Luento 8 Luento 8 Signaalien suodatus 8. Ideaaliset suodattimet Ideaaliset alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö- ja kaistanestosuodattimet Oppenheim 6.3 8. Käytännön suodattimet Käytännön suodattimet, päästökaista, ylimenokaista, estokaista Oppenheim 6.4 Butterworth ja Elliptinen suodatin Oppenheim 9.7.5 Tsebysev-suodatin Pruju 8.3 Pulssin suodattimen, askelvaste
8. Ideaaliset suodattimet
Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden vaimentaminen Signaalien erottaminen muista signaaleista esim. radiovastaanottimessa Halutun pulssimuodon tai -spektrin generoiminen Sovitettu suodatin signaalikohinasuhteen maksimoimiseksi näytteenottohetkellä Siirtokanavan aiheuttamien lineaaristen vääristymien korjaus Alkuperäisen signaalin rekonstruktio näytteistä Dupleksisuodattimet (ylä- ja alasuunnan liikenteen erottaminen omille kaistoilleen) Esikorostus/jälkikorjausmenetelmät Peilitaajuussignaalin vaimentaminen superheterodyneperiaatteella toimivassa radiovastaanottimessa jne 3
Lineaarinen suodatus Vasteen y(t) Fourier-muunnos: Y(f)=H(f)U(f) ut () yt () ht () U( f ) Y( f) H( f) Vasteen y(t) spektritiheys saadaan impulssivasteen ja herätteen spektritiheyksien tulona: U( f) Y( f) Y( f) H( f) U( f) H( f) H( f) Tehonsiirtofunktio Järjestelmä suodattaa signaalia u(t) 4
Ideaaliset alipäästö-, ylipäästö- ja kaistanpäästösuodattimet Ideaalinen suodatin Päästökaistalla: A(f)=A ja (f)=ft d => Suodin ei aiheuta amplitudi ja vaihevääristymiä Estokaistalla amplitudivaste A(f)=0 => Estokaistalla oleva signaali ei näy suotimen ulostulossa lainkaan H( f ) A f arg H( f ) Päästökaista B f ELEC-A700 Signaalit ja järjestelmät 5 op ftd 5
Ideaaliset alipäästö-, ylipäästö- ja kaistanpäästösuodattimet Alipäästösuodatin H( f) A Kaistanpäästösuodatin H( f) A f f Päästökaista Päästökaista Ylipäästösuodatin Kaistanestosuodatin H( f) A H( f) A Estokaista f Estokaista f 6
Ideaalinen alipäästösuodatin Tarkastellaan ideaalista alipäästösuodinta, jonka päästökaistan leveys on B. Suodattimen siirtofunktio f H( f) rect e B rect f 0 f f i ft d H( f) Suodattimen impulssivaste h() t F H( f) BAsinc B ttd B A f 7
Ideaaliset yli- ja kaistanpäästösuodattimet Ideaalinen ylipäästösuodin H( f) A Estokaista f H( f) rect e B f i ft d h() t ( tt ) BAsincB tt d d Ideaalinen kaistanpäästösuodin H( f) f f ( ) rect c f f H f rect c e B B A f ht () BAsincBt t cos ft d c i ft d 8
Ideaalinen alipäästösuodin Alipäästösuodattimen impulssivaste u() t () t U f H( f) yt () ht () Y f H( f).5 t) t d Impulssiheräte ajanhetkellä t=0 näkyy vasteessa y(t) myös ajanhetkinä t<0 => Ideaalinen alipäästösuodin ei ole kausaalinen eikä sitä voida realisoida käytännössä Myös ideaaliset yli-, esto- ja kaistanpäästösuodattimet ovat epäkausaalisia. h(t) 0.5 0-0.5 - -.5 t=t d -/(B) - -0-8 -6-4 - 0 4 6 8 0 t t=t d +/(B) 9
8. Käytännön suodattimet
Aika- ja taajuustason rajoitukset Aikarajoitettu (Time limited signal) v( t) 0, t t t t Kaistarajoitettu signaali (Bandlimited signal) V( f) 0, f W 0 t t 0 W fc f c c Signaali ei voi olla rajoitettu sekä aika- että taajuustasossa. W f => Ei ole mahdollista tehdä suodatinta, jonka impulssivaste olisi aikatasossa rajattu ja jonka päästökaista olisi taajuustasossa rajattu t f
Käytännön suodattimet Käytännön suodattimessa Päästökaistan (passband) amplitudivaste ei ole vakio vaan sillä sallitaan A p suuruisia amplitudieroja. Päästökaistaa seuraa ylimenokaista (transition region), jolla amplitudivaste laskee nopeasti Estokaistalla (stopband) amplitudivaste valitaan sovelluksen kannalta riittävän pieneksi. A e kuvaa estokaistalle vaadittua vaimennusta päästökaistan maksimiin nähden. A e :n arvoa kutsutaan suodattimen selektiivisyydeksi. KÄYTÄNNÖN SUODATIN 0log A(f) A p -0 db -0 db A e -30 db -40 db päästökaista ylimenokaista Selektiivisyys estokaista
Päästökaista Puolentehon kaistanleveys kertoo taajuuskaistan, missä signaalin amplitudi erot A on pienempi kuin A Erot tehonsiirrossa kaistalla on tällöin enintään 3dB H( f) max H( f) f H(f) -3 db B -3 db f 3
Selektiivisyyssuhde (shape factor) Useissa käytännön sovelluksissa tavoitteena on mahdollisimman kapea ylimenokaista. Suodattimen selektiivisyys kertoo ylimenokaistan koosta Määritellään selektiivisyyssuhde (shape factor) r shape suodattimen 3dB ja -60 db kaistanleveyksien suhteena r shape B B 60dB 3dB 0log 0 A(f) -60 db päästökaista -3 db estokaista B 3dB f Aalto-yliopisto Tietoliikenne- B ja 60dB 4
Oktaaviselektiivisyys A f OS min 0log Selektiivisyys 0 A f0 0, 0log0 A 0,5f0 A f0 0log 0 A( f0 ) 0log A f 0 0 0log A f 0 0 0 f f 0 f0 5
RC-suodatin Siirtofunktio H ( f ), i f Amplitudifunktio A( f) maksimi löytyy taajuudelta f=0 Hz A(0)= f RC Puolen tehon päästökaista AB ( 3) A(0) B ( 60) 0log AB 0 60dB A(0) B3-60 db kaista 60 AB ( 60) 0 0 A(0) B60 3 3 3 6 B60 0 6 B60 0 6 0 B60 B B 6
RC-suodatin RC-suotimen selektiivisyyssuhde B 60 6 rshape 0 000 B 6 3 0 7
Kaksi RC-suodatinta sarjassa Siirtofunktio ja amplitudifunktio H ( f ), i f Valitaan aikavakio siten, että päästökaista on sama kuin edellä B3 A 0.64 RC 8
Kaksi RC-suodatinta sarjassa -60 db:n kaista AB 60 B60 B60 3 B3 Toisen asteen suodattimella saadaan huomattavasti parempi selektiivisyyssuhde, eli sen ylimenokaista on kapeampi. 60 0 0 000 000 999 B60 999 r shape 999 B B 60 999 49, 0.64 9
K. ja. kertaluvun RC suotimet Boden amplitudikäyrän approksimaatiot -3dB kaista -3dB kaista / -0 db/dec -40 db/dec -60 db => 3 dec => ¼000/ -60 db =>.5 dec => ¼ 3.6/ / 0
. ja. kertaluvun RC suotimet RC-suodatin ja kaksi RC-suodatinta sarjassa 0.64 0 Bode Diagram. asteen RC-suodatin Magnitude (db) -0-40 -60-80 -00-0 0. asteen RC-suodatin Phase (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 0 3 Frequency (rad/sec)
Käytännön suodattimet Käytännölliset lineaariset suodattimet ovat kausaalisia, ja ne esitetään usein siirtofunktion avulla H() s M M M() s Ns () s p s p... s pn sz sz... szm N N Suodattimet valitaan stabiileiksi, jolloin siirtofunktion navat N(s)=0 ovat kompleksitason vasemmassa puolitasossa. Mm Nn Jotta impulssivaste olisi reaalinen, pitää taajuustason siirtofunktion on hermiittinen *, and H f * H f H f H f H f s i f
Käytännön suodattimet Valitsemalla s-tasossa sopivat nolla- ja napayhdistelmät saadaan haluttuja ominaisuuksia omaavat suodattimet, esim. päästökaistan amplitudivääristymän suhteen (laakalatvaisuus, aaltoilu), päästökaistan kulkuaikavääristymän suhteen, estokaistan vaimennuksen suhteen, ylimenokaistan jyrkkyyden suhteen. Erilaisia suodatinperheitä, jotka määrittelevät navat ja nollat halutulle asteluvulle, on esitetty useita. Butterworth Bessel (Bessel-Thomson) Tšebyshev (Chebyshev) Elliptinen (Cauer) Gaussian Raised-cosine 3
Suodatinperheitä http://www.maximintegrated.com/app-notes/index.mvp/id/37 4
Butterworth suodartinperhe Butterworh suodattimen navat ovat :n juuria ja ne saadaan ratkaistuksi DeMoivren teoreemasta jk m m jk m m 0,,,3, 4,, - e e k m juuret ovat tasajakautuneita yksikköympyrän kehälle taajuustasossa. Jotta suodatin olisi stabiili valtaan vain navat, jotka ovat vasemmassa puolitasossa N = N =3 N = 4 N = 8 5
3. Asteen Butterworth suodin Suunnitellaan n=3 asteen Butterworth suodin, jonka kaistanleveys on W Jos m=6 saadaan, löydetään DeMoivren teoreemalla kuusi juurta jk m m jk m m e e k 0,,,3, 4,, m- 3 3 s 0, s 60 j, s3 0 j 3 3 s4 80, s5 40 j, s6 300 j Joista valitaan kolme vasemmassa puolitasossa olevaa: 3 3 p s3 j, p s4, p3 s5 j 6
3. Asteen Butterworth suodin Siirtofunktioksi tulee H s Taajuustasossa Amplitudi funktio s p s p s p s s s 3 3 * ( ) ( ) H f H f H f A( f) f 6 si f 6 f 7
3. Asteen Butterworth suodin Puolentehon kaistanleveys A( f) 6 f 6 f f Haluttu puolentehon kaistanleveys W saadaan valitsemalla s=s/w s H 3 W 3 s s s W W W 3 W 3 3 s W s W s W 8
3. Asteen Butterworth Siirtofunktioksi saadaan siis 3 W s H W s W s W s W 3 3 Tätä vastaa amplitudifunktio A( f) f W 6 9
3. Asteen Butterworth http://www.electronics-tutorials.ws/filter/filter_8.html 30
Butterworth suodartinperhe Suodattimen amplitudifunktio on A( f) f W n jossa W on suodattimen puolen tehon kaistanleveys ja n suodattimen asteluku. Amplitudifunktio on laakalatvainen, siinä ei ole aaltoilua. Laakalatvaisuus merkitsee sitä, että amplitudifunktion n ensimmäistä derivaatta saa arvon nolla taajudella f = 0. 3
Butterworth suotimet Matalilla taajuuksilla ryhmäkulkuaika on vakio, joten taajuusvääristymää ei Butterwoth suotimessa synny, jos sisäänmeno signaalin taajuuskaista << W Boden amplitudikäyrä Ryhmäkulkuaikaviive 3
Butterworth alipäästösuodattimen suunnittelu Päästökaista 0 f fp Vaadittu vahvistus Estokaista f f s Vaadittu vaimennus. Ratkaistaan vaadittu asteluku n A( f ) f W G n f W A( f) p A( f) s p p p p p p A( f ) f W G n s s s s n fs W s Gp n n log fp W Gp fp G p Gs n n f Gs fs Gs f s W p log fs pyöristetään n ylöspäin p 33
Butterworth alipäästösuodattimen suunnittelu. Ratkaistaan normalisoitu suodattimen H(s) siirtofunktio (käytännössä taulukosta tai tietokoneohjelman avulla) 3. Ratkaistaan rajataajuus W. Joko niin, että päästökaistan ehto toteutuu tarkkaan n fp A( fp) p fp W Gp W G n p. Tai niin, että estokaistan ehto toteutuu tarkkaan n A( f ) s s s fs W Gs W G n s 3. Suodattimen siirtofunktio saadaan kun sijoitetaan skaalaamalla s: s H W f 34
Esimerkki Päästökaista 0 50 Hz, vahvistus päästökaistalla > -3 db 3 0 0 A f A f p 0log ( ) 3 ( ) 0 0.7079=- 3 G 0 p 0 0.9953 3 p 0 0 Estokaista 00 Hz, vahvistus estokaistalla -30 db 30 0 0 A f A f s 0log ( ) 30 ( ) 0 0.036= G s 3 0 999 s 30 0 0 35
Asteluku Esimerkki Gp log 0.9953 log G s 999 n.498 n=3 f p 50 log log f 00 s Jos halutaan asettaa päästökaista tarkasti f p 50 W 50.0393 G n 0.9953 6 p Jos halutaan asettaa estokaista tarkasti W f 00 63.56 s 6 G n 999 s 36
Ylipäästö-, kaistanpäästö- ja kaistanestosuodattimet Alipäästösuodatin s:=s/w 0 Ylipäästösuodatin s:=w/s 0-0 -0-40 -40-60 -80 db -60 db -00-80 -0-40 -00-60 -0 0-3 0-0 - 0 0 0 0 (rad/s) Kaistanpäästösuodatin s:=(s +W c )/(B*s) 0-80 0-3 0-0 - 0 0 0 0 (rad/s) Kaistanestosuodatin s:=(s +W c )/(B*s) 0-0 -0-40 -40-60 db -60 db -80-80 -00-0 0-3 0-0 - 0 0 0 0 (rad/s) -00-0 -40 0-3 0-0 - 0 0 0 0 (rad/s) W c B kaistan keskitaajuus kaistan leveys 37
w=logspace(-3,,00); W=; Wc=; B=0; s=i*w; S(,:)=s/W; %Low-pass S(,:)=W./s; %High-pass S(3,:)=(s.^+Wc^)./(B*s); %Bandpass S(4,:)=(B*s)./(s.^+Wc^) %Third order Butterworth for k=:4 H(k,:)=./(S(k,:).^3+*S(k,:).^+3*S(k,:)+); figure(k) semilogx(w,0*log0(abs(h(k,:)))) xlabel('\omega (rad/s)') ylabel('db') end; 38
Esimerkki kaupallisesta Butterworth sudattimesta http://fi.mouser.com/images/texasinstruments/lrg/ti_soic_8.jpg 39
Tšebyshevin suodatinperhe Tšebyshev Type I -suodattimen navat saadaan kun Butterworth-suodattimen navat liikkuvat vaakasuoraan ympyrään sisäiänkirjoitetun ellipsin kehälle. Amplitudifunktio on A( f) Tn f W s=i+ N = 4 jossa on ellipsin eksentrisyys, ja on n:nnen kertaluvun tyypin I Tšebyshevin polynomi. Tn( x) xtn( x) Tn( x) T 0 ( x) T ( x) x Amplitudifunktio sisältää aaltoilun (ripple), jonka maksimi- ja minimiamplitudin suhde päästökaistalla on ra 40
Tšebyshevin suodatinperhe N kertaluvum Tšebyshevin tyypin I polynomi T T n n cos ncos x x ( x) cosh ncosh x x N parillinen (0), Tn() 0 N pariton Amplitudi funktio n parillinen A(0) n pariton AW 4
Tšebyshevin suodatinperhe Mitä suurempi aaltoilu sallitaan sitä kapeampi on ylimenokaista A( f) Tn Tn 0 f W 4
Tšebyshevin alipäästösuodattimen suunnittelu Päästökaista 0 f fp Vaadittu vahvistus Estokaista f f s Vaadittu vaimennus A( f) p A( f) s p. Aaltoilu päästökaistalla W=f p AW p G p p p G p 43
Tšebyshevin alipäästösuodattimen suunnittelu. Asteluku A( f ) s n T f W Tn fs W s n G s cosh cosh f G G s s p W s, G p s p s G G s p Asteluku määrätään estokaistan perusteella 44
Esimerkki Päästökaista 0 50 Hz, vahvistus päästökaistalla > -3 db Päästökaistan raja: W=50 Hz 0 Aaltoilu 3 0 3 0 0log AW ( ) 3 AW 0 Gp 0 0.9953 p p G p 0.9976 r A.45 0log r =.5 db 0 A 45
Esimerkki Estokaista 00 Hz, vahvistus estokaistalla -30 db 30 0log 0 0 A( fs) 30 A( fs) 0 s Gs 999 60 s 0 0 n cosh cosh Gp Gs fs W.006 Tarvitaan n=3 asteen suodatin 46
Esimerkki %Taajuusalue jolla tehonsiirtofunktion piirretään f=logspace(0,3,00); %Päästökaista fp=50; %Hz %Vaimennus päästökaistalla Lp=-3; %db %Estokaista fs=00; %Hz %Vaimennus estokaistalla Ls=-30; %db Gp=0^(-Lp/0)-; Gs=0^(-Ls/0)-; %Butterworth nb=ceil(/*log(gp/gs)/log(fp/fs)); %Päästökaista tarkasti WB=fp/Gp^(/(*nB)); AB=./sqrt(+(f/WB).^(*nB)); %Estokaista tarkasti WB=fs/Gs^(/(*nB)); AB=./sqrt(+(f/WB).^(*nB)); %Chebysev WC=fp; e=sqrt(gp); nc=ceil(acosh(sqrt(gs/gp))/acosh(fs/wc)); %Ratkaistaan Chebysev polynomi x=f/wc; T(,:)=ones(size(x)); %T0 T(,:)=x; %T for n=3:(nc+) T(n,:)=*x.*T(n-,:)-T(n-,:); end; 0log 0 A(f) (db) 0-0 -0-30 -40-50 -60-70 -80 Butterworth (Päästökaista) -90 Butterworth (Estokaista) Chebysev (Tyyppi ) -00 0 0 0 0 0 3 f (Hz) AC=./sqrt(+e^*T(nC+,:).^); %Piirretään tehonsiirtofunktiot semilogx(f,0*log0(ab),f,0*log0(ab),f,0*log0(ac),f,-3*ones(size(f)),'k:',f,-30*ones(size(f)),'k:',[fp fp],[-00 0],'k:', [fs fs],[-00 0],'k:') legend('butterworth (Päästökaista)','Butterworth (Estokaista)','Chebysev (Tyyppi )',3) xlabel('f (Hz)') ylabel('0log_{0}a(f) (db)') 47
Transversaalisuodattimet Approksimoidaan suodatinta suoraan sen impulssivasteesta lähtien. Näytteistetään impulssivaste N:llä näytteellä N h ( t) h( kt ) t kt s k0 Taajuusvaste N H( f) hkte ( ) s k0 i fkt 48
Transversaalisuodattimet Suodatinta vastaa viivästysalkioista koostuva viivelinja ja jokaisen viivealkion jälkeen on väliulosotto, jossa viivästetty tulosignaali kerrotaan kertoimella h k. Väliulosottoja kutsutaan tapeiksi ja kertoimia kutsutaan tappikertoimiki. Kun tappikertoimet ovat riittävän tiheästi (näytteenottoteoreema) ja riittävän monta voidaan approksimoida mitä tahansa impulssivaste. Koska suuria tappimääriä on vaikea rakentaa, on käytettävä sopivia ikkunafunktioita katkaisun aiheuttaman spektri levenemisen lieventämiseksi. Käytännön toteutus esim. käyttäen digitaalista FIR-suodinta 49
Transversaalisuodattimet 50
7.3 Pulssin suodattaminen, askelvaste
Pulssin suodattaminen Pulssi-muotoinen signaali sisältää korkeita taajuuksia, jotka suodattuvat alipäästösuodattimessa. Pulssin kulkua suodattimen läpi kuvaa nousuaika (rise time) ja ylitys (overshoot) ja asettumisaika (settiling time) H(f) 5
Askelvaste Askelvaste kertoo järjestelmän vasteen askelmaiselle herätteelle x x(t) y(t) 53
Askelvaste Askelvasteen käyttäytymistä kuvataan seuraavilla suureilla t d = kuollut aika, viive y f = lopputila x = askeleen korkeus e = pysyvä poikkeama (e = x y f ) t r = nousuaika (tavallisimmin määritetty ajaksi, joka kuluu, kun vaste nousee arvosta 0.y f arvoon 0.9y f ). t = värähtelyn jaksonaika t s = asettumisaika (tavallisimmin määritetty ajaksi, jonka jälkeen vaste pysyy putken y f ± % tai y f ± 5% sisällä vastaavat termit ovat kahden ja viiden prosentin asettumisajat) t p = vastehuipun aika (peak time) o = ylitys (overshoot) d = vaimennuskerroin 54
Pulssin suodattaminen Jotta pulssi perättäiset pulssit voitaisiin erottaa toisistaan, pitää suodattimen kaistanleveys olla selvästi suurempi kuin pulssin puolentehon kaistanleveys B >> /T Jos pelkkä pulssin amplitudin havaitseminen riittää, selvitään pienemmällä kaistanleveydellä B /(T) Jos pulssille halutaan tietty nousuaika, vaaditaan B /(t r ) 55
3. Asteen Butterworth Tarkastellaan T= pituisen pulssin suodatusta. W=5 0.8 W= W=0.5 0.6 0.4 0. W=0. 0-0. 0 3 4 5 6 7 8 9 0 56
Nousuaika 3. Asteen Butterworth 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8..4 W=/T W=5/T W=/(T) 57