2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.

Transkriptio

1 0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C 2 (Ω) harmoie alueessa Ω. Tällöi u saavuttaa suurimma ja pieimmä arvosa jouko Ω reualla Ω. Toistus. Tarkastellaa suurita arvoa. Tehää atiteesi: sup{u(x) x Ω} < sup{u(x) x Ω}. Olkoot m = sup{u(x) x Ω}, M = sup{u(x) x Ω} sekä x 0 Ω site, että u(x 0 ) = M. Olkoo jouko Ω halkaisija Asetetaa δ = iam(ω) = sup{ x y x, y Ω}. v(x) = u(x) + M m 2δ 2 x x 0 2. Tällöi v(x 0 ) = u(x 0 ) = M ja kaikille x Ω o v(x) m + M m δ 2 < M. 2δ 2 Siis fuktio v saavuttaa suurimma arvosa jossaki aluee Ω pisteessä x. Pisteessä x = x o 2 v (x ) 0, jote v(x ) = 2 v x 2 j= (x ) 0. Toisaalta, j x 2 j v(x ) = u(x ) + M m 2δ 2 Atiteesi o siis väärä. 2 = M m 2δ 2 2 > 0. Huomautus 0.2. Toistuksesta käy ilmi, että maksimia koskeva väite pitää paikkasa, vaikka fuktiosta u harmoisuue sijaa oletettaisii vai, että u 0 alueessa Ω. Fuktioita u, jotka toteuttavat tämä epäyhtälö, kutsutaa subharmoisiksi. Vastaavasti, jos u 0 alueessa Ω, kutsutaa fuktiota u superharmoisiksi. Siis, jos u C(Ω) C 2 (Ω) o subharmoie rajoitetussa alueessa Ω, ii u saavuttaa suurimma arvosa jouko Ω reualla Ω. Vastaavasti, jos u C(Ω) C 2 (Ω) o superharmoie rajoitetussa alueessa Ω, ii u saavuttaa pieimmä arvosa jouko Ω reualla Ω. Lause 0.3. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C 2 (Ω). Tällöi o voimassa u(x) sup u(x) + δ2 x Ω 2 sup u(x) kaikille x Ω, missä δ = iam(ω). 4 Viimeksi muutettu

2 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 67 Toistus. Jos sup u(x) =, ii väite o tosi. Olkoo siis sup u(x) <. Kiiitetää x 0 Ω ja asetetaa Tällöi w ± (x) = sup u(x) + x Ω 2 (δ2 x x 0 2 ) sup u(x) ± u(x). w ± (x) = sup u(x) ± u(x) 0 kaikille x Ω, jote eellise huomautukse ojalla w ± saavuttaa pieimmä arvosa reualla Ω. Koska x 0 Ω, saaaa w ± (x) sup u(x) ± u(x) kaikille x Ω. x Ω Tässä oikealla puolella esiiityvä lauseke o ei-egatiivie kaikille x Ω, jote w ± (x) 0 kaikille x Ω. Siis w ± (x) 0 kaikille x Ω. Väite seuraa tästä. Huomautus 0.4. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja f : Ω R sekä g : Ω R jatkuvia. Oletetaa, että reua-arvotehtävällä { u = f Ω:ssa, u(x) = g(x) kaikille x Ω, o ratkaisu u C(Ω) C 2 (Ω). Tällöi eellise lausee ojalla ratkaisulle o voimassa u(x) sup g(x) + δ2 x Ω 2 sup f(x) kaikille x Ω. Tästä seuraa, että ratkaisu o yksikäsitteie, ja että ratkaisu u riippuu jatkuvasti aetuista suureista f ja g. Huomautus 0.5. Vastaava omiaisuus, ratkaisu jatkuva riippuvuus aetuista suureista, ei päe rajoittamattomille alueille. Olkoo Ω = ( π, π ) (0, ). Reuaarvotehtävä 2 2 u = 0 Ω:ssa, u( π 2, y) = u( π, y) = 0 kaikille y > 0, 2 u(x, 0) = g(x) kaikille x ( π, π), 2 2 o helppo ratkaista separoitimeetelmällä. Esimerkiksi, jos g(x) = g (x) = cos x ja o parito kokoaisluku, ii ratkaisu o u (x, y) = cos x cosh y. Tässä mutta jokaiselle y > 0 g = 0, ku, u (, y) = cosh y, ku.

3 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 68 Huomaa, että u ratkaisee myös seuraava alkuarvo- reua-arvotehtävä u = 0 Ω:ssa, u( π, y) = u( π, y) = 0 kaikille y > 0, 2 2 u(x, 0) = g(x) kaikille x ( π, π), 2 2 u y (x, 0) = 0 kaikille x ( π 2, π 2 ). Ratkaisu yksikäsitteisyys voiaa osoittaa huomattavasti yleisemmille elliptisille yhtälöille, mutta ei rajoituksetta. Palautettakoo mielee, että alueessa Ω = (0, a) (0, b) reua-arvotehtävällä 2 u x + 2 u 2 y = λu joukossa Ω, ja 2 u(x, y) = 0 reualla Ω, o ollasta eroavia ratkaisuja, ku ( π λ = λ,m = a Näille λ: arvoille ratkaisuja ovat ) 2 ( mπ ) 2,, m Z+. b u(x, y) = u,m (x, y) = si πx a si mπy. b Lause 0.6. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja a C(Ω). Olkoo u C(Ω) C 2 (Ω) site, että u + a(x)u = 0 Ω:ssa. Oletetaa, että sup a(x) < 2 δ, 2 missä δ = iam(ω). Tällöi, jos u(x) = 0 kaikille x Ω, ii u(x) = 0 kaikille x Ω. Toistus. Sovelletaa lausetta 0.3. Se ojalla kaikille x Ω o u(x) sup u(x) + δ2 x Ω 2 sup u(x) = δ2 2 sup u(x) = δ2 2 sup a(x)u(x). Jos u(x) 0, saaaa oletukse ojalla u(x) δ2 2 sup a(x)u(x) δ2 2 sup mikä o mahotota. a(x) sup u(x) < sup u(x), Lause 0.7. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja a j C(Ω), j = 0,...,, site, että a 0 (x) < 0 kaikille x Ω. Olkoo u C(Ω) C 2 (Ω) site, että u + a j (x) u + a 0 (x)u = 0 Ω:ssa. x j j= Tällöi, jos u(x) = 0 kaikille x Ω, ii u(x) = 0 kaikille x Ω.

4 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 69 Toistus. Tehää atiteesi: o olemassa x 0 Ω site, että u(x 0 ) 0. Voiaa olettaa, että u(x 0 ) > 0. Fuktio u saavuttaa joukossa Ω suurimma arvosa jossaki pisteessä x Ω. Tällöi u(x ) u(x 0 ) > 0. Pisteessä x o jote u(x ) + j= u x j (x ) = 0, Tämä o mahotota, jote atiteesi o väärä. ja 2 u (x ) 0, x 2 j a j (x ) u x j (x ) + a 0 (x )u(x ) a 0 (x )u(x ) < Keskiarvo-omiaisuus. Tarkastellaa aetussa alueessa Ω R harmoisia fuktioita. Olkoo u C 2 (Ω) harmoie. Olkoot x 0 Ω ja R > 0 site, että suljettu pallo B(x 0, R) Ω. Poissoi itegraalia voiaa soveltaa fuktioo x u(x 0 + x), B(x 0, R) R, jolloi saaaa (missä B = B(0, R)) u(x 0 + y) = R2 y 2 ω R Erityisesti, ku y = 0, saaaa u(x 0 ) = R2 u(x 0 + x) S(x) = R2 ω R B x ω R = u(x ω R 0 + x) S(x) = B B u(x 0 + x) S(x), ku y B. x y B ω R u(x 0 + x) S(x) R u(z) S(z). Tässä ω R o R-säteise pallokuore pita-ala, jote saatu itegraali o fuktio u (aritmeettie) keskiarvo pallokuorella. Yllä saatu harmoiste fuktioie keskiarvo-omiaisuus voiaa toistaa käyttämättä Poissoi itegraali. Avuksi tarvitaa vai ivergessilause ja se yksikertaie seuraus. Seuraavassa kuiteki pari muutaki ivergessilausee helppoa seurausta 5. Kaikissa kaavoissa R o ii sileä alue, että ivergessilause toimii, o reua yksikköormaali ja S = S(x) tarkoittaa pitaitegroitia muuttuja x suhtee. ivergessilause: Ku F j C (), j =,...,, ja F = (F,..., F ), ii (0.) iv F x = F S. Greei esimmäie kaava: Ku f C () ja g C 2 (), ii (0.2) f g x = f g S f g x. 5 Greei esimmäie ja toie kaava ovat peräisi George Greei vuoe 828 artikkelista A Essay o the Applicatios of Mathematical Aalysis to the Theories of Electricity a Magetism. Myös ivergessilause oli Greeillä käytössä.

5 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 70 Greei toie kaava: Ku f, g C 2 (), ii ( ) ( (0.3) f g g f x = f g g f ) S. Erityisesti, ku g C 2 (), ii (0.4) g x = g S. Tosi tämä kaava seuraisi suoraa ivergessilauseesta valitsemalla F = g. Lause 0.8. Olkoot Ω R alue ja u C 2 (Ω) harmoie fuktio. Olkoot x 0 Ω ja R > 0 site, että B(x 0, R) Ω. Tällöi u(x 0 ) = u(z) S(z), ja ω R u(x 0 ) = u(x) x. ω R B(x 0,R) Jälkimmäisestä o hyvä huomata, että ω R o R-säteise pallo B(x 0, R) tilavuus, eli myös jälkimmäise kaava oikea puole lauseke o u: aritmeettie keskiarvo. Huomautus 0.9. Eellisessä lauseessa o itse asiassa kaksi keskiarvo-omiaisuutta: pallokuorikeskiarvo-omiaisuus: kaikille x 0 Ω ja R > 0, joille B(x 0, R) Ω, o voimassa (0.5) u(x 0 ) = u(z) S(z), ω R (0.6) ja pallokeskiarvo-omiaisuus: kaikille x 0 Ω ja R > 0, joille B(x 0, R) Ω, o voimassa u(x 0 ) = u(x) x. ω R B(x 0,R) Nämä kaksi keskiarvo-omiaisuutta ovat yhtäpitävät kaikille jatkuville fuktioille u C(Ω). Kirjoitetaa ehto (0.5) muotoo ω ρ u(x 0 ) = u(z) S(z), ku 0 ρ R. Itegroiaa puolittai ρ: suhtee, jolloi saaaa R ( ) ω R u(x 0 ) = u(z) S(z) ρ. 0 Ehto (0.6) seuraa tästä, ku käytetää Fubii lausetta ja pallokooriaatteja.

6 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 7 Vastaavasti, ehosta (0.6) saaaa ehto (0.5), ku Fubii lausee ja pallokooriaattie avulla osoitetaa, että u(x) x = u(z) S(z). ρ B(x 0,ρ) Huomautus 0.0 (Pallokooriaateista). Useampiulotteisessa eukliisessa avaruuessa kaattaa tavalliste apa- ja pallokooriaattie sijaa käyttää seuraavalaista tulkita pallokooriaateille: Piste x R \ {0} esitetää muoossa x = rω, missä r = x (0, ) ja ω = x/r S. Tässä S = {x R x = }. Kuvaus (0, ) S R \ {0}, (r, ω) rω, o helppo toeta homeomorfismiksi. Kuvaus o itse asiassa iffeomorfismi, kuha ifferetioituvuus joukossa (0, ) S määritellyille fuktioille määritellää oikei. Pallokooriaattie käyttö fuktiolle f : R R tarkoittaa seuraavaa, Fubii lausee kaltaista jakoa R ( ) f(x) x = f(rω) S(ω) r r. S B(0,R) 0 Tarkemmi: Jaakko Hyvöe, Classical potetial theory, kirjassa Ilpo Laie ja Olli Martio (toim.), Summer school i potetial theory, Joesuu korkeakoulu, matematiika ja fysiika osasto julkaisuja N:o 5-M, 983. Lausee 0.8 toistus. Olkoot ρ (0, R). Koska u o jatkuva, saaaa itegraalilaskea väliarvolausee ojalla jolleki x B(x 0, ρ) u(x) S(x) = ω ρ u(x ). Ku ρ 0, o siis u(x) S(x) u(x ω ρ 0 ). Riittää siis osoittaa, että fuktio ρ ρ u(x) S(x) o vakio, mikä puolestaa osoitetaa laskemalla tämä fuktio erivaatta ρ: suhtee. Käytetää pallokooiaatteja ρ = x x 0 ja ω = (x x 0 )/ρ S. Fuktio u voiaa tällöi esittää muuttujie ρ ja ω fuktioa, u(x) = u(x 0 + ρω). Nyt u(x) S(x) = u(x 0 + ρω)ρ S(ω), S jote u(x) S(x) = u(x ρ 0 + ρω) S(ω). S

7 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 72 Koska S o kompakti ja u jatkuvasti erivoituva pallossa B(x 0, R), o u(x 0 +ρω) S(ω) = ρ S S ρ u(x 0 +ρω) S(ω) = u(x 0 +ρω) ω S(ω). S Palataa takaisi alkuperäisii kooriaatteihi. Tällöi ω = (x x 0 )/ρ o pia B(x 0, ρ) ormaali pisteessä x = x 0 + ρω, jote u(x) ω = u(x 0 + ρω) ja u(x 0 + ρω) S(ω) = ρ u(x) S(x). ρ S Sovelletaa Greei toista kaavaa (tai se helpompaa versiota) palloo B(x 0, ρ). Tällöi u(x 0 + ρω) S(ω) = ρ u(x) S(x) = ρ u x = 0. ρ S B(x 0,ρ) Siis ρ u(x) S(x) = vakio. Esimmäie väite seuraa toistukse alussa toetulla tavalla itegraalilaskea väliarvolauseesta. Jälkimmäie väite seuraa eellä olleesta huomautuksesta. Keskiarvo-omiaisuuesta puolestaa seuraa harmoisuus. Toistetaa esi kuiteki seuraava maksimiperiaattee tarkeus: Lause 0.. Olkoot Ω R alue ja u C 2 (Ω) fuktio, jolla o keskiarvoomiaisuus (0.5) tai (0.6). Oletetaa, että o olemassa y Ω site, että Tällöi u o vakio. u(y) = sup{u(x) x Ω}. Toistus. Voiaa olettaa, että u:lla o pallokeskiarvo-omiaisuus u(x 0 ) = u(x) x. ω R B(x 0,R) Olkoot M = sup{u(x) x Ω} ja E = {x Ω u(x) = M}. Tällöi E o Ω: (relatiivi-)suljettu osajoukko, joka oletukse mukaa o epätyhjä. Olkoo z E mielivaltaie. Sovelletaa jälkimmäistä keskiarvo-omiaisuutta palloo B(z, r), missä r > 0 o ii piei, että B(z, r) Ω. Koska u(x) M kaikille x Ω, saaaa keskiarvo-omiaisuue ojalla 0 = u(z) M = ω R B(z,r) (u(x) M) x 0. Tästä seuraa, että u(x) = M kaikille x B(z, r), jote B(z, r) E. Siis E o Ω: avoi ja suljettu osajoukko, jote E = Ω. Tällöi u o vakio. Ku eellistä lausetta sovelletaa fuktioo u, ähää, että jos u:lla o keskiarvoomiaisuus alueessa Ω, ii u ei voi saavuttaa pieitä arvoaa Ω sisäpisteessä, ellei u ole vakio.

8 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 73 Lause 0.2. Olkoot Ω R alue ja u C 2 (Ω) fuktio, jolla o keskiarvoomiaisuus (0.5) tai (0.6). Tällöi u o harmoie Ω:ssa. Toistus. Käytetää apua Poissoi itegraalia. Olkoot x 0 Ω ja R > 0 site, että B(x 0, R) Ω. Poissoi itegraali, missä f = u B(x0,R) määrittelee harmoise fuktio v : B(x 0, R) R, jolla reualla B(x 0, R) samat arvot kui u:lla. Olkoo w = u v. Koska u:lla o oletukse mukaa keskiarvo-omiaisuus ja harmoisea fuktioa myös v:llä o keskiarvo-omiaisuus, o fuktiolla w o keskiarvoomiaisuus. Eellise lausee mukaa w ei voi saavuttaa suurita eikä pieitä arvoaa pallo B(x 0, R) sisäpisteissä, jote suuri ja piei arvo saavutetaa kompakti jouko B(x 0, R) reualla B(x 0, R). Mutta reualla B(x 0, R) o w(x) = 0, jote w 0, eli u = v pallossa B(x 0, R). Siis u o harmoie pallossa B(x 0, R). Koska pallo B(x 0, R) oli mielivaltaie, o u harmoie koko Ω:ssa. Huomautus 0.3. Lause voiaa toistaa ilma Possoi itegraaliaki, käyttäe apua lausee 0.8 toistusta. Tässä osoitettii, että ku 0 < ρ < R, ii u(x 0 + ρω) S(ω) = ρ u(x) S(x) = ρ u x. ρ S B(x 0,ρ) Nyt oletukse mukaa kaikille ρ (0, R) o u(x 0 ) = u(x) S(x) = u(x ω ρ 0 + ρω) S(ω), ω S jote fuktio ρ u(x) S(x) = u(x ρ 0 + ρω) S(ω) S o ja vakio ja se erivaatta siis olla. Siis u x = 0. B(x 0,ρ) Jos yt esimerkiksi u(x 0 ) > 0, ii jatkuvuue ojalla u(x) > 0 jossaki pallossa B(x 0, ρ), jote B(x 0 u x > 0, mikä o mahotota keskiarvo-oletukse,ρ) ojalla Haracki epäyhtälö. Lause 0.4. Olkoot Ω R alue ja u C 2 (Ω) harmoie Ω:ssa. Oletetaa, että u o ei-egatiivie. Olkoot x 0 Ω ja R > 0 site, että B(x 0, R) Ω. Tällöi kaikille ρ (0, R) ja kaikille x B(x 0, ρ) o voimassa ( R ) 2 R ρ ( R ) 2 R ρ R + ρ R + ρ u(x 0) u(x) R + ρ R ρ u(x 0).

9 0. MAKSIMIPERIAATE LAPLACE-YHTÄLÖLLE 74 Toistus. Voiaa olettaa, että x 0 = 0. Poissoi itegraali ja keskiarvo-omiaisuue avulla saaaa u(x) = R2 x 2 u(y) ω R x y S(y) R2 x 2 ω R R 2 x 2 ω R(R x ) u(y) ( y x ) S(y) u(y) S(y) R 2 x 2 = ω R(R x ) ω R u(0) ( R ) 2 R + x = R x R x u(0) Jälkimmäie epäyhtälö seuraa tästä. Esimmäie epäyhtälö saaaa vastaavasti, ku huomataa, että u(x) = R2 x 2 ω R R2 x 2 ω R u(y) x y S(y) u(y) ( y + x ) S(y). Seuraus 0.5 (Liouville). Olkoo u: R R ei-egatiivie, harmoie fuktio. Tällöi u o vakio. Seuraus 0.6 (Liouville). Olkoo u: R R rajoitettu, harmoie fuktio. Tällöi u o vakio. Lause 0.7. Olkoot Ω R alue ja u C 2 (Ω) harmoie Ω:ssa. Oletetaa, että u o ei-egatiivie. Olkoo Ω Ω rajoitettu alue site, että Ω Ω. Tällöi o olemassa vakio C, joka riippuu vai alueista Ω ja Ω sekä luvusta site, että sup u C if u. Ω Ω Toistus. Olkoot x, x 2 Ω site, että u(x ) = sup Ω u ja u(x 2 ) = if u. Ω Olkoo γ käyrä, joka yhistää pisteet x ja x 2. Peitetää γ äärellise moella pallolla, joihi voiaa soveltaa lausetta 0.4.