ELEC-A700 Signaalit ja järjestelmät Professori Riku Jäntti
Luento 3. Lineaariset aikainvariantit (LTI) järjestelmät taajuusalueessa Signaalin suodattaminen Epälineaariset muistittomat järjestelmät Satunnaissignaalit Kvantisointi Kohina
http://www.hi-fiworld.co.uk/loudspeakers/69/9-frequency-response.html Järjestelmät taajuusalueessa Signaalien suodattaminen
Lineaariset aikainvariantit järjestelmät Linear Time Invariant (LTI) Systems x(t) h(t) Jatkuva-aikaisen LTI-järjestelmän toimintaa kuvaa lineaarinen differentiaaliyhtälö n n, m m, d d d d yt () <, a yt (), Κ, ayt () n b0 ut () b ut () Κ but () n n, m m, m dt dt dt dt y(t) jossa n on järjestelmän kertaluku Jos m n, niin järjestelmä on aito (proper): Vaste ei riipu herätteen derivaatasta d/dt u(t) Jos m<n, niin järjestelmä on vahvasti aito (strictly proper): Tulosuuren u arvo ajanhetkellä t, u(t), ei vaikuta lähtösuureen y arvoon ajanhetkellä t, y(t). 4
Lineaariset aikainvariantit järjestelmät Linear Time Invariant (LTI) Systems Taajuusalueen esitys X(f) H(f) n n, m m, d d d d yt () <, a yt (), Κ, ayt () n b0 xt () b xt () Κ b () n n m m mxt,, dt dt dt dt ο ( ο ( Κ ο ( ο ( n n m m, n 0 m, ο (... n ο ( ο ( Y(f) j f Y( f ) <, a j f Y( f ),, a Y( t) b j f X ( f ) b j f X ( f ) Κ b X ( f ) Y( f ) b j f bm < n X ( f ) j f a j f... a n? H ( f ) m H ( f ) < A( f ) e A( f ) < H ( f ) jε ( f ) ζ ε( f ) < arg H ( f ) Siirtofunktio Amplitudivaste Vaihevaste 5
LTI-järjestelmä aika- ja taajuusalueissa LTI-järjestelmä aika-alueessa x(t) h(t) ( ( y() t < h σ x t, σ dσ, LTI-järjestelmä taajuusalueessa Konvoluutio aika-alueessa Kertolasku taajuusalueessa X(f) H(f) Y( f) < H( f) X( f) 6
LTI-järjestelmän taajuusvaste x() t < cos 0log 0 ( H(f) ) Magnitude (db) οft( Boden diagrammi: 0-0 -0-30 -40 0 H(f) Bode Diagram ο ε ( y( t) < A( f)cos ft ( f) Taajuus ei muutu Amplitudi ja vaihe muuttuu taajuuden funktiona Teho vaimennus arg{h(f)} Phase (deg) -45 Vaihesiirto -90 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/sec) 7
Vaiheviive ja ryhmäkulkuaika Vaiheviive: Yksittäisen taajuuskomponentin näkemä viive td ( f) < ( f) ο f ε Ryhmäkulkuaika: Vaiheen muutos taajuuden funktiona. Jos ryhmäkulkuaika on vakio halutulla kaistalla, niin kaikki kaistan taajuuskomponentit viivästyvät saman verran. d tg ( f) < ( f) ο df ε 8
Ryhmäkulkuaika esimerkki Esim.. kertaluvun järjestelmä H( f) < iο f Ryhmäviive on lähes vakio tällä kaistalla. 0.9 A( f ) < 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 ζ ε( f) <, arg H( f) < arctan( ο f) 0.3 0. 0. d d tg( f) < ε( f) < arctan( ο f) < ο df ο df ο f 0 0-3 0-0 - 0 0 0 ( 9
Ryhmäkulkuaika esimerkki Esim. Kanttipulssi kulkee. kertaluvun järjestelmän läpi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 0-3 0-0 - 0 0 0 f 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. T=00 T=0 T= 0 0 0. 0.4 0.6 0.8..4.6.8 t/t /00 /0 / 0
Stabiilisuus LTI-järjestelmän Laplace-muunnos n n, m m, d d d d yt () <, a yt (), Κ, ayt () n b0 xt () b xt () Κ bxt () n n, m m, m dt dt dt dt s Y f <, a s Y f,, a Y t b s X f b s X f b X f n n m m, ( ) ( ) Κ n ( ) 0 ( ) ( ) Κ m ( ) m, Y( f ) bs... bm < n n X ( f ) s a s... a n (? H ( s) Navat p i, i=,,,n p Osamurtokehitelmä N N ( ( np ( n s a s... a < s, p s, p... s, p n n ( np Ni Cij H() s < K i< j< i s, p ( j N np
Stabiilisuus LTI-järjestelmä on asymptoottisesti stabiili, jos sen impulssivaste h(t) toteuttaa ehdon, h σ( dσ ; Laplace-käänteismuunnos: np N, ( i Cij h() t < L ζ H() s < L K i< j< i np Ni Cij j, pt < K t e i i< j< j,! ( s, p ( j Järjestelmä on asymtootisesti stabiili vain jos Re{p i <0}
Stabiilisuus ja siirtofunktio H(f) Siirtofunktio / taajuusvaste H( f ) < H ( ( j ο f ) s < jο f Jos järjestelmä on stabiili, niin ζ H( f) < F h( t) < H ( ( j ο f) H(f) voidaan kuitenkin aina tulkita vasteeksi sini-muotoiselle signaalille riippumatta onko järjestelmä stabiili tai ei ο ζ ( y( t) < H( f)cos ft arg H( f) 3
Taajuusalueen stabiilisuus analyysi Takaisinkytketty järjestelmä, jonka avoimen silmukan siirtofunktio on H(f) Sillä taajuudella, jolla vaihe leikkaa -80 vahvistuksen pitää olla 0log0(A(f))<0 db Vahvistusvara: Kuinka paljon vahvistusta voidaan kasvattaa ennen kuin takaisinkytketystä järjestelmästä tulee epästabiili Vaihevara: Kuinka paljon vaihetta voidaan jätättää ennen kuin järjestelmästä tulee epästabiili E( f ) + - H(f) U ( f ) Y ( f ) Boden vahvistuskäyrä 0 db Vahvistusvara -80 Vaihevara 4
A third-order low-pass filter (Cauer topology). The filter becomes a Butterworth filter with cutoff frequency ω c = when (for example) C =4/3 farad, R 4 = ohm, L =3/ henry and L 3 =/ henry. https://en.wikipedia.org/wiki/low-pass_filter Signaalin suodattaminen
Signaalin suodattaminen Mihin suodattimia tarvitaan? Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden vaimentaminen Sovitettu suodatin signaalikohinasuhteen maksimoimiseksi näytteenottohetkellä Signaalien erottaminen muista signaaleista esim. radiovastaanottimessa Halutun pulssimuodon tai -spektrin generoiminen Siirtokanavan aiheuttamien lineaaristen vääristymien korjaus Alkuperäisen signaalin rekonstruktio näytteistä Dupleksisuodattimet (ylä- ja alasuunnan liikenteen erottaminen omille kaistoilleen) Esikorostus/jälkikorjausmenetelmät Peilitaajuussignaalin vaimentaminen superhetero- dyneperiaatteella toimivassa radiovastaanottimessa jne Y( f) < H( f) X( f) 6
Ideaaliset alipäästö-, ylipäästö- ja kaistanpäästösuodattimet Alipäästösuodatin H( f) A Kaistanpäästösuodatin H( f) A Päästökaista Ylipäästösuodatin H( f) A f Päästökaista Kaistanestosuodatin H( f) A f Estokaista f Estokaista f 7
Käytännön suodattimet KÄYTÄNNÖN SUODATIN 0log A(f) ΧA p Suodatinperheitä -0 db -0 db -30 db -40 db ΧA e Selektiivisyys päästökaista ylimenokaista estokaista 8
Käytännön suodattimet Esimerkki kaupallisesta Butterworth suodattimesta http://fi.mouser.com/images/texasinstruments/lrg/ti_soic_8.jpg 9
https://en.wikipedia.org/wiki/audio_power_amplifier#/media/file:unitra_ws- 503_arch_%8%9.jpg Epälineaariset järjestelmät
Muistiton epälineaarisuus Epälineaarinen funktio f x(t) f( ) y(t) Taylor-sarja 3 y < f( x0) f '( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0(...! 3! 4! < x x x... 3 0 3 Kertolasku aika-alueessa => Konvoluutio taajuusalueessa ( Y( f) < χ f X( f) X( f) X( f) X( f) X( f) X( f)... 0 3
Särö Muistiton epälineaarisuus synnyttää harmoonisia yliaaltoja x(t) οft( xt () < cos x f( ) y(t) 0 k< ο ( yt ( ) < u u cos kft k x Särökerroin Kokonaissärökerroin (THD) u a n, dn < A, A;; u n n n, a Särövaimennus An <, 0log dn ( tot u u3 u4 u5 3 4 5... u d < d d d d <... Kuuntele säröä: http://en.wikipedia.org/wiki/file:distortion_effect.ogg
Keskinäismodulaatio Kaksi eritaajuista signaalia sekoittuu epälineaarisessa järjestelmässä f, f x(t) x x f( ) y(t) f < lf mf x x x keskeis l m < n l <...,,,,,0,,,... m<..,,,,,0,,,... 3
Epälineaarisuuden karakterisointi Epälineaarisia komponentteja kuten tehovahvistimia mallinnetaan usein matala-asteisilla polynomeilla ( 3 f( x()) t ax() t a3x t Mallin parametrit selvitetään usein käyttäen ns. two-tone testisignaalia x( t) < Acos ϖt Acos ϖ t ( ( Teho spektri (db) f f f -f f f f +f 4
( 3 y() t ax() t a3x t a a 3 < 0 G 0 IP3 G, 3 0 0 <, 0 3 IP3 3 Output power (dbm) IM < P P t t IP 3 Input power IP 3 IM 3 5
Satunnaissignaalit Kohina
Satunnaissignaalit Satunnaisen signaalin käyttäytymistä tulevaisuudessa ei voida tarkasti ennustaa. Voidaan vain esittää todennäköisyys sille, että amplitudi on jollakin amplitudivälillä ζ Pr xt () x < F(;) xt Satunnaissigaali on stationäärinen mikäli sen tilastolliset ominaisuudet eivät riipu ajasta x Amplitude 8 6 4 0 - -4 0 50 00 50 00 Time 8 6 4 Keskihajonta ρ= Oletusarvo λ=3 0 - -4 PDF 0 0.05 0. 0.5 0. 7
Kvantisointi Analogia digitaalimuunnoksessa analogia signaali kvantisoidaan Esim. Tasavälinen kvantisoija: kvantisointitasojen lukumäärä M Signaalin amplitudin dynaaminen alue [-A.A] x A QM Ζx < A M, x < floor( x) M,, Pyöristys alaspäin A A Χ x < < Kvantisointitasojen väli M M, Χ x x 8
Kvantisoinitkohina Kvantisointikohinaa mallinnetaan tasajakaumalla e(t)=q[x(t)]-x(t) approx ~U(-Χx/,Χx) Todennäköisyystiheys (probability density function) e f ( ( e) < rect et Χx Χx Kertymäfunktio (cumulative probability density function) ζ F ( e)? Pr e( t) e < f ( x) dx et () et (), e 0 Χx Χx, Χx, p ( () e et Χx ζ e t e Pr () Χx 9
Kvantisoinitkohina Odotusarvo Χx 0 Eζ e( t) < xp ( ( x) dx < xdx xdx < 0 et Χx Χx, Χx,. Momentti = kvantisointi kohinan teho Χx E e t x p x dx x dx ζ ( ) ( ( ) et Χx, 0 3 3 Χ x,χx Χx < < <, < Χx Χx 3, 30
Signaali-kohina suhde Kvantisointia voidaan mallittaa tasajakautuneena additiivisena kohinana x A -A e y x Ρ y M bittinen A/D muunnos, tasojen määrä on M Signaali kohina-suhde A/D muuntimen ulostulossa sinimuotoiselle signaalille, jonka amplitudi on A=. P A 3 SNR < < < ρ x e M ~.76 db 6.006 db/bitti Χx( 3
Analogia-digitaalimuunnos (ADC) x T s =/f s A y näytteenotto -A kvantisointi Kvantisointikohina on tasajakautunut taajuuksille [0,f N ] missä f N =f s / on Nyquistin rajataajuus ja f s on näytteenottotaajuus. Tarkastellaan kaistarajoitetun signaalin x(t) näytteistämistä. Kaistanleveys on B. Ylinäytteistämällä f s >B saadaan kvantisointikohinan vaikutusta tarkasteltavalle kaistalle pienennettyä SNR < Χx( A fn B 3
Korrelaatio Tarkastellaan kahta riippumatonta satunnaismuuttujaa X ja Z fx, Z(,) x z < fx() x fz() z ζ < < < ζ ζ E XZ xzf X. Z(,) x z dxdz xf X() x dx zfz() z dz E X E Z,,,, yhteisjakauma on tulomuotoa odotusarvo voidaan ottaa kummastakin muuttujasta erikseen Olkoon E{X}=E{Z}=0 ja E{X }=E{Z }=. Tarkastellaan linaarista riippuvuutta Korrelaatio: ζ ζ ζ ζ E XY < E θx, θzx < θe X, θe ZX < θ Y < θx, θ Z Korrelaatio kertoo muuttujien välisestä riippuvuudesta 33
Satunnaissignaalit aika-alueessa Autokorrelaatio kertoo miten satunnaissignaalin x(t) eri ajanhetket riippuvat toisistaan * rxx t, t( < Eζ x t( x t( Jos autokorrelaatiofunktio ei riipu ajanhetkistä vaan ainoastaan niiden välistä σ=t -t, niin satunnaissignaali on stationäärinen * rxx σ( < Eζ x t( x t σ( Stationäärisen signaalin autokorrelaatio voidaan estimoida sisätuloa käyttäen: T * * x t( x t ( dt E x t( x t ( < rxx T 0 T ζ ( σ σ σ 34
Satunnaissignaalit aika-alueessa Ristikorrelaatio kertoo miten satunnaissignaalit y(t) ja x(t) eri ajanhetkillä riippuvat toisistaan * ryx t, t( < Eζ y t( x t( Stationääristen prosessien tapauksessa Jos ryx ζ * σ( < E y t( x t σ( ( 0 r σ <! σ yx, niin satunnaissignaalit ovat ortogonaalisia. 35
Satunnaissignaali Stationääriset ergodiset stokastiset prosessit Aika-alueessa Autokorrelaatiofunktio * r( σ) < E ζ s( t) s ( t σ) Fourier-käänteismuunnos ο σ( r( σ) < S( f )exp j f df, Taajuusalueessa Fourier-muunnos = tehospektri ο σ( S( f ) < r( σ)exp, j f dt, Keskimääräinen teho ζ P < r(0) < E s() t < S( f ) df, 36
Valkoinen kohina Johtuu varautuneiden partikkelien (elektronien) satunnaisesta liikkeestä johtavassa aineessa. Kohinan amplitudi noudattaa Gaussin jakaumaa r zz ζ ζ E () 0, E () z t < z t < ρ < N0 Autokorrelaatio σ( < E ζ ztzt ( ) ( σ) < ρ χ σ( ( ρ χ σ σ Nollakeskiarvoista. Momentti = Varianssi = tehotiheys Tehospektri S ( ) x f < ρ Kohinan teho on jakaantunut tasan kaikille taajuuksille Tehotiheys N 0 huoneen lämpötilassa -74 dbm/hz 37
Signaali ja kohina Jos kaksi satunnaissignaalia x(t) ja z(t) ovat ortogonaalisia, niin summasignaalin y(t)=x(t) + z(t) tehospektri saadaan signaalien x(t) ja z(t) tehospektrien summana. S ( f) < S ( f) S ( f) yy xx zz Deterministinen signaali on ortogonaalinen kohinan kanssa. Signaalin voimakkuus ο t( x( t) cos φ0000 zt ( )~ valkoista kohinaa Signaali-kohinasuhde (SNR) Kohinataso (noise floor) 38
Esimerkki: Autokorrelaatio ja tehospektri (/3) Valkoisen kohinan liukuvan ikkunan keskiarvo rzz σ( E ζ ztzt ( ) ( σ) ρ χ σ( E ζ zt ( ) < 0 < < Valkoinen kohina t x() t < z() t dt Liukuvan ikkunan keskiarvo T t, T 39
Esimerkki: Autokorrelaatio ja tehospektri (/3) Odotusarvo t E x( t) < E z( t) dt < 0 ζ ζ t t σ rxx( σ) < E ζ xtxt ( ) ( σ) < E ζ zt ( ) zt ( ) dtdt T t t σ < t t( dtdt T ρχ, t, T t, T σ t, T t, T σ T σ( ρ ρ σ dt T T t t, T t t, T t < < ζ, Ηζ σ, σ T t, T Autokorrelaatio, T 0 muutoin T ρ r ( ) xx σ -T T t, T σ t σ t T, σ, T t σ 40
Esimerkki: Autokorrelaatio ja tehospektri (3/3) Esimerkki: Valkoisen kohinan liukuvan ikkunan keskiarvo Autokorrelaatiofunktio ( ρ T, σ σ T rxx( σ) < T T 0 σ = T Fourier-muunnos = tehospektri, jο fσ Sxx ( f) < rxx σ( e d, ρ < T sinc ft ( σ Esimerkki: Kolmiopulssi. Aika-alueeen pulssi T, t ( A t T xt () < T 0 t = T Fourier-muunnos X ( f ) < Asinc ft Energiaspektri 4 ( ( X ( f ) < A sinc ft 4
Värillinen kohina http://en.wikipedia.org/wiki/colors_of_noise LTI järjestelmä taajuusalueessa Deterministinen heräte X(f) X(f) H(f) Y( f) < H( f) X( f) Stokastinen heräte S x (f) H(f) Wiener-Khinchin teoreema S ( f) < H( f) S ( f) y x Sx( f) H( f) Sy ( f ) 4
Värillinen kohina Värillinen kohina voidaan generoida suodattamalla valkoista kohinaa Sxx ( f) H( f) Syy ( f) S ( f) < H( f ) S ( f) yy xx 43
Spektraalifaktorointi Rarkaise H(f) siten, että suodatettu valkoinen kohina tuottaa halutun tehospektrin S ( f) < H( f ) S ( f) yy H( f) < S S yy xx xx ( f) ( f) S ( f) * yy H( f) H ( f) < Ratkaisuja on kaksi H(f) ja H*(f), joista S xx ( f) toinen vastaa stabiilia järjestelmää ja toinen epästabiilia. Valitaan stabiili suodatin! 44
Spektraalifaktorointi esimerkki Brownian noise Syy ( f) < S ( f) f xx ο ( H( f) < h() t < e iο f, iο f, t * t H ( f) < h() t < e Stabiili. kertaluvun RC-suodatin Epästabiili. kertaluvun RC-suodatin 45