(2n 1) = n 2
|
|
- Paavo Mikkonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa on kaksi vaihetta: (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n =0. (ii) Oletetaan, että väite on totta, kun n = k (tätä kutsutaan induktio-oletukseksi), ja osoitetaan, että se on totta, kun n = k +1 (tätä kutsutaan induktioväitteeksi). Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että väite on totta kaikilla n =0, 1, 2,...,silläkohdan (i) perusteella väite on totta, kun n =0,jotenkohdan(ii)perusteellaväiteon totta, kun n =1. Edelleen kohdan (ii) perusteella väite totta, kun n =2jne. Induktion ei tarvitse välttämättä alkaa luvusta n =0:induktionavullavoidaan todistaa myös muotoa oleva väite, kun n 0 2 N. väite P (n) on totta kaikille n = n 0,n 0 +1,n 0 +2,... Esimerkki Osoita, että kaikilla n =1, 2, (2n 1) = n 2 Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n =1: Vasen puoli: 1 Oikea puoli: 1 2 =1. Siis väite pätee kun n =1. 17
2 (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, jaosoitetaan,ettäväitepätee,kun n = k +1. Induktio-oletus: (2k 1) = k 2. Induktioväite: (2k 1) + (2(k +1) 1) = (k +1) 2. Induktioväitteen todistus. Lähdetäänliikkeelleinduktioväitteenvasemmaltapuolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) z } { (2k 1) +(2(k +1) 1) = k 2 +2(k +1) 1=k 2 +2k +2 1=k 2 +2k +1 =(k +1) 2. Näin päädyttiin induktioväitteen oikealle puolelle. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen perusteella väite on tosi kaikille n =1, 2,... Esimerkki Osoitetaan, että kaikilla ihmisillä on samanväriset silmät (luennolla). Tämä on esimerkkinä miksi kaikki induktioperiaatteen askeleet on syytä tarkastella erityisen tarkasti. 3.6 Summamerkintä Olkoot a 1, a 2,..., a n 2 R. Merkitään nx a j = a 1 + a a n. Esimerkki j=1 (1) 3X 2 i = i=1 (2) lx a k = a+a a l j=1 18
3 (3) mx mx a2 k = a 2 k = a( m ) Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, jotensensaaviedä P -merkin eteen. (4) px px ( x j + jy j+1 )= x j + j=1 j=1 px jy j+1 = (x+x x p )+ (y 2 +2y py p+1 ). j=1 (5) nx (2j 1) = (2n 1) j=1 (6) Tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia: Olkoon b sellainen reaaliluku, että b 6= 0ja b 6= 1. Merkitään S n = nx b j. j=0 Osoita, että kaikilla n =0, 1, 2,... S n = bn+1 1 b 1 Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Osoitetaan, että väite pätee kun n =0: Vasen puoli: S 0 = P 0 j=0 bj =1 Oikea puoli: b1 1 b 1 = b 1 b 1 =1 Siis väite on tosi kun n =0. 19
4 (ii) Induktio-oletus: Väite on tosi kun n = k, ts. S k = bk+1 1 b 1. Induktioväite: Väite on tosi, kun n = k +1,ts. S k+1 = bk+2 1 b 1. Induktioväitteen todistus. Induktio-oletuksenperusteella Xk+1 S k+1 = b j = j=0 kx b j + b k+1 j=0 induktio-oletus b k+1 1 = + b k+1 b 1 = bk+1 1 (b 1)bk+1 + b 1 b 1 = bk+1 1+b k+2 b k+1 = bk+2 1 b 1 b 1. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n = 0, 1, 2,... (7) Osoita, että kaikilla n =1, 2,... 3 n > 2n Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n =1: Vasen puoli: 3 1 =3 Oikea puoli: 2 1=2 Koska 3 > 2, niinväiteontotta,kunn =1. 20
5 (ii) Induktio-oletus: 3 k > 2k Induktioväite: 3 k+1 > 2(k +1) Induktioväitteen todistus. Induktio-oletustakäyttäensaadaan 3 k+1 =3 k 3 induktio-oletus > 2k 3=2k +4k k 1 2k +4> 2k +2=2(k +1). Näin ollen induktioväite on totta, ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n =1, 2,... (8) Osoita, että äärellisen monen rationaaliluvun q 1,q 2,...,q n summa q 1 + q q n on rationaaliluku. Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n =2,ts.kahdenrationaaliluvunq 1 ja q 2 summa q 1 + q 2 on rationaaliluku. Olkoot q 1 = m 1 n 1 ja q 2 = m 2 n 2,missäm 1,m 2,n 1,n 2 2 Z ja n 1 6=0sekä n 2 6=0. Tällöin q 1 + q 2 = m 1 + m 2 = m 1n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 on rationaaliluku, sillä m 1 n 2 + m 2 n 1 2 Z, n 1 n 2 2 Z ja n 1 n 2 6=0. (ii) Induktio-oletus: Kun k kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Induktioväite: Kun k +1kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Ts. jos q 1, q 2,..., q k+1 2 Q, niinq q k+1 2 Q. Induktioväitteen todistus. Olkootq 1, q 2,..., q k+1 2 Q. Koska q q k + q k+1 =(q q k )+q k+1, missä q q k 2 Q induktio-oletuksen nojalla ja q k+1 2 Q, niinkohdan(ii) perusteella näiden kahden rationaaliluvun summa on rationaaliluku. Siis induktioväite on totta. Induktioperiaatteen nojalla äärellisen monen rationaaliluvun summa on rationaaliluku. 21
6 4 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin keskeisimpiä käsitteitä ja harjoitellaan matemaattista päättelyä niitä käyttäen. Joukko koostuu alkioista ja jokaisesta alkiosta on pystyttävä sanomaan, kuuluuko se tiettyyn joukkoon. Merkintä Mitä tarkoittaa? x 2 A x on joukon A alkio, ts. x kuuluu joukkoon A y/2 A y ei ole joukon A alkio, ts. y ei kuulu joukkoon A {x P (x)} niiden alkioiden joukko, joilla on ominaisuus P (x) ; tyhjä joukko eli joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota Esimerkki 4.1. (1) 1 2{1, 2}, 2 2{1, 2}, 0 /2 {1, 2} (2) {n 2 N 0 <n<5} = {1, 2, 3, 4} (3) {0, 1} = {0, 0, 1} = {1, 0} (4) {1} 6= ;, sillä1 2{1}. (5) {;} 6= ;, sillä; on joukon {;} alkio. 4.1 Perusmääritelmiä Määritelmä 4.2. Joukko A on joukon B osajoukko, josjokainenjoukona alkio on myös joukon B alkio, ts. jos x 2 A, niinx 2 B. Tällöin merkitään A B. Joukot A ja B ovat samat, josa B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Joukko A ei ole joukon B osajoukko, jos joukossa A on sellainen alkio, joka ei kuulu joukkoon B, ts. jos on olemassa sellainen a 2 A, että a /2 B. Tällöin merkitään A 6 B. Esimerkki 4.3. (1) ; {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} (2) {3, 7, 11, 15} {n 2 N n pariton} N 22
7 (3) {2, 3, 4} 6 {2, 4, 6}, sillä3 2{2, 3, 4}, mutta3 /2 {2, 4, 6}. (4) {n 2 N p n<3} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (5) Parittomien luonnollisten lukujen määritelmän perusteella {n 2 N n on pariton} = {2k +1 k 2 N}, ja huomautuksen 3.7(3) perusteella {n 2 N n on pariton} = {n 2 N n 2 pariton}. (6) N Z Q R (7) Koska N 6= Z (esimerkiksi 1 2 Z, mutta 1 /2 N), niin N on joukon Z aito osajoukko. VastaavastiZ on joukon Q aito osajoukko ( 1 2 Q, mutta 1 /2 Z) jaq 2 2 on joukon R aito osajoukko ( p 2 2 R, mutta p 2 /2 Q). (8) Osoita, että {0, 1} = {x 2 R x 2 = x}. Todistus.Onosoitettavakaksiseikkaa: {0, 1} {x 2 R x 2 = x} ja {x 2 R x 2 = x} {0, 1}. Perustellaan 1. väite: koska 0 2 =2ja 1 2 =1,niin{0, 1} {x 2 R x 2 = x}, joten 1. väite on totta. Perustellaan vielä 2. väite: Jos x 2 R on sellainen, että x 2 = x, niin 0=x 2 x = x(x 1), mistä nähdään, että x =0tai x =1.Siis2.väitepätee. (9) Onko väite tosi? jos a 2 A ja A 6 B, niin a/2 B 23
8 Ratkaisu. Väite ei ole totta, mikä nähdään, kun valitaan A = {0, 1}, B = {1, 2} ja a =1. Tällöin a 2 A ja A 6 B, sillä0 2 A, mutta0 /2 B. Lisäksia 2 B. Määritelmä 4.4. Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste leikkaus erotus ja komplementti A [ B = {x 2 X x 2 A tai x 2 B}, A \ B = {x 2 X x 2 A ja x 2 B}, A\B = {x 2 X x 2 A ja x/2 B} A C = {x 2 X x/2 A}. Esimerkki 4.5. (1) Olkoot A = {0, 2, 4, 6} ja B = {0, 1, 2, 3}. Tällöin A [ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}, A \ B = {0, 2}, A \ B = {4, 6} ja (A \ B) [ (A \ B) ={0, 2}[{4, 6} = {0, 2, 4, 6} = A. (2) Olkoot A = {0, 1, a, b}, B = {1, 2,a} ja C = {2, 3,c}. Tällöin A [ B = {0, 1, 2, a, b}, A \ B = {1,a}, A\B = {0,b}, B\A = {2}, A \ C = ;, B \ C = {2} A \ (B \ C) =A \{2} = ; ja (A [ B) \ (A [ C) ={0, 1, 2, a, b}\{0, 1, 2, 3, a, b, c} = {0, 1, 2, a, b}. 24
9 (3) Olkoot A = {n 2 N n on jaollinen 6:lla}, B = {n 2 N n on jaollinen 3:lla} ja C = {n 2 N n on jaollinen 2:lla}. Tällöin ja esimerkin 3.9 (2) perusteella B [ C = {n 2 N n on jaollinen 2:lla tai 3:lla} B \ C = {n 2 N n on jaollinen 2:lla ja 3:lla} = A. Määritellään seuraavaksi joukon R avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit. Määritelmä 4.6. Olkoot a, b 2 R sellaisia, että a<b. Määritellään ]a, b[ ={x 2 R a<x<b} [a, b] ={x 2 R a apple x apple b} ]a, b] ={x 2 R a<xapple b} [a, b[ ={x 2 R a apple x<b} (avoin väli) (suljettu väli) (puoliavoin väli) (puoliavoin väli). Lisäksi ]a, 1[ ={x 2 R x>a} [a, 1[ ={x 2 R x a} ] 1,a[={x 2 R x<a} ] 1,a]={x 2 R x apple a}. Huomautus 4.7. Tässä 1 on äärettömän symboli. Esimerkki 4.8. (1) Olkoot A =[0, 1], B =[1, 2] ja C = 1 2, 3 2.Nyt A [ B = {x 2 R 0 apple x apple 1 tai 1 apple x apple 2} =[0, 2], A \ B = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja 1 apple x apple 2} = {1}, A [ C = {x 2 R 0 apple x apple 1 tai 1 2 <x< 3 2 } = 0, 3 2, A \ C = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja 1 2 <x< 3 2 } = 1 2, 1, B [ C = {x 2 R 1 apple x apple 2 tai 1 2 <x< 3 2 } = 1 2, 2 B \ C = {x 2 R 1 apple x apple 2 ja 1 2 <x< 3 2 } = 1, 3 2, A\B = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja (x <1 tai x>2)} =[0, 1[, A\C = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja (x apple 1 2 tai x 3 2 )} = 0, 1 2 ja B\C = {x 2 R 1 apple x apple 2 ja (x apple 1 2 tai x 3 2 )} =[3 3, 2]. 25
10 (1) Olkoot A =[ 2, 2[ ja B =[1, 1[. Tällöin A [ B = {x 2 R 2 apple x apple 2 tai x 1} =[ 2, 1[ A \ B = {x 2 R 2 apple x apple 2 ja x 1} =[1, 2[, R \ A = {x 2 R x< 2 tai x 2} =] 1, 2[[[2, 1[, R \ B = {x 2 R x<1} =] 1, 1[, A \ B = { 2 apple x<2 x<1} =[ 2, 1[ ja B \ A = {x 1 x< 2 tai x 2} =[2, 1[. Määritellään seuraavaksi joukkojen äärelliset ja numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. Määritelmä 4.9. Joukkojen A 1,A 2,...,A k äärellinen yhdiste on k[ A i = A 1 [ A 2 [...[ A k = {x x 2 A 1 tai x 2 A 2 tai... tai x 2 A k } i=1 = {x x 2 A i jollakin i =1,...,k} ja äärellinen leikkaus on k\ A i = A 1 \ A 2 \...\ A k = {x x 2 A 1 ja x 2 A 2 ja... ja x 2 A k } i=1 = {x x 2 A i kaikilla i =1,...,k}. Määritelmä Joukkojen A 1,A 2,... numeroituva yhdiste on 1[ A i = {x x 2 A i jollakin i =1, 2,...} i=1 ja numeroituva leikkaus on 1\ A i = {x x 2 A i kaikilla i =1, 2,...}. i=1 Esimerkki (1) Tarkastellaan joukkoja A =] 1, 0[,B=]0, 1],C= 1 2, 2 ja D = {0, 3}. Mitä ovat A [ B, A [ B [ D, B [ C [ D, A \ B \ C \ D ja B \ C \ D? 26
11 Ratkaisu: Määritelmien perusteella saadaan A [ B = {x 2 R 1 <x<0 tai 0 <xapple 1} =] 1, 1] \{0}, A [ B [ D = {x 2 R 1 <x<0 tai 0 <xapple1 tai x =0tai x =3} =] 1, 1] [{3}, B [ C [ D = {x 2 R 0 <xapple 1 tai 1 apple x apple 2 tai x =0tai x =3} =[0, 2] [{3}, 2 A \ B \ C \ D = ; ja B \ C \ D = ;. (2) Kaikilla k 2 N määritellään A k =[k, k +1[. Mitä ovat 5[ A k, [ 10 A k, [ 10 A k ja 1[ A k? k=5 Ratkaisu: Määritelmien perusteella 5[ A k = A 1 [ A 2 [ A 3 [ A 4 [ A 5 =[1, 2[[[2, 3[[[3, 4[[[4, 5[[[5, 6[= [1, 6[, 10 [ A k = A 1 [ A 2 [...[ A 10 =[1, 2[[[2, 3[[...[ [10, 11[= [1, 11[, 10 [ A k = A 5 [ A 6 [...[ A 10 =[5, 6[[[6, 7[[...[ [10, 11[= [5, 11[ k=5 1[ A k = {x 2 R x 2 A k jollakin k =1, 2,...} =[1, 1[. ja (3) Kaikilla k =1, 2,... määritellään A k =[0, 1 [. Mitä ovat k 5\ A k, \ 10 A k, \ 10 A k ja 1\ A k? k=5 27
12 Ratkaisu: Määritelmien perusteella 5\ A k = A 1 \ A 2 \ A 3 \ A 4 \ A 5 =[0, 1[\[0, 1[\[0, 1[\[0, 1[\[0, 1[= [0, 1[, \ 10 \ k=5 A k = A 1 \ A 2 \...\ A 10 =[0, 1[\[0, [\...\ [0, [= [0, [, A k = A 5 \ A 6 \...\ A 10 =[0, 1[[[0, [\...\ [0, [= [0, [ ja \ A k = {x 2 R x 2 A k kaikilla k =1, 2,...} = {0}. Perustellaan viimeinen yhtäsuuruus, ts. todistetaan, että 1\ A k = {0} (ks. 2.12). On siis osoitettava, että 1\ {0} A k ja 1\ A k {0}. Koska 0 2 [0, 1 k [ kaikilla k =1, 2,...,niin{0} T 1 A k. Osoitetaan vielä, että T 1 A k {0}. Oletus: x 2 T 1 A k,ts.x 2 A k kaikilla k =1, 2,... Väite: x =0. Antiteesi: x 6= 0. Koska x 2 A 1 ja x 6= 0,niin0 <x<1. Valitaanniinsuurii =1, 2,...,että i> 1 x. Tällöin 1 i <x,jotenx /2 A i. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x 2 A i.näinollenantiteesieioletosi,jasitenväitepätee. 28
13 4.2 Karteesinen tulo Määritelmä Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = {(a, b) a 2 A, b 2 B}. Karteesisen tulon alkioita (a, b) sanotaan järjestetyiksi pareiksi. Järjestettyjen parien olennainen ominaisuus on seuraava: jos (x, y) ja (a, b) ovat järjestettyjä pareja, niin (x, y) =(a, b) jos ja vain jos x = a ja y = b. Esimerkki (1) Jos A = {a, b, c} ja B = {0,a}, niin A B = {(a, 0), (a, a), (b, 0), (b, a), (c, 0), (c, a)}. (2) Olkoot A = {1}, B = {2, 3}, C = {1, 2} ja D = {3}. Mitä ovat A (B [ C), (A B) [ (A C), A (B \ C), (A B) \ (A C), (A B) [ (C D) ja (A [ C) (B [ D)? Ratkaisu. Määritelmistä saadaan A (B [ C) ={1} {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} (A B) [ (A C) ={(1, 2), (1, 3)}[{(1, 1), (1, 2)} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} A (B \ C) ={1} {3} = {(1, 3)} (A B) \ (A C) ={(1, 2), (1, 3)}\{(1, 1), (1, 2)} = {(1, 3)} (A B) [ (C D) ={(1, 2), (1, 3)}[{(1, 3), (2, 3)} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (A [ C) (B [ D) ={1, 2} {2, 3} = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}. (3) Euklidinen avaruus R n : R 2 = R R = {(x, y) x 2 R ja y 2 R} (xy-taso) R 3 = R R R = {(x, y, z) x 2 R, y2 R ja z 2 R} R n = R R... R {z } n-kpl (n-ulotteinen euklidinen avaruus). (xyz-avaruus) (4) Jos A =[ 1, 1[, B =]0, 1[ ja C =[1, 1[, niin A B =[ 1, 1[ ]0, 1[ = {(x, y) 2 R 2 1 apple x<1 ja 0 <y<1} A C =[ 1, 1[ [1, 1[ ={(x, y) 2 R 2 1 apple x<1 ja y 1} C A =[1, 1[ [ 1, 1[ = {(x, y) 2 R 2 x 1 ja 1 apple y<1}. 29
14 4.3 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Kun todistetaan, että A = B, onpäättelyssäkaksivaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.josx 2 A, niinx 2 B, (ii) osoitetaan, että B A, ts.josx 2 B, niinx 2 A. Esimerkki (1) Olkoot A = {x 2 R x 2 5x +6=0} ja B = {n 2 N 3 < n 2 < 10}. Osoita,ettäA = B. Todistus.Onosoitettava,ettäA B ja B A. (i) Väite 1: A B, ts.josx 2 A, niinx 2 B. Todistus.Olkoonx 2 A. Tällöin x 2 R ja x 2 5x +6=0.Ratkaistaantoisen asteen yhtälö jakamalla polynomi x 2 5x +6tekijöihin: 0=x 2 5x +6=(x 2)(x 3). Tästä nähdään, että x =2tai x =3.Koska2 2 N ja 3 < 2 2 < 10, niin2 2 B. Koska 3 2 N ja 3 < 3 2 < 10, niin3 2 B. SiisA B. (ii) Väite 2: B A, ts.josx 2 B, niinx 2 A. Todistus.Olkoonn 2 B, ts.n 2 N ja 3 <n 2 < 10. Tällöin n =2tai n =3. Sijoittamalla 2 x:n paikalle lausekkeeseen x 2 5x +6saadaan = = 0. Siis 2 2 A. Sijoittamalla3 muuttujan x paikalle lausekkeeseen x 2 5x+6 saadaan = = 0. Siis 3 2 A. NäinollenB A. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A = B. (2) Osoita, että A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C). Todistus. 30
15 (i) Väite 1: A [ (B \ C) (A [ B) \ (A [ C), ts.josx 2 A [ (B \ C), niin x 2 (A [ B) \ (A [ C). Todistus.Oletetaan,ettäx 2 A[(B\C). Tällöin x 2 A tai x 2 B\C. Käsitellään nämä tapaukset erikseen. Jos x 2 A, niinx 2 A [ B ja x 2 A [ C yhdisteen määritelmän nojalla. Siis x 2 (A [ B) \ (A [ C). Jos x 2 B\C, niin x 2 B ja x 2 C leikkauksen määritelmän perusteella. Edelleen yhdisteen määritelmän nojalla x 2 A[B ja x 2 A[C. Siisx 2 (A[B)\(A[C). Koska molemmissa tapauksissa x 2 (A [ B) \ (A [ C), niinväite1ontotta. (ii) Väite 2: (A [ B) \ (A [ C) A [ (B \ C), ts.josx 2 (A [ B) \ (A [ C), niin x 2 A [ (B \ C). Todistus.Oletetaan,ettäx 2 (A [ B) \ (A [ C). Tällöin x 2 A [ B ja x 2 A [ C. Jos x 2 A, niinyhdisteenmääritelmännojallax 2 A [ (B \ C). Jostaasx/2 A, niin koska x 2 A [ B ja x 2 A [ C, onx molempien joukkojen B ja C alkio. Näin ollen x 2 B \ C, mistäseuraa,ettäx 2 A [ (B \ C). Siisväite2ontotta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C). (3) Osoita, että (A [ B) C = A C \ B C. Todistus. (i) Väite 1: (A [ B) C A C \ B C,ts.josx 2 (A [ B) C,niinx 2 A C \ B C. Todistus.Oletetaan,ettäx 2 (A [ B) C,ts.x/2 A [ B. Perustellaan,ettätästä seuraa, että x/2 A ja x/2 B. Antiteesi: x 2 A tai x 2 B. Tällöin x 2 A [ B, mikäonristiriita,silläoletuksen perusteella x/2 A [ B. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen x/2 A ja x/2 B, ts.x 2 A C ja x 2 B C.Siis x 2 A C \ B C.Väite1onsiistotta. 31
16 (ii) Väite 2: A C \ B C (A [ B) C,ts.josx 2 A C \ B C,niinx 2 (A [ B) C. Todistus.Oletetaan,ettäx 2 A C \ B C,ts.x/2 A ja x/2 B. Perustellaan,että tästä seuraa, että x/2 A [ B. Antiteesi: x 2 A [ B. Tällöin x 2 A tai x 2 B, mikäonristiriita,silläoletuksen mukaan x/2 A ja x/2 B. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen x /2 A [ B, ts.x 2 (A [ B) C,javäite2on osoitettu todeksi. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että (A [ B) C = A C \ B C. (3) Osoita, että A (B [ C) =(A B) [ (A C). Todistus. (i) Väite 1: A (B [ C) (A B) [ (A C), ts.jos(x, y) 2 A (B [ C), niin (x, y) 2 (A B) [ (A C). Todistus.Oletetaan,että(x, y) 2 A (B [ C), ts.x 2 A ja y 2 B [ C. Jos y 2 B, niin(x, y) 2 A B. Jostaasy 2 C, niin(x, y) 2 A C. Näinollen (x, y) 2 (A B) [ (A C), jotenväite1ontotta. Väite 2: (A B) [ (A C) A (B [ C), ts.jos(x, y) 2 (A B) [ (A C), niin (x, y) 2 A (B [ C). Todistus. Oletetaan,että(x, y) 2 (A B) [ (A C), ts.(x, y) 2 A B tai (x, y) 2 A C. Jos (x, y) 2 A B, niinx 2 A ja y 2 B, joten(x, y) 2 A (B [ C). Jostaas (x, y) 2 A C, niinx 2 A ja y 2 C, joten(x, y) 2 A (B [ C). Näin ollen väite 2 on totta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A (B [ C) =(A B) [ (A C).. 32
17 Harjoitellaan vielä todistamista joukko-opin käsitteitä käyttäen. Esimerkki Osoita, että A [ B A, josjavainjosb A. Todistus.Väitekoostuukahdestaväitelauseesta.Todistetaanneerikseen. ) Oletus 1: A [ B A. Väite 1: B A, ts.josx 2 B, niinx 2 A. Todistus. Olkoon x 2 B. Tällöin x 2 A [ B, jotenoletuksen1perusteellax 2 A. Siis väite 1 on totta. ( Oletus 2: B A. Väite 2: A [ B A, ts.josx 2 A [ B, niinx 2 A. Todistus.Olkoonx 2 A [ B, ts.x 2 A tai x 2 B. Josx 2 A, niinväite2on totta. Jos taas x 2 B, niinoletuksen2perusteellax 2 A. Siisväite2ontotta. Kohdista ( ja ) seuraa, että A [ B A, josjavainjosb A. 33
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018 1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen
Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
1 Perusasioita joukoista
1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Ensimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Ensimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Vastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 15. syyskuuta 2015 Alkulause Much more important than specific mathematical results are the habits of mind used by the people who create those results. Cuoco, Goldenberg
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Joukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
Ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
Algebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Funktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 14.8.2003 Sisältö 1 Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita 3 1.1 Maalaisjärjellä päätteleminen.................. 3 1.2 Todistamisen alkeita.......................
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.
ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen