f(! k ) l(/k), ii Z e f(!) e l(/k) /k.!2 k 4 k

5 Siis aiakaa vastaavaa t-fuktiota ei voida määritellä mille tahasa kuvaukselle f. Josf o sellaie, että Z P!2 ef(!) <, iip voidaa osoittaa t-fuktioksi kute edellä. 5

6 Stokastiika perusteet Harjoitukset 2 (Tuloavaruus, satuaismuuttujat ja riippumattomuus) Olkoot ja 2 umeroituvia ja :2! ja 2 :2 2! tmittoja. Määritellää 2 ja kuvaus :2!, 2 sääöllä (A) ({! }) 2({! 2 }). (!,! 2 )2A Osoita, että o t-mitta mitallisessa avaruudessa (, 2 ). Todistus. Selvästi (A) 0 kaikilla A 2 2,sillä, 2 0. Edellee ( ) ({! }) 2({! 2 }) (!,! 2 )2!2 ({! }) 2({! 2 })! 2 2 2! ({! }) 2({! 2 })! 2! ({! }) 2( 2 )! 2 ( ) ( 2 ), sillä positiivisia termejä summattaessa ei ole väliä, missä järjestyksessä summaukset tehdää, ja koska i( i ), i, 2. Olkootsitte A,A 2 22 erillisiä joukkoja. Tällöi ([ ia i ) ({! }) 2({! 2 }) (!,! 2 )2[ i A i i ({! }) 2({! 2 }) (!,! 2 )2A i (A i ). i o site todeäköisyysmitta mitallisella avaruudella (, 2 ).

7 2. Olkoo {0, } ja P :! Beroulli jakauma parametrilla p 2 (0, ). Olkoo ja :2! t-fuktio P, P (!,...,! )P (! ) P (! ),määräämät-mitta.olkoo :!{0,, 2,...,}, (!,...,! )! + +!, satuaismuuttuja. Osoita, että satuaismuuttuja jakauma o biomijakauma joukossa {0,,...,}. Todistus. Merkitää A k : (!,,...,! ) 2 : jolloi Siispä P (k) i o! i k {(!,,...,! ) 2 :! i tasa k ideksillä}, A k k!2 :(!)k Koska P () p ja P (0)!, ku k 2{0,, 2...,}. k!( k)! P (!) (!,...,! )2A k P (! )P (! 2 ) P (! ). p, ii P (! )P (! 2 ) P (! )p k ( p) kaikilla (!,...,! ) 2 A k.sitekaikillak 2{0,,...,} P (k) P (! )P (! 2 ) P (! ) A k p k ( p) k (!,...,! )2A k p k ( p) k. k P o siis biomijakauma todeäköisyysfuktio joukolla {0,,...,} ja parametrilla p. 3. Olkoot :!{0,, 2,...} ja Y :!{0,, 2,...} Poissoi jakaumaa oudattavia riippumattomia satuaismuuttujia eli P () e! ja P Y (m) e m m! joillai parametreilla >0 ja >0 ( lambda, eeta). Osoita, että satuaismuuttujie ja Y summa + Y :!{0,, 2,...} jakauma P +Y o Poissoi jakauma. Mikä o se parametri?

8 Todistus. Olkoot 2{0,,...} ja f : 2!,f(x, y) x + y. Tällöi satuaismuuttuja (tai tässä tapauksessa satuaisvektori) muuokse jakauma määritelmä ojalla P +Y () P f(,y ) () P (,Y ) (k, j) (k,j)2 2 :f(k,j) (k,j)2 2 :k+j k2 k2 j2 :k+j j2 :k+j P (,Y ) (k, j) P (,Y ) (k, j) P (k)p Y (j) missä viimeie yhtäsuuruus seuraa satuaismuuttujie ja Y riippumattomuudesta. Järjestemällä summattavat termit uudellee ähdää, että! P (k)p Y (j)! P (k) P Y (j) k2 k2 j2 :k+j j2 :k+j k2 P P Y ( k)!!, P (k)p Y ( k0 k). Soveltamalla jakaumaoletusta satuaismuuttujista ja Y saadaa edellee P (k)p Y ( k) k0 e k0 k k! e k ( k)! e ( + )! k!( k)!! k0 e ( + ) k k! k k0 ( + ) e ( + ).! Täte + Y oudattaa Poissoi jakaumaa parametrilla +. k k

9 4. Olkoo {, 2, 3, 4}, ({}) /4, A {, 2}, A 2 {, 3} ja A 3 {, 4}. Määritellää satuaismuuttujat, 2 ja 3 asettamalla (,! 2 A i i (!) Ai (!), i, 2, 3. 0,! 62 A i Todista, että i ja j ovat riippumattomat aia ku i 6 j ja että kolmikko, 2, 3 ei ole riippumato. Todistus. Aloitetaa toteamalla, että (A i ) 2 (Ac i) kaikille i, 2, 3. Kiiitetääsittei, j 2{, 2, 3}, i 6 j. Todetaa,ettätällöi joukot A i \ A j, A c i \ A j, A i \ A c j, A c i \ A c j ovat kaikki yksiöitä. (Esimerkiksi tapauksessa i 6 2j ähdää, että A \ A 2 {},A c \ A 2 {3},A \ A c 2 {2},A c \ A c 2 {4}.) Näi olle ja toisaalta Edellee, ( i 0, j 0) (! 2 : Ai (!) 0, Aj (!) 0 ) Huomataa vielä, että ({! 2 :!/2 A i,! /2 A j }) (A c i \ A c j) 4, ( i 0) ( j 0) (A c i) (A c j) ( i, j ) (A i \ A j ) ja 4 ( i ) ( j ) (A i ) (A j ) ( i, j 0) (A i \ A c j) ja 4 ( i ) ( j 0) (A i ) (A c j) Vastaavasti ( i 0, j ) 4 ( i 0) ( j ).

10 Pätee siis ( i m, j ) ( i m) ( j ) kaikilla i 6 j ja m, 2{0, }. SiteLausee3.5.ojalla, 2 ja 3 ovat pareittai riippumattomia. Kolmikko, 2 ja 3 ei se sijaa ole riippumato. Tämä voidaa ähdä esimerkiksi huomaamalla, että (, 2, 3 ) (A \ A 2 \ A 3 ) ({}) 4, ku taas toisaalta ( )P ( 2 ) ( 3 ) (A ) (A 2 ) (A 3 ) Olkoo {, 2,...,} {, 2,...,}. Määritellää kuvaus P :! asettamalla P (i, j) (, i j, (i, j) 2. 0, i 6 j Näytä, että P o t-fuktio ja laske se reuajakaumat P ja P 2. Todistus. Määritelmä ojalla P 0. Edellee! P (i, j) P (i, j) P (i, i) (i,j)2 2 i2 j2 i2 i2 Täte P o todeäköisyysfuktio. Reuajakaumat:. P (i) j2 P (i, j) P (i, i) kaikilla i 2 ; P 2 (j) i2 P (i, j) P (j, j) kaikilla j 2. Toisi saoe, molemmat reuajakaumat P ja P 2 ovat tasajakaumia joukolla {, 2,...,}.

11 6. Olkoo {, 2,...,} {, 2,...,}. Määritellää kuvaus P :! asettamalla (, i+ j + P (i, j), (i, j) 2. 0, i+ j 6 + Näytä, että P o t-fuktio ja laske se reuajakaumat P ja P 2. Todistus. Jällee selvästi P 0. Huomataamyös,ettäjokaisellei 2 löytyy tasa yksi j 2 site, että P (i, j) 6 0,imittäij + i. Siispä! P (i, j) P (i, j) (i,j)2 2 i2 j2 i2 P (i, + i) i2 P o siis todeäköisyysfuktio. Reuajakaumat:. P (i) j2 P (i, j) P (i, + i) kaikilla i 2 ; P 2 (j) i2 P (i, j) P ( + j, j) kaikilla j 2. Molemmat reuajakaumat P ja P 2 ovat siis tasajakaumia joukolla {, 2,...,}. ***BONUSTEHTÄVÄ*** (Lasketaa hyväksi tehtyihi tehtävii.) Olkoot (, F) ja (S,G) mitallisia avaruuksia. Olkoo : F! t-mitta ja :! S satuaismuuttuja. Määritellää kuvaus : G! asettamalla Osoita, että (A) ( 2 A), A 2G. o t-mitta avaruudessa (S, G). Todistus. Kaikille G 2Gpätee (G) ( 2 G) 0, sillä{ 2 G} 2F (satuaismuuttuja yleise määritelmä ojalla) ja o todeäköisyysmitta. Edellee, (S) ( 2 S) ( ). Olkoot sitte G,G 2, 2Gerillisiä. Tällöi joukot (G ), (G 2 ), 2F ovat myös erillisiä: jos i 6 j, ii (G i ) \ (G j ){! 2 :(!) 2 G i ja (!) 2 G j } {! 2 :(!) 2 G i \ G j } {! 2 :(!) 2 ;} ;.

12 Todetaa lisäksi, että (!) 2[ ig i () (!) 2 G i jollaki i ()! 2 (G i ) jollaki i ()! 2[ i (G i ), () ja site ([ ig i ) ( 2[ ig i ) () ([ i (G i )) i ( (G i )) i (G i ), omiai- missä toiseksi viimeie yhtäsuuruus seuraa todeäköisyysmita suudesta c.

13 Stokastiika perusteet Harjoitukset 3 (Ehdollie todeäköisyys ja odotusarvo) Olkoo (, F, ) todeäköisyysavaruus ja A, B, C 2Fjoukkoja, joille (A \ B) > 0. Osoita,että (A) (B A) (C A \ B) (A \ B \ C). Ratkaisu: Ehdollise todeäköisyyde määritelmä ojalla (A \ B) (A) (B A) (C A \ B) (A) (A) (A \ B \ C). ((A \ B) \ C) (A \ B) 2. Heitetää kahta oppaa. Olkoot ja Y iide silmäluvut, eli riippumattomat satuaismuuttujat, jotka oudattavat tasajakaumaa joukossa {, 2,...,6}. Laske (a) (b) ( + Y )ja ( + Y + Y o parito). Ratkaisu: (a) + Y täsmällee silloi ku 5ja Y 6tai 6ja Y 5,jote ( + Y ) ({ 5,Y 6}[{ 6,Y 5}) ( 5,Y 6)+ ( 6,Y 5) (b) { + Y } { + Y o parito} ja ( + Y o parito) ( 5) (Y 6)+ ( 6) (Y 5) ({ parito, Y parillie}[{ parillie, Y parito}) ({ parito, Y parillie})+ ({ parillie, Y parito}) ( 2{, 3, 5},Y 2{2, 4, 6})+ ( 2{2, 4, 6},Y 2{, 3, 5}) ( 2{, 3, 5}) (Y 2{2, 4, 6})+ ( 2{2, 4, 6}) (Y 2{, 3, 5}) ,

14 jote (+Y +Y o parito) ( + Y ) ( + Y o parito) Olkoo :! satuaismuuttuja, joka jakauma o geometrie eli ( ) p( p),, 2,... Osoita, että jakauma o muistito eli että Ratkaisu: Koska ( >) ( + k >) ( k) 8 k, 2. i+ ( i) ( p) ( p), i+ i+ p( p) i p( p) i ji ( p) p( p) j j ii ( + k >) ( + k, > ) ( + k) ( >) ( >) p( p)+k p( p) k ( k). ( p) 4. Olkoo :!{0,, 2,...} Poissoi jakaumaa parametrilla > 0 oudattava satuaismuuttuja jollai todeäköisyysavaruudella (, F, ) eli Laske [] ja [ 2 ]. Ratkaisu: [] P () ( ) e e P () 0 e ( )! k e, 0,, 2,...!! k0 e k ( )! k! e e

15 ja 2 2 P () 0 ( )e k 2 e 2 k0 2 e! + k! e {z! } [] [( e 2 ) + ]e 2 k! + e 2 e ! 2 ( 2)! + 5. Olkoot ja Y riippumattomia Beroullijakautueita satuaismuuttujia parametrilla ja p 2 (0, ) eli P (k) P Y (k) p k ( p) k, k 2{0, }. Selvitä, oko apple + Y +. Ratkaisu: Koska ja Y ovat riippumattomat, ja riippumattomuus säilyy kuvauksissa ii +ja ovat riippumattomat. Siksi Y + apple apple apple + Y + ( +) [ +] Y + Y +. Lasketaa odotusarvot: [ +] (k +)P (k) p 0 ( p) 0 +(+)p ( p) ja k0 p +2p +p apple Y + m + pm ( p) m m0 +0 p0 ( p) p ( p) p + 2 p 2 p Siispä kaikilla p 2 (0, ) pätee apple + Y + (+p) 2 p + p( p) >. 2

16 6. Olkoot ja Y riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat tasajakaumaa joukossa {0, }. Osoita,että mutta + Y ja [( + Y ) Y ] [ + Y ] [ Y ], Y eivät ole riippumattomat. Ratkaisu: Koska ja Y ovat riippumattomat, ii P (,Y ) (x, y) P (x)p Y (y) kaikilla (x, y) 2{0, } 2.Siispä [( + Y ) Y ] (x + y) x y P (,Y ) (x, y) (x,y)2{0,} 2 (0+0) 0 0 +(0+) 0 +(+0) 0 +(+) ja [ + Y ] [ Y ] ( []+ [Y ]) x y P {z } (,Y ) (x, y) [] (x,y)2{0,} 2 apple 2 [] 2 2 Kuiteki ja apple ( + Y, Y 0) ( Y, Y ) (;) 0 ( + Y ) ( Y 0) ({,Y 0}[{ 0,Y }) ({ 0,Y 0}[{,Y }) [ (,Y 0)+ ( 0,Y )] [ ( 0,Y 0)+ (,Y )] apple 4 + apple eli + Y ja Y eivät ole riippumattomat.

17 7. Olkoo :!{0,, 2,...}. Osoita,että [] 0 ( >). Ratkaisu: 0 ( >) 0 k k 0 k [ k+ { k}! ( k) {z } ei riipu ideksistä ( k) k 0 k+ {z } k,2 +,<k k ( k) k ( k) 0 {z } k kpl k ( k) [] k0

18 Stokastiika perusteet Harjoitukset 4 (Jooje suppeemie ja tgf:t) Olkoo, 2,... joo satuaismuuttujia, joille lim! [ 2 ]0. Osoita, että joo suppeee stokastisesti kohti ollaa. Ratkaisu: Olkoo ">0. Silloi Markovi epäyhtälö ojalla ku!.siis! 0. ( 0 >") ( 2 >" 2 ) apple [2 ] " 2! 0 2. Tarkastellaa kahta riippumatota jooa satuaismuuttujia, joille, 2,...ovat riippumattomia ja samoi jakautueita, ja [ ] Y,Y 2,... ovat riippumattomia ja samoi jakautueita, ja [Y ]2 Heitetää kolikkoa ja määritellää, että kaikilla, 2,... ( , jos saatii kruua, S Y + Y Y, jos saatii klaava. Näytä, että (a) [S /] 3/2. (b) ( S / 3/2 > /4) ei suppee ollaa ku kasvaa. (c) Oko ylläoleva havaito ristiriidassa heiko suurte lukuje lai kassa? Ratkaisu: Olkoo kr {! 2 :latiheitosta kruua } ja kl {! 2 :latiheitosta klaava }. Silloi S ( ) kr +(Y + Y Y ) kl. (a) [S /] [S / kr + S / kl ] apple kr + apple Y + Y Y kl apple [ ]+ + [ ] , [ kr]+ apple Y + Y Y 2 + [Y ]+ + [Y ] 2 [ kl]

19 (b) missä käytettii odotusarvo lieaarisuutta ja tietoa, että latiheitto o riippumato satuaismuuttujista i ja Y i, i, 2,... ( S / 3/2 apple/4) (5/4 apple S / apple 7/4) ({5/4 apple S / apple 7/4}\{kr})+ ({5/4 apple S / apple 7/4}\{kl}) apple 5/4 apple + + apple 7/4 + 5/4 apple Y + + Y apple 7/4 apple /4 apple + + Y + + Y + 2 apple /4 apple /4 apple + + [ ] Y + + Y + [Y ] /4! 0 ku!,koskasuurtelukujelaiojalla + +! [ ] ja Y + +Y! [Y ].Siis ( S / 3/2 > /4) ( S / 3/2 apple/4)!. (c) Suurte lukuje laissa oli ehtoa, että summataa riippumattomia satuaismuuttujia, eli summa toise termi S 2 S tulee olla riippumato summa esimmäise termi S kassa. Koska [(S 2 S )S ] [(S 2 S )S kr ]+ [(S 2 S )S kl ] 2 ( [ 2 ]+ [Y 2 Y ]) 2 ( [ 2] [ ]+ [Y 2 ] [Y ]) ( + 4) 5/2 2 ja [S 2 S ] [S ]( [(S 2 S ) kr ]+ [(S 2 S ) kl ])( [S kr ]] + [S kl ]) 2 ( [ 2]+ [Y 2 ]) 2 ( [ ]+ [Y ]) /4, ii S 2 S ja S eivät voi olla riippumattomat.

20 3. Olkoo :! {0,, 2,...} biomijakautuut satuaismuuttuja eli joillaki ja p 2 (0, ) pätee P (k) k pk ( p) k ku k 0,,..., ja P (k) 0,kuk +,+2,... Laske G. Mikä o se suppeemissäde? Laske tgf: G avulla ja V ar(). Ratkaisu: G (t) [t ] t k p k ( p) k k k0 (tp + p). k0 [] (tp) k ( p) k k. Las- Kyseessä o äärellie summa, jote se suppeee kaikilla t 2 ketaa derivaattoja: G 0 (t) d dt (tp + p) p(tp + p) ja G 00 (t) d dt G0 (t) ( )p 2 (tp + p) 2. Odotusarvolle ja variassille pätee [] G 0 () p( p + p) p ja V ar() G 00 () + G 0 () (G 0 ()) 2 ( )p 2 ( p + p) 2 + p (p) 2 ( )p 2 + p (p) 2 p( p). 4. Olkoo :!{0,, 2,...} Poissoi jakaumaa oudattava satuaismuuttuja eli jollaki >0 pätee P (k) e,k0,, k 2,... Laske G. Mikä o se suppeemissäde? Laske tgf: G avulla [] ja V ar(). Ratkaisu: G (t) [t ] t k e k0 e e t e (t ). k k! k0 e k! (t ) k k!

21 Ekspoettifuktio Taylori sarja suppeee kaikilla t 2 derivaattoja: G 0 (t) d dt e (t ) e (t ).Lasketaa ja G 00 (t) d dt G0 (t) 2 e (t ). Odotusarvolle ja variassille pätee ja [] G 0 () e ( ) V ar() G 00 () + G 0 () (G 0 ()) 2 2 e ( ) Olkoot N,, 2,... :!{0,, 2,...} riippumattomia ja, 2,... samoi jakautueita. Olkoo M P N. Osoita, että [M] [N] [ ] ja että V ar(m) [N]V ar( )+V ar(n)( [ ]) 2. Ratkaisu: Tehdää tehtäväaosta uohtuut lisäoletus, että fuktioide G N ja G suppeemissäde o aidosti suurempi kui, jolloi voidaa käyttää Lausetta 9.4. (Voiee myös tehdä samaa tapaa kui Lauseessa 9.6.) Satuaissumma tgf:lle pätee G M (t) G N (G (t)). Tämä kaksi esimmäistä derivaattaa ovat ja G 0 M(t) G 0 N (G (t)) G 0 (t) G 00 M(t) G 00 N (G (t)) (G 0 (t)) 2 + G 0 N (G (t)) G 00 (t). Koska G () [ ],ii [M] G 0 M() G 0 N (G ()) G 0 () G 0 N()G 0 () [N] [ ]

22 ja V ar(m) G 00 M() + G 0 M() (G 0 M()) 2 G 00 N (G ()) (G 0 ()) 2 + G 0 N (G ()) G 00 () + G 0 N()G 0 () (G 0 N()G 0 ()) 2 G 00 N()(G 0 ()) 2 + G 0 N()G 00 () + G 0 N()G 0 () (G 0 N()G 0 ()) 2 G 00 N() + G 0 N() (G 0 N()) 2 G 0 () 2 G 0 N() G 0 () 2 + G 0 N()G 00 () + G 0 N()G 0 () V ar(n)( [ ]) 2 + G 0 N() G 00 () + G 0 () G 0 () 2 V ar(n)( [ ]) 2 + [N]V ar( ).

23 Stokastiika perusteet Harjoitukset 5 (Soveltamista) Sytymäpäiväogelma, Birthday problem. Huoeessa o ihmistä. Mikä o todeäköisyys, että aiaki kahdella heistä o sama sytymäpäivä? (Uohdetaa karkauspäivä ja ajatellaa, että jokaie vuode 365 päivästä o yhtä todeäköie sytymäpäivä.) Ratkaisu Hekilöide i,..., sytymäajat voidaa ajatella riippumattomiksi ja joukolla {, 2,...,365} tasajakautueiksi satuaismuuttujiksi,...,,missäsiis i kuvaa siis hekilö i sytymäpäivää liittyvää epävarmuutta/satuaisuutta. Saadaa P( i j jollaki (i, j) 2{, 2,...,} 2 ) P( ) P( x, 2 x 2,..., x ) x2 :x i 6x j 8i6j x2 :x i 6x j 8i6j j 365 Y P( j x j ) {x 2 : x i 6 x j 8i 6 j}. Tehtäväksi jää siis selvittää sellaiste alkioide x (x,x 2,...,x ) lukumäärä, joille x 6 x x,kusallittujearvojejoukolle pätee 365.Tuetusti 365 {x 2 : x i 6 x j 8i 6 j}! (365 +), ku apple apple 365. Ratkaisuksisaadaa P( i j jollaki (i, j) 2{, 2,...,} 2 ) ku apple 365 ja, ku > (365 +) 365, ihmise joukossa useilla täytyy olla sama sytymäpäivä kui jollai toisella. Erää heistä sytymäpäivä o 23.. Mikä o todeäköisyys, että heistä joku toiseki sytymäpäivä o 23..? Ratkaisu: Olkoot jällee,..., 500 riippumattomia ja tasajakautueita satuaismuuttujia arvojoukkoaa {, 2,...,365}. Yleisyyttä

24 meettämättä voidaa olettaa, että tehtäväao hekilöä vastaava satuaismuuttuja o 500.Todetaamyös,ettätasajakautueisuude ojalla tilae ei muutu, jos päivä 23.. korvataa vuode esimmäisellä päivällä. Kysytty (ehdollie) todeäköisyys o site P(o olemassa i s.e. i ) P( i kaikilla i ) P { 500 }\ T 499 i { i 6 } P( 500 ) josta riippumattomuude ojalla saadaa Siispä \ 499 Y499 P { 500 }\ { i 6} P( 500 ) P( i 6) i P( 500 ), i P { 500 }\ T 499 i { i 6 } P( 500 ) Apia istuu tietokoee ääressä ja lyö umpimähkää 50-merkkistä äppäimistöä (josta caps lock poistettu). Oletetaa, että apia tuottaa vuode aikaa teksti, jossa o sata miljooaa merkkiä. Kuika mota kertaa saa "kivi"keskimääri esiityy tekstissä? Ratkaisu: Nelimerkkie merkkijoo sijoittuu 0 8 -merkkisessä joossa (!,...,! 0 8) aia site, että se esimmäise merki! j järjestysumero j kuuluu johoki joukoista A {4k +:k 0,,...,0 8 /4 }, A 2 {4k +2:k 0,,...,0 8 /4 2}, A 3 {4k +3:k 0,,...,0 8 /4 2}, A 4 {4k +4:k 0,,...,0 8 /4 2}. Määritellää satuaismuuttujat i, i,...,4, missä i laskee iide "kivi" -saoje lukumäärä, joille merki k järjestysumero kuuluu joukkoo A i.koskajoukota i ovat erillisiä, ii summassa + 2 +

25 3 + 4 ei tule yksikää saa "kivi"lasketuksi kahtee kertaa. Siis "kivi" -saoje keskimääräie esiitymismäärä o [ ]. Koska jokaie merkki o lyöty umpimähkää, o jokaise lyöi jakauma tasajakauma 50 merki joukossa. Koska lyöit ovat toisistaa riippumattomat, ii eljä lyöi joossa merkkijoo "kivi"todeäköisyys o p Tapauksessa i koko merkkijoossa o 0 8 /4 kappaletta eljä merki jooja, jotka alkavat paikalta j 2 A. Kyseessä o 0 8 /4 toisistaa riippumattoma kokee sarja, joista kussaki saa "kivi" todeäköisyys o p. Paikoiltaj 2 A alkavie "kivi"saoje lukumäärä oudattaa silloi jakaumaa Bi(, p) arvoilla 0 8 /4 ja p /50 4 ja [ ]p 0 8 /4 / Tapauksissa i 2, 3, 4 paikalta j 2 A i alkavia eljä merki jooja mahtuu vai 0 8 /4 kappaletta, jote 0 8 [ i ] , i 2, 3, Siis kaike kaikkiaa "kivi" esiityy tekstissä keskimääri [ ] kertaa Apia kirjailijaa, Mokey o a typewriter, Ifiite mokey problem. Apia istuu tietokoeella kute edellä. Seitsemä veljestä -teoksessa o merkkiä. Osoita, että jos apia voi jatkaa kirjoittamista äärettömä kaua, ii lopulta se o jossai vaiheessa kirjoittaut Seitsemä veljekse saatarka toisio (isot kirjaimet uohtae). Ratkaisu: Jaetaa luoolliste lukuje joukko merki mittaisii erillisii lohkoihi, ts. määritellää joukot B : {,...,M} B 2 : {M +,...,2M}... B + : {M +,...,( +)M}

26 kaikilla, 2,...,missäM Olkoo sitte A : {SV sisältyy äärettömä pitkää merkkijooo} ja A : {SV sisältyy lohkoo B }, A : {SV sisältyy lohkoo B, mutta ei sisälly mihikää edellisistä lohkoista B,...,B } kaikilla 2, 3,...SelvästiA i \ A j ; kaikilla i 6 j. Asetelma perusteella o myös selvää, että [ A A: [! 2 A )! 2 A jollaki, 2,...)! 2 A. Näide huomioide ojalla P(A) P! [ A P(A ), missä P(A )( p) p (vrt. geometrie jakauma) ja p oistumise todeäköisyys. Erityisesti siis 50 M > 0 P(A) ( p) p, jote P(A). 5. Verkkokauppaa tulee keskimääri 40 tilausta päivässä ja hekilökuta ehtii käsitellä 50 tilausta ormaali työpäivä aikaa maaataista suutaihi. Verkkokauppa lupaa asiakkaille, että tilaukset o käsitelty vuorokaude kuluessa tilaukse saapumisesta. Arvioi ylhäältä todeäköisyyttä, että lupausta ei oistuta pitämää ilma ylitöitä. Ratkaisu: Olkoo tilauste määrä yhde päivä aikaa, jolloi 40.Lupauksistaeipystytäpitämääkiii,mikälitilauksiatulee yli 50. Kyseiselle todeäköisyydelle saadaa yläraja soveltamalla Markovi epäyhtälöä: P( >50) apple

27 Tarkempi arvio saadaa, jos voidaa tehdä oletuksia satuaismuuttuja jakaumasta. Jos esimerkiksi Poisso( ),jolle 40, voidaa Chebyshevi epäyhtälöö ojate arvioida P( >50) P( >0) apple P( > 0) apple Var[] Meijeri juustolassa suuresta juustotagosta leikataa kolmiopaloja 245 gramma pakkauksia varte. Ilmakuplie vuoksi samamittaiste paloje paio vaihtelee ja paioraja alittavista paloista tehdää raastetta. Yleesä /20 juustopaloista päätyy raasteeksi. Oletetaa, että ilmakuplie määrät juustopaloissa ovat riippumattomat. Arvioi ylhäältä todeäköisyyttä, että 600 juustopala erästä vähitää 0 % joutuu raastettavaksi. Ratkaisu: Merkitää {0, } 600.Jokaiselle! (!,...,! 600 ) 2 arvo! i tarkoittaa että i:s juustopala raastetaa ja arvo! i 0 tarkoittaa että se pakataa myytii kolmiopalaa. Olkoo raastettavie juustopaloje lukumäärä, Tiedetää, että [] / (!)! i. Kyseessä o 600 Beroulli-jakautuee riippumattoma satuaismuuttuja,..., 600 toistokoe, missä i tarkoittaa että i:s juustopala raastetaa ja arvo i 0tarkoittaa että se pakataa myytii kolmiopalaa. Silloi raastettavie juustopaloje lukumäärä i 600 (!) i, oudattaa biomijakaumaa. Koska [] 600 /20 30 ja 600, ii p /20. Markovi epäyhtälö ojalla Toisaalta, koska ( 0, 600) apple V ar() 600 i [] 0, ,

28 ii Chebyshevi epäyhtälö ojalla ( ) ( 30 30) apple ( 30 30) apple V ar() Vakuutusyhtiölle tulee vuodessa N kappaletta korvaushakemuksia. Luku N o satuaie. Korvauste suuruudet, 2,... (täysiä euroia) ovat samoi jakautueita ja riippumattomat toisistaa sekä korvauste lukumäärästä N. Korvausteodotusarvoo [ ]K>0. Valitse satuaismuuttujalle N jakauma, jolla voisi mallitaa tilaetta ja laske vuode aikaa kertyeide korvauste summa odotusarvo. Ratkaisu: Korvauste lukumäärää kuvaavaa satuaismuuttujaa N voisi mallitaa esimerkiksi Poisso( )-jakaumalla sopivasti valitulla parametrilla >0. Koskavoidaaolettaa,ettäkorvaustelukumääräja yksittäiste korvauste suuruudet ovat riippumattomia, vuode aikaa kertyeide korvauste summa odotusarvolle pätee Harjoituste 4 ojalla " N # i [N] [] K. i Toie mahdollisuus o olettaa, että N oudattaa biomijakaumaa Bi(, p), jossa suuri mahdollie arvo o valittu riittävä suureksi. Jos lisäksi N o riippumato joosta, 2,...,iijällee Harjoituste 4 ojalla " N # i [N] [] pk. i

29 Stokastiika perusteet Harjoitukset 6 (Markovi ketjuja ja kertausta) Tehtävät 3-6 ovat vahoja tettitehtäviä.. Olkoo ( t ) t2{0,,...,t } stokastie prosessi. Osoita, että se o Markovi ketju jos ja vai jos ( t+ s t+,..., 0 s 0 ) ( t+ s t+ t s t ) ( s 0 s 0 ) ( 0 s 0 ) kaikilla t 2{0,,...,T } ja s 0,...,s t+ 2 S,joilla ( t s t,..., 0 s 0 ) > 0. Todistus. Oletetaa, että ( t ) t2{0,,...,t } o Markovi ketju. Olkoo t 2{0,,...,T } ja s 0,...,s t+ 2 S site, että P( t s t,..., 0 s 0 ) > 0. Tällöi ehdollistamalla ja Markovi omiaisuutta toistuvasti soveltamalla saadaa P( t+ s t+,..., 0 s 0 ) P( t+ s t+ t s t,..., 0 s 0 )P( t s t, t s t,..., 0 s 0 ) P( t+ s t+ t s t )P( t s, t s t,..., 0 s 0 ) P( t+ s t+ t s t )P( t s t s t,..., 0 s 0 ) P( t s t, t 2 s t 2,..., 0 s 0 )... P( t+ s t+ t s t )P( t s t t s t ) P( s, 0 x 0 ) ( t+ s t+ t s t ) ( s 0 s 0 ) ( 0 s 0 ) jote ehto tehtäväaossa toteutuu. Oletetaa sitte, että tehtäväao ehto pätee ja äytetää, että ( t ) t2{0,,...,t } o Markovi ketju. Olkoo jällee t 2{0,,...,T } ja s 0,...,s t+ 2 S site, että P( t s t,..., 0 s 0 ) > 0. Tällöi em. ehdo ojalla ( t+ s t+ t s t,..., 0 s 0 ) P( t+ s t+, t s t,..., 0 s 0 ) P( t s t, t s t,..., 0 s 0 ) ( t+ s t+ t s t )P( t s t t s t ) ( s 0 s 0 ) ( 0 s 0 ) P( t s t s t ) P( s 0 s 0 )P( 0 s 0 ) P( t+ s t+ t s t ).

30 2. Olkoo 0 0ja, 2,... joo riippumattomia satuaismuuttujia ja i Ber(p) jollaip 2 (0, ). (a) Osoita, että ( t ) t2{0,,2,...} o Markovi ketju. (b) Selvitä ketju ( t ) t2{0,,2,...} tila-avaruus S ja siirtymätodeäköisyydet p i,j, i, j 2 S. (c) Oko ketju homogeeie? Etä pelkistymätö? (d) Oko matriisilla P (p i,j ) i,j2s ivariattijakaumaa? Jos o, mikä se o? Ratkaisu: (a) Olkoo t 2 {0,,...} ja s 0,...,s t+ 2 S site, että P( t s t,..., 0 s 0 ) > 0. Tällöi riippumattomuude ojalla P( t+ s t+ t s t,..., 0 s 0 )P( t+ s t+ ) jote, 2,... o Markovi ketju. P( t+ s t+ t s t ), (b) Satuaismuuttujille 0,, 2,... pätee joko i 0tai i sillä 0 0 ja i o Beroulli-jakautuut kaikilla i, 2,... Site S {0, }. Siirtymätodeäköisyydet: riippumattomuude ja jakaumaoletukse ojalla ja p (i+) 0, P( i+ i 0)P( i+ )p P( i+ i )p (i+), p (i+),0 P( i+ 0 i )P( i+ 0) p P( i+ 0 i 0)p (i+) 0,0, i 0,,... (c) Siirtymätodeäköisyydet p (i+) 0,,p (i+),,p (i+) 0, ja p (i+) 0,0 eivät b)-kohda ojalla riipu ideksistä i, jote ketju o homogeeie.koska lisäksi kaikki ämä siirtymätodeäköisyydet ovat aidosti positiivisia (p 2 (0, )), jokaisesta tilasta o mahdollista kulkea mihi tahasa tilaa. Ketju o site myös pelkistymätö.

31 (d) Markovi ketju, 2,... siirtymämatriisi o P apple p0,0 p 0, p,0 p, apple p p p p. Oletetaa, että ( 0, ) o ivariatti jakauma. Tällöi määritelmä ojalla 0 P(0) p 0,0 0 + p,0 ( p) 0 +( p) ; P() p 0, 0 + p, p 0 + p. Esimmäisestä yhtälöstä saadaa 0 p p.sijoitustoiseeyhtälöö ei aa lisätietoa, mutta koska o jakauma, o oltava 0 +.Siis 0 + p p + p, jote p, 0 p, jasite ( p, p). 3. Pelataa kolikoheittopeliä, jossa heitetää kahta reilua kolikkoa, eli kummalleki kolikolle kruua todeäköisyys o ja klaava todeäköisyys o.pelaajavoittaaa euroa, jos molemmista tulee kruua 2 2 ja muussa tapauksessa häviää euro. Kuvataa pelaaja tuottoa satuaismuuttujalla :! S. (a) Mitä ovat, ja S? (Kirjoita satuaismuuttuja lauseke.) (b) Mitä ovat jouko todeäköisyysfuktio P ja satuaismuuttuja jakauma P? (Kirjoita P : ja P : lausekkeet.) (c) Mikä a: pitäisi olla, että peli olisi reilu? Ratkaisu: (a) Valitaa {0, } 2,missä0 vastaa klaavaa ja kruuaa yhdessä heitossa. Tuotto o tällöi satuaismuuttuja a jos! (, ) (!) jos! 2{(0, 0), (0, ), (, 0)} ja S {,a}.

32 (b) Jouko todeäköisyysfuktio o fuktio P :! [0, ], jolle P (!) /4 kaikilla! 2 (kolikoheitot ovat riippumattomia ja kolikko o reilu). Satuaismuuttuja jakauma o fuktio P : S! [0, ], jokamääräytyykaavasta /4 jos k a P (k) 3/4 jos k. (c) Peli o reilu, mikäli pätee 0,ts.keskimäärikumpikaaei voita tai häviä rahaa. Luvulle a pätee tällöi 0 P ( ) + ap (a) a 4 () a Olkoot ja Y riippumattomia satuaismuuttujia joukolta joukolle T {, } ja oletetaa, että ja Y ovat tasajakautueita joukossa T. Määritellää lisäksi Z Y. (a) Ovatko ja 2Y riippumattomat? (b) Ovatko satuaismuuttujat V mi{, Y } ja W max{, Y } riippumattomat? (c) Oko kokoelma {, Y, Z} riippumato? Perustele vastauksesi todistuksella tai vastaesimerkillä. Ratkaisu: (a) Ovat. Todistus. Koska ja Y ovat riippumattomat, ii ( 2 A, 2Y 2 B) ( 2 A, Y 2{y 2 T :2y 2 B}) ( 2 A) (Y 2{y 2 T :2y 2 B}) ( 2 A) (2Y 2 B) kaikilla A 2 2 T ja B 2 2 { 2,2}.Siis ja 2Y ovat riippumattomat. (b) Eivät.

33 Todistus. Koska ja (V,W ) (,Y,,Y ) (;) 0 (V ) (W ) (,Y ) (,Y ) ( ) (Y ) ( ) (Y ) 4 2 6, ii (V,W ) 6 (V ) (W ). SiisV ja W eivät ole riippumattomat. (c) Ei ole. Todistus. Koska ja ii (,Y,Z ) (,Y,Y ) (;) 0 ( ) (Y ) (Z ) 2 (Y ) 2 4 (,Y tai,y ) [ (,Y ) + (,Y )] 4 [ ( ) (Y ) + ( ) (Y )] 4 apple , (,Y,Z ) 6 ( ) (Y ) (Z ). Siis kolmikko, Y, Z ei ole riippumato.

34 5. Olkoot ja Y riippumattomia satuaismuuttujia. Satuaismuuttuja todeäköisyydet geeroiva fuktio o G (t) 2 t + 3 t2 + 6 t3 kaikilla t 2 ja Y oudattaa Beroulli-jakaumaa parametrilla p 2 (0, ), elip Y () p ja P Y (0) p. (a) Laske satuaismuuttuja jakauma. (b) Laske satuaismuuttuja odotusarvo G : avulla. (c) Laske satuaismuuttuja +Y todeäköisyydet geeroiva fuktio. Ratkaisu: (a) Kaikilla k 2{0,, 2,...} pätee, että P (k) G (k) o kuvaukse G k:s derivaatta. Koska G (k) (0)/k!, missä ii G 0 (t) t t2 G 00 (t) t G 000 (t) ja G (k) (t) 0, kaikilla k>3, P (0) G (0) 0 P () G 0 (0)/! 2 (b) Odotusarvolle pätee, että P (2) G 00 (0)/2! 2 3 /2 3 P (3) G 000 (0)/3! ja 6 P (k) G (k) (0) 0, kaikilla k>3. [] G 0 ()

35 (c) Koska ja Y ovat riippumattomat, ii myös iide muuokset t ja t Y ovat riippumattomat kaikilla t 2.Silloi G +Y (t) t +Y t t Y t t Y G (t) t 0 P Y (0) + t P Y () 2 t + 3 t2 + 6 t3 ( p + tp) p 2 t + p 3 t2 + 2 t tp + p 6 t3 + 3 t2 tp + 6 t3 tp p 2 t + 2+p 3 t2 + +p 6 t3 + p 6 t4. 6. Olkoot,,..., riippumattomia satuaismuuttujia. Oletetaa, että oudattaa jouko {0, } tasajakaumaa ja että kuki i oudattaa jouko {, 3} tasajakaumaa. Määritellää S + + ja missä 0 i i. S , (a) Määritä satuaismuuttuja 0 jakauma. (b) Ovatko satuaismuuttujat 0,..., 0 riippumattomat? Perustele. (c) Laske (S /) ja (S 0 /). (d) Suppeeeko S / stokastisesti johoki vakioo, ku!? Perustele. (e) Todista, että S 0 / ei suppee stokastisesti mihikää vakioo, ku!. Ratkaisu: (a) Koska ( 0 0) ( 0) ( 0) 2, ( 0 ) (, ) ( ) ( ) ja ( 0 3) (, 3) ( ) ( 3) 2 2 4,

36 ii satuaismuuttuja 0 jakauma joukossa S {0,, 3} o ( ku k 0 2 P (k) ku k, 3. 4 Jakauma voi määritellä myös esimerkiksi joukkoo S {0,, 2, 3, 4,...}, jolloi se o 8 >< ku k 0 2 P (k) ku k, 3. 4 >: 0 ku k 2tai k 4, 5, 6,... (b) Eivät ole. Todistus. Jos 2, ii ( 0 0, 0 2 0,..., 0 0) ( 0) 2 ja ( 0 0) (2 0 0) ( 0 0) ( 0) ( 0) ( 0), 2 jolloi satuaismuuttujat 0,..., 0 eivät voi olla riippumattomat. Jos,ii ( 0 0, 0 ) (;) (0 0) ( 0 ). Siis satuaismuuttuja 0 ei voi olla riippumato itsesä kassa. (c) [S /] [ + + ] ( [ ]+ + [ ]) [ ] [ ] ja koska S 0 S ja ja S / ovat riippumattomat, ii [S/] 0 [ S /] [ ] [S /]

37 (d) Satuaismuuttuja S o riippumattoma ja samoijakautuee satuaismuuttuja,..., summa. Lisäksi [ ] o olemassa ja äärellie ja V ar( ) [ 2 ] ( [ ]) 2 apple [ 2 ] apple [3 2 ]9<. Silloi heiko suurte lukuje lai ojalla S / suppeee stokastisesti kohti vakiota [ ]2. (e) Olkoo x 2.Josx 0,iikaikille0 <"</2 pätee P( S0 x >")P( S >") 2 P( S >" 0)+P( S >" ) 2 P(0 >")+P( S >") /2 kaikilla, 2,...,silläP( S ), jote S0 ei suppee stokastisesti ollaa. Olkoo sitte x 2 \{0} ja olkoo 0 <"< x. Tällöi P( S0 x >")P( S x >") 2 P( S x >" 0)+P( S 2 P( x >")+P( S x >") P( x >") 2 /2 x >" ) kaikilla, 2,...,jote S0 lukuu x 6 0. ei suppee stokastisesti mihikää ) S0 ei suppee stokastisesti mihikää lukuu x 2.

38 Stokastiika perusteet MATA280 Loppukokee tehtävie arvostelusta sekä eräät ratkaisut Läpipääsyraja oli 3 p, joista piti olla tetistä tulleita pisteitä ja loput saivat olla demohyvityspiteitä. Pisteytykse perusteet suurpiirteisesti:. (Eija) (a) Sigma-algebra omiaisuudet p, omiaisuuksie soveltamie p, todistuksessa kaikki oleaiset kohdat p (tai sigma-algebra olettamie potessijoukoksi + todistus,5p) (b) Tarvittavat todeäköisyysmita omiaisuudet p, omiaisuuksie soveltamie p, todistuksessa kaikki oleaiset kohdat p 2. (Eija) Riippumattomuude määritelmä 2p, todeäköisyysmita ja todeäköisyysfuktio yhteys p, todistukse oleaiset kohdat ),5 p, (,5p 3. (Atti) (a) Ehdollise todeäköisyyde määritelmä ja huomio P(A i B) P(B A i)p(a i ) P(B),5p, P(B) P j2i P(B A j)p(a j ) perusteluiee,5p (b) Asetelma kuvailu ja (ehdolliste) todeäköisyyksie määräämie 2p, kysyty ehd. todeäköisyyde laskemie perusteluiee p 4. (Atti) (a) Jakauma laskemie käyttäe tietoa P( k) G (k) (0)/k! 3p, (b) Odotusarvo laskemie kaavaa G 0 () soveltae,5p (c) Toise mometi laskemie huomiomalla, että 2 G 00 () + G0 (),5p 5. (Eija) Stokastie suppeemie 2p, Markovi omiaisuus p, summaa riippumattomista samoi jakautueista satuaismuuttujista 2p, suurte lukuje laki p TAI laskemalla : jakauma: stokastie suppeemie 2p, jakauma lasku 2p, suppeemise todistus 2p.

39 Eräät ratkaisut: Huom. Muitaki hyviä ratkaisuja o olemassa.. Olkoo (, F, ) todeäköisyysavaruus. (a) Osoita, että -algebra F alkioide lukumäärä ei voi olla kuusi. Todistus. Vastaväite: o olemassa sigma-algebra F, jossa o kuusi alkiota. Koska F o sigma-algebra, ii ;2Fja 2F.Koskasigmaalgebrassa F o kuusi alkiota, ii o A 2F, A 6 ; ja A 6.Silloi myös A c 2F. Tässä o vasta eljä alkiota, jote o olemassa vielä B 2F,jolleB 62 {;,, A, A c } ja B c 2F.Siis F {;,, A, A c,b,b c }, missä kaikki alkiot ovat eri joukkoja. Koska sigma-algebra alkioide yhdisteet kuuluvat sigma-algebraa, ii A [ B 2F. Selvästi A [ B 6 ;, koskaa 6 ; ja B 6 ;. Jos A [ B,iiA \ B 6 ;, koskab 6 A c.lisäksia \ B (, A \ B ( A (koska muute A B ja A [ B B ( ) jaa \ B ( B (koska muute B A ja A[B A ( ). Siis (A c [B c ) c A\B 62 F, mikä o ristiriidassa sigma-algebra omiaisuuksie kassa. Jos A [ B A, iib ( A ja B c [ A. Tämä johtaa ristiriitaa kute edellisessä kohdassa. Jos A [ B B, iitilaeovastaavakuiedellisessäkohdassa. Selvästi A [ B 6 A c ja A [ B 6 B c. Siis A [ B 62 F, elif ei olekaa sigma-algebra. (b) Olkoot A,A 2,...2F.TodistaBoole epäyhtälö! [ A i apple i i (A i ). Todistus. Määritellää joukot B,B 2,...2Fasettamalla B A, B 2 A 2 \ A ja ii edellee, B i A i \ i[ j A i A i \ i[ j A i! c A c i [ i[ j A i! c 2F. Olkoo x 2 S i A i.silloix 2 A i jollai i 2.Olkooi piei sellaie ideksi eli x 62 A i ku i,...,i ja x 2 A i.silloi x 2 A i \ S i j A i B i.siis S i A i S i B i.lisäksijoukotb,b 2,... ovat erillisiä ja B i A i,jote! [ A i i! [ B i i i (B i ) apple i (A i ).

40 2. Olkoo (, P) diskreetti todeäköisyysavaruus, S {, 2,...,0} ja :! S sekä Y :! S satuaismuuttujia, joille (!) Y (!) kaikilla! 2. Todista,että ja Y ovat riippumattomat jos ja vai jos o olemassa k 2 S site että (!) k kaikilla! 2 joilla P (!) > 0. Todistus. Olkoo :2! todeäköisyysfuktiota P vastaava todeäköisyysmitta. Osoitetaa esi, että ehto (!) k kaikilla! 2 joilla P (!) > 0 o yhtäpitävää se kassa, että ( k).jos(!) k kaikilla! 2 joilla P (!) > 0, ii ( k) P (!) P (!) P (!) P (!).!2!2 :(!)k!:(!)k,p(!)>0!:p (!)>0 Jos o! 0 2, jollap (! 0 ) > 0 ja (! 0 ) 6 k, ii ( k) ( k) apple ({! 0 }) P (! 0 ) <. Siis ehdosta ( k) seuraa, että (!) k kaikilla! 2, joillap (!) > 0. Oletetaa, että ja Y ovat riippumattomat eli Koska ( k, Y ) ( k) (Y ) kaikilla k,, 2,...,0. ( ) 2 ( ) (Y ) (, Y ) ( ), ii joko ( ) 0tai ( ).Koska! [ 0 ( ) { } 0 ( ) ja ( ) 2{0, }, iioolemassa(täsmälleeyksi)k 2{,...,0}, jolle ( k).. 2 Oletetaa, että o olemassa k 2 S site että (!) k kaikilla! 2 joilla P (!) > 0. Silloi ( k, Y k) ( k) ( k) 2 ( k) (Y k) ja jos 6 k ja m 2 S, ii ja (, Y m) (, m) ( ) 0 ( ) (Y m) ( m, Y ) ( m, ) ( m) 0 ( m) (Y ). Siis ja Y ovat riippumattomat.

41 3. (a) Olkoo (, F, ) todeäköisyysavaruus ja (A i ) i2i F jouko ositus eli kokoelma erillisiä epätyhjiä joukkoja, joilla S i2i A i.oletetaa vielä, että (A i ) > 0 kaikilla i 2 I. TodistaBayesi lause eli että (A i B) (B A i ) (A i ) P j2i (B A j ) (A j ) kaikilla i 2 I. Todistus. Ehdollie todeäköisyys (A i B) o määritelty vai, ku (B) > 0, joteoletetaa, että (B) > 0. Ehdollise todeäköisyyde määritelmä ojalla (A i B) (A i \ B) (B) Koska S j2i A j,ii (A i \B) (A i ) (A i ) (B) (B A i) (A i ). (B) B B \ [ j2i A j [ j2i(b \ A j ). Koska joukot A j, j 2 I, ovaterillisiä,iimyösjoukotb \ A j, j 2 I ovat erillisiä. Siispä! [ (B) (B \ A j ) (B \ A j ) j2i j2i (B \ A j ) (A j ) (B A j ) (A j ) (A i ) j2i j2i ja site (A i B) (B A i) (A i ) (B) (B A i ) (A i ) Pj2I (B A j ) (A j ). (b) Tarkastellaa kahta kolikkoa, joista toie o tavallie ja toie paiotettu site, että kruua todeäköisyys o tavallisella kolikolla ja paiotetulla.valitsetkolikosatuaisesti(elikolikovalituksitulemise 3 2 todeäköisyys o ), heität sitä, ja saat kruua. Osoita, että 2 (valitsit tavallise koliko kruua) 3 5. Todistus. Merkitää b kruua, b 2 klaava, a tavallise koliko valita ja a 2 paiotetu koliko valita. Silloi voidaa valita {(b i,a j ): i, j, 2}. Merkitää A {(b,a ), (b 2,a )} valitsit tavallise koliko ja A 2 {(b,a 2 ), (b 2,a 2 )} valitsit paiotetu koliko.

42 Silloi (A ) (A 2 )/2, A [ A 2 ja A \ A 2 ;. Eli joukkokokoelma (A,A 2 ) o avaruude ositus. Merkitää B {(b,a ), (b,a 2 )} kruua. Tiedossa o, että (B A )/2 ja (B A 2 )/3. Bayesilausee ojalla (B A ) (A ) (A B ) (B A ) (A )+ (B A 2 ) (A 2 ) /2 /2 /2 /2+/3 /2 /4 /4+/6 +2/3 5/ Olkoo (,P) diskreetti todeäköisyysavaruus. Kuvaus G :(, )!, G (t) t3 t 8 5( t), o satuaismuuttuja :! {0,, 2,...} todeäköisyydet geeroiva fuktio. Laske fuktio G avulla satuaismuuttuja (a) jakauma (b) odotusarvo ja (c) eliö odotusarvo [ 2 ]. Muokataa esi fuktio G lauseketta: Koska 7 t 3 t 8 t 3 t 4 + t 4 t 5 + t 5 + t 7 t 9 (t t + ) 7 t ( 3 t), 3 ii Fuktio G G (t) t3 t 8 5( t) P 7 3 t ( t) 5( t) 7 3 t 5. potessisarjassa o äärellise mota termiä, ja site sillä o

43 kaikki derivaatat kaikilla t 2.LasketaasittefuktioG derivaattoja: 7 G 0 (t) 3 7 G 00 (t) G 000 (t) t 5 ( )t 2 5 ( )( 2)t G (4) (t)! ( 4)! t G (k) (t)! ( k)! t k 5, k 3,...,7 k G (k) (t) 0, k 8, 9,... (a) Satuaismuuttuja jakaumalle P Siis pätee, että P (k) G (k) (0)/k!. P (k) ( 0, ku k 0,, 2 tai k 8, 9,... k! (k k)! tk k /k!, ku k 3,..., Satuaismuuttuja oudattaa tasajakaumaa joukossa {3, 4,...,7}. (b) Odotusarvolle pätee, että 7 [] G 0 () (3 + 7) 2 missä käytimme aritmeettise summa kaavaa. (c) Koska ii 5 0, [ 2 ] ( []) 2 V ar() G 00 () + G 0 () (G 0 ()) 2 G 00 () + [] ( []) 2, 7 [ 2 ]G 00 () + [] ( )

44 5. Olkoo (, F, ) todeäköisyysavaruus ja ( t ) t2{0,,2,...}, t :!,stokastie prosessi, joka toteuttaa Markovi omiaisuude ja jolle pätee ( 0 0) ja ( + k k) ( + k + k) 2 kaikilla 0,, 2,... ja k 2,joilla ( k) > 0. Osoita,että / suppeee stokastisesti kohti ollaa. Todistus. Osoitetaa esi, että ( k) > 0 kaikilla k, + 2,..., 2,. Esiäki ( ) ( 0 0) 2 ( 0 0) ( ). Oletetaa sitte, että ( k) > 0 kaikilla k ( ), ( ) + 2,..., 2,. Olkook, +2,..., 2,.Silloivähitää toie luvuista k + ja k kuuluu joukkoo { ( ), ( )+2,..., 2, }. Josseok +,ii ( k) ( k, k +) ( k k +) ( k +) 2 ( k +)> 0 ja jos se o k, ii ( k) ( k, k ) 2 ( k ) > 0. 2 Osoitetaa, että satuaismuuttujat ovat riippumattomie ja samoijakautueide satuaismuuttujie summia. Merkitää Z : kaikilla, 2, 3,..., jolloi Z, 2 Z + Z 2,jaiiedellee, Z + + Z ku.osoitetaaseuraavaksi,ettäsatuaismuuttujatz,z 2,...ovat samoi jakautueita: (Z ) k2 (Z, k) k2 k2, ( k)>0 k2, ( k)>0 ( k +, k) ( k + k) ( k) 2 ( k) 2 ja vastaavasti (Z ) k2, ( k)>0 ( k k) ( k) 2

45 kaikilla, 2,...Sitteosoitammeiduktiolla,ettäsatuaismuuttujat Z,Z 2,... ovat riippumattomia: Olkoot i, j 2 {, }. Silloi (Z 2 i, Z j) ( 2 i + j, j) ( 2 i + j j) ( j) 2 2 (Z 2 i) (Z j). Tehdää iduktio-oletus, että (Z i,...,z i ) (Z i ) (Z i ), kaikilla i,...,i 2 {, }, missä 3. Olkoot i,...,i 2 {, } ja merkitää k j i + + i j.silloi (Z i,z i,...,z 2 i 2,Z i ) ( i + + i, i + + i,..., 2 i + i 2, i ) ( k k,..., k ) ( k,..., k ) ( k k ) ( k,..., k ) 2 (Z i,...,z i ) (Z i ) (Z i ) (Z i ), missä käytimme Markovi omiaisuutta kohda ojalla ja iduktio-oletusta. Koska satuaismuuttujat Z,Z 2,... ovat riippumattomia ja samoijakautueita, ii suurte lukuje lai ojalla Z + + Z! [Z ]. Väite seuraa silloi seuraavasta yhtäsuuruudesta: [Z ] (Z ) + (Z )