Elementtimenetelmän persteet. RISTIORAENTEET. Asiaalinen raenne Asiaalinen raenne oost soralla perääin olevista savoista van. maisesti. Asiaalinen raenne ei ole yleinen sovellsissa,, A, E, A, E, A, E va. Asiaalinen raenne. mtta elementtimenetelmän teoria on tässä tapasessa ysinertaisimmillaan, joten siitä annattaa aloittaa. Asiaalisen raenteen yhteydessä elementtimenetelmän persajatset tlevat esiin mahdollisimman pelistetyssä modossa, jolloin ne on helppo omasa ja yleistys mtiaampiin raenteisiin sj paremmin... Asiaalisen elementin jäyyysmatriisi van. savan ormitsen ja pitdenmtosen välinen yhteys on EA (.) va. Savan jäyyys. e, E, A jossa on savan pits, A poiileiasen ala ja E immomodli. Sava voidaan siis tlita josesi, jona josivaio on EA /. n sava on elementtiveron elementtinä, voivat sen molemmat päät siirtyä, ten vassa. on esitetty. leistetään jäyyyden äsite osemaan tätä tilannetta. Elementin asiaalisesta tasapainosta seraa va. Savaelementti. (.) Toisaalta savan pitden mtoselle on voimassa Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet. Δ (.) EA aavojen (.) ja (.) maan on siis (.) tai lyhyemmin irjoitettna {} [ ]{ } (.5) jossa {} { } on elementin solmvoimavetori ja { } { } solmsiirtymävetori seä EA [ ] (.6) asiaalisen savaelementin jäyyysmatriisi. Solmvoimavetorin omponenteista saadaan normaalivoima elementin päissä, sillä N ja N. Normaalivoimaa ei annata äyttää solmsreena, sillä systemaattisen äsittelyn annalta on parasta valita sreiden positiivinen snta samasi eli solmvoima on oiealle positiivinen mmassain solmssa. vassa. on asiaalisen savaelementin vasta. ysinertaistett solmmittas-piirros, jossa elementti on piirretty lepotilannetta vastaavaan asemaan. vassa on solmt ja, jota ovat elementin alsolm ja loppsolm. Ne määräävät elementin y-paiallisoordinaatiston eli loaalioordinaatiston. isäsi vassa on nolisymboleina solmmittaseen äytetyt sreet eli elementin vapasasteet. Ne va. Asiaalinen elementti. ilmaisevat solmmittaseen äytetyt voima- ja siirtymäsreet seä näiden positiiviset snnat. Edellä johdett savaelementin solmvoimavetori, solmsiirtymävetori ja jäyyysmatriisi liittyvät jri van. solmmittasjärjestelmään. Jos solmmittas valitaan toisin, mttvat nämä sreet. Elementtien jäyyysmatriisien määrityseen tarvitaan mahdollisimman tehoaita menetelmiä. Edellä tltiin toimeen persljsopilla, mtta se ei aina riitä. Mtaman erran voidaan hyödyntää yössiirtymämenetelmää, joten ttsttaan siihen johta- Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet. malla jäyyysmatriisin (.6) lasee destaan. Oletetaan, että elementille paotetaan solmsiirtymävetori { } { } van.5 maisesti. Tähän tarvitaan solmvoimat, jota voidaan rataista elementin persyhtälöstä (.5). n meritään tntemattomia jäyyysmatriisin alioita ij, i, j,, saadaan tlos va.5 össiirtymä. jona maan tarvittava solmvoimavetori on jäyyysmatriisin ensimmäinen sarae. van.5 persteella on EA /. Paottamalla solmsiirtymävetorisi { } { } saadaan jäyyysmatriisin toinen sarae tähän tarvittavista solmvoimaomponenteista. Jäyyysmatriisilla (.6) on aiille jäyyysmatriiseille tyypillisiä ominaissia jäyyysmatriisi on symmetrinen eli [ ] [ ] T lävistäjäaliot ovat aidosti positiivisia eli ii >, i, elementillä on vapasasteillaan jäyän appaleen liiemahdolliss (translaatio -snnassa), josta johten jäyyysmatriisi on singlaarinen, jolloin det [ ] ja siis [ ] ei ole olemassa. van. elementin asiaalista jäyän appaleen liiettä vastaava tasapainoehto on (.7) van.5 perstella jäyyysmatriisin ensimmäisen saraeen aliot totettavat yhtälön (.7). Myös jäyyysmatriisin toisen saraeen aliot totettavat sen. On siis voimassa (.8) Jäyyysmatriisin symmetriasta seraa, että myös sen vaaarivien aliot totettavat tasapainoyhtälön (.7). Edellä esitetty on myös yleisesti voimassa, tietyn elementin jäyyysmatriisin rivien ja saraeiden aliot totettavat elementin jäyän appaleen liiemahdollissia vastaavat tasapainoehdot. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet... Sijoittelsmmas Tarastellaan van.6 (a) asiaalista raennetta. vassa.6 (b) on sen elementtivero. Elementtiveron vassa on esitetty solmjen vapasasteet, mtta ei tia ja ormitsia. Elementtiverossa on olme elementtiä ja neljä solma, joiden globaalit,a, E,A, E,A, E va.6 Asiaalinen raenne ja sen elementtivero. solmnmerot ovat vassa. Elementtien josivaiot ovat i EiAi /i, i,,. osa elementtiormitsia ei ole, on van.6 (b) elementtiveron persyhtälö [ ]{ } { } (.9) jossa { } on elementtiveron solmsiirtymävetori ja { } solmormitsvetori seä [ ] näitä vastaava elementtiveron jäyyysmatriisi. osa elementtiverolla on neljä vapasastetta, yhtälö (.9) on ai irjoitettna (.) Elementtiveron jäyyysmatriisin määrityseen ei vielä ole esitetty yössiirtymämenetelmää tehoaampaa einoa, joten äytetään sitä matriisin [ ] saraeiden määrityseen. vassa.7 on raenteella siirtymävetori { } { } ja tä-. osa solmt, hän tarvittava solmormitsvetori { } { } ja eivät lii, pysyvät elementtien ja pitdet ennallaan, joten niiden normaalivoimat ovat nollia. Tästä seraa, että tireatiot ja ovat nollia. isäsi on ja asiaalisen tasapainon persteella. Jäyyysmatriisin [ ] ensimmäinen sarae on siis { }. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.5 vassa.8 raenteella on siirtymävetori { } { } tarvitaan solmormitsvetori { } { }, jona syntymiseen. osa elementin pits ei mt, on sen normaalivoima nolla, joten. van.8 (b) persteella, ja, joten jäyyysmatriisin [ ] toinen sarae. on { } va.7 össiirtymä { } { }. Samalla periaatteella saadaan matriisin [ ] olmas ja neljäs sarae ja ne ovat { } ja { }. Jäyyysmatriisisi [ ] tlee va.8 össiirtymä { } { }. [ ] (.) Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.6 Jäyyysmatriisissa (.) näyy selvästi nin elementin, ja vaitset globaalisolmnmeroidensa maisilla aleilla. Tlos voidaan tlita elementtien jäyyysmatriisien sijoittelsmmasesi. Tämä taroittaa sitä, että nin elementin jäyyysmatriisin aliot sijoitetaan oonaisjäyyysmatriisiin [ ] elementin globaalisolmnmeroiden maisiin paioihin lasien samaan paiaan tlevat aliot yhteen. Esimerisi elementin jäyyysmatriisin aliot sijoittelsmmataan matriisiin [ ] van (.9) maisesti. n elementin jäyyysmatriisi on irjoitett, globaalinmerot meritään sen ala- ja oiealle polelle vassa.9 esitetyllä tavalla. Silloin nin alion osoite oonaisjäyyysmatriisissa on välittömästi nähtävissä. va.9 Jäyyysmatriisin [ ] sijoittelsmmas. Sijoittelsmmasta voidaan soveltaa yleisesti aien tyyppisille elementeille raenteen jäyyysmatriisia modostettaessa. Soveltamisen edellytysenä on itenin, että elementin loaalin ja elementtiveron globaalin solmmittasien snnat ovat samat. Jos näin ei ole, on elementin jäyyysmatriisiin sovellettava vielä ennen sijoittelsmmasta oordinaatiston iertoa, ten myöhemmin tlee esille. Sijoittelsmmasen symbolina äytetään merintää " ", joten lasee M [ ] " " [ ] e (.) e taroittaa, että elementtiveron jäyyysmatriisi modostetaan sijoittelsmmaamalla M appaletta elementtien jäyyysmatriiseja. Tlosesta (.) näyy, että saat jäyyysmatriisi on symmetrinen ja sen päälävistäjäaliot ovat positiivisia. Matriisi [ ] on singlaarinen, sillä van.6 (b) solmmittasjärjestelmään sisältyy asiaalinen jäyän appaleen liiemahdolliss, jota vastaava tasapainoyhtälö on (.) Matriisin (.) saraeiden ja rivien aliot totettavat tämän yhtälön. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.7 Ristioraenteet Matti ähteenmäi Elementtiveron persyhtälössä (.) on oiealla polella solmormitsvetori { }, joa sisältää solmihin vaittavat annett ormitset ja tntemattomat tireatiot. Tässä tapasessa on van.6 (a) persteella { } { } (.) jossa ja ovat tntemattomia tireatioita. Solmsiirtymävetorista { } tnnetaan tiomponentit ja. Ne ovat nollia, jos tet ovat siirtymättömiä tai annetn srisia paosiirtymiä. Persyhtälö (.9) on ai irjoitettna (.5) htälössä (.5) on solmsiirtymä- ja solmormitsvetorissa tnnett omponentit lihavoit. Ryhmää (.5) ei voi rataista ääntämällä erroinmatriisi, sillä se on singlaarinen. isäsi tntemattomia esiintyy myös yhtälöryhmän oiealla polella. Ratais saadaan esimerisi niin, että otetaan ryhmästä (.5) vapaita solmsiirtymiä ja vastaavat yhtälöt, jolloin saadaan ) ( ) ( (.6) eli matriisimotoon irjoitettna (.7) joa voidaan rataista ääntämällä erroinmatriisi. n ja on rataist, saadaan tireatiot ja ryhmän (.5) ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä eli (.8) Edellä esitetty jäyyysyhtälön rataismenetelmä on tehoton, joten EM-ohjelmistoissa se on orvatt tehoaammilla menetelmillä.
Elementtimenetelmän persteet.8.. Vapaat solmsiirtymät veron vapasasteina Vaia elementtimenetelmää ei ole ajatelt äsilasmenetelmäsi, on teorian havainnollistamisesi hyvä äsitellä pieniä malleja ilman tietoonetta. Tisiirtymien ollessa nollia voidaan lasentatyötä vähentää jättämällä tivapasasteet alvaiheessa pois elementtiveron solmmittasesta, jolloin sijoittelsmmas johtaa soraan vapaiden solmsiirtymien yhtälöryhmään. Tntemattomat tireatiot voidaan siirtymien rataisemisen jäleen lasea elementin persyhtälön avlla. vassa. on edellä tarastelt elementtivero, jossa solmsiirtymät solmissa ja on varstett vapasastenmeroilla ja seä iinteisi oletetissa tisolmissa ja on yhteinen vapasaste merinä siitä, että nämä jätetään alvaiheessa lasennasta pois. van. veron jäyyysyhtälö voidaan modostaa tavanomaisesti sijoittelsmmasella elementtien jäyyysmatriiseista jättäen homioonottamatta ne aliot, joiden osoitteessa esiintyy vapasaste. va. Vapaat solmsiirtymät. Modostetaan elementtien jäyyysmatriisit ja varstetaan ne osoitenmeroilla [ ] [ ] [ ] (.9) Jäyyysmatriiseissa on sijoittelsmmaseen osallistvat aliot lihavoit. n sijoittelsmmas soritetaan näillä alioilla, saadaan elementtiveron persyhtälösi (.) josta näyy, että yhtälöön (.7) päästään tällä teniialla soraan. Tloseen (.7) päästään myös, n ryhmästä (.5) pyyhitään pois tettja solmmittasia ja vastaavat rivit ja saraeet. Pelien vapaiden solmsiirtymien äyttö vapasasteina onnist vain, n tisiirtymät ovat nollia. Nollasta poieavien tisiirtymien äsittely edellyttää niihin liittyvien vapasasteiden ottamista maan solmmittaseen. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.9.. Tntemattomien sreiden rataiseminen Elementtiveron solmsiirtymävetori rateaa veron persyhtälöstä [ ]{ } { }. Solmsiirtymävetorista { } voidaan poimia minä tahansa elementin solmsiirtymävetori { } e, josta voidaan lasea elementin persyhtälön { } e [ ] e { } e avlla solmvoimavetori {} e. n solmsreet tnnetaan, voidaan tntemattomat sreet elementin aleessa lasea niistä. Johdetaan aava mielivaltaisen poiileiasen siirtymälle (). inemaattisen yhtälön ja Hooen lain persteella saadaan d σ ε (.) d E va. enttäsreiden määritys. van. ja yhtälön (.) persteella on E σ ( ) (.) A () aavoista (.) ja (.) seraa d ( ) d ( ) d () ( ) d Siirtymälle () tlee edellä olevasta lasee () N() N() (.) eli siirtymä () saadaan lineaarisella interpoloinnilla solmarvoistaan ja interpolointintioiden ollessa () N () (.) N Tässä tapasessa tara siirtymäratais elementin aleessa löytyy ja se on sama in lineaarisella interpoloinnilla saatava ratais. Siirtymää (.) vastaavat venymä ε ja jännitys σ ovat d dn dn E ε ( ) σ Eε ( ) (.) d d d Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet...5 Evivalenttiset solmormitset leisessä tapasessa ormitsia voi olla myös elementin aleessa. Solmjen lopolella olevia ormitsia sanotaan elementtiormitsisi. Niiden vaits voidaan ottaa homioon evivalenttisten solmormitsten avlla. Evivalenttisilla solmormitsilla {} r taroitetaan sellaisia solmormitsia, jota aihettavat raenteelle samat solmsiirtymät { } in yseessä oleva elementtiormits. R S R S r r R r r S va. Evivalenttiset solmormitset. Evivalenttisten solmormitsten laseeet saadaan yhteenlasperiaatteella. Tarastellaan van. asiaalisen raenteen elementtiä e, jona solmjen ja globaalinmerot ovat R ja S. Ttittava tilanne (a) on jaett ahteen osatapaseen (b) ja (). Tapas (b) sisältää elementtiormitsen ja sen solmsiirtymät on estetty. Tällöin elementin päihin syntyvät tireatiot r ja r. Tapas () sisältää solmormitset R ja S solmsiirtymien ollessa todelliset tapasen (a) maiset. Solmormitsiin tarvitaan tapasessa () lisäyset, jota ovat jri evivalenttiset solmormitset r ja r. hteenlasperiaate (a) (b) () totet jos ja vain jos r r ja r r (.5) Nähdään, että evivalenttiset solmormitset ovat elementtiormitsista syntyvien tireatioiden vastasreet, n solmmittasen maisten siirtymien syntyminen on estetty. Päättely pätee minä tyyppiselle elementille ja elementtiormitselle tahansa, n vain yhteenlasperiaate on voimassa. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet. Elementtiormitsten ollessa mana, mtt solmvoimavetorin { } lasaava (.5) toiseen motoon. van. () maan { } sisältää solmsiirtymävetorista { } johtvan osden [ ]{ }, mtta yhteenlasperiaatteesta seraa, että tähän on lisättävä van. (b) tireatioiden vetori { r} { r r } {} r {} [ ]{ } {} r [ ]{ } { r}. (.6) Elementtiormitset otetaan homioon lisäämällä solmormitsvetoriin { } evivalenttiset solmormitset. Tämä voidaan tehdä siten, että llein elementtiormitsen alaiselle elementille lasetaan loaalinmeroinnin mainen evivalenttinen solmormitsvetori { r} e { r} e nmeroinnin maisiin paioihin vetoriin { }, joa sitten sijoittelsmmataan globaali-. Näin saadaan elementtiveron oonaisormitsvetori, jona lasee on M { } { } " " { r} e e R (.7) leinen elementtiveron jäyyysyhtälö on siis motoa [ ]{ } { R} (.8) vassa.5 on mtaman tavallisen elementtiormitstapasten tireatiot { r }. Niistä saadaan etmeriä vaihtamalla evivalenttiset solmormitset { r } q q b a EAΔT ΔT EAΔT EA δ EA δ δ va. Asiaalisen elementin tireatioita { r }. on rataist, voidaan modostaa elementtien solm- aavasta (.6). Tntematto- n persyhtälö [ ] { } { R} siirtymävetorit { } ja lasea solmvoimavetorit { } mat sreet elementin aleessa saadaan näiden vetoreiden avlla. asennassa on otettava homioon myös elementtiormitsten vaits van. (b) maisesti. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.. Tasoristio.. leistä ristioraenteista Ristioraenne on ljsopin lasentamalli, joa oost vain vetoa ja priststa estävistä savoista. Nämä liittyvät tipisteisiin ja toisiinsa itattomilla nivelillä. Jos ristioraenteen savat ovat samassa tasossa, on se tasoristio, mtta mten avarsristio. Raennetyyppinä ristioraenne on viivaraenne, sillä sitä äytettäessä todellisen raenteen geometria mallinnetaan savojen pintaesiöviivoilla, jota liittyvät toisiinsa ja tiin nivelien ohdilla. leensä ristion savat ovat tasapasja, jolloin poiipintasreista tarvitaan vain nin savan poiileiasen pinta-ala. Oletsista seraa, että ristion ineettinen ormits voi oosta lähinnä niveliin ohdistvista pistevoimista ja inemaattinen ormits tien translaatiosiirtymistä. Savoihin ohdistvia ormitsia ovat lämpötilan mtos, esijännitys ja esivenymä. Tasoristion ormitsten on oltava sen omassa tasossa. asennan tlosena saadaan savojen normaalivoimat ja normaalijännityset seä nivelien siirtymät. Ristioraenne voidaan rataista tarasti elementtimenetelmällä äyttämällä elementtiveroa, jossa solmt sijaitsevat nivelien ohdilla ja elementit ovat niiden välille jäävät savat. Ristion elementit ovat asisolmisia savaelementtejä, eivätä tässä shteessa eroa edellä tarastellsta asiaalisesta elementistä. Asiaalista elementtiä ei itenaan voi sellaisenaan äyttää ristioraenteiden rataisn, sillä solmmittas on soritettava toisella tavalla... Tasoristion elementtivero van.5 maisen asiaalisen savaelementin äyttö on mahdollista vain, jos elementtiveron aii savaelementit ovat samansntaiset. Tasoristiolla näin ei ole, sillä elementtiveron solmn liittyy aina vähintään asi erisntaista elementtiä. Esimerisi vassa. olevan tasoristion elementtiveron solmn 6 liittyy asi 7 8 5 6 8 6 9 y 6 5 5 7 y 6 5 6 va. Tasoristion elementtivero ja sen elementti. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet. vaaasntaista, vinossa asennossa oleva ja pystysora elementti. osa solmsreiden mittasta ei voida valita elementtien paiallisten -aseleiden sntaisesi, sovitaan raenteelle globaalioordinaatisto, jona aseleiden shteen solmmittas soritetaan. vassa. on valitt globaali -oordinaatisto siten, että origo on solmssa. Elementtiveron globaalioordinaatiston lisäsi llain elementillä on oma loaali y-oordinaatistonsa. vassa. on myös elementin loaalioordinaatisto. Solmmittas tapaht solmissa globaaliaseleiden snnissa ja sisältää translaatiosiirtymät ja solmvoimat. Tasoristion savaelementin solmn liittyy asi mittassntaa, jolloin solmlla on asi ja elementillä neljä vapasastetta. vassa. on esitetty solmjen ja 5 solmmittasen vapasasteet nolisymboleilla ja lisäsi ne on nmeroit. Tasoristion elementin solmsrevetoreiden dimensio on ja elementin jäyyysmatriisi -matriisi. Tasoristion elementtiveron vapasasteiden määrä on asi ertaa solmjen määrä... Tasoristion elementin jäyyysmatriisi Tasoristion tarasteln tarvitaan van.5 globaalioordinaatistoon yleisesti sijoittva savaelementti. lma määrittelee elementin snnan ja se mitataan - snnasta positiivisen snnan ollessa vastapäivään. isäsi on tnnettava sreet E, A ja tai pitden sijasta solmjen oordinaatit. { } {} [ ] { } { } [ ] va.5 Tasoristion elementti, loaali- ja globaalimittas. vassa.5 (a) on esitetty elementin loaaliaselin sntainen solmmittas, johon liittyvät solmsiirtymä- ja solmvoimavetori ovat { } { } {} { } (.9) oaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi on [ ] ja se on aavan (.6) maisesti (.) EA [ ] Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet. vassa.5 (b) on esitetty elementin globaaliaseleiden sntainen solmmittas. Solmjen vapasasteiden loaalinmerointi otetaan solmittain eteneväsi niin, että sisältää solm- vaaasnta nmeroidaan ensin. Elementin solmsiirtymävetori { } jen globaaliaseleiden sntaiset siirtymäomponentit ja solmvoimavetori { } elementin päihin vaittavat vaaa- ja pystysntaiset voimaomponentit ja ne ovat { } { } { } { } (.) asennassa tarvitaan globaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi [ ], joten johdetaan seraavasi sen lasee. oaalimittasen solmsiirtymät modostvat globaalimittasen solmsiirtymistä elementin snnalle tlevista omponenteista seraavasti os sin os sin (.) Siirtymien yhteys voidaan esittää matriisimodossa os sin sin { } [ B]{ } os (.) Globaalimittasen solmvoimat modostvat loaalimittasen solmvoimien omponenteista seraavasti os sin os sin (.) Voimien yhteys voidaan esittää matriisimodossa os sin os sin T {} [ B] {} (.5) oaali- ja globaalimittasten sreiden välillä ovat yhteydet os sin T { } [ B]{ } { } [ B] {} [ B] os sin (.6) jota sanotaan ontragredienttilaisi. Sreiden yhteyden antavaa matriisia [ ] B sanotaan inemaattisesi matriisisi. Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.5 mmassain mittasessa on voimassa elementin persyhtälö eli [ ]{ } {} [ ]{ } { } (.7) aavojen (.6) ja (.7) persteella voidaan irjoittaa T T T [ B] {} {} [ B] [ ]{ } { } [ B] [ ] [ B] { } { } (.8) josta nähdään, että globaalioordinaatiston jäyyysmatriisilla [ ] on lasee T [ ] [ B] [ ][ B] (.9) Globaalioordinaatiston jäyyysmatriisi voidaan lasea loaalioordinaatiston jäyyysmatriisista inemaattisen matriisin [ B ] avlla äyttäen mnnosaavaa (.9), jota sanotaan ongrenssimnnosesi. n matriisit [ B ] ja [ ] sijoitetaan aavaan (.9) ja soritetaan matriisien ertominen, saadaan tlosesi jäyyysmatriisi os os sin os os sin EA os sin sin os sin sin (.) os os sin os os sin os sin sin os sin sin [ ] aavasta (.) näyy, että tasoristion savaelementin jäyyysmatriisin lasemisesi pitää tntea sen josivaio EA / ja sntalma globaalioordinaatistossa. Savaelementin normaalivoimaa N ei saada välittömästi elementin persyhtälöstä {} [ ]{ }, mtta se voidaan lasea vetorin { } omponenteista. N voidaan lasea myös vetorin { } omponenteista, sillä { } [ ] { } [ ][ B]{ } ja lasemalla oiean polen vetorin toinen omponentti saadaan aava [( ) os ( ) sin ] EA N (.) Tehdyistä oletsista seraa myös, että savaelementille ei voi tlla vetorin { } omponenteista leiasvoimaa Q... Evivalenttiset solmormitset osa tasoristion savaelementti ei tehtyjen oletsien maan ota vastaan taivts- eiä leiasrasitsta, on elementin aleella vaittavien ormitsten oltava Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.6 savan loaalin -aselin sntaisia eli van. tyyppisiä. äytännössä ysymyseen voi tlla lähinnä savan lämpötilan mtos ΔT ja pitdenmtos δ. Evivalenttiset solmormitset { r } savaelementin loaalioordinaatistossa saadaan helposti selville esimerisi vasta., mtta ne on vielä mnnettava globaalioordinaatiston omponenteisi, jotta ne voitaisiin yhdistää solmormitsiin sijoittelsmmasella aavan (.7) maisesti. Mnnoseen voidaan äyttää aavaa (.6), josta seraa T {} r [ B] {} r (.) jossa { r } globaalioordinaatiston evivalenttinen solmormitsvetori. Esimerisi lämpötilan mtoselle {} r EA ΔT{ } ΔT seraa vasta. loaalioordinaatistossa (.) josta seraa aavan (.) avlla globaalioordinaatiston vetori {} r EA ΔT{ os sin os sin } (.). Avarsristio.. Avarsristion elementtivero Avarsristion tara ratais elementtimenetelmällä löytyy äyttämällä elementtiveroa, jona solmt ovat ristion nivelien ja tien ohdilla ja in ristion sava on elementti. vassa.6 on esimeri avarsristion elementtiverosta, jossa on solma ja 5 elementtiä. Avarsristion savaelementti on ominaissiltaan samanlainen in tasoristion elementti eli tarvittavat ominaisdet tasapaslle savalle ovat E, A ja. olmilotteinen geometria aihettaa jonin verran lisää lasentatyötä ja solmmittas pitää yleistää tasotapasesta. asentaa varten otetaan äyttöön -globaalioordinaatisto, jona aseleiden snnissa solmmittas soritetaan. Solmmittas sisältää translaatiosiirtymät ja solmvoimat -, - ja -snnassa. van.6 tapasessa globaalioordinaatiston origo on sijoitett solmn. Solmlla on olme ja elementillä si vapasastetta, jolloin solmsrevetoreiden dimensio on si ja elementin jäyyysmatriisi on 66-matriisi. Elementtiveron vapasasteiden määrä on olme ertaa solmjen lmäärä. vassa.6 on esitetty nolisymboleilla solmn 8 vapasasteet, jota on lisäsi nmeroit. van.6 elementtiverolla on vapasastetta ja veron jäyyysmatriisi on näin -matriisi, tntemattomia solmsreita ovat vapaiden solmjen siirtymäomponenttia ja tisolmjen (, 5, 9, ) tireatioomponent- Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.7 tia. Elementtiveron globaalioordinaatiston lisäsi elementillä on oma loaali yzoordinaatistonsa, jona -aseli lee elementin sntaisesti sen alsolmsta loppsolmn päin seä y- ja z-aselit ovat poiileiastasossa. vassa.6 on esimerinä elementin 7 loaalioordinaatisto ja solmmittas. 9 9 7 6 6 z 9 y y 8 5 8 5 8 7 6 8 7 7 5 7 9 6 5 8 7 9 5 z va.6 Avarsristion elementtivero ja sen elementti. Avarsristion äsittely elementtimenetelmällä onnist elementtimenetelmän periaatteiden maisesti, n tnnetaan -globaalioordinaatistossa mielivaltaisessa asennossa olevan savaelementin globaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi. Seraavassa tämä johdetaan ongrenssimnnosta äyttäen... Avarsristion elementin jäyyysmatriisi Avarsristion tarasteln tarvitaan van.7 globaalioordinaatistoon yleisesti sijoittva savaelementti. Solmjen oordinaatit,, ja,, määrittelevät Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.8 elementin asennon ja niistä voidaan lasea elementin pits ja sen loaalin -aselin sntaosinit globaaliaseleiden shteen ( ) ( ) ( ) (.5) ( ) ( ) ( ) os os os (.6), ja ovat lmat, jota loaali -aseli modostaa globaalien -, - ja - aseleiden anssa. isäsi elementistä on tnnettava sreet E ja A. (a) (b) 5 y E, A, z e y E, A, e z 6 { } { } [ ] { } { } [ ] va.7 Avarsristion elementti, loaali- ja globaalimittas. vassa.7 (a) on elementin loaaliaselin sntainen solmmittas, johon liittyvät solmsiirtymä- ja solmvoimavetori ovat { } { } {} { } (.7) oaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi on [ ] ja se on aavan (.6) maisesti (.8) EA [ ] vassa.7 (b) on elementin globaali solmmittas. Solmjen vapasasteiden nmerointi otetaan solmittain eteneväsi ja solmssa nmerointijärjestys on, ja. sisältää globaaliaseleiden sntaiset siirtymäomponentit Solmsiirtymävetori { } ja solmvoimavetori { } oordinaattiaseleiden sntaiset voimaomponentit { } { } { } { } (.9) Ristioraenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän persteet.9 Ristioraenteet Matti ähteenmäi oaalimittasen solmsiirtymät modostvat globaalimittasen solmsiirtymistä elementin snnalle tlevista omponenteista seraavasti os os os os os os (.5) Globaalimittasen solmvoimat modostvat loaalimittasen solmvoimien omponenteista seraavasti os os os os os os (.5) Siirtymien ja voimien yhteydet voidaan esittää matriisimodossa seraavasti { } [ ]{ } { } [ ] { } [ ] T os os os os os os B B B (.5) joa on siirtymien ja voimien välinen ontragredienttilai. Globaalimittasen jäyyysmatriisi saadaan tällöin ongrenssimnnosella [ ] [ ] [ ][ ] B B T (.5) n matriisien ertolast soritetaan, päädytään seraavaan tloseen [ ] EA (.5) jossa on äytetty lyhennysmerintöjä os os os (.55) Savaelementin normaalivoimaa N ei saada välittömästi elementin persyhtälöstä { } [ ]{ }, mtta se voidaan lasea vetorin { } omponenteista.
Elementtimenetelmän persteet. N voidaan lasea myös vetorin { } omponenteista, sillä { } [ ]{ } [ ][ B]{ } ja lasemalla oiean polen vetorin toinen omponentti saadaan aava [( ) os ( ) os ( ) os ] EA N (.56) Tehdyistä oletsista seraa myös, että savaelementille ei voi tlla vetorin { } omponenteista leiasvoimia Q y ja Q z... Evivalenttiset solmormitset osa avarsristion savaelementti ei oletsen maan ota taivts- eiä leiasrasitsta, on elementtiormitsten oltava savan loaalin -aselin sntaisia eli van. maisia. ysymyseen tlee tällöin lähinnä savan lämpötilan mtos ΔT ja pitdenmtos δ. Evivalenttiset solmormitset { r } saadaan vasta. loaalioordinaatistossa, jolloin ne on vielä mnnettava globaalioordinaatistoon. Mnnoseen voidaan äyttää aavaa (.5), jolloin saadaan T {} r [ B] {} r (.57) jossa { r } globaalioordinaatiston evivalenttinen solmormitsvetori. Esimerisi pitden mtoselle δ seraa vasta. loaalioordinaatistossa EA δ {} r { } (.58) josta seraa aavan (.57) avlla globaalioordinaatiston vetori EA δ (.59) {} r { os os os os os os } Ristioraenteet Matti ähteenmäi