Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s"

Transkriptio

1 Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s kuuluu todennäköisyysavaruuteen S (s S) Esimerkkejä Kolikonheitossatodennäköisyysavaruus S = {kruunu,klaava} Satunnaismuuttuja voisi olla { 1 (s = kruunu) X(s) = 1 (s =klaava) 50

2 Nopan heitossa S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Satunnaismuuttuja voi olla X(s) =s, jolloin mahdolliset tulokset ovat 1,2,3,4,5,6 Satunnaismuuttuja voi olla myös X(s) =s 2, jolloin mahdolliset tulokset ovat 1,4,9,16,25,36 Usein merkitään yksinkertaisuuden vuoksi X(s) = X, mutta on syytä muistaa mistä on kysymys Kompleksinen satunnaismuuttuja Z on kahden reaalisen satunnaismuuttujan X ja Y funktio siten että Z = X + jy. Muuttujan Z ominaisuuksia tarkasteltaessa on tiedettävä ko. summan omaisuudet 51

3 Satunnaismuuttuja voi saada äärellisen määrän eri arvoja diskreetti satunnaismuuttuja (kuten edellisissä esimerkeissä) Satunnaismuuttuja voi myös saada kaikkia mahdollisia arvoja joltain tietyltä väliltä reaaliakselilla jatkuva satunnaismuuttuja (kuten elektronisten laitteiden generoiman kohinan amplitudi) 52

4 Käytännön tutkimustyössä tehdään usein seuraavaa: Näytteistetyn satunnaissignaalin (tiedonsiirtokanavasta vastaanotettu signaali) elementit ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, mutta analyysissä niitä kohdellaan jatkuvina, koska jatkuvia muuttujia on helpompi käsitellä Jos sananleveys on riittävä (useita bittejä, ei kahta), niin näin tehty analyysi vastaa kokeellisia tuloksia Pienille sananleveyksille (muutama bitti) näin tehty analyysi ei ole tarkka vaan analyysi ja simulaatiotulokset (joissa käytetään ko. sananleveyttä) poikkevat jonkin verran toisistaan 53

5 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyys Tarkastellaan tapahtumaa jossa satunnaismuuttuja X on lukua x pienempi eli tarkastellaan tapahtumaa {X x}. x voi olla mikä tahansa reaaliluku väliltä ( < x < ) Tapahtuman todennäköisyys on P(X x) Yleensä se merkitään lyhyesti F (x) (tai F X (x) jos on vaara seikoittaa johonkin muuhun vastaavaan funktioon) eli F (x) =P(X x) ( <x< ) (22) Funktiota F (x) kutsutaan todennäköisyys kertymäfunktioksi tai kumulatiiviseksi kertymäfunktioksi (CDF, cumulative distribution funktion) CDF siis kuvaa millä todennäköisyydellä satunnaismuuttuja X on lukua x pienempi 54

6 CDF on todennäköisyys joten 0 F (x) 1 On myös helppo havaita että F () =0jaF ( ) =1 CDF on kasvava funktio eli F (x 1 ) F (x 2 ), x 1 <x 2 Seuraavassaesimerkkejä diskreetistä ja jatkuvasta kertymäfunktiosta sekä näiden sekoituksesta 55

7 F (x) 1 F (x) jatkuva CDF Nopanheiton CDF kun X(s) =s sekoitus CDF x 0 x Diskreetti CDF Jatkuva ja sekoitus CDF:t 56

8 Kertymäfunktion F (x) derivaattaa p(x)(myös p X (x)) kutsutaan satunnaismuuttujan X todennäköisyys tiheysfunktioksi (PDF, probability density function) Nyt siis pätee p(x) = df(x) ( <x< ) (23a) dx ja F (x) = x p(u) du ( <x< ) (23b) Koska F (x) on kasvava, niin p(x) 0 Selvästi p(x) dx = F ( ) = 1 (pinta-ala on 1) 57

9 Diskreettien muuttujien tapauksessa p(x)sisältää impulssinf (x):n epäjatkuvuuskohdassa x i eli tälläisessa kohdassa p(x) on p(x i )=P(X = x i )δ(x x i ) (24) jossa δ(x) on impulssifunktio eli { 1 x =0 δ(x) = 0 x 0 (25) 58

10 Satunnaismuuttujalla X sanotaan olevan jakauma. Jakaumat on usein nimetty henkilöiden (mahdollisesti keksijä) tai PDF funktion mukaan Esimerkkinä ensimmäisestä on Gaussin jakauma ja toisesta eksponentiaalinen jakauma, jossa PDF on eksponentiaalinen. Kullakin jakaumalla on PDF ja CDF, joista se on tunnistettavissa. 59

11 Usein halutaan tietää todennäköisyys jolla satunnaismuuttuja on jollain välillä eli tapahtuman {x 1 <X x 2 } todennäköisyys (x 1 <x 2 ) Tapahtuma voidaan aina esittää kahden toisensa poissulkevan tapahtuman unionina (usein käytetty temppu) Tapahtuma {X x 2 } on selvästi tapahtumien {X x 1 } ja {x 1 <X x 2 } unioni X x 2 X x 1 x 1 <X X 2 x 1 x 2 x 60

12 Tällöin eli Tästä seuraa x1 P(X x 2 )=P(X x 1 )+P(x 1 <X x 2 ) F (x 2 )=F (x 1 )+P(x 1 <X x 2 ) P(x 1 <X x 2 )=F (x 2 ) F (x 1 ) x2 x 1 x 2 = = x2 x2 p(x) dx x1 p(x) dx x 1 p(x) dx (26) Todennäköisyys että satunaismuuttuja X saa arvoja väliltä x 1 < X x 2 on siis PDF:n integraali yli tuon alueen 61

13 Useita satunnaismuutujia Kun tarkastellaan useita yhtäaikaisia tapahtumia tai peräkkäisiä tapahtumiapitäätietää näiden yhteis kertymä- ja/tai tiheysfunktiot (yhteisjakauma) Useat satunnaismuuttujat muodostavat periaatteessa moniulotteisen funktion, joka on määritelty yhdistetyssä näyteavaruudessa Tarkastellaan ensin kahden muuttujan X 1 ja X 2 yhteisjakaumaa ja yleistetään tulokset sen jälkeen useammille muuttujille 62

14 Yhteiskertymäfunktio (yhteis (joint) CDF) on F (x 1,x 2 )=P(X 1 x 1,X 2 x 2 ) = x1 x2 p(u 1,u 2 ) du 1 du 2 (27) jossa p(x 1,x 2 ) on yhteis todennäköisyys tiheysfunktio (yhteis PDF), joka on p(x 1,x 2 )= 2 x 1 x 2 F (x 1,x 2 ) (28) 63

15 Kun yhteis PDF integroidaan yli toisen satunnaismuuttujan saadaan p(x 1,x 2 ) dx 2 = p(x 1 ) (29) jota kutsutaan marginaaliseksi PDF:ksi (erotukseksi varsinaisesta PDF:stä, jota ei ole saatu integroimalla) On helppo havaita että p(x 1,x 2 ) dx 1 dx 2 =1 F (, ) =F (,x 2 )=F (x 1, ) =0 64

16 Yleistys useampiulotteisiin tapauksiin on suoraviivaista F (x 1,...,x n )=P(X 1 x 1,...,X n x n ) = x1 xn p(u 1,...,u n ) du 1...du n n p(x 1,...,x n )= F (x 1,...,x n ) x 1 x n Marginaaliset PDF:t voidaan generoida mille tahansa määrälle satunnaismuuttujia eli p(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,...,x n ) dx 2 dx 4 = p(x 1,x 3,x 5,...,x n ) Havaitaan myös että F (x 1,,x 3,,x 5,...,x n )=F (x 1,x 3,x 5,...,x n ) F (x 1,,x 2,...,x n )=0 65

17 Ehdollinen tiheysfunktio Ehdollinen todennäköisyyshän oli P(A B) =P (A, B)/P (B) Ehdollisen todennäköisyyden, että muuttuja X 1 on pienempi kuin x 1 kun satunnaismuuttuja X 2 on saanut arvon x 2 eli todennäköisyyden P(X 1 x 1 X 2 = x 2 ) laskeminen ei yleisessä tapauksessa onnistu suoraan, koska tyypillisesti P(X 2 = x 2 )=0 ( 0 vain jos kyseessä distreetti muuttuja jolla jokin arvo ko. pisteessä) Lasketaan siis tapahtuman {X 1 x 1 x 2 <X 2 x 2 } todennäköisyys, jossa on pieni positiivinen luku 66

18 Tällöin x1 x2 x P(X 1 x 1 x 2 <X 2 x 2 )= 2 p(u 1,u 2 ) du 1 du 2 x2 x 2 p(u 2) du 2 = F (x 1,x 2 ) F (x 1,x 2 ) F (x 2 ) F (x 2 ) (30) Olettaen, että vaaditut PDF:t ovat jatkuvia alueella (x 2,x 2 ) voidaan osoittaja ja nimittäjä yhtälössä (30) jakaa :lla ja ottaa raja-arvo 0 ( ) Derivaatan määritelmä: lim h 0 f(x) f(x + h) /h 67

19 Tällöin P(X 1 x 1 X 2 = x 2 ) F (x 1 x 2 ) (31) = F(x 1,x 2 )/ x 2 F(x 2 )/ x 2 = [ x 1 x2 p(u ] 1,u 2 ) du 1 du 2 / x2 [ x 2 p(u ] 2) du 2 / x2 x1 = p(u 1,x 2 ) du 1 p(x 2 ) Derivoimalla tämä x 1 :sen suhteen saadaan p(x 1 x 2 )= p(x 1,x 2 ) p(x 2 ) joka on ehdollinen PDF. (32) (33) 68

20 Selvästi meillä onmyös p(x 1,x 2 )=p(x 1 x 2 )p(x 2 )=p(x 2 x 1 )p(x 1 ) (34) Yhtälön (34) yleistys on joskus hyödyllinen jakaumia määrättäessä. Se on p(x 1,x 2,...,x n )=p(x 1,...,x k x k+1,...,x n )p(x k+1,...,x n ) 69

21 Riippumattomat satunnaismuuttujat Riippumattomuushan tarkoitti että eri kokeiden ulostulot eivät millään lailla vaikuta toisiinsa. Havaittiin, että tällöin P(A 1,...,A n )=P(A 1 ) P(A n ) Koska satunnaismuuttujat liittyvät kokeisiin ja P (X x) = F (x) niin satunnaismuuttujat ovat tilastollisesti riippumattomia jos ja vain jos n F (x 1,...,x n )=F(x 1 ) F(x n )= F (x i ) (35) tai p(x 1,...,x n )=p(x 1 ) p(x n )= i=1 n p(x i ) (36) i=1 70

22 Tämä tarkoittaa siis sitä, että riippumattomien satunnaismuuttujien CDF tai PDF on yksittäisten satunnaismuuttujien CDF:ien tai PDF:ien tulo Tämä on hyvin usein käytetty ja hyödyllinen tieto 71

23 Satunnaismuuttujien funktiot Usein tarvitsee tietää mikä on satunnaismuuttujan/muuttujien funktion jakauma Tämä tarkoittaa, että halutaan tietää muuttujan Y = g(x) jakauma, kun tiedetään muuttujan X jakauma Tämä on varsin suoraviivaista jos kuvaus g on yksi-yhteen (yksikäsitteinen) Jos kuvaus ei ole yksikäsitteinen, esim. Y = X 2, niin jakauman määräämisessätäytyy olla hyvin huolellinen Tätä tietoutta tullaan käyttämään esim. joidenkin tiedonsiirtomenetelmien suorituskyvyn määräämisessä (DTS) 72

24 Esimerkki 1 Tarkastellaan muuttujaa Y = ax + b, jossa a>0jab ovat vakioita Kuvaus on lineaarinen ja monotooninen (= joko kasvava tai vähenevä funktio, nyt kasvava) Kuvaus on siis yksikäsitteinen Olkoon F X (x) jaf Y (y) muuttujien X ja Y CDF:t Selvästi ( F Y (y) =P(Y y) =P(aX + b y) =P X y b ) a ( y b ) (y b)/a = F X = p X (x) dx a Derivoimalla F Y (y) saadaan p Y (y) = 1 ( y b ) a p X a 73

25 Lineaarisessa muunnoksessa muuttujan Y = ax + b jakauma on helposti esitettävissä muuttujan X jakauman avulla y Y = ax + b p X (x) p Y (y) x -1 1 x b a 0 b b + ay siirtää (b) venyttää (a) Esimerkin 1 havainnollistaminen 74

26 Esimerkki 2 Tarkastellaan muuttujaa Y = ax 3 + b Kuvaus on yksikäsitteinen y 5 b Y=aX 3 +b x 75

27 Nyt on siis F Y (y) =P(Y y) =P(aX 3 + b y) ( ( y b ) 1/3 ) (( y b ) 1/3 ) =P X = F X a a josta derivoimalla 1 (( y b ) 1/3 ) p Y (y) = 3a[(y b)/a] p 2/3 X a 76

28 Esimerkki 3 Nyt tarkastellaan muuttujaa Y = ax 2 + b Kuvaus ei ole yksikäsitteinen sillä yhtä Y :n arvoa vastaa kaksi X:n arvoa y 5 4 Y=aX 2 +b 3 b x 77

29 Nyt =P F Y (y) =P(aX 2 + b y) ( y b ) ( y b y b ) X =P <X a a a ( y b ) ( y b ) = F X F X a a Derivoimalla saadaan p Y (y) = p ( ) X (y b)/a 2a (y b)/a + p ( ) X (y b)/a 2a (y b)/a 78

30 Esimerkissä 3 havaittiin, että yhtälöllä g(x) =ax 2 + b on kaksi ratkaisua x 1 = (y b)/a ja x 2 = (y b)/a ja että muuttujan Y = ax 2 + b PDF on muotoa p Y (y) = p X(x 1 ) g (x 1 ) + p X(x 2 ) g (x 2 ) jossa x 1 ja x 2 ovat yhtälön g(x) =ax 2 + b juuret ja g (x) on g(x):än derivaatta x:n suhteen Yleisesti muuttujalle Y = g(x) päteekin p Y (y) = p X(x 1 ) g (x 1 ) + + p X(x n ) g (x n ) = n i=1 p X (x i ) g (x i ) jossa x i,i=1,...,n ovat yhtälön y = g(x) reaaliset juuret (37) 79

31 Sovelletaan edellistä tulosta (37) esimerkkiin 1 Nyt Y = ax + b, mutta ei rajoituta tilanteeseen a>0kuten esimerkkissä 1 Yhtälön y = g(x) juuri on y =(y b)/a ja funktion g(x) = ax + b derivaatta on a. Täten p Y (y) = p ( ) X (y b)/a a 80

32 Usean muuttujan tilanne Olkoon X =[x 1... x n ] n dimensioinen satunnaisvektori Sen CDF on F (X) =F (x 1,...,x n ) ja PDF vastaavasti p(x) = p(x 1,...,x n ). Nämä ovat siis muuttujien X 1,...,X n yhteis CDF ja PDF. Vektorimerkintä on siis oiva tapa yksinkertaistaa merkintöjä Meillä on lisäksi yksiarvoiset (yksi ulostulo) funktiot g i (X) jasatunnaismuuttujat Y i = g i (X), jotka riippuvat muuttujista X i,i= 1,...,n Myös Y i :t ja g i (X):t voidaan vektorisoida eli Y =[Y 1... Y n ]ja g(x) =[g 1 (X)... g n (X)] Lisäksi oletetaan että käänteiskuvaukset x i = g 1 (Y) ovatolemassa ja käänteisfunktiot ovat yksiarvoisia. Lisäksi vaaditaan, että funktioiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia 81

33 (seuraava tulos ei siis sovi joka tilanteeseen) Silloin p(y) on ( p Y (Y) =p X g 1 (Y) ) g 1 (Y) (38) Y = p ( X g 1 (Y) ) g(x) (39) X Determinantit g 1 (Y) Y ja g(x) ovat kuvausten g 1 (Y)jag(X) X Jacobiaanit Jacobiaanit ovat g1 1 g1 g 1 y (Y) 1 1 y n Y =..... ja g g(x) 1 g x 1 1 x n gn 1 X =..... (40) g y 1 n g x 1 n x n g 1 n y n 82

34 Jacobiaanit ovat siis muunnosten osittaisderivaatoista muodostettujen matriisien determinatteja Tulos (38) on esitetty oppikirjassa Tulosta (39) ei ole esitetty oppikirjassa mutta se voi olla hyödyllinen, sitähän käytettiin jo yhden muuttujan funktion jakauman löytämisessä eli yksikäsitteisessä tapauksessa tulos (37) on suora seuraus tuloksesta (39) 83

35 Tulos (37) on hieman yleisempi (yhdelle muuttujalle) kuin (39), sillä siinä voiyhtälöllä y = g(x) voi olla useita ratkaisuja, mutta ratkaisussa (39) on oletettu yksi ratkaisu yhtälöryhmälle Y = g(x). Tulos (39) on toki yleistettävissä Otetaan seuraava lineaarisen muunnoksen yleistys esimerkiksi kummankin tavan käytöstä. Kyseistä muunnosta käytetään hyvin usein, joten esimerkki on hyödyllinen Olkoon Y = AX + b, jossa A on ei-singulaarinen n n muunnosmatriisi, Y ja X ovat n 1 satunnaisvektoreita ja b on n 1 vakiovektori Tällöin matriisin A käänteismatriisi A 1 on olemassa Käytetään ensin tapaa (38) Nyt X = A 1 (Y b) =g 1 (Y) Käänteiskuvauksen g 1 (Y) Jacobiaani on A 1 84

36 Näin on koska A 1 (Y b)/ Y = {A 1 Y A 1 b}/ Y = A 1 Miksi näin? Tarkastellaan matriisi vektoritulon Ay i:nettäelementtiä x i = j a ijy j, jossa a ij ja y j ovat m n matriisin A ja n 1 vektorin y elementit. Silloin x i = { j a } ijy j y k y k = { } a i1 y a ik y k a in y n = a ik y k eli matriisin A (i, k) :s elementti Osittaisderivaattoja x i y on m n kpl jotka järjestettynä matriisiin antavat halutun tuloksen eli k x y = {Ay} = A y 85

37 Tuloksen (38) mukaan saadaan siis ( p(y) =p X A 1 (Y b) ) A 1 = p ( X A 1 (Y b) ) A sillä determinanteille pätee A 1 =1/ A Käytetään sitten tapaa (39) Tarkasteltava muunnos on Y = AX + b = g(x) Muunnoksen g(x) Jacobiaani on A Tuloksen (39) mukaan p(y) = p ( X A 1 (Y b) ) A joka on sama kuin tuloksen (38) avulla laskettu tulos 86

38 Tilastolliset keskiarvot Satunnaismuutujien tilastolliset keskiarvot ovat usein tarvittu ominaisuus ja ne ilmenevät useissa eri yhteyksissä, esim. demodulaattorien ja kanavakorjainten suunnittelussa Tärkeimpinä ovat ehkäpä ensimmäinen ja toinen momentti ja 2. keskeismomentti. Satunnaismuuttujan n:s momentti on E{X n } = x n p(x) dx (41) 1. momenttia kutsutaan satunnaismuuttujan tilastolliseksi keskiarvoksi tai odotusarvoksi (mean or expected value) ja se on E{X} m x = xp(x) dx (42) 87

39 Olkoon satunnaismuuttuja Y = g(x). Sen odotusarvo on E{Y } = g(x)p(x) dx (43) Miksi tämä kuvaa (yleisesti) keskiarvoa? Diskreetissä tapauksessa E{Y } = i g(x i)p (x = x i )δ(x x i ) selvästi kuvaa muuttujien g(x i )keskimääräistä arvoa Esim. nopanheitossa, jos g(x) = nopan silmäluku, saadaan 1 1/6+2 1/ /6 =3, 5 eli 1 esiintyy frekvenssillä 1/6, 2 frekvenssillä 1/6 jne. ja keskimääräinen arvo on 3,5 jatkuville muuttujille keskimääräinen arvo vastaa ylläolevaa integraalia 88

40 Olkoon Y =(X m x ) n eli X josta on vähennetty keskiarvo (potenssiin n) Tämän keskiarvo on E{(X m x ) n } = (x m x ) n p(x) dx (44) jota kutsutaan n:ksi keskeismomentiksi Se on momentti keskiarvon suhteen 2. keskeismomenttia kutsutaan varianssiksi ja se on E{(X m x ) 2 } σ 2 x = (x m x ) 2 p(x) dx (45) ja se kuvaa muuttujan arvon heilumista keskiarvon ympärillä eli hajontaa 89

41 Purkamalla neliöinti saadaan σx 2 = (x 2 2xm x + m 2 x)p(x) dx = x 2 2 p(x) dx 2m x xp(x) dx +mx p(x) dx }{{}}{{}}{{} E{X 2 } m x 1 =E{X 2 } m 2 x (46) joka muodostaa yhteyden varianssin sekä ensimmäisen ja toisen momentin välille Nollakeskiarvoiselle satunnaismuuttujalle varianssi ja toinen momentti ovat samat 90

42 Kahden muuttujan tapauksessa saadaan yhteismomentti E{X k 1 X n 2 } = sekä yhteis keskeismomentti E{(X 1 m 1 ) k (X 2 m 2 ) n } = x k 1x n 2p(x 1,x 2 ) dx 1 dx 2 (47) (x 1 m 1 ) k (x 2 m 2 ) n p(x 1,x 2 ) dx 1 dx 2 (48) jossa m i =E{X i }. Kiinnostavin tilanne on kun n = k = 1. Silloin muuttujien X i ja X j yhteismomenttia kutsutaan korrelaatioksi ja yhteiskeskeismomenttia kovarianssiksi 91

43 Korrelaatio on siis ja kovarianssi on E{X i X j } (49) µ ij =E{(X i m i )(X j m j )} (50) eli ne ovat muuttujien tulojen odotusarvot Kovarianssin sekä korrelaation ja keskiarvojen välillä onyhteys µ ij =E{X i X j X i m j m i X j + m i m j } =E{X i X j } E{X i } m }{{} j m i E{X j } +m }{{} i m j m i =E{X i X j } m i m j (51) Nollakeskiarvoisille muuttujille korrelaatio ja kovarianssi ovat samat m j 92

44 Useamman muuttujan tapauksessa voidaan myös määritellä erilaisia yhteismomentteja mutta useimmiten ollaan kiinnostuttu vain korrrelaatiosta ja kovarianssista eri muuttujien välillä. Olkoon meillä satunnaisvektori X = [X 1 X 2... X n ] T jossa yläindeksi T tarkoittaa transpoosia. X on siis n 1 pystyvektori Korrelaattiomatriisi sisältää vektorin X alkioiden väliset korrelaatiot ja kovarianssimatriisi niiden väliset kovarianssit Korrelaatiomatriisi on siis E{X 1 X 1 } E{X 1 X 2 }... E{X 1 X n } E{XX T } = E{X 2 X 1 } E{X 2 X 2 }... E{X 2 X n } (52) E{X n X 1 } E{X n X 2 }... E{X n X n } Diagonaali sisältää kunkin alkion 2. keskeismomentin ja diagonaalin ulkopuoliset elementit alkioiden välisiä yhteismomentteja 93

45 ... m n ] T muuttujien X i keskiarvo- Olkoon m =E{X} =[m 1 vektori Kovarianssimatriisi on E{(X m)(x m) T } = µ 11 µ µ 1n µ 21 µ µ 2n (53) µ n1 µ n2... µ nn Diagonaali sisältää alkioiden varianssit sillä µ ii = σ 2 i Vastaavasti voidaan määrittää satunnaisvektorien X ja Y väliset ristikorrelaatio- ja -kovarianssimatriisi eli E{XY T } ja E{(X m x )(Y m y ) T } 94

46 Korreloimattomuus Kahta satunnaismuuttujaa X i ja X j sanotaan korreloimattomiksi jos niiden välinen kovarianssi on nolla eli µ ij =0 Tästä seuraa se, että korrelaatio on keskiarvojen tulo, silläyhtälöstä µ ij =E{X i X j } m i m j = m i m j =0 saadaan E{X i X j } = m i m j =E{X i } E{X j } Tästä seuraa että tilastollisesti riippumattomat satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia Tästä ei seuraa että korreloimattomat satunnaismuuttujat ovat välttämättä riippumattomia (näin toki voi olla) Satunnaismuuttujien sanotaan olevan ortogonaalisia jos E{X i X j } =0 95

47 Näin on esim. jos muuttujat ovat korreloimattomia ja jompi kumpi tai molemmat keskiarvoista ovat nollia 96

48 Karakteristinen funktio Määritelmän mukaan satunnaismuuttujan karakteristinen funktio on E{e jvx } ψ(jv)= e jvx p(x) dx, j = 1 (54) Tämä vastaa Fourier muunnosta (lukuunottamatta eksponentin miinus merkkiä, mutta sillä eioleväliä) Fourier käänteismuunnoksesta seuraa että muuttujan PDF karakteristisen funktion avulla ilmaistuna on p(x) = 1 ψ(jv)e jvx dv (55) 2π Karakteristisen funktion avulla voidaan siis määrittää muuttujan PDF 97

49 Toinen hyödyllinen seikka on yhteys momentteihin Derivoimalla karakteristien funktio muuttujan v suhteen saadaan dψ(jv) = j xe jvx p(x) dx dv Ratkaisemalla tämä pisteessä v = 0 saadaan dψ(jv) = j xp(x) dx dv v=0 eli 1. momentti (keskiarvo) on ilmaistavissa myös muodossa E{X} = j dψ(jv) (56) dv v=0 98

50 Korkeamman asteen derivaatoista saadaan korkeammille momenteille yhtälö E{X n } =( j) ndn ψ(jv) v=0 (57) dv n Karakteristisen funktion avulla voidaan siis määrätä muuttujan momentit 99

51 Karakteristinen funktio voidaan esittää sarjamuodossa Karakteristisen funktion Taylorin sarja pisteen v = 0ympäristössä on d n ψ(jv) v=0 v n ψ(jv)= dv n n! k=0 Sijoittamalla tähän derivaatan paikalle yhtälöstä (56) saatu derivaatta saadaan ψ(jv)= E{X n } (jv)n (58) n! k=0 Karakteristinen funktio voidaan siis esittää myös momenttien avulla 100

52 Karakteristisen funktion avulla on helppo löytää riippumattomien satunnaismuuttujien summan PDF Tarkastellaan usean muuttujan summaa eli muuttujaa n Y = i=1 X i 101

53 Sen karakteristinen funktio on ψ Y (jv)=e{e jvy } { =E exp ( jv n ) } X i i=1 { n ( ) } =E e jvx i (sillä e a+b = e a e b ) = i=1 ( n i=1 ) e jvx i p(x 1,...,x n ) dx 1...,dx n 102

54 Koska muuttujat X i ovat riippumattomia, niin p(x 1,...,x n )= p(x 1 ) p(x n ) jolloin n [ ] ψ Y (jv)= e jvx i p(x i ) dx i = i=1 n ψ Xi (jv) (59) i=1 Riippumattomien muuttujien summan karakteristinen funktio on siis yksittäisten muuttujien karakterististen funktioiden tulo Summan PDF on tämän käänteinen Fourier muunnos Jos muuttujat ovat identtisesti jakautuneita eli p(x i )=p(x j ) i, j niin ψ Y (jv)= [ ψ X (jv)] n (60) 103

55 Fourier muunnoksen ominaisuuksista seuraa, ettäpdf:iäkäyttäen riippumattomien muuttujien summan PDF on yksittäisten PDF:ien konvoluutio Tulo on kuitenkin usein helpompi laskea kuin konvoluutio, joten karakteristisen funktion käyttö ko. summanpdf:n määräämiseen on useimmiten järkevää 104

56 Usean muuttujan yhteisjakauman tapauksessa tarvitaan moniulotteista Fourier muunnosta n:lle muuttujalle karakteristinen funktio on { n } ψ(jv 1,...,jv n )=E exp (j v i X i ) = i=1 exp (j n v i x i )p(x 1,...,x n ) dx 1...dx n i=1 Kahden muuttujan tapauksessa meillä on ψ(jv 1,jv 2 )= e j(v 1x 1 +v 2 x 2 ) p(x 1,x 2 ) dx 1 dx 2 105

57 Momentit saadaan generoitua vastaavasti kuten yhden muuttujan tapauksessa ottamalla osittaisderivaatat muuttujien suhteen ja ratkaisemalla se pisteissä v i =0 i. Esimerkiksi kahden muuttujan tapauksessa saadaan }{{} jj E{X 1 X 2 } = 2 ψ(jv 1,jv 2 ) v1 v 1 v 2 =v 2 =0 1 Korkeammat momentit voidaan käsitellä vastaavasti 106

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan Mitä pitäisi vähintään osata Tässäkäydään läpi asiat jotka olisi hyvä osata Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan osattavan 333 Kurssin sisältö Todennäköisyyden, satunnaismuuttujien

Lisätiedot

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2 HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.

Lisätiedot

TIEDONSIIRRON MATEMAATTISET MENETELMÄT S. Harri Saarnisaari. Centre for Wireless Communications (CWC) University of Oulu, Finland

TIEDONSIIRRON MATEMAATTISET MENETELMÄT S. Harri Saarnisaari. Centre for Wireless Communications (CWC) University of Oulu, Finland TIEDONSIIRRON MATEMAATTISET MENETELMÄT 2005 521309S Harri Saarnisaari Centre for Wireless Communications (CWC) University of Oulu, Finland Luennot Harri Saarnisaari Yhteystiedot puh. 553 2842, email: harri.saarnisaari@ee.oulu.fi

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

Tarkastellaan sitten tilastollisesti riippumattomien identtisesti kuten X edellä jakautuneiden muuttujien summaa Y = X i. 1 p p. Muuttujan X PDF.

Tarkastellaan sitten tilastollisesti riippumattomien identtisesti kuten X edellä jakautuneiden muuttujien summaa Y = X i. 1 p p. Muuttujan X PDF. Jakaumia Seuraavassa esitellään digitaalisessa tietoliikenteessäuseinkäytettyjä jakaumia Esitellään jakaumien CDF, PDF ja karakteristiset funktiot sekä joitain momentteja kuten keskiarvo, 2. momentti ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1) HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

k S P[ X µ kσ] 1 k 2.

k S P[ X µ kσ] 1 k 2. HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)

Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min) Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.

0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}. HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa

Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo

4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo 4 Odotusarvo Seuraavaksi kertaamme, miten satunnaismuuttujan odotusarvo (sv. väntevärde) määritellään diskreetissä ja jatkuvassa tapauksessa. Odotusarvolle käytetään englannikielisessä kirjallisuudessa

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa? 21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja jakaumat

Satunnaismuuttujat ja jakaumat Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio. Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot