Lueno Soasisen prosessin ehosperi Saunnaissignaalin suodaus 5..7 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan araseluajanheien välisä * { } ( ) φ (, ) = E x( ) x ( + ) = φ Ergodisuus: ilasollise ominaisuude voidaan määrää ysiäisesä realisaaiosa. => Aiaesiarvo vasaa oleusarvoa. lim x( d ) = E{ x ( )} = mx Ergodisen signaalin esimääräinen eho * lim x ( ) d E{ xx ( ) ( ) } () = = φ 5..7
Soasisen prosessin ehosperi Saionaarisen soasisen prosessin orrelaaiounion Fourier muunnos iπ e d iπ xy e d ( ) = φ ( ) ( ) = φ ( ) xy Kääneismuunnos x:n ehosperi x:n ja y:n risiehosperi φ ( ) = ( ) e φ ( ) = ( ) e xy xy iπ iπ d d x:n auoorrelaaio x:n ja y:n risiorrelaaio 5..7 3 Soasisen prosessin ehosperi Reaaliselle prosessille x () auoorrelaaio on symmerinen ja reaalinen φ = φ ( ) ( ) ehosperi on symmerinen, reaalinen ja einegaiivinen ( ) = ( ) + Jos asi soasisa prosessia x ja y ova orogonaaleja φxy ( ) = xy ( ) = ällöin prosessille z = x+ y päee φ = φ + φ ( ) ( ) ( ) zz yy ( ) = ( ) + ( ) zz yy 5..7 4
Esimeri Esimeri: Valoisen ohinan aiaesiarvo x () = zd () σ E { x ( )} = E { z ( )} d = + φ( ) = E { x( x ) ( + ) } = E { z ( ) z ( )} dd + + = ( ) dd σδ + ( ) σ σ = d = {, } { +, + } muuoin φ ( ) - 5..7 5 + + Esimeri Kesiarvoiseun ohinan auoorrelaaiounio σ ( ) φ( ) = > Fourier muunnos Kolmiopulssi aiaasossa ( ) A s () = > Fourier muunnos ( ) S( ) = Asinc = ehosperi σ ( ) = sinc ( ) Speriiheys 4 ( ) S( ) = A sinc 5..7 6 3
Esimeri Kolmiopulssi A - ( ) A s () = > Kolmiopulssin aiaderivaaa A/ d A + () A s = Π Π d - -A Π () = > 5..7 7 Esimeri Fourier muunneaan aiaderivaaa d A + () A s = Π Π d F AΠ = Asinc( ) i { } = π F s ( ) e S( ) d F s( ) = Asinc( ) e Asinc( ) e d = iasinc sin ( ) ( ) i i s():n Fourier-muunnos saadaan ny inegroimiseinon avulla n = n pl d iasinc( ) sin ( ) S( ) = F s( ) = = Asinc ( ) π π i d i F... s( ) d... d S( ) n ( iπ ) 5..7 8 4
Soasinen raja-arvo Soasinen prosessi on jauva lähes aiilla realisaaioilla (almos all oucomes), jos lim ε x( + ε ) = x( ) Pr{ lim ε x ( + ε ) x ( )} = Soasinen prosessi on jauva odousarvon mielessä (mean sense, m.s.) jos lim {( ) ε E x( + ε ) x( ) } = ällöin myös { ε } E{ x} lim ε E x ( + ) = ( ) 5..7 9 Soasinen raja-arvo arasellaan saionaarisa soasisa prosessia jona auoorrelaaio unio on jauva lim ε φ ( + ε ) = φ ( ) Prosessi on m.s. jauva jos sen auoorrelaaiounio on jauva {( ε ) } lim ε E x( + ) x( ) = {( ( + ε ) ( ) ) } = { ( + ε ) } { ( + ε ) ( ) } + { ( ) } = φ ( ) φ ( ε) + φ ( ) = φ ( ) φ ( ε), ε E x x E x E x x E x 5..7 5
Soasinen derivaaa Derivaaa voidaan määriellään m.s. jauvalle prosessille dx() x( + ε ) x() x'( ) = = limε = d ε Risiorrelaaio x ( + ε ) x ( ) φ ' (, ) = E{ x'( ) x( ) } = E x( ) ε x ( + ε ) x ( ) x ( ) x ( ) φ( + ε, ) φ (, ) d = E = φ(, ) ε ε d Risiorrelaaio x ( + ε ) x ( ) φ' (, ) = E{ x( ) x'( ) } = E x( ) ε x ( ) x ( + ε ) x ( ) x ( ) φ(, + ε) φ(, ) d = E = φ(, ) ε ε d 5..7 Soasinen derivaaa Auoorrelaaio x( + ε) x( ) x( + ε) x'( ) x( ) x'( ) φ ' '(, ) = E x'( ) = E ε ε φ ( + ε, ) φ (, ) d d (, ) (, ) ' ' = φ' = φ ε d dd Saionäärisen prosessin apausessa d φ ( ) = φ (, + ) = φ ( ) ' ' ' ' dd d d = φ( ) = φ ( ) d d d = 5..7 6
Inegraali s = xd (). Momeni Soasinen inegraali m.s. olemassa, jos Δ E s x( ) Δ Δ, Δ = Oleusarvo {} { } E s = E x() d = η () d { } { } x E s = E x( ) x( ) d d = φ (, ) dd 5..7 3 Soasisen prosessin ehosperi Prosessi auoorrelaaio - ehosperi x () ( ) ( ) x() φ = φ ( ) = ( ) φ ( ) ( ) ( ) ( ) φ ax() a a d d x() φ π d d n n d d x() φ n n π d d xe e ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) π ( ) ( ) i c i c () ± π φ ± c 5..7 4 7
Soasisen prosessin ehosperi ehosperin ulina i π * ( ) = ( ) e d = E x( ) x ( + ) { } φ () = ( ) d = E x( ) { } φ Wiener-Khinchin eoreema ehosperin pina-ala vasaa signaalin esimääräinen ehoa ( ) Signaalin :aajuisen omponenin esimääräinen eho 5..7 5 Valoinen ohina φ ( ) ( ) σ Valoisen ohinan energia on asajaauunu aiille aajuusille. φ ( ) = σ δ( ) ( ) = σ 5..7 6 8
Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä x() h() ( ) y () = h( ) x d = h () x () Risiorrelaaio yx * * ( ) = E{ yx () ( + )} = E{ y (' + ) x(') } φ = + * E h( λ) x( ' λ) x ( ') d * { } = h( λ) E x( ' + λ) x ( ') d h( λφ ) ( λ) d = h( ) φ ( ) Lineaarinen syseemi onvoluuioinegraali 5..7 7 Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä Auoorrelaaio yy * * ( ) = E{ y ( ) y( + )} = E{ y ( + ) y( ) } φ = + * * E y() h ( λ) x (' λ) d * { } = h( λ) E y( ) x ( ' + λ) d h( λφ ) ( λ) d = h( ) φ ( ) yx yx 5..7 8 9
Suodaimen ehosperi Konvoluuioa -asossa vasaa erolasu -asossa, joen ( ) = H( ) ( ) yx = * yy ( ) H ( ) yx ( ) ( ) = H( ) ( ) yy Wiener-Khinchine eoreema 5..7 9 Kohinan suodaaminen ( ) H ( ) yy ( ) ( ) = H( ) ( ) yy 5..7
Soasise diereniaaliyhälö arasellaan diereniaaliyhälöä n n d d a y() = b x() d = d = missä x() on join soasinen prosessi, jona ehosperi on ( ) Raaisaan diereniaaliyhälön impulssivaseen Fourier muunnos x() = δ () n m a ( i π ) Y( ) = b ( i π ) X( ) Fourier muunneaan ise = = diereniaaliyhälö m b ( i ) Y( ) π = H( ) = = n X( ) = impulssin apausessa. X( ) a ( iπ ) = ehosperi m m ( ) ( ) b iπ b iπ = = yy ( ) = H( ) ( ) = ( ) n n a ( iπ ) a ( iπ ) 5..7 = = Esimeri. RC-suodain in () ~ i () R u C u () ou d i () = C uou () d u () = Ri() + u () in ou Impulssivase d h () = ( δ () h ()) d RC i π H( ) = H( ) RC H( ) = RC iπ RC ( ) d u ou () = u in() u ou () d RC ( ) ehosperi H( ) = = + + + + i π RC i π RC ( π RC) 5..7
Esimeri. RC-suodain Lähösignaaliin muodosuu jännieläheen muodosamasa signaalisa ja ermisesä ohinasa u in () = e() + x() ( ) = N E { x() } = U e () = Ucos( π ) ee( ) = E( ) = ( δ ( + ) + δ ( ) ) 4 U E( ) = ( δ ( + ) + δ ( ) ) Ulosulo muodosuu ahdesa signaalisa * * ou ( ) = ( λ) ( λ) λ+ ( λ) ( λ) λ = ( ) + ( ) u e h d x h d y z y z 5..7 3 Esimeri. RC-suodain Ulosulosignaalin auoorrelaaio * * ( ) E{ z y } E{ z } E{ y } * * ( ) E{ y z } E{ y } E{ z } φ = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) = zy φ = ( + ) ( ) = ( + ) ( ) = yz * E z() E x( ) h ( ) d { } = { } λ λ λ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) φ φ φ φ φ φ φ uu yy zu zy zz yy zz Risiermi menevä nollaan, osa signaali y ja z orogonaalise Ulosulon ehosperi ( ) ( ) = H( ) E( ) + ( ) uu = H( ) ( δ ( + ) + δ ( )) + N H( ) 4 5..7 4
RC-suodain RC-Suodaimen ehosperi Hyöysignaali - - SNR Kohina -3-4 -5-6 -7-5 -4-3 - - 5..7 5 Signaali-ohina suhde arasellaan anaaajuisen signaalin x() siiroa addiiivinen Gaussinen (AWGN) anavan yli Signaalin aisanleveys on B x Signaalin eho on P x =A (A sini-muooisen signaalin ampliudi) Kanavan vaimennus on /L Signaaliin x() summauuu valoisa ohinaa z(), jona ehoiheys on N W/Hz z() x() + + g x L g Rx r() 5..7 6 3
Kohinan ehoiheys Signaali-ohina suhde N N N = N = 4 i W/Hz N Kohinan lämpöila (. ) Nominaali lämpöila 5..7 7 Signaali-ohina suhde Vasaanoeu signaali grxgx r () = x () + grxz () L Signaaliohinasuhde: grxg x E x() g g g L SNR = = L = L E g z grx NB NB { Rx () } Rx x x A A Vahvisin vasaanoimessa vaiuaa seä signaaliin, eä ohinaan 5..7 8 4
Speraaliaoroini ehosperiä yy ( ) = H( ) ( ) vasaa asi erilaisa prosessia. oisessa suodaimena on H( ) ja oisessa H * ( ). Molemmilla on sama ilasollise ominaisuude. Esimeri yy ( ) = ( ) + ( π ) H( ) = h( ) = e + iπ ( ) ( ) iπ * H = h = e Sabiili IIR (Ininie Impulse Response) suodin Epäsabiili IIR suodin 5..7 9 Disreeiaiaisen prosessin ehosperi arasellaan prosessia ( ) x() = Iδ = missä I on join disreeiaiainen soasinen prosessi x () = Iδ ( ) = { } δ ( ) E II l l+ = φ ( ) = E{ x() x( + ) } = muuoin ( ) φii = φ ( ) = E{ x() x( + ) } = muuoin ( ) ( ) i ( ) e π π φ d φii e = = = Disreei Fourier muunnos 5..7 3 5
Moduloiu biisevenssi { } I Voidaan ulia onvoluuiosi ehosperi g( ) s() = I g( ) = Disreein sevenssin moduloini ( ) x() = Iδ = s() = x g() = I δ g d = I g( ) = ( ) = G( ) ( ) ss ( ) ( ) = 5..7 3 Sylosaionäärisen prosessin ehospei Sylosaionäärisen prosessin φ( + +, + ) = φ ( +, ) esimääräinen auoorrelaaio φ ( ) = φ ( +, ) d ehosperi iπ = e d ( ) φ ( ) Kesimääräinen eho P= φ () = ( ) d 5..7 3 6
Lähein Lineaarinen ampliudi modulaaio g() I cos ( π ) c h () s() g () = muuoin Kanavoinisuodain G( ) = sinc ( ) ss ( ) = H( ) G( + c) + G( c ) II ( ) Jos symboli I { ± } oisisaan riippumaomia saunnaismuuujia, II ( ) = Jos anavoinisuodaina ei äyeä H( ) = 5..7 33 Kanavaoodaus Prosessoidaan läheeävää biijonoa ( ), Y = Y + I ± ±, ulina x() = I δ ( ) = Suodain Q() Σ.5 y () Q( ) = e iπ Viive ehosperi YY ( ) = Q( ) II ( ) Eli äsielemällä läheeävää biijonoa (oodaamalla) voidaan vaiuaa myös ehosperiin. 5..7 34 7
-5 Moduloidun signaalin speri Koodaamalla aisa apenee, mua samalla myös siirreävän inormaaion määrä vähenee samassa suheessa. 5. asoinen AM moduloini -3 db - -5 - -5 G() G(4*) G() Q() -3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 5..7 35 Moduloidun signaalin speri Miä pehmeämmin signaali muuu ajassa, siä apeammalle aisalle signaalin energia on jaauunu. - -4-6 -8 - - -4-6 G() -8 4* G(4*) G() Q() - - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 5..7 36 8
Kaisarajoieu anava Pulssimuooisen moduloinimeneelmien ongelmana on niiden sperin leveys, eli naapuriaisalle vuoavan ehon suuri määrä. Kaisan rajoiamisesi äyeään anavoini suodaimia. Kohina z () Modulaaori s() Kanavoinisuodin h() Σ Kanava Kanavoinisuodin r () h*(-) Demodulaaori rr ( ) X( ) S( ) H( ) ( ) = + X( ) = H( ) zz 5..7 37 Lineaarinen regulaaori Sääöeniiaa... Prosessihäiriö z () Säädin C() u () Prosessi G() Σ y () C( ) G( ) yy ( ) = zz ( ) + C( ) G( ) Neliöllinen sääövirhe Minimivarianssisääö E{ y () } = yy () min C C( G) yy() C( G) Prosessin G sabiloivien säädinen jouo C( ) G( ) iπ 5..7 CG ( ) = C( ): e d < 38 + C( ) G( ) 9