12. Stabiilisuus. Olkoon takaisinkytketyn vahvistimen vahvistus A F (s) :

Transkriptio

1 1. Stabiilisuus Olkoon takaisinkytketyn vahvistimen vahvistus A F (s) : AOL ( s) AF ( s) (13 10) 1+ T ( s) A OL :n ja T:n määrittäminen kuvattiin oppikirjan 1-7 kappaleessa. Näiden taajuus käyttäytyminen saadaan selville aikavakio menetelmällä (kappale 11-9). A F (s):n navat ovat 1 + T(s):n nollakohtia sekä A OL (s):n navat, jotka eivät ole yhteisiä T(s):n kanssa. Nyquistin periaatteen mukaan pisteen 1 + j0 sisältävien myötäsuuntaisten ympyröiden lukumäärä vastaa 1+T(s)F(s):n oikealla puolitasolla olevien napojen ja nollakohtien erotusta. Koska stabiiliuden vuoksi F(s):llä ei saa olla nollakohtia oikealla puolitasolla (A F (s):llä ei oikean puolen napoja), sekä takaisinkytkemättömän vahvistimen ollessa stabiili ei F(s):llä ole napoja oikealla puolitasolla. Tämän vuoksi pisteen 1 + j0 kiertoa ei saa olla stabiililla takaisinkytketyllä vahvistimella. Jos takaisinkytkemätön vahvistin on stabiili, niin A OL :n kaikki navat ovat vasemmalla puolitasolla. Tällöin takaisinkytketty vahvistin on stabiili, jos 1 + T(s):n kaikki nollakohdat ovat vasemmalla puolitasolla. Nyquistin diagrammissa T(jω) kuvataan napakoordinaatistossa. T ( jω) sekä θ ( jω) välillä < ω < + määrittelevät kuvaajan napakoordinaatistossa. Yllä olevan kuvan (illman 13-3a) mukaisessa tapauksessa ei pistettä ole kierretty, joten avoimen kytkennän ollessa stabiili, ei takaisinkytketyllä vahvistimella ole A F (s):n oikean puoleisia napoja ja se on stabiili Sitä vastoin alla olevan kuvan (illman 13-3b) diagrammissa on piste kierretty kaksi kertaa, joten 1+T (s):llä on kaksi oikeanpuoleista nollakohtaa. A F (s):llä on siten kaksi oikeanpuoleista napaa ja vahvistin on epästabiili. Kulmataajuutta, jolla yksikköympyrä ja Nygquistin diagrammi leikkaavat toisensa on ω (gain-crossover frequency). T ( jω ) > 1 kun ω < ω T ( jω ) < 1 kun ω > ω Verrattaessa kuvan 13-3 tapauksia keskenään nähdään, että stabiilin systeemin (13-3a) kulmataajuuden ω 1 kohdalla T(jω 1 ) >-180 (eli T(jω 1 < 180 ). Sitä vastoin epästabiilissa tapauksessa (kuva 13-3b) T(jω ) <-180 (eli T(jω > 180 ). Vaihevara Alla olevassa kuvassa (illman 13-4) on piirretty mukaan yksikköympyrä, joka vastaa T(jω)1 (0dB) ympyrää. ääritellään vaihevara (Pase argin) T ( jω ) (13 11) Huomaa, että T(jω ) on yleensä negatiivinen. Takaisinkytketty vahvistin on siten stabiili, jos vaihevara on positiivinen. Kulman T(jω ) on siten oltava pienempi kuin 180, jotta vaihemarginaalia jäisi riittävästi

2 Vahvistusvara Boden diagrammi Kulmataajuus ω, jossa Nyquistin diagrammi leikkaa negatiivisen reaaliakselin, vastaa kulmaa -180 T(jω ) (phase crossover angular frequency). T < 180 T > 180 kun kun ω > ω ω < ω ääritellään vahvistusvara (ain argin) 0logT ( jω ) T ( jω ) db (13 1) Usein on käytännöllisempää käyttää Boden diagrammia, koska sen uudelleen piirtäminen on helppoa, kun napojen (nollakohtien) paikkoja tai T:n keskikaistan arvoa muutetaan. Etenkin asymptoottisen Boden diagrammin käyttö kynää ja paperia käytettäessä on hyvin käyttökelpoinen. Sen jälkeen tietokone simulaatioilla voidaan komponenttien arvot sovittaa tarkasti. Katsotaan lyhyesti läpi kirjan esimerkki, jossa silmukkavahvistus T on seuraava : T( s) ( 1+ s 10 )( 1+ s 10 ) Nyquistin diagrammiksi saadaan alla olevan kuvan mukainen käyrä, joka leikkaa napakoordinaatistoon lisätyn yksikkö ympyrän kulmataajuudella ω rad/s, jossa vaihevara on n Kuvasta 13-4a nähdään,että stabiilille systeemille (T 1 (jω )<1) 1 on positiivinen, koska logaritmi ykköstä pienemmästä luvusta on negatiivinen. Sitä vastoin epästabiilille systeemille (kuva 13-4b) on negatiivinen Alla olevassa kuvassa (illman 13-6) on esitetty samalle tapaukselle Boden diagrammi, johon on merkitty vaihevara. Koska T on avoimen kytkennän vahvistuksen A OL (s):n ja β(s):n tulo, voidaan Boden diagrammia hyödyntää myös seuraavasti. Piirretään A OL (s) ja β(s) erikseen Boden diagrammiin seuraavasti: Seuraavassa on esitetty silmukkavahvistus T(jω) toisessa muodossa, missä a 10 6 ja b 10 7, josta voidaan määrittää T ja T. ω 100 ( ) ab T jω ω ω + ab a b a b jω ω ω + ab a b Koska β(s):n < 1, on se negatiivisella puolella desibeli asteikkoa. Koska kahden muuttujan tulo voidaan esittää logaritmisella asteikolla summana, saadaan T(s) 1/β(s):n ja A OL (s):n väliin jäävästä alueesta

3 1.1 Kompensointi Takaisinkytketyn vahvistimen suunnittelussa on yleensä kolme pääkohtaa: 1. Keskikaistan ominaisuuksien toteuttaminen Vahvistuskerroin DC stabiilius Särö Tulo- ja lähtöimpedanssit Ym. Oletetaan aluksi, että takaisinkytkentäelimen siirtofunktio β(s) on taajuudesta riippumaton. Tällöin taajuudesta riippuva vaihesiirto liittyy avoimen (esimerkiksi operaatiovahvistimen raakavahvistus Avo(s) ) vahvistinkytkennän vaihekäyttäytymiseen. Huonoin tilanne on silloin, kun β on lähes yksi, jolloin T(s) on suurin. Tällöin vaiheen on oltava vähemmän, kuin 180 jäljessä, jotta takaisinkytketty vahvistin olisi stabiili. Jos tämä ehto on voimassa, on vahvistin ns. unity-gain stable. Tyypillisesti operaatiovahvistimilla vaihevara on Stabiiliuden testaaminen 3. Tee siitä stabiili Kuten aiemmin todettiin, niin vahvistimen tietyt ominaisuudet lähestyivät ideaalista, kun T 0 oli suuri. Toisaalta takaisinkytketyn vahvistimen osalta sen suuri arvo johtaa helposti epästabiiliin tilanteeseen. Takaisin kytketyn vahvistimen vaste määräytyy A F (s):n navoista. T 0 :n arvoa ei voida paljon muuttaa keskikaistan ominaisuuksien säilyttämiseksi. Takaisin kytketyn vahvistimen stabiiliuden varmistamiseksi, voidaan T(s):n napoja muuttaa halutulla tavalla. Tällä tavoin stabiiliksi tehtyä vahvistinta kutsutaan kompensoiduksi. Kytkentään lisätään muutama lisä komponentti, joilla saadaan T(s):n navat haluttuun kohtaan muuttamatta T 0 :n arvoa. Tapa miten edellä mainittu ehto voidaan täyttää on muokata operaatiovahvistimen A VO (s) siten, että sen arvo on 0dB ennen, kuin vaihe-ero saavuttaa -180 (Dominantpole compensation). Keino miten se tehdään on yksinkertainen. Lisätään operaatiovahvistimen sisäiseen efektiiviseen alipäästöön lisäkapasitanssi. Tapa on esitetty yllä olevassa kuvassa, jossa on kuvattu operaatiovahvistimen (34, 358) yksinkertaistettu sisäinen rakenne. Tällä tavoin saadaan siirrettyä A VO (s):n alin napa niin alas, että avoimen kytkennän vahvistus on 0dB ennen seuraavan ylemmän navan kulmataajuutta. Edellä annetun ehdon ja oletuksen perusteella voidaan piirtää T(s):n asymptoottinen vaihekäyttäytyminen, joka on esitetty alla olevassa kuvassa (illman 13-9a). Yleisesti ottaen vastakytkentäkerroin ei ole taajuudesta riippumaton, joten kompensoinnissa järjestetään tarkoituksellisesti T(s):lle kapeampi kaista. Eli kompensoimattoman T(s):n hallitseva napa siirretään riittävän pienelle kulmataajuudelle. Olkoon silmukkavahvistus seuraava: ( ) T s T0 (13 13) ( + s ω )( 1+ s ω )( 1+ s ω ) Takaisinkytketyn vahvistimen stabiiliuden varmistamiseksi, siirretään alin kulmataajuus ω 1 riittävän lähelle origoa, jotta saamme ehdon: Oletetaan lisäksi, että 10ω 1 ω ω3 10ω 10 Ensimmäinen napa on siis siirretty kaksi dekadia alemmalle kulmataajuudelle, kuin ω. Tämän vuoksi kulmataajuuden ω /10 alapuolisella lähialueella on vaiheero vakio -90. Kun valitsemme vaihevaraksi: ääräytyy ω edellisen kuvan esittämällä tavalla. Jos halutaan, että vaihevara on vähintään 45, saadaan tulos: ω ω Tällöin kulmataajuuden ω alapuolella T(jω) putoaa 0dB dekadia kohti saavuttaen 0dB kulmataajuudella ω. 51 5

4 Koska ω tiedetään voidaan ω 1 määrittää graafisesti piirtämällä ω :n kautta suora, jonka kulmakerroin on -0dB/dekadi. T 0 :n ja piirretyn suoran leikkauskohdasta saadaan kulmataajuus ω 1. Katso alla olevaa kuvaa (illman 13-9b). Jos vastakytkentäkerroin β(s) ja vahvistimen avoimen kytkennän vahvistus A VO (s) tiedetään, kuten operaatiovahvistimilla, voidaan Boden-diagrammin avulla tarkastella kytkennän stabiilisuutta seuraavasti. Huomattakoon, että vaihekäyttäytymistä esittävässä kuvassa (13-9a) kulmakertoimella -45 /dekadi vaiheen muutos aiheutuu navasta -ω. Jos vaihevaraa pienennetään kasvavat ω 1 ja ω. Pidä vaihevara riittävän suurena (45 ), ettei komponenttien ikääntyminen saa aikaan epästabiilia tilannetta. Jos A VO (s) ja 1/β(s) leikkaavat toisensa efektiivisellä kulmakertoimella 40dB/dekadi, on kytkentä epästabiili, jos kohtauskulma on asettunut vakioksi jo dekadia ennen leikkauspistettä. Stabiilille kytkennälle kohtauskulma on 0dB/dekadi, joka tulisi asettua vakioksi noin dekadia ennen leikkauspistettä Tarkastellaan lopuksi lyhyesti alla olevan kuvan mukaista derivoivaa piiriä, jossa on otettava huomioon kytkennän stabiilius tekijät. Derivointipiirin vastakytkentäkertoimen sisältäessä kapasitanssin, on β taajuudesta riippuva. Tällöin 1/ β kasvaa 0dB/dekadi tietyn kulmataajuuden jälkeen. Tällöin se kohtaa A VO :n netto kulmakertoimella 40dB/dekadi, jolloin kytkentä on epästabiili (katso alla oleva kuva). Edellisessä kuvassa on esitetty myös vastakytkennän aikaansaama vaihesiirto. Kun lisäämme siihen A VO :n taajuusriippuvuudesta johtuvan vaihesiirron, kutistuu vaihevara nollaan saavuttaessa 40dB/dekadi kohtaamiskulmalla käyrien leikkauskohtaan. Seuraavassa alla olevassa kuvassa on kytkentään lisätty kondensaattorin kanssa sarjaan resistanssi (510Ω), joten 1/β kohtaa A VO :n -0dB/dekadi kohtauskulmassa, joka on vakio lähes dekadia ennen leikkaus kohtaa

5 Tällöin β:n osuus vaihesiirrossa on häviävän pieni, joten vaihevaraksi saadaan likimäärin : Alla olevassa kuvassa on esitetty tilanne, jossa on lisätty toinen kapasitanssi. Kapasitanssin C lisääminen pienentää kohinavahvistuksen 1/β arvoa suuremmilla taajuuksilla, joten matalataajuuksinen pieniamplitudinen signaali ei peity niin helposti kohinaan. Alla olevassa kuvassa on esitetty asymptoottinen Boden diagrammi kytkennälle eri vastakytkentä tapauksille. Piiri toimii toimii derivoivana piirinä alle f 3 taajuuksilla, sekä integroivana sitä suuremmilla taajuuksilla. Operaatiovahvistimen ottonavoissa näkyvä muutaman pikofaradin kapasitanssi C o voi aiheuttaa stabiilisuus ongelmia, jos kytkennän resistanssitaso on suuri ja halutaan käyttää mahdollisimman suurta kaistanleveyttä. Ottonapoihin liittyvien piirikortin kytkentäjohdinten kapasitanssi maatason suhteen kytkeytyessä C o :n kanssa rinnan, saadaan vastakytkentäkertoimen kulmapiste siirtymään kohtalaisen helposti pienille taajuuksille (khz) (katso seuraava kuva)