Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 5

Transkriptio

1 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 5 K. Tuominen 29. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi assarin nimi. Tehtävät S1 ja S2 ovat ylimääräisiä, ja niistä saa normaalit laskaripisteet, mutta maksimipisteet on mahdollista saada ilmankin. 1. Osoita, että seuraavat kuvaukset F R R ovat lineaarikuvauksia: Kuvaus F R n R m on lineaarikuvaus, jos kaikille vektoreille u, v R n ja (a) Tason peilaus x-akselin suhteen F(x, y) = (x, y). α, β R pätee F(αu + βv) = αf(u) + βf(v). (b) Tason kierto origon suhteen kulman θ verran, F(x, y) = (r cos(φ + θ), r sin(φ + θ)), missä on käytetty pisteelle (x, y) napakoordinaattiesitystä (b)-kohdassa kannattaa käyttää kosinin ja sinin summakaavoja ja kirjoittaa oikealla puolella olevat vektorit komponenttien x ja y sekä kiertokulman θ avulla. Näin saatavasta muodosta lineaarisuuden näkee helposti. Ratkaisu: x = r cos φ, y = r sin φ. (a) Valitaan kaksi mielivaltaista vektoria a ja b: a = ( x 1 y 1 ) b = ( x 2 y 2 ) Jotta kuvaus L olisi lineaarikuvaus, sen pitää toteuttaa seuraava ominaisuus: L(α a + β b) = αl( a) + βl( b) Eli lineaarikuvaus kahden vektorin lineaarikombinaatiosta antaa saman tuloksen kuin jos laskemme vastaavan lineaarikombinaation näiden vektoreiden kuvista. 1 Lasketaan siis vektoreiden a ja b summa ja syötetään se kuvaukseen: L(α a + β b) = L( ( αx 1 + βx 2 αy 1 + βy 2 ) ) = ( αx 1 + βx 2 αy 1 βy 2 ) 1 Esimerkiksi, derivointi on lineaarinen operaatio koska d (a f (x) + bg(x)) = dx a f (x) + bg (x). (b) L(α a + β b) = α ( x 1 y 1 ) + β ( x 2 y 2 ) = αl( a) + βl( b) Josta huomaamme että peilaus x akselin suhteen on lineaarikuvaus. Tällä kertaa meillä on kuvaus: R( v) = ( r 1 cos(φ 1 + θ) r 1 sin(φ 1 + θ) ) Joka kuvaa vektorin kiertoa kulmalla θ origon suhteen. Tässä me kirjoitimme vektorin v polaarikoordinaateissa: v = ( r 1 cos(φ 1 ) r 1 sin(φ 1 ) ) = (x y )

2 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 5 2 Ja lisäsimme vektorin argumenttiin kulman θ. Jos kirjoitamme kuvauksen auki kayttäen trigonometrisiä summakaavoja saamme: R( v) = ( r 1 cos(φ 1 ) cos(θ) r 1 sin(φ 1 ) sin(θ) cos(θ) y sin(θ) ) = (x r 1 cos(φ 1 ) sin(θ) + r 1 sin(φ 1 ) cos(θ) x sin(θ) + y cos(θ) ) Missä x ja y ovat vektorin v komponentit (kts. v n määritelmä ylhäältä). 2 Jotta pystyisimme osoittamaan kuvauksen linearisuuden, meidän pitää kirjoittaa kahden vektorin summan kuvaus. Valitaan taas vektoreiksi a ja b, ja kutsutaan niiden summavektoria v:ksi. Täten: 2 Jos matriisikertolasku on jo tuttu, houmaat että tämä vastaa vektorin (x, y) kertomista kiertomatriisilla. v = α a + β b = α ( a 1 a 2 ) + β ( b 1 b 2 ) = ( αa 1 + βb 1 αa 2 + βb 2 ) Tarkastellaan miltä tämä vektori näyttää kuvauksessa R käyttäen edellä johtamaamme muotoa R( v) = R(α a + β b) = ( (αa 1 + βb 1 ) cos(θ) (αa 2 + βb 2 ) sin(θ) (αa 1 + βb 1 )) sin(θ) + (αa 2 + βb 2 ) cos(θ) ) Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muodossa α ( a 1 cos θ a 2 sin θ a 1 sin θ + a 2 cos θ ) + β (b 1 cos θ b 2 sin θ b 1 sin θ + b 2 cos θ ) = αr( a) + βr( b). Tästä nähdään että kuvaus R on lineaarikuvaus. 2. Laske seuraavien funktioiden osittaisderivaatat f / x, f / y ja f / z. (a) x 2 y cos(y/x). (b) f (x, y, z) = sinh(xy ln(z)). (a) Ratkaisu: Nyt derivoitava funktio on: Osittaisderivaatat ovat: x 2 y cos (y/x) x x (x2 y cos (y/x)) = 2xy cos (y/x) x 2 y sin (y/x) x (y/x) = 2xy cos (y/x) x 2 y sin (y/x) ( y x 2 ) = 2xy cos (y/x) + y 2 sin (y/x) y y (x2 y cos (y/x)) = x 2 cos (y/x) x 2 y sin (y/x) 1 x = x 2 cos (y/x) xy sin (y/x) 0 z

3 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 5 3 (b) sinh (xy ln z) Osittaisderivaatat ovat: sinh (xy ln z) x x = y ln z cosh (xy ln z) sinh (xy ln z) y y = x ln z cosh (xy ln z) z sinh (xy ln z) z = cosh (xy ln z) (xy ln z) z xy cosh (xy ln z) = z 3. Tarkastellaan funktiota f R 2 R, x 2 y cos(xy). Määrää (a)-kohdassa siis kysytään osittaisderivaatan arvoa pisteessä (x, y) = 1, π/2, (a) 2 (b)-kohdassa lasketaan gradienttivektori x y f (1, π/2). yleisesti pisteessä (x, y) ja (c)-kohdassa lasketaan derivaatta pisteessä (1, π/2). (b) f (x, y). Notaatiosta ei kannata hämääntyä: derivaatta on lineaarikuvaus, joka määritetään selvittämällä miten se kuvaa vekto- (c) d f (1, π/2)(u 1, u 2 ). Ratkaisu: rin u = (u 1, u 2 ). Muista, että gradientin avulla d f (x, y)(u 1, u 2 ) = f (x, y) u. a) Derivoidaan ensin y:n ja sitten x:n suhteen: 2 x y x y f (x, y) = x y x2 y cos(xy) Derivaatan arvo annetussa kohdassa on: = x (x2 cos(xy) x 3 y sin(xy)) = 2x cos(xy) x 2 y sin(xy) 3x 2 y sin(xy) x 3 y 2 cos(xy) = 2x cos(xy) 4x 2 y sin(xy) x 3 y 2 cos(xy) 2 x y f (1, π 2 ) = 2 cos( π 2 ) 4 ( π 2 ) sin( π 2 ) 3 ( π 2 ) 2 cos( π 2 ) = 4π 2 b) Lasketaan ensin osittaisderivaatat: x x x2 y cos(xy) = 2xy cos(xy) x 2 y 2 sin(xy) y y x2 y cos(xy) = x 2 cos(xy) x 3 y sin(xy) Osittaisderivaattojen avulla saadaan gradientti: f î + f ĵ x y = 2π = (2xy cos(xy) x 2 y 2 sin(xy)) î + (x 2 cos(xy) x 3 y sin(xy)) ĵ

4 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 5 4 c) d f (1, π/2)(u 1, u 2 ) tarkoittaa f (x, y):n differentiaalia eli derivaattaa pisteessä (1, π/2). Differentiaali voidaan lausua gradientin avulla d f (x, y)(u 1, u 2 ) = f (x, y) (u 1, u 2 ). Hyödynnetään edellisessä kohdassa laskettua gradienttia, jolloin saadaan: (2xy cos(xy) x 2 y 2 sin(xy)) u 1 + (x 2 cos(xy) x 3 y sin(xy)) u 2. Sijoittamalla x = 1 ja y = π/2 saadaan differentiaali pisteessä (1, π/2): d f (1, π/2)(u 1, u 2 ) = π2 4 u 1 π 2 u 2 4. Kuula asetetaan pisteeseen (1, 1, 1) pinnalle z = 4/(x 2 + 2y 2 + 1). Painovoima vaikuttaa negatiivisen z-akselin suuntaan. Mihin suuntaan kuula lähtee vierimään? Ratkaisu: Tehtävässä on annettu funktio z = 4/(x 2 + 2y 2 + 1), joka kuvaa pintaa. z(1, 1) = 1, joten piste (1, 1, 1) on pinnalla. Gradientti pinnasta kertoo suunnan johon pinta kasvaa nopeiten. Koska gravitaatio vaikuttaa negatiivisen z-akselin suuntaan, kuula lähtee vierimään suuntaan, johon pinta laskee nopeiten ja tämän suunnan kertoo -grad(z). Lasketaan gradientti: Vinkki: Kuula voisi vieriä suuntaan, jossa funktio muuttuu nopeiten. joten pisteessä (1,1) se on z = (i x + j y )( 4 (x 2 + 2y 2 + 1) ) = i x ( 4 (x 2 + 2y 2 + 1) ) + j y ( 4 (x 2 + 2y 2 + 1) ) 8x = i (1 + x 2 + 2y 2 ) 2 + j 16y (1 + x 2 + 2y 2 ) 2, z(1, 1) = 1 2 i j Koska gravitaatio vaikutti negatiivisen z-akselin suuntaan, lähtee kuula vierimään suuntaan 1 2 i + j S1. Sopivin oletuksin jatkuvasta differentioituvuudesta kahden muuttujan funktion f (x, y) n:n asteen Taylorin polynomi pisteessä (x 0, y 0 ) on T n (x, y) = n r=0 1 n! (h x + k r y ) f (x 0, y 0 ), missä h x x 0 ja k y y 0. Määrää funktion x 2 sin(xy) kahdeksannen asteen Taylorin polynomi origossa. Yllä olevaa määritelmää helpommalla pääsee käyttämällä reaalifunktioiden Taylorin kehitelmiä ja niiden yksikäsitteisyyttä. Ratkaisu: Aloitetaan laskemalla funktion sin (xy) kuudennen asteen polynomi, joka sitten kerrotaan x 2 :lla, jolloin saadaan kahdeksannen asteen approksimaatio. Kuten reaalifunktioiden tapauksessa Taylorin polynomi T n(x, y) antaa funktiolle f (x, y) parhaan mahdollisen n:n asteen polynomiapproksimaation pisteen (x 0, y 0 ) lähellä. Lisäksi Taylorin polynomi on ainoa korkeintaan n-asteen polynomi jolla on tämä ominaisuus.

5 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 5 5 Funktion sin (x) Taylorin sarja on n ( 1) k x 1+2k T n(x) =, k=0 (1 + 2k)! jonka kolme ensimmäistä termiä ovat sin(x) x x3 3! + x5 5! x x3 6 + x5 120 Nämä kolme termiä riittävät, koska seuraava termi olisi O(x 7 ). Toisin sanoen sinin approksimaatiossa kuudennen asteen termi on nolla. Nyt voidaan kirjoittaa sin(xy):n approksimaatio sin(xy) xy (xy)3 + (xy) ja tästä saadaan f :n approksimaatio kertomalla sin(xy) x 2 :lla. f (x, y) x 2 (xy (xy)3 6 = x 3 y x5 y (xy)5 120 ) S2. Arvioi (ilman laskinta) differentiaalin avulla lausekkeen Vinkki: tarkastele funktion x 2 y 2 differentiaalia. (4.98) 2 (3.03) 2 arvo kahden desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu: Halutaan siis approksimoida neliöjuurilausekkeen arvoa ilman laskinta. Yksi tapa lähestyä ongelmaa on tutkia miten annetun lausekkeen mukainen funktio muuttuu kokonaisuudessaan, jos sen x-arvoa ja y-arvoa poikkeutetaan pienet määrät x. ja ỵ. Tutkitaan siis lausekkeen mukaista funktiota x 2 y 2 = (x 2 y 2 ) 2 1, jonka arvoa pienen muutoksen jälkeen voidaan arvioida f (x + x., y + ỵ) f (x, y) + f.(x, y), missä f. on funktion kokonaisdifferentiaali. Nyt, kokonaisdifferentiaali saadaan suoraviivaisesti osittaisderivaattojen avulla. Merkitään u(x, y) = x 2 y 2, jolloin f (u) = u 1 2 ja hyödynnetään ketjusääntöä. Muistetaan, että osittaisderivoinnissa derivoidaan funktio yhden muuttujan suhteen pitäen muita muuttujia vakioina. Osittaisderivaatat x:n ja y:n suhteen ovat x u f (u) u(x, y) x = u (u 1 2 ) x (x2 y 2 ) = 1 2 u 1 2 2x = x x 2 y 2 y u f (u) u(x, y) y = u (u 1 2 ) y (x2 y 2 ) = 1 2 u 1 2 ( 2y) y = x 2 y, 2

6 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 5 6 ja vastaavasti kokonaisdifferentiaali on f.(x, y) = x f (x, y)x. + f (x, y)ỵ y x = x 2 y x y 2. x 2 y ỵ. 2 Nyt tiedetään miten funktio f (x, y) muuttuu, jos x:n ja y:n arvoja muutetaan hieman. Palataan takaisin alkuperäiseen ongelmaamme: halutaan arvioida lausekkeen (4.98) 2 + (3.03) 2 arvoa ilman laskinta. Laskemamme kokonaisdifferentiaali approksimoi lauseketta varsin hyvin tilanteessa, jossa x = 5, x. = = 0.02 ja y = 3, ỵ = = Näillä arvoilla kokonaisdifferentiaalin arvo on f.(5, 3) = ( 0.02) = 5 16 ( 0.02) = 5 4 ( 0.02) = 1.25 ( 0.02) = ( ) ( ) = = = Itse lausekkeen arvo saadaan lisäämällä tämä muutos funktion arvoon kyseisessä pisteessä: (4.98) 2 (3.03) 2 = f (5 0.02, ) f (5, 3) + f.(5, 3) = = = , eli lausekkeen arvo kahden desimaalin tarkkuudella on Vertaamalla lausekkeen tarkkaan arvoon (= ) huomataan approksimaatiomme olevan tarkka kolmanteen desimaaliin saakka (prosentuaalinen virhe %).

7 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus Show that the following maps F R R are linear: The map F R n R m is linear, if for all vectors u, v R n and α, β R holds (a) Reflection of the plane with respect to x-axis F(x, y) = (x, y). F(αu + βv) = αf(u) + βf(v). (b) Rotation of the plane around the origin by an angle θ, F(x, y) = (r cos(φ + θ), r sin(φ + θ)), where we have expressed the vector (x, y) in polar coordinates x = r cos φ, y = r sin φ. In part (b) it is convenient to use first the sum formulas of sine and cosine and then write the components of the vector on the right hand side in terms of x and y and the angle θ. From the resulting form it is straightforward to deduce linearity. 2. For the following functions, compute the partial derivatives f / x, f / y and f / z. (a) x 2 y cos(y/x). (b) f (x, y, z) = sinh(xy ln(z)). 3. Consider the function f R 2 R, x 2 y cos(xy). Determine (a) 2 x y f (1, π/2). (b) f (x, y). (c) d f (1, π/2)(u 1, u 2 ). 4. A ball is at (1, 1, 1) on the surface Hint: The ball might roll to the direction where the function changes fastest. z = 4/(x 2 + 2y 2 + 1). Acceleration of gravity is along the negative z-axis. Towards which direction will the ball roll? S1. Under suitable assumptions on continuous differentiability, n:th order Taylor polynomial of a function f (x, y) of two variables at point (x 0, y 0 ) is T n (x, y) = n r=0 1 n! (h x + k y ) r f (x 0, y 0 ), where h x x 0 ja k y y 0. Determine the eight order Taylor polynomial of the function x 2 sin(xy) at origin. The problem can be solved with the above definition, but it if easier to recall the Taylor polynomials of real functions and use thir uniqueness. As in the case of a real function, the Taylor polynomial T n(x, y) is the best possible n:th order polynomial approximation of f (x, y) in the vicinity of (x 0, y 0 ). In addition, the Taylor polynomial is the unique polynomial of at most degree n with this property.

8 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 5 8 S2. Estimate (without calculator) using the differential the value of Hint: consider the differential of the function x 2 y 2. (4.98) 2 (3.03) 2 at two decimal places.