Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8

2 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän energia muuttuu kappaleen itsensä ja ympäristön sisäenergiaksi (lämpenevät). Värähtely on vaimennettua värähtelyä. Usein tärkein vaimentava tekijä on ilmanvastus. Nopeasti liikkuvaan kappaleeseen kohdistuva ilmanvastus on ~ v. Hitaasti liikkuvan kappaleen tapauksessa vastus on havaintojen mukaan lineaarinen nopeuden suhteen eli D bv Vaimennustekijä b riippuu kpl:een muodosta ja väliaineen ominaisuuksista monimutkaisella tavalla. [b] = kg/s. Heilurille tai jouselle ilmassa b 0.10 kg/s. Miinusmerkki: voima ja voiman aiheuttama kiihtyvyys ovat päinvastaiseen suuntaan kuin nopeus, joten vaimentava tekijä pienentää nopeutta. Tämä on esimerkki fenomenologisesta eli havaintoihin perustuvasta laista. Ilmiö sinänsä on liian monimutkainen, jotta todellinen vastusvoima voitaisiin johtaa lähtien mekaniikan peruslaeista.

3 Kuvassa kappaleeseen vaikuttaa vaakatasossa kokonaisvoima (jousivoima + vastusvoima) ( F) ( Fjousi ) ( D) k bv. Liikeyhtälö (N II) on siten Koska v voidaan liikeyhtälö esittää muodossa Yrite ma d dt d dt k bv b m d dt a dv dt k m 0 d dt ( t) Aep( t)cos( t 0) 0 Huomaa, että F jousi ja D eivät ole aina keskenään saman suuntaisia. Kun kappale on samassa kohtaa paluumatkalla vastusvoima on oikealle (v < 0), jousivoima vasemmalle. Yhtälö toteutuu, kun b k b, m m 4m

4 Poikkeama tasapainosta on siis Kulmataajuus on Varjokäyrä Vaimennus vaikuttaa myös amplitudiin eli poikkeaman maksimiarvoon ma (t): ma ( t) Ae bt / m Amplitudi pienenee eksponentiaalisesti. Vaimennuksen vaikutus, pienentää taajuutta ja amplitudia. Varjokäyriä erilaisille vaimennuksille b.

5 Huomaa, että jos b 4mk kappale ei oskilloi vaan se valuu nopeasti tasapainoasemaa kohti. Värähtelyn sanotaan silloin olevan kriittisesti vaimennettua (B). Auton jousitus, ovipumput Jos b 4mk, värähtely on alivaimennettua (A). Edellisen sivun kuvat tästä tapauksesta. Jos b 4mk, värähtely on ylivaimennettua (C). Kappale valuu hitaasti tasapainoasemaa kohti.

6 Energia vaimennetussa värähtelyssä Määritellään aikavakio = m/b. Maksimipoikkeama on silloin ma Ae t / Vastusvoimien takia mekaaninen energia ei ole vakio vaan pienenee ajan kuluessa eksponentiaalisesti: E( t) 1 k( ma ) 1 E( t) E k( Ae 0 e t / t / t / Aikavakio ilmaisee energian dissipoitumisen karakteristisen vauhdin, eräänlaisen värähtelijän elinajan, ajan jonka kuluessa energia on oleellisesti pienentynyt (jäljellä 37% alkuperäisestä, kun t = ). ) 1 ka e eli E 0 = vaimentamattoman värähtelyn energia

7 Pakotettu värähtely ja resonanssi-ilmiö et 0 Jos värähtelijään kohdistuu ulkopuolinen jaksollinen voima, puhutaan pakotetusta värähtelystä. Kaksi taajuutta Värähtelijän luonnollinen taajuus Ulkoisen voiman taajuus et 0 k m Liikeyhtälö on (oletaan, että ei ole vastuvoimia) ma k F 0 cos et t jousivoima pakkovoima Yrite = A(cos et - cos 0 t ). Saadaan et et et Värähtely normaalia A nollaan, ei värähtelyä A ö, resonanssi F / m ( t) (cos t cos et 0 et 0 t 0 ) Kahden harmonisen värähtelyn yhdistelmä (superpositio).

8 Vastusvoimat saavat aikaan sen, ettei amplitudi todellisuudessa mene resonanssissa taivaisiin. Piikki amplitudissa kuitenkin on silloin, kun värähtelijän taajuus ja pakkovoiman taajuus ovat samat. et 0

9 Virtaavan aineen mekaniikka Knight Ch 15 Virtaava aine (fluidi) = nesteet ja kaasut Ei tarvita uutta fysiikkaa, riittää Newtonin lait Energian säilyminen Kaasu Koostuu vapaasti liikkuvista molekyyleistä, jotka törmäilevät satunnaisesti toisiinsa, täyttää koko astian Aiheuttaa paineen astian seinämiin. Virtaa. Kokoonpuristuvaa molekyylit kaukana toisistaan Neste Molekyylit lähellä toisiaan, vuorovaikutuksessa keskenään Virtaa, mukautuu astian muotoihin Kokoonpuristumaton (lähes)

10 Paine Mikä saa nesteen lentämään astian rei istä? Nesteeseen vaikuttaa astian seinämää vasten kohtisuorassa suunnassa oleva voima Voima on sitä suurempi mitä syvemmällä nesteessä ollaan Jos reikää ei olisi, neste painaisi seinämää saman suuruisella voimalla. Paine = voiman suuruus / sen pinnan pinta-ala, johon voima kohdistuu: p F A Voima on kohtisuorassa pintaa vastaan. Paineen yksikkö: [p] = 1 N/m = 1 Pascal = 1 Pa Kaasun paine on sama kaikilla astian seinillä. Huom: Paine ei ole voima! Eikä vektori! F F

11 Painetta on kaikkialla fluidissa, ei pelkästään astian seinämillä. Paine johtuu siitä, että molekyylit työntävät toisiaan ja molekyylejä on kaikkialla. Mehupilli pysyy paikallaan, koska molekyylit työntävät sitä samalla tavalla kaikista suunnista. Kuvassa yksinkertainen painemittari. Sylinterin sisällä ei ole fluidia, joten fluidin ulkoa aiheuttama voima puristaa jousta kokoon. Kun männän ala tunnetaan, saadaan selvillä fluidissa mittarin kohdalla vallitseva paine. Tällä laitteella voi varmistua siitä, että samalla tasolla oltaessa paineen arvo ei riipu mittarin asennosta eli fluidi aiheuttaa kaikkiin suuntiin yhtä suuren voiman.

12 Gravitaation vaikutus Painottomuudessa (esim vapaassa putoamisliikkeessä): Neste ei aiheuta painetta astian seinämiin; muodostaa pisaran molekyylien välisten voimien seurauksena. Kaasu aiheuttaa paineen seinämiin, koska molekyylit lentävät vapaasti. Maan gravitaation vaikuttaessa: Neste täyttää astian pohjalta ja aihettaa siellä paineen seinämiin. Kaasu aiheuttaa paineen kaikkiin seinämiin. Paine on käytännössä sama astian ylä- ja alaosassa. Kaasun paineen suuruuteen vaikuttaa lämpötila, ts. molekyylien liike-energian määrä. Myös kaasun tiheys. Jos molekyylejä on vähän myös paine on pieni, koska törmäyksiä on vähän.

13 Ilmanpaine Ilmakehässä paine riippuu siitä, miten korkealla maanpinnasta ollaan. Ilmakehä on niin iso astia, että gravitaatiolla on merkitystä: alaosassa on gravitaation vaikutuksesta enemmän molekyylejä kuin ylempänä. Ilmanpaine merenpinnan tasolla on keskimäärin ns. normaali-ilmakehän paine 1 atm = Pa =101.3 kpa Kysymys: 1 atm = 10 5 N/m! Miksi emme rutistu? Esimerkki: Pölynimuri. Pölynimuri ei ime roskia vaan ilmamolekyylit työntävät. Molekyyleissä ei ole koukkuja, joihin voisi tarttua ja vetää. Alipainetta

14 Esimerkki