ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 28. lokakuuta 2015
Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Moottori ja generaattori Ampèren laki ja siirrosvirta Rajapintaehdot (kertaus) Varauksien häviämättömyys Vapaiden varauksien leviäminen johteessa Dynaamiset potentiaalit 2 (21)
Maxwellin yhtälöt Differentiaalimuodossa E = B t H = J + D t D = ρ v B = 0 (Faradayn laki) (Ampèren laki) (Gaussin laki) (magn. Gaussin laki) D = ε E B = µ H J = σ E lineaarinen, homogeeninen ja isotrooppinen aine Muutosilmiöt kytkevät sähkö- ja magneettikentät. 3 (21)
Faradayn induktiolaki Integroidaan Faradayn laki mielivaltaisen avoimen pinnan yli: ( E) ds = B t ds tokesin lauseen avulla vasemmasta puolesta saadaan silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima (smv) ( E) ds = E dl = V emf, ja oikea puoli on silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutos B t ds = B ds = Φ t t. C 4 (21)
Faradayn induktiolaki Jos silmukan sijaan on kela, jossa on N kierrosta, ja sallitaan käyrän C muuttuvan ajan funktiona saadaan induktiolain yleisempi muoto: V emf = N dφ dt Magneettivuon muutos voi siis johtua magneettikentän muutoksesta (muuntaja-smv, Vemf tr ) ja/tai silmukan/kelan liikkestä/muodonmuutoksesta (liike-smv, Vemf m ). 5 (21)
Muuttuva magneettivuo silmukan läpi ilmukan läpi kulkee kasvava magneettivuo(ntiheys). B C I Muuttuva magneettivuo indusoi silmukkaan sähkömotorisen voiman: V emf = dφ dt = B t ds < 0 mv synnyttää johdesilmukkaan virran I. Virta synnyttää magneettivuon silmukan läpi. Uusi magneettivuo kulkee silmukan läpi poispäin, eli se vastustaa alkuperäistä magneettivuon muutosta. 6 (21)
Lenzin laki Muutosvastarinta seuraa tavallaan Faradayn lain miinusmerkistä, mutta ilmiö tunnetaan myös Lenzin lakina: uljettuun johdinsilmukkaan indusoituva virta aiheuttaa magneettikentän, joka pyrkii vastustamaan silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutosta. (Kaikki induktioilmiöt vastustavat muutosta. Päinvastaisessa tapauksessa jouduttaisiin epästabiiliin tilaan... ) 7 (21)
Ideaalimuuntaja I Φ 1 I 2 N 1 V 1 V 2 N 2 µ r 1 Induktio vaatii muuttuvan magneettivuon eli käytännössä vaihtovirran. Huomaa suunnat: Lenzin lain mukaan tällä tavalla saadaan positiiviset tulokset. Ideaalimuuntajassa magneettivuo Φ pysyy kokonaisuudessaan rautasydämessä, jolloin Faradayn laki antaa: V 1 V 2 = N 1 N 2 Lisäksi ideaalimuuntaja oletetaan häviöttömäksi: V 1 I 1 = V 2 I 2 8 (21)
Liike-smv Johdinlanka liikkuu vakiomagneettikentässä. 1 Varaukseen kohdistuu voima dl = ŷ dl B = ẑ B F m = qu B, l +q F m u = x u jota vastaa ei-konservatiivinen sähkökenttä E m = F m q = u B. 2 Integroimalla saadaan langan päiden välille indusoitunut liike-smv 1 1 Vemf m = E m dl = (u B) dl = ubl 2 2
Liike-smv Yleisemmin, suljettuun simukkaan C indusoituu liike-smv V m emf = C (u B) dl missä vain magneettikentän poikki liikkuvat osat vaikuttavat lopputulokseen. mv:n referenssisuunta on sama kuin polun C kiertosuunta. Indusoituneen virran suunta kannattaa kuitenkin aina varmistaa Lenzin lain avulla. 10 (21)
Liike-smv ja Faradayn induktiolaki Liike-smv:n saa periaatteesa myös Faradayn lain avulla, kun magneettivuon muutoksen tulkitsee oikein. u dt B Hetkessä dt johdin pyyhkii pinta-alan da = lu dt. l t t + dt u Tämän avulla saadaan V emf = dφ da = B dt dt Blu dt = = Blu dt 11 (21)
Vaihtovirtamoottori B V(t) R I 1 I [Ulaby & Ravaioli, 2015, (a) ac Figure motor6 11(a)] 4 ω Axis of rotation N 2 3 Magnet Virtasilmukka B-kentässä kokee vääntömomentin, kunnes silmukka on kääntynyt kohtisuorasti magneettikenttää vastaan. Vaihtamalla virran suunta (sinimuotoisesti) saadaan silmukka pyörimään. B 2 12 (21)
ω Vaihtovirtageneraattori Axis of rotation (a) ac motor B 2 Pyöritetään johdinsilmukkaa B-kentässä tasaisella kulmanopeudella ω. 1 I 3 Magneettivuo silmukan läpi on tällöin muotoa R m V emf I ω Axis of rotation [Ulaby & Ravaioli, (b) 2015: ac generator Figure 6 11(b)] 4 N Magnet Figure 6-11 Principles of the ac motor and the ac generator. In (a) the magnetic torque on the wires causes the loop to rotate, and in (b) the rotating loop generates an emf. Φ(t) = Φ 0 cos (ωt + φ 0 ) joten saadaan sinimuotoinen smv ja virta kulmataajuudella ω. 13 (21)
Ampèren laki ja siirrosvirta Magneettikentän näkökulmasta johtavuusvirrantiheys J ja siirrosvirrantiheys J d 1 ovat samanlaisia lähdesuureita: H = J + D t Vastaavasti integraalimuodossa (tokesin lauseen avulla): C H dl = D J ds + t ds = I c + I d iirrosvirta I d ei ole oikea virta (varauksien liikettä), mutta sen käsitteleminen virtana on kuitenkin usein varsin näppärä tapa selittää muuttuvan sähkökentän synnyttämä magneettikenttä. 1 iirrosvirran lisääminen Ampèren lakiin oli Maxwellin keksintö. 14 (21)
Vaihtovirran kulkeminen kondensaattorin läpi I 1 = I 1c V s (t) Imaginary surface 1 + + + + + + + E I 2d y Imaginary surface 2 3 The displacement current I 2d in the insulating material of the capacitor is equal to the conducting cu [Ulaby & Ravaioli, 2015: Figure 6 13] Pinnan 1 läpi kulkee johtavuusvirta I 1 = I 1c, jonka on pakko olla sama kuin siirrosvirta I 2d pinnan 2 läpi. (Voidaan ajatella, että venytetään 1 :n pinta 2 :n kohdalle siten, että 1 :n reunakäyrä pysyy paikallaan.) 15 (21)
Kenttien rajapintaehdot Kuten statiikassa: Jos rajapinnalla ei ole lähteitä, vuontiheyksien D ja B normaalikomponentit sekä kentänvoimakkuuksien E ja H tangentiaalikomponentit ovat jatkuvia. Pintavaraus ρ s on D:n lähde (Gaussin laki) epäjatkuva D:n normaalikomponentti. Pintavirta J s synnyttää H:n pyörteen (Ampèren laki) epäjatkuva H:n tangentiaalikomponentti. Matemaattisesti siis n 2 (D 1 D 2 ) = ρ s, n 2 (E 1 E 2 ) = 0, n 2 (B 1 B 2 ) = 0, n 2 (H 1 H 2 ) = J s, missä n 2 on aineen 2 ulkonormaali. 16 (21)
Varauksien häviämättömyys Varauksien häviämättömyyslakia voidaan pitää omana peruslakinaan, mutta se seuraa myös Maxwellin yhtälöistä: Ottamalla divergenssi Ampère laista ( ( H) = J + D ) = J + ( D) }{{} t t }{{} =0 =ρ v saadaan varauksien häviämättömyyslaki J = ρ v t Virrantiheyden lähde on siis varaustiheyden pieneminen ajan funktiona. 17 (21)
Kirchhoffin virtalaki Integroimalla tilavuuden yli ja käyttämällä Gaussin lausetta saadaan ρ v I = J ds = dv = dq V t dt, eli kokonaisvirta suljetun pinnan 2 läpi ulospäin on pinnan sisällä olevan kokonaisvarauksen negatiivinen aikaderivaatta. Jos kokonaisvaraus ei muutu, saadaan Kirchhoffin virtalaki: J ds = 0 olmupisteeseen tulevien virtojen summa on sama kuin sieltä lähtevien virtojen summa. [Piirianalyysi I] 2 Oletetaan tässä, että pinta ei muutu ajan funktiona. 18 (21)
Vapaiden varauksien leviäminen johteessa Jos johteeseen tuodaan ylimääräinen vapaa varaus, se asettuu johteen pinnalle, mutta kuinka nopeasti? Homogeenisessa isotrooppisessa johteessa saadaan diff.yht. ρ v t = J = σ E = σ ε D = σ ε ρ v ρ v t + σ ε ρ v = 0 jonka ratkaisu on ρ v (t) = ρ v0 e (σ /ε)t = ρ v0 e t/τ r, missä ρ v0 on tilavuusvaraustiheys hetkellä t = 0 ja aikavakio τ r = ε σ = relaksaatioaika. 19 (21)
Dynaamiset potentiaalit Dynaaminen sähkökenttä ei ole pyörteetön, joten se ei ole suoraan esitettävissä skalaaripotentiaalin avulla. Magneettikenttä voidaan kuitenkin esitettää vektoripotentiaalin avulla B = A, jolloin Faradayn laista saadaan E = B t = ( A) t ( E + A ) = 0, }{{ t } = V joten sähkökenttä voidaan esittää skalaaripotentiaalin ja vektoripotentiaalin kombinaatiolla: E = V A t 20 (21)
Aikaharmonisen virtajakauman kentät Aikaharmonisessa tapauksessa (e jωt ) voidaan laskea annetun virrantiheysosoittimen J aiheuttama vektoripotentiaaliosoitin à integroimalla, Ã(R) = µ V J(R i ) e jkr dv 4π R, minkä jälkeen kahdella roottorilla saadaan magneetti- ja sähkökenttäosoittimet: H = 1 µ Ã, Ẽ = 1 jωε H. Tällä tavalla lasketaan myöhemmin virta-alkion säteily. Muuten dynaamisia tai aikaharmonisia potentiaaleja ei tällä kurssilla tarvita. (Katso tarkemmat yksityiskohdat oppikirjasta.) 21 (21)