2. kierros. 2. Lähipäivä

Transkriptio

1 2. kierros 2. Lähipäivä

2 Viikon aihe Vahvistimet, kohina, lineaarisuus Siirtofunktiot, tilaesitys

3 Tavoitteet: tietää Yhden navan vasteen ekvivalentti kohinakaistaleveys Vastuksen terminen kohina Termit input-output -malli, siirtofunktio, tilaesitys

4 Tavoitteet: ymmärtää Miten kaistanleveys liittyy vahvistimen kohinaan Miksi tarvitaan erikseen jännite- ja virtakohinalähteet Miten siirtofunktiolla ja tilaesityksellä voidaan mallintaa systeemin dynamiikkaa

5 Tavoitteet: soveltaa Laskea vahvistimen kohina lähdössä tuloon redusoiduista lähteistä ja kaistasta Laskea vahvistimen harmoniset särökomponentit HDn:stä (tai kääntäen) Laskea differentiaaliyhtälöstä siirtofunktio ja tilaesitys

6 Tietoisku I: SNR Vahvistimien kohinaisuutta kuvataan usein signaalin ja kohinan suhteella piirin lähdössä Riippuu signaalin amplitudista, joten se ei ole hirveän hyvä tunnusluku Signaali-kohina suhde ilmoitetaan yleensä desibeleinä ja määritellään jännitesignaaleille o [ db] log, SNR = V n o missä V o on signaalijännitteen rms-arvo ja n o kohinajännitteen rms-arvo lähdössä

7 Epälineaarisuus Useimmiten elektronisiin vahvistimiin liittyvän epälineaarisuuden oletetaan olevan pehmeää Piirissä ei esiinny signaalin leikkautumista Voidaan mallittaa Taylorin sarjan avulla. Useimmiten ensimmäiset kolme termiä riittävät Mahdollinen DC-termi jätetään tässä huomiotta, koska se on vain toimintapiste Jos f(vin) on epälineaarinen jännitteen siirtofunktio, on k1 sen lineaarinen vahvistus (eli Av) f ( v ) ( v ) ( n) 2 3 in = k1vin + k2vin + k3vin ; kn = n 0 f n!

8 Harmoninen särö Tutkitaan millainen vaste epälineaarisella vahvistimella on sinimuotoiseen herätteeseen Oletetaan, että vain kaksi ensimmäistä epälineaarista termiä ovat merkittäviä f 2 ( vˆ sin( ω t ) ) = k vˆsin( ω t ) + k ( vˆsin ( ω t ) ) + k ( vˆ ( ω t ) ) sin = k 2 2 v2 k 1 v 3k 3 4 v3 sin t k 2 2 v2 cos 2 t k 3 4 v3 sin 3 t 2. ja 3. kertaluvun epälineaarisuudet tuottavat harmoniset särökomponentit D2 ja D3 Säröt kasvavat nopeammin kuin signaali amplitudin noustessa Epälineaarisuus muodostuu ongelmaksi signaalin ollessa suuri

9 Harmoniset särökomponentit Toisen ja kolmannen kertaluvun harmoninen särö määritellään lähdössä herätetaajudella olevan sinin ja sen toisella ja kolmannella harmonisella olevien särökomponenttien amplitudien suhteena k 2 2 v2 k 1 v 3k 3 4 v3 sin t k 2 2 v2 cos 2 t k 3 4 v3 sin 3 t HD D A 2 2 = 1 k2 k 2 1 vˆ ˆ 3 = Kaikki harmoniset säröt yhdistämällä saadaan harmoninen kokonaissärö (THD, total harmonic distortion) HD D A 1 k 4k v 1 THD = D A 1 D 2 3

10 Dynaaminen alue Signaalin puhtautta voidaan kuvata tunnusluvulla SNDR Pienellä signaaliamplitudilla signaalin puhtautta rajoittaa kohina Amplitudin kasvaessa särön merkitys kasvaa Särö kasvaa nopeammin kuin signaali SNDR[dB] D2 kasvaa tulon amplitudin neliössä D3 kasvaa tulon amplitudin kuutiossa SNDR alkaa pudota kun särö tulee voimakkaammaksi kuin kohina SNDR:n huippua ja kohinalattiaa vastaavien tuloamplitudien suhde on vahvistimen dynaaminen alue DR 0 DR v in [db]

11 Heilurin linearisointi Muodostetaan heilurin liikeyhtälöt S x (t)+f (t ) Ma L (t)=0 S y (t ) Mg=0 Kulma on pieni: Trigonometriasta: S x (t )=S sin(θ(t)) S y (t )=S cos(θ(t )) a L (t)= x L (t) cos(θ(t )) 1 S y (t ) S sin(θ(t))= x T (t) x L (t) L g L ( x (t ) x (t ))+ 1 T L M F (t)= x L (t)

12 Harjoituksia: Lasketaan tehtävä 1

13 Tietoisku II: Tilaesitys Kompakti tapa esittää differentiaaliyhtälöryhmiä Systeemin hetkellinen tila on täydellinen kuvaus systeemistä, joten tilaesitys sopii erittäin hyvin simulointiin Soveltuu hyvin monimuuttujasysteemien mallintamiseen ja hallintaan

14 Tilaesitys Differentiaaliyhtälöryhmä esitetään ryhmänä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä Yleinen tilaesitys: R S T x ( t) = f ( x( t), u( t)) y( t) = g( x( t), u( t)) Tilat voidaan valita monella tavalla: tilaesitys ei ole yksikäsitteinen (päinvastoin kuin siirtofunktio!). x(t) on tilasuure, u(t) ohjaussuure ja y(t) lähtösuure

15 Tilaesitys Lineaarisen systeemin tilaesitys voidaan esittää vektoreiden ja matriisien avulla R S T x ( t) = f ( x( t), u( t)) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = g( x( t), u( t)) = Cx( t) + Du( t) Matriisia A kutsutaan systeemimatriisiksi, B:tä ohjausmatriisiksi, C:tä lähtömatriisiksi ja D:tä suoravaikutusmatriisiksi

16 Tilojen valinta Miten tilamuuttujat kannattaa valita? Fysikaalisesti järkevät tilamuuttujat Derivointi-operaattorin p avulla Kanonisten muotojen avulla

17 Tilaesitys ja siirtofunktio Tilaesityksen matriisien avulla voidaan laskea systeemin siirtofunktio Laplace-tasossa: 1 G( s) = C( si A) B + D

18 Differentiaaliyhtälö, tilaesitys ja siirtofunktio Differentiaaliyhtälöt Tilaesitys Siirtofunktio

19 Harjoituksia! Loput analogisen tuntitehtävät

20 Tietoisku III: kotiprojekti Jatketaan samojen tehtävien parissa

21 Seuraavalla kerralla Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Lohkokaaviot Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt