2.7.4 Numeerinen esimerkki

Transkriptio

1 2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun kulmaetäisyys kevättasauspisteestä (pitkin Maan ratatasoa ω perihelin argumentti = planeetan perihelin kulmaetäisyys nousevasta solmusta (pitkin planeetan ratatasoa t periheliaika = ajanhetki jolloin planeetta ohittaa perihelinsä Periheliajasta saadaan laskettua planeetan keskianomalia M halutulle ajanhetkelle t: M = 2π P (t t n(t t jossa P on radan periodi, n keskiliike Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Usein taulukoissa sijainti radalla määritellään periheliajan sijasta ilmoittamalla planeetan keskilongitudi L jollakin hetkellä t e (epookilla: L = M + ω + Ω M + ω jossa ω on perihelin pituus Keskilongitudi on laskennallinen apusuure, joka ilmoittaa planeetan kulmaetäisyyden kevättasauspisteestä, kun planeetan radan eksentrisyyttä ja kaltevuutta ei oteta huomioon. Eo. kaavoista saadaan yhteys M(t e = L(t e ω = n(t e t nt = nt e + ω L(t e Ajanhetkellä t keskianomalia M(t = M(t e + n(t t e Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

2 Jupiterin rataelementit..2 (jaetusta taulukosta: a = U ǫ = i =.353 Ω =.5566 ω = L = epookille t e = 2. ω = ω Ω = = Lasketaan keskianomalia keskilongitudista: nyt t = t e M = L ω = = Lasketaan eksentinen anomalia Keplerin yhtälöstä E ǫ sin E = M Kirjoitetaan E = M + ψ, jossa ψ = ǫ sin E, sijoitusiteraatio: ψ i+ = ǫ sin(m + ψ i (Aloitetaan ψ = E = E 2 = E 3 = E 4 = E 5 = E 6 = ei muutu enää Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Lasketaan planeetan koordinaatit sen omassa ratakoordinaatistossa x = a(cos E ǫ = AU ỹ = b sin E =.8393 AU b = a p ǫ 2 = AU z = 4 Lausutaan planeetan ratataso-koordinaatiston kantavektorit Maan ratataso-koordinaatistossa (=ekliptika-koordinaatistossa cos ω cos Ω sin ω sin Ω cos i Î cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos ia A sin ω sin i.2279 sin ω cos Ω cos ω sin Ω cos i Ĵ sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos ia cos ω sin i.9673 A.67 Ja siirrytään Maan ratatasokoordinaatistoon Tarkistus: r = p x 2 + y 2 + z 2 = AU r = a( ǫ cos E = AU x ya = xî + ỹĵ A z.86 Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

3 5 Siirrytään ekliptikakoordinaatistosta ekvaattorijärjestelmään, kiertämällä kulman ekl verran (ekl = ekliptikan kaltevuus x y A cos(ekl sin(ekl ya = z sin(ekl cos(ekl z x y A A z Siirretään origo Auringosta Maahan a Lasketaan Maan (x,y,z koordinaatit Maan rataelementit: a =. i =.5 ǫ =.6722 ω = L = M = L ω = (näyttää oikealta, Maa perisentrissä 3. E = f = Maan radiusvektorin pituus r maa = a( ǫ cos E =.9833 AU Maan heliosentriset ekliptikakoordinaatit x maa = r maa cos( ω + f =.7762 y maa = r maa sin( ω + f = z maa Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( a Kierretään ekvaattorijärjestelmään B x y maa xmaa.7762 C z maa A cos(ekl sin(ekl ymaaa A sin(ekl cos(ekl zmaa Planeetan geosentriset ekvaattorikoordinaatit x g y g C B x x maa z g A y y maa C z z maa A 7 Ratkaistaan rektaskensio α, deklinaatio δ ja etäisyys x g y g cos δ cos α C z g A cos δ sin αa sin δ tan α = y g /x g Huom: oikea neljännes! q = (x g 2 + (y g 2 + (z g 2 sin δ = z g / Sijainti taivaalla: α = = h 35.9 m Oikea arvo = h 35.4 m δ = Oikea arvo = AU Oikea arvo 4.63 AU Virhe rektaskensiossa n.5 m eli n. 7 kaariminuuttia, deklinaatiossa n. 3 kaariminuuttia! Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

4 Tähtitieteen perusteet -kirjasta Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Jupiterin deklinaatio Vuosi Jupiterin rektaskensio Vuosi 4 5 deklinaation virhe (arcmin 2-2 rektaskension virhe (arcmin Vuosi Vuosi Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

5 2 Jupiterin rata 2-22 latitudi longitudi pitkin elliptikaa Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( RATAELEMENTTIEN JOHTAMINEN HAVAINNOISTA Ed. luento: rataelementit paikka taivaalla rataelementit R, V Tällä luennolla käänteinen tapaus: paikka taivaalla rataelementit a R, V rataelementit b Taylor-sarja R, V R(t, V (t c R, R 2, R 3 rataelementit d Gaussin menetelmä α i, δ i R i i =, 2, 3 Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

6 2.8.A Tunnetaan R, V R V paikka ja nopeusvektori heliosentrisessa ekliptikakoordinaatistossa Ratatason normaalivektori sin Ω sin i R V R V = ˆN cos Ω sin ia cos i i ja Ω selville, < i < 8 N z määrää i:n yksikäsitteisesti 2 Isoakseli: v 2 = µ( 2 r a a = v 2 µ 2 r ( r = R µ = G(m + m 2 v 2 = V V Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Eksentrisyys k = R V k = p aµ( ǫ 2 ǫ = r ( R V 2 aµ Hyvin epätarkka mikäli ǫ pieni parempi käyttää ratavektoria e µ e = k V + µ R r e = «ǫ cos ω ǫ sin ω ǫ, ω selville HUOM: ratavektorin käsittelyssä oltava tarkkana R, V vektorit annettu suhteessa referenssi-systeemiin (Maan ratataso saatu e vektori samassa koordinaatistossa muunnettava ensin ratatasokoordinaatistoon Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

7 Kierto Ω:n verran z:n suhteen (s. 66 Kierto i:n verran uuden x:n suhteen e ξ cos Ω sin Ω e e η A sin Ω cos i cos Ω cos i sin e y A e ζ sin Ω sin i cos Ω sin i cos i e z ( ǫ cos ω = e ξ ǫ sin ω = e η ǫ, ω Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Periheliaika r = a( ǫ cos E r, a, ǫ tunnettu cos E Onko < E < 8 {z } r kasvaa, R V > vai 8 < E < 36 {z } r pienenee, R V < R 2 = r 2 R V = rṙ ṙ merkki on R V :n merkki Keplerin yhtälö M = E ǫ sin E = 2π P (t t q = 2π a 3 µ cos E E ǫ M t P t Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

8 2.8.B Liikeyhtälön ratkaisu Taylor-kaavan avulla R, V R, V ( R = R(t V = R(t Taylor-sarja: R = R(t + R(t (t t +... n! R (n (t t n R = µ R r 3... R = µ( R r 3 + Rṙ( 3 r 4 R R = rṙ merk. t = t t = µ r 3( R 3R R r 2 R... R =... R(t = R + V t µ R r 3 t 2 2 µ R r 3 ( V 3 V r 2 R t Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Esim. Maapallon paikka ja nopeus hetkellä t = R A AU V 2πA AU/v Mikä on sijainti 3 kk:n kuluttua? Yksiköt: q P = 2π a 3 µ µ = 4π 2 a3 P 2 eli jos [a] = AU [P] = v µ = 4π 2AU3 v 2 ya A 2πA.25 4π A ( π 2 2πA z {z} R V = C A ( vrt. oikea@ A Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

9 Kompaktimpi muoto Taylor-sarjalle: f- ja g-sarjat R = µ R r 3 sij. τ = µ(t t merk. d dτ :ta :lla 8 d >< dt = dτ d dτ dt = µ dτ d >: d 2 dt 2 = µ d2 dτ 2 R = µ R = R r 3 R = R r 3 R = R r 3 3 R R R r 4 {z r } =r jne. R(τ = R + R τ + 2 R τ = f(τ, R, R R + g(τ, R, R R Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( f = 2 τ 2 r τ 3 r 4 r +... τ 4 g = τ 6 τ 3 r Käytetään Gaussin radanmääritysmenetelmän yhteydessä Yksiköt: µ = 4π2 P 2 a 3 [a] = AU [P] = vrk } µ = 4π2 AU 3 ( = (Gaussin vakio Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

10 Bate et al. : Fundamentals of Astrodynamics p. 25- X τ f( R, V n, t = n! [F n] t=t n= X τ g( R, V n, t = n! [G n] t=t n= u µ r 3 p r 2( R V q r 2(v2 u g = τ 6 u τ u p τ u (u 45p 2 + 9q oτ f = 2 u τ u p o τ u (u 5p 2 + 3q τ u p (7p 2 u 3q τ Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( F =, F =, F 2 = u, F 3 = 3up, F 4 = u( 5p 2 + 3q + u, F 5 = 5up(7p 2 3q u F 6 = 5up 2 ( 9p 2 + 6q + 2u u(45q uq + u 2, F 7 = 35up 3 (33p 2 3q u + 63up(25q 2 + 4uq + u 2 F 8 = 395up 2 ( 3p 5 + 5q + 5u 35up 2 (5q + 7u(9q + u + u(575q 3 + 7uq 2 + 7u 2 q + u 3 F 9 = 3535up 5 (5p 2 2q 7u up 3 (35q uq + 9u 2 5up(665q uq u 2 q + 7u 3 F = up 6 ( 5p q + 28u 8989up 4 (5q 2 + 9qu + u up 2 (665q uq u 2 q + 32u 3 u(99225q uq u 2 q u 3 q + u 4 G =, G =, G 2 =, G 3 = u, G 4 = 6up G 5 = u( 45p 2 + 9q + u, G 6 = 3up(4p 2 6q u G 7 = 35up 2 ( 5p 2 + q + 2u u(225q uq + u 2 G 8 = 63up 3 (99p 2 9q 2u + 26up(75q uq + u 2 G 9 = 395up 4 ( 9p 2 + 5q + 25u 945up 2 (35q 2 + 8uq + 7u 2 + u(25q uq u 2 q + u 3 G = 88up 5 (2p 2 28q 7u + 386up 3 (63q uq + 9u 2 3up(2646q uq 2 + 7u 2 q + 7u 3 Huom: alleviivatut termit: Bate et al. sisaltaa painovirheen Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

11 2.8.C Kolme paikkavektoria rataelementit R = R(t R 2 = R(t 2 R 3 = R(t 3 heliosentriset ekliptikakoordinaatit Ratatason normaalin suunta Ω, i N = R R 2 R R 2 = R 2 R 3 R 2 R 3 = R R 3 R R 3 sin Ω sin cos Ω sin ia cos i Ω, i (+ mahdollisuus tarkistaa Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Eksentrisyys ja perihelin argumentti ǫ, ω Kuten edellä, muunnetaan R, R 2, R 3 ensin planeetan ratatasoon sidottuun järjestelmään (ξ, η, ζ Kierto Ω:n verran z:n suhteen (s. 66 Kierto i:n verran uuden x:n suhteen ξ cos Ω sin η ζ A k sin Ω cos i cos Ω cos i sin i sin Ω sin i cos Ω sin i cos i x ya z k k =, 2, 3,... Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (

12 Nyt «ξ = η k «rk cos(f k + ω r k sin(f k + ω jossa r k = R k = a( ǫ2 +ǫ cos f k a( ǫ 2 = r k + ǫr k cos f k Sijoitetaan cos f k = cos(f k + ω ω = cos(f k + ω cos ω + sin(f {z } k + ω sin ω {z } ξ η k k r rk k a( ǫ 2 = r k + ξ k ǫ cos ω + η k ǫ sin ω (* k =, 2, 3 (r r 2 = (ξ 2 ξ ǫ cos ω + (η 2 η ǫ sin ω r 2 r 3 = (ξ 3 ξ 2 ǫ cos ω + (η 3 η 2 ǫ sin ω Lin. yhtälöpari suureille ( ǫ cos ω ǫ sin ω ratkaistavissa ǫ, ω Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 ( Isoakseli (* a = r 2 + ξ 2 ǫ cos ω + η 2 ǫ sin ω (tarkistettavissa, k =, 3 4 Periheliaika τ r = a( ǫ cos E cos E 2 = r 2 a ǫ HUOM: r kasvaa r pienenee < E < 8 8 < E < 36 M 2 = E 2 ǫ sin E 2 = 2π P (t 2 τ q a P = 2π 3 µ τ Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 5 (