Ratkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1 Tehtävän 2 malliratkaisussa. Etsi kaava A niin että M = A jos ja vain jos (a) Partakylässä on parturi, joka ajaa kaikkien niiden ja vain niiden parran, jotka eivät aja omaa partaansa, (b) Partakylässä on parturi joka ajaa kaikkien niiden ja vain niiden miesten parran, jotka eivät aja omaa partaansa. Ratkaisu: (a) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 ))), (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))). 2. Etsi Partakylä (eli malli M), jossa edellisen tehtävän (a) kohdan (a), (b) kohdan (b) lause on totta. Mitä voit sanoa parturista? Kuka ajaa parturin parran? Ratkaisu: (a) Avataan ensin sitä, mitä lauseen toteutuminen tarkoittaa. Tarskin totuusmääritelmän nojalla, joitakin väliväiheita ohittaen, M = s x 0 (R(x 0 ) x 1 (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 ))) joss on olemassa p M jolla M = s(p/x0 ) R(x 0 ) x 1 (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )) joss on olemassa parturi p M jolla M = s(p/x0 ) x 1 (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )) joss on olemassa parturi p M jolla kaikilla m M pätee M = s(p/x0 )(m/x 1 ) S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 ) joss on olemassa parturi p M jolla kaikilla m M pätee, että p ajaa m:n parran jos ja vain jos m ei aja m:n partaa. 1

2 Erityisesti siis valitsemalla m = p, nähdään että mikäli lause toteutuu, niin p ajaa oman partansa jos ja vain jos p ei aja omaa partaansa. Tämä on ristiriita, ja kyseinen lause ei ole toteutuva. (Kyseessä on eräs versio Russellin paradoksista.) (b) Avataan ensin sitä, mitä lauseen toteutuminen tarkoittaa. Tarskin totuusmääritelmän nojalla, joitakin väliväiheita ohittaen, M = s x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))) joss on olemassa p M jolla M = s(p/x0 ) R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 ))), joss on olemassa parturi p M jolla M = s(p/x0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 ))), joss on olemassa parturi p M jolla kaikilla m M pätee M = s(p/x0 )(m/x 1 ) Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )), joss on olemassa parturi p M jolla kaikilla miehillä m M pätee M = s(p/x0 )(m/x 1 ) S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 ), joss on olemassa parturi p M jolla kaikilla miehillä m M pätee, että p ajaa m:n parran jos ja vain jos m ei aja m:n partaa. Nähdään, että kaava sanoo, mitä halutaankin. Määritellään eräs Partakylän malli seuraavasti: M = (M, Q M, R M, S M ) = ({p, m}, {p}, {p}, {(p, m)}). Partakylässä on siis kaksi asukasta p ja m, joista p on naisparturi ja m on mies, ja p ajaa m:n parran (ja m ei aja partaansa). Lause A siten toteutuu tässä mallissa. Parturi p ei ole mies, jotta hänen ei tarvitse sekä ajaa että olla ajamatta partaansa. Mallissa kukaan ei aja p:n partaa, mutta parturin antaminen p:lle ei tuottaisi ristiriitoja. Toinen tapa saada malli, jossa lause A on totta, on määritellä naisten predikaatti Q M koko perusjoukoksi (ja parturipredikaatti R M epätyhjäksi). Nimittäin tällöin ei ole yhtään miestä m M, jolla kaava S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 ) voisi olla toteutumatta, ja lause A pätee automaattisesti (kunhan on olemassa ainakin yksi parturi). 3. Näytä, että x 0 A x 0 A on validi. Ratkaisu: Olkoot M ja s mielivaltaiset malli ja tulkintafunktio: halutaan näyttää, että M ja s toteuttavat tehtävän kaavan. Tarskin totuusmääritelmän 2

3 nojalla M = s x 0 A x 0 A, joss M = s x 0 A tai M = s x 0 A, joss M = s x 0 A tai M = s x 0 A. Halutaan siis näyttää, että pätee joko M = s x 0 A tai M = s x 0 A. Tarkastellaan kahta tapausta jälkimmäisen ehdon totuuden suhteen: Jos M = s x 0 A, ollaan valmiit. Jos M = s x 0 A, halutaan näyttää, että tällöin M = s x 0 A. Koska M = s x 0 A tarkoittaa, että kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A eli M = s(a/x0 ) A, niin ei ole olemassa sellaista a 0 M, että M = s(a0 /x 0 ) A. Siis M = x 0 A, kuten haluttiin. 4. Näytä, että x 0 (A B) x 0 A on validi. Ratkaisu: Olkoot M ja s mielivaltaiset malli ja tulkintafunktio: halutaan taas näyttää, että ne toteuttavat tehtävän kaavan. Tarskin totuusmääritelmän nojalla M = s x 0 (A B) x 0 A, joss M = s x 0 (A B) tai M = s x 0 A. Tutkitaan taas kahta tapausta: Jos M = s x 0 (A B), ollaan valmiit. Jos M = s x 0 (A B), niin halutaan näyttää, että tällöin M = s x 0 A. Oletus tarkoittaa, että kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) (A B), eli M = s(a/x0 ) A B, eli M = s(a/x0 ) A ja M = s(a/x0 ) B. Siis erityisesti kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A, eli M = s x 0 A, kuten haluttiin. 5. Näytä, että x 0 (P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 )) ( x 0 P 0 (x 0 ) x 0 P 1 (x 0 )) ei ole validi. Ratkaisu: Kaavassa esiintyy predikaattisymbolit P 0 ja P 1, eli vastaesimerkkiä varten halutaan aakkoston {P 0, P 1 } malli. Valitaan malliksi M = (N, 2N, 2N + 1) 3

4 eli universumi on N, predikaatti P M 0 on parillisten ja P M 1 parittomien lukujen joukko. Koska jokainen luku n N on joko parillinen tai pariton, niin M = s(n/x0 ) P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ), eli M = x 0 (P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 )). Toisaalta Tarskin totuusmääritelmän nojalla M = s ( x 0 P 0 (x 0 ) x 0 P 1 (x 0 )) joss M = s x 0 P 0 (x 0 ) tai M = s x 0 P 1 (x 0 ), joss kaikilla n N pätee M = s(n/x0 ) P 0 (x 0 ) tai kaikilla n N pätee M = s(n/x0 ) P 1 (x 0 ), joss kaikilla n N pätee x M 0 s(n/x 0 ) = n P 0 tai kaikilla n N pätee x M 0 s(n/x 0 ) = n P 1, joss kaikilla n N pätee, että n on parillinen tai kaikilla n N pätee, että n on pariton. Koska kumpikaan ylläolevista väitteistä ei päde (esim. 1 N ei ole parillinen ja 0 N ei ole pariton), niin M = s ( x 0 P 0 (x 0 ) x 0 P 1 (x 0 )). Siis Tarskin totuusmääritelmän nojalla M = s x 0 (P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 )) ( x 0 P 0 (x 0 ) x 0 P 1 (x 0 )), mikä osoittaa, että kyseinen kaava ei ole validi. 6. Näytä, että x 0 (A B) x 0 A x 0 B. Ratkaisu: Oletetaan, että malli M ja tulkintafunktio s ovat sellaiset, että M = s x 0 (A B), eli kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A B eli M = s(a/x0 ) A tai M = s(a/x0 ) B. Halutaan osoittaa, että M = s x 0 A x 0 B. Tarskin totuusmääritelmän nojalla M = s x 0 A x 0 B, joss M = s x 0 A tai M = s x 0 B, joss millään a M ei päde M = s(a/x0 ) A tai jollakin a M pätee M = s(a/x0 ) B, joss kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A Tarkastellaan taas kahta tapausta. tai jollakin a M pätee M = s(a/x0 ) B. 4

5 Jos jollakin a M pätee M = s(a/x0 ) B, ollaan valmiit. Oletetaan sitten, että millään a M ei päde M = s(a/x0 ) B. Koska kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A tai M = s(a/x0 ) B, ja jälkimmäinen vaihtoehto tiedetään mahdottomaksi, niin kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A, kuten haluttiin. 7. Näytä, että x 0 x 1 (A B) x 0 ( x 1 A x 1 B). Ratkaisu: Todistetaan väite kahdessa osassa. Osoitetaan, että seuraavat väitteet pätevät: (1) x 1 (A B) x 1 A x 1 B (2) Jos C D niin x 0 C x 0 D. Haluttu väite seuraa sitten valitsemalla C D olemaan kohdan (1) looginen ekvivalenssi. Todistukset ovat seuraavanlaiset: (1) Tarskin totuusmääritelmän nojalla M = s x 1 (A B) joss kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A B, joss kaikilla a M pätee M = s(a/x0 ) A ja M = s(a/x0 ) B, joss M = s x 0 A ja M = s x 0 B, joss M = s x 0 A x 0 B, kuten haluttiin. (2) Tarskin totuusmääritelmän nojalla M = s x 0 C joss jollakin a M pätee M = s(a/x0 ) C, joss jollakin a M pätee M = s(a/x0 ) D, joss M = s x 0 D, missä oletusta C D sovellettiin malliin M ja tulkintafunktioon s(a/x 0 ). 5