EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009
2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne- eletroniian oulutusohjelma OJANEN, EETU: Signaalin ennustaminen Kalman-suotimella Kandidaatintyö, 18 sivua, 1 liitesivu Tououu 2009 Pääaine: Signaalinäsittely ja multimedia Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Avainsanat: Ennustaminen, Lineaarinen Kalman-suodin Työn taroitusena on ennustaa signaalia Kalman-suotimen avulla. Yleisesti Kalmansuotimen idea on poistaa ohinaa mittaussignaalista. Työn aihetta andidaatintyösi ehdotti eräs teollisuuden yritys ja taroitus on myös selvittää yrityselle Kalmansuotimen soveltuvuutta ennustusessa. Ennustamisen testaamiseen on työssä äytetty juuri yritysen signaaleja. Työn taroitusena ei ole onnistua ennustamaan signaalia tietyllä taruudella, vaan tarastella ja simuloida suuntaa antavasti ennustamista Kalman-suotimella. Ennustusta vertaillaan mitattuun ja Kalman-suodatettuun signaaliin virheen arvioimisesi.
3 ALKUSANAT Kandidaatintyö tehtiin yhteistyössä erään yritysen ja Tampereen tenillisen yliopiston signaalinäsittelyn laitosen anssa. Työ oli myös osana laitosen andidaatintyöseminaaria. Haluan iittää laitosen Konsta Koppista ja tuntemattomana pysyvän yritysen yhdyshenilöä työn ohjaamisesta. 10. tououuta 2009
4 SISÄLLYS Termit ja niiden määritelmät... 5 1. Johdanto... 6 2. Kalman-suodin... 7 2.1. Tilamalli ja mittausmalli... 7 2.2. Suodattimen algoritmi... 8 2.2.1. Ennustus... 8 2.2.2. Päivitys... 8 2.2.3. Esimeritilanne... 9 3. Ennustettavan signaalin luonne... 11 4. Suodattimen testaus ennustuseen... 12 4.1. Suodattimen toteutus... 12 4.2. Suodattimen testaus... 12 4.3. Ennustusen virhe... 14 5. Johtopäätöset... 17 Lähteet... 18 Liitteet... 19
5 TERMIT JA NIIDEN MÄÄRITELMÄT z x 1 aia-asel Mitattu tilavetori Tilavetori x ˆ Prioriestimaatti tilasta ˆx Posterioriestimaatti tilasta w v u F B H Q R P K I f s MSE tilamallin virhevetori mittausmallin virhevetori ohjausensiirtovetori Tilansiirtomatriisi Ohjausensiirtomatriisi Mittausensiirtomatriisi tilamallin ovarianssimatriisi mittausmallin ovarianssimatriisi tilan virheovarianssimatriisi Kalmanin vahvistus Identiteettimatriisi näytteenottotaajuus esineliövirhe (mean square error)
6 1. JOHDANTO Digitaalisen signaalin ennustuseen on olemassa useita erilaisia menetelmiä. Nyyään ehä äytetyin on lineaarinen ennustus, jossa esimerisi ennustetaan joa neljäs näyte olmen sitä edellisen näytteen perusteella tietyillä painoertoimilla. Ennustamista äytetään myös tiedon paaamisessa, jolloin esimerisi tallennetaan vain ennustusen virhe tai muutos, joa on esitettävissä enties pienemmällä bittimäärällä. Ennustusen hyvyys riippuu signaalista ja signaalin luonteeseen sopivasta ennustusalgoritmista. Kalman-suotimen ehitti nimensä muaisesti unarilaissyntyinen Rudolf Emil Kalman Yhdysvalloissa 1950-luvun lopulla. Kalman ajatteli lisätä tuolloin tilan äsitteen Wiener-suodattimeen. Ensimmäisiä sovellusohteita Kalman-suotimelle oli Yhdysvaltain National Aeronautics and Space Administration (NASA) Apollo-projetin parissa seä lentooneiden liieratojen estimointi tutien anssa 1960-luvulla. Suodin on ollut siitä lähtien muana lähes joaisessa uluvälineen liieratoja estimoivassa järjestelmässä. [1, s. 13-14] Suodinta on äytetty myös ennustamaan asioita, joita ihminen ei voi todennäöisesti ohjata uten joen virtaamista tulvan aiana seä tuotteen hintaa marinoilla [1, s. 1]. Tässä työssä Kalman-suodinta äytetään paian ennustamiseen ja työ on selvitys eräälle yrityselle suotimen ennustusen soveltuvuudesta teollisuuden tarpeisiin. Tarasteltava ennustuspituus on puolen seunnin ja seunnin välissä.
7 2. KALMAN-SUODIN Kalman-suodinta äytetään estimoimaan dynaamisen järjestelmän tilaa seä analysoimaan järjestelmiä. Jos järjestelmän iinnostavat ominaisuudet muuttuvat ajan myötä, järjestelmää utsutaan dynaamisesi. [1, s. 3-4, 29] Kappaleessa 2.1 esitetään lähteen [1, s. 106-107] muaisesti lineaarisen stoastisen disreettiaiaisen järjestelmän tilan estimointiongelma äyttämällä mittausia, jota ovat lineaarisia funtioita tilasta. 2.1. Tilamalli ja mittausmalli Lineaarisessa Kalman-suotimessa tilamalli on missä x F x 1 w, (3.1) x on järjestelmän tila hetellä. Tilansiirtomatriisi F uvaa edellisen tilan perusteella seuraavan tilan. Tilamalliin summataan myös josus ohjausensiirtomatriisin B seä ohjausensiirtovetorin u tulo, minä taroitusena on mallintaa jotain ohjaavaa teijää, uten esimerisi gravitaation vaiutusta appaleeseen [2, s. 20]. Kalman-suotimessa tilamalliin summautuu myös ohinaa, jona odotusarvo on nollavetori. Yleensä oletetaan ohinan olevan normaalijaautunutta, eli missä Q mittausmalli on w ~ N( 0, Q ), (3.2) on tilamallin ovarianssimatriisi. Havainnoituun tietoon äytettävä z H x v. (3.3) Ainoa järjestelmästä mitattava suure on z. H on mittausensiirtomatriisi, joa ertoo miä on mittausen ja oiean tilan suhde. Myös mittausmalliin oletetaan summautuvan yleensä normaalijaautunutta ohinaa, jona odotusarvo on nollavetori missä v ~ N( 0, R ), (3.4) R on mittausmallin ovarianssimatriisi. Matriisit H ja F oletetaan tunnetuisi ja usein ajasta riippumattomisi. määritellään ja Moniulotteisissa normaalijaaumissa ovarianssimatriisit Q ja R T Q E[ w w ] (3.5)
8 T R E[ v v ]. (3.6) Jos ohinoilla ei ole orrelaatiota, ovat muut uin diagonaalialiot nollia ovarianssimatriiseissa [3, s. 114-115]. Usein oletetaan myös, että ovarianssimatriisit eivät riipu ajasta. 2.2. Suodattimen algoritmi Algoritmia on esitelty ja johdettu lähteissä. [1,2 & 3] Kalman-suotimen algoritmi oostuu aluarvausesta ja ahdesta vaiheesta yhdellä aia-aseleella, mitä uva 2.1 havainnollistaa. Ennustusvaiheessa seuraava tila ennustetaan (tilansiirtymämatriisin avulla) sitä edellisen tilan avulla siis ennen mittausta. Ennustettua tilaa sanotaan prioritilaestimaatisi. Toisessa vaiheessa eli päivitysvaiheessa päivitetään ennustettu tila mittausen avulla posteriori-tilaestimaatisi. Kuva 2.1 Kalman-suotimen luonne 2.2.1. Ennustus Kalman-suotimessa ennustus tilalle eli priori-tilaestimaatti on x ˆ F x, (3.7) ˆ 1 1 1 mille on siis ehtona, että edellinen tila on estimoitu. Tässä vaiheessa lasetaan myös tilaestimaatin virheovarianssimatriisille priori-estimaatti 2.2.2. Päivitys P F P F Q. (3.8) T 1 1 1 1 Posteriori-tilaestimaatti on x xˆ K ( z H xˆ ), (3.9) missä K ˆ 1 1 on almanin vahvistus. Kaavassa (3.7) suleiden sisällä olevaa lauseetta sanotaan mittausresiduaalisi. Kalmanin vahvistus lasetaan joaisella ierrosella aavalla K P. (3.10) T T 1 1H ( HP 1H R )
9 Tilan lisäsi myös tilan virheovarianssimatriisi päivitetään ennustusesta estimaatisi aavalla P. (3.11) ( I K H ) P 1 2.2.3. Esimeritilanne Tarastellaan myös työn altaista esimeritilannetta, jossa paia mitataan näytteenottotaajuudella 1 Hz ysiulotteisesti, mutta tilamalli on toista astetta, eli Tilamallissa x 1 v 0 1 x f s 1 v 1 1 w w x uvaa paiaa ja 1, 2,. tilan vetorin tuloa avatessa huomaa, että uusi paia 1 x x 1 v 1, f s y uvaa nopeutta. Tilansiirtomatriisin ja edellisen ja nopeus oletetaan samasi uin edellisessä tilassa. Kolmannen asteen eli iihtyvyyden vaiutus oletetaan siis ohinana niin tilamallin ovarianssimatriisisi tulee w. Olettaen, että w 1, ja w, 2 eivät riipu toisistaan, 2 1 0 Q 2, 0 2 missä varianssit mallintavat vantisointiohinaa ja iihtyvyyden vaiutusta. Mittausmallisi supistuu salaaritilanne, osa paia on ainoa mittaus, eli z x 1 0 y v. Mittausmallin varianssi Valitaan R mallintaa mittausjärjestelmästä aiheutuvaa ohinaa. 2 z 2-6 2-6 1 10, 2 10 ja 2 z 1 järjestelmään, jossa mitataan nesteen pinnanoreutta senttimetrin taruudella. Kuvassa 2.2 on esitetty mitatut oreudet sinisillä pisteillä, seä Kalman-suodatettu signaali mustana viivana. Tilan aluarvaus on nollavetori. Tilan virheovarianssimatriisi P on myös aluasetusena nollamatriisi. Alussa estimaatit ovat harhallisempia unnes virheovarianssimatriisi onvergoituu arvoon 0.0437 0.0010, 0.0010 0.0000 joa on sama uin lopussa. Kalman-suodatettu signaali on mitattuun signaaliin verrattuna luonteeltaan alipäästösuodattunut, vaia taralleen sanottuna pyriiin minimoimaan esineliövirheen (MSE) lauseeet joaisella aia-aseleella E[ x ( ) xˆ ( )] 2, missä äy vetorin x rivit läpi [3, s.114].
Kuva 2.2: Nesteen pinnanoreus ajan funtiona, missä pisteet ovat mittausia ja viiva on Kalman-suodatettu arvio. 10
11 3. ENNUSTETTAVAN SIGNAALIN LUONNE Signaali ertoo teollisuudessa olevan hydraulisen toimilaitteen osan paian ysiulotteisesti, muita mittausia ei ole. Paia on useimmiten paloittain aidosti nouseva tai laseva ajan suhteen, mutta saattaa sisältää notahdusia tai värähdysenin altaisia piirteitä, uten on uvassa 2.1. Tässä työssä errallaan tarasteltava signaali on estoltaan ymmenien seuntien ertaluoaa. Paiasignaali päivittyy toimilaitteen dataväylälle esimäärin noin 50 Hz taajuudella. Heitto näytteenottotaajuudessa on esiarvoltaan signaaleissa 0,01 Hz luoaa, joten tässä työssä oletin näytteenottotaajuuden f s vaiosi. Kuvassa 2.1 on uvattu toimilaitteen osan prosessia toistuvasti (7 ertaa) havainnollistamaan erilaisia realisaatioita prosessista. Signaalin näytteen arvon vaihteluväli on 0..5 metrin välissä mittaustaruudella 1 millimetri. Kuva 2.1: Tyypillinen aiatason uva signaalista
12 4. SUODATTIMEN TESTAUS ENNUSTUKSEEN 4.1. Suodattimen toteutus Toteutin Kalman-suotimen Matlab-ohjelmistolla, josta eseinen suodinosuus on liitteenä. Kalman-suotimen virheiden ovarianssimatriisit valitsin vaioarvoisisi ajan suhteen. Arvaamalla ja Matlabilla oeilemalla eri luuarvoja päädyin tilamallin ovarianssimatriisin luuarvoihin 1 0 Q, 0 50 seä mittausmallin varianssin luuarvoon R 1. Siis oletan, että ovarianssimatriisissa ei ole riippuvuutta virheiden välillä. Aluarvona tilan virheovarianssimatriisille P äytän nollamatriisia, osa se on paras arvaus. Tilansiirtomatriisi F on 1 1 1 0.02 F f s. 0 1 0 1 Tilan paialle annoin aluarvausena ensimmäisen mittausen ja nopeudelle annoin arvosi nolla. 4.2. Suodattimen testaus Otin testauseen asi testisignaalia, jota meritsen signaalisi A ja signaalisi B. Kuvassa 4.1 ovat signaalien A ja B mitatut paiat ja paioista lasetut nopeudet paian 1. asteen differenssinä ajan suhteen. Nopeus ei siis ole mitattu, mutta on suuntaa antava. Signaalit A ja B edustavat erilaisia tilanteita, jossa A uvaa vain pelän monotonisen nousun vastapainona B:lle, jossa on edestaaista liiettä paian suhteen.
13 Kuva 4.1: Signaali A:n paia vasemmalla ylhäällä ja nopeus vasemmalla alhaalla ja vastaavasti signaali B oiealla. Kun edelliset signaalit A ja B suodatetaan Kalman-suotimella, saadaan uvan 4.2 muaiset aiatason uvat, joita on rajattu, jotta näisi sinisellä viivalla merittyä suodatettua signaalia paremmin. Kuvasta näee myös Kalman-suotimelle tyypillisen viiveen muutosessa mittausen osoittavaan suuntaan, missä viiveen suuruus riippui oeillessani suuresti ovarianssimatriisin ja varianssin valinnoista. Työssä on pyritty haemaan tilannetta, jossa Kalman-suodatettu paiasignaali seuraisi mittausia. Kuva 4.2: Kuvassa on osia signaaleista A ja B, missä sininen viiva on Kalman-suodatus, punaiset pisteet ovat ylemmissä uvissa mittausia ja alemmissa uvissa paiasta lasettuja nopeusia.
14 4.3. Ennustusen virhe Seuraavan tilan ennustus tapahtuu siis aina aavan (3.8) avulla. Kuvassa 4.3 on havainnollistettu miten ennuste suhteutuu suodatettuun ja mitattuun signaaliin ajanhetestä 40 seuntia eteenpäin. Kuvastain voi päätellä, että ennustus onnistuu signaalin eri ohdissa vaihtelevasti. Kuva 4.3: Punaiset pisteet ovat vasemmalla mittausista lasettuja ja oiealla mittausia, musta on Kalman-suodatettu signaali ja sininen on ennuste hetestä 40 seuntia eteenpäin. Kosa yllä oleva uva 4.3 ertoo ennusteen yhdestä ohdasta eteenpäin, on parempi lasea ennustamisen virhettä oo signaalista. On hyvä muistaa, että mittauset ovat ohinaisia todellisesta tilasta ja Kalman-suodin on estimaattori mittausille. Kuvassa 4.4 on epäsuoraa perustelua sille, että Kalman-suodin suodattaa ohinaa pois. Kuvan histogrammit osoittavat, että ohina on lähes nolla odotusarvoltaan, seä ohina on hajaantunut nollan ympärille tasavertaisesti. Kuva 4.4: Histogrammeissa on esitetty virheen jaauma Kalman-suodatetun ja mittaussignaalin välillä. Signaalista A on vasemmalla paian virheen histogrammi ja oiealla on signaalin B paian virheen histogrammi.
15 Olettaen, että Kalman-suodatettu signaali on lähes oieassa, voidaan ennustusvirhe määritellä ennusteen ja suodatetun signaalin näytteen erotusen itseisarvosi. Lasemalla tietyllä ennustuspituudella aii ennustusvirheet yhteen, saadaan ennustusvirheiden summa. Kyseinen summa on lasettu signaalien A ja B paioille ja nopeusille ennustuspituuden funtiona uvassa 4.5. Kuva antaa luonnollisen tulosen ennustusesta: mitä enemmän arvaa, sitä enemmän on virhettä esimäärin. Kuva 4.5: Kuvaan on lasettu summat ennustusvirheestä ennustuspituuden funtiona. Ylärivi osee signaalia A ja alarivi signaalia B. Virhe on saatu vertailemalla ennustetta Kalmansuodatettuun signaaliin. Vertailun vuosi lasetaan virhettä samalla tavalla, mutta vertaamalla mitattuun signaaliin, minä tulos on esitetty uvassa 4.6. Kuva antaa lähes samat tuloset uvan 4.5 anssa niin uin pitääin, sillä Q ja R valittiin niin, että suodatettu paiasignaali seuraisi joseenin mittausia. Kosa signaalien A ja B pituudet ovat 4000 ja 6134 näytettä, tulee esimerisi puolen seunnin ennustusella esimääräisesi paian virheesi A:lle noin 1,5 mm ja B:lle noin 7,7 mm, un verrataan Kalman-suodatettuun signaaliin. Nopeuden ennustusessa taas esimääräinen virhe on A:lle 3,1 mm/s ja B:lle 18,4 mm/s.
Kuva 4.6: Kuvaan on lasettu summat ennustusvirheestä ennustuspituuden funtiona. Vasemmalla on lasettu signaalista A ja oiealla B:stä. Virhe on saatu vertaamalla ennustetta mitattuun signaaliin. 16
17 5. JOHTOPÄÄTÖKSET Työssä suodatettiin Kalman-suotimella ensin yritysen testisignaaleja, minä jäleen suodatetuista signaaleista ennustettiin tilansiirtomatriisin avulla ennusteita. Yhteenvetona voidaan sanoa, että tämän tyylisiä signaaleja voisi paian suhteen ennustaa 1 10 millimetrin taruudella esimääräisesti puolen seunnin päähän. Nopeutta ennustettaessa virhe on esimääräisesti noin asinertainen paian virheeseen. Paian ennustusvirheen summa ennustuspituuden funtiona asvoi esponentiaalisen luonteisesti. Kosa ohinaa on vaiea saada signaalista pois, on sitä myös vaiea nähdä numeroina signaalissa summautuneena. Kohinan ovarianssimatriisien arvojen todellinen vaiutus tuloselle on siten epäselvä. Jatopohdiselua vaatisi ovarianssimatriisien arvojen perusteltu haeminen joo vaiona tai joa aiaaseleella päivittyvänä, jolloin ennustus saataisiin optimoitua. Ohjausensiirtomatriisin ja -vetorin äyttö voisi myös optimoida ennustusta, jos yritysen laitteistosta saa Kalman-suotimelle ohjaavan tiedon.
18 LÄHTEET [1] Mohinder, S.G & Angus, P.A. 1993. Kalman Filtering: Theory and Practice. Yhdysvallat. [2] Welch G & Bishop Gary. 2001. An Introduction to the Kalman Filter. University of North Carolina at Chapel Hill. [WWW]. [viitattu 21.04.2009]. Saatavissa: http://www.cs.unc.edu/~tracer/media/pdf/siggraph2001_coursepac_08.pdf [3] Bozic, S.M. 1979. Digital and Kalman Filtering. Englanti.
19 LIITTEET function [x,oo]=f(z,f,h,q,r) % KALMAN suodatin -------------------------------------------------- % merinnät: % F tilansiirtymämatriisi % H mittausensiirtomatriisi % K Kalmanin vahvistus % Q tilamallin virheovarianssimatriisi % R mittausmallin virheovarianssimatriisi % P tilaestimaatin virheovarianssimatriisi % t on aia % z on mitattu signaali % alustuset: oo=size(z) P=zeros(2,2,oo(2)); P(:,:,1)=zeros(2,2); x=zeros(2,oo(2)); x(1,1)=z(1); y=zeros(1,oo(2)); K=zeros(2,oo(2)); for =1:oo(2) end end % tilan ennustus if > 2 x(:,)=f*x(:,-1); P(:,:,)=F*P(:,:,-1)*F'+Q; end % tilan päivitys y(:,)=z(:,)-h*x(:,); K(:,)=P(:,:,)*H'*inv(H*P(:,:,)*H'+R); x(:,)=x(:,)+k(:,)*y(:,); P(:,:,)=(eye(2,2)-K(:,)*H)*P(:,:,);