Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4! 3 α + α x+ α x + α x +... 3 Epälineaarisuuden läpi kulkenu signaali Kerolasku aikaasossa vasaa konvoluuioa aajuusasossa 8..6
Epälineaarisuus Tarkasellaan sini-muooisa heräeä Fourier-muunnos Epälineaarisuus.8 DC-komponeni.6.4. -. -.4 -.6 -.8 cos(π ) cos (π ) -.5.5.5 3 3.5 4. harmooninen 8..6 3 Epälineaarisuus Epälineaarisuus Signaalin aajuudella.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 cos(π ) cos 3 (π ) -.5.5.5 3 3.5 4 3. Harmooninen aajuus 8..6 4
Epälineaarisuus Epälineaarisuude synnyävä harmoonisia aajuuksia Approksimoidaan epälineaarisuua Taylor-sarjan kolmella ensimmäisellä ermillä: Parillise poenssi synnyävä harmoonisia, joka voidaan poisaa suodaamalla Parioma poenssi aiheuava komponeneja myös signaalin aajuudelle.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 cos(π ) /Σ k cos k (π ) 8..6 /3Σ k cos k (π ) 5 -.5.5.5 3 3.5 4 Särö Yleinen epälineaarisuus 3 f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4! 3 α + α x+ α x + α x +... 3 Kun ulosignaali on kosini u() x() Acos( π f) niin epälineaarisuuden lähösignaali y () f( x ()) a ( x ()) k k k voidaan kirjoiaa ulosignaalin harmoonisen yliaalojen avulla k ( π ) y () uk cos kf x f( ) y() 8..6 6 3
Särö Epälineaarisuuden vaikuusa signaaliin voidaan arkasella särökeroimien (disorion) avulla n. aseen särökerroin: u d n n u n aseen särövaimennus: An log dn n,3,4, Kokonaissärökerroin do d + d3 + d4 + d5 +... 8..6 7 Särö Signaalin eho (Parsevalin eoreema) Py u + u + u + u3 + u4 + u5 +.. P + P+ P + P3 + P4 + P5 +... Signaalin kokonaissärö voidaan määriää kun unneaan lähösignaalin kokonaiseho P y, DCkomponenin eho P sekä perusaajuuden eho P do Py P P P 8..6 8 4
Särö Kosinin poenssikaava n n n n cos x cos ( ( n k) x) n + k k n n n n cos x cos ( n k ) x) n k k Sovelleaan summakaavoja lähösignaaliin y ( ) a + aa cos( π fx) + aa + cos( π fx) 3 3 + aa 3 cos( π f x ) + cos( π 3 f x ) 4 4 4 3 + aa 4 + cos( π f x ) + cos( π 4 f x ) 8 8 5 5 5 + aa 5 cos( π f x ) + cos( π 3f x ) + cos( π 5 f x ) +... 8 6 6 8..6 9 Särö Ryhmiellään ermi uudelleen harmoonisen yliaalojen mukaan 3 4 3 3 5 5 a + aa + a4a +... + au+ a3u + a5a +... cos fx 8 4 8 u u 4 + aa + a4a +... cos( π fx) u3 3 5 5 + aa 3 + aa 5 +... cos( π 3 f x ) 4 6 u4 4 5 + au 4 +... cos( π 4 fx) + a5u +... cos( π 5 fx) +... 8 6 u5 ( π ) 8..6 5
Särökeroimiksi saadaan Särö 4 3 aa a4a... aa a4a... u + + + + d u 3 3 5 5 3 5 4 aa + aa 3 + a5a +... a+ aa 3 + a5a +... 4 8 4 8 3 5 5 5 4 a3a a5a... a3a a5a... u + + + + 3 4 6 4 6 d3 u 3 3 5 5 3 5 4 aa + aa 3 + aa 5 +... a+ aa 3 + aa 5 +... 4 8 4 8 4 3 a4a... a4a... u + + 4 8 8 d4 u 3 3 5 5 3 5 4 aa + aa 3 + aa 5 +... a+ aa 3 + aa 5 +... 4 8 4 8 5 4 a5a +... a5a +... 6 6 d5 3 3 5 5 3 5 4 aa + aa 3 + a5a +... a+ aa 3 + aa 5 +... 4 8 4 8 8..6 Epälineaarisuus Jos A<< ai a n <<a, niin särökeroimeksi saadaan an n dn A n a ja särövaimennukseksi An log ( d ) n n a a log log + ( n ) 3, ( n ) log( u) n au a n n ± db:n uloasoon (log_(a)) > db särövaimennus 8..6 6
y Esimerkki Sauraaio y () f( x ()) f ( x ( )) anh( ax ( )) 3 5 7 a 3 a 5 7a 7 f( x) ax x + x x +... 3 5 35 5 7 π ax + ax 3 + ax 5 + ax 7 +... ax Tarkasellaan ulosignaalia x() Acos π f ( ) Särökeroime kun a ja A d n.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - - -.5 - -.5.5.5 x an n dn A n a d3.3333 d5.33 d7.54 d9.9 d.89-9.5 db -37 db -5 db -33 db -4 db 8..6 3 Esimerkki.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 x() y() -...3.4.5.6.7.8.9 8..6 4 7
Epälineaarisuus Traveling Wave Tube TWT ehovahvisin Alkuperäinen signaali x () r ()cos c+ ( ω φ ) TWT-vahvisimen ulosulo y() A( r() ) cos ( ωc+ φ+φ( r() )) αar Ar ( ) + β r a α r Φ ( r) + φ βφr Oupu ampliude Phase error(rad) Sauraaio.8.6.4 αa.9638. βa.9945..4.6.8..4.6.8 Inpu ampliude.8.6.4 αφ.593. βφ.868..4.6.8..4.6.8 Inpu ampliude Ampliudisa riippuva vaiheensiiro 8..6 5 Keskeismodulaaiosärö Keskeismodulaaiosäröä synyy epälineaarisessa järjeselmässä, kun ulosignaali on kahden ai useamman sinisignaalin summa. x() x() + x() Lähösignaali on muooa ( ) k ( ) y () f x () a x() + x() k k k ax k n n k () x () k n n k k k k n n k k k k k k n k n n ax () + ax () + ax () x () k x ja sen Sekoiunee signaali harmoonise yliaallo x ja sen harmoonise yliaallo 8..6 6 8
Keskeismodulaaiosärö Tarkasellaan epälineaarisuua y () x() Tulosignaali x () A cos ω x () A cos ω ω > ω ( ) ( ) ( ) ( ) x () Acos ω + Acos ω Lähösignaali y ( ) Acos ω + Acos ω + AAcos ω cos ω ( ) ( ) ( ) ( ) cos( φ) cos( φ) ( cos( φ+ φ) + cos( φ φ) ) y () A+ Acos( ω) + A + Acos( ω) + AAcos( ( ω+ ω) ) + AA cos ( ω ω) ( ) 8..6 7 Keskeismodulaaiosärö Tarkasellaan apausa, jossa A A A y ( ) A+ Acos( ω) + A+ Acos( ω) + A cos( ( ω+ ω) ) + A cos ( ω ω) ( ) Verraaan samanaseise harmonise yliaalojen ja keskeismodulaaioulosen ampliudeja A A A jos A>, niin keskinäismodulaaio komponeni ova vasaavia. keraluvun harmoonisia aajuksia suurempia 8..6 8 9
Keskeismodulaaiosärö x - x -.5.5 5 5 (x +x ) x +x.5.5 4 3.5.5 5-5 x x x *x -.5.5 8..6 9 Keskeismodulaaiosärö Kahden kosini-signaalin kulkiessa n. aseen epälineaarisuuden läpi synyy sekoiusaajuuksia f lf + mf xkeskeis x x fx fx l + m n Tulosignaalin x () aajuus Tulosignaalin x () aajuus 8..6