Taajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrammit, kompensaattorien suunnittelu. Vinkit 1 a

Transkriptio

1 ELEC-C3 Säätötekniikka 9. laskuharjoitus Taajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrammit, kompensaattorien suunnittelu Vinkit a 3. Vaiheenjättökompensaattorin siirtofunktio: ( ) s W LAG s, a. s Vahvistus korkeilla taajuuksilla: WLAG() db = (a)db. Ylempi leikkaustaajuus: u = / a. Vaiheenjättökompensaattorin suunnittelu vaiheittain: i. Valitse vahvistus K toteuttamaan jatkuvuustilaan vaatimukset ii. Piirrä KG(s):n Boden diagrammi iii. Laske uusi ylitystaajuus c eli taajuus, millä kompensoimattoman systeemin vaihe on -8+PM, missä PM = haluttu vaihevara. iv. Laske, kuinka paljon vahvistusta desibeleissä edellä mainitulla taajuudella tarvitsee muuttaa, että siitä tulisi uusi ylitystaajuus. Tästä saadaan a. v. Korkeiden taajuuksien vahvistusta täytyy vähentää ilman, että matalien taajuuksien vahvistus häiriintyy. Tämä toteutuu valitsemalla ylemmän leikkaustaajuuden u yhden dekadin alemmas kuin c. vi. vii. Tarkistetaan simuloimalla yksikköaskelvastetta Jos ehdot täyttyvät, lopeta, muutoin palaa alkuun. Dominoivien napojen approksimaation mukaan vaihevaraa pitää olla 48, kun yksikköaskelvasteen ylitys on % (tämä on siis approksimaatio, oikeasti tarvitaan enemmän).

2 Ratkaisut:. + - K P ( s )( s )( s 3) Avoimen silmukan siirtofunktio G OL K P ( s) ( s )( s )( s 3) a. Routhin kaaviota varten tarvitaan suljetun järjestelmän karakteristinen yhtälö. K.Y. ( s) G OL Routhin kaavio K P ( s )( s )( s 3) ( s )( s )( s 3) K P s 3 6s s 6 K 3 s s 6 6 K P 6 K P s 6 s 6 K P Säädetyllä järjestelmällä ei ole napoja oikeassa puolitasossa, kun ensimmäisessä sarakkeessa ei ole merkinvaihtoja: 6 K 6 P 6 K 6 K 6 P P Säädetty järjestelmä on stabiili, kun K P = 4 Vahvistusta voidaan kasvattaa 4:stä 6:een eli,5-kertaiseksi eli lg(,5) 8 db. P

3 b. Luetaan Boden diagrammista vahvistusvara: Bode Diagram Gm = db (at rad/sec), Pm = deg (at.637 rad/sec) Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Matlabin funktio margin ilmoittaa suoraan vahvistusvaran. Boden diagrammista saadaan sama tulos kuin Routhin kaaviollakin eli 8 db. c. Nyquistin diagrammista vahvistusvara saadaan käyrän ja reaaliakselin leikkauspisteestä: Vahvistusvara on a Nyquist Diagram.5.5 Imaginary Axis a Real Axis Vahvistusvara =, 5,4 Vahvistusta voidaan kasvattaa siis Nyquistin diagrammin mukaan,5-kertaiseksi, joten siitäkin saadaan sama informaatio kuin muista.

4 . A. Nyquistin diagrammi kuvaa ensimmäisen asteen järjestelmää, jonka yleinen siirtofunktio on G( s) K s Tämän impulssivaste nousee välittömästi hetkellä nolla johonkin arvoon, josta se palaa eksponentiaalisesti takaisin alkutilaansa. Vaste I. näyttäisi muuten sopivalta, mutta siinä on mukana myös viive (vaste reagoi herätteeseen vasta jonkin reaalisen ajan kuluttua). Mallille A. ei löydy vastetta. B. Boden vahvistuskäyrässä nähdään selvä resonanssipiikki (prosessi resonoi, mikäli herätesignaali värähtelee taajuudella, joka on lähellä prosessin ominaistaajuutta). Malli kuvaa toisen asteen värähtelevää järjestelmää, jonka yleinen siirtofunktio on: K G ( s), s s Vasteet IV. ja V. värähtelevät. Vaste IV. kuvaa harmonista värähtelijää, jonka Boden vahvistuskäyrän resonanssipiikki olisi äärettömän korkea ja terävä. Mallin B. resonanssipiikki on laakea ja äärellisellä tasolla, joten malli kuvaa vaimenevaa värähtelijää. Malli B. ja impulssivaste V. kuvaavat samaa järjestelmää. C. Taajuusfunktio: Vastaa siirtofunktiota: Tj cos( T ) j sin( T ) e F( ) G( j) j j Ts e G( s) s Prosessi siis koostuu ensimmäisen kertaluvun dynamiikasta ja viiveestä. A.-kohdan päättelyn perusteella voidaan todeta impulssivasteen I. vastaavan mallia. Malli C. ja impulssivaste I. kuvaavat samaa järjestelmää. D. Boden vaihekäyrä kuvaa integraattoria, jonka siirtofunktio on: G( s) K s Impulssimainen heräte integraattoriin aiheuttaa askelmaisen vasteen. Malli D. ja impulssivaste VI. kuvaavat samaa järjestelmää. E. Boden vahvistuskäyrä kuvaa toisen kertaluvun järjestelmää, joka koostuu kahdesta reaalisesta ensimmäisen kertaluvun termistä (kaksi käännepistettä eri taajuuksilla, ei resonanssipiikkiä). Siirtofunktio on: G( s) K s s Toisen kertaluvun värähtelemätön impulssivaste on impulssivasteen III. kaltainen.

5 Malli E. ja impulssivaste III. kuvaavat samaa järjestelmää. F. Boden vaihekäyrä kuvaa ensimmäisen kertaluvun siirtofunktiota ja derivaattoria: G( s) Ks s Jos siirtofunktion osoittaja ja nimittäjä ovat samaa astetta, on seurauksena suoravaikutustermi Osan impulssista tulisi mennä suoraan läpi ja impulssivasteessa pitäisi olla äärettömän korkea ja äärettömän kapea piikki. Mikään esitetyistä impulsseista ei sisällä suoravaikutustermiä. Mallia F. ei kuvaa mikään impulssivasteista. 3. Avoimen silmukan siirtofunktio Askel G( s) s 8s Säädetty järjestelmä voidaan esittää lohkokaaviona, jossa K on vahvistus, W(s) on kompensaattorin siirtofunktio ja G(s) on säädettävän systeemin siirtofunktio. R(s) + E(s) K W(s) G(s) Y(s) Johdetaan lauseke erosuureelle ja tutkitaan sen jatkuvuustilan arvoa, jonka on oltava pienempi tai yhtä suuri kuin jatkuvuustilan virheelle asetettu vaatimus %. Es () Rs () Ys () Rs () Es () Rs () KWsGsEs () () () Es () Y KW() s G() s E() s KW ( s) G( s) Sisääntulo R(s) on yksikköramppi, jonka Laplace-muunnos on ss 8s / s Rs () / s e lim se( s) lims lim s ss a s s s KW ( s) G( s) s K s s 8s 3 / s s8s 8s 8 lim lim. s s 8s K as s s 8s K Kas K s s K 4, valitaan K = 4.

6 Askel Piirretään seuraavaksi Boden diagrammi edellä lasketulla vahvistuksen arvolla. KG(s):n Bode 4 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Vaihevara näyttää olevan noin 3 (tarkasti ottaen.6). Simuloidaanpa vielä askelvastetta: Step Response.5 Amplitude.5 Ylitys näyttää olevan hieman yli 5 %. Askel 3 Yksikköaskelvasteen ylitykselle ja vaihevaralle voidaan johtaa lausekkeet vaimennuskertoimen funktiona. PO e PM arctan Time (sec.) Nyt kun piirretään vaihevara ylityksen funktiona, saadaan tieto, kuinka suuri vaihevaran on oltava, jotta ylitys olisi enintään %.

7 Dominoivien napojen approksimaation mukaan: %:n yksikkövasteen ylitys vaihevaraa vaaditaan 48. Tämä on approksimaatio, joten käytännössä tarvitaan vaihevaraa enemmän. Lähdetään hakemaan suoraan 5 vaihevaraa. Etsitään nyt (analyyttisesti) taajuus, jolla vaihevara on 5: 4 G( i) 8 i = 8 i 8i 4 = G(i)=arctan =arctan(8/)=5 =8/tan(5)=6.73 rad/s. Uusi ylitystaajuus: c=6.7 rad/s Askel 4 Lasketaan vahvistus taajuudella c = 6.7 rad/s: G(6.7i) = 6.7 8i = 5.7 = 5. db. Tästä vahvistuksesta täytyy siis vaiheenjättökompensaattorin huolehtia. Valitaan siis a = 5. db =.75. Askel 5 Ylempi leikkaustaajuus u dekadia alempana kuin uusi leikkaustaajuus c, niin: c = 6.7 rad/s = u = /a = /a c = /( rad/s) = 8.5 s Näin saadaan seuraavanlainen kompensaattori: W Lag(s)= a s = s.758.5s.5s 8.5s 8.5s

8 Askel 6 Simuloidaan säädetyn järjestelmän askelvastetta: Step Response. Amplitude Time (sec.) %:n ylityskriteeri ei täyttynyt aivan. Tämä johtuu siitä, että suunnittelussa käytetään approksimaatiota. Parempaan tulokseen päästään vaatimalla suurempaa vaihevaraa. Huomattava on lisäksi se, että tässä suunnittelussa ei autuaaksi tee analyyttinen laskeminen. Analyyttisesti laskettujen arvojen tarkkuuden pyyhkii pois kriteereissä käytetty approksimaatio. Joten: Boden diagrammin lukeminen riittää hyvin. Piirretään vielä kompensoidun järjestelmän Boden diagrammi. Huomataan, että vaikka lähdetään hakemaan 5 vaihevaraa, ei sitä saavuteta edellä selvitetystä seikasta johtuen.

9 4. Avoimen silmukan siirtofunktio: Askel G(s) = (s + 4) Järjestelmä voidaan esittää lohkokaaviona: R(s) + E(s) K W(s) G(s) Y(s) Erosuureen lausekkeen johtaminen tapahtui tehtävässä 3, jossa saatiin: E(s) = R(s) + KW(s)G(s) Sisääntulona on tässä tapauksessa yksikköaskel, jonka Laplace-muunnos on /s. R(s) /s e = lim se(s) = lim s = lim s + KW(s)G(s) + K + a τs + τs (s + 4) ( + τs)(s + 4) = lim ( + τs)(s + 4) = lim + K( + a τs) ( + τs)(s + 4) + K( + a τs) ( + τs)(s + 4) = K =.5 Jotta pysyvä poikkeama olisi.5, pitää K:n olla K = 34. Askel Piirretään Boden diagrammi edellä määritetyllä K:n arvolla.

10 Nyt vaihevara on 6.5. Vaihevaraksi halutaan saada noin 45. Askel 3 Vaihevaraksi on siis vaadittu 45. Tämä vaihevara saavutetaan taajuudella c = 9.7 rad/s. Tämän voi määrittää joko Boden diagrammin perusteella tai analyyttisesti laskemalla: G(iω) = 34 (6 ω ) + i8ω = 34(6 ω ) (6 ω ) + 64ω i 34 8ω (6 ω ) + 64ω Tästä voidaan siis määrittää tarvittava taajuus: G(iω) = arctan 8ω 6 ω = 45 8ω 6 ω = tan(45 ) = ω 8ω 6 = Toisen asteen yhtälön ratkaisuksi saadaan kaksi arvoa, josta negatiivinen voidaan jättää huomiotta, jolloin uudeksi ylitystaajuudeksi saadaan ω = = 9.7 rad/s. Askel 4 Seuraavaksi lasketaan vahvistus taajuudella ω = 9.7 rad/s: 34(6 9.7 ) G(9.7i) = (6 9.7 ) i (6 9.7 ) =.8 = 8.9 db

11 Tästä vahvistuksesta pitää vaiheenjättökompensaattorin huolehtia, joten valitaan a = -8.9 db =.359. Askel 5 Ylempi leikkaustaajuus ω on siis dekadin verran alempana kuin uusi leikkaustaajuus ω, joten: ω = 9.7 rad s = ω = a τ Näillä arvoilla saadaan seuraavanlainen kompensaattori: Askel 6 W(s) = + a τs + τs Simuloidaan järjestelmän askelvastetta: τ = = =.9 s a ω = s +.9s = +.4s +.9s Simuloimalla järjestelmää voidaan vahvistaa, että pysyvä poikkeama on todellakin halutut 5 %.

12 Kompensoidun järjestelmän Boden diagrammi: Huomataan, että haettua 45 vaihevaraa ei tässäkään tapauksessa täysin saavutettu.

13 Ratkaisut:. Avoimen silmukan siirtofunktio: G ( s) s( s / )( s / ) Askel Jatkuvuustilan virhe ramppisisääntulolle johdetaan kuten viime kerran tehtävissä: Rs () / s e lim se( s) lim s lim ss s s s KW ( s) G( s) s a s K 3 s s / 4 / s s s s / s s s K Kas lim s / 4 / 3 3 ss / 4 / s s 3 s / 4 / s s / 4 / s s lim. 3 s ss / 4 / s s K Kas K K, valitaan K =. Askel KG(s):n Bode 5 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Vaihevara on 5 (tarkasti ottaen 4.), taajuudella 4 rad/s. Takaisinkytketyn järjestelmän askelvaste:

14 Step Response.6.4. Amplitude Askel Time (sec.) Dominoivan napaparin approksimaation mukaan haluttu vaihevara on 48 (kuten viime kerran tehtävässä). Pyöristetään haluttu vaihevara nytkin 5 asteeseen. Suurin vaihesiirto max tapahtuu taajuudella m = / a ja tällöin vaihesiirto on max a arcsin a sekä vahvistus W(m) = a = /(a) db. Etsitään seuraavaksi a:lle sopiva arvo kokeilemalla. Muodostetaan tätä varten taulukko seuraavalla tavalla: Ensimmäiseen sarakkeeseen otetaan muutamia a:n kokonaislukuarvoja. Toiseen sarakkeeseen lasketaan a:n arvoja vastaavat kompensaattorin vahvistukset desibeleissä. Kolmanteen sarakkeeseen lasketaan a:n arvoja vastaavat kompensaattorin aiheuttamat vaihesiirrot. Neljänteen sarakkeeseen poimitaan Boden diagrammista taajuus, jolla W(m) = KG(m). Esimerkiksi kun a on 9, etsitään taajuus, jolla Boden diagrammin vahvistuskäyrä saa arvon Viidenteen sarakkeeseen poimitaan Boden diagrammista edellisen kohdan taajuutta vastaava vaihevara. Kuudenteen sarakkeeseen lasketaan kompensoidun järjestelmän vaihevara, joka saadaan alkuperäisen vaihevaran ja max:n summana.

15 a W( m) max m Alkuperäin en vaihevara Uusi vaihevara Kompensaattori siis muuttaa alkuperäisen järjestelmän vahvistusta taajuudella m siten, että kompensoidun järjestelmän vahvistus taajuudella m on db. Vaihevara luettaisiin Boden diagrammista siltä taajuudelta, jolla vahvistus on db. Nyt kyseinen taajuus on m, jolloin uusi vaihevara saadaan lisäämällä alkuperäiseen vaihevaraan kompensaattorin mukanaan tuoma vaiheen muutos taajuudella m. Taulukon perusteella valitaan a:n arvoista se, jolla uusi vaihevara ylittää aiemmin asetetun vaatimuksen 5. Otetaan varman päälle ja valitaan yhtä suurempi luku, eli a = 3. Joten m = 8. rad/s. Askel 4 Lasketaan : = /m a = /(8. rad/s 3 ) =.347. Saadun vaiheenjohtokompensaattorin siirtofunktio: WLead(s)= a s.45s s.35s Kompensoidun systeemin askelvaste on seuraavanlainen:. Step Response.8 Amplitude Time (sec.)

16 Katsotaan vielä Boden diagrammit. 5 Bode Diagram Magnitude (db) -5 - Phase (deg) *G(s) *G(s)*W(s) -7-3 Frequency (rad/sec) Huom. Tehtävässä olevat tarkat laskelmat ja taulukot ovat esimerkin vuoksi. Käytännön säätösuunnittelussa tukeudutaan tietokoneella tehtyihin diagrammeihin (esim. Bode) suoraan. Kompensaattorien suunnittelussa kuvien perusteella määräytyvä tarkkuus yleensä riittää.. a. Tehdään lukujonon muunnos suoraan perustuen määritelmään. Z-muunnoksen määritelmä on k F z f kh z. k Tällöin saadaan lukujonon y kh, k,,,3,.. muunnos. k 3 Y z y kh z z z z... k Nyt kun käytetään geometrisen summan kaavaa k k q, jos < q < q