MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

Transkriptio

1 MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko torstai (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?. (Teht. 5 s..) Ratkaise yhtälö (1 + x + x ) = 1 + x + x.. (a) (Teht. 1 s. 6.) Kirjoita lauseke sin x lausekkeiden sin x ja cos x avulla. 1 (b) Piirrä samaan kuvaan funktioiden x sin x ja x sin x kuvaajat. 4. (Opiskeluteht. 8.(a) s. 0.) Ratkaise yhtälö cos x sin x = Määrää arvo sin( π 8 ) tarkasti. [Vastaus sivun alalaidassa.] Kirjallinen tehtävä 1, palautus viimeistään : (paperilla luennolla tai sähköpostilla.pdf-tiedostona anni.laitinen@jyu.fi; jos palautat sähköpostilla, nimeä tiedostosi SukunimiEtunimiK1.pdf). K1. Tarkastellaan funktioita f ja g, joiden lausekkeet ovat f(x) = x ja g(x) = x x. (a) Mitkä ovat funktioiden f ja g (laajimmat mahdolliset) määrittelyjoukot? (b) Muodosta yhdistettyjen funktioiden f f, f g, g f ja g g lausekkeet ja sievennä ne rationaalilausekkeiksi. (c) Määrää edellisessä kohdassa muodostamiesi lausekkeiden suurimmat mahdolliset määrittelyjoukot. (d) Määrää yhdistettyjen funktioiden f f, f g, g f ja g g määrittelyjoukot. Ovatko ne samat kuin edellisessä kohdassa löytämäsi joukot? 1 Tulos löytyy toki kaavakirjoista/tietokoneelta; tarkoitus on johtaa kaava summakaavojen avulla. Tarkka arvo on (huomaa, että joskus laventaminen irrationaaliluvulla kaunistaa lauseketta kauneus tosin piilee aina katsojan silmässä).

2 MATP15 Approbatur 1B Harjoitus Maanantai (Teht. 1 s..) Määritä funktion f : [ 5, [ R, f(x) = x x + nollakohdat.. (Teht. s..) Määritellään funktio f : R R siten, että sen arvo f(x) on luvun x etäisyys lähimmästä neljällä jaollisesta kokonaisluvusta. Piirrä funktion f kuvaaja.. (Teht. 4 s..) Merkitään p(x) = x + ax. (a) Millä vakion a arvoilla polynomi p(x) on jaollinen polynomilla x? (b) Esitä polynomi p(x) kahden polynomin tulona, joista toinen on x. 4. (Teht. 6 s..) Ratkaise yhtälöt (a) (1 x) 7 = 10 14, (b) (1 x) 14 = ja (c) (1 x) 1 = (Teht. 9 s..) Halutaan määritellä funktio f lausekkeen x + 1 avulla (eli f(x) = x + 1). (a) Mikä on funktion f laajin mahdollinen määrittelyjoukko M f? Mikä on tällöin funktion arvojoukko A f? (b) Mikä on joukon {0} ], 4[ [5, 7] kuvajoukko? (c) Osoita, että f : M f A f on bijektio. (d) Määrää funktion f : M f A f käänteiskuvaus f 1 : A f M f. (e) Piirrä funktion f ja sen käänteiskuvauksen f 1 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Mitä huomaat? 6. (Opiskeluteht. 7 s. 5.) Piirrä samaan kuvaan (kukin kohta erikseen) ja määrää jaksot: (a) sin x, sin x ja sin( x ), (b) sin x, sin x ja sin x sekä (c) sin x, sin(x + π ) ja sin(x π ). 7. (Teht. ja s. 6.) Kirjoita lauseke cos x (a) lausekkeiden sin x ja cos x avulla 1 (b) lausekkeen cos x polynomina. 8. (Teht. 7 ja 8 s. 6.) Määrää tarkat arvot (a) sin 15 ja (b) sin( 7π 1 ). 9. (Teht. 10 s. 6.) Ratkaise epäyhtälö sin x 1. Havainnollista asiaa kuvien avulla (Teht. 1 s. 6.) Ratkaise yhtälö cos x = sin 4 x. 1 Johda summakaavoista; taulukoista voit tarkistaa tuloksen. Vastauksessa x saa siis esiintyä vain kosinin potensseissa cos x, cos x, cos x jne.

3 1. (Teht. 1 s..) Määritä funktion f : [ 5, [ R, f(x) = x x + nollakohdat. Ratkaisu: Nyt 0 = f(x) = x x + = (x + ) = x + 5. Korottamalla molemmat puolet toiseen saadaan Kertomalla sulkeet auki saadaan (x + ) = ( x + 5) = x + 5. x + 6x + 9 = x + 5 = x + 5x + 4 = 0. Nollakohdat voidaan nyt ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta: eli x = 5 ± = 5 ± 9 x = 4 tai x = 1. = 5 ±, Huomaa, että yllä implikaationuolet kulkevat vain vasemmalta oikealta. Näin ollen olemme todistaneet, että jos x on funktion f nollakohta, niin joko x = 4 tai x = 1. Tämä ei vielä osoita, että molemmat näistä olisivat nollakohtia. Sijoittamalla nämä funktioon f huomataan, että f( 4) = = 0 ja f( 1) = = + = 4 0. Funktiolla on siis yksi nollakohta pisteessä x = 4.. (Teht. s..) Määritellään funktio f : R R siten, että sen arvo f(x) on luvun x etäisyys lähimmästä neljällä jaollisesta kokonaisluvusta. Piirrä funktion f kuvaaja. Ratkaisu: Neljällä jaolliset kokonaisluvut ovat muotoa 4k, k Z. Näissä pisteissä funktio saa arvon nolla, muissa parillisissa luvuissa arvon ja muutoin funktio on paloittain lineaarinen. Kuva piirretään harjoituksissa.. (Teht. 4 s..) Merkitään p(x) = x + ax. (a) Millä vakion a arvoilla polynomi p(x) on jaollinen polynomilla x? (b) Esitä polynomi p(x) kahden polynomin tulona, joista toinen on x. Ratkaisu: (a) Kun p on jaollinen polynomilla x, on polynomin nollakohta eli p() = 0. Tästä saadaan yhtälö + a = 0 eli 4a+5 = 0, josta voidaan ratkaista a = 5 4. Toinen tapa: Kirjoitetaan polynomi muodossa p(x) = x + ax = (x )[x + ( + a)x + ( + a)] + 4( + a). Jaollisuusehdoksi saadaan 4( + a) = 0, josta voidaan ratkaista a = 5 4. (b) Kun a = 5 4, on p(x) = x 5 4 x = (x )q(x) ja polynomi q(x) löytyy jakolaskulla (vaikkapa jakokulman avulla). Saadaan p(x) = (x )(x + 4 x + ).

4 4. (Teht. 6 s..) Ratkaise yhtälöt (a) (1 x) 7 = 10 14, (b) (1 x) 14 = ja (c) (1 x) 1 = 1. Ratkaisu: (a) Otetaan seitsemäs juuri: (1 x) 7 = (1 x) 7 = ( 10 ) 7 () x = 10 1 x = x = (Huomaa, että parittomalle potenssille (tässä seitsemän) juurenotto onnistuu myös negatiivisesta luvusta ja yhtälöt säilyvät yhtäpitävinä.) (b) Otetaan ±neljästoista juuri: (1 x) 14 = ± () x = ± x = 1 10 tai 1 x = 1 10 x = 9 10 tai x = (Huomaa, että parilliselle potenssille (tässä neljätoista) juurenotto onnistuu vain ei-negatiivisista luvuista ja yhtälöt säilyvät yhtäpitävinä, kun huomioidaan molemmat etumerkit.) (c) (1 x) 1 = 1 1 x = 1 x = 0. (Koska 1 on pariton, ei muita ratkaisuja (±) saada.) 5. (Teht. 9 s..) Halutaan määritellä funktio f lausekkeen x + 1 avulla (eli f(x) = x + 1). (a) Mikä on funktion f laajin mahdollinen määrittelyjoukko M f? Mikä on tällöin funktion arvojoukko A f? (b) Mikä on joukon {0} ], 4[ [5, 7] kuvajoukko? (c) Osoita, että f : M f A f on bijektio. (d) Määrää funktion f : M f A f käänteiskuvaus f 1 : A f M f. (e) Piirrä funktion f ja sen käänteiskuvauksen f 1 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Mitä huomaat? Ratkaisu: (a) Neliöjuurifunktio on määritelty ainoastaan epänegatiivisille luvuille, joten funktio ei ole määritelty, jos x < 0. Määrittelyjoukoksi saadaan Nyt jos x M f, niin tällöin M f = {x R : x 0}. x 0 = x

5 Olkoon y 1 mielivaltainen. Nyt z := (y 1) 0, joten z M f ja f(z) = (y 1) + 1 = y = y, joten y A f. Koska y oli mielivaltainen luku, jolle y 1, tämä osoittaa, että [1, ) A f, joka yhdessä edellä osoitetun kanssa tarkoittaa, että A f = [1, ). (b) Voimme siis määritellä funktion f : [0, ) [1, ) asettamalla f(x) = x + 1. Nyt f(0) = 1, f() = + 1, f(4) = =, f(5) = ja f(7) = Joukon {0} ], 4[ [5, 7] kuvajoukko on f({0} ], 4[ [5, 7]) = {1} ] + 1, [ [ 5 + 1, 7 + 1]. Tämä voidaan perustella joko vastaavasti kuin kohdassa (a) tai toteamalla, että f on kasvava ja jatkuva. Näistä käsitteistä lisää myöhemmin. (c) Olkoot x, y M f ja f(x) = f(y). Tästä seuraa, että x + 1 = y + 1 = x = y = x = y. Tämä tarkoittaa, että f on injektio. Koska maalijoukkona on arvojoukko A f, funktio f on surjektio. Koska f on sekä injektio että surjektio, on se määritelmän nojalla bijektio. Siis f : [0, ) [1, ) on bijektio. (d) Olkoot y A f ja x M f. Nyt y = f(x) = x + 1 = x = y 1 = x = (y 1). Käänteisfunktion lausekkeeksi saadaan f 1 (y) = (y 1). 6. (Opiskeluteht. 7 s. 5.) Piirrä samaan kuvaan (kukin kohta erikseen) ja määrää jaksot: (a) sin x, sin x ja sin( x ), (b) sin x, sin x ja sin x sekä (c) sin x, sin(x + π ) ja sin(x π ). Ratkaisu: Jaksot: (a) π, π, 4π; (b) kaikissa π; (c) kaikissa π. 7. (Teht. ja s. 6.) Kirjoita lauseke cos x (a) lausekkeiden sin x ja cos x avulla 1 (b) lausekkeen cos x polynomina. Ratkaisu: (a) Koska cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y ja sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, 1 Johda summakaavoista; taulukoista voit tarkistaa tuloksen. Vastauksessa x saa siis esiintyä vain kosinin potensseissa cos x, cos x, cos x jne.

6 saamme cos x = cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x = (cos x sin x) cos x sin x cos x = cos x sin x cos x. (b) Koska sin x + cos x = 1, voimme jatkaa (a)-kohdan laskua seuraavasti: cos x = cos x sin x cos x = cos x (1 cos x) cos x = 4 cos x cos x. 8. (Teht. 7 ja 8 s. 6.) Määrää tarkat arvot (a) sin 15 ja (b) sin( 7π). 1 Ratkaisu: (a) Kirjoitetaan sin 15 seuraavassa muodossa: sin 15 = sin π ( π 1 = sin π ) = sin π 4 cos π 4 + cos π sin π 4. Muistikolmioista saamme sin π = sin 60 =, cos π = 1, ja sin π 4 = cos π 4 = 1. Näin ollen sin 15 = = 1 +. (b) Vastaavasti sin 7π ( 6π 1 = sin 1 + π ) = sin π 1 cos π 1 + cos π sin π 1. Koska sin π/ = 1, cos π/ = 0 ja cos π ( π 1 = cos π ) = cos π 4 cos π 4 sin π sin π 4 = = 1, saamme edellä lasketun nojalla, että sin 7π 1 = (Teht. 10 s. 6.) Ratkaise epäyhtälö sin x 1. Havainnollista asiaa kuvien avulla. 4 Ratkaisu: Tehtävän epäyhtälö pätee täsmälleen silloin, kun 1 sin x 1.

7 = 1, ja sini-funktion parittomuuden no- Muistikolmiosta saadaan, että sin π 6 jalla sin( π) = 1. Vastaavasti 6 sin 5π 6 = sin 7π 6 = 1. Vastaukseksi saadaan π 6 + kπ x π 6 + kπ, k Z ja 5π 6 + kπ x 7π 6 + kπ, k Z eli π 6 + kπ x π 6 + kπ, k Z. 10. (Teht. 1 s. 6.) Ratkaise yhtälö cos x = sin 4 x. Ratkaisu: Käyttämällä identiteettejä ja cos x = cos x sin x sin x + cos x = 1, voidaan tehtävän yhtälö kirjoittaa muodossa Tästä saadaan, että joko tai cos x sin x = sin 4 x 1 sin x = sin 4 x sin x = sin 4 x sin x( sin x + 1) = 0 sin x = 0 eli x = kπ, k Z sin x = 1, mikä ei ole mahdollista, koska yhtälön vasen puoli on aina epänegatiivinen. Yhtälöllä on siis jaksollinen ratkaisu x = kπ, k Z.