2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).

Transkriptio

1 2 Mekaaninen aalto Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 1 Mekaanisten aaltojen vastakohtana ovat sähkömagneettiset allot, jotka kulkevat myös tyhjiössä, eli ne eivät tarvitse välittäjäkeen mitään väliainetta. Aallon edetessä väliaineessa väliaineen hiukkaset poikkeutuvat paikoiltaan (ja palaavat mahdollisesti takaisin paikalleen). Aalto siis kuljettaa energiaa, mutta ei materiaa.

2 2 Mekaanisia aaltoja on kahta tyyppiä: Poikittainen (transverse). Väliaineen hiukkaset poikkeutuvat suuntaan joka on kohtisuora aallon etenemissuuntaa vastaan. Pitkittäinen (longitudinal). Väliaineen hiukkaset poikkeutuvat suuntaan joka on samansuuntainen aallon etenemissuunnan kanssa. Jotkin aallot ovat näiden kahden komponentin summia. Aalto on siis eräänlainen häiriö joka etenee väliaineessa. Aalto etenee vakionopeudella, jota kutsutaan aallon etenemisnopeudeksi (wave speed). Aallon etenemisnopeudelle käytetään tässä symbolia v. On huomattava että näitä kahta ei sekoita toisiinsa: Aallon etenemisnopeutta v, ja sitä nopeutta millä jokin väliaineen hiukkanen hetkellisesti liikkuu tämän "häiriön"vaikutuksesta! Aallon nopeus voi tapauksesta riippuen olla joko suurempi tai pienempi kuin väliaineen hiukkasten (maksimi)nopeus.

3 2.1 Jaksollinen aalto (Periodic wave) Jos väliaineeseen aiheutetaan yksi yksittäinen häiriö, kuten vaikka heilauttamalla maassa suorana lojuvaa narua yhden kerran ylös ja alas, saadaan aikaan niin sanottu aaltopulssi (wave pulse). 3 Jos sen sijaan toinen pää saatetaan jatkuvaan edestakaiseen liikkeeseen, saadaan aikaan tilanne missä väliaineeseen muodostuu jaksollinen aalto. Erityistapaus: jos toinen pää saatetaan sinimuotoiseen liikkeeseen (harmoninen liike, harmonic motion), muodostuu väliaineeseen jatkuva sinimuotoinen etenevä aaltorintama. Tämä erityistapaus on sikäli tärkeä, että kaikki muut aaltomuodot voidaan esittää sinimuotoisten aaltojen summana. Tällaista tarkastelua kutsutaan harmoniseksi analyysiksi (harmonic analysis).

4 4 Jännitettyyn metallilankaan on kiinnitetty (vasemmassa laidassa) laite joka on jaksollisessa sinimuotoisessa liikkeessä. Kappaleen värähtely etenee lankaan, ja langan jokainen piste alkaa värähdellä samalla taajuudella ja tamalla amplitudilla (ei samassa vaiheessa!) kuin vasemman laidan kappale.

5 Langan muoto näyttää millä tahansa ajanhetkellä jaksolliselta (sinifunktio). Aika joka toisessa päässä olevalta värähtelijältä menee yhteen kokonaiseen jaksoon on T. Tiedetään, että siinä ajassa aalto on liikkunut yhden aallonpituuden, λ, verran. Aallonpituus on siis kahden aallonpohjan (tai vastaavasti aallonharjan) etäisyys toisiinsa. 5 Tiedetään siis että aalto kulkee yhden aallonpituuden verran kohti yhtä värähtelijän jaksonaikaa. Näin ollen aallon etenemisnopeus v = λ T = fλ. Huomataan siis että aallon etenemisnopeus ei riipu värähtelyn tuottavan lähteen taajuudesta; aallon etenemisnopeus riippuu vain väliaineen parametreista.

6 2.2 Aallon matemaattinen kuvaus Tarkastellaan sinimuotoisen etenevän aaltorintaman esitystä matemaattisena mallina. 6 Tarkastellaan esimerkin vuoksi systeemiä jossa väliaineena toimii pingotettu metallilanka. Langan toinen pää on kiinnitetty laitteeseen joka tekee sinimuotoista edestakaista liikettä. Langan toisella päällä ei ole nyt väliä; tarkastellaan vain minkälainen etenevä aaltorintama syntyy. Se, mitä tapahtu langan toisessa päässä ja miten sen kiinnitys vaikuttaa, tarkastellaan hetken päästä. Merkitään langan toiseen päähän kiinitetyn harmonisen värähtelijän jaksonaikaa (aikaa mikä siltä kuluu yhteen sinimuotoiseen jaksoon) symbolilla T. Vastaavasti merkitään taajuutta f ja kulmataajuus ω. Tiedetään T = 1 f ja ω = 2πf.

7 Merkitään sitä pystysuuntaista poikkeamaa jonka aalto tekee symbolilla y. Vastaavasti ajatellaan että lanka on pingotettu x-akselille, ja aallot etenevät positiivisen x-akselin suuntaan. 7 Langan y-suuntainen poikkeama on siis sekä ajan t, että paikan x funktio, ts. poikkeama on tietty kussakin paikassa ja kullakin ajanhetkellä. Näin ollen aaltofunktio tulee olemaan kahden muuttujan funktio, y = y(x, t). Poikkeama pisteessä x = 0, eli aaltoliikettä tuottavan värähtelijän kohdalla, on y(x = 0, t) = A cos(ωt) = A cos(2πft) Tiedetään että häiriö etenee pisteestä x = 0 johonkin pisteeseen x ajassa x/v. Näin ollen liike mainitussa pisteessä (värähtelijän oikealla puolella) on sama kuin se oli pisteessä x = 0 hetkeä aiemmin, ajanhetkenä t x/v.

8 Näin ollen saadaan y-suuntainen poikkeama langan pisteessä x ajanhetkellä t korvaama edellisen yhtälön t lausekkeella (t x/v), jolloin saadaan [ ( y(x, t) = A cos ω t x )]. v Vielä kun määritellään kulma-aaltoluku k seuraavasti: 8 k = 2π λ, saadaan äskeinen lauseke muotoon y(x, t) = A cos(kx ωt). Tämä lauseke on siis aaltofunktio (wave function), ja se kertoo meille minkä tahansa langan pisteen (x), paikan millä tahansa ajanhetkellä (t).

9 9 Kuvassa (a) on värähtelevä lanka, joka on pysäytetty ajassa (ajattele vaikka että ajan suhteen muuttuvasta systeemistä on otettu valokuva). Aalto näyttää sinimuotoiselta. Kuvassa (b) on yhden hiukkasen paikka ajan funktiona. Ajattele vaikka aalloilla kelluvan korkin y-suuntaista paikkaa ajan suhteen. Tämäkin aalto on sinimuotoinen.

10 Langan pisteen x nopeus ajanhetkellä t saadaan aaltoyhtälöstä yksinkertaisesti osittaisderivoimalla aaltoyhtälö ajan suhteen: 0 ẏ(x, t) = y(x, t) t = ωa sin(kx ωt) Vastaavasti pisteen x kiihtyvyys ajanhetkellä t saadaan osittaisderivoimalla edellinen lauseke uudelleen ajan suhteen: ÿ(x, t) = ẏ(x, t) t = ω 2 A cos(kx ωt) = ω 2 y(x, t)

11 1 Vastaavasti voitaisiin laskea aaltoyhtälön ensimmäinen ja toinen derivaatta paikan x suhteen, vaikka näillä lausekkeilla ei olekaan vastaavaa relevanssia kuin ajan suhteen lasketuilla. Toinen derivaatta x:n suhteen on muotoa: 2 y(x, t) x 2 = k 2 y(x, t) Yhdistämällä toisen derivaatan lausekkeet (x:n ja t:n suhteen lasketut) saadaan 2 y(x, t) x 2 = 1 v 2 2 y(x, t) t 2. Tämä yhtälö on aaltoyhtälö (wave equation). Yhtälö on yksi fysiikan tärkeimpiä yhtälöitä. Mikä tahansa systeemi joka toteuttaa tämän yhtälön, tiedetään että häiriö voi edetä aaltona x-akselia pitkin, nopeudella v.

12 2 Aallon etenemisnopeus pingotetussa langassa jonka jännitys on F ja F massa per pituusyksikkö on µ, voidaan laskea yhtälöllä v = µ.

13 2.3 Aallon teho ja energia Poikittaisen aallon teho (power) on yleisessä tapauksessa P (x, t) = F y (x, t) v y (x, t) = F y(x, t) y(x, t) x t Sinimuotoisen aallon hetkellinen teho saadaan yhtälöstä 3 P (x, t) = F kωa 2 sin 2 (kx ωt). Termi sin 2 vaihtelee 0:n ja 1:n välillä. Huomataan siis että tehon lauseke ei ole koskaan negatiivinen. Aalto ei koskaan siirrä tehoa aallon kulkusuuntaa vastaan! Maksimaalinen teho saadaan siis silloin kun sin 2 -termi = 1. Keskimääräinen teho on puolet tästä, eli siis P av = 1 2 F kωa2 = 1 2 µf ω 2 A 2

14 Tähän asti on tarkasteltu vain 1-ulotteista tapausta. On kuitenkin monia tapauksia joissa aaltoliike kuljettaa energiaa, ja aalto ei etene 1-ulotteisesti kuten metallilangassa, vaan vaikkapa 2-ulotteisesti (väreet veden pinnalla) tai 3-ulotteisesti (ääniaallot). 4 Tarkastellaan 3-ulotteista tapausta, jossa meillä on pistemäinen äänilähde, josta aaltorintamat säteilevät pallonkuoren muotoisina rintamina. Kolmessa ulottuvuudessa eteneville aalloille määritellään intensiteetti (intensity) I seuraavasti: Intensiteetti on se keskimääräinen teho jolla aalto kuljettaa energiaa, per yksikköpinta-ala (pinta-ala määriteltynä niin että se on aallon kulkusuuntaa vastaan kohtisuorassa).

15 Jos äänilähteen teho on P, on intensiteetti etäisyyden r 1 päässä äänilähteestä I 1 = P 4πr1 2. Huomaa että 4πr 2 1 on palloaallon pinta-ala etäisyydellä r 1 äänilähteestä. 5 Vastaavanlaisella yhtälöllä voitaisiin määritellä intensiteetti I 2 etäisyydellä r 2 äänilähteestä. Olettaen että tehoa ei ole absorboitunut väliaineeseen tai muuten kadottut matkalla, tiedetään että teho P on molemmissa tapauksissa sama. Näin ollen voidaan merkitä 4πr1I 2 1 = 4πr2I 2 2, toisaalta I 1 = r2 2. I 2 Intensiteetti siis tippuu kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. r 2 1

16 2.4 Aallon heijastuminen, superpositio, seisovat aallot Tähän asti on tarkasteltu vain sitä kuinka aaltorintama etenee eteenpäin langassa kohtaamatta koskaan langan toista päätä. Kun aalto kohtaa väliaineen laidan, se heijastuu takaisin (reflection). 6 Kun aalto kohtaa kahden väliaineen rajapinnan, se heijastuu rajapinnasta osin tai kokonaan. Heijastuksessa aallon taajuus (eikä näin ollen myöskään aallonpituus) ei muutu, mutta sen vaihekulma voi muuttua, riippuen rajapinnan muodostavien aineiden materiaaliominaisuuksista. Näitä materiaalien rajapintaan liittyviä tekijöitä kutsutaan reunaehdoiksi (boundary conditions). Esimerkkinä mainittakoon seinään tukevasti kiinnitetty värähtelevä lanka; siinä aalto muuttaa vaihettaan 180 (inversion). Jos langan pää pääsee vapaasti liikkumaan y-suunnassa, vaihesiirtoa ei tapahdu.

17 Kun kaksi etenevää aaltoa on päällekkäin samassa kohdassa väliainetta, ne interferoivat (interference). Tätä ilmiötä tullaan tarkastelemaan yhdessä aallon heijastuksen kanssa, koska saapuva aalto ja heijastunut aalto interferoivat keskenään. 7 Kun kaksi tai useampia aaltoja on päällekkäin, poikkeama väliaineessa missä tahansa pisteessä on näiden yksittäisten aaltojen aiheuttamien poikkeamien algebrallinen summa. Tämä ilmiö on nimeltään superpositioperiaate (principle of superposition). Superpositioperiaate yhtälön muodossa: olkoon y 1 ja y 2 kaksi etenevää aaltoa. Nyt kokonaispoikkeama pisteessä x ajanhetkellä t saadaan yksinkertaisesti y(x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t).

18 8 Kaksi selkeintä tapausta (keskenään samantaajuisten ja samanamplitudisten) aaltojen interferenssistä ovat konstruktiivinen interferenssi (kuva (a)) ja destruktiivinen interferenssi (kuva (b)). Konstruktiivisessa interferenssissä summa-aallon amplitudi on kaksi kertaa niin suuri kuin yksittäisellä aallolla, ja destruktiivisessa interferenssissä summa-aalto on kaikkialla nolla.

19 9 Toinen tärkeä esimerkkitapaus aaltojen interferenssistä on huojunta (beat). Kuvassa y 1 ja y 2 ovat kaksi aaltoa, joiden tajuus on melkein sama keskenään, mutta ei ihan.

20 Näiden summa-aallolla on mielenkiintoinen ominaisuus: sen amplitudi vaihtelee ajan funktiona taajuudella joka voi olla hyvinkin pieni verrattuna aaltojen taajuuteen. Summa-aallon taajuus on 0 f sum = f 1 + f 2, 2 ja huojontataajuus (beat frequency) eli taajuus jolla summa-aallon amplitudi oskilloi, on f beat = f 1 f 2 Esimerkki: Jos meillä kaksi äänirautaa, joiden taajuudet ovat f 1 = 5002 Hz ja f 2 = 5000 Hz, pistetään soimaan samassa tilassa, niiden summa-aallon taajuus on 5001 Hz ja huojuntataajuus 2 Hz. Huojuntataajuus on siis sitä pienempi, mitä lähempänä f 1 ja f 2 ovat toisiaan.

21 Tarkastellaan nyt tapausta jossa värähtelevät langan molemmat päät on kiinnitetty tukevasti paikoilleen. Oletetaan että systeemiin syötetään energiaa ja lanka saadaan värähtelemään (vaikka magneetilla, kuten Fysiikan laboratoriotöiden eräässä mittaustyössä). 1 Nyt, sen sijaan että langassa havaittaisiin kumpaankaan suuntaan etenevä aaltorimtama, koko lanka näyttää värähtelevän samassa vaiheessa. Riippuen energiaan syöttävän systeemin taajuudesta, lanka jakautuu joko yhteen tai useampaan edestakaisin värähtelevään segmenttiin, ja niiden välissä on pisteitä jotka eivät liiku ollenkaan. Aalto ei näytä etenevän kumpaankaan suuntaan, ja sen takia sitä kutsutaankin seisovaksi aalloksi (standing wave).

22 2

23 Selityksenä on superpositioperiaate: syöttävän systeemin kohdalta lankaan muodostuu aaltorimtama joka liikkuu oikealla ja toinen vastaava aaltorintama joka liikkuu vasemmalle, ja näiden aaltojen interferoidessa syntyy seisova aalto. 3 Seisova aalto ei kuljeta energiaa kumpaankaan suuntaan (voidaan ajatella että vasemmalle liikkuva ja oikealle liikkuva kuljettavat keskenään samansuuruisen määrän energiaa eri suuntiin, jolloin kokonaisenergiansiirto on nolla). Pisteitä jotka ovat paikallaan kutsutaan solmuiksi (nodes). Pisteitä joissa edestakaisen liikkeen amplitudi on maksimissaan kutsutaan kuvuiksi (antinodes).

24 Seisovan aallon muodostaa siis kaksi aaltoa, y 1 (x, t) ja y 2 (x, t), joista toinen kulkee oikealle ja toinen vasemmalle. Aalloilla on sama amplitudi, jaksonaika ja aallon nopeus. Toinen aalloista edustaa heijastunutta aaltoa, ja tiedetään että tukevasti kiinnitetystä pisteestä heijastunut aalto muutta muuttaa vaihekulmansa päinvastaiseksi, eli toisinsanoen vaihtaa etumerkkiään. Näin ollen 4 y 1 (x, t) = A cos(kx + ωt) y 2 (x, t) = A cos(kx ωt) Summa-aalto voidaan nyt esittää y(x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) = A[ cos(kx + ωt) + cos(kx ωt)] Muistetaan sääntö cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b, saadaan y(x, t) = (2A sin kx) sin(ωt) = (A SW sin(kx)) sin(ωt)

25 Edellisessä siis A SW = 2A, eli seisovan aallon maksimiamplitudi on 2 kertaa niin suuri kuin vasemmalle kulkevan tai oikealle kulkevan aallon amplitudi. 5 Äskeisestä yhtälöstä nähdään että seisovan aallon muotoa paikan ja ajan suhteen määrittelevät selkeästi kaksi termiä: Aalto näyttää koko ajan samanmuotoiselta, mutta sen amplitudi värähtelee ajassa termin sin(ωt) sanelemana (siis langan jokainen piste värähtelee samassa vaiheessa tämän termin mukaisesti). Termi A SW sin(kx) sen sijaan sanelee solmujen ja kupujen paikat. Solmut (pisteet jossa poikkeama on nolla millä tahansa ajanketkellä) ovat siis pisteissä x = 0, π k, 2π k, 3π k, = 0, λ 2, 2λ 2, 3λ 2,

26 Jos langan pituus on L, ovat saadaan kaikki mahdolliset lankaan muodostuvat seisovat aallot kaavasta L = n λ 2 = λ n = 2L n (n = 1, 2, 3, ) 6 Kun muistetaan yhtälö f = v/λ, saadaan kaikkien lankaan muodostuvien seisovien aaltojen taajuudet f n = v λ n Matalin muodostuva taajuus f 1 = v 2L on niin kutsuttu perustaajuus (fundamental frequency), ja korkeampia muodostuvia taajuuksia kutsutaan harmonisiksi (harmonics). n:nnen seisovan aallon yhtälö on muotoa y n (x, t) = A SW sin(k n x) sin(ω n t)

27 7 Kun esimerkiksi kitaran kieltä vedetään plektralla tai pianonkoneiston vasara lyö pianon kieltä, muodostuva seisova aalto on usean harmonisen aallon summa.

28 8 Tässä on käyty matemaattinen käsittely vain yksiulotteiselle seisovalle aallolle. Seisovan aallon käsite kuitenkin löytyy korkeampidimensioisistakin tapauksista. Kaksiulottaisina esimerkkeinä mainittakoon rumpukalvo (kiinnitetty reunoilta) ja symbaali (kiinnitetty keskeltä, reunat värähtelevät). Kolmiulotteisena esimerkkinä mainittakoon atomien elektronirakenne (elektronit muodostavat ytimen ympärille kolmiulotteisia pallomaisia seisovia aaltoja).