ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
|
|
- Heli Majanlahti
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N, yksikäsitteinen ratkaisu, kun alkuarvot x 1 ja x 2 on annettu. Koska polynomilla on kaksinkertainen nollakohta r 0, on oltava c 1 = 2r 0 ja c 0 = r 2 0. Erityisesti r 0 on reaalinen; lisäksi jos c 0 = 0, niin c 1 = 0 ja siten x n+2 = 0 kaikilla n N. Tarkastellaan sitten tapausta c 0 0, jolloin myös r 0 0. Osoitetaan, että ratkaisujonon (y n ) n N alkiot ovat kaikilla n N, missä λ 1 = x 2 x 1 r 0 r 2 0 y n = λ 1 nr n 0 + λ 2 r n 0 ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 r 2 0 Osoitetaan, että jono (y n ) n N toteuttaa kyseisen toisen kertaluvun rekursioyhtälön alkuarvoineen. Muistetaan, että c 1 = 2r 0 ja c 0 = r0 2. Näin ollen c 1 y n+1 + c 0 y n = 2r 0 (λ 1 (n + 1)r n λ 2 r n+1 0 ) r 2 0(λ 1 nr n 0 + λ 2 r n 0 ) = 2λ 1 (n + 1)r0 n+2 + 2λ 2 r0 n+2 λ 1 nr0 n+2 λ 2 r0 n+2 = λ 1 (n + 2)r0 n+2 + λ 2 r0 n+2 = y n+2. Tarkastellaan vielä alkuarvojen toteutumista; määritelmän nojalla Edelleen, y 1 = λ 1 r 0 + λ 2 r 0 = x 2 x 1 r 0 r 0 + 2x 1r 0 x 2 r 0 = x 1r 0 r 0 = x 1. y 2 = 2λ 1 r λ 2 r 2 0 = 2(x 2 x 1 r 0 ) + 2x 1 r 0 x 2 = x 2. Alkuarvot siis toteutuvat, kuten haluttiin.. 2. Tietokoneella järjestettäessä listoja eli jonoja (x 1,, x n ), x i R (tavanomaisen -järjestyksen suhteen), eräs algoritmi (mergesort) toimii rekursiivisesti seuraavalla tavalla: On annettuna lista (x 1,, x n ) joka halutaan suuruusjärjestykseen: 1) Jos listassa on vähintään kaksi alkiota, jaetaa lista kahteen (suunnilleen yhtä suureen osaan) ja järjestetään ensin molemmat tällä samalla algoritmilla, sitten
2 2 2) Yhdistetään kaksi järjestettyä listaa yhdeksi järjestetyksi listaksi vertaamalla alkioita. 1 Oletetaan että annetun listan koko on 2 k, jollakin k N. a) Muodosta rekursioyhtälö josta (pahimman mahdollisen) tarvittavien vertailutoimenpiteiden määrän voisi laskea listan koon ollessa 2 k? b) Osaatko ratkaista yhtälön? Tämä taitaa olla ensi viikon asiaa... Parempi pseudokoodi tuolle margesortille on siis seuraa: f u n c t i o n merge sort ( l i s t m) // Base case. A l i s t o f zero or one elements i s sorted, by d e f i n i t i o n. i f l e n g t h (m) <= 1 r eturn m // Recursive case. F i r s t, d i v i d e the l i s t i n t o equal s i z e d s u b l i s t s. var l i s t l e f t, r i g h t var i n t e g e r middle = length (m) / 2 f o r each x in m b e f o r e middle add x to l e f t f o r each x in m a f t e r or equal middle add x to r i g h t // R e c u r s i v e l y s o r t both s u b l i s t s l e f t = merge sort ( l e f t ) r i g h t = merge sort ( r i g h t ) // Then merge the now s o r t e d s u b l i s t s. return merge ( l e f t, r i g h t ) missä merge -funktio liittää kaksi jäjestettyä listaa yhdeksi järjestetyksi listaksi. f u n c t i o n merge ( l e f t, r i g h t ) var l i s t r e s u l t while notempty ( l e f t ) and notempty ( r i g h t ) i f f i r s t ( l e f t ) <= f i r s t ( r i g h t ) append f i r s t ( l e f t ) to r e s u l t l e f t = r e s t ( l e f t ) e l s e append f i r s t ( r i g h t ) to r e s u l t r i g h t = r e s t ( r i g h t ) // e i t h e r l e f t or r i g h t may have elements l e f t while notempty ( l e f t ) 1 Tämä tehdään vertaamalla ensin listojen pienimpiä alkioita, valitsemalla pienempi ja poistamalla se, ja vertaamalla jäljelle jääneistä listoista pienimpiä...
3 append f i r s t ( l e f t ) to r e s u l t l e f t = r e s t ( l e f t ) while notempty ( r i g h t ) append f i r s t ( r i g h t ) to r e s u l t r i g h t = r e s t ( r i g h t ) return r e s u l t (a) Merkitään ensin v n = vertailutoimenpiteiden määrä 2 n kokoisella listalla ja huomataan sitten että 1) kohdassa lista jaetaan kahtia ja nämä 2 n 1 kokoiset listat järjestetään ja kun nämä on järjestetty, yhdistetään ne. Tässä yhdistämisessä tarvitsee selvästi verrata enintään 2 2 n 1 1 kertaa, eli molemmat listat täytyy pahimmillaan mennä läpi, mutta viimeistä yksinäistä alkiota ei tarvitse verrata mihinkään. Siis v n+1 = 2v n + 2 n+1 1 kaikilla n N ja alkuarvona v 1 = 1 koska kahden alkion listassa tarvitsee verrata yhden kerran. (b) Huomataan ensin että, jos z n on ratkaisu yhtälölle x n+1 = 2x n + 2 n+1, alkuarvolla v 1 1, niin y n = z n + 1 toteuttaa yhtälön alkuarvolla v 1. Riittää siis ratkaista y n+1 = 2y n + 2 n+1 1, x n+1 = 2x n + 2 n+1, alkuarvolla v 1 1. Tätä vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristinen polynomi on r = 2, joten sopiva yrite yksittäisratkaisuksi on y n = nλ2 n. Sijoitus antaa λ = 1 joten y n = n2 n. Vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisu on z n = λ 2 2 n ja alkuarvosta z 1 = v 1 1 y 1 = = 2 saadaan 2 = λ 2 2 1, eli z n = 2 n kaikilla n joten nyt voidaan kirjoitta ratkaisu koko ongelmalle: v n = y n + z n + 1 = n2 n 2 n + 1, n N Olkoon f R. Määritä rekursioyhtälölle x n+1 = x n + f, n N, ratkaisu, kun alkuarvo x 1 on annettu. Osoitetaan, että jono (x n ) n N on rekursioyhtälön ratkaisu, missä x n = x 1 + (n 1)f (1)
4 4 kaikilla n N; huomaa, että tämä kaava pätee myös kun n = 1 ja alkuarvo x 1 on annettu. Olkoon n N, jolloin kaavan (1) nojalla kuten haluttiin. x n+1 = x 1 + nf = x 1 + (n 1)f + f = x n + f, 4. Ratkaise rekursioyhtälö alkuarvoilla x 1 = 3 ja x 2 = 0. 2x n+2 + x n+1 = x n, n N, Havaitaan aluksi, että kaikilla n N pätee missä c 1 = 1/2 ja c 2 = 1/2 0. Koska 2x n+2 + x n+1 = x n x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, p(r) = r 2 c 1 r c 0 = r 2 + r/2 1/2 = (r 1/2)(r + 1), niin rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n karakteristisen polynomin p juuret ovat nollasta poikkeavat eri reaaliluvut r 1 = 1/2 ja r 2 = 1. Lauseen 3.6(1) nojalla ratkaisujonon (x n ) n N alkiot ovat x n = λ 1 r1 n + λ 2 r2 n, missä λ 1 = x 1r 2 x 2 r 1 (r 2 r 1 ) = 4 ja λ 2 = x 1r 1 x 2 r 2 (r 1 r 2 ) = 1 Ratkaisu sievenee muotoon x n = 2 n+2 + ( 1) n+1 kaikilla n N. 5. Ratkaise rekursioyhtälö alkuarvoilla x 1 = 2 ja x 2 = 8. x n+2 + 4x n = 4x n+1, n N, Tarkasteltavana on alkuarvollinen rekursioyhtälö missä c 1 = 4 ja c 0 = 4 0. Koska x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, p(r) = r 2 c 1 r c 0 = r 2 4r + 4 = (r 2) 2, on yhtälön karakteristisella polynomilla p kaksinkertainen reaalinen juuri r 0 = 2. Tehtävän 3 ratkaisun perusteella ratkaisujonon (x n ) n N alkiot ovat missä λ 1 = x 2 x 1 r 0 Näin ollen x n = nr n 0 = n2n kaikilla n N. r 2 0 x n = λ 1 nr n 0 + λ 2 r n 0, = 1 ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 r 2 0 = 0.
5 5 6. Ratkaise rekursioyhtälö alkuarvoilla x 1 = 3 ja x 2 = x n+2 + 3x n = 0, n N, Tarkasteltavana on alkuarvollinen rekursioyhtälö missä c 1 = 0 ja c 0 = 9 0. Koska x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, p(r) = r 2 c 1 r c 0 = r = (r + 3i)(r 3i), niin yhtälön karakteristisella polynomilla p on kaksi nollasta poikkeavaa juurta 3i ja 3i. Kirjoitetaan 3i = α iβ ja 3i = α + iβ, missä α = 0 ja β = 3 0. Lauseen 3.6(3) tai luennoilla Lauseen 3.6 jälkeisen huomautuksen nojalla ratkaisujonon (x n ) n N alkiot ovat x n = β n( λ 1 cos(nπ/2) + λ 2 sin(nπ/2) ) kaikilla n N, missä λ 1 = x 2 β 2 = 0 ja λ 2 = β2 x 1 β 3 = 1. Näin ollen ratkaisu sievenee muotoon x n = 3 n sin(nπ/2) kaikilla n N. Ratkaisu (2): Kuten edellä karakteristisen polynomin nollakohdat ovat 3i ja 3i joten ratkaisu on Lauseen 3.6 nojalla muotoa x n = λ 1 (3i) n + λ 2 ( 3i) n. Nyt alkuarvoista saadaan 3 = x 1 = λ 1 3i + λ 2 ( 3i) 0 = x 2 = λ 1 ( 9) + λ 2 ( 9), 1 mistä saadaan λ 1 2 i ja λ 2 = 1 2i joten ratkaisu on x n = 1 2 i(3i)n i( 3i)n = 3 n sin(nπ/2), n N. 7. Kaksi ensimmäistä Fibonaccin lukua ovat F 1 = 1 ja F 2 = 1. Kun n 3 on luonnollinen luku, niin määritellään n:s Fibonaccin luku asettamalla F n = F n 1 + F n 2. Ratkaise n:s Fibonaccin luku. Merkitsemällä F n = x n ratkaistavana on rekursioyhtälö x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, missä c 1 = c 0 = 1 ja alkuarvot ovat x 1 = x 2 = 1. Yhtälön karakteristinen polynomi on p(r) = r 2 r 1, jonka juuret ovat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla r 1 = ja r 2 =
6 6 Lauseen 3.6(1) nojalla ratkaisujonon (x n ) n N alkiot ovat kaikilla n N, missä ja x n = λ 1 r n 1 + λ 2 r n 2 5 λ 1 = x 1+ 1r 2 x 2 r 1 (r 2 r 1 ) = ( 5) = 1 5 λ 2 = x 1r 1 x 2 r 2 (r 1 r 2 ) = 1. 5 Ratkaisu sievenee siis muotoon F n = x n = 1 (( ) n ( ) 1 5 n ) kaikilla n N.
7 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Ohjaus 4, Olkoot n N ja A n = {0,..., n} [0, n] [0, n] {0,..., n}. Määritä sellaisten 2n pituisten joukon A n {(x, y) R 2 : y x} polkujen, jotka kulkevat vasemmasta alakulmasta (0, 0) oikeaan yläkulmaan (n, n), lukumäärä C n rekursiivisesti. Osoita 2, että kaikilla n N. C n = 1 n + 1 ( ) 2n n Joukon A n ne 2n pituiset polut, jotka kulkevat pisteestä (0, 0) pisteeseen (n, n), voidaan samaistaa niiden sanojen {O, Y } 2n kanssa joissa on sama määrä molempia kirjaimia. Samaistus on seuraava: aloitetaan pisteestä (0, 0) ja luetaan annettua sanaa; kirjain O tarkoittaa askelta oikealle ja Y askelta ylös. Kääntän, annettuun polkuun voidaan liittää 2n-pituinen sana annetun koodauksen avulla. Tarkastellaan niitä yllä kuvattuja polkuja, jotka kuuluvat lisäksi joukkoon {(x, y) R 2 : y x} ja kutsutaan näitä n-sallituiksi poluiksi. Nämä voidaan osittaa sen perusteella millä tavalla (jos millään) ne kohtaavat joukon {(i, i) : i = 1,..., n 1}. Ne n-sallitut polut jotka eivät kohtaa pisteitä (i, i) millään i {1,..., n 1} ovat muotoa OγY, missä γ {O, Y } 2(n 1) on sellainen polku joukossa {1,..., n} [0, n 1] [1, n] {0,..., n 1}, joka samaistuu (n 1)-sallitun polun kanssa joukossa A n 1 siirron (x, y) (x 1, y) avulla. Kutsutaan tällaisia polkuja OγY aidosti n-sallituiksi poluiksi; edellisen samaistuksen nojalla näitä on C n 1 kappaletta joukossa A n. Niiden n-sallittujen polkujen lukumäärä, jotka eivät kohtaa pisteitä (j, j) millään 1 j < i, mutta kohtaavat pisteen (i, i) annetulla i {1,..., n 1} on C i 1 C n i kappaletta; tällainen polku voidaan nimittäin kirjoittaa muodossa γγ, missä γ on aidosti i-sallittu polku joukossa A i ja γ on (n i)-sallittu polku joukossa A n i (polku γ on tarkemmin sanoen sellainen polku joukossa {i,..., n} [i, n] [i, n] {i,..., n} joka voidaan siirron avulla samaistaa sallitun polun kanssa joukossa A n i ). Kaiken kaikkiaan n-sallittujen polkujen lukumäärä on n 1 n C 0 = 1, C n = C n 1 + C i 1 C n i = C i 1 C n i n 1. i=1 Johdetaan esityskaava tälle luvulle ratkaisemalla tehtävä toisella tavalla. Kaikkien 2npituisten ja pisteet (0, 0) ja (n, n) joukossa A n yhdistävien polkujen lukumäärä on ( 2n n ) ; 2 Vinkki: Sellaisten 2n pituisten An:n polkujen, jotka eivät pysy joukossa {(x, y) R 2 : y x}, lukumäärän saa laskettua tarkastelemalla joukon N N pistettä, jossa polku ensimmäisen kerran poistuu joukosta {(x, y) R 2 : y x} ja peilaamalla loppupolku suoran {(x, y) R 2 : y = x + 1} suhteen. i=1
8 8 tämä on niiden sanojen γ {O, Y } 2n joissa molempia kirjaimia on n kappaletta lukumäärä. Toisaalta peilaamalla kuten vinkissä havaitaan, että joukon A n ei n-sallitut polut ovat bijektiivisessä vastaavuudessa niiden polkujen kanssa, jotka yhdistävät pisteet (0, 0) ja (n 1, n + 1) joukossa {0,..., n 1} [0, n + 1] [0, n 1] {0,..., n + 1}. Nämä polut voidaan puolestaan samaistaa joukon {O, Y } 2n niiden sanojen kanssa, joissa on n 1 kappaletta O-kirjaimia ja n+1 kappaletta Y -kirjaimia. Tällaisia sanoja on ( ) 2n n+1 kappaletta ja siten kaikilla n 1 pätee ( ) ( ) 2n 2n C n = n n + 1 (2n)! = n!(2n n)! (2n)! (n + 1)!(2n (n + 1))! ( = 1 n ) (2n)! = 1 ( ) 2n. n + 1 n!n! n + 1 n Huomautus; tehtävänanto voidaan formuloida seuraavilla yhtäpitävillä tavoilla: Jos vaaleissa ehdokkaat A ja B saavat molemmat n ääntä ja äänet nostetaan vaaliuurnasta yksi kerrallaan laskettavaksi, niin kuinka monella eri tavalla äänet voidaan nostaa siten, että ehdokas A ei ole missään vaiheessa äänten laskentaa ehdokasta B jäljessä? Tai: Kuinka monella eri tavalla pyöreän pöydän ympärille sijoittuneet 2n ihmistä voi kätellä toisiaan yhtäaikaa niin, että kädet eivät mene ristiin? 2. Olkoon c > 0 siten, että c 1. Osoita, että kaikilla n N. n 1 c i = cn 1 c 1 i=0 3. Olkoot f R ja c > 0 siten, että c 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+1 = cx n + f, n N, alkuarvolla x 1 edellisen tehtävän avulla suoraan laskemalla.
9 9 4. Ratkaise rekursioyhtälö x n+2 + x n+1 = 2x n, n N, alkuarvoilla x 1 = 1 ja x 2 = Ratkaise rekursioyhtälö 2x n+1 = 1 3 x n+2 + 3x n, n N, alkuarvoilla x 1 = 0 ja x 2 = Ratkaise rekursioyhtälö alkuarvoilla x 1 = 0 ja x 2 = 9. x n+2 = 9x n, n N,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot1. Kuinka monta erilaista tapaa on 10 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille?
Diskreetti matematiikka, syksy 00 Harjoitus -, ratkaisuista. Kuinka monta erilaista tapaa on 0 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille? Ratkaisu. Paikat identtisiä, istumajärjestys oleellinen,
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKorkeamman asteen polynomifunktio
POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Korkeamman asteen polnomifunktio Määritelmä: Jos polnomifunktion asteluku n, niin funktiota sanotaan korkeamman asteen polnomifunktioksi, P: P = a n n + a n 1 n 1 +...
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot