Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99"

Transkriptio

1 Kompleksiluvut JYM, Syksy /99

2 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että x 2 = 0 x = x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen joukossa! Laajennetaan lukualuetta niin, että myös yhtälöllä x 2 = 1 on ratkaisu. JYM, Syksy /99

3 Kompleksitaso Kompleksiluvut kompleksitason pisteet: (3, 3 2 ) (0, 1) ( 7, 0) ( 1, 0) (0, 0) (1, 0) ( 7, 0) ( 4, 2) JYM, Syksy /99

4 Kompleksiluvut Määritelmä Kompleksilukujen joukko C on joukko { (a, b) a, b R } varustettuna yhteenlaskulla ja kertolaskulla, jotka määritellään seuraavasti: kompleksilukujen (a, b) ja (c, d) summa ja tulo ovat (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ja (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). JYM, Syksy /99

5 Huom. Kompleksiluvut ovat järjestettyjä pareja. Esimerkiksi (1, 2) on eri kuin (2, 1). Kompleksilukujen yhteenlasku on sama kuin avaruuden R 2 vektoreiden yhteenlasku. Tulon laskemiseen tulee myöhemmin helpompia tapoja. Reaaliluvut ajatellaan kompeksilukujen osajoukoksi samastamalla reaaliluku a ja kompleksiluku (a, 0). Voidaan osoittaa, että tällöin reaaliluvuilla saadaan samat tulokset riippumatta siitä, käytetäänkö niille kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskua vai reaalilukujen yhteen- ja kertolaskua. Voidaan osoittaa, että kompleksilukujen yhteen- ja kertolasku noudattavat samoja tuttuja laskusääntöjä kuin reaalilukujen yhteen- ja kertolasku (vaihdannaisuus, liitännäisyys, osittelulait... ). JYM, Syksy /99

6 Imaginaariyksikkö Yhtälölle x 2 = 1 löytyy ratkaisu kompleksilukujen joukossa: Määritelmä (0, 1) (0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0). Kompleksilukua (0, 1) merkitään symbolilla i ja kutsutaan imaginaariyksiköksi. Huom. Yllä olevan laskun mukaan i 2 = 1. JYM, Syksy /99

7 Kompleksiluvun esitys imaginaariyksikön avulla Oletetaan, että a, b R. Kompleksiluku (a, b) voidaan kirjoittaa imaginaariyksikön avulla seuraavasti: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = (a, 0) + (b, 0) i ( ) = a + bi. Kohdassa ( ) samastetaan jälleen kompleksiluvut (a, 0) ja (b, 0) reaalilukuihin a ja b. Näin ollen C = { a + bi a, b R }. JYM, Syksy /99

8 Kompleksitaso i i i JYM, Syksy /99

9 Kompleksilukujen summa ja tulo Summa ja tulo voidaan laskea kuten koulussa on opittu sieventämään reaalilukulausekkeita. Lisäksi pitää vain huomioida, että i 2 = 1. Esimerkki 1 Merkitään z = 4 2i ja w = i. Laske lukujen z ja w summa ja tulo. Yhdistetään samanmuotoiset termit: z + w = ( 4 2i) + (3 + 3 ) 2 i = i i = i. JYM, Syksy /99

10 Kerrotaan sulut auki kuten koulussa on opittu: zw = ( 4 2i) (3 + 3 ) 2 i = i 2i 3 2i 2 2 i = 12 6i 6i 3i 2 = 12 12i 3 ( 1) = 12 12i + 3 = 9 12i. JYM, Syksy /99

11 Kompleksilukuihin liittyviä käsitteitä Määritelmä Oletetaan, että a, b R. Kompleksiluvun z = (a, b) eli z = a + bi reaaliosa on Re z = a. imaginaariosa on Im z = b. HUOM! itseisarvo eli moduli on z = a 2 + b 2. liittoluku on z = (a, b) eli z = a bi. z z (Im z)i Re z z JYM, Syksy /99

12 Huom. Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli kertoo Pythagoraan lauseen nojalla kompleksiluvun etäisyyden kompleksitason origosta eli luvusta 0. z = a + bi b z = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 a 0 JYM, Syksy /99

13 Lause 2 Oletetaan, että z C. Tällöin z = z z. Todistus. Oletetaan, että z C. Tällöin z = a + bi joillakin a, b R. Lasketaan: z z = (a + bi)(a bi) = a 2 abi + abi (bi) 2 = a 2 b 2 i 2 = a 2 b 2 ( 1) = a 2 + b 2. Näin ollen z z = a 2 + b 2 = z. Lopussa käytettiin kompleksiluvun itseisarvon määritelmää. JYM, Syksy /99

14 Puhtaasti imaginaarinen luku ja reaaliluku Määritelmä Jos kompleksiluvun z reaaliosa Re z = 0 ja imaginaariosa Im z 0, sanotaan kompleksiluvun z olevan puhtaasti imaginaarinen luku. Jos kompleksiluvun z imaginaariosa Im z = 0, niin luku z on reaaliluku. JYM, Syksy /99

15 Kompleksiluvun vastaluku Minkä tahansa reaaliluvun ja sen vastaluvun summa on tunnetusti aina nolla. Sama vaaditaan kompleksilukujen tapauksessa. Oletetaan, että a, b R. Kompleksiluvun a + bi vastaluku on a bi, sillä Huom. (a + bi) + ( a bi) = (a a) + (b b)i = 0 ja ( a bi) + (a + bi) = ( a + a) + ( b + b)i = 0. Toinen yhtälö seuraa ensimmäisestä kompleksilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuuden nojalla. Kompleksiluvun z vastalukua merkitään z. JYM, Syksy /99

16 Vastaluku ja kompleksilukujen erotus Vastalukujen avulla saadaan määriteltyä kompleksilukujen erotus: jos z, w C, niin z w = z + ( w). Esimerkki 3 Merkitään z = 4 + 7i ja w = 2 i. Määritä luvun z vastaluku ja lukujen z ja w erotus. Miinusmerkki vaikuttaa kaikkiin etumerkkeihin sulkujen sisällä: z = ( 4 + 7i) = 4 7i. z w = ( 4 + 7i) ( 2 i) = 4 + 7i i = 2 + 8i. JYM, Syksy /99

17 Kompleksiluvun käänteisluku Nollaa lukuunottamatta jokaisella reaaliluvulla on käänteisluku. Reaaliluvun ja sen käänteisluvun tulo on tunnetusti aina yksi. Sama vaaditaan kompleksilukujen tapauksessa. Kompleksiluvun z 0 käänteisluku on 1 z, sillä z 2 ensinnäkin se on olemassa: Koska z 0, niin z = a + bi, missä a,b R ja ainakin toinen luvuista a ja b on nollasta poikkeava. Siten nimittäjä z 2 = a 2 + b 2 > 0. JYM, Syksy /99

18 lisäksi ( 1 ) z z 2 z = z z z 2 = z z z z = 1 ja ( 1 z 2 z ) z = zz z 2 = zz z z = 1. Huom. Toinen yhtälö seuraa ensimmäisestä kompleksilukujen kertolaskun vaihdannaisuuden nojalla. Kompleksiluvun z käänteislukua merkitään z 1 tai 1/z tai 1 z. JYM, Syksy /99

19 Kompleksilukujen osamäärä Huom. Käänteislukujen avulla saadaan osamäärä: jos z, w C ja w 0, niin z w = z w 1. Käytännössä osamäärä on mukava sieventää laventamalla nimittäjän liittoluvulla: z w = wz ww = 1 w 2 wz. Tästä tulee esimerkkejä myöhemmin. JYM, Syksy /99

20 Esimerkki 4 Kompleksilukujen osamäärä Merkitään z = 4 + 7i ja w = 2 i. Määritä luvun z käänteisluku sekä lukujen z ja w osamäärä. z 1 = 1 z = i = = ( ) = 4 7i ( 4 7i)( 4 + 7i) 4 7i 4 7i ( 4) 2 = (7i) i 2 4 7i = i. = 4 7i 65 Kohdassa ( ) lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. JYM, Syksy /99

21 Osamäärä: z w = 4 + 7i 2 i ( ) = ( 2 + i)( 4 + 7i) ( 2 + i)( 2 i) = 8 14i 4i + 7i 2 ( 2) 2 i 2 = 8 18i 7 5 = i. = = 1 18i i + 7 ( 1) 4 ( 1) Kohdassa ( ) lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. JYM, Syksy /99

22 Kompleksiluvuilla laskemista Esimerkki 5 Määritä kompeksiluvun z reaaliosa ja imaginaariosa, jos (a) z = i (b) z = 2i 1 3i + 1 i. JYM, Syksy /99

23 (a) Lavennetaan nimittäjän liittoluvulla: z = i = = = 10 ( 4 2i) ( 4 + 2i)( 4 2i) 40 20i 40 20i ( 4) 2 = (2i) i i = 2 i. = 40 20i 20 JYM, Syksy /99

24 (b) Lavennetaan nimittäjien liittoluvuilla: z = 2i 1 3i + 1 i = 2i(1 + 3i) (1 3i)(1 + 3i) + 1 ( i) i( i) = 2i + 6i2 1 2 (3i) 2 + i i 2 = 2i 6 1 9i 2 + i ( 1) = 2i i 1 = 2i i = 2i 6 10i 10 = i. = 6 8i 10 JYM, Syksy /99

25 Mitä vikaa on alla olevassa yhtälönratkaisussa? 2x 1 = x 2 ( 2x 1) 2 = (x 2) 2 2x 1 = x 2 4x = x 2 6x + 5 x = 6 ± ( 6) x = 6 ± 4 2 = 3 ± 2 x = 5 x = 1 JYM, Syksy /99

26 Johtopäätös ei ole oikein, sillä x = 1 ei ole kyseisen yhtälön ratkaisu. Nimittäin jos x = 1, niin 2x 1 = = 1 = 1 mutta x 2 = 1 2 = 1. Onkohan x = 5 kyseisen yhtälön ratkaisu? Voit tarkistaa itse. Väärän johtopäätöksen lisäksi ratkaisun merkinnät ovat puutteelliset. Niistä ei käy mitenkään ilmi, miten toistensa alle kirjoitetut rivit liittyvät toisiinsa. Mikä on päättelyn suunta? Seuraavassa esimerkissä ratkaistaan hyvin huolellisesti eräs yhtälö kompleksilukujen joukossa. Kiinnitetään erityistä huomiota yhtälönratkaisussa tarvittavaan päättelyyn. JYM, Syksy /99

27 Yhtälönratkaisua Esimerkki 6 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö iz + 3 = 5z z i + 2i. JYM, Syksy /99

28 1. Oletetaan (eli kuvitellaan), että yhtälö pätee. Siis iz + 3 = 5z z i + 2i. Kertomalla yhtälön molemmat puolet luvulla i päästään nimittäjästä eroon ja saadaan yhtälö i 2 z + 3i = 5iz z + 2i 2. Käyttämällä tietoa i 2 = 1 saadaan z + 3i = 5iz z 2. Lisäämällä yhtälön molemmille puolille z saadaan 3i = 5iz 2. JYM, Syksy /99

29 Lisäämällä yhtälön molemmille puolille 2 saadaan 3i + 2 = 5iz. Jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla 5i saadaan 3i + 2 5i = z ja laventamalla nimittäjän liittoluvulla saadaan edelleen z = 2 + 3i 5i = 5i(2 + 3i) (5i) 2 = 10i 15i 2 10i i 2 = 25 = i. JYM, Syksy /99

30 Tämä päättely osoittaa, että yhtälöllä on enintään yksi ratkaisu. Nimittäin jos yhtälö on totta, kuten edellä kuviteltiin, niin tällöin välttämättä z = i. Siis mikään muu luku ei voi olla yhtälön ratkaisu. Vielä on kuitenkin periaatteessa mahdollista, että yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua! JYM, Syksy /99

31 2. Osoitetaan, että edellä löydetty luku todella on yhtälön ratkaisu. Se voidaan tehdä esimerkiksi sijoittamalla: Yhtälön vasen puoli: ( 3 iz + 3 = i 5 2 ) 5 i + 3 = 3 5 i 2 5 i = 3i 2i = i 5 = 3i JYM, Syksy /99

32 Yhtälön oikea puoli: 5z z ( 3 + 2i = 5 i 5 2 ) 5 i 1 i ( i ) + 2i = 3 2i 3 5i i = 3 3 ( i) 5i ( i) = 3 3i 5i = 3 3i = i = i 5 JYM, Syksy /99

33 Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten luku z = i on yhtälön ratkaisu. Siis yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu. Kohdat 1. ja 2. yhdessä osoittavat, että yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu ja se on z = i. JYM, Syksy /99

34 Tulon itseisarvo Voidaan osoittaa, että reaalilukujen itseisarvon laskusäännöt pätevät myös kompleksilukujen itseisarvolle. Lause 7 Oletetaan, että z, w C. Tulon zw itseisarvo on lukujen z ja w itseisarvojen tulo; ts. zw = z w. JYM, Syksy /99

35 Lauseen 7 todistus. Aikaisemmin perustellun lauseen 2 mukaan zw = (zw)(zw). Lisäksi pätee, että zw = z w (perustelu tulee harjoitustehtäväksi). Käyttämällä tulon liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta kohdassa (1) ja neliöjuuren ominaisuuksia kohdassa (2) saadaan zw = (zw)(zw) = (zw)( z w) (1) = (z z)(w w) (2) = z z w w = z w. Huomaa, että kompleksiluvun ja sen liittoluvun tulo on epänegatiivinen reaaliluku (kyseisen kompleksiluvun itseisarvon neliö), joten kohdassa (2) voidaan todella käyttää neliöjuuren ominaisuuksia. JYM, Syksy /99

36 Lause 8 Käänteisluvun itseisarvo Oletetaan, että z C ja z 0. Käänteisluvun z 1 itseisarvo on itseisarvon käänteisluku 1/ z ; ts. Todistus. z 1 = 1 z. Käyttämällä lauseen 7 tulosta saadaan z 1 z = z 1 z = 1 = 1. Koska z 0, niin z 0. Jakamalla luvulla z saadaan z 1 = 1 z. JYM, Syksy /99

37 Itseisarvo, liittoluku, vastaluku ja käänteisluku z z z 1 z 1 z z JYM, Syksy /99

38 Esimerkki 9 Yhtälönratkaisua Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö Voidaan päätellä seuraavasti: 3z 4i = 1 + 2iz. 3z 4i = 1 + 2iz 3z = 1 + 2iz + 4i 3z 2iz = 1 + 4i (3 2i)z = 1 + 4i z = 1 + 4i ( = 5 3 2i ) 13 i Tämä päättely osoittaa, että yhtälöllä on enintään yksi ratkaisu eikä se voi olla mikään muu kuin (1 + 4i)/(3 2i). JYM, Syksy /99

39 Toisaalta voidaan päätellä z = 1 + 4i 3 2i (3 2i)z = 1 + 4i 3z 2iz = 1 + 4i 3z = 1 + 2iz + 4i 3z 4i = 1 + 2iz Tämä päättely osoittaa, että yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu ja se on (1 + 4i)/(3 2i). JYM, Syksy /99

40 Siis yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu ja se on z = 1 + 4i 3 2i = 3z 4i = 1 + 2iz = (3 + 2i)(1 + 4i) (3 + 2i)(3 2i) i + 2i + 8i i 9 4i 2 = 13 = i. JYM, Syksy /99

41 Trigonometriset funktiot ja yksikköympyrä Yksikköympyrän pisteiden ja trigonometristen funktioiden yhteys: yksikköympyrän kehäpisteen vaakakoordinaatti on vastaavan kulman kosini ja pystykoordinaatti on sini. Pythagoraan lauseella saadaan lisäksi cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 (cos ϕ, sin ϕ) 1 ϕ Huomaa, että yksikköympyrän säde on yksi. JYM, Syksy /99

42 Oletetaan, että r R ja r 0. Piste (cos ϕ, sin ϕ) saadaan siirrettyä etäisyydelle r origosta kertomalla sitä luvulla r: (r cos ϕ) 2 + (r sin ϕ) 2 = r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = r 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = r 2 1 = r = r (r cos ϕ, r sin ϕ) r ϕ JYM, Syksy /99

43 Kompleksiluvun napaesitys Kompleksiluvun napaesitys tarkoittaa kompleksiluvun esittämistä muodossa z = z (cos ϕ + i sin ϕ), missä z on luvun z itseisarvo eli moduli ja ϕ on luvun z vaihekulma eli argumentti. ϕ z cos ϕ + i z sin ϕ z JYM, Syksy /99

44 Radiaani kulman suuruuden yksikkönä Kompleksiluvun vaihekulman eli argumentin yksikkö on absoluuttinen kulmayksikkö eli radiaani. Kulman suuruus radiaaneina on määritelmän mukaan kulman rajoittaman ympyrän kaaren suhde ympyrän säteeseen: α = b r. α r b Kulman suuruus radiaaneina on siis reaaliluku. JYM, Syksy /99

45 Radiaanien ja asteiden yhteys Muista, että 180 vastaa π radiaania. Joitakin kulmia: π π 3 π 1 2 π 1 3 π 1 4 π 1 6 π 180 0, 360 π 0, 2π π 5 4 π 4 3 π 3 2 π 5 3 π 7 4 π 11 6 π JYM, Syksy /99

46 Kulman piirtäminen koordinaatistoon voi auttaa päättelyssä. Myös ns. muistikolmioista voi olla apua. π 6 1 π π JYM, Syksy /99

47 Vaihekulma ei ole yksikäsitteinen Kompleksiluvun z vaihekulma ei ole yksikäsitteinen: Jos z = 0, niin vaihekulmaksi käy mikä luku tahansa: 0 = 0(cos ϕ + i sin ϕ) kaikilla ϕ R. JYM, Syksy /99

48 Jos z 0, sen eri vaihekulmat eroavat toisistaan täysien kierroksien verran; ts. kahden eri vaihekulman erotus on n 2π, missä n Z. ϕ γ z cos ϕ + i z sin ϕ z cos θ + i z sin θ θ z cos γ + i z sin γ Esimerkiksi ϕ = θ + 2π, γ = θ + 2 2π, γ = ϕ + 2π. JYM, Syksy /99

49 Kompleksiluvun napaesitys Esimerkki 10 Määritetään seuraavien kompleksilukujen napaesitys: z 1 = 2 + 2i z 2 = i z 3 = 1 i 3. JYM, Syksy /99

50 Merkitään luku z 1 = 2 + 2i kompleksitasoon: z 1 8 α ϕ Itseisarvon määritelmän mukaan z 1 = ( 2) = 8 = 2 2. Kuvaan piirretyn suorakulmaisen kolmion molempien kateettien pituus on 2, joten α = 45. Siten ϕ = = 135. Näin z 1 = 2 2 cos(3π/4) + i2 2 sin(3π/4). JYM, Syksy /99

51 Merkitään luku z 2 = i kompleksitasoon: 3 2 π z 2 Itseisarvon määritelmän mukaan z 2 = ( 1) 2 = 1 = 1. Kuvasta nähdään, että vaihekulma on 3π/2. Näin z 2 = cos(3π/2) + i sin(3π/2). JYM, Syksy /99

52 Merkitään luku z 3 = 1 i 3 kompleksitasoon: 2 γ z 3 Itseisarvon määritelmän mukaan z 3 = = 4 = 2. Kuvaan piirretyn suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 3 ja hypotenuusa on 2. Saadaan ratkaistua γ = 60. Näin z 3 = 2 cos( π/3) + i2 sin( π/3). JYM, Syksy /99

53 Napaesityksen laskusääntöjä Tulon, liittoluvun ja käänteisluvun määrittäminen käy kätevästi napaesityksen avulla, kuten seuraavassa lauseessa osoitetaan. Potenssien laskemisessa auttaa ns. Moivrén kaava. JYM, Syksy /99

54 Napaesityksen laskusääntöjä ja Moivrén kaava Lause 11 Oletetaan, että luvuilla z, w C on napaesitykset z = z (cos ϕ + i sin ϕ) ja w = w (cos θ + i sin θ). Tällöin (a) zw = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)). (b) z = z (cos( ϕ) + i sin( ϕ)). (c) z 1 = z 1 (cos( ϕ) + i sin( ϕ)). (d) jos n Z, niin z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) (Moivrén kaava). JYM, Syksy /99

55 Lauseen 11 todistus (osa). (a) Lasketaan ja käytetään sinin ja kosinin summakaavoja: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos θ + i sin θ) = z w (cos ϕ + i sin ϕ)(cos θ + i sin θ) = z w (cos ϕ cos θ + i cos ϕ sin θ + i sin ϕ cos θ + i 2 sin ϕ sin θ) = z w (cos ϕ cos θ + i(cos ϕ sin θ + sin ϕ cos θ) sin ϕ sin θ) = z w (cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ + i(cos ϕ sin θ + sin ϕ cos θ)) = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)) Sinin ja kosinin summakaavat löytyvät erilaisista taulukkokirjoista. Täältä löydät todistuksen alle 90 kulmien tapauksessa. JYM, Syksy /99

56 w zw z zw = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)). Kompleksilukujen tulon itseisarvo on tulon tekijöiden itseisarvojen tulo. Kompleksilukujen tulon vaihekulma on tulon tekijöiden vaihekulmien summa. JYM, Syksy /99

57 Moivrén kaava Esimerkki 12 Merkitään z = 6 i 2. Laske Moivrén kaavan avulla z 10. Itseisarvon määritelmän mukaan z = ( 6) 2 + ( 2) 2 = 8 = 2 2. JYM, Syksy /99

58 8 α ϕ z Kuvaan piirretyn suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 2 ja hypotenuusa on 2 2. Saadaan ratkaistua α = 30 ja edelleen vaihekulma ϕ = α. Näin z = 2 2 ( (cos(7π/6) + i sin(7π/6) ). JYM, Syksy /99

59 Moivrén kaavan mukaan z 10 = (2 2) 10( cos(10 7π/6) + i sin(10 7π/6) ) = ( cos(70π/6) + i sin(70π/6) ) = ( cos(11π + 4π/6) + i sin(11π + 4π/6) ) = 2 15( cos(5 2π + π + 2π/3) + i sin(5 2π + π + 2π/3) ) = 2 15( cos(π + 2π/3) + i sin(π + 2π/3) ) = 2 15( cos(5π/3) + i sin(5π/3) ) = 2 15( 1/2 i 3/2 ) = 2 14( 1 i 3 ) JYM, Syksy /99

60 Eksponenttiesitys Yksinkertaisuuden vuoksi asetetaan seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että ϕ R. Merkintä e iϕ tarkoittaa kompleksilukua cos ϕ + i sin ϕ; ts. e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Huom. Myöhemmillä kursseilla eksponenttifunktio x e x laajennetaan funktioksi C C, jolloin yllä olevaa määritelmää ei enää tarvita. JYM, Syksy /99

61 Määritelmä Eksponenttiesitys Kompleksiluvun eksponenttiesitys tarkoittaa kompleksiluvun esittämistä muodossa z = z e iϕ, missä z on luvun z itseisarvo ja ϕ on luvun z vaihekulma. ϕ z e iϕ z JYM, Syksy /99

62 Eksponenttiesitys Esimerkki 13 Määritä seuraavien kompleksilukujen eksponenttiesitys: z = i, w = 3 3i, z 3 w 4. Huom. Napaesityksen laskusääntöjä koskevasta lauseesta 11 seuraa, että eksponenttiesitystä käytettäessä voidaan soveltaa tuttuja potenssien laskusääntöjä. JYM, Syksy /99

63 Merkitään luku z = i kompleksitasoon: z 4 α ϕ Itseisarvon määritelmän mukaan z = ( 2) 2 + (2 3) 2 = 16 = 4. Kolmiosta saadaan α = π/3, joten vaihekulma on ϕ = 2π/3. Näin z = 4e 2π 3 i. JYM, Syksy /99

64 Merkitään luku w = 3 3i kompleksitasoon: α ϕ 3 2 w Itseisarvon määritelmän mukaan w = ( 3) 2 + ( 3) 2 = 18 = 3 2. Kolmiosta saadaan α = π/4, joten vaihekulma on ϕ = 5π/4. Näin w = 3 2e 5π 4 i. JYM, Syksy /99

65 Lasketaan: z 3 w 4 = ( 4e 2π i) 3 3 (3 2e 5π i) 4 4 = 4 3( e 2π 3 i) ( 2) 4( e 5π 4 i) 4 = 4 3 e 3 2π 3 i e 4 5π 4 i = e 2πi e 5πi = 12 4 e 7πi = 12 4 e 6πi e πi = e πi = 12 4 e πi JYM, Syksy /99

66 Tulon nollasääntö kompleksiluvuille Lause 14 Oletetaan, että z, w C. Jos zw = 0, niin z = 0 tai w = 0. Todistus. Oletetaan, että zw = 0. Tällöin zw = 0. Toisaalta zw = z w lauseen 7 nojalla. Siis z w = 0. Reaalilukujen tulon nollasäännön mukaan tästä yhtälöstä seuraa, että z = 0 tai w = 0. Tämä tarkoittaa, että z = 0 tai w = 0. JYM, Syksy /99

67 Tulot ja osamäärät eksponenttiesityksessä Tulojen ja osamäärien laskeminen käy kätevästi eksponenttiesityksen avulla, mutta on syytä olla myös tarkkana. Esimerkki 15 Määritä seuraavien kompleksilukujen itseisarvo, vaihekulma, reaaliosa ja imaginaariosa: z 1 = 3e π 2 i 7e π 4 i, z 2 = 2e π 6 i, z 3 = 12e 4 3 πi 4e π 6 i. JYM, Syksy /99

68 Lasketaan: z 1 = 3e π 2 i 7e π 4 i = 3 7e ( π 2 + π 4 )i = 21e π 4 i = 21(cos( π/4) + i sin( π/4)) ( ) 1 1 = 21 2 i 2 = i Havaitaan, että luvun z 1 itseisarvo on 21 ja vaihekulma on π/4; reaaliosa on ja imaginaariosa on JYM, Syksy /99

69 Huomataan, että z 2 ei olekaan valmiiksi eksponenttiesityksessä, sillä kerroin 2 on negatiivinen. Lasketaan: z 2 = 2e π 6 i = 1 2e π 6 i = e πi 2e π 6 i = 2e (π π 6 )i = 2e 5π 6 i = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) = 2 ( i 1 ) = 3 + i 2 Havaitaan, että luvun z 2 itseisarvo on 2 ja vaihekulma on 5π/6; reaaliosa on 3 ja imaginaariosa on 1. JYM, Syksy /99

70 Lasketaan: z 3 = 12e 4 3 πi 4e π 6 i = 3e ( 4 = 3e 7π 6 i 3 π π 6 )i = 3(cos(7π/6) + i sin(7π/6)) = 3 ( 3 2 i 1 ) = i Havaitaan, että luvun z 3 itseisarvo on 3 ja vaihekulma on 7π/6; reaaliosa on ja imaginaariosa on 3 2. JYM, Syksy /99

71 Toisen asteen yhtälö Lause 16 Oletetaan, että r R. Jos r > 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi ratkaisua, jotka ovat r ja r. Jos r = 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan yksi ratkaisu, joka on 0. jos r < 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi ratkaisua, jotka ovat i r ja i r. Seuraavat esimerkit havainnollistavat tekniikkaa, jolla tämä lause voitaisiin todistaa. JYM, Syksy /99

72 Toisen asteen yhtälö Esimerkki 17 Ratkaistaan yhtälö x 2 = 25. x 2 = 25 x 2 25 = 0 x = 0 (x 5)(x + 5) = 0 Tulon nollasäännön mukaan viimeinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos x 5 = 0 tai x + 5 = 0. Toisin sanottuna x = 5 tai x = 5. JYM, Syksy /99

73 Toisen asteen yhtälö Esimerkki 18 Ratkaistaan yhtälö x 2 = 9. x 2 = 9 x 2 ( 9) = 0 x 2 9i 2 = 0 x 2 (3i) 2 = 0 (x 3i)(x + 3i) = 0 Tulon nollasäännön mukaan viimeinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos x 3i = 0 tai x + 3i = 0. Toisin sanottuna x = 3i tai x = 3i. JYM, Syksy /99

74 Lause 19 Toisen asteen yhtälö Oletetaan, että a, b, c R ja a 0. Tarkastellaan yhtälöä ax 2 + bx + c = 0. Jos diskriminantti b 2 4ac 0, yhtälöllä on kompleksilukujen joukossa yksi tai kaksi juurta, jotka saadaan kaavasta x = b ± b 2 4ac 2a. Jos diskriminantti b 2 4ac < 0, yhtälöllä on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi juurta, jotka saadaan kaavasta x = b ± i b 2 4ac. 2a JYM, Syksy /99

75 Lauseen 19 perustelun idea. Täydennetään yhtälön vasen puoli neliöksi: ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x b 2a x = c a x b ( ) 2 b 2a x + = c ( b 2a a + 2a ) 2 ( ( x + b 2a x + b 2a ) 2 = b2 4a 2 c a ) 2 = b2 4ac 4a 2 JYM, Syksy /99

76 Jos yhtälön oikea puoli on negatiivinen eli b 2 4ac < 0, niin yhtälöllä on lauseen 16 mukaan kaksi ratkaisua: x + b 2a = ±i b 2 4ac 4a 2 x = b 2a ± i b 2 4ac 4a 2 x = b 2a ± i b 2 4ac 2 a x = b ± i b 2 4ac 2a JYM, Syksy /99

77 Esimerkki 20 Toisen asteen yhtälö Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö x 2 2x + 27 = 2 10x. x 2 2x + 27 = 2 10x x 2 + 8x + 25 = 0 x = 8 ± i x = 8 ± i x = 8 ± i 36 2 x = 8 ± 6i 2 x = 4 ± 3i JYM, Syksy /99

78 Neliöjuuren määritelmä Määritelmä Oletetaan, että a R ja a 0. Luvun a neliöjuuri tarkoittaa reaalilukua b, jolla pätee: b 2 = a ja b 0. Luvun a neliöjuurta merkitään a. Huom. Toisin sanottuna luvun a 0 neliöjuuri a on yhtälön x 2 = a epänegatiivinen ratkaisu. Negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri ei ole määritelty. JYM, Syksy /99

79 Neliöjuuren määritelmä Neliöjuuren määritelmä takaa, että sääntö x x on kuvaus [0, [ [0, [. JYM, Syksy /99

80 Neliöjuuren määritelmä Esimerkki 21 Luvun 9 neliöjuuri on 9 = 3, sillä 3 2 = 9 ja 3 0. Huomaa, että yhtälöllä x 2 = 9 on kaksi ratkaisua: 3 ja 3. Neliöjuuren määritelmän mukaan 9 tarkoittaa näistä kahdesta epänegatiivista lukua 3. JYM, Syksy /99

81 Neliöjuuren määritelmä Esimerkki 22 Myös yhtälöllä x 2 = 9 on kaksi ratkaisua: 3i ja 3i. Negatiivisen luvun 9 neliöjuureksi olisi siis luontevaa määritellä näistä toinen. Kokeillaan määritellä 9 = 3i. Etsi ongelma alla olevasta yhtälöketjusta: 9 = 81 = = 9i 2 = 9. ( 9)( 9) = 9 9 = 3i 3i JYM, Syksy /99

82 Kokeillaan määritellä 9 = 3i. Etsi ongelma alla olevasta yhtälöketjusta: 9 = 81 = = 9i 2 = 9. ( 9)( 9) = 9 9 = 3i ( 3i) Huom. Mistä joudutaan luopumaan, jos negatiivisen luvun neliöjuuri määritellään jommalla kummalla yllä kuvatulla tavalla? JYM, Syksy /99

83 Huom. Havaitaan, että tuttu sääntö ab = a b ei enää pidäkään paikkaansa. Neliöjuuri voidaan määritellä negatiivisille reaaliluvuille ja yleisemmin kompleksiluvuille asettamalla luvun z = re iϕ neliöjuureksi z = re i ϕ 2. Tällöin joudutaan monikäsitteisyyden välttämiseksi rajoittamaan vaihekulma ϕ esimerkiksi välille [0, 2π[ tai ] π, π]. Tuttuihin neliöjuuren laskusääntöihin ei kuitenkaan voi tällöin enää luottaa. JYM, Syksy /99

84 Binomiyhtälö Määritelmä Oletetaan, että w C ja n N, n > 0. Muotoa x n = w olevaa yhtälöä kutsutaan binomiyhtälöksi. Esimerkki 23 Binomiyhtälöitä ovat esimerkiksi yhtälöt x 6 = 1 ja x 2 = 4 + 4i. JYM, Syksy /99

85 Binomiyhtälö Binomiyhtälön ratkaiseminen helpottuu, jos käytetään eksponenttiesitystä sekä tuntemattomalle x että luvulle w. Oletetaan, että w 0. Menetelmä binomiyhtälön x n = w ratkaisemiseksi: 1. Kirjoitetaan tuntematon eksponenttiesitystä käyttäen: x = re iϕ, missä r = x 0 ja ϕ R. 2. Etsitään luvun w eksponenttiesitys w = w e iθ. 3. Binomiyhtälö saa muodon ( re iϕ ) n = w e iθ r n e inϕ = w e iθ. JYM, Syksy /99

86 4. Yhtälössä esiintyvät kompleksiluvut ovat samat, jos ja vain jos niillä on sama itseisarvo ja niiden vaihekulmien erotus on k 2π, missä k Z. Siten saadaan tarkasteltavan yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari { r n = w nϕ θ = 2πk, missä k Z. 5. Ratkaistaan tästä yhtälöparista r ja ϕ. JYM, Syksy /99

87 Binomiyhtälö Esimerkki 24 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (a) x 5 = 1 (b) z 4 = 2 3 2i. (a) Merkitään x = re iϕ, missä r = x 0 ja ϕ R. Luvun 1 eksponenttiesitys on e 0i. Tarkasteltava yhtälö saa siis muodon (re iϕ ) 5 = e 0i r 5 e 5iϕ = e 0i. Tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on { r 5 = 1 5ϕ 0 = 2πk, missä k Z. JYM, Syksy /99

88 Tämä johtuu siitä, että yhtälössä esiintyvillä kompleksiluvuilla pitää olla sama itseisarvo ja niiden vaihekulmat saavat erota toisistaan jollakin määrällä täysiä kierroksia. Yhtälöpari saadaan ratkaistua: { 5 r = 1 r = 1 5ϕ = 2πk ϕ = 2k π, missä k Z. 5 Kokeilemalla havaitaan, että yhtälöllä on viisi eri ratkaisua, jotka saadaan esimerkiksi tapauksissa k = 0,..., k = 4: 1, e 2 5 πi, e 4 5 πi, e 6 5 πi, e 8 5 πi. Nämä ratkaisut ovat nimeltään viidennet ykkösen juuret. JYM, Syksy /99

89 Yhtälön x 5 = 1 ratkaisut eli viidennet ykkösen juuret sijaitsevat kompeksitason yksikköympyrällä muodostaen säännöllisen viisikulmion: JYM, Syksy /99

90 (b) Ratkaistaan kompleksilukujen joukossa yhtälö z 4 = 2 3 2i. Merkitään z = re iϕ, missä r = z 0 ja ϕ R. Luvun w = 2 3 2i itseisarvo on w = (2 3) 2 + ( 2) 2 = 16 = 4. Vaihekulma saadaan ratkaistua suorakulmaisesta kolmiosta: θ 4 w = 2 3 2i Siis 2 3 2i = 4e π 6 i. JYM, Syksy /99

91 Tarkasteltava yhtälö saa näin muodon (re iϕ ) 4 = 4e π 6 i r 4 e 4iϕ = 4e π 6 i. Tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 4 ( 4ϕ π ) = 2πk, missä k Z. 6 Tämä johtuu siitä, että yhtälössä esiintyvillä kompleksiluvuilla pitää olla sama itseisarvo ja niiden vaihekulmat saavat erota toisistaan jollakin määrällä täysiä kierroksia. JYM, Syksy /99

92 Ottamalla huomioon, että itseisarvo r 0, saadaan yhtälöpari ratkaistua: r = 4 ( 4 r = 4 ) 4 r = ( 2 r = ) 2 4ϕ = π 6 + 2πk ϕ = π 24 + π 2 k, missä k Z. Havaitaan, että yhtälöllä on neljä eri ratkaisua, jotka saadaan esimerkiksi tapauksissa k = 0,..., k = 3: 2e 1 24 πi, 2e πi, 2e πi, 2e πi. JYM, Syksy /99

93 Yhtälön z 4 = 2 3 2i ratkaisut sijaitsevat kompeksitason origokeskisellä, 2-säteisellä ympyrällä muodostaen säännöllisen nelikulmion: JYM, Syksy /99

94 Kompleksikertoiminen toisen asteen yhtälö Esimerkki 25 Ratkaistaan kompleksilukujen joukossa yhtälö x 2 (6 + 8i)x 11 + ( )i = 0. JYM, Syksy /99

95 Aloitetaan täydentämällä yhtälön vasen puoli neliöksi tiedon a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 avulla. Tutkittavan yhtälön tapauksessa a = x ja b = 3 + 4i, joten lisäämällä ja vähentämällä b 2 = (3 + 4i) 2 saadaan x 2 (6 + 8i)x 11 + ( )i ( = x 2 2(3 + 4i)x + (3 + 4i) 2) (3 + 4i) ( )i ( = x 2 2(3 + 4i)x + (3 + 4i) 2) (24i 7) 11 + ( )i ( = x 2 2(3 + 4i)x + (3 + 4i) 2) 24i i + 4 3i ( = x 2 2(3 + 4i)x + (3 + 4i) 2) i ( 2 = x (3 + 4i)) i JYM, Syksy /99

96 Alkuperäinen yhtälö voidaan näin kirjoittaa muodossa ( x (3 + 4i)) i = 0 eli ( x (3 + 4i)) 2 = 4 4 3i. Merkitään z = x (3 + 4i), jolloin yhtälö saa muodon Eksponenttiesityksessä missä r, ϕ R ja r 0. z 2 = 4 4 3i. ( re iϕ) 2 = 8e π 3 i eli r 2 e 2iϕ = 8e π 3 i, JYM, Syksy /99

97 Tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 2 = 8 2ϕ = π 3 + 2πk, missä k Z. Tämä johtuu siitä, että yhtälössä esiintyvillä kompleksiluvuilla pitää olla sama itseisarvo ja niiden vaihekulmat saavat erota toisistaan jollakin määrällä täysiä kierroksia. JYM, Syksy /99

98 Ottamalla huomioon, että itseisarvo r 0, saadaan yhtälöpari ratkaistua: r = ( 8 r = ) 8 r = 2 ( 2 r = 2 ) 2 2ϕ = π 3 + 2πk ϕ = π 6 + πk, missä k Z. Havaitaan, että yhtälöllä on kaksi eri ratkaisua, jotka saadaan esimerkiksi parametrin k arvoilla 0 ja 1: z 0 = 2 2e 1 6 πi = 2 ( ) 2 i = 6 2i z 1 = 2 2e 5 6 πi = 2 2 ( ) 2 i = 6 + 2i. JYM, Syksy /99

99 Huomioimalla, että z = x (3 + 4i) saadaan alkuperäiselle yhtälölle ratkaisut x 0 = 6 2i i = (4 2)i x 1 = 6 + 2i i = (4 + 2)i. x i x 0 JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI... Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto. 13. syyskuuta 2009

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto. 13. syyskuuta 2009 Lukualueet Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos 00014 Helsingin yliopisto 13. syyskuuta 2009 Johdanto. Tämä kurssi on lyhyt johdatus kompleksilukujen alkeisominaisuuksiin siinä

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) . Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio 2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Kompleksilukujen kunnan konstruointi

Kompleksilukujen kunnan konstruointi Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukualueet Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos 00014 Helsingin yliopisto Johdanto. Tämä kurssi on lyhyt johdatus kompleksilukujen alkeisominaisuuksiin siinä laajudessa kuin niitä

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2 BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot