Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava', meritään h = pj(a, b, joa toteuttaa: (i a h ja b h, (ii jos a h ja b h, niin h h, (iii h 1. Vastaus Määritellään J ab = {n 1 a n ja b n} ja h = min J ab. Tämä on hvinmääritelt 1, osa J ab on epäthjä (ab J ab ja se on alhaalta rajoitettu jouo oonaisluuja. Huom ehdot (i-(iii toteuttavia luuja on enintään si: jos h 1 ja h toteuttavat ne, niin ehdon (ii nojalla h 1 h ja h h 1, eli h 1 = h = lh 1 joillain oonaisluvuilla, l. Tämä onnistuu vain jos l = 1. Ehdon (iii nojalla on oltava = l = 1, eli h 1 = h. Kosa h J ab, niin a h ja b h, eli (i. Kosa 1 rajoittaa jouoa J ab alhaalta ja h J ab, niin h 1, eli (iii. Oloon nt a h ja b h. Jaohtälön nojalla h = qh + r, missä 0 r < h. Kosa a ja b jaavat luvut h ja h, niin niiden on jaettava mös r. Kosa h oli pienin positiivinen luu, jona seä a että b jaavat, niin on oltava r = 0. Siispä h h, eli (ii. Tehtävä Todista luennoilla annettu aava: jos luujen a ja b aluluuesitset ovat a = =1 p α ja b = =1 p β, niin suurin hteinen teijä (a, b voidaan lausua muodossa (a, b = =1 p γ, missä γ = min(α, β. 1 eli se on olemassa 1
Vastaus Riittää todistaa, että jos d = p min(α,β, niin d toteuttaa suurimman hteisen teijän määrittelevät ehdot: (i d a ja d b: Tutitaan osamäärien aluteijöiden esponentteja: a/d = α p min(α,β Z, sillä α min(α, β. Samoin nähdään, että b/d Z. (ii jos d a ja d b, niin d d: Oloon d = p δ aluteijähajotelma. Kosa d a ja d b, aluteijähajotelma on siäsitteinen ja p p l, un l, niin luvun d aluteijöiden esponenteille saadaan arviot δ α ja δ β. Siispä δ min(α, β, joten d = p δ min(α p,β = d. (iii d 1: Selvä, sillä min(α, β 0 aiilla. Tehtävä 3 Esitä luvulle pj(a, b edellistä tehtävää vastaava aava, ja todista sen avulla, että pj(a, b = ab (a, b. Vastaus Todistetaan, että pj(a, b = p max(α,β. Oloon siis h tulon antama arvo ja osoitamme, että h toteuttaa tehtävän 1 ehdot. (i a h ja b h: Tutitaan osamääriä: h/a = p max(α,β α Z, sillä max(α, β α. Samoin nähdään, että h/b Z. (ii jos a h ja b h, niin h h : Oloon h = p δ aluteijähajotelma. Kosa a h ja b h, aluteijähajotelma on siäsitteinen ja p p l, un l, niin luvun h aluteijöiden esponenteille saadaan arviot δ α ja δ β. Siispä δ max(α, β, joten h = p max(α,β p δ = h. (iii h 1: Selvä, sillä max(α, β 0 aiilla. Loppuväite seuraa siitä, että max(x, + min(x, = x + aiilla oonaisluvuilla x ja : (a, b pj(a, b = p min(α,β max(α p,β = p min(α,β +max(α,β = p α +β = p α p β = ab. Tehtävä 4 (i Oloot a 1, a,..., a n oonaisluuja, jota eivät aii ole nollia. Osoita, että on olemassa luu d = (a 1,..., a n (s. luujen suurin hteinen teijä, jolle pätee
(a d a j aiilla 1 j n, (b jos d a j aiilla 1 j n, niin d d, (c d 1. (ii Päättele, että htälöllä a 1 x 1 +... + a n x n = d on aina rataisu. Vastaus Oloon H = {a 1 x 1 +... + a n x n x 1,..., x n Z} {1,,...}. Tämä on epäthjä, sillä join luvuista a j on nollasta poieava. Se on mös alhaalta rajoitettu, joten voidaan määritellä d = min H. Nt ehto (c toteutuu. Yhtälöllä a 1 x 1 +... + a n x n = d on mös triviaalisti rataisu, eli (ii. Taristetaan ehto (a: Oloon 1 j n. Jaohtälön nojalla voidaan irjoittaa a j = qd + r, missä 0 r < d. Jos r 1, niin r = a j qd H, sillä se on luujen a 1,..., a n lineaariombinaatio ja r 1. Toisaalta piti olla r < d ja d = min H, joten saatiin ristiriita. Siispä r = 0 ja näinollen d a j. Ehto (b: Oletetaan, että d a j, eli a j = j d, aiilla 1 j n. Nt saadaan d = a 1 x 1 +...+a n x n = 1 d x 1 +...+ n d x n = d ( 1 x 1 +...+ n x n, mistä nähdään, että d d. Tehtävä 5 Osoita, että parittomalla oonaisluvulla N > 1 on siäsitteinen esits muodossa N = x (tässä x > 0 ovat oonaisluuja jos ja vain jos N on aluluu. Vastaus Oloon N > 1 pariton. Huomataan, että esits on aina olemassa, sillä n + 1 = (n + 1 n, missä n 0, un n + 1 > 1. Oloon siis N = x = (x + (x tällainen esits. Kosa x > 0, niin x + x > 0. =: Kosa N on aluluu, niin sen ainoat positiiviset teijät ovat 1 ja N. Kosa N > 1, niin on oltava { x + = N x = 1 N + 1 = N 1 N+1 = N 1 Tämä onnistuu, osa N on pariton. Siispä on olemassa tasan si pari (x,, jolla N = x. = : Oletetaan, että esits N = x, missä x > 0 on siäsitteinen ja N = ab, a b 1. Pitää osoittaa, että a = N, b = 1. Kosa N on pariton, niin a ja b ovat mös. Nt luvuisi (x, elpaavat. a+b = a b ja N+1 = N 1. 3
Esitsen N = x, x > 0 siäsitteisden nojalla on oltava a = N ja b = 1. Siispä luvun N ainoat positiiviset teijät ovat N ja 1, joten se on aluluu. Tehtävä 6 Tämän tehtävän taroitusena on selventää sitä tosiseiaa, että aluteijöihin jaon siäsitteiss on epätriviaali tulos. Tarastellaan luonnollisten luujen N asemasta jouoa Ñ = {4 + 1 0} = {1, 5, 9,...}. Osoita ensin, että Ñ on suljettu ertolasun suhteen: jos n, m Ñ, niin mn Ñ. Määrittelemme luonnollisella tavalla, että luu p, p Ñ, on 'aluluu' jos sitä ei voi lausua tulona p = nm, missä n, m ja n, m Ñ. Todista, että joainen Ñ:n luu voidaan lausua 'aluluujen' tulona. Nätä umminin, että on olemassa luu n Ñ, jona esits 'aluluujen' tulona ei ole siäsitteinen! Vastaus Oloot n = 4 + 1 Ñ ja m = 4l + 1 Ñ,, l 0. Nt nm = (4 + 1(4l + 1 = 16l + 4 + 4l + 1 = 4(4l + + l + 1 Ñ, sillä 4l + + l 0. Siispä Ñ on suljettu ertolasun suhteen. Todistetaan, että joainen Ñ:n luu, joa ei ole 1 voidaan esittää 'aluluujen' tulona. Oletetaan, että näin ei olisi. Tällöin olisi olemassa pienin luu Ñ,, jota ei voida esittää 'aluluujen' tulona. Eritisesti se ei itse voi olla 'aluluu'. 'Aluluujen' määritelmästä seuraa, että se voidaan lausua muodossa = mn, missä m, n Ñ ja m, n. Nt n, m <, joten nämä voidaan lausua aluluujen tulona: n = p n1... p na ja m = p m1... p mb. Tällöin = mn = p n1... p na p m1... p mb, miä on ristiriita, sillä määriteltiin pienimpänä östä suurempana luuna, jota ei voida esittää 'aluluujen' tulona. Siispä tällaisten luujen jouo on thjä, eli joainen östä suurempi luu voidaan esittää 'aluluujen' tulona. Aluteijähajotelma ei ole siäsitteinen: 441 = 1 = 9 49. Todistetaan, että 9, 1 ja 49 ovat 'aluluuja'. Jos a n jouossa Ñ, niin a n luonnollisten luujen jouossa. Siispä p Ñ on 'aluluu' jos sen tavanomaiset teijät eivät uulu jouoon Ñ. Aluperäisessä tehtävänannossa, joa eresi olla perjantaina heten netissä, vaadittiin että esitsessä olisi x > 1. Todistusen tämä suunta ei silloin päde, sillä jos N on aluluvun neliö, N = p, niin valitsemalla a = b = p joudutaan suoraan hläämään esits (x, = ( a+b, a b = (p, 0, sillä nt 1. Siispä mös aluluujen neliöillä olisi siäsitteinen esits. 4
9 = 3, 1 = 3 7 ja 49 = 7 Kosa 3 ja 7 eivät uulu jouoon Ñ, niin 9, 1 ja 49 ovat 'aluluuja'. * Tehtävä 7 Määritellään Fibonaccin jono F asettamalla F 1 = F = 1 ja F + = F +1 + F un 1. Siis F 3 = 1 + 1 =, F 4 = + 1 = 3 jne. Osoita, että aina (F, F +1 = 1. Jos haluat todella haastavan tehtävän, osoita että F m F n aina un m n. Vastaus Helpompi väite seuraa indutiolla: Jos = 1, niin (F, F +1 = (1, 1 = 1, eli aluasel on unnossa. Indutioaselta varten oletetaan, että (F, F +1 = 1. Havaitaan, että (F +1, F + F + ja (F +1, F + F +1, joten (F +1, F + ( F + F +1 = F. Siispä (F +1, F + (F, F +1 = 1, mistä seuraa ensimmäinen väite. Toista väitettä varten aletaan puramaan aui mitä F on: F = F 1 + F = F + F 3 = 3F 3 + F 4 = 5F 4 + 3F 5 = 8F 5 + 5F 6 =... Kertoimisi nättäisi tulevan Fibonaccin jono, F = F l+1 F l + F l F l 1 jos 1 l. Sen voi todistaa indutiolla l suhteen: Jos l = 1, niin F l+1 F l +F l F l 1 = F 1 +F = F, joten aluasel on unnossa. Oloon F = F m+1 F m + F m F m 1, missä 1 m 3. Nt F m+ F m 1 + F m+1 F m = ( F m+1 + F m F m 1 + F m+1 F m = F m+1 ( F m 1 + F m + Fm F m 1 = F m+1 F m + F m F m 1 = F, joten tämä lemma on totta indution nojalla. Varsinaisen väitteen todistusessain ätetään indutiota. Oloon n = m. Todistamme, että F m F n indutiolla suhteen. Aluasel on selvä, sillä F n F n aina. Oletetaan, että F m F lm. Lemmaa apuna ättäen (sijoitusilla lm+m, l m saadaan F (l+1m = F lm+m = F m+1 F lm +F m F lm 1, mutta F m F m ja F m F lm. Siispä vasen puoliin jaautuu, eli F m F (l+1m. Väite on totta indution nojalla. 5