Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Transkriptio

1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla Pellin yhtälön pienin positiivinen ratkaisu on riittävän pieni kokeiltavaksi. Ratkaistaan yhtälöt kokeilemalla arvoja y = 1,,.... D =. Kokeilemalla nähdään, että ratkaisu x =, y = toimii. D =. Kokeilemalla nähdään, että ratkaisu x =, y = 1 toimii. D = 5. Kokeilemalla nähdään, että ratkaisu x = 9, y = 4 toimii. D = 6. Kokeilemalla nähdään, että ratkaisu x = 5, y = toimii. D = 7. Kokeilemalla nähdään, että ratkaisu x = 8, y = toimii. D = 8. Kokeilemalla nähdään, että ratkaisu x =, y = 1 toimii. D = 10. Kokeilemalla nähdään, että ratkaisu x = 19, y = 6 toimii. Tehtävä. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. 1 i) 5 ii) +. Ratkaisu. i) Merkitään x = 1 5. Silloin ) 5 1 x =, joten kertomalla tämän yhtälön molemmat puolet x 5 :llä saadaan ii) Merkitään y = +. Silloin 1 x) 5 = x 5. y ) =. Avataan sulut, kootaan neliöjuurta sisältävät termit toiselle puolelle ja korotetaan neliöön. y y + 6y = y + 6y = y + ) y + 6y ) = y + ) 1

2 Tehtävä. Ratkaise kolmannen asteen ratkaisukaavalla yhtälöt i) x + 6x 16 = 0, ii) x 4x = 0. Ratkaisu. i) Käytetään ratkaisukaavaa. Diskriminantti on ) 16) D = + 6 = ) = Selvitetään seuraavaksi ratkaisukaavasta u 0 ja v 0. u 0 = 16 + D = = 4 = 7 v 0 = 16 D = = 7 = Näillä valinnoilla u 0 v 0 = 6, joten juuret on valittu oikein. Nyt ratkaisut ovat x = u 0 + v 0 = 4, x = e πi/ u 0 + e 4πi/ v 0 = + 5 i ja x = e 4πi/ u 0 + e πi/ v 0 = 5 i. ii) Käytetään ratkaisukaavaa. Diskriminantti on ) ) D = + 4) = ) = 7 7. Selvitetään seuraavaksi ratkaisukaavasta u 0 ja v 0. u 0 = i 7 D = 1 + i 7 = v 0 = 7 7 i 7 D = 1 i 7 = Tarvitsemme kompleksilukujen teoriasta tietoa, että θ + i sin θ = e iθ ja e iθ = e iθ/. Lisäksi θ + sin θ = 1. Koska = 64 = 8, voidaan kirjoittaa 7 i i = ) = 7 i Olkoon 0 < α < π/ sellainen kulma, jolle α) = 7/8, eli α = arc 7/8). Silloin sinα) = 7/8. Tällöin yksi kuutiojuurista on e iα/. Vastaavasti yksi kompleksiluvun 7 i 7 kompleksisista kuutiojuurista on silloin e iα/. Näillä valinnoilla u 0 v 0 = 4, joten juuret on valittu oikein.

3 Käytetään ratkaisujen sieventäessä tietoa, että e iθ + e iθ = θ + i sin θ + θ i sin θ = θ, ja e πi = 1. Nyt ratkaisut ovat x = u 0 + v 0 = e iα/ + e iα/ ) = 4 arc ) 7/8), x = e πi/ u 0 +e 4πi/ v 0 = e iα/+π/) +e iα/ π/) e πi ) = 4 arc ) 7/8) + π ja x = e 4πi/ u 0 +e πi/ v 0 = e iα/+4π/) +e iα/ 4π/) e πi ) = 4 arc 7/8) + 4π Tehtävä 4. i) Olkoot x 1, y 1 ), x, y ),... Pellin yhtälön x Dy = 1 positiiviset ratkaisut kasvavassa suuruusjärjestyksessä. Osoita, että ne toteuttavat rekursioyhtälöt { xk+1 = ax k + by k missä a, b, c, d ovat sopivia kokonaislukuja. ii) Näytä että jono x k toteuttaa rekursion Mikä on vastaava kaava jonolle y k )? y k+1 = cx k + dy k, x k+1 = x 1 x k x k 1. Ratkaisu 4. i) Tiedetään, että Pellin yhtälön kaikki positiiviset ratkaisut ovat muotoa x n + y n D = x1 + y 1 D) n. Nämä ovat suuruusjärjestyksessä, joten ne vastaavat tehtävänannon jonoa. Tästä saadaan, että x k+1 +y k+1 D = x1 +y 1 D) k+1 = x 1 +y 1 D)x1 +y 1 D) k = x 1 +y 1 D)xk +y k D). Avataan tästä sulut ja lausutaan x k+1 ja y k+1 lukujen x k ja y k avulla. x 1 +y 1 D)xk +y k D) = x1 y 1 +x 1 y k D+y1 x k D+y1 y k D = x 1 x k +Dy 1 y k +y 1 x k +x 1 y k ) D Siten luentojen lauseen nojalla x k+1 = x 1 x k + Dy 1 y k ja y k+1 = y 1 x k + x 1 y k. ii) Sovelletaan edellistä kohtaa lukuihin x k+1, y k ja x k, ja käytetään tietoa, että luvut toteuttavat Pellin yhtälön. x k+1 = x 1 x k + Dy 1 y k = x 1 x k + Dy 1 y 1 x k 1 + x 1 y k 1 ) = x 1 x k + Dy 1x k 1 + Dy 1 x 1 y k 1 = x 1 x k + x 1 1)x k 1 + Dy 1 x 1 y k 1 = x 1 x k + x 1 x 1 x k 1 + Dy 1 y k 1 ) x k 1 = x 1 x k + x 1 x k x k 1 = x 1 x k x k 1 ).

4 On siis näytetty, että x k+1 = x 1 x k x k 1. Etsitään vielä vastaava rekursioyhtälö jonolle y k ) vastaavalla tavalla. y k+1 = y 1 x k + x 1 y k = x 1 y k + y 1 x 1 x k 1 + Dy 1 y k 1 ) = x 1 y k + Dy1y k 1 + y 1 x 1 x k 1 = x 1 y k + x 1 1)y k 1 + y 1 x 1 x k 1 = x 1 y k + x 1 x 1 y k 1 + y 1 x k 1 ) y k 1 = x 1 y k + x 1 y k y k 1 = x 1 y k y k 1 Jonolle siis pätee y k+1 = x 1 y k y k 1. Tehtävä 5. Todista yllättävä yhtäsuuruus = 1 etsimällä sopiva kolmannen asteen yhtälö jonka juurena on vasen puoli! Ratkaisu 5. Etsitään sellaista kolmannen asteen yhtälöä x +px+q = 0, jolle ratkaisukaavassa esiintyvät luvut u 0 ja v 0 ovat u 0 = + 5, v 0 = 5. Tätä varten voimme vaatia, että q =, D = 5. Tästä ratkaistuna q = 4. Diskriminantissa 4) + p 4 7 = 5, ja tästä voidaan ratkaista p =. Tiedetään siis, että kolmannen asteen yhtälöllä x + x 4 = 0 on ratkaisu x = 5 + 5, ja muita reaalisia ratkaisuja ei ole, koska yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Toisaalta kokeilemalla nähdään, että x = 1 toteuttaa yhtälön. Siispä = 1 Tehtävä 6. Oletetaan, että yhtälöllä x Dy = k on ratkaisuja. Näytä, että niitä on silloin myös yhtälöllä x Dy = k. Ratkaisu 6. Olkoon x 0, y 0 ) sellaisia kokonaislukuja, joille x 0 Dy 0 = k. Korotetaan tämän yhtäsuuruuden molemmat puolet toiseen potenssiin, jolloin saadaan k = x 0 Dy 0) = x D y 4 0 Dx 0y 0 = x Dx 0y 0 + D y 4 0 4Dx 0y 0 = x 0 + Dy 0) Dx 0 y 0 ) Siten yhtälöllä x Dy = k on ratkaisu x = x 0 + Dy 0, y = x 0 y 0. 4

5 Tehtävä 7. Oletetaan, että x ja y toteuttavat kokonaiskertoimiset. asteen yhtälöt ax + bx + c = 0 ja Ay + By + C = 0, missä a 0 A. Etsi kokonaiskertoiminen polynomiyhtälö, jonka summa z := x + y toteuttaa. Ratkaisu 7. Käytetään samanlaista ideaa kuin tehtävän ii)-kohdassa. Huomataan aluksi, että y = z x, joten Az x) + Bz x) + C = 0. Avataamalla sulut saadaan yhtälö Ax Az + B)x + Az + Bz + C = 0. Kerrotaan molemmat puolet a:lla ja käytetään tietoa, että ax = bx c. Aax aaz +B)x+aAz +Bz +C) = A bx c) aaz +B)x+aAz +Bz +C) = 0. Tämän voi kirjoittaa muodossa aaz Ab ab)x + aaz + abz + ac Ac = 0. Toisaalta luvulle x pätee ax+b) = b 4ac. Pyritään siis muokkaamaan yhtälö muotoon P z)ax + b) = Qz) kokonaislukukertoimisilla polynomeilla P ja Q. aaz + Ab + ab)x = aaz + abz + ac Ac aaz + Ab + ab) ax = aaaz + abz + ac Ac) aaz + Ab + ab)ax + b) = aaaz + abz + ac Ac) + baaz + Ab + ab) Korotetaan nyt toiseen potenssiin, jolloin jäljelle jää aaz + Ab + ab) b 4ac) = aaaz + abz + ac Ac) + baaz + Ab + ab)). Tämä on kokonaislukukertoiminen neljännen asteen polynomiyhtälö, jonka z toteuttaa. Huomautus. Tehtävässä on myös mahdollista käyttää polynomien resultanttia. Ajatuksena on seuraava: jos reaalikertoimisilla polynomeilla P ja Q on yhteinen nollakohta, se on aina myös polynomin AP + BQ nollakohta. Määritellään vektoriavaruus E k olemaan sellaisten polynomien joukko, joiden aste on pienempi kuin k. Olkoon polynomin P aste n ja polynomin Q aste m. Silloin lineaarikuvaus T : E m E n E m+n, T A, B) = AP + BQ ei ole surjektio, sillä kaikilla kuvajoukon polynomeilla on yhteinen nollakohta. Jos kuvaus T esitetään matriisimuodossa, sen alkiot ovat polynomien P ja Q kertoimia. Tämä on neliömatriisi, ja sen determinantti on siis 0. Tehtävän ratkaisuksi voidaan siis määrittää tällainen matriisi muuttujan x suhteen) polynomeista ax + bx + c ja Az x) + Bz x) + C, jonka determinantti on polynomi matriisin alkioista ja sen on oltava 0. Kokonaislukukertoiminen polynomiyhtälö on silloin c 0 Az + Bz + C 0 det b c Az B Az + Bz + C a b A Az B = 0. 0 a 0 A 5