HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn nimi Arbetets titel Title Mtemtiikn j tilstotieteen litos Riemnn-Stieltjesin integrli Oppiine Läroämne Subject Mtemtiikk Työn lji Arbetets rt Level Aik Dtum Month nd yer Sivumäärä Sidontl Number of pges Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 2015 34 s. Tiivistelmä Refert Abstrct Tämän pro grdu -tutkielmn trkoituksen on esitellä Riemnn-Stieltjesin integrli. Lukijlt odotetn nlyysin peruskurssien osmist. Yleisesti tässä tutkielmss käsitellään mielenkiintoisi j tärkeitä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Näihin tuloksiin trjotn in todistukset sekä muutmiss tpuksiss käydään läpi myös esimerkki. Tutkielm noj usesti iemmin tutkielmss todistettuihin luseisiin ti määritelmiin, mikä vtii lukijlt plmist iempiin todistuksiin. Mutt tässä tutkielmss ei ole linkn todistuksi, jotk täytyisi trkist muult. Tässä rkennetn koko jn vnhn päälle j lopuss sitten käydään läpi yksinkertinen esimerkki todennäköisyyslskennst, joss käytetään läpikäytyjä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Tutkielmss käydään läpi ensimmäiseksi Riemnn-Stieltjesin integrlin määritelmä j sen ominisuuksi. Luvuss 3 käydään läpi muutmi olennisimmist ominisuuksist, joihin tulln viittmn seurviss kppleiss. Näitä ovt muun muss linerisuus j osittisintegrointi. Porrsfunktiot ovt tämän tutkielmn olennisin funktioiden muoto. Luvuss 4 tulee mont tärkeää lisäominisuutt j trkennust. Ylä- j lsummt mhdollisesti vvt integrlin käsitystä vielä lisää. Rjoitetusti heilhtelevuus on hieno ominisuus, jok toimii hyvänä linkkinä Riemnnin integrliin. Pljon tulee myös ehtoj Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle. Luvuss 5 käydään läpi kksi erilist välirvolusett Riemnn-Stieltjesin integrlille. Viimeisessä luvuss ktsotn yhteys todennäköisyyslskentn j käydään läpi yksi yksinkertinen esimerkki. Avinsnt Nyckelord Keywords Riemnn-Stieltjesin integrli, Porrsfunktiot, Rjoitetusti heilhtelevuus Säilytyspikk Förvringsställe Where deposited Kumpuln tiedekirjsto Muit tietoj Övrig uppgifter Additionl informtion

Stieltjesin integrli Antti Khri

Sisältö 1 Johdnto 2 2 Riemnn-Stieltjesin integrlin ominisuuksi 3 3 Lineriset ominisuudet 5 3.1 Osittisintegrointi................................ 7 3.2 Plutus Riemnnin integrliin........................ 8 3.3 Porrsfunktiot integrttorein........................ 9 4 Ylä- j lsummt 15 4.1 Riemnnin ehto................................. 18 4.2 Rjoitetusti heilhtelevt integrttorit.................... 20 4.3 Lisää ominisuuksi............................... 24 4.4 Riittävät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle....... 25 4.5 Välttämättömät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle... 26 5 Välirvoluse 28 5.1 Välirvoluse Riemnn-Stieltjesin integrlille................ 28 5.2 Toisenlinen välirvoluse Riemnnin integrlille.............. 29 5.3 Integrli ylärjn funktion.......................... 30 6 Esimerkki todennäköisyyslskennss 32 1

Luku 1 Johdnto Tämän pro grdu -tutkielmn trkoituksen on esitellä Riemnn-Stieltjesin integrli. Lukijlt odotetn nlyysin peruskurssien osmist. Yleisesti tässä tutkielmss käsitellään mielenkiintoisi j tärkeitä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Näihin tuloksiin trjotn in todistukset sekä muutmiss tpuksiss käydään läpi myös esimerkki. Tutkielm noj usesti iemmin tutkielmss todistettuihin luseisiin ti määritelmiin, mikä vtii lukijlt plmist iempiin todistuksiin. Mutt tässä tutkielmss ei ole linkn todistuksi, jotk täytyisi trkist muult. Tässä rkennetn koko jn vnhn päälle j lopuss sitten käydään läpi yksinkertinen esimerkki todennäköisyyslskennst, joss käytetään läpikäytyjä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Tutkielmss käydään läpi ensimmäiseksi Riemnn-Stieltjesin integrlin määritelmä j sen ominisuuksi. Luvuss 3 käydään läpi muutmi olennisimmist ominisuuksist, joihin tulln viittmn seurviss kppleiss. Näitä ovt muun muss linerisuus j osittisintegrointi. Porrsfunktiot ovt tämän tutkielmn olennisin funktioiden muoto. Luvuss 4 tulee mont tärkeää lisäominisuutt j trkennust. Ylä- j lsummt mhdollisesti vvt integrlin käsitystä vielä lisää. Rjoitetusti heilhtelevuus on hieno ominisuus, jok toimii hyvänä linkkinä Riemnnin integrliin. Pljon tulee myös ehtoj Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle. Luvuss 5 käydään läpi kksi erilist välirvolusett Riemnn-Stieltjesin integrlille. Viimeisessä luvuss ktsotn yhteys todennäköisyyslskentn j käydään läpi yksi yksinkertinen esimerkki. 2

Luku 2 Riemnn-Stieltjesin integrlin ominisuuksi Integrli käytetään muun muss pint-lojen lskemiseen. Perite itsessään on yksinkertinen: l jetn moneen pieneen suorkulmioon j lsketn ost yhteen. Epämääräisen muotoinen l on mhdotont jk tsn suorkulmioihin, mutt vlittess yhä pienempiä suorkulmioit, pystytään rvioimn epämääräistäkin l yhä trkemmin. Ide integrliss on, että pint-l jetn n määrään osi, jotk ovt jokinen suorkulmioit, joiden lt sitten lsketn yhteen. Tämä summ nt hlutun pint-ln, j kun n ksv, summst sdn tsn oike pint-l. Lukioss käytetään Riemnnin integrli, jok kirjoitetn esimerkiksi muotoon F (x) = x f(t)dt. Tässä tutkielmss hipistn myös derivtt kosk se on integrlin knss vhvsti kytköksissä. Voidn sno, että ne ovt toistens käänteisopertiot. Derivtt yllä minitust integrlist tuott siis sen lkuperäisen funktion: F (x) = f(x) Stieltjesin integrlin yleinen kirjoitusmuoto ei pljo ero Riemnnin integrlist, sillä vstv Stieltjesin integrlin muoto on F (x) = x f(t)dα(t). Eli Stieltjesin integrliss on kksi funktiot yhden sijst. Stieltjesin integrli on yleisempi muoto verrttun lukioss käytettyyn Riemnnin integrliin, missä α(t) = t. Määritellään ensiksi Riemnn-Stieltjesin integrlin lskuiss pljon käytetty ositus (mhdollisesti käytetään myös termiä jko). 3

Määritelmä 2.1. Jos [, b] on äärellinen väli, silloin pistejoukko P = {x 0, x 1,..., x n }, jok toteutt epäyhtälöt = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b kutsutn välin [, b] ositukseksi. Väliä [x k 1, x k ] kutsutn P :n k:nneksi osväliksi j kirjoitetn x k = x k x k 1, jolloin n x k = b. Kokoelm kikist mhdollisist välin [, b] osituksist merkitään P [, b]. Määritelmä 2.2. Olkoon P = {x 0, x 1,..., x n } välin [, b] ositus j olkoon t k piste osvälillä [x k 1, x k ]. Seurv summ kutsutn f:n Riemnn-Stieltjesin summksi α:n suhteen S(P, f, α) = f(t k ) α k. Snotn, että f on Riemnn-integroituv suhteess α:n välillä [, b] j kirjoitetn f R(α) välillä [, b], jos on olemss luku A, joll on seurv ominisuus: Jokiselle ɛ > 0 on olemss sellinen välin [, b] ositus P ɛ, että jokiselle ositust P ɛ hienommlle ositukselle P, j kikille pisteille t k väleillä [x k 1, x k ], on S(P, f, α) A < ɛ. Termillä hienompi trkoitetn että hienommll osituksell on lisää jkopisteitä. Kun kyseinen luku A on olemss, se on yksikäsitteisesti määrätty j sitä merkitään fdα ti f(x)dα(x). Snotn lisäksi, että Riemnn-Stieltjesin integrli fdα on olemss. Funktiot f kutsutn integrndiksi j funktiot α integrttoriksi. Erikoistpuksess, joss α(x) = x, kirjoitetn S(P, f, α):n sijst S(P, f) j f R(α):n sijst kirjoitetn f R. Tässä erikoistpuksess kutsumme tätä integrli Riemnn-integrliksi j merkitsemme sitä b fdx ti f(x)dx. Luku f(x)dα(x) riippuu inostn muuttujist f, α, j b, se ei riipu symbolist x. Jos α on jtkuvsti derivoituv, näemme myöhemmin luseess 3.6, että f dα = f(x)α (x) dx. Esimerkki 2.3. Olkoon f(x) = 2x j olkoon α(x) = x 3. Lsketn Riemnn-Stieltjesin integrlin rvo välillä [1, 3]. 3 1 2x d(x 3 ) = 3 1 2x(3x 2 ) dx = 3 1 6x 3 dx = 1 / 3 3 2 x4 = 120 4

Luku 3 Lineriset ominisuudet Osoitetn että Riemnn-Stieltjesin integrli riippuu linerisesti sekä integrndist että integrttorist. Seurvt kksi lusett todistuksineen näyttävät tämän todeksi. Luse 3.1. Jos f R(α) j g R(α) välillä [, b], niin c 1 f + c 2 g R(α) välillä [, b] (millä thns vkioill c 1 j c 2 ) j (c 1 f + c 2 g) dα = c 1 f dα + c 2 g dα. Todistus. Olkoon h = c 1 f +c 2 g. Jos P = {x 0,..., x n } on välin [, b] ositus j t k [x k 1, x k ], niin voidn kirjoitt S(P, h, α) = h(t k ) α k = c 1 f(t k ) α k + c 2 = c 1 S(P, f, α) + c 2 S(P, g, α). g(t k ) α k Oletten että ɛ > 0, vlitn jko P ɛ niin, että sen jokiselle lijolle P pätee ehto S(P, f, α) f dα < ɛ j vlitn myös toinen jko P ɛ niin, että sen jokiselle lijolle P pätee ehto S(P, g, α) g dα < ɛ. Jos otetn P ɛ = P ɛ P ɛ silloin meillä on P :lle, jok on hienompi ositus kuin P ɛ, S(P, h, α) c 1 f dα c 2 g dα c 1 ɛ + c 2 ɛ, j tämä todist luseen. 5

Luse 3.2. Jos f R(α) j f R(β) välillä [, b], silloin f R(c 1 α + c 2 β) (millä vin vkioill c 1 j c 2 ) j pätee kv f d(c 1 α + c 2 β) = c 1 f dα + c 2 f dβ. Luseen todistus on niin smnkltinen luseen 3.1. todistuksen knss, että sen esittäminen ei ole trpeellist. Seurvksi todistetn integrlin dditiivisuus integrointivälin suhteen. Luse 3.3. Oletetn että c (, b). Jos kksi kolmest integrlist ll olevss yhtälössä on olemss, niin myös kolms on olemss j c f dα + c f dα = f dα. Todistus. Jos P on välin [, b] ositus siten, että c P, olkoon P = P [, c] j P = P [c, b]. Riemnn-Stieltjesin summi tällisist joist yhdistää yhtälö S(P, f, α) = S(P, f, α) + S(P, f, α). Oletetn että c f dα j f dα ovt olemss. (Voitisiin myös olett että esimerkiksi c b f dα j f dα ovt olemss, mistä löytyy lskut myöhemmin). Silloin, oletten että c ɛ > 0, on olemss välin [, c] ositus P ɛ siten että c S(P, f, α) f dα < ɛ/2 in kun P on ositust P ɛ hienompi ositus, j on olemss ositus P väliltä [c, b] siten että S(P, f, α) f dα < ɛ/2 in kun P on ositust P ɛ hienompi ositus. c Tällöin P ɛ = P ɛ P ɛ on välin [, b] ositus j jos ositus P on hienompi kuin P ɛ, niin voidn yhdistämällä edellä minitut tulokset joht seurv epäyhtälö: c S(P, f, α) f dα f dα < ɛ. Tämä todist, että f dα on olemss j on yhtä suuri kuin c f dα + f dα. Induktioll pystymme todistmn smnlisen tuloksen äärelliselle määrällä välin [, b] c osvälejä. 6 c

Jos oletetn että f dα j f dα ovt olemss, sdn johdettu smll tvll c j smoin merkinnöin epäyhtälö ( S(P, f, α) f dα S(P, f, α) f dα) < ɛ j c ( S(P, f, α) f dα f dα) < ɛ. c Tämä todist, että c f dα on olemss j on yhtä suuri kuin f dα f dα. c Otetn vielä yksi määritelmä täydentämään dditiivisuutt integroimisvälin suhteen. Luse 3.4. Jos < b, määritellään f dα = f dα in kun f dα on olemss. b Määritellään myös f dα = 0. Luseen 3.4 yhtälö voidn nyt kirjoitt myös seurvsti f dα + 3.1 Osittisintegrointi c b f dα + c f dα = 0. On olemss merkittävä yhteys integrndin j integrttorin välillä Riemnn-Stieltjesin integrliss. Integrlin f dα olemssolo merkitsee integrlin α df olemssolo. Myös päinvstinen on tott. Luse 3.5. Jos f R(α) välillä [, b], niin silloin α R(f) välillä [, b] j f(x) dα(x) + α(x) df(x) = f(b)α(b) f()α(). Todistus. Olkoon ɛ > 0 nnettu. Kosk f dα on olemss, on olemss välin [, b] ositus P ɛ siten että jokisell ositust P ɛ hienommll osituksell P pätee rvio S(P, f, α) f dα < ɛ. Trkstelln mielivltist Riemnn-Stieltjesin summ S(P, α, f) = α(t k ) f k = α(t k )f(x k ) α(t k )f(x k 1 ) 7

integrlille f dα, missä P on ositust P ɛ hienompi ositus. Kirjoittmll A = f(b)α(b) f()α(), sdn smuus A = f(x k )α(x k ) f(x k 1 )α(x k 1 ). Vähentämällä kksi viimeistä esillä ollutt yhtälöä toisistn, sdn A S(P, α, f) = f(x k )[α(x k ) α(t k )] + f(x k 1 )[α(t k ) α(x k 1 )]. Kksi oikell puolell olev summ voidn yhdistää yhdeksi summksi muoto S(P, f, α), missä P on se välin [, b] ositus, jok sdn ottmll mukn kikki pisteet x k j t k. Silloin ositus P on hienompi kuin ositus P j siksi myös hienompi kuin ositus P ɛ. Niinpä epäyhtälö b S(P, f, α) f dα < ɛ pätee j tämä trkoitt, että sdn A S(P, α, f) f dα < ɛ in kuin P on ositust P ɛ hienompi ositus. Mutt tämä merkitsee, että integrli α df on olemss j yhtäsuuri luvun A f dα knss. 3.2 Plutus Riemnnin integrliin Seurv luse kertoo meille, että voimme korvt symbolin dα(x) symbolill α (x) dx integrliss f(x) dα(x) in kun funktioll α on jtkuv derivtt α. Luse 3.6. Olkoon f R(α) välillä [, b] j oletetn, että funktioll α on jtkuv derivtt α välilä [, b]. Silloin Riemnnin integrli f(x) dα(x) on olemss j f(x) dα(x) = f(x)α (x) dx. Todistus. Olkoon g(x) = f(x)α (x) j trkstelln Riemnnin summ S(P, g) = g(t k ) x k = 8 f(t k )α (t k ) x k.

Sm ositust P j smoj pisteitä t k voidn käyttää muodostksemme Riemnn- Stieltjesin summn S(P, f, α) = f(t k ) α k. Käyttämällä välirvolusett, voidn kirjoitt j siispä α k = α (v k ) x k, missä v k (x k 1, x k ), S(P, f, α) S(P, g) = f(t k )[α (v k ) α (t k )] x k. Kosk f on rjoitettu, voidn kirjoitt f(x) M kikill x välillä [, b], missä M > 0. Funktion α jtkuvuudest välillä [, b] seur tsinen jtkuvuus välillä [, b]. Siispä, jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss δ > 0 (δ riippuu inostn luvust ɛ) siten että epäyhtälöstä 0 x y < δ seur α (x) α (y) < ɛ 2M(b ). Jos otetn ositus P ɛ normituksell P ɛ < δ, silloin mille thns hienompijkoiselle ositukselle P meillä on α (v k ) α (t k ) < ɛ/[2m(b )] edeltävässä yhtälössä. Selliselle ositukselle P meillä on S(P, f, α) S(P, g) < ɛ 2. Toislt, kosk f R(α) välillä [, b], on olemss ositus P ɛ hienommll osituksell P pätee P ɛ S(P, f, α) f dα < ɛ 2. siten että jokisell ositust Yhdistämällä kksi viimeistä epäyhtälöä, nähdään, että kun P on hienojkoisempi kuin P ɛ = P ɛ P ɛ, sdn S(P, g) f dα < ɛ, j tämä todist luseen. 3.3 Porrsfunktiot integrttorein Jos α on vkio välillä [, b], integrli f dα on olemss j sen rvo on 0, kosk jokinen summ S(P, f, α) = 0. Kuitenkin, jos α on vkio lukuunottmtt hyppäysepäjtkuvuutt yhdessä koht, integrli ei välttämättä ole olemss. Jos se on olemss, sen rvo ei trvitse oll 0. Seurv luse selittää trkemmin kyseisen tilnteen: 9

Luse 3.7. Olkoon < c < b. Määritellään α välillä [, b] seurvsti: Arvot α(), α(c), α(b) ovt mielivltisi; α(x) = α() jos x < c, j α(x) = α(b) jos c < x b. Olkoon f määritelty välillä [, b] siten että vähintään yksi funktioist f ti α on jtkuv vsemmlt pisteessä c j vähintään yksi on jtkuv oikelt pisteessä c. Silloin f R(α) välillä [, b] j tällöin f dα = f(c)[α(c+) α(c )]. Todistus. Jos c P, jokinen termi summss S(P, f, α) on noll, pitsi ne kksi termiä jotk svt lkuns c:n sisältäviltä osväleiltä. Snotn S(P, f, α) = f(t k 1 )[α(c) α(c )] + f(t k )[α(c+) α(c)], missä t k 1 c t k. Tämä yhtälö voidn kirjoitt myös seurvsti: = [f(t k 1 ) f(c)][α(c) α(c )] + [f(t k ) f(c)][α(c+) α(c)], missä = S(P, f, α) f(c)[α(c+) α(c )]. Siispä meillä on f(t k 1 ) f(c) α(c) α(c ) + f(t k ) f(c) α(c+) α(c). Jos f on jtkuv pisteessä c, jokisell ɛ > 0 on olemss δ > 0 siten että epäyhtälöstä P < δ seur f(t k 1 ) f(c) < ɛ j f(t k ) f(c) < ɛ. Tässä tpuksess, sdn epäyhtälö ɛ α(c) α(c ) + ɛ α(c+) α(c). Mutt tämä epäyhtälö pätee riippumtt siitä, onko f jtkuv pisteessä c vi ei. Esimerkiksi, jos f on epäjtkuv sekä vsemmlt että oikelt pisteessä c, silloin α(c) = α(c ) j α(c) = α(c+) j sdn = 0. Toislt, jos f on jtkuv vsemmlt, mutt epäjtkuv oikelt pisteessä c, meillä täytyy oll α(c) = α(c+) j sdn ɛ α(c) α(c ). Yhtä lill, jos f on jtkuv oikelt, mutt epäjtkuv vsemmlt pisteessä c, meillä on α(c) = α(c ) j ɛ α(c+) α(c). Näin ollen ylempänä esitetty epäyhtälö pätee jok tpuksess j luse on todistettu. Luse 3.8. kertoo meille että Riemnn-Stieltjesin integrli voidn muutt vihtmll funktion f rvo tietyssä pisteessä j on nähtävissä myös että integrlin olemssoloon voidn vikutt moisell vihdoll. 10

Trkstelln seurv esimerkkiä: α(x) = 0 jos x 0, α(0) = 1, f(x) = 1, jos 1 x +1. Funktio α ei ole jtkuv eikä myöskään derivoituv välillä [ 1, 1]. Luseen 3.7 mukn sdn 1 f(x) dα(x) = f(0) 0 = 0. 1 Mutt jos määritellään uudelleen f siten että f(0) = 2 j f(x) = 1 jos x 0, voidn nähdä että 1 f dα ei ole olemss. Itse siss, kun P on ositus, jok sisältää luvun 0, 1 hvitn, että S(P, f, α) =f(t k )[α(x k ) α(0)] + f(t k 1 )[α(0) α(x k 2 )] =f(t k ) f(t k 1 ), missä x k 2 t k 1 0 t k x k. Summn rvo on joko 0, 1 ti -1, riippuen vlinnoist t k j t k 1. Siispä, 1 f dα ei ole olemss tässä tpuksess. Kuitenkin, Riemnnin integrliss 1 f(x) dx, funktion rvot voidn muutt äärellisessä määrässä pisteitä vikuttmtt integrlin sekä olemss oloon että rvoon. Perustellksemme tämän, trkstelln mlliksi vin tpust missä f(x) = 0 kikill x välillä [, b] lukuunottmtt yhtäpistettä, x = c. Selliselle funktiolle pätee S(P, f) f(c) P. Kosk P voidn sd mielivltisen pieneksi, siitä seur että f(x) dx = 0. Jos sdn f(x) dx = 0 yhdellä pisteellä, sdn se myös äärellisellä määrällä pisteitä. Integrttori α luseess 3.7. on erikoistpus tärkeästä funktioden luokst, jok tunnetn porrsfunktioin. Nämä ovt funktioit, jotk ovt vkioit koko välin, pitsi äärellisessä määrässä hyppyepäjtkuvuuksi. Esimerkki 3.8. Olkoon j 2, kun x 0 f(x) = 3x + 2, kun 0 < x < 2 8, kun x 2 0, kun x 0 α(x) = 2, kun 0 < x < 2 0, kun x 2. 11

Kosk f on jtkuv, 4 f(x) dα(x) on olemss j sdn 4 4 4 f(x) dα(x) =f(0)(α(0+) α(0 )) + f(2)(α(2+) α(2 )) =2(2 0) + 8(0 2) = 12 Määritelmä 3.9. (Porrsfunktiot) Olkoon α määritelty välillä [, b] siten että α on epäjtkuv äärellisessä määrässä pisteitä c k, missä c 1 < c 2 <... < c n b. Jos α on vkio jokisell voimell osvälillä (c k 1, c k ), silloin α: kutsutn porrsfunktioksi j luku α(c k +) α(c k ) kutsutn hypyksi pisteessä c k. Jos c 1 =, hyppy pisteessä c 1 on α(c 1 +) α(c 1 ), j jos c n = b, hyppy pisteessä c n on α(c n ) α(c n ). Porrsfunktiot trjovt yhdistävän linkin Riemnn-Stieltjesin integrlin j äärellisten summien välille: Luse 3.10. (Sievennys Riemnn-Stieltjesin integrlist äärelliseen summn). Olkoon α porrsfunktio, jok on määritelty välillä [, b] j joll on hyppy α k pisteessä x k, missä x 1 < x 2 <... < x n b. Olkoon f määritelty välillä [, b] siten, etteivät molemmt f j α ole epäjtkuvi oikelt ti vsemmlt pisteessä x k. Silloin f dα on olemss j meillä on f(x) dα(x) = f(x k )α k. Todistus. Luseen 3.3. mukn f dα voidn kirjoitt sellisten integrlien summn, joit käsiteltiin luseess 3.7. Esimerkki 3.11. Yksi yksinkertisimmist porrsfunktioist on lttifunktio. Sen rvo pisteessä x on suurin kokonisluku, mikä on pienempi ti yhtäsuuri kuin x, j sitä merkitään [x]. Siispä, [x] on ino kokonisluku, jok toteutt epäyhtälöt [x] x < [x] + 1. Luse 3.12. Jokinen äärellinen summ voidn kirjoitt Riemnn-Stieltjesin integrlin. Itse siss, nnettu summ n k, määritellään f välillä [0, n] seurvsti: Silloin f(x) = k jos k 1 < x k (k = 1, 2,..., n), f(0) = 0. k = Missä [x] on suurin kokonisluku x. f(k) = 12 n 0 f(x)d[x],

Kuv 3.1: Lttifunktio Todistus. Lttifunktio on porrsfunktio, jtkuv oikelt j sillä on yhden suuruinen hyppy jokisen kokonisluvun kohdll. Funktio f on jtkuv vsemmlt pisteissä 1, 2,..., n. Nyt väite seur luseest 3.10. Hvinnollistetn Riemnn-Stieltjesin integrli johtmll merkittävä luse, jok tunnetn Eulerin summluseen. Tämä luse liittää välin [, b] yli otetun funktion integrlin summn funktion rvoist kokonisluvuiss välillä [, b]. Sitä voidn joskus käyttää integrlien pproksimoimiseen summill, ti vstvuoroisesti rvioimn joidenkin summien rvo integrleill. Luse 3.13. (Eulerin summluse) Jos funktioll f on jtkuv derivtt f välillä [, b], silloin meillä on f(n) = f(x) dx + f (x)((x)) dx + f()(()) f(b)((b)), <n b missä ((x)) = x [x]. Kun j b ovt kokonislukuj, tästä tulee b ( f(n) = f(x) dx + f (x) x [x] 1 ) f() + f(b) dx +. 2 2 n= Huom. <n b trkoitt summ luvust n = [] + 1 lukuun n = [b]. Todistus. Käyttämällä osittisintegrointi, voidn kirjoitt f(x) d(x [x]) + (x [x]) df(x) = f(b)(b [b]) f()( []). Kosk lttifunktioll on hyppykohti välillä [, b] kokonisluvuill x = []+1, []+2,..., [b], voidn kirjoitt f(x) d[x] = f(n). 13 <n b

Jos yhdistämme tämän edeltävän yhtälön knss, seur luse tästä seurvsti: f(x) d[x] = f(x) d[x] f(x) dx + f(x) d(x [x]) + f(x) dx + f(x) dx f (x)((x)) dx f (x)((x)) dx + f()(()) f(b)((b)) f (x)((x)) dx = f()(()) f(b)((b)) f(x) d[x] = f()(()) + f(b)((b)) (x [x]) df(x) = f(b)(b [b]) f()( []). 14

Luku 4 Ylä- j lsummt Luse 4.1. Olkoon P välin [, b] ositus j olkoon M k (f) = sup {f(x) x (x k 1, x k ]}, m k (f) = inf {f(x) x (x k 1, x k ]}. Seurvi lukuj U(P, f, α) = M k (f) α k j L(P, f, α) = m k (f) α k kutsutn vstvsti f:n ylä- j lsummiksi suhteess α:n jotuksell P. Ehto m k (f) M k (f) on in voimss, jos α on ksvv välillä [, b], silloin α k 0 j voidn kirjoitt myös m k (f) α k M k (f) α k, mistä seur että lsummt eivät ylitä yläsummi. Lisäksi, jos t k [x k 1, x k ], niin m k (f) f(t k ) M k (f). Näin ollen, kun α on ksvv, sdn epäyhtälöt L(P, f, α) S(P, f, α) U(P, f, α), jotk liittävät ylä- j lsummt Riemnn-Stieltjesin summiin. Nämä epäyhtälöt, joit käytetään usein tulevss mteriliss, eivät välttämättä päde kun α ei ole ksvv funktio. Seurv luse osoitt, että kun funktio α on nousev, osituksen hienontminen nost lsummi j lskee yläsummi. 15

Luse 4.2. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Silloin: (i) jos ositus P on hienompi kuin ositus P, niin U(P, f, α) U(P, f, α) j L(P, f, α) L(P, f, α). (ii) Mille thns osituksille P 1 j P 2, meillä on L(P 1, f, α) U(P 2, f, α). Todistus. Riittää todist (i), kun P sisältää tsn yhden pisteen enemmän kuin P, snotn vikk piste c. Jos c on P :n i:nnessä osvälissä, voidn kirjoitt U(P, f, α) = M k (f) α k + M [α(c) α(x i 1 )] + M [α(x i ) α(c)], missä M j M merkitsevät f:n supremumi väleillä [x i 1, c] j [c, x i ]. Mutt, kosk M M i (f) j M M i (f), sdn U(P, f, α) U(P, f, α). Alsummien epäyhtälö voidn todist smll tvll. Todistksemme ehdon (ii), olkoon P = P 1 P 2. Silloin meillä on L(P 1, f, α) L(P, f, α) U(P, f, α) U(P 2, f, α). Huomio. Tästä luseest seur, että ksvvll α:ll pätee m[α(b) α()] L(P 1, f, α) U(P 2, f, α) M[α(b) α()], missä M j m merkitsevät funktion f supremumi j infimumi välillä [, b]. Ktsotn seurvksi esimerkki, joss lsketn funktion ylä- j lsummt pienellä määrällä osituksi. Esimerkki 4.3. olkoon f(x) = 2x 2 3x + 4 välillä [1, 4] j olkoon P = {1, 2, 2.6, 4}. Funktio α = x, jolloin sdn yläsummksi U(P, f, α) = M k (α(x k ) α(x k 1 )) =f(2)(α(2) α(1)) + f(2.6)(α(2.6) α(2)) + f(4)(α(4) α(2.6)) =6 ( 2 1) + 9.72 ( 2.6 2) + 24 (2 ( 2.6) 13.7. 16

Vstvsti lsummksi sdn L(P, f, α) = m k (α(x k ) α(x k 1 )) =f(1)(α(2) α(1)) + f(2)(α(2.6) α(2)) + f(2.6)(α(4) α(2.6)) =4 ( 2 1) + 6 ( 2.6 2) + 9.72 (2 ( 2.6) 6.6. Lisäämällä vin yhden välin lisää ositukseen P sisimme heti trkemmn tuloksen. Lisäämällä vikkp pisteen 3.3 ositukseen P, sisimme smll lill lskemll yläsummksi noin 12.3, j lsummksi noin 7.9. Tästä näkee käytännössä, kuink ylä- j lsumm lähestyvät toisin, kun osituksen tiheys ksv. Kuv 4.1: Funktion ylä- j lsumm Yllä olevst kuvst näkee selvästi ylä- j lsummn eron kun välit ovt suurempi. Määritelmä 4.4. Oletetn että α on ksvv välillä [,b]. Ylempi Stieltjesin integrli funktiost f suhteess α:n on määritelty seurvsti: f dα = inf {U(P, f, α) P P [, b].} Alempi Stieltjesin integrli määritellään seurvsti: f dα = sup {L(P, f, α) P P [, b].} 17

Huomio. Joskus kirjoitetn Ī(f, α) j I(f, α) ylä- j l integrleille. Erikoistpuksess, joss α(x) = x, ylä- j lsummi merkitään U(P, f) j L(P, f) j niitä kutsutn Riemnnin ylä- j lsummiksi. Luse 4.5. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Silloin I(f, α) Ī(f, α) Todistus. Jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss ositus P 1 siten että U(P 1, f, α) < Ī(f, α) + ɛ. Luseen 4.2 mukn Ī(f, α)+ɛ on ylärj kikille lsummille L(P, f, α). Siispä, I(f, α) Ī(f, α) + ɛ, j kosk ɛ on mielivltinen, seur tästä I(f, α) Ī(f, α). 4.1 Riemnnin ehto Jos hlutn osoitt ylä- j lintegrlien smuus, niin meidän täytyy kyetä näyttämään yläsummien tulevn mielivltisen lähelle lsummi. Siispä vikutt mielekkäältä etsiä niitä funktioit f, joiden erotus U(P, f, α) L(P, f, α) sdn mielivltisen pieneksi. Määritelmä 4.6. Snotn että f täyttää Riemnnin ehdon suhteess α:n välillä [, b], jos jokiselle ɛ > 0 on olemss sellinen ositus P ɛ, että jokiselle sitä hienommlle ositukselle P pätee ehto 0 U(P, f, α) L(P, f, α) < ɛ. Luse 4.7. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Silloin seurvt kolme väitettä ovt yhtäpitävät (i) f R(α) välillä [, b]. (ii) f täyttää Riemnnin ehdon suhteess α:n välillä [, b]. (iii) I(f, α) = Ī(f, α). Todistus. Todistetn että osst (i) seur (ii), osst (ii) seur (iii), j osst (iii) seur (i). Oletetn että (i) pätee. Jos α() = α(b), sdn U(P, f, α) L(P, f, α) = 0 < ɛ. Tälläin ehto (ii) pätee suorn. Oletetn siis että α() < α(b). Olkoon ɛ > 0. Vlitn P ɛ siten, että jokiselle hienommlle ositukselle P j kikille t k j t k välillä [x k 1, x k ], meillä on f(t k ) α k A < ɛ 3 j 18 f(t k) α k A < ɛ 3,

missä A = f dα. Yhdistämällä nämä epäyhtälöt, sdn f(t k ) α k A f(t k) α k A ɛ 3 < ɛ 3 [f(t k ) f(t k)] α k < 2 3 ɛ. Kosk M k (f) m k (f) = sup {f(x) f(x ) x, x [x k 1, x k ]}, seur että jokiselle h > 0 voidn vlit t k j t k siten että f(t k) f(t k ) > M k(f) m k (f) h. Vlitsemll h = 1ɛ/[α(b) α()], voidn kirjoitt 3 U(P, f, α) L(P, f, α) = [M k (f) m k (f)] α k < = [f(t k ) f(t k)] α k + h α k [f(t k ) f(t k)] α k + h[α(b) α()] < ɛ. Siispä osst (i) seur (ii). Seurvksi oletetn että (ii) pätee. Jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss ositus P ɛ siten, että in kun P on hienompi ositus kuin P ɛ, pätee U(P, f, α) < L(P, f, α) + ɛ. Siispä selliselle P on voimss Ī(f, α) U(P, f, α) < L(P, f, α) + ɛ I(f, α) + ɛ. Voidn sno siis että Ī(f, α) I(f, α) + ɛ jokisell ɛ > 0. Näin ollen, Ī(f, α) I(f, α). Mutt iemmn luseen 4.5. mukn myös päinvstinen epäyhtälö pätee, siispä osst (ii) seur (iii). Viimeiseksi, oletetn että Ī(f, α) = I(f, α) j merkitköön A niiden yhteistä rvo. Todistetn että f dα on olemss j on yhtä suuri kuin A. On nnettu ɛ > 0, vlitn P ɛ siten että U(P, f, α) < Ī(f, α)+ɛ kikille ositust P ɛ hienommille osituksille P. Vlitn myös P ɛ siten että L(P, f, α) > I(f, α) ɛ kikille ositust P ɛ hienommille osituksille P. Jos P ɛ = P ɛ P ɛ, voidn kirjoitt I(f, α) ɛ < L(P, f, α) S(P, f, α) U(P, f, α) < Ī(f, α) + ɛ Jokiselle ositust P ɛ hienommille osituksille P. Mutt, kosk Ī(f, α) = I(f, α) = A, tämä trkoitt, että S(P, f, α) A < ɛ jokiselle ositust P ɛ hienommlle ositukselle P. Tämä todist että f dα on olemss j on yhtäsuuri kuin A. Todistus luseelle on näin ollen vlmis. 19

4.2 Rjoitetusti heilhtelevt integrttorit Määritelmä 4.8. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b]. Jos P = {x 0, x 1,..., x n } on välin [, b] ositus, kirjoitetn f k = f(x k ) f(x k 1 ), k = 1, 2,..., n. Jos on olemss positiivinen luku M siten, että f k M kikille välin [, b] osituksille, silloin funktion f snotn olevn rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Määritelmä 4.9. Olkoon f rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], j merkitköön (P ) summ n f k vstten välin [, b] ositust P = {x 0, x 1,..., x n }. Luku (P } V f (, b) = sup{ ) P P [, b] kutsutn funktion f kokonisheilhteluksi välillä [, b]. Huomio. Jos mhdollist kirjoitetn V f sen sijn että kirjoitettisiin V f (, b). Kosk f on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], luku V f on äärellinen. Lisäksi V f 0 kosk jokinen summ (P ) 0. Luse 4.10. Olkoon f rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] j oletetn että c (, b). Silloin f on rjoitetusti heilhtelev väleillä [, c] j [c, b] j tällöin V f (, b) = V f (, c) + V f (c, b). Todistus. Ensiksi todistetn että f on rjoitetusti heilhtelev väleillä [, c] j [c, b]. Olkoon P 1 välin [, c] ositus j olkoon P 2 välin [c, b] ositus. Silloin P 0 = P 1 P 2 on välin [, b] ositus. Merkitään osituksen P summ f k summll (P ). Silloin (P1 ) + (P 2 ) = (P 0 ) V f (, b). Tästä nähdään että molemmt summist (P 1 ) sekä (P 2 ) ovt V f (, b) rjoittmi. Tämä trkoitt että f on rjoitetusti heilhtelev väleillä [, c] j [c, b]. Yllä olevst yhtälöstä sdn epäyhtälö V f (, c) + V f (c, b) V f (, b). Sdksemme käänteisen epäyhtälön, olkoon P = {x 0, x 1,..., x n } P [, b] j olkoon P 0 = P {c} ositus, jok sdn lisäämällä piste c. Jos c [x k 1, x k ], silloin f(x k ) f(x k 1 ) f(x k ) f(c) + f(c) f(x k 1 ) 20

j siispä (P ) (P 0 ). Nyt välin [, c] osituksen P 0 pisteet määräävät välin [, c] osituksen P 1 j välin [c, b] osituksen P 0 pisteet määräävät välin [c, b] osituksen P 2. Vstvt summt kikille näille osituksille toteuttvt epäyhtälöt (P ) (P0 ) = (P 1 ) + (P 2 ) V f (, c) + V f (c, b). Joten, V f (, c) + V f (c, b) on ylärj jokiselle summlle (P ). Kosk tämä ei voi oll pienempi kuin pienin ylärj, täytyy oll V f (, b) V f (, c) + V f (c, b), j nyt on molemmt epäyhtälöt todistettu j osoitettu yhtäsuuruus. Luse 4.11. Olkoon f rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Olkoon V määritelty välillä [, b] seurvsti: V (x) = V f (, x) jos < x b, V () = 0. Silloin: (i) (ii) V on ksvv funktio välillä [, b]. V f on ksvv funktio välillä [, b]. Todistus. Jos < x < y b, voidn kirjoitt V f (, y) = V f (, x) + V f (x, y). Tästä seur V (y) V (x) = V f (x, y) 0. Siispä V (x) V (y), j (i) pätee. Todistksemme ehdon (ii), olkoon D(x) = V (x) f(x), kun x [, b]. Silloin, jos x < y b, niin D(y) D(x) = V (y) V (x) [f(y) f(x)] = V f (x, y) [f(y) f(x)]. Mutt V f (x, y):n määritelmästä seur, että f(y) f(x) V f (x, y). Tämä trkoitt, että D(y) D(x) 0, j (ii) pätee. Luse 4.12. Olkoon f määritelty välillä [, b]. Silloin f on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], jos j vin jos f voidn ilmist khden ksvvn funktion erotuksen. Todistus. Jos f on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], voidn kirjoitt f = V D, missä V on luseen 4.11 funktio j D = V f. Molemmt V j D ovt ksvvi funktioit välillä [, b]. Jos f on ksvv välillä [, b], silloin kikille välin [, b] osituksille P = {x 0, x 1,..., x n } pätee f k = [f(x k ) f(x k 1 )] = f(x n ) f(x 0 ) = f(b) f(). Tästä nähdään että n f k M, jolloin voidn sno määritelmän 4.8. mukn, että f on rjoitetusti heilhtelev. Sm pätee ksvvlle funktiolle g, jolloin näiden funktioiden erotus f g on myös rjoitetusti heilhtelev. 21

Luse 4.13. Oletetn, että α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Merkitään funktioll V (x) α:n kokonisheilhtelu välillä [, x], kun < x b, j olkoon V () = 0. Olkoon f määritelty j rjoitettu välillä [, b]. Jos f R(α) välillä [, b], silloin f R(V ) välillä [, b]. Todistus. Jos V (b) = 0, silloin V on vkio j tulos on trivili. Alempn nähdään syy miksi tulos on trivili. Oletetn siis, että V (b) > 0. Oletetn myös että f(x) M, kun x [, b]. Kosk V on ksvv, täytyy inost vrmist, että f täyttää Riemnnin ehdon suhteess funktioon V välillä [, b]. Olkoon nnettu ɛ > 0. Vlitn ositus P ɛ siten, että jokiselle sitä hienommlle ositukselle P j kikille pisteille t k j t k P :n väleillä [x k 1, x k ] pätee ehto j [f(t k ) f(t k)] α k < ɛ 4 j V (b) < α k + ɛ 4M. Jos ositus P on hienompi kuin ositus P ɛ, todistmme kksi epäyhtälöä: [M k (f) m k (f)] ( V k α k ) < ɛ 2 [M k (f) m k (f)] α k < ɛ 2, joist sdn yhteenlskull ehto U(P, f, V ) L(P, f, V ) < ɛ. Todistksemme ensimmäisen epäyhtälön, huommme että V k α k 0 j siten [M k (f) m k (f)]( V k α k ) 2M ( V k α k ) ( = 2M V (b) ) α k < ɛ 2, kosk V on ksvv. Todistksemme toisen epäyhtälön, olkoon A(P ) = {k α k 0}, B(P ) = {k α k < 0} j olkoon h = 1 ɛ/v (b). Jos k A(P ), 4 vlitn t k j t k siten että f(tk) f(t k) > M k (f) m k (f) h. Jos k B(P ), vlitn t k j t k siten että f(t k) f(t k ) > M k (f) m k (f) h. 22

Silloin [M k (f) m k (f)] α k < [f(t k ) f(t k)] α k k A(P ) + [f(t k) f(t k )] α k + h = k B(P ) [f(t k ) f(t k)] α k + h < ɛ 4 + hv (b) = ɛ 4 + ɛ 4 = ɛ 2. α k α k Tästä seur että f R(V ) välillä [, b]. Luse 4.14. Olkoon α rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] j oletetn että f R(α) välillä [, b]. Silloin f R(α) jokisell osvälillä [c, d] [, b]. Todistus. Riittää olett että α on ksvv välillä [, b], kosk rjoitetusti heilhtelev funktio on in khden ksvvn funktion erotus. Luseen 3.3 nsiost, riittää todist että c f dα j d f dα molemmt ovt olemss. Oletetn että < c < b. P :n olless välin [, x] ositus, merkitköön (P, x) väliin [, x] liittyvien ylä- j lsummien erotust (P, x) = U(P, f, α) L(P, f, α). Kosk f R(α) välillä [, b], Riemnnin ehto pätee. Siispä, jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss välin [, b] ositus P ɛ siten että (P, b) < ɛ, jos P on hienompi ositus kuin P ɛ. Voidn olett, että c P ɛ. Pisteet välin [, c] osituksess P ɛ muodostvt välin [, c] osituksen P ɛ. Jos ositus P on hienompi kuin ositus P ɛ välillä [, c], silloin P = P P ɛ on välin [, b] ositus. Nyt (P, c):n määrittelevä summ sisältää vin osn termeistä, jotk määrittelevät summn (P, b). Kosk jokinen termi on suurempi ti yhtäsuuri kuin 0 j kosk ositus P on hienompi kuin ositus P ɛ, niin tällöin (P, c) (P, b) < ɛ. Tämä merkitsee että osituksen P olless hienompi kuin ositus P ɛ, pätee (P, c) < ɛ. Siispä, funktio f toteutt Riemnnin ehdon välillä [, c] j c f dα on olemss. Sm rgumentti pätee myös toisin päin osoitten että d f dα on olemss, j luseen 3.3. nojll d f dα on olemss. c 23

4.3 Lisää ominisuuksi Luse 4.15. Oletetn, että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) j g R(α) välillä [, b] j jos f(x) g(x) kikill x välillä [, b], silloin meillä on f(x) dα(x) g(x) dα(x). Todistus. Jokiselle ositukselle P, vstvt Riemnn-Stieltjesin summt toteuttvt S(P, f, α) = f(t k ) α k g(t k ) α k = S(P, g, α), kosk α on ksvv välillä [, b]. Lisäksi kosk jokist ɛ > 0 vst jko P niin, että S(P, f, α) f(x) dα(x) < ɛ j S(P, g, α) g(x) dα(x) < ɛ, nähdään että luse pätee. Erityisesti tästä luseest seur että g(x) dα(x) 0 in kun g(x) 0 j α on ksvv välillä [, b]. Luse 4.16. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) välillä [, b], silloin f R(α) välillä [, b] j sdn seurv epäyhtälö f(x) dα(x) f(x) dα(x). Todistus. Olkoon P ositus väliltä [, b] j olkoon Voidn kirjoitt M k (f) = sup {f(x) x [x k 1, x k ]}, m k (f) = inf {f(x) x [x k 1, x k ]}. M k (f) m k (f) = sup {f(x) f(y) x, y [x k 1, x k ]}. Kosk epäyhtälö f(x) f(y) f(x) f(y) pätee in, siitä seur että M k ( f ) m k ( f ) M k (f) m k (f). Kertomll α k :ll j summmll yli k:n, sdn U(P, f, α) L(P, f, α) U(P, f, α) L(P, f, α) jokiselle välin [, b] ositukselle P. Käyttämällä Riemnnin ehto, nähdään että f R(α) välillä [, b]. Luseen epäyhtälö sdn vlitsemll g = f luseess 4.15. 24

Luse 4.17. Oletetn, että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) välillä [, b], niin f 2 R(α) välillä [, b]. Todistus. käyttämällä sm merkintätp kuin edellisessä (luse 4.16), meillä on Siispä voidn kirjoitt M k (f 2 ) = [M k ( f )] 2 j m k (f 2 ) = [m k ( f )] 2. M k (f 2 ) m k (f 2 ) = [M k ( f ) + m k ( f )][M k ( f ) m k ( f )] 2M[M k ( f ) m k ( f )], missä M on ylärj funktiolle f välillä [, b]. Käyttämällä Riemnnin ehto, sdn hluttu johtopäätös. Luse 4.18. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) j g R(α) välillä [, b], silloin tulo f g R(α) välillä [, b]. Todistus. Käytetään lusett 4.16 j yhtälöä 2f(x)g(x) = [f(x) + g(x)] 2 [f(x)] 2 [g(x)] 2. 4.4 Riittävät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle Luse 4.19. Jos f on jtkuv välillä [, b] j jos α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], niin f R(α) välillä [, b]. Todistus. Riittää todist luse, kun α on idosti ksvv. Alempn selitys miksi idosti ksvvuus riittää. Funktion f jtkuvuus suljetull välillä [, b] merkitsee tsist jtkuvuutt. Jos ɛ > 0 on nnettu, voidn siis löytää vin ɛ:st riippuv δ > 0 siten, että x y < δ f(x) f(y) < ɛ/a, missä A = 2[α(b) α()]. Jos α olisi ksvv f(x) f(y) voisi oll 0, j väite pätisi trivilisti. Jos P ɛ on ositus normill P ɛ < δ, niin jokiselle sitä hienommlle ositukselle P pätee ehto M k (f) m k (f) ɛ/a, kosk M k (f) m k (f) = sup{f(x) f(y) x, y välillä [x k 1, x k ]}. Kertomll epäyhtälö α k :ll j yhteenlskemll sdn yhtälö U(P, f, α) L(P, f, α) ɛ α k = ɛ A 2 < ɛ, j nähdään että Riemnnin ehto pätee. Siispä, f R(α) välillä [, b]. 25

Ottmll erikoistpuksen, missä α(x) = x, luseet 4.18. j 3.7. tuottvt seurvn korollrin: Luse 4.20. Kumpikin seurvist ehdoist on riittävä Riemnnin integrlin f(x) dx olemssololle: () f on jtkuv välillä [,b]. (b) f on rjoitetusti heilhtelev välillä [,b]. Tulos (b) on erityisen hyödyllinen Riemnnin integrlin olemssolon selvittämisen knnlt. Sitä ei juuri käsitellä peruskursseill, joten ktsotn pri esimerkkiä missä sitä käytetään. Esimerkki 4.21. Aiemmin käsitelty lttifunktio on oiv esimerkki ei jtkuvst, mutt rjoitetusti heilhtelevst funktiost. Esimerkki 4.22. Funktio x+sin(x) on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Myös funktio g(x) = x + sin(1/x) on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], kun > 0. Kyseinen funktio ei kuitenkn ole rjoitetusti heilhtelev esimerkiksi välillä [0, 2 ], (määritellään vikkp π g(0) = 2), kosk g heilhtelee liin nopesti nolln ympäristössä. Jott g olisi rjoitetusti heilhtelev, on oltv olemss positiivinen luku M siten, että g k M 1 Trkstelln jälkimmäistä summttv. Kirjoitetn f(x) = sin( ). Tällöin x:n 2/(2xπ π) olless luonnollinen luku, f(x) s inostn rvoj 1 j 1. Tästä sdn f k = f(k) f(k 1) = 2, jolloin summ f k hjntuu, eikä ole olemss positiivistä luku M, jolle M n f k kikill n. 4.5 Välttämättömät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle Kun α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], funktion f jtkuvuus on riittävä integrlin f dα olemssololle. Kuitenkn funktion f jtkuvuus välillä [, b] ei ole välttämätöntä. Seurv luse kertoo että α:n j f:n yhteiset epäjtkuvuudet vsemmlt ti oikelt täytyy välttää, jott integrli voi oll olemss. 26

Kuv 4.2: Funktioiden x + sin(x) (vsemmll) j x + sin(1/x) (oikell) kuvjt Luse 4.23. Oletetn, että α on ksvv välillä [, b] j olkoon < c < b. Oletetn lisäksi, että molemmt α sekä f ovt epäjtkuvi oikelt kohdss x = c. Oletetn siis, että on olemss sellinen ɛ > 0, jolle kikill δ > 0 on olemss x j y välillä (c, c + δ), joille pätee f(x) f(c) ɛ j α(y) α(c) ɛ. Tällöin integrli f(x) dα(x) ei voi oll olemss. Integrli ei myöskään voi oll olemss jos α j f ovt epäjtkuvi vsemmlt kohdss c. Todistus. Olkoon P ositus välillä [, b] sisältäen pisteen c kyseiseltä väliltä. Muodostetn erotus U(P, f, α) L(P, f, α) = [M k (f) m k (f)] α k. Jos i:s osväli sisältää pisteen c vsempn päätepisteenään, silloin U(P, f, α) L(P, f, α) [M i (f) m i (f)][α(x i ) α(c)] kosk summn jokinen termi 0. Jos c on f:n j α:n yhteinen epäjtkuvuuskoht oikelt, voidn olett että piste x i on vlittu siten että α(x i ) α(c) ɛ. Luseen oletuksest seur epäyhtälö M i (f) m i (f) ɛ. Siispä U(P, f, α) L(P, f, α) ɛ 2, j Riemnnin ehto ei void täyttää. Jos c on yhteinen epäjtkuvuus vsemmlt, rgumentti on smnlinen. 27

Luku 5 Välirvoluse 5.1 Välirvoluse Riemnn-Stieltjesin integrlille Vikk integrlej esiintyy moniss ongelmiss, hrvoin on mhdollist lske trkk rvo hlutulle integrlille. Kuitenkin usein riittää lske rvio integrlist, trkn rvon sijn. Välirvoluseet ovt erityisen hyödyllisiä tälläisten rviointien tekemiseen. Luse 5.1. (Ensimmäinen välirvoluse). Oletetn että α on ksvv j olkoon f R(α) välillä [, b]. Olkoot luvut M j m vstvsti joukon {f(x) x [, b]} supremum j infimum. Silloin on olemss reliluku c toteutten m c M siten, että f(x) dα(x) = c dα(x) = c[α(b) α()]. Erityisesti jos f on jtkuv välillä [, b], silloin c = f(x 0 ) jollekin luvulle x 0 välillä [, b]. Todistus. Jos α() = α(b), luse pätee trivilisti, kosk molemmt puolet ovt 0. Siispä voimme olett, että α() < α(b). Kosk kikki ylä- j lsummt toteuttvt m[α(b) α(b)] L(P, f, α) U(P, f, α) M[α(b) α()], integrlin f dα täytyy sijit smojen rjojen sisällä. Siispä, osmäärä c = ( f dα)/( dα) = ( f dα)/(α(b) α()) sijoittuu lukujen m j M väliin. Kun f on jtkuv välillä [, b], jtkuvien funktioiden välirvoluse tuott c = f(x 0 ) jollekin x 0 välillä [, b]. Toisen tämän tyyppisen luseen smme ensimmäisen vull käyttämällä osittisintegrointi. 28

Luse 5.2. (Toinen välirvoluse). Oletetn että α on jtkuv j että f on ksvv välillä [, b]. Silloin on olemss piste x 0 välillä [, b], siten että f(x) dα(x) = f() x0 Todistus. Luseen 3.7. mukn sdn dα(x) + f(b) f(x) dα(x) = f(b)α(b) f()α() x 0 dα(x). α(x) df(x). Käyttämällä lusett 5.1. oikell puolell olevn integrliin, sdn Tämä sijoittmll sdn α(x) df(x) = α(x 0 ) df(x) = α(x 0 )[f(b) f()]. f(x) dα(x) =f(b)α(b) f()α() α(x 0 )[f(b) f()] =f(b)α(b) f()α() α(x 0 )f(b) + α(x 0 )f() =f()[α(x 0 ) α()] + f(b)[α(b) α(x 0 )], missä x o [, b], mikä on juuri se mitä lähdettiin hkemn. 5.2 Toisenlinen välirvoluse Riemnnin integrlille Luse 5.3. Olkoon g jtkuv j oletetn että f on ksvv välillä [, b]. Olkoot A j B relilukuj, jotk toteuttvt epäyhtälöt A f(+) j B f(b ). Silloin on olemss piste x 0 välillä [, b] siten että (i) f(x)g(x) dx = A x0 Erityisesti, jos f(x) 0 kikille x [, b], niin g(x) dx + B x 0 g(x) dx. (ii) f(x)g(x) dx = B x 0 g(x) dx, Huomio. Os (ii) tunnetn Bonnetin luseen missä x 0 [, b]. 29

Todistus. Jos α(x) = x g(t) dt, silloin α = g j luse 5.2. on käytettävissä j sdn f(x)g(x) dx = f() x0 g(x) dx + f(b) x 0 g(x) dx. Tämä todist ehdon (i) in kun A = f() j B = f(b). Nyt jos A j B ovt mitkä thns kksi reliluku, jotk täyttävät ehdot A f(+) j B f(b ), voidn määritellä f uudelleen päätepisteissä j b smn rvot f() = A j f(b) = B. Muokttu f on yhä ksvv välillä [, b], j muuttmll f:n rvo äärellisessä määrässä pisteitä ei vikutet Riemnnin integrlin rvoon. Vlitsemll A = 0, osst (i) seur os (ii). 5.3 Integrli ylärjn funktion Jos f R(α) välillä [, b] j jos α on rjoitetusti heilhtelev, silloin luseen 4.13. mukn integrli x f dα on olemss jokiselle x välillä [, b] j sitä voidn tutki x:n funktion. Joitin tämän funktion ominisuuksi sdn nyt svutettu. Luse 5.4. Olkoon α rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] j oletetn että f R(α) välillä [, b]. Määritellään F yhtälöllä F (x) = Tällöin F toteutt seurvt ehdot: x f dα, jos x [, b]. (i) F on rjoitetusti heilhtelev välillä [,b]. (ii) Jokinen α:n jtkuvuuspiste on myös F :n jtkuvuuspiste. (iii) Jos α on ksvv välillä [, b], derivtt F (x) on olemss jokisess sellisess pisteessä x (, b), joss α (x) on olemss j joss f on jtkuv. Selliselle pisteelle x pätee kv F (x) = f(x)α (x). Todistus. Voidn olett että α on ksvv välillä [, b]. Jos x y, luseen 5.1. mukn meillä on F (y) F (x) = y x f dα = c[α(y) α(x)], missä m c M. (Luvut m j M ovt joukon {f(x) x [, b]} supremum j infimum.) Kosk α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], on myös c[α(y) α()] = F (y) F () rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Tästä seur, että väite (i) pätee. Kosk f R(α) 30

eikä integrli toimenpiteenä vikut jtkuvuuspisteisiin, on jokisen α:n jtkuvuuspisteen oltv myös F :n jtkuvuuspiste, tästä seur, että väite (ii) pätee. Todistksemme ehdon (iii), jmme (y x):llä j huommme, että c f(x) kun y x. Seurvss luseess osoitetn derivtn hyödyllisyys Riemnnin integrlien rvioimisess. Luse 5.5. Oletetn että f R välillä [, b]. Olkoon funktio g määritelty välillä [, b] siten, että derivtt g on olemss välillä (, b) j sillä on rvo g (x) = f(x) jokiselle x välillä (, b). Päätepisteissä oletetn että g(+) j g(b ) ovt olemss j toteuttvt g() g(+) = g(b) g(b ). Silloin meillä on f(x) dx = g (x) dx = g(b) g(). Todistus. Jokiselle ositukselle väliltä [, b] voidn kirjoitt g(b) g() = [g(x k ) g(x k 1 )] = g (t k ) x k = f(t k ) x k, missä t k on differentililskennn välirvoluseen ntm piste välillä (x k 1, x k ). Mutt nnetulle ɛ > 0, ositus voidn viedä niin hienoksi että g(b) g() f(x) dx = f(t k ) x k j tämä todist luseen. f(x) dx < ɛ, 31

Luku 6 Esimerkki todennäköisyyslskennss Todennäköisyyslskennss on diskreettejä j jtkuvi tphtumi. Normlisti näiden yhdistäminen muodost hnkluuksi lskennllisesti, mutt Riemnn-Stieltjesin integrlill pystyy tälläisiä ongelmi rtkomn. Todennäköisyyslskent onkin ehkä se l, missä Riemnn-Stieltjesin integrlist on eniten käytännön hyötyä. Lsketn esimerkki, missä yhdistyy diskreettiä jkum j tiheysfunktiot. Olkoon 0.3, kun x 0 jtkuv vsemmlt 0:ss f(x) = 0.2, kun 0 < x 2 jtkuv 1:ssä 1, kun x > 2 jtkuv vsemmlt pisteessä 2 x 2 j 0, kun x < 0 1, kun 0 x < 1 jtkuv oikelt 0:ss α(x) = 2, kun 1 x 2 jtkuv oikelt 1:ssä x, kun x > 2 jtkuv oikelt pisteessä 2. Lskettess todennäköisyyksiä, funktion todennäköisyyksien kertymän täytyy oll 1. Trkistetn ensimmäiseksi, että näin on. Lskettess Riemnn-Stieltjesin integrli, jetn integrli khteen väliin lskemisen helpottmiseksi 2 f(x) dα(x) = f(x) dα(x) + f(x) dα(x). 32 2

Luseen 3.12. mukn voidn muutt summn vsempi puoli äärelliseksi summksi. Tämä on mielekästä tehdä kosk meillä on vin kksi hyppykoht. Luse ei vdi molempien funktioiden jtkuvuutt kikiss pisteissä. Oike puoli ts sieventyy Riemnnin integrliksi, kosk α(x) = x. Eli sdn f(0) (α(0+) α(0 )) + f(1) (α(1+) α(1 )) + f(2) (α(2+) α(2 )) + =(0.3 (1 0) + 0.2 (2 1) + 0.2 (2 2)) + =0.5 + 2 / 1 x = 1 2 1 x 2 dx Nyt voisimme lske mille hyvänsä x:lle kertymäfunktion rvon x:ssä lskemll integrlin x f dα. 2 f(x) dx 33

Kirjllisuutt [1] Tom M Apostol: Mthemticl nlysis. A modern pproch to dvnced clculus, Addison-Wesley publishing compny, 1965 http://umu.div-portl.org/smsh/get/div2:719488/fulltext01.pdf http://www.solitryrod.com/c756.html http://www.mth.ucl.edu/~to/resource/generl/131h.1.03w/week10.pdf http://mth2.eku.edu/jones/nlysis_e_084.pdf 34