ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät

Transkriptio

1 ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Professori Riku Jäntti

2 ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Mitä kurssilla käsitellään? signaalien ja järjestelmien peruskäsitteitä signaali- ja järjestelmäanalyysin perusmenetelmiä signaalin siirron perusteita signaalin mittaamisen perusteita Missä tällaisia tietoja tarvitaan? kun jotain mitataan kun jotain signaalia siirretään kun signaaleja suodatetaan kun signaaleja generoidaan kun jotain järjestelmää säädetään 9/6/2019 2

3 TIM-materiaali Luku 01: Johdanto Signaalien teho ja energia Luku 02: Erikoissignaalit ja konvoluutio Luku 03: Signaaliavaruus Luku 04: Fourier-sarja Luku 05: Fourier-muunnos I Luku 06: Fourier-muunnos II Luku 07: Näytteenotto ja Diskreetti Fourier-muunnos Luku 08: LTI-järjestelmät aika-alueessa (ja Laplace-muunnos) Luku 09: LTI-järjestelmät taajuusalueessa. Luku 10: Signaalien lineaarinen suodattaminen. Luku 11: Modulaatio ja muistittomat epälineaariset järjestelmät Luku 12: Satunnaissignaalit

4 Miten opiskella? Kurssi on vaativa! Varatkaa riittävästi aikaa (n. 10 h /viikko) materiaalin lukemiseen, ymmärtämiseen ja tehtävien laskemiseen. Kun luette materiaalia, koettakaa ymmärtää kaikki! Jos ette ymmärrä, niin kysykää kavereilta assareilta slackssä, laskareissa proffalta Antakaa palautetta myös kesken kurssin Yritämme parantaa materiaalia palautteenne perusteella

5 Laskutuvat Tiistai Torstai Klo 8-10 Klo Klo Klo Även på svenska! Klo

6 Arviointi Arvosanan määräytyminen Viikoittaiset tehtävä kierrokset TIM:ssä (30%) Kaksi kotitehtävää (20%) Kaksi välikoetta tai tentti: (50%) Laboratoriotyöt: hyväksytty/hylätty Kukin kurssin osio on suoritettava hyväksytyksi

7 Luennon tavoite Opitte tuntemaan signaalien ja järjestelmien peruskäsitteet Mikä on signaali? Mikä on järjestelmä? Mikä on spektri? Mitä tarkoittaa signaalin suodattaminen? Lisää TIM-materiaalissa. HUOM! Luennon jälkeen ei ole tarkoitus vielä osata laskea mitään! Laskemista harjoitellaan TIM-tehtävillä ja kotitehtävillä

8 Mikä on signaali?

9 Signaali x(t) on ajan funktio

10 Signaalien luokittelua Signaali Deterministinen Stokastinen kohina Tehosignaali Energiasignaali Jaksollinen Pulssi Vaimeneva Erikoissignaali

11 Signaali voi olla reaalinen tai kompleksi Kaikki luonnolliset (mitattavat) signaalit ovat reaalisia Kompleksiset signaalit ovat kätevä malli moduloiduille signaaleille s(t)=x I (t)cos(wt)+x Q (t)sin(wt) s(t)=re{(x I (t)-jx Q (t))exp(jwt)} jx e = cos x+ jsin x j = -1 x(t)=x I (t)-jx Q (t) Kompleksinen signaali

12 Tehtävä Miettikää ryhmässä esimerkkejä signaaleista

13 Signaalit (aika-alueessa) ECG signaali NB-IoT tukiaseman kantataajuuinen signaali (kompleksi signaali) NB-IoT Downlink base band signal Real Imaginary Veren paine Jään paksuus (aikasarja) Time (samples) Ääni

14 Mikä on järjestelmä? Mikä ei ole järjestelmä?

15 Järjestelmät Järjestelmä / Systeemi / Prosessi on objekti, joka määrittää relaatiot signaalijoukon välillä. Järjestelmän signaalit jaetaan usein tulosuureisiin ja lähtösuureisiin Tulosignaalit ovat järjestelmästä riippumattomia Lähtösignaalit sisältävät järjestelmän tuottamaa informaatiota. Tyypillisesti järjestelmä reagoi lähtösignaaleihin ja tuottaa niiden perusteella lähtösignaalit. Tällöin tulo- ja lähtösignaalien välillä vallitsee kausaliteettisuhde. Häiriöt Manipuloitavat tulosuureet Järjestelmä Lähtösuureet SISO MISO SIMO MIMO Single Input-Single Output Multiple Input Single Output Single Input Multiple Output Multiple Input Multiple Output 9/6/

16 Tehtävä Miettikää ryhmässä esimerkkejä järjestelmistä. Mikä ei ole järjestelmä?

17 Järjestelmiä x(t) y(t)=f(x(t)) y(t)=f(x(t)) x(t) x(t) y(t)=f(x(t)) x(t) y(t)=f(x(t)) F on järjestelmän toimintaa kuvaava operaattori

18 Signaalit ja järjestelmät

19 Signaalit ja järjestelmät - kokonaiskuva Fysikaalinen järjestelmä Sähköpiiri Mekaaninen järjestelmä Virtausjärjestelmä Biologinen prosessi Jatkuvaaikainen signaali Jännite Virta Paine Terminen kohina 1/f kohina Pyyhkäisevä spekrianalysaattori Signaali taajuusalueessa Mittauskohina Alipäästösuodatin Näytteenotto Analogia- Digitaalimuunnos Diskreettiaikainen signaali FFT

20 Signaalit ja järjestelmät - kokonaiskuva Fysikaalinen järjestelmä Sähköpiiri Mekaaninen järjestelmä Virtausjärjestelmä Biologinen prosessi Jatkuvaaikainen signaali Jännite Virta Paine Terminen kohina 1/f kohina Pyyhkäisevä spekrianalysaattori Signaali taajuusalueessa Mittauskohina Alipäästösuodatin Näytteenotto Analogia- Digitaalimuunnos Diskreettiaikainen signaali FFT

21 Peruskäsitteitä Signaalin teho ja energia Signaalin teho- ja energiaspektri Signaalin suodattaminen

22 Signaalien teho ja energia Luku 1

23 Signaalin teho ja energia Piirianalyysi yhdellä sanalla: Puimuri => P=u i, u=r i 1 i( t) = u( t) R u( t) R

24 Signaalin teho ja energia Sähköpiiri jossa resistiivinen 1 Ohmin kuorma (R=1 W) Hetkellinen näennäisteho u( t) 1 i( t) = u( t) R R * P( t) = u( t) i ( t) = u( t) = u( t) R Vastuksessa kuluva energia aikavälillä [t 0,t 1 ] t 1 1 ò E = P( t) dt = u( t) dt -t -t 0 0 t ò 2 Vastuksessa kuluva keskimääräinen teho aikavälillä [t 0,t 1 ] t P = P( t) dt = u( t) dt t - t ò t - t ò 1 0 t 1 0 t 0 0 t 9/6/

25 Yleistetty energia ja teho Mielivaltainen signaali s(t) (ei välttämättä virta tai jännite) Energiasignaalit T 2 E = lim T ò s( t) dt -T Signaali on energiasignaali, jos 0<E< Tehosignaalit T P = lim T s( t) dt T ò T - 2 Signaali on tehosignaali, jos 0<P< 9/6/

26 Jaksolliset signaalit ovat tehosignaaleja Jaksollinen signaali x( t) = x( t + T ), tî 0 T 0 on jaksonaika, 1/T 0 on ominaistaajuus Keskimääräisen tehon laskemiseksi riittää, että tarkastellaan yhtä jakson mittaista aikaväliä. Jakson paikka voidaan valita mielivaltaisesti T 0 t0 + T P = x( t) dt x( t) dt t0 T ò = " Î T ò 0 T t -T 0 /2 T 0 /2 t 9/6/

27 Pulssit ja vaimenevat signaalit ovat energiasignaaleita Pulssi Vaimeneva signaali t Esim. yksikköpulssi Esim. Vaimeneva värähtely = ( ) <

28 Tehtävä Miettikää ryhmässä esimerkkejä a) Tehosignaaleista b) Energiasignaaleista Onko signaaleita, jotka eivät ole joko teho- tai energiasingaaleita?

29 Signaalit 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0 Normaali sydämen lyönti 4 Hz 8 Hz 12 Hz 16 Hz 20 Hz Kammiotakykardia 4 Hz 8 Hz 12 Hz 16 Hz 20 Hz Kammiovärinä 4 Hz 8 Hz 12 Hz 16 Hz 20 Hz taajuusalueessa Mikä on spektri? Luvut 4-6

30 Jaksolliset signaalit ja Fouriersarjat Luku 4

31 Aika- ja taajuusalueen analyysi Volttia Wattia/Hz 9/6/

32 Jaksolliset signaalit koostuvat harmonisista taajuuksista Ominaistaajuus/ Perustaajuus 1/T 0 Hz 2. Harmoninen Taajuus 2/T 0 Hz 3. Harmoninen Taajuus 3/T 0 Hz Harmoninen Taajuus 4/T 0 Hz Harmonisten taajuuksien Soittaminen kitaralla

33 Jaksolliset signaalit koostuvat harmonisista taajuuksista Reaaliselle jaksolliselle signaalille pätee Fourier-sarja esitys: = + 2 cos 2p DCkomponentti Amplitudi Harmoninen taajuus k/t 0 Hz + arg Vaihe = 1 ( ) Fourier-sarjan kerroin

34 Jaksolliset signaalit koostuvat harmonisista taajuuksista Kanttiaalto Ominaistaajuuskomponentti + 3. harmoninen Ominaistaajuuskomponentti + 3. harmoninen + 5. harmoninen Ominaistaajuuskomponentti + 3. harmoninen + 5. harmoninen + 7. harmoninen

35 Kaksipuoleinen tehospekri Jos x(t) on realinen, niin sen Fourier-sarja voidaan kirjoittaa muotoon: Tehotiheys [W/Hz] = + 2 cos 2p Yksipuoleinen tehospektri arg Keskimääräinen teho 2 = f [Hz]

36 Kaksipuoleinen tehospekri Yleisessä tapauksessa Fourier-sarja voidaan kirjoittaa mutoon: = p Kaksipuoleinen tehospektri Tehotiheys [W/Hz] Keskimääräinen teho = f [Hz]

37 Yksi ja kaksipuoleinen tehospektri Esimerkki: Kanttiaalto +1-1 Kaksipuoleinen tehospektri T 0 Yksipuoleinen tehospektri

38 Tehtävä 1. Erään jaksollisen signaalin kaksipuoleinen tehospektri on Tehotiheys [W/Hz] a) Mikä on signaalin keskimääräinen teho? b) Piirrä signaalin yksipuoleinen tehospektri

39 Aika- ja taajuusalueen signaalit Signaali generaattori Oskilloskooppi (Aika-alueen signali) Spektri-analysaattori (Taajuusalueen signaali) 9/6/

40 Aika- ja taajuusalueen signaalit Signaaligeneraattorin tuottama kanttiaalto Kanttiaaltoja esiintyy mm. Digitaalinen kello signaali Hakkuriteholähteen tuottama vaihtojännite Testisignaali 9/6/

41 Aika- ja taajuusalueen signaalit Spektrianalysaattorin tuottama tulos db Fourier-sarjaesityksen perusteella laskettu viivaspektri Teorian ennustamat arvot ovat erittäin lähellä mitattuja arvoja! db db db dḇ 24.7 db-26.2 db db db Teoriaa voi käyttää varmistaakseen siitä, että mittalaitteet on oikein kalibroitu!

42 Fourier-muuunnos ( ) = ( ) Käänteismuunnos ( ) = ( ) Fourier-muunnos Luvut 5-6

43 Signaalin spektri Tehosignaali => Tehospektri [W/Hz] T 0 Energiasignaali => Energiaspektri [J/Hz] x k 2 W/Hz X(f) 2 J/Hz Signaalin tehon jakautuminen taajuuskomponentteihin Signaalin energian jakautuminen taajuuskomponentteihin

44 Järjestelmät aikaalueessa Impulssivaste ja konvoluutio-integraali Luku 8

45 Lineaariset aikainvariantit järjestelmät Linear Time Invariant (LTI) Systems Jatkuva-aikaisen LTI-järjestelmän toimintaa kuvaa lineaarinen differentiaaliyhtälö x(t) h(t) y(t) n n-1 m m-1 d d d d y( t) = -a1 y( t) -L- a ( ) 1 n y t + b0 x( t) + b1 x( t) + L+ b ( ) n n m m 1 mx t - - dt dt dt dt R i(t) L i(t) C i(t) k B m v(t) v( t) = Ri( t) v(t) di( t) v( t) = L dt v(t) dv( t) i( t) = C dt x 1 (t) x 2 (t) F ( t) = k( x ( t) - x ( t)) k = kdx( t) 1 2 x 1 (t) x 2 (t) ( ) ddx( t) Fb t = B dt x(t) 2 ( ) d x( t) Fm t = m dt 2 9/6/

46 Lineaariset aikainvariantit järjestelmät Esimerkki 1. kertaluvun järjestelmä ( ) = + ( ) RC-piiri Suoramomenttisäädetty nopeuskäyttö x tulojännite y lähtöjännite x y x nopeusreferenssi y sähkömoottorin pyörimisnopeus Iskunvaimennin Kemostaatti x y x voima y nopeus x ravinnon konsentraatio y biomassa

47 LTI-järjestelmän impulssivaste Impulssivaste h(t) d(t) Järjestelmä h(t) Esim. RC suodatin R x(t) C y(t) 9/6/

48 Impulssivaste Esim. Konserttisalin akustiikan mallinnus Laulu kaiuttomassa studiossa x(t) t/operatic-voice Kirkkosalin impulssivaste å ( t ) h( t) = hkd t - k k zationdb/content/st-patrickschurch-patrington-model Laulu kirkkosalissa ò y( t) = x( t ) h( t -t ) dt - Konvoluutio-integraali luvussa 2 + FFT luvussa 7 9/6/

49 Järjestelmät taajuusalueessa Luvut 9-10

50 LTI-järjestelmän taajuusvaste x( t) = cos 2 ( p ft ) H(f) ( { }) ( ) p ( ) y( t) = H f cos 2 ft + arg H f 20log 10 ( H(f) ) Magnitude (db) Bode Diagram Teho vaimennus arg{h(f)} Phase (deg) Frequency (rad/sec) w=2pf Vaihesiirto Signaalin taajuus ei muutu kuljettaessa LTI-järjestelmän läpi 9/6/

51 Tehtävä Erään järjestelmän taajuusvaste on Kuinka paljon se vaimentaa 1 rad/s sinimuotoisen signaalin tehoa? Entä 100 rad/s taajuisen signaalin tehoa?

52 Signaalin suodattaminen Alipäästösuodatin vaimentaa korkeita taajuksia, mutta päästää matalat läpi

53 Ideaaliset alipäästö-, ylipäästö- ja kaistanpäästösuodattimet Alipäästösuodatin H ( f ) A Kaistanpäästösuodatin H ( f ) A Päästökaista Ylipäästösuodatin H ( f ) A f Päästökaista Kaistanestosuodatin H ( f ) A f Estokaista f Estokaista f 9/6/

54 Käytännön suodattimet KÄYTÄNNÖN SUODATIN 20log A(f) DA p Suodatinperheitä -10 db -20 db -30 db -40 db DA e Selektiivisyys päästökaista ylimenokaista estokaista 9/6/

55 Käytännön suodattimet Esimerkki kaupallisesta Butterworth suodattimesta 9/6/

56 Tehtävä Anna esimerkki sovelluksesta, jossa tarvitaan a) Alipäästösuodatinta b) Kaistanpäästösuodatinta c) Ylipäästösuodatinta

57 Signaalin suodattaminen Mihin suodattimia tarvitaan? Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden vaimentaminen Sovitettu suodatin signaalikohinasuhteen maksimoimiseksi näytteenottohetkellä Signaalien erottaminen muista signaaleista esim. radiovastaanottimessa Halutun pulssimuodon tai -spektrin generoiminen Siirtokanavan aiheuttamien lineaaristen vääristymien korjaus Alkuperäisen signaalin rekonstruktio näytteistä Dupleksisuodattimet (ylä- ja alasuunnan liikenteen erottaminen omille kaistoilleen) Esikorostus/jälkikorjausmenetelmät Peilitaajuussignaalin vaimentaminen superhetero- dyneperiaatteella toimivassa radiovastaanottimessa jne 9/6/

58 503_arch1_%281%29.jpg Epälineaariset järjestelmät Kuten vahvistimet Luku 11

59 Särö ja keskinäismodulaatio Muistittomat epälineaariset järjestelmät Saa aikaan särön (syntyy harmoonisia yliaaltoja) Distortion_effect.ogg Aiheuttaa keskinäismodulaatiota (syntyy sekoitustaajuuksia) Teho spektri (db) f ( x)» a x + a x 1 3 f 1 f 2 2f 1 -f 2 f 1 f 2 2f 2 +f Kuuntele säröä: 9/6/

60 Särö ja keskinäismodulaatio Eräs kuulokevahvistin Yksitaajuustesti (single tone) Kaksitaajuustesti (two tone)

61 Modulaatio &ved=0ahukewi9i9kopc_nahxgo5okhbapc5cq_auiccgb&biw=1280& bih=953#imgrc=rmlld5lfdjpjam%3a Luku 11

62 Modulaatio Modulaatiossa siirretään moduloivan signaalin spektri kantoaallon taajuusalueelle, joko siten että spektrin muoto säilyy lineaarisessa modulaatiossa, tai niin että spektrin muoto muuttuu epälineaarisessa modulaatiossa Moduloiva signaali v(t) Modulaattori c(t) Kantoaalto generaattori x(t) Kantoaalto Moduloitu signaali 9/6/

63 Amplitudimodulaatio Moduloiva signaali m x + Moduloitu signaali = (1 + ) t Tehospektri Kantoaalto = sin t Tehospektri f f Tehospektri f

64 Näytteenotto Näytteenottoteoreema Diskreetti ja nopea Fourier-muunnos Luku 7

65 Näytteenotto Otetaan jatkuvasta signaalista näytteitä tasavälein T x( t ) { x( kt), k Î0,1,2,... } T s näytteenottoväli f s =1/T s näytteenottotaajuus Nyquistin teoreema: Jos signaalin x(t) kaistanleveys on B, niin signaali voidaan palauttaa näytepisteistä mikäli f s 2B@f N Nyquistin rajataajuus. 9/6/

66 Aliasointi ilmiö Yli Nyquistin taajuuden oleva signaali, näyttää näytteenoton jälkeen alemman taajuuden signaalilta f s =4 Hz, f N =2 Hz f=1 Hz f=3 Hz -0.2 f 2 f N - f Aliasointi ilmiön takia kaikki signaalit pitää alipäästösuodattaa ennen näytteenottoa! f N t 9/6/

67 Tehtävä Sinimuotoisen signaalin taajuus on 2 GHz. Mikä pitäisi näytteenottotaajuuden olla, jotta aliasointia ei tapahtuisi?

68 Diskreetti ja nopea Fourier-muunnos Käytännössä spektri mitataan ottamalla signaalista näytteitä ja laksemalla näytteille diskreetti Fourier muunnos käyttäen nopeaa Fourier-muunnos (FFT) algoritmia

69 Satunnaissignaalit ja kohina Kohina Luku 12

70 Satunnaissignaalit ja kohina Satunnaisen signaalin käyttäytymistä tulevaisuudessa ei voida tarkasti ennustaa. Voidaan vain esittää todennäköisyys sille, että amplitudi on jollakin amplitudivälillä ( ) Pr x( t) x = F ( x; t) Satunnaissigaali on stationäärinen mikäli sen tilastolliset ominaisuudet eivät riipu ajasta x Amplitude Time Keskihajonta s=2 Oletusarvo m= PDF /6/

71 Kohinan tehotiheys Kaikki mittaukset on kohinaisia. Blue_noise.ogg White-noise-sound-20sec-mono-44100Hz.ogg Pink_noise.ogg

72 Kohinaa voidaan vähentää suodattamalla signaalia

73