Determinantti 1 / 30

Transkriptio

1 1 / 30

2 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisessa 2 / 30

3 Geometrista tulkintaa (ei määritelmä!) Matriisin A M(n, n) determinantin itseisarvo, merkitään det A, on A:n sarakevektoreiden virittämän n-ulotteisen suuntaissärmiön tilavuus Erityisesti, 1-ulotteisen suuntaissärmiön eli janan pituus on det a = a 2-ulotteisen [ ] [ suuntaissärmiön ] (suunnikas) eli sarakevektoreiden a11 a12 ja määräämän suunnikkaan ala on a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 ja det A = a 11 a 22 a 12 a 21, [ ] a11 a missä A = 12 a 21 a 22 3 / 30

4 Kolmen vektorin a 11 a 21 a 31, a 12 a 22 a 32 ja a 13 a 23 a 33 suuntaissärmiön tilavuus on lausekkeen a 11 a 12 a 13 det A = det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 määräämän [ ] [ ] [ ] a22 a = a 11 det 23 a21 a a a 32 a 12 det 23 a21 a + a 33 a 31 a 13 det a 31 a 32 itseisarvo 4 / 30

5 Esimerkki 1 Olkoot x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2 Merkitään x = x1 2 + x 2 2 vektorin x pituutta Vektorin pistetulo x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 = x y cos α, missä α on vektorien x ja y välinen kulma Vektorien x ja y määräämän suunnikkaan pinta-ala on A = x h = x y sin α = x y cos( π 2 α) = b y, missä b = x ja vektorien b ja y välinen kulma on π 2 α Vektori b on kohtisuorassa vektoria x vastaan eli b x = 0 Kun valitaan b kuten kuvassa, on b = ( x 2, x 1 ), sillä tällöin b x = x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0 ja b = ( x 2 ) 2 + x1 2 = x Täten A = b y = x 2 y 1 + x 1 y 2 5 / 30

6 Esimerkki 1 6 / 30

7 Määritelmä 1 Matriisin A M(n, n) ij:s alimatriisi A ij M(n 1, n 1) saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake Esimerkki Olkoon A = Tällöin A 11 = [ ] 0 4, A 12 = 1 7 [ ] 3 4, A 22 = 2 7 [ 0 ] jne 7 / 30

8 Määritelmä 2 Neliömatriisin A M(n, n) determinantti on luku det A = n ( 1) 1+j A 1j det A 1j, j=1 missä det[a] = a Esimerkki 3 [ ] a11 a Olkoon A = 12 Tällöin a 21 a 22 det A = 2 j=1 ( 1)1+j a 1j det A 1j = ( 1) 1+1 a 11 det A 11 + ( 1) 1+2 a 12 det A 12 = a 11 det[a 22 ] a 12 det[a 21 ] = a 11 a 22 a 12 a 21 8 / 30

9 Esimerkki Olkoon A = Tällöin [ ] [ ] det A = ( 1) det + ( 1) det 1 2 [ ] 1 0 +( 1) det 1 1 = 2( ) (1 2 3 ( 1)) + 2(1 1 0 ( 1)) = 9 9 / 30

10 Esimerkki 5 a a Olkoon A = diagonaalimatriisi Tällöin 0 a nn a det A = a 11 det a nn a = a 11 a 22 det 0 a nn = = a 11 a nn 10 / 30

11 Esimerkki 5 Täten diagonaalimatriisin determinantti on diagonaalialkioiden tulo Erityisesti det I = 1 Huomaa, että A:n sarakevektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, joten ne virittävät suorakaiteet, joiden sivujen pituudet ovat a ii 11 / 30

12 Lause 1 Neliömatriisin A determinantille pätee (a) kehittämissääntö i:nnen rivin suhteen n det A = ( 1) i+k a ik det A ik, k=1 (b) kehittämissääntö j:nnen sarakkeen suhteen n det A = ( 1) k+j a kj det A kj k=1 Todistus Sivuutetaan (Helppo uskoa tilavuustulkinnasta) 12 / 30

13 Esimerkki Olkoon A = Lasketaan det A kehittämällä se ensin rivin suhteen [ ] [ ] det A= ( 1) det + ( 1) det 1 2 [ ] 2 1 +( 1) det 1 1 = ( ) + 0 3(2 1 1 ( 1)) = 9 13 / 30

14 Esimerkki 6 ja sitten kehittämällä se [ 3 sarakkeen ] suhteen [ ] det A= ( 1) det + ( 1) det 1 1 [ ] 2 1 +( 1) det 1 0 = 2(1 1 0 ( 1)) 3(2 1 1 ( 1)) + 2( ) = 9 14 / 30

15 Lause 2 Olkoon A M(n, n) Tällöin seuraavat ominaisuudet pätevät: (a) Olkoon B matriisi, joka on saatu kertomalla jokin A:n rivi/sarake luvulla λ R Tällöin det B = λ det A (b) Jos jokin A:n rivi/sarake on nolla, niin det A = 0 (c) Olkoon A = [S 1 S n ], missä S j on A:n j:s sarake Jos S j = V 1 + V 2 jollekin j, niin det A = det[s 1 V 1 + V 2 S n ] = det[s 1 V 1 S n ] + det[s 1 V 2 S n ] 15 / 30

16 Lause (jatkuu) R 1 R n Vastaavasti olkoon A =, missä R i on A:n i:s rivi Jos R i = W 1 + W 2 jollekin i, niin R 1 det A = det W 1 + W 2 = det R n R 1 W 1 R n + det R 1 W 2 R n 16 / 30

17 Lause (jatkuu) (d) Jos A:ssa on kaksi samaa riviä/saraketta, niin det A = 0 (e) Jos matriisi B saadaan A:sta vaihtamalla kaksi riviä/saraketta keskenään, niin det B = det A (f) Jos B saadaan A:sta lisäämällä riviin/sarakkeeseen i rivi/sarake j i, kerrottuna luvulla λ R, niin det B = det A 17 / 30

18 Todistus (a) Todistetaan rivivaihtoehto Sarakevaihtoehto samoin Oletetaan, että B on saatu kertomalla A:n i:s rivi luvulla λ Tällöin kehittämällä i:nen rivin suhteen saadaan det B = = λ n ( 1) i+k B ik det B ik = k=1 n ( 1) i+k λa ik det A ik k=1 n ( 1) i+k A ik det A ik = λ det A k=1 (b) Seuraa (a)-kohdasta valitsemalla λ = 0 18 / 30

19 Todistus (c) Todistetaan saraketapaus Rivitapaus todistetaan vastaavasti Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen Kun n = 1, on det[a + b] = a + b = det[a] + det[b], joten väite pätee Tehdään induktio-oletus, että väite pätee n n-matriiseille Osoitetaan, että se pätee tällöin myös (n + 1) (n + 1)-matriiseille Olkoot A = [ S 1 V 1 + V 2 S n+1], B = [ S 1 V 1 S n+1] ja C = [ S 1 V 2 S n+1], missä V 1 ja V 2 ovat j:nnessä sarakkeessa 19 / 30

20 Todistus Tällöin n+1 det A = ( 1) 1+k A 1k det A 1k k=1 j 1 = ( 1) 1+k A 1k det A 1k + ( 1) 1+j (V1 1 + V1 2 ) det A 1j = k=1 n+1 + k=j+1 n+1 k=1,k j ( 1) 1+k A 1k det A 1k ( 1) 1+k A 1k (det B 1k + det C 1k ) + ( 1) 1+j V 1 1 det B 1j + ( 1) 1+j V 2 1 det C 1j 20 / 30

21 Todistus n+1 n+1 = ( 1) 1+k B 1k det B 1k + ( 1) 1+k C 1k det C 1k k=1 k=1 = det B + det C 21 / 30

22 Todistus (d) Tarkastellaan n n, n 2, matriisia, jossa on kaksi samaa riviä Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen Perusaskel: Kun n = 2, niin [ ] a b A =, a b joten det A = a b a b = 0 Induktioaskel: Induktio oletus: Väite pätee k k, k 2, matriisille Induktioväite: Väite pätee (k + 1) (k + 1) matriisille Induktioväitteen todistus: Olkoon A (k + 1) (k + 1), k 2, matriisi, jossa rivit R i ja R j ovat samat Tällöin on olemassa sellainen kokonaisluku m, että m i, m j ja 1 m k + 1 Kehitetään matriisin A determinantti rivin m suhteen 22 / 30

23 Todistus Nyt k+1 det A = ( 1) m+p A mp det A mp p=1 Jokaisessa matriisissa A mp on kaksi samaa riviä ja matriisit A mp ovat k k matriiseja Näin induktio oletuksen nojalla det A mp = 0 kaikilla p = 1,, k + 1, joten k+1 k+1 det A = ( 1) m+p A mp det A mp = ( 1) m+p A mp 0 = 0 p=1 p=1 Perusaskeleesta ja Induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että alkuperäinen väite on tosi 23 / 30

24 Todistus (e) Olkoot A = R 1 R i R j R n ja B = R 1 R j R i R n Määritellään C = R 1 R i + R j R i + R j R n 24 / 30

25 Todistus Nyt (d)-kohdan perusteella det C = 0 Lisäksi (c)-kohdan nojalla 0 = det C R 1 R i R j = det + det R i + R j R i + R j R n R n R 1 25 / 30

26 Todistus = det R 1 R i R i R n + det R 1 R i R j R n + det R 1 R j R i R n + det R 1 R j R j R n = det A + det B Siis det B = det A (f) Harjoitustehtävä 26 / 30

27 Merkintä 1 Merkintä A S ij (c) tarkoittaa, että i:s sarake kerrotaan luvulla c ja lisätään sarakkeeseen j ja A R ij (c) tarkoittaa vastaavaa rivioperaatiota 27 / 30

28 Esimerkki det AS = ( 1) det A S 23 = (1) det L2(d) = / 30

29 Esimerkki det L2(a) = 5 det A S 21 = ( 2) 5 det = 5 ( 1)4+2 1 det [ ] A S 12 = (1) 5 det = 5 ( 1) det = 10 ( 6 + 8)= / 30

30 Esimerkki 9 [ ] a b Olkoon det = 2 c d Nyt[ ] [ ] 2a 6b L2(a) a 3b det = 2 det c 3d c 3d = 6 2 = 12 ja [ ] [ ] d c L2(c) d c det = det b + 2d a + 2c b a [ ] [ ] L2(e) b a d c = det + 2 det L2(a) d c d c = 2 L2(a) = 2 3 det [ ] a b c d [ d c + det 2d 2c L2(e) = L2(d) ( 1)2 det ] [ a b c d ] / 30