3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

Transkriptio

1 3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee polyomifuktio kuvaaja, paraabeli, se aukeamissuua ja ollakohtie perusteella. Tämä kurssi sisällöissä o esitelty myös paraabeli huipu koordiaattie määrittämie derivaata avulla. Ku esiasteise polyomifuktio yhtälö o saatu esii s. ratkaistussa muodossa y = k + b, ii osataa yleesä ilma pitkiä miettimisaikoja ilmoittaa ko. fuktio kuvaaja oleva ouseva suora, jos k > 0, laskeva suora, jos k < 0. Vielä käsittelemätö kulmakertoime arvo k = 0 tiedottaa suora oleva -akseli suutaise. Toise astee polyomifuktiossa y = a + b + c kertoime a etumerki merkitys hallitaa yleesä hyvi aiaki aukeamissuua suhtee. Lisäksi o hyvä oppia tuistamaa, että itseisarvoltaa suuri a kertoo kuvaaja oleva kapea ja taas paraabeli oleva sitä leveämpi, mikä lähempää ollaa a o. Ku ryhdytää käsittelemää korkeampaa astetta olevia polyomifuktioita, o hyvä muistaa, että vastaava yhtälö juurie lukumäärä voi olla eitää yhtälö asteluku, mikä puolestaa ilmoittaa kuvaaja ja -akseli leikkauspisteide lukumäärä ja sijaii, jos yhtälö o osattu ratkaista. Pelkkä ollakohtie tietämie (joita välttämättä ei edes ole yhtää) ei vielä paljo auta tilateessa, jossa kuvaaja tulisi hahmotella. O esiksiki syytä oppia sisäistämää se yleie tosiasia, että polyomifuktiossa korkeimma astee termi etumerkillä o vahva vaikutus kuvaaja muotoo oi pääpiirteissää. Jos tähä tietoo vielä pystytää yhdistämää derivaata merki yhteys fuktio aitoo kasvamisee/väheemisee, sekä ymmärtämää, että derivaata merki vaihtuessa myös fuktio kasvusuuta vaihtuu, jolloi voidaa määrittää fuktio s. paikalliset ääriarvot, ii kuvaaja piirtämisee vaadittava tietämys o kasassa. Selvitetää esi, mikä merkitys o polyomifuktio korkeita astetta oleva termi kertoime etumerkillä. Oletetaa siis, että fuktio määrittelyjoukkoa o koko reaalilukuje joukko R ja että fuktio o määritelty vai yhdellä lausekkeella, jolloi ilma muuta tiedetää fuktio oleva derivoituva ja jatkuva. Suljetaa aiaki tässä vaiheessa tarkastelu ulkopuolelle s. paloittai määritellyt fuktiot.

2 ****************************************************************** LAUSE 8 Tod. Olkoo P koko R:ssä määritelty polyomifuktio, jossa > 3. Fuktiolla P: P () = a + a a + a0 ei ole suurita eikä pieitä arvoa, jos o parito ei ole suurita arvoa, mutta o absoluuttie miimiarvo, jos o parillie ja a positiivie ei ole pieitä arvoa, mutta o absoluuttie maksimiarvo, jos o parillie, mutta a egatiivie. Olkoo parito: lim P() = lim P() = lim lim (a (a + a + a a a + a0 ) a + = 0 ) a. = a Raja-arvo äärettömyydessä o itseisarvoltaa ääretö tai miiusääretö, mutta samamerkkie kui kerroi a. Samoi o raja-arvo miius-äärettömyydessä itseisarvoltaa ääretö, mutta vastakkaismerkkie kui kerroi a. Toisessa päässä reaaliakselia fuktio arvot kasvavat yli kaikkie rajoje ja toisessa päässä e väheevät. Mitää yksikäsitteistä suurita tai pieitä arvoa ei ole. Olkoo parillie ja a positiivie lim P() = lim (a + a a lim P() = lim (a + a a a + a ) = a ) = a = = Ku muodostetaa fuktio P derivaatta, tämä asteluku o parito. Hyvi pieillä : arvoilla P o egatiivie ja P aidosti väheevä. Hyvi suurilla : arvoilla P o positiivie ja P aidosti kasvava. (lausee esimmäie kohta) Saattaa olla, että derivaatta P vaihtaa

3 merkkiää useitaki kertoja, mutta koska P o jatkuva suljetulla välillä, joka alkupiste o derivaata piei ja loppupiste derivaata suuri ollakohta, ii fuktio P saa tällä välillä suurimma ja pieimmä arvosa. Näistä pieimmistä arvoista yksi o fuktio absoluuttie miimiarvo. Fuktio P ei site voi saada arvoa. Olkoo parillie ja a egatiivie lim P() = lim P() = lim lim (a (a + a + a a a + a + 0 ) = a a 0 ) = a = = Fuktio P ei yt voi saavuttaa arvoa +, mikä todistetaa vastaavasti kui tapaus, missä o parillie ja a positiivie. ****************************************************************** Esim. Fuktio P asteluvu ja korkeita astetta oleva termi kertoime etumerki mukaa voidaa pääpiirtei hahmotella aiva tuistettavasti polyomifuktioide kuvaajia: a < 0 a > 0 Esim. Kolmae astee polyomifuktio

4 a < 0 a > 0 Esim. Neljäe astee polyomifuktio Esim. Viidee astee polyomifuktio. Oko a < 0 vai > 0? Palautetaa mielii fuktio paikallise ja absoluuttise arvo määritelmä:

5 ****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 9 Fuktio f saavuttaa jollaki välillä (voi olla avoi tai suljettu, mahdollisesti koko R) (globaalise) absoluuttise maksimiarvo pisteessä 0, jos väli jokaisessa pisteessä f( 0 ) > f(). Jos yhtäsuuruus suljetaa pois, puhutaa aidosta maksimiarvosta. Tällaisesta : arvosta käytetää imitystä maksimipiste tai maksimikohta. Saotaa edellee, että fuktiolla o pisteessä 0 paikallie maksimiarvo, jos o olemassa joki pistee 0 ympäristö, joka jokaisessa pisteessä f( 0 ) > f(). Käätämällä sopimuksissa esiityvät epäsuuruusmerkit toisi päi tullaa määritelleeksi absoluuttie miimiarvo ja paikallie miimiarvo. ****************************************************************** Edellä käsiteltyje asioide ojalla o ilmeistä, että paikalliste ääriarvoje määrittämie o kiiteässä yhteydessä derivaattaa. Oha selvitetty, että jos fuktiolla o paikallie ääriarvo pisteessä c ja fuktio o derivoituva tässä pisteessä, ii f (c) = 0. Ei kuitekaa ole täysi selvää, oko fuktiolla tällaisessa pisteessä paikallie maksimi vaiko miimi ja oko derivaata ollakohdassa sitte aia ääriarvo? Lieee kuiteki ymmärrettävissä, että jos fuktio jossaki pisteessä muuttuu kasvavasta väheeväksi ja o tässä pisteessä jatkuva, ii kyseisessä pisteessä fuktiolla o paikallie maksimiarvo. Vastaavasti fuktio muuttuessa väheevästä kasvavaksi, fuktiolla o tällaisessa pisteessä miimiarvo, kuha fuktio vai o jatkuva. Tulokset voidaa koota lauseeksi: ****************************************************************** LAUSE 9 Olkoo f jatkuva fuktio välillä I. Tällöi väli I pisteessä c fuktiolla f o paikallie maksimiarvo f(c), jos o olemassa pistee c ympäristö, jossa f () > 0, ku < c f () < 0, ku > c. Fuktiolla f o pisteessä c paikallie miimiarvo f(c), jos o olemassa pistee c ympäristö, jossa f () < 0, ku < c

6 f () > 0, ku > c. Tod. : Jälkimmäie tapaus: < c, fuktio f aidosti väheevä c > c, fuktio f aidosti kasvava. Pisteessä = c fuktio muuttuu aidosti väheevästä aidosti kasvavaksi, jote f(c) o paikallie miimiarvo (voi olla absoluuttieki miimi). Huomaa, että pisteessä = c fuktio ei tarvitse olla derivoituva, mutta pistee c ympäristössä derivoituvuus oletetaa. Kuiteki, jos f o derivoituva myös pisteessä c, ii f (c) = 0. Huomaa myös, että ellei derivaatta vaihda merkkiää pisteessä = c, ii f(c) ei ole ääriarvo. ****************************************************************** 3 3 Esim.. Piirrä pääpiirtei fuktio P: P() = kuvaaja. P() o polyomifuktioa kaikkialla R:ssä derivoituva ja site jatkuva. Edellee P 3 3 () = = 3( + ). Merkitsemällä derivaatta ollaksi joudutaa kolmae astee yhtälöö, mikä voi olla vaikea asia. Kurssissa MAA o tutustuttu siihe, että jos korkeamma astee ormaalimuotoisella yhtälöllä o juuri, ii vasempaa puolea oleva polyomi o jaollie tutemattoma ja juure erotuksella. Yhtälöstä P 3 () = 0 3( + 3 ) = 0 + = 0 3 ähdää heti, että = o yksi juuri. Triomi + tulee tällöi olla tasa jaollie biomilla. Ku jako suoritetaa, saadaa osamääräksi + + ja derivaatta o esitettävissä tuloa P () = 3( )( + + ),

7 missä jälkimmäisellä tekijällä ei ole ollekaa ollakohtia, sillä yhtälö + + = 0 diskrimiatti D = = 8 = < 0. Derivaata merki määrää tällöi tekijä yksi. Laaditaa kuiteki derivaata merkkikaavio: 3( ) = P () + P() väheee aidosti kasvaa aidosti P() = = ja tämä o paikallie miimi ja samalla aioaa ääriarvoa myös absoluuttie miimi. Piirtämistä varte lasketaa vielä joitai irtopisteitä taulukkoo: 0 ½ ½ P() Huomaa, että seuraava sivu kuvaaja ei ole paraabeli, vaikka joki verra sellaiselta äyttää. Kuva o otettu vai hyvi kapealta -akseli väliltä, sillä fuktio arvot kasvavat hyvi jyrkästi, ku kasvaa (tai meee egatiivise -akseli suutaa).

8 ,5,5 Kuva Esim.

9 Muioi, suuillee sukupolvi ajassa taaksepäi, K. Väisälä laajasti käytössä olleessa oppikirjassaa pääsi kasvamisee ja väheemisee yksikertaisesti. Seuraavassa laiaus tästä asiasta: Jos jossaki kohdassa tageti kulmakerroi o positiivie, ja siis tagetti oikealle ouseva, ii fuktio o kasvamaa päi eli, kute lyhyesti saotaa, kasvaa siiä kohdassa. Jos taas kulmakerroi o egatiivie, ja siis tagetti laskee oikealle, ii fuktio väheee siiä kohdassa. Ottamalla huomioo, että tageti kulmakerroi = derivaatta, saadaa äi Lause 85: ) jos f ( 0 ) > 0, ii fuktio f kasvaa kohdassa = 0, ) jos f ( 0 ) < 0, ii fuktio f väheee kohdassa = 0. Huom. Mitä suurempi derivaata itseisarvo o, sitä jyrkemmi fuktio kasvaa tai väheee kohdassa = 0. Ääriarvokohtia etsittäessä joutuu melkei poikkeuksetta ratkaisemaa yhtälö f () = 0 ja se jälkee selvittämää jokaise derivaata ollakohda osalta eriksee, vaihtaako derivaattaa tällaista kohtaa ohitettaessa merkkisä vai ei. Tavaomaie meettely o laatia derivaata merkkikaavio, kute edellä käsitellyissä esimerkeissä o tehty. Muioi rusaasti viljelty keio derivaata merkkitutkimuksessa oli ollakohtie selvittämise jälkee poimia jokaisesta alueesta, joho derivaata ollakohdat fuktio määritysjouko jakoivat, yksi : arvo ja laskea derivaata arvo tällä : arvolla. Derivaatta (jatkuvaa fuktioa) o tieteki samamerkkie koko sillä määritysjouko osavälillä, jolta ko. mielivaltaie muuttuja arvo oli poimittu. Ku fuktio o derivoitu, saatu derivaatta voidaa usei derivoida uudellee. Tällöi puhutaa fuktio toisesta derivaatasta, derivaata derivaatasta f ( ). Voidaa ilma muuta pitää selvää, että ku f (0) > 0, ii fuktio f () o aidosti kasvava pisteessä = 0. Kysymys siitä, oko jossaki derivaata ollakohdassa ääriarvo ja myöteisessä tapauksessa mite saada selville se laatu, voidaa joskus mukavastiki ratkaista seuraava lausee ojalla:

10 ****************************************************************** LAUSE 30. Olkoo f derivoituva fuktio välillä I. Jos f (0) = 0 ja f (0) > 0, ii f (0) o paikallie miimiarvo, f (0) < 0, ii f (0) o paikallie maksimiarvo, f (0) = 0, ii o turvauduttava vaikkapa lauseesee 7.9, koska asia jää tämä tiedo varassa täysi auki. Tod. : f (0) > 0 f () o aidosti kasvava pisteessä = 0. Koska f (0) = 0, ii fuktio f () o vaihdettava merkkisä egatiivisesta positiivisee ko. kohtaa ohitettaessa, mikä ataa varma tiedo siitä, että itse fuktio f muuttuu tällöi väheevästä kasvavaksi. Tapaus f (0) < 0 todistetaa vastaavasti. Tieto f (0) = 0 kertoo se, että pisteessä 0 derivaatta f () ei kasva eikä vähee, eikä tästä saada mitää iformaatiota derivaata f () käyttäytymisestä pistee 0 eri puolilla. Asia sarjakuvia f () > 0 f (0) = 0 f (0) paikallie miimi ****************************************************************** Kute edellä o saatettu todeta, ja syytä o tarkoi mielee paa se tosiasia, että ääriarvo laatu o aia selvitettävä ja sitovasti, Millä tavoi se teet, o aiva sama tekevää; edellä o esitelty kolmeki keioa. Näistä o vai opittava

11 valitsemaa tarkoituksemukaisi, ja tilae riippuu paljolti tutkittavasta fuktiosta. Polyomia derivoitaessa jokaie derivoiti pudottaa astelukua yhdellä ja vie aia yksikertaisempaa suutaa. Lausee 7.30 käyttö voi olla hyviki tarkoituksemukaista tällöi. Ratioaalifuktio perättäie derivoiti puolestaa johtaa hakalii lausekkeisii, jote ratioaalifuktio tapauksessa saattaa olla viisasta pyrkiä derivaata merkkikaavio laatimisee. Esim. 3. Tutki fuktiota y = ( + )( ) paikalliste ääriarvoje määrittämise kaalta. Fuktio o tulomuodossa, mutta saatettavissa polyomiksi, ja derivaatta o olemassa kaikkialla R:ssä. O kuiteki käytettävä tulo derivoitikaavaa, ellei halua kertoa sulkuja auki. Kummassa säästyee eemmä työtä? y = ( y = ( = = 8 + )( )( ) + ( 3 ) ) = y = = 6( + ) = Derivaata ollakohtia voi olla vaikea määrittää, ehkä iitä ei lukiotiedoilla edes löydä. Kolmae astee polyomifuktio omiaisuuksie ojalla voi kuiteki varmaksi saoa, että iitä o aiaki yksi (mite ii?). Derivoidaa uudellee: y 3 = Yhtälöllä y = 0 ei ole ollekaa juuria, sillä yhtälö + = 0 diskrimiatti D = 6 = 5 < 0. Ku toise derivaata kuvaaja y ( ) o ylöspäi aukeava paraabeli, jolla ei ole ollakohtia, ii jokaisella : arvolla y () > 0, ja site o derivaatta y 3 = kaikkialla aidosti kasvava ja saa kuki arvosa aioastaa yhde kerra. Yhtälölle y 3 () = = 0 löydetää yksi juuri väliltä [0, ], sillä y(0) = < 0 ja y() = 9 > 0. Ke tahtoo, voi haarukoimalla etsiä tämä

12 juure likiarvo mite tarkasti vai haluaa, ja voidaa lisäksi todistaa, ettei tämä juuri ole ratioaalie. Tässä esimerkissä ei kyetä ollekaa ratkaisemaa yhtälöä y () = 0, mutta toise derivaata avulla kyetää osoittamaa, että derivaatalla y () o täsmällee yksi ollakohta, missä se vaihtaa merkkisä egatiivisesta positiiviseksi. Tämä taas kertoo se, että fuktiolla y o täsmällee yksi paikallie ääriarvo, joka samalla o absoluuttie miimi. Se suuruutta ei määritetty, mutta se likiarvo voi etsiä halutulla tarkkuudella, ke tahtoo. Pae työkaluvarastoosi aia tarvittaessa käsille otettavaksi keio, derivaattaa (y ) voi tutkia derivaata derivaata (y ) avulla. Tällä keiolla pääsee moesti ratkaisuu differetiaalilaskea vaikeimmissa, teoria syvällisempää ymmärtämistä vaativissa tehtävissä. 3 Esim. Osoita, että yhtälöllä = o täsmällee kolme ratkaisua. Huomaa, että tehtävässä ei käsketä ratkaista yhtälöä, ei keties voikaa, vaa o osoitettava kolme juure olemassaolo. 3 Tärkeä ekvivalessi: yhtälöllä = 0 o juuri 3 fuktiolla P() = o ollakohta. Siirrytää tutkimaa koko R:ssä derivoituvaa ja site jatkuvaa fuktiota P(), jolle P () = = 3( + 3) P () = = 0 = tai = 3. P () = 3( ) = 6( ) P () = 6( ) < 0, jote P() = 3 o paikallie maksimi. P (3) = 6(3 ) > 0, jote P(3) = o paikallie miimi. Ku lähtee kasvamaa :stä, ii fuktio P aidosti kasvaa aia : arvoo = saakka. Alueessa < ei voi olla kui yksi ollakohta. Koska heti ähdää, että P(0) =, ii yksi ollakohta varmasti o välillä 0 < <.

13 Fuktio o aidosti väheevä välillä < < 3 ja ku P(3) =, ii ko. välillä myös o täsmällee yksi ollakohta. Ku > 3, ii P o aidosti kasvava. Koska P() = 95 > 0, ii täsmällee yksi ollakohta löytyy vielä väliltä 3 < <. Useampia ollakohtia ei voi olla, mikä voidaa sitovasti ataa tiedoksi jo yhtälö asteluvu perusteella. 3 Fuktiolla P() = o kolme ollakohtaa, mikä o 3 yhtäpitävää se kassa, että yhtälöllä = 0 o kolme ratkaisua. Huomaa, että derivaatasta o apua. Jos imittäi tiedettäisii, että jatkuvalla fuktiolla o jollaki suljetulla välillä erimerkkiset päätepistearvot, ii tästä voi päätellä ilma tietoa derivaata merkistä vai se, että tällä välillä o vähitää yksi ollakohta. Toisaalta jollai fuktiolla voivat joki väli päätepistearvot olla samamerkkiset ja fuktiolla silti olla ollakohta tällaisella välillä. Tätä voi olla vaikea havaita, jos väli o kovi kapea. Alla sarjakuvia: Esim. 5 Määritä vakio a site, että yhtälöllä a = 0 o täsmällee kaksi ratkaisua. Yhtälöllä a = 0 o täsmällee kaksi ratkaisua Polyomifuktiolla P() = a = 0 o täsmällee kaksi ollakohtaa. P o derivoituva ja site jatkuva koko R:ssä. Derivaatta P () = 3 3 saa arvo olla, ku = tai =. Derivaata merkkikaavio P () + + P() kas väheee kas

14 mukaisesti P( ) = a + o paikallie maksimiarvo ja P() = a o paikallie miimiarvo. Jotta fuktiolla olisi täsmällee kaksi ollakohtaa, o joko paikallise maksimi- tai paikallise miimiarvo oltava tasa olla. Täte saadaa vakio a määrittämiseksi kaksi yhtälöä. a = 0 tai a + = 0, joista ratkaisut a = taikka a =. Pääpiirteiset kuvaajat. Huomaa, että jos olisi edellytetty aetulle yhtälölle vai yhtä ratkaisua, tulisi paikalliste ääriarvoje kumpaiseki olla samamerkkiset. Kolme juure tapauksessa paikalliste ääriarvoje tulisi olla erimerkkiset. Yksi ratkaisu kolme ratkaisua