ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa
Luentoviikko 8 Tavoitteet Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Seisovat sähkömagneettiset aallot Aallot hyvässä johteessa Valon luonne ja eteneminen Valon luonne Heijastuminen ja taittuminen Kokonaisheijastus Lähde: http://commons.wikimedia.org/wiki/file:microwave_oven_%28interior%29.jpg By Mk2010 (Own work) [CC BY-SA 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons 2 (27)
Luentoviikko 8 Tavoitteet Tavoitteena on oppia mikä määrää sähkömagneettisen aallon kuljettaman tehon miten kuvataan seisovia sähkömagneettisia aaltoja mitä valonsäteet ovat ja miten ne liittyvät aaltorintamiin valon heijastumista ja taittumista ohjaavat lait olosuhteet, joissa valo kokonaisheijastuu rajapinnasta 3 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Sähkömagneettisten aaltojen energiatiheys Sähkömagneettisiin aaltoihin liittyy energiaa: ajattele kesäisen auringonpaisteen lämmittävyyttä Aikaisemmin johdettiin E- ja B-kenttien energiatiheydet tyhjiössä: u = 1 2 ε 0E 2 = u E (sähkökentän energiatiheys tyhjiössä) u = 1 2µ 0 B 2 = u B (magneettikentän energiatiheys tyhjiössä) Yhdistämällä nämä saadaan aallon energiatiheys tyhjiössä: u = u E + u B = 1 2 ε 0E 2 + 1 2µ 0 B 2 Toisaalta B = E/c = ε 0 µ 0 E, joten aallon E- ja B-kentän energiatiheys on sama: u = 1 2 ε 0E 2 + 1 2µ 0 ( ε 0 µ 0 E) 2 = ε 0 E 2 4 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Sähkömagneettisen aallon energiankuljetus Tasoaalto edetköön +x-suuntaan Ajassa dt aaltorintama etenee matkan c dt y E Energiaa siirtyy kiinteän pinta-alan A läpi määrä du = u dv = (ε 0 E 2 )(Ac dt) z Energiavirtaus S aika- ja pinta-alayksikköä kohden (tehotiheys) B A c dt S x S = 1 du A dt = ε 0cE 2 ε0 = E 2 = EB, [S] = J µ 0 µ 0 s m 2 = W m 2 (tyhjiössä) Huomaa: S on paikallinen ja hetkellinen suure 5 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Poyntingin vektori Määritellään energiavirtauksen suuruuden ja kulkusuunnan ilmaiseva Poyntingin vektori: S = 1 µ 0 E B (Poyntingin vektori tyhjiössä) Kokonaisteho suljetun pinnan läpi P = S d A Jos kentät E ja B ovat sinimuotoisia aiemmin esitetyn mukaisesti, S(x, t) = î E maxb max 2µ 0 [1 + cos 2(kx ωt)] 6 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Intensiteetti Usein sähkömageettisten aaltojen taajuus on niin suuri (esim. näkyvällä valolla 10 15 Hz), ettei ole mieltä mitata aikariippuvaa Poyntingin vektoria vaan vektorin aikakeskiarvoa (nettoarvoa) Sinimuotoisen aallon Poyntingin vektorin aikakeskiarvon suuruus on S av = S(x, E max B max t) = [1 + cos 2(kx ωt)] = E maxb max, 2µ 0 2µ 0 koska kosinitermin aikakeskiarvo yhden jakson aikana on nolla Oppikirjassa (ja kurssilla) em. aikakeskiarvosta käytetään nimitystä intensiteetti (I), joka on kovin monella merkityksellä rasitettu sana varmistu aina, mitä intensiteetillä eri yhteyksissä tarkoitetaan. Sinimuotoisen aallon intensiteetti tyhjiössä (entä väliaineessa?) on I def = S av = E maxb max 2µ 0 = E2 max 2 µ 0 /ε 0 ( µ 0 /ε 0 377 Ω) 7 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Sähkömagneettisten aaltojen liikemäärä Sähkömagneettiset aallot kuljettavat energian lisäksi myös liikemäärää p (erityinen suhteellisuusteoria: energia 2 = (pc) 2 + (mc 2 ) 2 ; jos m = 0, kuten fotoneilla, energia = pc p = energia/c) dp Liikemäärätiheys dv = d(energia) = u dv c dv c dv = u c = EB µ 0 c 2 = S c 2 Liikemäärävirtaama pinta-alayksikköä kohden dp/dt A = S c = EB µ 0 c Liikemäärävirtaus aiheuttaa pinnoille säteilypaineen p rad [merkintä!] Jos aalto absorboituu täydellisesti pintaan, dp/dt p rad = = S av A c = I c Jos aalto heijastuu pinnasta, liikemäärän muutos on kaksinkertainen: p rad = 2S av = 2I c c (Pintojen valaisusta puhuttaessa intensiteettiä parempi termi olisi säteilytysvoimakkuus eli irradianssi.) 8 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Aallon heijastuminen johteen pinnalta Oletetaan, että tasoaalto osuu ideaalijohteen pintaan (esim. aiempi x-suuntaan entenevä esimerkkiaalto osuu johteeseen yz-tasolla) Tulevalla aallolla on nollasta poikkeava sähkökenttä, mutta johteen pinnalla kokonaissähkökentän pitää hävitä (miksi?) miten vaatimus toteutuu? Tulevan aallon sähkökenttä indusoi johteen pinnalle sellaisen värähtelevän virran, jonka sähkökenttä kumoaa tulevan aallon sähkökentän johteen pinnalla Värähtelevä virta lisäksi tuottaa heijastuneen aallon, joka etenee pinnasta poispäin (+x-suuntaan) Tulevan ja heijastuneen aallon superpositio on seisova aalto Kahden heijastavan pinnan muodostama rakenne on tärkeä esimerkiksi optiikan sovelluksissa ja lasereissa (optinen resonaattori, kuten Fabry Pérot-ontelo) 9 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Tuleva aalto + heijastunut aalto = seisova aalto y E t = ĵe max cos(kx + ωt) y E t + E h x y E h = ĵe max cos(kx ωt) ωt = 0 x x 10 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Tuleva aalto + heijastunut aalto = seisova aalto y E t = ĵe max cos(kx + ωt) y E t + E h x y E h = ĵe max cos(kx ωt) ωt = π 4 x x 10 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Tuleva aalto + heijastunut aalto = seisova aalto y E t = ĵe max cos(kx + ωt) y E t + E h x y E h = ĵe max cos(kx ωt) ωt = π 2 x x 10 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Kenttien superpositio Ideaalijohde olkoon tasolla x = 0, tuleva aalto edetköön x-suuntaan Superpositioaallot ovat (ensimmäinen termi on tuleva aalto, toinen heijastunut huomaa polarisaatiosuunnat) E y (x, t) = E max [cos(kx + ωt) cos(kx ωt)] B z (x, t) = B max [ cos(kx + ωt) cos(kx ωt)] Sovelletaan identiteettiä cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b, jolloin saadaan lopulta E y (x, t) = 2E max sin kx sin ωt B z (x, t) = 2B max cos kx cos ωt, Saadut lausekkeet ovat muotoa y(x, t) = (A SW sin kx) cos ωt, joka on tuttu Mekaniikasta 11 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Kenttien superpositio Jatkoa Kentällä on nollakohdat solmutasoilla: E y (x, t) = 0, kun x = nλ, n = 0, 1, 2,... 2 B z (x, t) = 0, kun (2n + 1)λ x =, n = 0, 1, 2,... 4 Solmutasojen puolivälissä kuputasoilla kentällä on maksimiarvo Tasolla x = 0 sähkökenttä häviää (kuten pitääkin) mutta magneettikentällä on maksimi Joka paikassa sähkö- ja magneettikenttä värähtelevät 90 :een vaihe-erossa ajan suhteen (toisin kuin etenevällä aallolla, jonka kentät ovat samanvaiheiset) Toteutuvatko Maxwellin yhtälöt? 12 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Seisovan aallon intensiteetti Etsitään ensin Poyntingin vektorin hetkellisarvo: S(x, t) = 1 µ 0 E(x, t) B(x, t) = 1 [ 2ĵEmax sin kx sin ωt ] [ ] 2 kb max cos kx cos ωt µ 0 = î E maxb max µ 0 sin 2kx sin 2ωt = îs x (x, t) Aallon intensiteetti I on Poyntingin vektorin aikakeskiarvon suuruus S av S av häviää, koska sin 2ωt:n aikakeskiarvo (yhden jakson yli) on nolla seisova aalto ei kuljeta nettoenergiaa, koska seisovassa aallossa on kaksi vastakkaisiin suuntiin yhtä paljon energiaa kuljettavaa osa-aaltoa 13 (27)
Sähkömagneettiset aallot (YF 32.4 5) Seisovat sähkömagneettiset aallot Seisovat aallot ontelossa Kahden heijastavan, yhdensuuntaisen pinnan (etäisyys L) välissä on seisova aalto, jos sähkökenttä häviää molemmilla pinnoilla eli jos aallonpitudet ovat λ n = 2L n, n = 1, 2, 3,... Vastaavat aallon taajuudet ovat f n = c = n c, n = 1, 2, 3,... λ n 2L Ehtojen mukaiset seisovat aallot ovat rakenteen normaali- eli ominaismuotoja Mikroaaltouuni: tyypillinen magnetronin käyttötaajuus on 2.45 GHz Vesimolekyylit vastaanottavat energiaa tällä taajuudella ns. rotaatioabsorption takia Absorptio kuitenkin heikkoa, mikä on hyvä asia miksi? (Kotitalous)mikroaaltouunit ovat kokoluokkaa 30 cm 30 cm 30 cm ja seinämät ovat metallia miksi uunissa on pyörivä lautanen? 14 (27)
Sähkömagneettiset aallot (~U-II 12-5) Aallot hyvässä johteessa (lisämateriaalia) Sinimuotoiset aallot hyvässä johteessa Luentodemonstraatio Sähkömagneettiset aallot etenevät johteen sisällä eri tavalla kuin eristeessä tai tyhjiössä. Jos johteen resistiivisyys on sopivan pieni (eli johde on riittävän hyvä), värähtelevä sähkökenttä synnyttää johteeseen värähtelevän johtavuusvirran, joka on paljon suurempi kuin siirrosvirta. Tässä tapauksessa johteessa +x-suuntaan etenevä sähkökenttä E(x, t) = ĵe y (x, t) toteuttaa [diffuusio]yhtälön missä µ on johteen permeabiliteetti ja ρ resistiivisyys. 2 E y (x, t) = µ E y (x, t), x 2 ρ t 1. Näytä, että yhtälö toteutuu yritteellä E y (x, t) = E 0 e k Cx cos(k C x ωt), kun k C valitaan sopivasti. 2. Ratkaisun mukaan aalto vaimenee edetessään johteessa. Miksi näin käy? 3. Etsi matka, jossa sähkökentän amplitudi pienentyy 1/e-osaan alkuperäisestään. Tämä matka on tunkeutumissyvyys δ. Laske δ taajuudella f = 2.45 GHz kuparille. Kuparin µ = µ 0 ja ρ = 1.72 10 8 Ω m. 15 (27)
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3)
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Valon luonne Valon luonne: aallot ja hiukkaset Valo on sähkömagneettista säteilyä Aalto-hiukkasdualismi: (ennen Newtonia) valo on hiukkasia (korpuskeleita) (Newton, Maxwell) valo on aaltoliikettä ( 1910) valo on hiukkasia (fotoni, kvantti) ( 1930) valo on sekä aaltoja että hiukkasia (kvanttielektrodynamiikka, QED) Eteneminen kuvataan aalloilla, vuorovaikutus aineen kanssa (absorptio ja emissio) hiukkasilla Säteilyn peruslähde on kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus 17 (27)
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Valon luonne Valonlähteet Lämpimien kappaleiden molekyylit säteilevät sähkömagneettisia aaltoja eli lämpösäteilyä molekyylien lämpöliikkeen vuoksi jokainen lämmin kappale on valon lähde Hehkulampussa valoa tuottaa kuuma hehkulanka (n. 3000 K) Loistelampussa elohopeahöyryn läpi kulkee valokaari (läpilyöntipurkaus), jonka ultraviolettisäteily muuntuu putken pinnan loisteaineessa näkyväksi valoksi LED-lampussa valodiodin puolijohdeliitoksen aukko-elektroniparien yhtyessä liitos säteilee fotoneja Useimmissa valonlähteissä säteilijät (atomit, molekyylit) säteilevät itsenäisesti, mutta laserissa atomit houkutellaan säteilemään yhtenäisesti eli koherentisti tulos on kapea, intensiivinen ja lähes yksitaajuinen (monokromaattinen, yksivärinen) valokeila Valonnopeus c = 299 792 458 m/s metrin määritelmä 18 (27)
Aallot, aaltorintamat ja säteet Aallon liikettä kuvataan usein aaltorintamalla (esim. aallon etureuna) Yleisesti aaltorintama on pinta, jolla aaltoon liittyvän värähtelyn vaihe on vakio (esim. harmonisesti värähtelevän sähkökentän vakiovaihepinnat) Valonlähteet ovat usein liki pistemäisiä aaltorintamat ovat pallopintoja Matemaattisessa kuvauksessa käytetään mieluusti tasoaaltoja Kaukana lähteestä tasoaalto on hyvä approksimaatio palloaallolle Matematiikka on yksinkertaisempaa Säde on viiva, joka ilmaisee aallon kulkusuunnan ( = aaltovektori k) ja on aaltorintaman normaali r Homogeenisessa isotrooppisessa aineessa säteet ovat suoria Geometrinen optiikka (sädeoptiikka) käsittelee aaltoja säteinä
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Heijastuminen ja taittuminen Heijastuminen a b Tuleva säde Heijastunut säde Taittunut säde Kun sähkömagneettinen aalto (valo) osuu kahden läpinäkyvän aineen tasaiseen rajapintaan, aalto yleensä osittain heijastuu pinnasta ja osittain taittuu toiseen aineeseen Heijastus tasaisesta pinnasta on peiliheijastus (valo heijastuu tiettyyn suuntaan) Heijastus karheasta pinnasta on hajaheijastus (valoa siroaa moniin suuntiin) Jatkossa heijastus = peiliheijastus 20 (27)
Heijastumis- ja taittumislait Aineen taitekerroin (kuvassa na < n b ) n = c v (huomaa: yksikötön) n a n b Heijastumis- ja taittumislait 1. Tuleva, heijastunut ja taittunut säde ovat samassa tasossa pinnan normaalin kanssa (= tulotaso) 2. Heijastuskulma = tulokulma θ r θ a θ b θ r = θ a 3. Snellin laki tulo- ja taittumiskulmille n a sin θ a = n b sin θ b = vakio yhdensuuntaisilla rajapinnoilla Huomaa: kulmat mitataan pinnan normaalista!
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Heijastuminen ja taittuminen Heijastumis- ja taittumislakien seurauksia Aalto taittuu optisesti tiheämpään aineeseen päin (optisesti tiheämpi = suurempi taitekerroin) Kohtisuorasti (θ a = 0) rajapintaan tuleva säde ei taitu (θ b = 0) vaan jatkaa suoraan (entä heijastus?) Tulevan ja läpäisseen (taittuneen) säteen kulkusuunnat ovat käännettävissä (heijastunut säde syntyy tietysti tulopuolelle) Tulevan ja heijastuneen säteen kulkusuunnat ovat käännettävissä (mihin syntyy taittunut säde?) Mistä lait tulevat? Heijastus- ja taittumislait voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä, jolloin lisäksi saadaan tietoa kenttien amplitudien, vaiheiden ja polarisaatioiden käyttäytymisestä rajapinnassa (Fresnelin kertoimet) Lait voidaan johtaa Huygensin periaatteesta (tulossa) Käytössä on myös Fermat n periaate, jonka mukaan valo kulkee kahden pisteen välillä nopeinta (tai hitainta) mahdollista reittiä pitkin ( optisen matkan täytyy olla ääriarvo ) harjoitustehtävä 22 (27)
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Heijastuminen ja taittuminen Taitekerroin ja valon aaltoluonne Tyypillisesti epämagneettisen aineen taitekerroin n = K on välillä 1... 3, esim. (λ 0 = 589 nm) vesi 1.333, jää 1.309, timantti 2.417; STP-ilma 1.0003 (eli = 1) Taitekerroin riippuu valon aallonpituudesta (= dispersio) (esim. pienillä taajuuksilla veden taitekerroin onkin 8.97) Kun aalto kulkee aineesta toiseen, aallon taajuus säilyy (mieti kättelemistä) rajapinta ei synnytä eikä tuhoa aaltoja Valon nopeus ja aallonpituus muuttuvat väliaineessa: (λ 0 on valon aallonpituus tyhjiössä) v = c n ja λ = λ 0 n 23 (27)
Kokonaisheijastus Snellin laki: valon taittumiskulma sin θ b = n a n b sin θ a Jos n a /n b > 1, aina θ b > θ a on olemassa tulokulma θ crit, jolla sin θ b = 1 eli taittunut säde kulkee pitkin rajapintaa (θ b = 90 ): sin θ crit = n b n a sin 90 = n b n a (kun n a > n b ) Kun θ a > θ crit, tuleva säde* ei pääse aineeseen b vaan heijastuu: kyseessä on kokonaisheijastus θ crit on kokonaisheijastuksen rajakulma (esim. lasi ilma θ crit 41.1 ) (*entä kentät?) θ a < θ crit θ a = θ crit θ a > θ crit b a
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Kokonaisheijastus Johdatus optiseen tietoliikenteeseen valokuitu Yksinkertainen esimerkkirakenne ilma n i vaippa n c ydin n f θ crit θ i θ t d Rajatapaus: suurin tulokulma θ i, jolla säde pysyy kuidussa kokoneisheijastuksen avulla. 25 (27)
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Kokonaisheijastus Johdatus optiseen tietoliikenteeseen valokuitu Jatkoa Valo ohjautuu kuidussa kokonaisheijastuksen avulla Valo kulkee pitkiäkin matkoja merkittävästi heikentymättä Kuidun vaimennus (tehohäviötaso) on suuruusluokkaa 1 db/km, erikoiskuiduissa parempi Lasketaan yksinkertainen malli tiedonsiirtonopeuden ylärajalle ns. monimuotokuidussa (joita ei todellisuudessa käytetä) Hitaimman (kulkukulma θ t akseliin nähden) ja nopeimman (akselin suuntaisen) valonsäteen kulkuaikaero matkalla L on t = t max t min = L v cos θ t L v 26 (27)
Valon luonne ja eteneminen (YF 33.1 3) Kokonaisheijastus Johdatus optiseen tietoliikenteeseen valokuitu Jatkoa: moodidispersio Kulkusuunta θ t kytkeytyy kokonaisheijastuksen rajakulmaan θ crit : n f sin θ crit = n c, θ t = π/2 θ crit cos θ t = n c n f Valon kulkunopeus ytimessä v = c/n f, joten = impulssin pituus matkan L jälkeen t = Ln f c [ ] nf 1 n c Pulssien etäisyyden on oltava esim. 2 t, jotta peräkkäiset pulssit voidaan erottaa toisistaan matkan L jälkeen: maksimitoistotaajuus f = 1 2 t = c 2Ln f (n f /n c 1) (Maksimitoistotaajuus on yleensä datakäyttöön aivan liian pieni tällä rakenteella jatkuvasti muuttuva taitekerroinprofiili tai ohut ns. yksimuotokuitu) 27 (27)