763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016

Transkriptio

1 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz mnnos nopeksille antaa nopeden x ˆx + yŷ koordinaatistossa K : Sijoitetaan x ja y kaavasta (): x x v v x /, y y v2 / v x /. x Toisaalta, voidaan esittää klman θ avlla (vertaa kaava ()): Kaavoista (2) ja (3) saadaan klman θ tangentti: c cos θ v v x / (2a) y c sin θ v 2 / v x / (2b) x c cos θ, y c sin θ. (3) tan θ sin θ (3) cos θ y (2) c sin θ v 2 /. (4) x c cos θ + v b) Lentomonisteen alssa annettiin kaava aberraation vaatimalle korjasklmalle α: α v c. Yksinkertaisden voksi oli oletett, että tarkasteltava tähti on soraan ratatason yläpolella, eli θ 9. Maan rataliikkeen nopes on pieni verrattna valon nopeteen, v/c, joten voimme arvioida v 2 /. Aberraation kaavasta (4) saadaan näillä arvoilla: tan θ c v. Koska nopes v oli shteellisen pieni, on myös klma θ lähellä θ:a. Merkitään θ 9 + η, missä η on pieni, jolloin tangentiksi saadaan tan θ sin(9 + η) cos(9 + η) cos η sin η η. Edellä käytettiin tietoa cos x, sin x x kn x pieni. Ratkaistaan loplta korjas η: tan θ η c v η v c α η v c. Korjaksen srs on siis α η v/c, niin kin pitikin. 2. Vakiovoima (i) Nopes ajan fnktiona. Lähdetään lentojen kaavasta m 2 / ft. Vektorit ja f ovat samaan sntaan, joten merkitään ˆx, f f ˆx. Saadaan m 2 / ft m / f 2 t 2

2 m 2 2 ( 2 / )f 2 t 2 f 2 t 2 f 2 t 2 2 / m f 2 t 2 2 / f 2 t 2 (m 2 + f 2 t 2 / ) 2 f 2 t 2 2 (t) f 2 t 2 m 2 + f 2 t 2 / m 2 /f 2 t 2 + / (m/ft)2 + /. Eli saatiin haltt kaava. (ii) Hikkasen paikka. Jotta nopedesta saadaan paikka, tlee sitä integroida ajassa: x(t) (t ) dt (m/ft ) 2 + / dt. Tässä riittää käyttää integroinnin persmenetelmiä. Erityisesti, sovelletaan kaavaa g (h(t))h (t) dt g(h(t)). Kn h(t) t 2, tästä tlee g (t 2 ) 2t dt g(t 2 ). (5) Tämä on hyvin yleinen tapa integroida monimtkaisempia lasekkeita. Yritetään löytää integrandista helposti integroitava fnktio g, jota kertoo g :n argmentin derivaatta. Homaa nyt, että t (t) (m/f)2 + t 2 /c t 2 2 (mc/f)2 + t 2t 2 g (t 2 ), missä g (s) c 2 (mc/f)2 + s. Esittämällä modossa 2tg (t 2 ), on sen integraali samaa tyyppiä kin (5). Lisäksi g (s) on helppo integroida s:n shteen: g(s) g (s) ds c 2 (mc/f)2 + s ds c (mc/f) 2 + s. Palataan :n integraaliin: x(t) 2t g (t 2 ) dt t g(t 2 ) c (mc/f)2 + t 2 c ( ) 2 (mc/f) 2 mc2 ft +. f mc Tämä oli tlos, jota halttiinkin. (iii) Kn t on pieni, eli tässä kn f t/mc, voidaan yllä olevan lasekkeen neliöjritermiä arvioida sen Taylorin sarjan ensimmäisillä termeillä. Kaavalla + ε + ε/2 saadaan x:stä seraavaa: x(t) mc2 f [ + f 2 t 2 ] 2m 2 mc2 f 2 t 2 f 2m 2 ft2 2m. Tämä nodattaa Newtonin teoriaa. Massa kertaa kiihtyvyys on nyt ma(t) m d2 x dt 2 m d2 ft 2 dt 2 f ma f, 2m eli tämän x:n antama kiihtyvyys nodattaa Newtonin lakeja.

3 3. Nopes relativistisesti Merkitään reaktiossa vapatvaa energiaa E 782 KeV. Koska massa ja energia ovat ekvivalentteja, kannattaa elektronin massa ilmoitaa energiana ja yksikkö on valitt sopivasti jatkoa ajatellen m 5 KeV. Lähdetään liikkeelle kokonaisenergian lasekkeesta: E. v2 Tehtävän annon nojalla yhtälön vasenpoli voidaan kirjoittaa motoon E + E. Näin ollen saadaan yhtälö, josta voidaan ratkaista nopes. + E v2 + E v2 + E v2 v 2 + ( E ) 2 v c ± ( + E ) 2 Sijoittamalla tehtävän alssa esitetyt arvot saatn nopeden lasekkeeseen saadaan v.92c. 4. Liikemassan mittas (a) Johdetaan ensiksi liikeyhtälö. Lähdetään liikkeelle yleisestä liikeyhtälöstä: dp dt f. Tämä Newtonin toinen laki pätee tässä modossa sppeassa shteellissteoriassa. Nyt eli saadaan ttn näköinen liikeyhtälö dp dt d dt (m rel) d (γm) γmd dt dt m rela m rel a f. Tämä ei aina päde tässä modossa, sillä tekijä γ sisältää riippvden nopedesta, tarkemmin sen neliöstä 2, ja sen takia sitä ei yleisesti saa viedä los aikaderivoinnista. Nyt kmminkin ympyräradalla pätee 2 vakio, jolloin tekijä γ on myös vakio ajan shteen, ja se saadan los derivoinnista. Homattavaa on myös, että nopes ei kmminkaan ole vakio, sillä sen snta vaihtelee ajassa (nopeden srs on vakio) ja siksi se pitää derivoida, jolloin saadaan kiihtyvyys a. Keskeiskiihtyvyyden antaa siis Lorentz-voima f qb, eli tasapainossa m rel 2 qb. r Relativistisessä tapaksessa massa on todella kappaleen liikemassa m rel m rel () γ()m m/ 2 /. Magneettikenttä on helppo ratkaista ylläolevasta lasekkeesta: B(v) m rel() qr γ()m qr m qr 2 /.

4 Kva : Magneettikentän riippvs nopedesta. Tässä B B() hahmotelt käsin. Käyrän B B() voisi helposti piirtää esimerkiksi laskimella, mtta yritetään hahmotella kvaaja ilman apvälineitä. Pienillä neliöjrilaseke nimittäjässä on noin, ja siten B() on sora lähellä origoa. Kn v kasvaa, 2 / pienenee ja B() alkaa kasvaa yhä nopeammin. Kn c, nimittäjä lähenee nollaa, ja siten B(). Tämä riippvsshde on piirretty kvaan. Jos olisi käytetty Newtonin mekaniikkaa, relativistisen liikemassan m rel olisi korvannt lepomassa m. Siten γ tekijä B:n lasekkeessa olisi yksi: B Newton () m qr. (b) Protonin kokonaisenergia E on E m 2 /. (6) Kokonaisenergialla ja kineettisellä energialla ei tässä ole käytännon eroa, koska 7 TeV on paljon enemmän kin lepoenergia m 939 MeV. Ratkaistaan siis nopes E:n lasekkeesta E() γ() : E 2 E 2 2 / 2 / E2 E 2 c Sijoitetaan E 7 6 MeV ja 939 MeV: ( ) c E2 E 2. Poikkeamaa valon nopedesta voi myös arvioida käyttämällä Taylorin sarjaa: E 2 c 2 E 2, eli nopes jää E 2 /2E kertaa c:n verran valon nopedesta vain joitain metrejä seknnissa, siis! Verrattna Newtonin teoriaan, tarvitaan B()/B Newton () kertaa srempi B-kenttä: B() B Newton () 2 / γ().

5 Tekijä γ saadaan helposti kaavasta (6): γ E Eli kentän tlee olla noin 745 kertaa voimakkaampi. 5. Energian ja massan ekvivalenssi Elektronivoltti joleina ev.62 9 J. (a) Lasketaan massa energian ja massan ekvivalenssista E m. Tässä E R E, joten m R E 3.6 ev kg. Vaihtoehtoisesti, voidaan verrata tätä massaa esimerkiksi elektronin lepomassaan, m e 5 kev/ : m 3.6 ev/c2 m e 5 kev/ Eli energia on miljoonasosia elektronin lepomassasta. Elektroni jo itsessään on liki häviävän kevyt protonin rinnalla. (b) kirjoitetaan tapaksia (sidott tila) ja 2 (ionisoit tila) vastaavat energiat E sid m p + m e + T e + U (7) E ion m p + m e, (8) missä T e on elektronin kineettinen energia ja U potentiaalienergia. Kn lisäksi tiedetään että T e R E ja E sid E ion R E, saadaan näistä U 2R E 27.2 ev. (c) Kirjoitetaan m e m e + U e, missä m e on jokin elektronin sisäinen massa ja U e elektronin sähkökentästä tleva oss sen lepoenergiasta. Tekemällä vastaavasti protonille, voidaan äskeiset yhtälöt nyt kirjoittaa Samoin kn edellä voidaan nyt päätellä että E sid m p + m e + T e + U sid (9) E ion m p + m e + U p + U e. () U sid U p U e 2R E 27.2 ev. () Tämä tlkitaan niin että kenttään liittynyt massa on sidotssa tapaksessa pienempi kin ionisoidssa tapaksessa 2 määrällä 27.2 ev/ kg. Kmmassakaan tapaksessa kenttään sitotnt massa ei ole negatiivinen.