8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH

Transkriptio

1 8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin ajanjaksoihin rauhallisempien kehityskausien välillä. Pörssikurssien ennusteiden luotettavuus vaihtelee silloin ajan funktiona. ARMA-mallilla ei ole tällaista käyttätymistä, sillä ARMA-prosessi X t riippuu sen menneestä kehityksestä X t 1, X t,... lineaarisesti. Tällöin ennusteiden luottamusvälit ovat samat kaikille ajanhetkille, eivätkä ne riipu aikasarjan menneestä kehityksestä. Miten mallitetaan aikasarjaa, jossa aikasarjan menneisyys vaikuttaa ennusteiden luotettavuuteen? Tavoitteena on, että ennustusvirheen varianssi on aikasarjassa esiintyvien arvojen funktio. Kuva 8.1: Standard-Poor 500 pörssi-indeksin käytös on epäsäännöllistä. Aikasarjassa näkyy purskeittaista vahvenpaa epäsäännöllisyyttä ARCH Määritelmä 8.1. Olkoon p 1. Stokastinen prosessi X t on ARCH(p)-malli (autoregressiivinen ehdollinen heteroskedastinen malli, jonka aste p 1), jos missä valkoinen kohina ε t on riippumaton arvoista X t k, k 1, ja vakiot c 0, b j 0. σ t = c 0 + b 1 X t b p X t p 9

2 Huomioita määritelmästä: Sekä σ t että ε t ovat stokastisia prosesseja. ARCH-prosessi määritellään yhtälöparilla. Satunnaismuuttujat σ t ja ε t, t 1 ovat määritelmän mukaan riippumattomia, sillä riippumattomien satunnaismuuttujien jatkuvat funktiot ovat riippumattomia. (Miksi? Muista Borel-joukot!) ARCH-prosessin odotusarvo häviää riipumattomuuden vuoksi, sillä E[X t ] = E[σ t ε t ] = E[ c 0 + b 1 Xt b p Xt p ε t ] = E[σ t ]E[ε t ] = 0. Heteroskedastinen tarkoittaa erivarianssista. Kun hetkellä t tunnetaan prosessin mennyt kehitys eli arvot X t 1 = a t 1, X t = a t...., X t p = a p, niin satunnaismuuttuja X t Xt 1 =a 1,...X t p =a p = c 0 + b 1 a t b p a t p ε t. Toisin sanoen prosessin X t ehdollinen varianss E[X t X t 1,..., X t p ] = σ t, kun prosessin menneisyys X t 1,..., X t p tunnetaan, riippuu prosessin menneestä kehityksestä. ARCH-malli kehitettiin alunperin kuvaamaan inflaatiota. Seuraavan lauseen todistus sivuutetaan. Lause 8.1. Yhtälöillä σ t = c 0 + b 1 X t b p X t p on yksikäsitteinen stationäärinen ratkaisu X t, jolle E[X t ] < silloin ja vain silloin kun b k < 1. Huomautus Stationäärisen ARCH-prosessin varianssi on riippumattomuuden vuoksi muotoa E[Xt ] = E[σt ε t ] = E[c 0 + b 1 Xt b p Xt p] E[Xt c 0 ] = 1 p b. k Korollaari 8.1. Stationäärinen ARCH-prosessi on korreloimatonta valkoista kohinaa. 93

3 Kuva 8.: Näyte ARCH(1)-prosessista Simulated Path of Series Todistus. Olkoon X t stationäärinen ARCH(p)-prosessi. Selvästi E[X t ] = 0. Kun h 0, niin E[X t X t h ] = E[σ t σ t h ε t ε t h ] = E[σ t σ t h E[ε t ε t h X t h 1, X t h,... ]] = E[σ t σ t h E[ε t ε t h ]] = E[σ t σ t h δ h,0 ] = δ h,0 E[σ t ] GARCH-malli Määritelmä 8.. Olkoon p 1 ja q 0. Stokastinen prosessi X t on GARCH(p, q)-malli (yleistetty autoregressiivinen ehdollinen heteroskedastinen malli), jos missä valkoinen kohina ε t on riippumaton arvoista X t k, k 1, ja vakiot c 0, b k, s k 0. σ t = c 0 + b k Xt k + q s k σt k GARCH-prosessissa on pitempiä voimakkaan heilahtelun purskeita kuin ARCHprosessissa. Seuraavan lauseen todistus sivuutetaan. Lause 8.. Yhtälöillä q σt = c 0 + b k Xt k + s k σt k 94

4 on yksikäsitteinen stationäärinen ratkaisu X t, jolle E[Xt ] < silloin ja vain silloin kun q b k + s k < 1. Kuva 8.3: Näyte GARCH(1,1)-prosessista GARCH(1,1) Kuva 8.4: Näyte GARCH(1,1)-prosessin ehdollisesta varianssista ehdollinen varianssi Kuva 8.5: GARCH(1,1)-näytteen QQ-kuvio Normal Q Q Plot

5 Korollaari 8.. Stationäärinen GARCH-prosessi on korreloimatonta valkoista kohinaa, jonka varianssi on E[Xt c 0 ] = 1 p b k q s. k Todistus. Samoin kuin ARCH-prosessin tapauksessa (Korollaari 8.1). Huomautus Autokorrellation kuvaajaa sekä Ljung-Box testisuuretta on mahdollista käyttää korreloimattomuuden varmentamiseen. Erikoinen piirre GARCH-prosessissa X t on, että toiset potenssit X t ovat korreloituneita. Esimerkiksi ARCH(1)-prosessin tapauksessa tämän voi havaita kirjoittamalla neliöity ARCH-prosessi muodossa josta havaitaa, että X t Xt = (c 0 + bxt 1)ε t = c 0 + bxt 1 + (c 0 + bxt 1)(ε t 1), }{{} Valkoista kohinaa on AR(1)-prosessi ARCH-mallin estimointi Samoin kuin ARMA-prosessien tapauksessa, ARCH-mallin parametrit voidaan estimoida ML-menetelmällä. Oletetaan, että ARCH-mallin valkoinen kohina ε t N(0, 1). ARCHprosessin X t havaintovektorin (X 1,..., X n ) tarkka todennäköisyystiheysfunktio on laskennallisesti raskas käsitellä, mutta satunnaismuuttujan X t ehdollinen jakauma, kun X t 1,... X t p on annettu on yksinkertaisempi. Esimerkiksi ARCH(p)-prosessin tapauksessa f(a t a t 1,..., a t p ) = 1 e 1 σ a t t. πσ t Bayesin kaavan nojalla nähdään, että f(a 1+p,..., a n a 1,..., a p ) = 1 (π) e 1 n k=p+1 a k /σ k. n p n k=p+1 σ k Tarkka likelihood-funktio on sekoitus näistä funktioista painotettuna satunnaisvektorin (X 1,..., X p ) jakaumalla. Ehdollinen log-likelihood-funktio on n n a k (log L C )(c, b 1,... b p ; a 1,..., a n ) = vakio log σ k (8.1.1) k=p+1 σ k=p+1 k Mallin parametrit valitaan maksimoimalla logaritminen likelihood-funktio (8.1.1). Huomautus GARCH-mallia käytetää usein varianssin σ t ennuustamiseen. Ennuste auttaa hahmottamaan esim. pörssikurssien kehitykseen liittyviä riskejä. Yhden askeleen MMSE-ennuste GARCH(1,1)-mallin tapauksessa σ n+1 = E[σ n+1 X 1,..., X n ] = E[c 0 + bx n + sσ n X 1,..., X n ] = c 0 + bx n + sσ n. 96

6 8.1.4 Heteroskedastisuuden testaus Milloin aikasarjaan tulisi käyttää heteroskedastista mallia? Aikasarjan kuvaajan tarkastelun lisäksi voidaan tehdä hypotessin testaus. Olkoon X t ARCH(p)-prosessi missä Asetetaan hypoteesit: σt = c 0 + b k Xt 1. H 0 b 1 = b = = b p = 0. H 1 b k 0 jollakin 1 k p Kun H 0 pätee, on prosessin X t ehdollinen varianssi E[X t X 1,..., X t 1 ] = c 0. Merkitään ĉ 0 (H 0 ) parametrin c 0 estimaattia kun H 0 on totta ja ĉ 0 (H 1 ), b k parametrien c 0, b 1,..., b p estimaatteja, kun H 1 on totta. Ns. likelihood-suhdetesti perustuu testisuureeseen ( ) L C (ĉ 0 (H 1 ), b 1,... b k ; a 1,..., a n ) S n = log L C (ĉ 0 (H 0 ), 0, 0,..., 0; a 1,..., a n ) missä L C on prosessin X t ehdollinen likelihood-funktio kaavasta (8.1.1), kun ehdollistetaan arvoilla X k = a k, k = 1,..., p. Lause 8.3 (Wilksin lauseen erikoistapaus). Kun hypoteesi H 0 on totta lim S D n χ p. n Esimerkki 8.1. Tarkastellaan Standard-Poor-500 pörssiindeksiä (S&P500). S&P500-aikasarjaa voidaan mallittaa GARCH(1,1)-mallilla, joka varustetaan keskiarvolla µ: X t = µ + σ t ε t, ε t N(0, 1) missä σ t = c 0 + bx t 1 + sσ t 1. Parametrit voidaan estimoida ML-menetelmällä. 97

7 Kuva 8.6: Standard-Poor 500 pörssi-indeksin käytös on epäsäännöllistä. Aikasarjassa näkyy purskeittaista vahvenpaa epäsäännöllisyyttä Kuva 8.7: Standard-Poor 500 pörssi-indeksin autokorrelaation perusteella aikasarja vaikuttaa valkoiselta kohinalta. Series sp500ret$sp500ret ACF Lag 98