ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Transkriptio

1 ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen /IV V

2 Luentoviikko 7 Tavoitteet Sähkömagneettinen induktio Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sinimuotoiset sähkömagneettiset Lähde: aallot 2 (26)

3 Luentoviikko 7 Tavoitteet Tavoitteena on oppia neljä perusyhtälöä, jotka kattavasti kuvaavat sähkön ja magnetismin miksi valoaallossa on sekä sähkö- että magneettikenttä miten valon nopeus liittyy sähkön ja magnetismin luonnonvakioihin miten kuvataan sinimuotoisen sähkömagneettisen aallon etenemistä 3 (26)

4 Sähkömagneettinen induktio (YF 29(7)) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Lävistyslain vajavaisuus Tarkastellaan levykondensaattorin varautumista Kondensaattorin varautuessa johtimissa kulkee hetkellisvirta i C (johtavuusvirta) Muodostetaan kaksi pintaa, joilla on sama reunakäyrä: tasopinta (vihertävä) ja puolipallon i C muotoinen pinta (sinertävä), joka pullistuu levyjen väliin Reunakäyrällä ja tasopinnalla lävistyslain mukaisesti B d l = µ0 I encl,taso = µ 0 i C Toisaalta puolipallon läpi ei kulje johtavuusvirtaa, joten vaikka reunakäyrä on sama, µ 0 I encl,puolipallo = 0 = B d l B d l = µ0 i C Ampèren lain yleistys? 4 (26)

5 Sähkömagneettinen induktio (YF 29(7)) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Siirrosvirta ja yleistetty Ampèren laki Kun kondensaattori (kapasitanssi C) varautuu, hetkellisesti q = Cv = ɛa d (Ed) = ɛea = ɛφ E ja i C = dq = ɛ dφ E, missä Φ E sähkökentän vuo ja v on levyjen hetkellispotentiaaliero Väitämme, että levyjen välissä kulkee siirrosvirta i D = ɛ dφ E Ristiriita korjautuu: tasopinnan läpi kulkee virta i C ja puolipallon pinnan läpi virta i D = i C Yleistetty Ampèren laki saa muodon B d l = µ0 (i C + i D ) encl Siirrosvirran keksi James Clerk Maxwell vuonna 1865 Siirrosvirrantiheys j D = i D A = ɛ dφ E = ɛ de A 5 (26)

6 Sähkömagneettinen induktio (YF 29(7)) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Siirrosvirran todellisuus Tuottaako siirrosvirta magneettikentän kondensaattorilevyjen väliin? Virta r-säteisen ympyrän läpi (R-säteisten levyjen välissä) on i D,encl = j D A(r) = i D r 2 πr 2 πr2 = i D R 2 Ampèren lain mukaisesti r-säteisellä integrointitiellä B d r 2 i D =i C l = 2πrB = µ0 i D,encl = µ 0 i D R 2 = B = µ 0 r 2π R 2 i C Kondensaattorin akselilla B = 0 ja reunalla B = µ 0 i C /(2πR); kondensaattorin ulkopuolella B on kuten johtimella (levyjen olemassaoloa ei havaita [hajakentät on jätetty huomioon ottamatta]) Tämä magneettikenttä on mitattavissa = siirrosvirta on todellisuutta kuvaava käsite oikein tulkittuna (Yleistetty) Ampèren laki pätee magneettisessa materiaalissa, kunhan magnetoituma on verrannollinen ulkoiseen kenttään ja µ 0 µ 6 (26)

7 Sähkömagneettinen induktio (YF 29(7)) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöt tyhjiössä Nyt voimme koota yhteen kaikki sähkö- ja magneettikenttien lähteiden ja kenttien yhteyksiä kuvaavat lait eli Maxwellin yhtälöt (kuten Maxwell aikanaan teki): E d Q encl A = ɛ 0 B d A = 0 ( [ ]) B d d l = µ0 i C + ɛ 0 E d A encl E d dφ B l = = d [ ] B d A Gaussin laki magnetismin Gaussin laki Ampèren laki Faradayn laki (Ampèren ja Faradayn laeissa on oikean käden suunnastus. Faradayn lain viivaintegraali on määritettävä liikkumatonta tietä pitkin. Varaukset ja virrat ovat [ei-tyhjässä] tyhjiössä.) 7 (26)

8 Sähkömagneettinen induktio (YF 29(7)) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Sähkökentän osat Yleisessä tilanteessa sähkökenttä E muodostuu konservatiivisesta (c, varausten tuottama osa) ja ei-konservatiivisesta (n, induktion tuottama osa) osasta: E = Ec + En Osille pätee Ec d l = 0 ja En d A = 0 = E saa olla kokonaiskenttä Faradayn laissa E d dφ l = B E saa olla kokonaiskenttä Gaussin laissa E d Q A = encl ɛ 0 = Maxwellin yhtälöt eivät erottele konservatiivisia ja ei-konservatiivisia kenttiä (yhtälöiden E on kokonaissähkökenttä) 8 (26)

9 Sähkömagneettinen induktio (YF 29(7)) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöiden symmetria Tyhjässä avaruudessa i C = 0 ja Q encl = 0, joten E d A = 0, B d A = 0 ja B d d l = ɛ0 µ 0 E d A E d d l = B d A Ajasta riippuva sähkökenttä indusoi aina magneettikentän lähiavaruuteen ja päinvastoin: yhtälöt enteilevät eteneviä sähkömagneettisia häiriöitä eli sähkömagneettisia aaltoja Maxwellin yhtälöt sisältävät kaikki kenttien ja niiden lähteiden yhteydet; kun yhtälöt täydennetään voimalailla F = q( E + v B), meillä on kaikki sähkömagnetismin perusyhtälöt! (Miten magneettisten varausten löytyminen muuttaisi yhtälöitä?) Newtonin liikelait, termodynamiikan lait, Maxwellin yhtälöt, suhteellisuusteoria ja kvanttifysiikka ovat samaa sarjaa 9 (26)

10 Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöt väliaineessa Jos avaruudessa on (mahdollisesti paikan mukana muuttuvaa) väliainetta ɛ, µ, yhtälöt saavat muodon (muista kätisyys- ja liikkumattomuusehdot!): ɛ E d A = Qencl-free Gaussin laki B d A = 0 magnetismin Gaussin laki ( 1 B d l = i C,free + d [ µ ]) ɛ E d A Ampèren laki E d l = dφ B encl Faradayn laki Q encl-free on vapaa varaus Gaussin pinnan sisällä (esim. johteen varauksenkuljettajat tai kappaleelle annettu nettovaraus; eristeen polarisoitumisessa syntyvä pintavaraus ei ole vapaata vaan sidottua varausta) i C,free on vapaa johtavuusvirta [integrointisilmukan läpi] (magnetoitumisessa esiintyvien magneettisten dipolien virta ei ole vapaata vaan sidottua virtaa) 10 (26)

11 Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöiden seurauksia Staattinen pistevaraus luo sähkökentän Tasaisesti (= vakiovauhdilla) liikkuva varaus luo sekä sähkö- että magneettikentän, muttaē( r); kentät t = voi 4 jaksonaikaa analysoida erikseen Kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus lähettää sähkömagneettisia aaltoja eli sähkömagneettista säteilyä, joten sähkö- ja 0.45 magneettikentät on analysoitava yhdessä z/λ (Harmonisesti värähtelevän sähködipolin tuottama sähkökenttä eräällä hetkellä) (26)

12 Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettinen spektri Sähkömagneettinen spektri sisältää kaikentaajuiset (eli kaikenaallonpituuksiset) sähkömagneettiset aallot Aallon taajuus f, aallonpituus λ ja valonnopeus tyhjiössä yhdistyvät yhteyden c = λf kautta, c m/s m/s radioaallot λ 10cm useita km mikro- ja millimetriaallot 1 mm 10 cm (terahertsiaallot 0.1 mm 1 mm) infrapuna (IR) 780 nm 1 mm kaukoinfrapuna 50 µm 1000 µm keski-infrapuna 3 µm 50 µm lähi-infrapuna 0.78 µm 3 µm näkyvä valo 390 nm 780 nm ultravioletti (UV) 10 nm 390 nm (3.2 ev 100 ev) röntgensäteet 100 ev 0.1 MeV gammasäteet 0.1 MeV 10 TeV 12 (26)

13 Sähkömagneettinen spektri Hieman epämääräinen havainnollistus

14 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Alkuasetelma Etsitään sähkömagneettisten aaltojen ja sähkömagnetismin lakien välinen yhteys Oletetaan, että x-akselia vastaan kohtisuora taso jakaa tyhjän avaruuden kahteen osaan siten, että kaikkialla tason takana (kuvassa vasemmalla) on tasainen y-suuntainen z E-kenttä ja tasainen z-suuntainen B-kenttä kaikkialla tason edessä (oikealla) ei ole Toteutuvatko E- eikä B-kenttiä Maxwellin yhtälöt? Oletetaan, että jakava taso eli aaltorintama etenee +x-akselin suuntaan (toistaiseksi määrittelemättömällä) nopeudella c Kyseessä on tasoaalto (= kentät aaltorintaman takana ovat vakioita rintaman kanssa yhdensuuntaisilla tasoilla) y B E c x 14 (26)

15 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Gaussin lakien toteutuminen Valitaan kuvan mukainen Gaussin pinta (päätyjen pinta-ala on A ja rintama osuu laatikkoon vektorien kohdalle) Tyhjä tila = ei varauksia Kuvitellaan hetken, että E x,b x 0: Φ E = E d A = Ex A = Q encl = 0 ɛ 0 z = E x = 0; Φ B = B d A = Bx A = 0 = B x = 0 B y E A x Gaussin lait toteutuvat, jos E ja B ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden eli poikittaisia; valitaan E = ĵey = ĵe 15 (26)

16 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Faradayn lain toteutuminen Kiinteä integrointipolku ja -suunta: efgh Vain sivu gh vaikuttaa integraaliin (miksi?): E d l = Ea = dφ B ( B z 0) Ajassa aaltorintama liikkuu matkan c ja pyyhkäisee pinta-alan ac (efgh:ssa) Magneettivuon muutos efgh-pinnan läpi ( B = ˆkBz = ˆkB) z y g h B c E a f e x dφ B = B d A = Bac dφ B Faradayn laki toteutuu, jos E = cb (tyhjiössä) = Bac Ea = Bac E = cb (hetkinen: voisiko B:llä olla y-komponentti? [ei voi, koska Ex = E z = 0]) 16 (26)

17 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Yksinkertainen tasoaalto Ampèren lain toteutuminen Kiinteä integrointipolku ja -suunta: efgh Vain sivu gh vaikuttaa integraaliin (?): B d l = Ba = µ0 ɛ 0 dφ E ( E y 0) Ajassa aaltorintama liikkuu matkan c ja pyyhkäisee pinta-alan ac (efgh:ssa) Sähkövuon muutos efgh-pinnan läpi z y E B g h c e x f a dφ E = E d A = Eac dφ E = Eac Ba = µ 0 ɛ 0 Eac B = µ 0 ɛ 0 ce Ampèren laki toteutuu, jos B = µ 0 ɛ 0 ce (tyhjiössä) 17 (26)

18 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sähkömagneettisten aaltojen pääominaisuudet Faradayn ja Ampèren laki toteutuvat yhtäaikaa, kun 1 µ0 ɛ 0 = c c m s m s (tyhjiössä) Sähkömagneettisten (taso)aaltojen ominaisuudet: 1. Aalto on poikittainen: E B aallon etenemissuunta (= E B:n suunta) 2. E:n ja B:n amplitudit ovat suhteessa toisiinsa: E = cb 3. Aalto etenee tyhjiössä valonnopeudella c, joka on vakio 4. Sähkömagneettinen aalto ei tarvitse väliainetta edetäkseen Juuri käsiteltyjen askel- tai palikka-aaltojen superpositio toteuttaa Maxwellin yhtälöt, kun kaikki osa-aallot etenevät samalla nopeudella c = myös sinimuotoinen tasoaalto toteuttaa yhtälöt 18 (26)

19 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sähkömagneettinen aaltoyhtälö Toistetaan Faradayn laki ja Ampèren laki -tarkastelut tasoilla x = x ja x = x + x poikittaisille kentille E y ja B z, jotka ovat x:n ja t:n funktioita Faradayn laki antaa E d l = Ey (x,t)a + E y (x + x,t)a = dφ B = B z(x,t) a x t Ampèren laki antaa =... = E y(x,t) x = B z(x,t), kun x 0 t B d l = Bz (x + x,t)a + B z (x,t)a = µ 0 ɛ 0 dφ E E y (x,t) = µ 0 ɛ 0 a x t =... = B z(x,t) x E y (x,t) = µ 0 ɛ 0, kun x 0 t 19 (26)

20 Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sähkömagneettinen aaltoyhtälö Jatkoa Otetaan Faradayn lain antamasta tuloksesta osittaisderivaatta x:n suhteen ja Ampèren lain antamasta tuloksesta osittaisderivaatta t:n suhteen ja eliminoidaan B z : 2 E y (x,t) x 2 = 2 B z (x,t) x t & 2 B z (x,t) x t = µ 0 ɛ 0 2 E y (x,t) t 2 = 2 E y (x,t) 2 E y (x,t) x 2 = µ 0 ɛ 0 t 2 Saatiin sähkömagneettinen aaltoyhtälö tyhjiössä; mekaniikan vastine nopeudella v (x-akselia pitkin) etenevälle poikkeamalle y(x, t) olisi 2 y(x,t) x 2 = 1 v 2 2 y(x,t) t 2, joten jälleen huomataan 1/v 2 = µ 0 ɛ 0 v = c = 1/ µ 0 ɛ 0 B z :lle voidaan kirjoittaa samanlainen yhtälö 20 (26)

21 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Värähtelevän sähködipolin kenttä z/λ Ē( r); t = 4 jaksonaikaa z/λ Ē( r); t = 4 jaksonaikaa x/λ x/λ Sinimuotoisesti värähtelevän sähködipolin synnyttämä kenttä värähtelee sinimuotoisesti ja muistuttaa tasoaaltoa paikallisesti (pienillä alueilla) kaukana säteilijästä: tasoaalto on hyvä radioaallon malli oikein käytettynä 21 (26)

22 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Sinimuotoisen aallon kentät Aaltoyhtälön ratkaisuksi kävisi muotoa E y (x,t) = E + f (x ct) + E g(x + ct) (E +,E vakioita) oleva hyvinkäyttäytyvien funktioiden f, g lineaarikombinaatio (mitä eroa on funktioiden f ja g kuvaamilla aalloilla?) Kenttäratkaisupariksi käyvät sinimuotoiset (eli harmoniset) funktiot: E(x,t) = ĵemax cos(kx ωt), B(x,t) = ˆkBmax cos(kx ωt), missä E max = cb max Värähtelyn kulmataajuus ω = 2πf ([ω] = rad/s) Kun tutkitaan yhtälöä kx ωt = 0 (eli yhden aallonharjan etenemistä), huomataan, että aalto etenee +x-suuntaan nopeudella v = dx/ = ω/k = c 22 (26)

23 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Sinimuotoisen aallon kentät Jatkoa Kenttäratkaisuparissa E(x,t) = ĵemax cos(kx ωt), B(x,t) = ˆkBmax cos(kx ωt), missä E max = cb max kentät ovat kohtisuorassa toisiaan ja etenemissuuntaa vastaan (ovat poikittaisia) E(x,t) ja B(x,t) ovat sähkö- ja magneettikentän hetkellisarvot E max ja B max ovat kenttien maksimiarvot eli amplitudit kahden aallonharjan välimatka (valitulla hetkellä) eli aallonpituus λ = 2π/k = c/f c = λf missä aaltoluku k = ω µ 0 ɛ 0 = ω/c ([k] = rad/m; huomaa ero k vs. ˆk) 23 (26)

24 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Valitut E ja B riippuvat siis sinimuotoisesti ajasta ja paikasta Aalto on tasoaalto: valitulla hetkellä, valitulla etenemissuuntaa vastaan kohtisuoralla tasolla E ja B ovat vakiovektoreita (Kuvassa ovat edelliskalvon sinimuotoisen aallon kenttien hetkellisarvot x-akselilla, kun t = 0: E sininen, B punainen, etenemissuunta +x eli oikealle.) Sähkömagneettisen aallon polarisaatio tutkitaan E-vektorista y Esimerkkiaalto on lineaarisesti polarisoitunut y-suuntaan (sähkökenttävektorin kärki piirtää viivaa joka pisteessä, kun aika kuluu) z E x B Vastaavasti x-suuntaan etenevä aalto olisi E(x,t) = ĵemax cos(kx + ωt) B(x,t) = ˆkBmax cos(kx + ωt)

25 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisen aallon nopeus väliaineessa Aiempi tyhjiölle tehty analyysi pätee johtamattomassa eristeessäkin, kunhan Maxwellin yhtälöissä vaihdetaan ɛ 0 ɛ ja µ 0 µ ɛ = Kɛ 0 ja µ = K m µ 0, ja aallon nopeus eristeessä muuttuu c v: v = 1 ɛµ = 1 1 = KKm ɛ0 µ 0 c KKm Tyypillisesti (etenkin optisella alueella) K m 1 = v = c/ K Koska K > 1, väliaineessa v < c Nopeuksien suhde on taitekerroin n = c v = K m 1 KK m K Edelleen k = ω µɛ = (ω/c) KK m = ω/v = 2π/λ = v = λf Lisäksi E = vb = cb/n 25 (26)

26 Sähkömagneettiset aallot (~U-II 11(9)) Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot Yleisempi sinimuotoinen tasoaalto (Lisäys oppikirjan tekstiin) Harmonisen tasoaallon sähkökenttä pisteessä r = îx + ĵy + ˆkz voidaan kirjoittaa E( r,t) = E0 cos( k r ωt), missä k E0 = 0 k on aaltovektori; tasot k r = vakio ovat aallon vakiovaihepintoja Voidaan kirjoittaa k = ûk, missä yksikkövektori û = k/k osoittaa aallon etenemissuuntaan ja k on aaltoluku Huomaa: ˆk tarkoittaa edelleen yhtä karteesisen koordinaatiston yksikkövektoreista, ja vain silloin, kun aalto etenee +z-suuntaan, û = ˆk Ampèren ja Faradayn laeista seuraa dispersioehto k k = k 2 = ω 2 µɛ Aallonpituus on λ, taajuus f = 1/T (T on jaksonaika) ja kulmataajuus ω = 2πf = 2π/T Häviöttömässä aineessa etenevän homogeenisen tasoaallon k = 2π/λ Aaltoliikkeen perusyhtälö v = λf = ω/k pätee Esimerkiksi 100 MHz:n radiolähetyksen aallonpituus vapaassa tilassa λ = c/f 3m (hyvä kiintopiste lukuarvoille) 26 (26)